контрольная работа по математике для студентов заочного отделения

 

 

 

 

 

 

 

 

МАТЕМАТИКА

 

контрольные задания

для студентов заочного отделения

ГБОУ СПО «Зюкайский аграрный техникум»

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

В настоящее время математика и её методы широко используются при решении научно-технических проблем и народнохозяйственных задач. Происходит математизация всех наук, математика глубоко проникает во все отрасли народного хозяйства. Математические методы позволяют решать проблемы планирования производства и расшифровывать древние рукописи, проверять качество проектов и организовывать движение транспорта, прокладывать каналы и запускать космические корабли.

Математика является одной из таких наук, развитие которых служит необходимым условием ускорения научно-технического прогресса и повышения эффективности других наук.

С каждым годом увеличиваются потребности производства в математически образованных специалистах, владеющих современными методами управления, планирования и учёта; специалистах, способных решать не только вопросы научно-технического и хозяйственного характера, но и вопросы воспитания, со знанием дела руководить трудовым коллективом.

Основная задача предмета «Математика» для средних специальных учебных заведений состоит в том, чтобы вооружить студентов основами математических знаний, умений и навыков в объёме, необходимом для их повседневной практической деятельности, для усвоения общетехнических и специальных предметов, а также для дальнейшего повышения квалификации путём самообразования.

           Курс математики вместе с другими общеобразовательными дисциплинами составляет основу теоретической подготовки студентов и играет роль фундаментальной базы, без которой невозможна успешная деятельность квалифицированного специалиста любого профиля. При изучении дисциплины «Математика» перед студентами заочной формы обучения ставятся следующие задачи:

        - усвоение теоретических знаний по математике;

        - овладение приемами и методами решения конкретных задач из различных разделов математики;

        - приобретение навыков самостоятельной работы при изучении теоретических вопросов и при решении практических задач;

        - умение применять свои знания при решении основных задач математики.

         В результате изучения дисциплины студенты должны знать определения основных понятий, основные формулы и теоремы.

        Настоящее пособие содержит методические указания к выполнению контрольной работы с решением типовых примеров и задач и контрольную работу.

 

Требования к выполнению и оформлению контрольной работы

 

1.            Каждая работа выполняется в отдельной тетради школьного формата. Следует пронумеровать страницы и оставить на них поля не менее 3 см для замечаний преподавателя.

2.            На обложке тетради должны быть отмечены следующие данные: шифр, фамилия, имя, отчество студента, название предмета.

3.            Работа должна быть выполнена чернилами одного цвета, аккуратно и разборчиво.

4.            Каждое задание надо начинать с новой страницы.

5.            Решение заданий желательно располагать в порядке номеров, номера указывать перед условием.

6.            Условия заданий должны быть обязательно переписаны полностью в контрольную тетрадь.

7.            Решения заданий должны сопровождаться краткими, но достаточно обоснованными пояснениями, используемые формулы нужно выписывать.

8.            Если в работе допущены недочёты и ошибки, то студент должен выполнить все указания преподавателя, сделанные в рецензии.

9.            Контрольные работы должны быть выполнены в срок. В период сессии работы на проверку не принимаются.

10.        Работа, выполненная не по своему варианту, не учитывается и возвращается студенту без оценки.

11.        Студенты, не имеющие зачёта по контрольной работе, к экзамену не допускаются.

12.        Во время экзамена зачтённые контрольные работы представляются преподавателю вместе с данными методическими указаниями.

13.        Вариант работы выбирается по последней цифре учебного  шифра. При этом, если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное (то есть 1, 3, 5, 7, 9), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 1 (кроме специальности «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства»). Если же предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль (то есть 2, 4, 6, 8, 0), то номера задач для соответствующего варианта даны в таблице 2 (кроме специальности «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства»). Для специальности «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства» номера задач следует смотреть в таблице 3 (если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное) или в таблице 4 (если предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль).

                                                         Таблица 1                                                                    Таблица 2

 

Вариант	Номера задач		Вариант	Номера задач
1	1.1; 2.1; 3.1; 4.1; 6.1; 8.1.		1	1.11; 2.11; 3.11; 4.11; 6.11; 8.1.
2	1.2; 2.2; 3.2; 4.2; 6.2; 8.2.		2	1.12; 2.12; 3.12; 4.12; 6.12; 8.2.
3	1.3; 2.3; 3.3; 4.3; 6.3; 8.3.		3	1.13; 2.13; 3.13; 4.13; 6.13; 8.3.
4	1.4; 2.4; 3.4; 4.4; 6.4; 8.4.		4	1.14; 2.14; 3.14; 4.14; 6.14; 8.4.
5	1.5; 2.5; 3.5; 4.5; 6.5; 8.5.		5	1.15; 2.15; 3.15; 4.15; 6.15; 8.5.
6	1.6; 2.6; 3.6; 4.6; 6.6; 8.6.		6	1.16; 2.16; 3.16; 4.16; 6.16; 8.6.
7	1.7; 2.7; 3.7; 4.7; 6.7; 8.7.		7	1.17; 2.17; 3.17; 4.17; 6.17; 8.7.
8	1.8; 2.8; 3.8; 4.8; 6.8; 8.8.		8	1.18; 2.18; 3.18; 4.18; 6.18; 8.8.
9	1.9; 2.9; 3.9; 4.9; 6.9; 8.9.		9	1.19; 2.19; 3.19; 4.19; 6.19; 8.9.
0	1.10; 2.10; 3.10; 4.10; 6.10; 8.10.		0	1.20; 2.20; 3.20; 4.20; 6.20; 8.10.

 

 

                                                         Таблица 3                                                                    Таблица 4

 

Вариант	Номера задач		Вариант	Номера задач
1	2.1; 3.1; 4.1; 5.1; 6.1;  7.1.		1	2.11; 3.11; 4.11; 5.11; 6.11; 7.11.
2	2.2; 3.2; 4.2; 5.2; 6.2; 7.2.		2	2.12; 3.12; 4.12; 5.12; 6.12; 7.12.
3	2.3; 3.3; 4.3; 5.3; 6.3; 7.3.		3	2.13; 3.13; 4.13; 5.13; 6.13; 7.13.
4	2.4; 3.4; 4.4; 5.4; 6.4; 7.4.		4	2.14; 3.14; 4.14; 5.14; 6.14; 7.14.
5	2.5; 3.5; 4.5; 5.5; 6.5; 7.5.		5	2.15; 3.15; 4.15; 5.15; 6.15; 7.15.
6	2.6; 3.6; 4.6; 5.6; 6.6; 7.6.		6	2.16; 3.16; 4.16; 5.16; 6.16; 7.16.
7	2.7; 3.7; 4.7; 5.7; 6.7; 7.7.		7	2.17; 3.17; 4.17; 5.17; 6.17. 7.17.
8	2.8; 3.8; 4.8; 5.8; 6.8; 7.8.		8	2.18; 3.18; 4.18; 5.18; 6.18. 7.18.
9	2.9; 3.9; 4.9; 5.9; 6.9; 7.9.		9	2.19; 3.19; 4.19; 5.19; 6.19. 7.19.
0	2.10; 3.10; 4.10; 5.10; 6.10; 7.10.		0	2.20; 3.20; 4.20; 5.20; 6.20. 7.20.

 Литература

 

1.      Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М., «Высшая школа», 2004.

2.      Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика. М., «Высшая школа», 1991.

3.      Математика для техникумов. Алгебра и качала анализа. Под peд. Г.Н.

      Яковлева. ч.1.М.: «Наука», 1987.

4.   Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа. Под ред. Г.Н.

                 Яковлева. Ч.2М.: «Наука», 1988.

            5.   Валуцэ  И.И, Дилигул Т. Д. Математика для техникумов на базе средней

                  школы. М.: «Наука», 1989.

           6.   Щипачев В.С. Основы высшей математики. М.: «Высшая школа», 1989.

 

ПРОГРАММА

 

Числовые системы

 

Развитие понятия числа. Комплексные числа. Действия над комплексными числами. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

 

Производная и её приложения

 

Свойства и графики основных элементарных функций. Понятия предела и непрерывности функции в точке. Основные свойства предела.

Предел функции на бесконечности. Вычисление пределов. Производная, её геометрический и физический смысл. Правила дифференцирования. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Возрастание и убывание функции. Экстремум функции. Вторая производная и её физический смысл. Выпуклость, точки перегиба графика функции. Исследование функций и построение графиков. Задачи на наибольшее и наименьшее значение.

 

Интеграл и его приложения

 

Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Основные табличные интегралы. Интегрирование подстановкой.

Определённый интеграл и его геометрический смысл. Основные свойства и вычисление определённого интеграла.

Вычисление площадей фигур с помощью определённого интеграла. Применение интеграла к решению физических задач.

 

 

Элементы теории вероятностей.

 

Задачи теории вероятностей. Элементы комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения. События и их виды. Алгебра событий. Относительная частота и вероятность события. Основные аксиомы теории вероятностей. Повторение независимых испытаний. Случайные величины – дискретные и непрерывные. Числовые характеристики дискретных случайных величин и их свойства. Понятие о равномерном и нормальном законах распределения случайных величин, плотности распределения. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал.

 

Элементы математической статистики.

 

Область применения и задачи математической статистики. Понятие о генеральной совокупности и выборке, представительность выборки, способы её отбора. Статистическое распределение выборки. Первичная обработка статистических данных, элементы выборки,

формирование вариационного ряда. Статистическая оценка параметров распределения, формулы для их вычисления. Понятие о статистической проверке гипотез.

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

Задание 1

 

1.1. – 1.10. Выполните действия в алгебраической форме. Результат запишите в тригонометрической и показательной формах:

 

1.1. .	1.6. .
1.2. .	1.7. .
1.3. .	1.8. .
1.4. .	1.9. .
1.5. .	1.10. .

 

1.11. – 1.14. Выполните действия в тригонометрической форме. Результат запишите в алгебраической и показательной формах:

 

1.11.  4(cos 220^o + i sin 220^o) · 1,5(cos 20^o + i sin 20^o).

1.12. 3(cos 280^o + i sin 280^o) :( cos 70^o + i sin 70^o).

1.13.  (2(cos 50^o + i sin 50^o))⁶

1.14.  3(cos 340^o + i sin 340^o) :( cos 25^o + i sin 25^o).

 

1.15 – 1.20. Запишите комплексное число в тригонометрической и алгебраической формах:

 

1.15 .	1.18
1.16	1.19
1.17	1.20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 2

 

2.1. Найдите производную функции =   и вычислите

2.2. Найдите производную функции =   и вычислите

2.3. Найдите производную функции у =   и вычислите

2.4. Найдите производную функции s =   и вычислите

2.5. Найдите производную функции =   и вычислите

2.6. Найдите производную функции =   и вычислите

2.7. Найдите производную функции =   и вычислите

2.8. Найдите производную функции =   и вычислите

2.9. Найдите производную функции у = tg² x – ctg² x  и вычислите

2.10. Найдите производную функции у =  sin⁴ x cos 4x и вычислите

2.11. Найдите производную функции s =   и вычислите

2.12. Найдите производную функции =   и вычислите

2.13. Найдите вторую производную функции =   и вычислите

2.14. Найдите производную функции у =   и вычислите

2.15. Найдите производную функции =   и вычислите

2.16. Найдите производную функции =   и вычислите

2.17. Найдите вторую производную функции у =   и вычислите

2.18. Найдите вторую производную функции =   и вычислите

2.19. Найдите производную функции =   и вычислите

2.20. Найдите вторую производную функции =   и вычислите

Задание 3

 

3.1. – 3.20. Найдите неопределённые интегралы:

 

3.1. а)	б)
3.2. а)	б) .
3.3. а)	б)
3.4. а)	б)
3.5. а)	б)
3.6. а)	б)
3.7. а)	б)
3.8. а)	б)
3.9. а)	б)
3.10. а)	б)
3.11. а)	б)
3.12. а)	б)
3.13. а)	б)
3.14. а)	б)
3.15. а)	б)
3.16. а)	б)
3.17. а)	б)
3.18. а)	б)
3.19. а)	б)
3.20. а)	б)

 

 

 

 

Задание 4

 

 

 

4.1. – 4.20. Вычислите определённые интегралы:

 

4.1. а)	б)  х3dx.
4.2. а)	б)  .
4.3. а)	б)  .
4.4. а)	б)  .
4.5. а)	б)  .
4.6. а)	б)  dx.
4.7. а)	б)  dx.
4.8. а)	б)  .
4.9. а)	б)  .
4.10. а)	б)  .
4.11. а)	б) dx.
4.12. а)	б)  .
4.13. а)	б) dx.
4.14. а)	б)  .
4.15. а)	б)  .
4.16. а)	б) dx.
4.17. а)	б) dx.
4.18. а)	б)  .
4.19. а)	б) dx.
4.20. а)	б) dx.

 

Задание 5

 

5.1. – 5.20. Найти вероятность безотказной работы участка цепи, если известно, что каждый  i-ый элемент работает независимо от других с вероятностью p_i  (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6). p₁ = 0,7, p₂ = 0,7, p₃ = 0,6, p₄ = 0,8, p₅ = 0,5, p₆ = 0,9.

 

5.1.	5.11.
5.2.	5.12.
5.3.	5.13.
5.4.	5.14.
5.5.	5.15.
5.6.	5.16.
5.7.	5.17.
5.8.	5.18.
5.9.	5.19.
5.10.	5.20.

 

 

 

 

Задание 6

 

Дан ряд распределения дискретной случайной величины Y. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

 

6.1. 

Y	-3	-2	-1	1	2	3
p	0,2	0,2	0,2	0,1	0,2	0,1

 

6.2.

Y	-4	-2	-14	1	2	4
p	0,1	0,2	0,1	0,3	0,2	0,1

 

6.3.

Y	-3	-2	-1	1	2	3
p	0,1	0,2	0,2	0,2	0,2	0,1

 

6.4.

Y	-4	-2	0	2	4
p	0,1	0,2	0	0,3	0,1

 

6.5.

Y	-2	-1	0	1	2
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

6.6.

Y	-1	-0,5	0	0,5	1
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

6.7.

Y	-3	-2	-1	1	2	3
p	0,2	0,2	0,2	0,1	0,2	0,1

 

6.8.

Y	-3	-2	-1	0	1	2
p	0,1	0,2	0,2	0,2	0,2	0,1

 

6.9.

Y	-3	-2	-1	1	2	3
p	0,4	0,2	0,1	0,1	0,1	0,1

 

6.10.

Y	-4	-2	-1	1	2	3
p	0,1	0,2	0,2	0,2	0,2	0,1

 

6.11.

Y	-1	-0,5	0	0,5	1
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

6.12.

Y	-2	-1	0	0,5	1
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

6.13.

Y	-4	-2	-14	1	2	4
p	0,1	0,2	0,1	0,3	0,2	0,1

 

6.14.

Y	-4	-2	0	2	4
p	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

 

6.15.

Y	-4	-1	1	2	4
p	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1

 

6.16.

Y	1	2	3	4	5
p	0,1	0,2	0,4	0,2	0,1

 

 

6.17.

Y	-1	1	2	5	6
p	0,3	0,2	0,1	0,3	0,1

 

6.18.

Y	2	5	6	7	10
p	0,2	0,1	0,1	0,5	0,1

 

6.19.

Y	-2	-1	1	2	4
p	0,3	0,2	0,1	0,3	0,1

 

6.20.

Y	2	4	6	8	9
p	0,2	0,1	0,1	0,5	0,1

 

 

 

   

 

Задание 7

 

7.1.– 7.20. Даны два комплексных числа z₁ и z₂. Требуется:

1)      найти комплексные числа z = z₁ + z₂, u = z₁ – z₂, записав их в алгебраической форме;

2)      найденные z₁, z₂, z, u изобразить на комплексной плоскости;

3)      комплексные числа v =z₁ ∙ z₂, w =z₁ : z₂  записать в тригонометрической и показательной формах.

7.1.  z1 = –2 – j1,5;   z2 =4 + j5	7.11. z1 = 2 – j1,5;    z2 = 4 –  j3
7.2.  z1 = –4 +j3;       z2 = 6 + j8	7.12. z1 = 3 + j4;       z2 = – 6 + j3
7.3. z1 = –4 – j3;       z2 = –6 + j8	7.13. z1 = –10+ j;      z2 = 7 + j8.
7.4. z1 = 7 – j8;         z2 = 10 +  j11	7.14. z1 = 7 – j8;       z2 =–2 + j1,5
7.5. z1 = 6 – j5;         z2 = 9 + j10	7.15. z1 = –10+ j11;  z2 =–5 – j4
7.6. z1 = 4 – j5;         z2 = 4 + j5	7.16. z1 = –6 – j5;      z2 =9 –  j10
7.7. z1 = 5 – j4;         z2 = 4 + j5	7.17. z1 = 4 – j3;        z2 = 5 – j4
7.8. z1 = 2 – j1,5;      z2 = 4 + j3	7.18. z1 = –4 – j3;      z2 = 6 + j8
7.9. z1 = 3 – j4;        z2 = 6 + j8	7.19.  z1 = 7 – j8;      z2 = 10 –  j11
7.10. z1 = 4 – j3;      z2 = 6 + j8	7.20.  z1 = –4 +j3;     z2 = –6 + j8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание 8

 

8.1. В ящике лежат шары: 4 белых, 10 красных, 8 зеленых, 9 коричневых. Из ящика вынимают один шар. Пользуясь теоремой сложения вероятностей определить, какова вероятность, что шар окажется цветным (не белым) ?

8.2. В партии из 23 деталей находятся 10 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Используя классическое определение теории вероятности определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

8.3. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получится слово «книга».

8.4. В урне лежат 20 одинаковых на ощупь шаров: 12 белых и 8 черных. Какова веро-ятность вынуть наудачу два белых шара?

8.5. В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

8.6. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает предложенные ему три вопроса?

8.7. На карточках написаны целые числа от 1 до 15 включительно. Наудачу извлекаются две карточки. Какова вероятность того, что сумма чисел, написанных на карточках, равна десяти?

8.8. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наугад. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

8.9. В урне 2 зеленых, 7 красных, 5 коричневых и 10 белых шаров. Какова вероятность появления цветного шара?

 

8.10. В урне 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Из урны вынимают сразу два шара. Какова вероятность  того, что оба шара окажутся белыми?

 

 

Решение типовых примеров

 

Числовые системы

 

Даны два комплексных числа z₁ = 2 – j 7 и z₂ = 3 + j5. Требуется:

1) найти комплексные числа z = z₁ + z₂, u = z₁ – z₂, записав их в алгебраической форме;

2) найденные z₁, z₂, z, u изобразить на комплексной плоскости;

3)      комплексные числа v =z₁ ∙ z₂, w =z₁ : z₂  записать в тригонометрической и показательной формах.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. 1).  Для того, чтобы найти  z = z₁ + z₂ в алгебраической форме, складываем действительные и мнимые части чисел z₁ и z₂: z = (2 – j 7) + (3 + j5) = (2 + 3) + j(–7 + 5) =5–j2. При нахождении числа  u = z₁ – z₂ вычитаем  действительные и мнимые части чисел z₁ и z₂:

u = z₁ – z₂ = (2 – j 7) –  (3 + j5) = (2–3) + j(–7–5) = –1–j12.

 

2).   Вектор, соответствующий числу z, строим как сумму векторов z₁ и z₂ по правилу параллелограмма, а вектор, соответствующий числу u, строим как сумму векторов z₁ и (– z₂).

 

3). Найдем модуль r и аргумент φ чисел z₁ и z₂.

     z₁ = 2 – j 7, число принадлежит IVчетверти, значит φ₁ = – arctg = – arctg3,5 – 74,05°.

r₁ =  =  = .

z₂ = 3 + j5, число принадлежит I четверти, значит φ₂ = arctg arctg 1,6667 59,04°.

r₂ =  =  5,83.

Запишем числа z₁ и z₂ в показательной  z = r e^jφ  и тригонометрической  z = r (cosφ + j sinφ) формах: z₁ = 8,06e^-j74,05°,  z₁ = 8,06(cos (–74,05 ° )+ j sin (–74,05 °))

               z₂ = 5,83e^j59,04°,   z₂ = 5,83(cos 59,04 ° + j sin 59,04 °).

 

Найдем произведение и частное этих чисел: v = z₁∙ z₂ = 8,06∙5,83e^{j(-74,05°+59,04°)} = 46,99e^-j15,01° =

 46,99(cos(–15,01°) + j sin(–15,01°));

w = z₁: z₂ = 8,06:5,83e^{j(-74,05°-59,04°)} = 1,38e^-j133,09° = 1,38(cos(–133,09°) + j sin(–133,09°)).