-
Курсы
-
Другое
Найдено 59 материалов по теме
Предпросмотр материала:
Контрольная работа по теме: «Первообразная и интеграл».
(заочная форма обучения)
12 класс
Методические рекомендации к контрольной работе.
Необходимо знать: таблицу первообразных, уметь применять первообразную для вычисления площадей криволинейных трапеций, основные правила интегрирования, формулы простейших интегралов.
Справочный материал.
Определение: функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F’(x)=f(x).
Правила вычисления первообразных:
1.f(x)+h(x) = F(x)+H(x)
2.k f (x) = k F(x), k – постоянная
3.f ( kx+b) = 
F(kx+b), если k≠0, b – постоянная.
Таблица первообразных.
|
Функция f(x) |
Первообразная F(x) для f(x) |
|
k≠0 |
k x |
|
хn, где n є Z, n≠-1 |
|
|
|
|
|
sin x |
- сos x |
|
сos x |
sin x |
|
|
ln |x| |
|
ex |
ex |
|
ax |
|
Определение: интегралом от а до b
функции f называется приращение первообразной F
этой функции, т.е. 
. (читается:
«Интеграл от а до б эф от икс дэ икс»).
∫ - знак интеграла; а и b – пределы интегрирования; а – нижний предел; b- верхний предел; f – подынтегральная функция; х – переменная интегрирования.
= F(b)
– F(a) - формула Ньютона – Лейбница.
Определение: фигуру ограниченную графиком непрерывной функции f, отрезком [a,b] и прямыми х=а и х=b называют криволинейной трапецией.
Примеры.
1. Найдите первообразную функции f(x)=x3+2, график которой проходит через данную точку Р (2;15).
РЕШЕНИЕ:
F(x) =
Т.к. график одной из первообразных проходит через точку (2;15), то составим и решим уравнение F(2)=15.
4+4+C=15, 8+C=15, C=7.
F(x) =
Ответ: F(x)=
2. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=х4; у=1.
Решение.
1. у=х4 – графиком данной функции является парабола ветви которой направлены вверх с вершиной в точке (0;0).
у=1 – уравнение прямой параллельной оси
ОХ.
2. Строим график функции у=х4
|
х |
-1 |
1 |
|
у |
1 |
1 |
3Найдем пределы интегрирования из уравнения х4=1
х1 = -1; х2 =1 отметим их на графике
4. Вычисляем площадь
Искомая площадь может быть получена как разность площадей прямоугольника АВСД и криволинейной трапеции АВЕСД
S ВCЕ = S
АВСД – S АВЕСД
S
АВСД = АВ ×ВС = 1× 2 = 2 кв. ед.
S АВЕСД = 
S ВCЕ = 2 – 0, 4 = 1,6 кв. ед.
Ответ: 1,6 кв.ед.
Примечание: для удобства записи разность F(b)
– F(a) в формуле Ньютона – Лейбница принято сокращенно обозначать 
. Пользуясь этим обозначением, формулу
Ньютона – Лейбница запишем в виде: 
=
Контрольная работа
Тема Первообразная и интеграл .
1.
Найти все
первообразные функции 
.
2. Вычислите интеграл
3. Докажите справедливость равенства
4.
Найдите первообразную
функции 
значение которой при х=0
равно 6.
5.
Является ли функция 
первообразной для каждой из следующих
функций: 
, 
, 
?
6.
Найти площадь
криволинейной трапеции 
, y = 0, x = 2, x = 4.
7.
Найдите первообразную
функции 
, график которой проходит через данную
точку Q (-2;4).
8.
8.Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
, y = 2, x = 4.
9. Применяя правила первообразных вычислите все первообразные функций:
а) 
б) 
Варианты выполнения контрольной
|
Начальная буква фамилии |
Номера заданий |
|
А Б Ю Я |
1, 3, 5, 8
|
|
Г Д Щ Ш |
2, 4, 6, 9
|
|
Ж З Ц Ч Э |
1, 2, 5, 7
|
|
И Е Ф Х К |
3, 4, 5, 9
|
|
Л М Н Т У |
1, 3, 4, 7
|
|
В О П Р С |
2, 3, 6, 8
|
Контрольная работа по математике(алгебра и начала анализа) составлена на основе учебника "Алгебра и начала анализа" 10-11 классы:учебник для общеобразовательных учреждений под редакцией А.Н.Колмагорова и др. М.Просвещение-2008г.
Работа составлена в шести вариантах по начальной букве фамилии. Каждый вариант состоит из четырёх заданий.
Прилагаемые к контрольной работе методические рекомендации и справочный материал помогут учащимся самостоятельно разобраться с данной темой , а также успешно выполнить контрольную работу.
Работа расчитана на 1 урок (45 минут)
В каталоге 6 513 курсов по разным направлениям
