Контрольно- измерительных материалов для проведения промежуточной аттестации по геометрии за курс 9 класса

Вариант № 1

1 Часть

1. Задание

Найдите суммарную площадь, которую занимают дома, где проживают Таня, Петя и Вася. Ответ дайте в м².

На плане (см. рисунок) изображён район города, в котором живёт Петя. Сторона каждой клетки на плане равна 10 м.

Дом, в котором живёт Петя, обозначен цифрой 6. Прямо напротив дома, где живёт Петя, через дорогу находится дом в форме буквы «Г», где живёт его друг Вася. Рядом с домом, где живёт Петя, расположен дом, где живёт одноклассница Таня, а напротив него через дорогу имеется здание банка площадью 600 м². А с другой стороны дома, где живёт Таня, расположен детский сад. Недалеко от детского сада и дома, где живёт Петя, находится магазин. Также имеется автобусная остановка, обозначенная цифрой 4, а в десяти метрах от неё — квартал старых одноэтажных домов.

2. Задание

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах.

3. Задание

Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB Найдите угол ACB, если угол AOB равен 167°. Ответ дайте в градусах

4. Задание

Периметр ромба равен 36, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.

5. Задание 18 

На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

6. Задание

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.

1) Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3) У равностороннего треугольника есть центр симметрии.

2 Часть

7. Задание

Биссектриса угла A параллелограмма  пересекает его сторону  в точке  Найдите площадь параллелограмма  если   а 

8. Задание

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOD.

Ключ вариант 1

№ п/п	№ задания	Ответ
1	367692	6900
2	311680	66
3	353385	83,5
4	383608	40,5
5	352113	12
6	314934	1

7. Задание 23 № 316359

Биссектриса угла A параллелограмма  пересекает его сторону  в точке  Найдите площадь параллелограмма  если   а 

Решение.

Накрест лежащие углы  и  равны,  — биссектриса угла  следовательно,

Значит, треугольник  равнобедренный и 

По формуле площади параллелограмма находим

Ответ: 35.

8. Задание 24 № 314977

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOD.

Решение.

Проведём высоту  так, чтобы она проходила через точку  Углы  и  равны друг другу как вертикальные. Вспомним также, что диагонали делятся точкой пересечения пополам, следовательно,  Рассмотрим треугольники  и , они прямоугольные, имеют равные углы и равные гипотенузы, следовательно, эти треугольники равны, а значит равны отрезки  и . Таким образом, 

Площадь параллелограмм равна  а площадь треугольника 

Вариант № 2

1 часть

1. Задание

Найдите площадь, которую занимают спальная комната и детская. Ответ дайте в квадратных метрах.

На плане изображена схема квартиры (сторона каждой клетки на схеме равна 1 м). Вход и выход осуществляются через единственную дверь.

При входе в квартиру расположена прихожая, отмеченная цифрой 6. Из прихожей можно попасть в гостиную, расположенную справа от неё. В квартире есть балкон, занимающий наименьшую площадь. Перед входом в прихожую располагается спальня, а справа от неё — детская комната, в которую можно попасть только из спальни. Рядом со спальней расположен совмещенный санузел площадью 12 м². Кроме того, в квартире есть кухня.

Пол в гостиной планируется покрыть паркетной доской длиной 1 м и шириной 0,25 м.

В квартире проведены газопровод и электричество.

2. Задание

В выпуклом четырёхугольнике  известно, что , , , . Найдите угол . Ответ дайте в градусах.

3. Задание

Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH=5 и HD=30. Диагональ параллелограмма BD равна 78. Найдите площадь параллелограмма.

4. Задание

Площадь прямоугольного треугольника равна  Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

5. Задание

Найдите тангенс угла AOB, изображённого на рисунке.

6. Задание

Укажите номера верных утверждений.

1) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

2) Смежные углы равны.

3) Медиана равнобедренного треугольника, проведённая к его основанию, является его высотой.

2 часть

7. Задание

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 135°, а CD = 17.

8. Задание

В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны AB. Известно, что MC = MD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Ключ вариант 2

№ п/п	№ задания	Ответ
1	367000	36
2	348455	78
3	350587	2520
4	352811	28
5	341118	0,6
6	314995	13|31
7	350386

7. Задание 23 № 350386

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 135°, а CD = 17.

Решение.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Проведём высоты  и  В трапеции сумма смежных углов при боковой стороне равна 180°, поэтому  Из прямоугольного треугольника  найдём сторону 

Углы  и  равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Высоты  и  равны. Из прямоугольного треугольника  найдём 

Ответ: 

8. Задание 24 № 314919

В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны AB. Известно, что MC = MD. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

Решение.

Противоположные стороны параллелограмма равны, то есть  Рассмотрим треугольники  и , в них  равно   равно  и  равно  следовательно, треугольники равны по трём сторонам, а значит, 

Вспомним также, что противоположные углы параллелограмма равны, следовательно:

Сумма углов параллелограмма 360°:

Все углы параллелограмм прямые, а следовательно, этот параллелограмм — прямоугольник.