Контрольно-оценочные средства по дисциплине ЕН.01. "Элементы высшей математики"

Министерство образования и науки РФ

Выксунский филиал

Федерального государственного автономного образовательного учреждения

высшего профессионального образования Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС

Комплект

контрольно-оценочных средств

учебной дисциплины

ЕН.01. Элементы высшей математики

основной образовательной программы (ОПОП)

по направлению подготовки (специальности)

230401 Информационные технологии ( по отраслям

Выкса 2014

Утверждаю

Начальник УМУ СПО ________Э.Р Ремизова

«____» ___________ 20___года

Рассмотрен и одобрен на заседании цикловой комиссии

Математических и естественно – научных дисциплин

Протокол № ___ от_________________

Председатель ЦК____________ Осипова В.М.

Организация-разработчик: Выксунский филиал Федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования Национальный исследовательский технологический университет «МИСиС»

Разработчик:

Осипова В.М. – преподаватель математики Выксунского филиала

«Национальный исследовательский технологический университет « МИСиС

1. Общие положения

Контрольно-оценочные средства (КОС) предназначены для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу учебной дисциплины Математика.

КОС включают контрольные материалы для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации в форме экзамена (комплексного).

КОС разработаны на основании положений:

основной профессиональной образовательной программы по направлению подготовки специальности СПО 230401 Информационные технологии ( по отраслям)

программы учебной дисциплины Элементы высшей математики.

2. Результаты освоения дисциплины, подлежащие проверке

Результаты обучения

Основные показатели оценки результатов

(освоенные умения, усвоенные

знания)

Умение выполнять операции над

- Выполнение действий над матрицами

матрицами и решать системы линейных

- Вычисление определителей

уравнений;

- Решение систем линейных уравнений

Умение применять методы

методом обратной матрицы

дифференциального и интегрального

- Решение систем линейных уравнений по

исчисления;

формулам Крамера

- Решение систем линейных уравнений

методом Гаусса

- Выполнение действий над векторами

- Нахождение скалярного, векторного и

смешанного произведения векторов

- Построение точек и нахождение их

координат в прямоугольной декартовой

- Вычисление предела функции в точке и в

бесконечности

- Исследование функции на непрерывность в

точке

- Нахождение производной функции

- Нахождение производных высших порядков

- Исследование функции и построение

графика

- Нахождение неопределенных интегралов

- Вычисление определенных интегралов

- Нахождение частных производных

Умение решать дифференциальные

- Решение дифференциальных уравнений

уравнения;

первого и второго порядка

Знание основы математического	- Перечисление последовательности действий
анализа, линейной алгебры и аналитической	при решении систем линейных уравнений
геометрии;	методом обратной матрицы, по формулам
	Крамера, методом Гаусса
	- Формулировка определений и перечисление
	свойств скалярного, векторного и
	смешанного произведения векторов
	- Классификация точек разрыва
	- Формулировка правил дифференцирования
	и перечисление производных основных
	элементарных функций
	- Перечисление табличных интегралов
Знание основы дифференциального и	- Формулировка геометрического и
интегрального исчисления	механического смысла производной
	- Приложение определенного интеграла к
	вычислению площадей плоских фигур,
	объемов тел вращения, пути, пройденного
	точкой
	- Описание процессов в естествознании и
	технике с помощью дифференциальных
	уравнений

3. Распределение оценивания результатов обучения по видам контроля

Виды аттестации

Наименование элемента умений или

Промежуточная

знаний

Текущий контроль

аттестация

У1. выполнять операции над матрицами и

Оценка выполнения

решать системы линейных уравнений;

расчетного задания

У2. применять методы дифференциального

Оценка выполнения

и интегрального исчисления;

расчетного задания

У3. решать дифференциальные уравнения;

Оценка выполнения

расчетного задания

З1. основы математического анализа,

Оценка выполнения

расчетного задания,

устного опроса

З2. линейной алгебры и аналитической

Оценка по результатам

геометрии;

устного опроса,

расчетное задание

З3. основы дифференциального и

Оценка выполнения

интегрального исчисления

расчетного задания,

устного опроса

4. Распределение типов контрольных заданий по элементам знаний и умений.

Содержание

Тип контрольного задания

учебного материала

У1

У2

У3

З1

З2

З3

по программе УД

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы и

Расчетное

Расчетное

определители

задание

задание

6.1.

6.1.

Тема 1.2. Системы

Расчетное

Расчетное

линейных уравнений

задание

задание

6.1.

6.1.

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

Тема 2.1. Векторы и

Расчетное

Устный

задание

координаты на плоскости

опрос 6.2.

6.3

Тема 2.2. Уравнение

Расчетное

задание

линии на плоскости

6.3.

Раздел 3. Введение в анализ

Тема 3.1. Функции и

Расчетное

задание

последовательности

6.5.

Тема 3.2. Пределы и

Расчетное

задание

непрерывность

6.4.

Раздел 4. Дифференциальное исчисление

Тема 4.1. Производная

Расчетное

Устный

задание

опрос 6.7.

6.6.

Тема 4.2. Дифференциал

Расчетное

Расчетное

задание

задание

6.6.

6.6.

Тема 4.3. Приложения

Расчетное

Расчетное

производной

задание

задание

6.8.

6.8.

Раздел 5. Интегральное исчисление

Тема 5.1. Неопределенный

Расчетное

Устный

Расчетное

интеграл

задание

опрос

задание

6.9.

6.10

6.9.

Тема 5.2. Определенный

Расчетное

Расчетное

интеграл

задание

задание

6.11.

6.11.

Раздел 6. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 6.1.

Расчетное

задание

Дифференциальные

Расчетное

6.12

задание

уравнения.

Устный

6.13

опрос

6.14

5. Распределение типов и количества контрольных заданий по элементам знаний и умений, контролируемых на промежуточной аттестации.

Содержание

Тип контрольного задания

учебного

материала

У1

У2

У3

З1

З2

З3

по программе УД

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы и

В 1-5

В 1-5

определители

Тема 1.2. Системы

В 6

В 6

линейных уравнений

Раздел 2. Элементы аналитической геометрии

Тема 2.1. Векторы и

координаты на

В 7-9

В 7-9

плоскости

Тема 2.2. Уравнение

линии на плоскости

Раздел 3. Введение в анализ

Тема 3.1. Функции

и

В 12

В 12

последовательности

Тема 3.2. Пределы и

В 10-11

З 1-6

В 10-11

З 7-8

непрерывность

Раздел 4. Дифференциальное исчисление

Тема 4.1.

В 13

З 9

В 13

Производная

Тема 4.2.

В 14

В 14

Дифференциал

Тема 4.3. Приложения

В 15-16

З 10 - 13

В 15-16

производной

Раздел 5. Интегральное исчисление

Тема 5.1.

Неопределенный

В 17 - 18

З 14-18

В 17 - 18

интеграл

Тема 5.2.

В 19 – В

Определенный

В 19 – В -23

З 19 - 21

-23

интеграл

З 22-23

Раздел 6. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Тема 6.1.

В 24-

Дифференциальные

З 24 - 26

В 24- 26

26

уравнения.

Обозначение

В - вопросы дифференцированного зачета

З – задания дифференцированного зачета

6. Структура контрольного задания

6.1. Расчетное задание

6.1.1. Текст задания

Вариант 1



2

3

0



1 0

3









1. Найти матрицу C=A+3B, если

A 

 2

1

8



, B 

2

4

1

^.



2

4

3





1

3

0











2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

 x₁  2x₂

 x₃

 1,



2x₁  x₂

 x₃

 5,





 x₃

 7.

_3x₁  2x₂

Вариант 2



2

3

0



1 0

3









1. Найти матрицу C=2A-B, если A 

 2

1

8



,

B 

2

4

1

 .



2

4

3





1

3

0











2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

x₁  x₂  2x₃

2,



x₁  2x₂

 x₃

 7,





2x₁  x₂

 3x₃  5.



Вариант 3



2

3

0



1 0

3









1. Найти матрицу C=3A+B, если A 

 2

1

8



, B 

2

4

1

 .



2

4

3





1

3

0











2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

x₁  3x₂

 2x₃

 4,



 x₃

 ^x1  ^4x2

 7,



 x₃

 3.

_2x₁  x₂

Вариант 4



2 3

0



1 0

3









1. Найти матрицу C=A-4B, если A 

 2

1

8



,

B 

2

4

1

 .



2

4

3





1

3

0











2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

2. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

x₁  2x₂

 x₃

 3,



x₁  3x₂

 x₃

 6,





2x₁  x₂

 x₃

 4.



Вариант 5



2

3

0



1 0

3









1. Найти матрицу C=4A-B, если

A 

 2

1

8



,

B 

2

4

1

 .



2

4

3





1

3

0











2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

 x₁  x₂  3x₃

 2,



x₁

 2x₂

 x₃

 3,





 7x₂

 x₃

 10.

^3x1

Вариант 6



2

3

0



1 0

3









1. Найти матрицу C=A+2B, если A 

 2

1

8



, B 

2

4

1

^.



2

4

3





1

3

0











2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы.

3. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера.

4. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

 x₁  x₂

 x₃

 3,



2x₁

 x₂

 x₃

 1,





 3x₂  x₃  1.

^2x1

6.1.2. Время на выполнение: 60 мин.

6.1.3. Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов

Основные показатели

Оценка

контроля и оценки

оценки результата

У1.

выполнять операции над

- Выполнение действий

4 балла

матрицами и решать системы

над матрицами

линейных уравнений;

- Вычисление

определителей

- Решение систем

линейных уравнений

методом обратной

матрицы

- Решение систем

линейных уравнений по

формулам Крамера

- Решение систем

линейных уравнений

методом Гаусса

З2. линейной алгебры и аналитической

- Перечисление

геометрии;

последовательности

действий при решении

систем линейных

уравнений методом обратной матрицы, по формулам Крамера, методом Гаусса

За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.

6.2. Устный ответ

6.2.1. Текст задания

1. Дать определение вектора.

2. Дать определение проекции вектора на ось и перечислить ее свойства.

3. Дать определение скалярного произведения векторов и перечислить его свойства.

4. Дать определение векторного произведения векторов и перечислить его свойства.

5. Дать определение смешанного произведения векторов и перечислить его свойства.

6.2.2. Время на выполнение: 20 мин.

6.2.3. Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов

Основные показатели

Оценка

контроля и оценки

оценки результата

З2. линейной алгебры и аналитической

- Формулировка

5 баллов

геометрии;

определений и

перечисление свойств

скалярного, векторного и

смешанного

произведения векторов

За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.

6.3. Расчетное задание

6.3.1. Текст задания

Вариант 1

Даны векторы a(9;2;1)

и b (4;3;0) (для № 1-5).

1.

Найти a  b .

2.

.

Найти a

 b

3.
	Найти a 2 .
4.	Найти				.
			b
5.
	Найти координаты векторов c					 a	 b ,

d

 a

 b , f

3a .

6. В прямоугольной декартовой системе координат построить точки A (0; 0), B (3; -4), C (-3; 4). Определить расстояние между точками A и B, B и C, A и C.

7. Построить кривую второго порядка х²+(у-2)²=9

8. Найти точки пересечения кривых 4х+6у=12 и (х-3)²-у²=1 в прямоугольной системе координат..

Вариант 2

Даны векторы

a(3;2;1)

и b (3;0;4)

1.

Найти a  b .

2.

Найти a

 b .

3.

Найти a ² .

4.

Найти

.

b

5. Найти координаты векторов c

(для № 1-5).

 a

 b , d

 a

 b , f

3a .

1. 6. В прямоугольной декартовой системе координат построить точки A (0; 0), C (-3; 4), D (-2; 2) E (10; -3). Определить расстояние между точками C и D, A и D, D и E.

   7. Построить кривую второго порядка (х-3)²-у²=3

   8. Найти точки пересечения кривых х-4у=4 и (х+4)²+у²=1 в прямоугольной системе координат.

2. Время на выполнение: 70 мин.

6.3.3. Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов

Основные показатели

Оценка

контроля и оценки

оценки результата

З2. линейной алгебры и аналитической

- Выполнение действий

8 баллов

геометрии;

над векторами

- Нахождение

скалярного, векторного и

смешанного

произведения векторов

- Построение точек и

нахождение их

координат в

прямоугольной

декартовой и полярной

системах координат

За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.

6.4. Расчетное задание

x ² 16

sin12x

6.4.1. Текст задания

Вариант 1

1. Вычислить предел функции:

lim

x ²  9

.

x ²

 8x 15

x3

2. Вычислить предел функции:

lim

x  5

.

x2

3x  6

3. Вычислить предел функции:

_lim sin17x _.

x0

4. Вычислить предел функции:

x



7



3

.

lim1





x

x 



Вариант 2

1. Вычислить предел функции:

_lim x ²  x  20 _.

x4

2. Вычислить предел функции:

lim ^{3x  6} . ^x2 2x  4

3. Вычислить предел функции:

lim

sin 7x

.

x0

sin13x

4. Вычислить предел функции:

x



12 

4

lim1





.

x

x 



Вариант 3

1. Вычислить предел функции:

lim

_x 2

 49

.

x ²



5x 14

x7

2. Вычислить предел функции:

_lim x ²  4 _. ^x3 2x  6

3. Вычислить предел функции:

_lim sin 9x _. ^x0 sin 4x

4. Вычислить предел функции:

x



15 

5

.

lim1





x

x 



Вариант 4

1. Вычислить предел функции:

_lim x ² 12x  35 _.

2

x5

x

 25

2. Вычислить предел функции:

_lim x ² 1 _. ^x5 2x 10

3. Вычислить предел функции:

lim

sin 8x

.

x0

sin19x

4. Вычислить предел функции:



4



2 x

lim1



 .

x

x 



Вариант 5

1. Вычислить предел функции:

_lim x ²  3x 18 _.

2

x6

x

 36

2. Вычислить предел функции:

lim ^{2x  3} . ^x4 3x 12

3. Вычислить предел функции:

lim

sin 5x

.

x0

sin14x

4. Вычислить предел функции:



10



3x

lim1



 .

x

x 



Вариант 6

1. Вычислить предел функции:

lim

x ²  81

.

_x 2

11x 

18

x9

2. Вычислить предел функции:

lim ^{3x  5} . ^x6 2x 12

3. Вычислить предел функции:

_lim sin19x _. ^x0 sin 3x

4. Вычислить предел функции:



14 

2 x

lim1





.

x

x 



6.4.2. Время на выполнение: 40 мин.

6.4.3. Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов

Основные показатели

Оценка

контроля и оценки

оценки результата

З1. основы математического анализа

- Вычисление предела

4 балла

функции в точке и в

бесконечности

За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.

6.5. Расчетное задание

6.5.1. Текст задания

Вариант 1

Исследовать функцию

f (x) 

1

на непрерывность в точке x₀  0 .

x

Вариант 2

Исследовать функцию

x ²

при

x  0,

на непрерывность в точке

f (x) 

1

при

x  0



x₀  0 .

Вариант 3

Исследовать функцию f (x)  x² на непрерывность в точке x₀  0 .

6.5.2. Время на выполнение: 10 мин.

6.5.3. Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов

Основные показатели

Оценка

контроля и оценки

оценки результата

З1. основы математического анализа,	- Классификация точек	1 балл
	разрыва
	- Исследование функции
	на непрерывность в
	точке

За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.

6.6. Расчетное задание

6.6.1. Текст задания

Вариант 1

1. Найти производную функции y  sin ⁶ 4x³  2.

2. Найти производную третьего порядка функции y  3x⁴  cos 5x .

3. Написать уравнение

касательной к графику функции f (x) 

3

в точке с

x

абсциссой x₀ 1 , x₀

 1 .

4. Материальная точка движется по закону x(t)  ¹₃ t ³  2t ²  5t . Найти скорость

и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 2

1. Найти производную функции y  cos ⁴ 6x²  9.

2. Найти производную третьего порядка функции y  2x⁵  sin 3x .

3.

Написать уравнение касательной к графику функции f (x)  2x  x² в точке с

абсциссой x₀  0 , x₀

 2 .

4.

Материальная точка

движется по закону x(t)  t ³  4t ² . Найти скорость и

ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 3

1. Найти производную функции y  tg ⁵ 3x⁴ 13.

2. Найти производную третьего порядка функции y  4x³  e^{5 x} .

3. Написать уравнение касательной к графику функции f (x)  x² 1 в точке с абсциссой x₀  0 , x₀  1 .

4. Материальная точка движется по закону

x(t) 

1

t

4

 t

2

. Найти скорость и

4

ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 4

1. Найти производную функции y  ctg ⁴ 5x³  6.

2. Найти производную третьего порядка функции y  5x⁴  cos 4x .

3.	Написать уравнение касательной к графику функции f (x)  x3 1 в точке с
	абсциссой x0 1 , x0	 2 .
4.	Материальная точка	движется по закону x(t)  t 4  2t . Найти скорость и

ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 5

1. Найти производную функции y  arcsin ³ 7x² .

2. Найти производную третьего порядка функции y  4x⁴  sin 2x .

3. Написать уравнение касательной к графику функции f (x)  tgx в точке с

абсциссой x₀ 



,

x₀





.

4

3

4. Материальная

точка

движется по закону x(t)  2t ³  8 . Найти скорость и

ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 6

1. Найти производную функции y  arctg ⁶ 5x⁴ .

2. Найти производную третьего порядка функции y  6x⁵  e^{4 x} .

3.

Написать уравнение касательной к графику функции

f (x)  1  cos x в точке с

абсциссой x₀  0 , x₀





.

2

4.

Материальная точка

движется по закону x(t)  t ⁴

 2t . Найти скорость и

ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

6.6.2. Время на выполнение: 40 мин.

6.6.3. Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов

Основные показатели

Оценка

контроля и оценки

оценки результата

У2. применять методы

- Нахождение

4 балла

дифференциального и интегрального

производной функции

исчисления;

- Нахождение

производных высших

порядков

З3. основы дифференциального и

- Формулировка

интегрального исчисления

геометрического и

механического смысла

производной

За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.

6.7. Устный ответ

6.7.1. Текст задания

Сформулировать правила дифференцирования и записать производные основных элементарных функций:

1^о.

2^о.

3^о.

4^о.

5^о.

6^о.

7^о.

c 

(x^ )

В частности, x

(x ² )

(x³ )

( x )



 1  _ 

 x 

(kx  b) 

(a ^x )

В частности, (e ^x )

(log _a x) 

В частности, (ln x)

(lg x)

(sin x) 

(cos x) 

8^о.

(tgx) 

9^о.

(ctgx) 

10^о.

(arcsin x) 

11^о.

(arccos x) 

12^о.

(arctgx) 

13^о.

(arcctgx) 

ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

14^о.

(u  v) 

15^о.

(u  v) 

16^о.

(uv) 

17^о.

(cu)

18^о.

 u 









 v 

 1





В частности, 





 v



ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

19^о. f ((x)) 

6.7.2. Время на выполнение: 15 мин.

6.7.3. Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов

Основные показатели

Оценка

контроля и оценки

оценки результата

З3. основы дифференциального и

- Формулировка правил

28 баллов

интегрального исчисления

дифференцирования и

перечисление

производных основных

элементарных функций

За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.

6.8. Расчетное задание

6.8.1. Текст задания

Исследовать функцию и построить ее график.

Вариант 1

f (x)  x²  2x  8 .

Вариант 2

f (x)  ^{2x 2}  x  ² .

3 3

Вариант 3

f (x) x²  5x  4 .

Вариант 4

f (x) 

x ²



x



1

.

4

16

4

Вариант 5

f (x) x³  3x  2 .

Вариант 6

f (x)  x⁴  2x²  3 .

Вариант 7

f (x)  x³  3x  2 .

Вариант 8

f (x)  3x²  x³ .

6.8.2. Время на выполнение: 20 мин.

6.8.3. Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов

Основные показатели

Оценка

контроля и оценки

оценки результата

У2.

применять

методы

- Исследование функции

1 балл

дифференциального и

интегрального

и построение графика

исчисления;

З1. основы математического анализа,

-Знание основных

правил вычисления

производной

За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.

6.9. Расчетное задание

6.9.1. Текст задания

Вариант 1

Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования (для № 1-5).



2

1



1. _5 cos x  3x



dx .

x





2. _3x⁸  x⁵  x ⁴ _{dx .}

2. 10. ⁵

3. _6^x 3^{2 x}  4dx .



1

1



4.









dx .

cos

2

x

1  x

2







5.



dx

.

1

16x

2

Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).

6.

_8x  4³ dx .

7.



12x³

 5

dx .

3x ⁴  5x  3

8.

_x⁵  e ^x6 dx .

9.

Найти

неопределенный интеграл методом интегрирования по частям:

_x  5cos xdx .

Вариант 2

Найти неопределенные интегралы методом непосредственного интегрирования (для № 1-5).



3

1



1. _6 sin x  4x



dx .

x





2. _x⁹  3x⁷  2x⁶ _{dx .}

2. 10. ⁷

3. _7 ^x  2^{2 x}  5dx .



1

1



4.







dx .

1  x ²

sin ²



x 

5.



dx

.

4  9x ²

Найти неопределенные интегралы методом подстановки (для № 6-8).

6. _7x  5⁴ dx .

18x ²  3

7.



dx .

6x³  3x  8

8.



x⁷  e ^x8 dx .

9. Найти неопределенный интеграл методом интегрирования по частям:

_x  2sin xdx .

6.9.2. Время на выполнение: 60 мин.

6.9.3. Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов

Основные показатели

Оценка

контроля и оценки

оценки результата

У2.

применять

методы

- Нахождение

9 баллов

дифференциального и

интегрального

неопределенных

исчисления;

интегралов

З3. основы дифференциального и

-знание основных

интегрального исчисления

табличных интегралов

За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.

6.10. Устный ответ

6.10.1. Текст задания

Записать табличные интегралы:

1^о.



0dx 

2^о.



x



dx 

В частности,



d x 

3^о.



dx



x

4^о.



a ^x dx 

В частности,



e ^x dx 

5^о.



cos xdx 

6^о.



sinxdx 

7^о.

dx



^cos ²

x

8^о.

dx



^sin ²

x

9^о.



dx



a ²

 x ²

В частности,

dx





1  x ²

10^о.

dx



 _a 2

 x ²

dx

В частности, ^{ }

1  x ²

6.10.2. Время на выполнение: 10 мин.

6.10.3. Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов

Основные показатели

Оценка

контроля и оценки

оценки результата

З1. основы математического анализа,

- Перечисление

14 баллов

табличных интегралов

За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.

6.11. Расчетное задание

6.11.1. Текст задания

Вариант 1

2

1. Вычислить определенный интеграл: _4x ²  x  3dx .

0

3

2. Вычислить определенный интеграл методом подстановки: _2x 1³ dx .

2

3. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной

линиями: y x²  4,

y  0, x 2,

x  2 .

4.

Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс

криволинейной

трапеции,

ограниченной

линиями:

y  x, y  0, x  1, x  4 .

5.

Скорость движения точки изменяется по закону v  3t ²  2t 1

(м/с). Найти

путь S, пройденный точкой за 10 с от начала движения.

Вариант 2

3

1. Вычислить определенный интеграл: _2x ²  x  4dx .

0

1

2. Вычислить определенный интеграл методом подстановки: _3x 1⁴ dx .

0

3. Вычислить, предварительно сделав рисунок, площадь фигуры, ограниченной линиями: y x² 1, y  0, x 1, x  1 .

4. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс

криволинейной

трапеции,

ограниченной

линиями:

y  x, y  0, x  0, x  1.

5. Скорость движения точки изменяется по закону v  9t ²  8t (м/с). Найти путь S, пройденный точкой за четвертую секунду.

6.11.2. Время на выполнение: 40 мин.

6.11.3. Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов

Основные показатели

Оценка

контроля и оценки

оценки результата

У2.

применять

методы

- Вычисление

5 баллов

дифференциального и

интегрального

определенных

исчисления;

интегралов

З3. основы дифференциального и

- Приложение

интегрального исчисления

определенного интеграла

к вычислению площадей

плоских фигур, объемов

тел вращения, пути,

пройденного точкой

За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.

6.12. Расчетное задание

6.12.1. Текст задания

Вариант 1

Найти частные производные функций.

1. z  x  ln y  _x^y .

2. z  lnx²  2 y³ .

3. z  1  x² ^y .

Вариант 2

Найти частные производные функций.

1. z  x ^y .

2. z  x³ y ²  2xy ³ .

3. z  ln ^x y .

6.12.2. Время на выполнение: 25 мин.

6.12.3. Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов

Основные показатели

Оценка

контроля и оценки

оценки результата

З3. основы дифференциального

и

- Нахождение частных

3 балла

интегрального исчисления

производных

За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.

6.13. Расчетное задание

6.13.1. Текст задания

Вариант 1

Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений (для № 1-4).

1.

y  c e^5x  c

e ^x , y 4 y 5y  0 .

1

2

2.

y  c e ^x

 c

2

xe ^x , y 2 y y  0 .

1

3. y  ⁸_x , y ¹₈ y ² .

4.

y  e^{4 x}  2, y 4 y .

5.

Решить задачу Коши: y 4x³  2x  5, y(1)  8 .

Решить следующие дифференциальные уравнения первого и второго порядка (для № 6-12).

6.

y

1

 x ⁴ .

cos ²

x

7.

y6 y .

8.

y

x 1

.

y ²

9.

y

y

.

1  x ²

10. y 3y  5  0 .

10. y 7 y10 y  0 .

10. y 4 y 4 y  0 .

Вариант 2

Являются ли данные функции решениями данных дифференциальных уравнений (для № 1-4).

1.

y  c e^{2 x}  c

2

xe^{2 x} , y 4 y 4 y  0 .

1

2.

y  c e^3x

 c

e ^x , y y 6 y  0 .

1

2

3.

y  e^3x  5, y 3y 15 .

4.

y 

5

, yy ² .

x

5.

Решить задачу Коши: y 3x²  2x  6, y(2)  19 .

Решить следующие дифференциальные уравнения первого и второго порядка (для № 6-12).

6. y

1

 x⁷ .

1  x ²

7. y 8y .

7. y ²_y^x₂ .

	y		y
9.				.
			1  x 2

1. 10. y 8y  3  0 .

1. 10. y 8y16 y  0 .

1. 10. y y12 y  0 .

2. Время на выполнение: 80 мин.

6.13.3. Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов

Основные показатели

Оценка

контроля и оценки

оценки результата

У3. решать дифференциальные

- Решение

12 баллов

уравнения;

дифференциальных

уравнений первого и

второго порядка

За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.

6.14. Устный ответ

1. Текст задания

1. 1. Сформулировать общие положения при составлении дифференциального уравнения по условию задачи.

1. 2. Записать дифференциальное уравнение показательного роста и показательного убывания и получить его решение. Привести примеры прикладных задач, решаемых с его помощью.

1. 3. Сформулировать задачу о радиоактивном распаде, записать для нее дифференциальное уравнение.

1. 4. Сформулировать задачу о гармонических колебаниях, записать дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

1. 5. Сформулировать задачу о падении тел в атмосферной среде, записать для нее дифференциальное уравнение.

6.14.2. Время на выполнение: 30 мин.

6.14.3. Перечень объектов контроля и оценки

Наименование объектов

Основные показатели

Оценка

контроля и оценки

оценки результата

З3. основы дифференциального и	- Описание процессов в	5 баллов
интегрального исчисления	естествознании и
	технике с помощью
	дифференциальных
	уравнений

За правильный ответ на вопросы или верное решение задачи выставляется положительная оценка – 1 балл.

За неправильный ответ на вопросы или неверное решение задачи выставляется отрицательная оценка – 0 баллов.

6.15. Вопросы зачета

1. Матрицы, действия над матрицами.

2. Определители 1-го, 2-го, 3-го порядков. Правило треугольников.

3. Определители n-го порядка. Теорема Лапласа.

4. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

5. Ранг матрицы. Алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

6. Система линейных уравнений. Метод обратной матрицы. Формулы Крамера. Метод Гаусса.

7. Векторы и операции над ними.

8. Проекция вектора на ось и ее свойства.

9. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов.

10. Предел функции в точке. Основные теоремы о пределах.

11. Предел функции при x, стремящемся к бесконечности. Замечательные пределы. Число е.

12. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точка непрерывности функции. Точка разрыва функции. Свойства непрерывных функций. Приращение аргумента. Приращение функции.

13. Производная функции. Дифференциал функции. Геометрический смысл производной. Механический смысл производной.

14. Таблица производных. Понятие сложной функции. Производная сложной функции.

15. Схема исследования функции. Область определения функции. Множество значений функции. Четность и нечетность функции. Нули функции. Промежутки знакопостоянства функции. Возрастание и убывание функции, правило нахождения промежутков монотонности. Точки экстремума функции, правило нахождения экстремумов функции.

16. Производные высших порядков. Физический смысл второй производной. Исследование функции с помощью второй производной.

17. Первообразная. Неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенного интеграла.

18. Таблица неопределенных интегралов.

19. Методы интегрирования: метод непосредственного интегрирования; метод замены переменной (метод подстановки); метод интегрирования по частям.

20. Определенный интеграл. Понятие интегральной суммы. Достаточное условие существования определенного интеграла (интегрируемости функции).

21. Основные свойства определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла.

22. Методы вычисления определенных интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.

23. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

1. 24. Понятие дифференциального уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Интегральные кривые. Задача Коши.

1. 24. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

   25. Методы решения дифференциальных уравнений.

15. Задания экзамена



7 

5 x

1.

Вычислить предел

.

lim 1







x

3x 



2.

Вычислить пределы:

а) lim

5x⁴  x³ 1

; б) lim

x³  2x

; в)

lim

x²

 4

.

4

2

3

x

x

x

2x

 x

x  4

x

 2x

3.

Вычислить предел lim

sin17x

.

x0

sin 5x

4.

Вычислить предел lim

sin 5x

.

x0

3x

5.

Вычислить предел lim

3x²  x

.

x²



2x

x0

6.

Вычислить предел lim

x²

10x 16

.

x 8

x8

7.

Исследовать функцию

f (x) 

5x

на непрерывность в точке x₀  6 .

x  6

8. Исследовать функцию f (x)  3x²  x³ и построить ее график.

8. Вычислить значение производной следующих функций в точке x₀  4 :

а) f (x)  8x²  ln x ; б) f (x)  x³ 

10. Найти производную функции y 

10. Найти производную функции y 

10. Найти производную функции y 

10. Найти производную функции y 

10. Найти неопределенный интеграл

5x .

x⁴  5x²  x⁷ .

11x  8 _.

2x  4

_e2 x⁵ 8 _.

ln8x⁴  3x²  2.

_4  x³  x²  2x_{dx .} x

15. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной _x² e ^x3 dx .

16. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной _6x 11⁴ dx .

17. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной _cos(6x 1)dx .

18. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной _sin ⁶ x cos xdx .

3

19. Вычислить определенный интеграл



(5x 1)dx .

0

1

20. Вычислить определенный интеграл



(x  5)xdx .

0

21.	Вычислить определенный интеграл	2	2x3  x4		dx .
		
			x	2
		0
22.	Скорость движения точки изменяется по закону v  5t 2  4t  2 (м/с). Найти путь s,
	пройденный точкой за 4 с от начала движения.
23.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y  x2 , y  0 , x 1 , x  2 .
24.	Решить дифференциальное уравнение y9y 20y  0 .
25.	Решить задачу Коши: y 6x2  4x , y(1)  9 .
26.	Решить дифференциальное уравнение y11x .

Шкала оценки образовательных достижений

Процент результативности (правильных

Оценка уровня подготовки

ответов)

балл (отметка)

вербальный аналог

90 ÷ 100

5

отлично

80 ÷ 89

4

хорошо

70 ÷ 79

3

удовлетворительно

менее 70

2

неудовлетворительно

8. Перечень материалов, оборудования и информационных источников, используемых в аттестации

1. Гмурман, В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистики. - М.: Высшее образование, 2009.

2. Дадаян, А.А. Математика. - М.: ФОРУМ: ИНФРА, 2007.

3. Дадаян, А.А. Сборник задач по математике. - М.: ФОРУМ: ИНФРА,

2007.

Интернет ресурсы:

4. http://festival.1september.ru/

5. http://www.fepo.ru

6. www.mathematics.ru