Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Контрольно-оценочные средства по математике для учащихся 11 классов

Контрольно-оценочные средства по математике для учащихся 11 классов

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:














Сборник практических работ


по учебной дисциплине Математика

специальность 230115 Программирование в компьютерных системах




























Москва, 2015 г.

Практическая работа №1


Тема: «Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка, используя свойства определителей».

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по вычислению определителей. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.

Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.


Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Вычисление определителей».

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Выполнить практическую работу по вычислению определителей.

Ответить на контрольные вопросы.

Задание

Выполнить практическую работу по вычислению определителей 2 и 3-го порядков.


Вариант 1


  1. Вычислить определители:

а) hello_html_m2f78e68a.gif б) hello_html_7a9524a1.gif в) hello_html_m41edbc78.gif

г) hello_html_7653db23.gif д) hello_html_7653db23.gif е) hello_html_1d987c61.gif=

2. Не раскрывая определителей, доказать справедливость следующих равенств:

а) hello_html_a1a276e.gif в) hello_html_m79669e08.gif

3. Решить неравенство и уравнение:

а) hello_html_m514f5696.gif б) hello_html_57de6d5b.gif


Контрольные вопросы:

1. Дать определение определителя второго порядка.

  1. Дать определение определителя 3-го порядка.

  2. Символическая запись алгебраического дополнения.

  3. Перечислить основные свойства определителей (с примерами).



Вариант 2


  1. Вычислить определители:

а) hello_html_m60081d00.gif= б) hello_html_a6af1a2.gif в) hello_html_m41edbc78.gif

г) hello_html_638e511f.gif= д) hello_html_21759bb7.gif= е) hello_html_15bc30fe.gif=

2. Не раскрывая определителей, доказать справедливость следующих равенств:

а) hello_html_3e2fb1f6.gif в) hello_html_m170fe4af.gif

3. Решить неравенство и уравнение:

а) hello_html_m514f5696.gif б) hello_html_36e371bf.gif


Контрольные вопросы:

  1. Дать определение определителя второго порядка.

  2. Дать определение определителя 3-го порядка.

  3. Символическая запись алгебраического дополнения.

  4. Перечислить основные свойства определителей (с примерами).


Вариант 3


  1. Вычислить определители:

а) hello_html_m60081d00.gif= б) hello_html_a6af1a2.gif в) hello_html_7c11d4f3.gif=

г) hello_html_638e511f.gif= д) hello_html_21759bb7.gif= е) hello_html_15bc30fe.gif=

2. Не раскрывая определителей, доказать справедливость следующих равенств:

а) hello_html_m33ef7f5e.gif в) hello_html_m79669e08.gif

3. Решить неравенство и уравнение:

а) hello_html_m514f5696.gif б) hello_html_36e371bf.gif


Контрольные вопросы:

  1. Дать определение определителя второго порядка.

  2. Дать определение определителя 3-го порядка.

  3. Символическая запись алгебраического дополнения.

  4. Перечислить основные свойства определителей (с примерами).


Вариант 4


  1. Вычислить определители:

а) hello_html_m2f78e68a.gif б) hello_html_7a9524a1.gif в) hello_html_m41edbc78.gif

г) hello_html_54508182.gif= д) hello_html_1d987c61.gif= е) hello_html_15bc30fe.gif=

2. Не раскрывая определителей, доказать справедливость следующих равенств:

а) hello_html_a1a276e.gif в) hello_html_7548bcda.gif

3. Решить неравенство и уравнение:

а) hello_html_m1246fad9.gif б) hello_html_57de6d5b.gif


Контрольные вопросы:

  1. Дать определение определителя второго порядка.

  2. Дать определение определителя 3-го порядка.

  3. Символическая запись алгебраического дополнения.

  4. Перечислить основные свойства определителей (с примерами).


Содержание отчета:

  1. Наименование и цель практической работы.

  2. Задание.

  3. Формулы и расчеты по ним.

  4. Ответы на контрольные вопросы.


Теоретические сведения и методические рекомендации

по решению задач.


Определение. Матрицей из m строк, n столбцов называется прямоугольная таблица чисел hello_html_4503a95e.gif; hello_html_m57ac6976.gif- элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер столбца, j=1,…,n; m, n – порядки матрицы. При m=n hello_html_m3889b1d9.gif- квадратная матрица.


Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице hello_html_121222a.gif, называется число hello_html_m2e40e2eb.gif.

Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.

Свойства определителей.

При транспонировании матрицы определитель не меняется.

При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.

При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число.

Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то hello_html_65742c1a.gif.

Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Определитель равен нулю, если

- все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.

- две строки (столбца) одинаковы.

- две строки (столбца) определителя пропорциональны.

Методы вычисления определителей.

1). Разложение по строке или столбцу.

2). Метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца. Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какого-либо столбца (строки) путём умножения его на соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк), зануляются все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке).

3). Метод приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного зануления всех элементов первой строки (столбца) кроме одного, второй строки (столбца) – всех кроме двух и т.д. В итоге определитель преобразуется к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диагонали.

4). Вычисление с использованием теоремы Лапласа, согласно которой определитель hello_html_m601acf03.gif- го порядка равен сумме произведений всех его миноров hello_html_m5faf1d98.gif-го порядка, стоящих в выделенных hello_html_m5faf1d98.gifстроках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

Примеры

1. Вычислить данный определитель четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:

hello_html_d96d5b7.gif

Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак имеем

Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе hello_html_6be9e7bd.gif нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В hello_html_62b2b4a7.gif единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать hello_html_62b2b4a7.gif по второй строке:hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m12f9dd5.gif


hello_html_64c15cab.gif

hello_html_563e3575.gif

Таким образом окончательно получим

hello_html_4d9db63b.gif

2. Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы

hello_html_m7c93850c.gif

Решение. Будем занулять все, кроме первого, элементы первой строки. С этой целью вычтем из второго, третьего и четвёртого столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2, 3 и 4. Получимhello_html_m797c67c6.gif

hello_html_m6938095e.gif

Представленный в таком виде определитель разложим по первой строке:

hello_html_342cf871.gif

Определитель третьего порядка, к которому свёлся исходный определитель, будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов).

hello_html_m53d4ecad.gif
hello_html_m264a0017.gif






































Практическая работа №2.


Тема: Выполнение операций над матрицами.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по выполнению операций над матрицами. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.

Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.


Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Выполнение операций над матрицами».

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Выполнить практическую работу по выполнению действий над матрицами.

Ответить на контрольные вопросы.

Задание


Выполнить практическую работу по выполнению действий над матрицами.

Вариант 1.

  1. Перемножить матрицы, указать размерность полученной матрицы:

  1. hello_html_ma7d4b4.gif2) hello_html_m6aec108e.gif

3) hello_html_m3a49be66.gif, hello_html_m632b954b.gif 4) hello_html_358c0de5.gif

  1. Транспонировать матрицу: 1)hello_html_5f41cc65.gif 2) hello_html_5f41cc65.gif

  2. Вычислите определитель матрицы по элементам первой строки:

1)hello_html_74c70ee2.gif 2) hello_html_61b35862.gif 3) hello_html_2bb99e0a.gif4) hello_html_52e64be3.gif

4. Вычислить матричный полином P(A), где p(x)= hello_html_m51874610.gif- 3x + 9,

5. Найти алгебраические дополнения матрицы А= hello_html_7325e1f3.gif


Контрольные вопросы:

1.Прямоугольная матрица, ее порядок, главная и побочная диагонали.

2.Единичная, нулевая, треугольная, симметричная, транспонированная матрицы.

3.Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц.

4.Свойства ассоциативности и коммутативности матриц.

5.Приведение матриц к ступенчатому виду методом.

6.Алгебраическое дополнение элемента.

7.Разложение определителя по строке или столбцу.

Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.

Содержание отчета:

1) Наименование и цель практической работы.

  1. Задание.

  2. Формулы и расчеты по ним.

  3. Ответы на контрольные вопросы.



Вариант 2.

1.Перемножить матрицы, указать размерность полученной матрицы:

1) hello_html_m3a49be66.gif, hello_html_m632b954b.gif 2) hello_html_358c0de5.gif

3) hello_html_m14ed59b5.gif, hello_html_f68b268.gif 4)hello_html_m2b53765a.gif

2. Транспонировать матрицу: 1)hello_html_74c70ee2.gif 2) hello_html_61b35862.gif

3. Вычислите определитель матрицы по элементам первой строки:

1)hello_html_m6d91144c.gif 2) hello_html_m2ce48a8c.gif 3) hello_html_6cb237a8.gif 4) hello_html_5f41cc65.gif

4. Вычислить матричный полином P(A), где p(x)= hello_html_m51874610.gif - 2x + 3.

5. Найти алгебраические дополнения матрицы А= hello_html_m1c99dcb4.gif.

Контрольные вопросы:

1.Прямоугольная матрица, ее порядок, главная и побочная диагонали.

2.Единичная, нулевая, треугольная, симметричная, транспонированная матрицы.

3.Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц.

4.Свойства ассоциативности и коммутативности матриц.

5.Приведение матриц к ступенчатому виду методом.

6.Алгебраическое дополнение элемента.

7.Разложение определителя по строке или столбцу.

Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.



Содержание отчета:

    1. Наименование и цель практической работы.

    2. Задание.

    3. Формулы и расчеты по ним.

    4. Ответы на контрольные вопросы.


Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.


Определение. Матрицей из m строк, n столбцов называется прямоугольная таблица чисел hello_html_4503a95e.gif; hello_html_m57ac6976.gif- элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер столбца, j=1,…,n; m, n – порядки матрицы. При m=n hello_html_m3889b1d9.gif- квадратная матрица.

Определение. Алгебраическим дополнение hello_html_f401c9.gif элемента hello_html_m57ac6976.gif называется число, равное hello_html_33a781a5.gif.

Определение. Дополнительным минором hello_html_m4d119dfe.gifэлемента hello_html_m57ac6976.gif матрицы hello_html_121222a.gif называется определитель матрицы n-1-го порядка, полученный из матрицы hello_html_121222a.gif вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

hello_html_7af46679.gif.

Транспонирование матрицы – такое преобразование матрицы, при котором строки становятся столбцами с сохранением порядка следования.

Матрицы, операции над матрицами

Определение. Суммой матриц одного порядка hello_html_m65856abb.gif называется матрица hello_html_edd1cd1.gif с элементами hello_html_fc8d2a2.gif, где hello_html_5e9f6c06.gif

Определение. Произведением матрицы hello_html_718f0f76.gif на число hello_html_m3db117dc.gif называется матрица hello_html_63ebe1ca.gif того же порядка с элементами hello_html_m5c7d4036.gif.

Определение. Произведением матрицы hello_html_83e9af6.gif на матрицу hello_html_6248fdc9.gif называется матрица hello_html_6fc447aa.gif с элементами hello_html_m41039369.gif, где hello_html_5e9f6c06.gif

Примеры

Вычислить выражение hello_html_m2e411bbe.gif, если

hello_html_1175fa4c.gif, hello_html_5853d84a.gif.

Решение. Прежде всего преобразуем матрицу hello_html_718f0f76.gif, используя определение произведения матрицы на число

hello_html_m613b93f2.gif.

Найдём теперь hello_html_3be0e45f.gif. По определению, чтобы получить матрицу hello_html_3be0e45f.gifнебходимо в hello_html_m63aa4fa9.gif поменять местами соответствующие строки и столбцы, таким образом имеем

hello_html_m66ad3008.gif.

Вычислим теперь искомое выражение

hello_html_229f5db2.gif

Вычислить выражение hello_html_52344151.gif, если hello_html_m17336435.gif.

Решение. Выражение hello_html_52344151.gif представляет собой матричный многочлен

hello_html_m310d1286.gif, где hello_html_3e08a571.gif - единичная матрица.

Вычислим последовательно слагаемые этого выражения:

hello_html_4e27fba6.gif,

hello_html_3b8b6f08.gif, hello_html_375bad37.gif.

Подставив всё это в hello_html_52344151.gif, имеем

hello_html_m1b8092e0.gif..

Практическая работа №3.


Тема: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Цель: пользуясь элементарными преобразованиями получить в первых - строках и - столбцах расширенной матрицы единичную матрицу.

Приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по решению систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.

Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.


Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Выполнение операций над матрицами».

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Выполнить практическую работу по решению СЛАУ методом Гаусса.

Ответить на контрольные вопросы.

Выполнить практическую работу по решению СЛАУ.

Задание

Решить системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса, зафиксировав прямой и обратный ход:

1. Решить следующие системы уравнений:

а) hello_html_m7e56e7e4.gif б) hello_html_m1872d986.gif в) hello_html_72543cdf.gif г) hello_html_17ca4be4.gif д) hello_html_72543cdf.gif е) hello_html_m7e56e7e4.gif ж) hello_html_6fce8607.gif з) hello_html_m1872d986.gif


Контрольные вопросы:

1.Понятие СЛАУ.

2. Алгоритм метода Гаусса.

3. Понятие прямого хода.

4. Понятие обратного хода.

Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.

Содержание отчета:

1) Наименование и цель практической работы.

    1. Задание.

    2. Формулы и расчеты по ним.

    3. Ответы на контрольные вопросы.



Практическая работа №4.


Тема: Решение систем n линейных уравнений с n переменными по формулам Крамера.


Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по систем n линейных уравнений с n переменными по формулам Крамера. Повторить и систематизировать знания по данной теме.


Задачи:


развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


Обеспечение практической работы:


Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.


Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2009.


Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2008-380с.


Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.



Ход практического занятия.


1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;


2.Проверка готовности студентов к занятию;


3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Системы n линейных уравнений с n переменными».

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Выполнить самостоятельную работу по решению СЛАУ.

Ответить на контрольные вопросы.



Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.


Метод Крамера.


(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)

Данный метод также применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.

Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.

det A ¹ 0;

Действительно, если какое- либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой- либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое- либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.


Теорема. (Правило Крамера):

Теорема. Система из n уравнений с n неизвестными

hello_html_3f341e0b.gif

в случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, имеет единственное решение и это решение находится по формулам: xi = Di/D, где

D = det A, а Di – определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца i столбцом свободных членов bi.

Di = hello_html_4859d8fd.gif

Пример.

hello_html_25f1555.gif

A = hello_html_40dccdb0.gif; D1= hello_html_76aa21b5.gif; D2= hello_html_41380903.gif; D3= hello_html_m3186e5d9.gif;


x1 = D1/detA; x2 = D2/detA; x3 = D3/detA;


Пример. Найти решение системы уравнений:hello_html_52b6c1b9.gif

D =hello_html_m2725b9da.gif = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D1 = hello_html_2455bda2.gif = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.


x1 = D1/D = 1;

D2 = hello_html_58d46bce.gif = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

x2 = D2/D = 2;

D3 = hello_html_md55a3db.gif = 5( 32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x3 = D3/D = 3.

Если система однородна, т.е. bi = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x1 = x2 = … = xn = 0.

При D = 0 система имеет бесконечное множество решений.

Для самостоятельного решения:

hello_html_m7b87ac84.gif; Ответ: x = 0; y = 0; z = -2.

Выполнить самостоятельную работу по решению систем n линейных уравнений с n переменными по формулам Крамера.


Практическая работа №4.

Вариант 1


1.hello_html_m6dbc16d.gif


2.hello_html_150c13c2.gif


3. hello_html_72543cdf.gif


4. hello_html_72543cdf.gif

Практическая работа №4.

Вариант 2


1.hello_html_139d8bcd.gif


2.hello_html_m4245a632.gif


3. hello_html_17ca4be4.gif


4. hello_html_m1872d986.gif

Контрольные вопросы:

1.Система из “m” линейных уравнений с “n” неизвестными. Векторно-матричная форма записи.

2.Расширенная матрица системы.

3.Однородные и неоднородные системы уравнений.

4.Решение однородной и неоднородной систем по формулам Крамера.

Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.

Содержание отчета:

1) Наименование и цель практической работы.

2) Задание.

3) Формулы и расчеты по ним.

4) Ответы на контрольные вопросы.










Практическая работа №5


Тема: Выполнение операций над векторами.

Цель: научить обучающихся выполнять действия над векторами как направленными отрезками, что важно для применения векторов в физике; познакомить с использованием векторов и метода координат при решении геометрических задач. Проверить умения и закрепить навык преобразования векторов.

Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2010.

Учебник Филимонова Е.В. «Математика». – Ростов- на -Дону.: Феникс, 2011.

Учебное пособие Пахнющий А.А. «Геометрия» –Ставрополь, институт образования, 2012.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.


Теоретический материал и примеры нахождения различных уравнений прямой.


1. Определение векторов

Существует несколько видов определения векторов:

1. Два вектора называют равными, если их соответствующие координаты равны, или же они имеют одинаковую длину и направление (рис.3). Понятие равенства векторов позволяет отвлечься от расположения отрезка на плоскости или в пространстве и выделить длину и направление " в чистом виде".

2. Два вектора одинаковой длины, но противоположного направления, называются противоположными (рис.4). Вектор, противоположный вектору , обозначается через вектор .

3. Векторы называют коллинеарными если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой (рис.5). Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

4. Три вектора считаются компланарными, если соответствующие им направленные отрезки расположены в одной плоскости или же в параллельных плоскостях (рис.6). Векторы компланарны только при условии что точки лежат в одной плоскости.

5. Длиной или модулем вектора называется длина соответствующего направленного отрезка, или расстояние между началом и концом вектора. Обозначается как или .

2. Действия над векторами

1.3.1 Сложение векторов

Суммой векторов и называется вектор .

Теорема: Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство .

Доказательство: Пусть, данные точки. Вектор АВ имеет координаты , вектор ВС имеет координаты . Следовательно вектор АВ+ВС имеет координаты. А это и есть координаты вектора АС. Значит, векторы АВ+ВС и АС равны. Теорема доказана.

Свойства суммы векторов

1. Переместительное свойство: для любых векторов

2. Сочетательное свойство: для любых векторов .

3. Свойство нулевого вектора: для любого вектора

4. Существование и единственность противоположного вектора: для любого вектора существует, и притом только единственный, вектор , такой, что . Вычитание векторов - это операция обратная операции сложения. Вычесть из вектора вектор - значит найти такой вектор, который в сумме с вектором , даст вектор .

3. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведение векторов и называется число .

Теорема: Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними., где - угол между векторами.

Определение. Угол между двумя ненулевыми векторами - это величина образуемого ими угла, когда они отложены от одной точки. Угол между векторами не зависит от выбора той точки, от которой он откладываются.

Раздел 2. Практическая часть

2.1 Решение геометрических задач

Задача 1. Даны 4 точки А (2; 7; - 3), В (1; 0; 3), С (-3; - 4; 5), D (-2; 3; - 1). Укажите среди векторов АВ, ВС, DС, АD, АС и ВD равные векторы

Решение. Надо найти координаты указанных векторов и сравнить соответствующие координаты. Таким образом, векторы АВ и DС равны. Другой парой равных векторов будут ВС и АD.

Задача 2: Даны 4 точки А (0; 1; - 1), В (1; - 1;2), С (3; 1; 0), D (2; - 3;1). Найдите косинус угла между векторами АВ и СD.

Решение Координатами вектора АВ будут 1-0=1, - 1-1=-2, 2- (-1) =3 .

Координатами вектора СD будут 2-3=-1, - 1-3=-4, 1-0=1 .

Задача 3. АВСDА1В1С1D1 - параллелепипед. Докажите, что для всякой точки О выполняется равенство ОА+ОС1 =ОВ1 +ОD=ОА1 +ОС

Решение: Запишем первое из этих равенств ОА+ОС1 =ОВ1 +ОD. Оно равносильно такому ОА-ОD= ОВ1-ОС1, которое в свою очередь равносильно такому DА=С1В1. А последнее равенство в параллелепипеде выполняется. Аналогично доказывается и второе равенство.

Задание:

Вариант 1

Задача №1 Даны точки А(-1;-2;6) и В(1;-1;3). Найдите длину вектора АВ.

Задача №2 Даны точки А(-1;2;4) и В(1;5;-3). Разложите вектор АВ по координатным векторам.

Задача №3 Докажите, что треугольник с вершинами А(5;1), В(1;-3) и С(-1;-1) прямоугольный.

Задача №4 Являются ли векторы коллинеарными а(2;4;6), в(4;8;12)? Дайте определение коллинеарных векторов и компланарных.

Задача №5 Даны две вершины параллелограмма А(-3;-2;2) , В(1;-1;0) и точка пересечения его диагоналей Е(2;0;-1). Определите две другие вершины этого параллелограмма.

Задача №6Даны векторы а(-1;3;-2), в(1;5;-3), с(5;-3;1). Найдите вектор р=(2а-4в)-2с.

Задача №7Доказать, что внутренние углы треугольника А(3;-2;5) , В(-2;1;-3), Р(5;1;-1) острые.

Задача №8Найдите длины диагоналей АС и ВД параллелограмма АВСД, если А(1;-3;0); В(-2;4;-1) и С(-3;1;1).

Задача №9Проверьте, что векторы а(3/7;1/2;-3/4), в(-3/2;6;4/3) и с(9/8;-9/2;-1) компланарны.

Задача №10Известны координаты вершин треугольника: А(-2;-3;8), В(2;1;7), С(1;4;5). Найдите координаты точки пересечения медиан этого треугольника.

Вариант 2

Задача №1Даны точки А(-1;0;6) и В(1;1;3). Найдите длину вектора АВ.

Задача №2Даны точки А(1;2;-4) и В(1;5;-3). Разложите вектор АВ по координатным векторам.

Задача №3Докажите, что треугольник с вершинами А(6;2), В(2;-2) и С(0;2) прямоугольный.

Задача №4Являются ли векторы коллинеарными а(3;4;-6), в(6;8;-12)? Дайте определение коллинеарных векторов и компланарных.

Задача №5Даны две вершины параллелограмма А(-3;-2;-2) , В(1;1;0) и точка пересечения его диагоналей Е(2;1;-1). Определите две другие вершины этого параллелограмма.

Задача №6Даны векторы а(-1;4;-2), в(1;2;-3), с(5;-3;1). Найдите вектор р=(2а-3в)-2с.

Задача №7 Доказать, что внутренние углы треугольника А(1;-2;5) , В(-2;0;-3), Р(5;1;-1) острые.

Задача №8Найдите длины диагоналей АС и ВД параллелограмма АВСД, если А(1;-3;0); В(-2;4;-1) и С(-3;0;1).

Задача №9 Проверьте, что векторы а(3/7;1/2;-3/5), в(-3/2;6;2/3) и с(9/8;-9/2;-1) компланарны.

Задача №10Известны координаты вершин треугольника: А(-3;-3;6), В(2;1;0), С(1;4;-5). Найдите координаты точки пересечения медиан этого треугольника.

Контрольные вопросы:

  1. Понятие вектора.

  2. Виды векторов.

  3. Действия над векторами со свойствами.

Отчет:

  1. Наименование и цель работы.

  2. Формулы и расчеты по ним.

  3. Ответы на контрольные вопросы.









Практическая работа № 6


Тема: Уравнение прямой на плоскости.

Цель: Проверить на практике знание понятия уравнения прямой: нормальное уравнение прямой, стандартное уравнение прямой, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой с угловым коэффициентом, каноническое уравнение прямой, уравнение прямой, проходящей через две данные точки, параметрическое уравнение прямой. Проверить умения и закрепить навык нахождения различных уравнений прямой.

Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебник. Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2010.

Учебник Филимонова Е.В. «Математика». – Ростов- на -Дону.: Феникс, 2011.

Учебное пособие Пахнющий А.А. «Геометрия» –Ставрополь, институт образования, 2012.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.


Теоретический материал и примеры нахождения различных уравнений прямой.

Общие уравнения прямой.

Рассмотрим систему уравнений первой степени

hello_html_m780af245.png

Каждое из этих уравнений является уравнением плоскости. Если эти плоскости не параллельны, то система определяет прямую линию, как линию пересечения двух плоскостей. Эти уравнения называют общими уравнениями прямой.

Параметрические уравнения прямой.

Пусть прямая L задана точкой M1(x1,y1,z1) и направляющим вектором hello_html_m1b59985.pngНаправляющим вектором прямой называется вектор, параллельный этой прямой или лежащей на ней.

hello_html_3d7050c8.png

Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z,) на прямой L и радиусы-векторы hello_html_m680a3f53.png.

Вектор hello_html_48586fd4.pngгде t- множитель, называемый параметром.

Уравнение  hello_html_4698b137.pngназывается векторным уравнением прямой.

Перепишем это уравнение в векторной форме: так как

hello_html_m5405dc07.png,
hello_html_496f8b03.png,
hello_html_346b6fb5.png,

то отсюда получаем:

hello_html_m4174cd06.png
hello_html_m5df22159.png

Полученные уравнение называются параметрическими уравнениями прямой.

Выразим из этих уравнений параметр t :hello_html_5e6db0bd.png

получим каноническое уравнение прямой:hello_html_3afc4d3c.png.

Уравнение прямой проходящее через две точки.

Пусть прямая L проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2). За направляющий векторhello_html_45825e2f.png прямой L примем вектор hello_html_257f1c2a.png:

hello_html_m3e490f71.png

Тогда канонические уравнения этой прямой запишутся так:

hello_html_m20878cb5.png.

Угол между двумя прямыми.

Пусть две прямые в пространстве L1 и L2 заданы уравнениями:

(L1) hello_html_1d8271c6.png
(L2) hello_html_m5d5bd718.png

За угол между двумя прямыми принимают один из смежных углов, которые образуют прямые, проведенные параллельно данным через какую-нибудь точку пространства. Один из этих смежных углов равен углу φ между направляющими векторами hello_html_m13d5e31d.pngданных прямых, так как

hello_html_7331b20c.png

то условие параллельности и перпендикулярности двух прямых запишутся так:

hello_html_1f6692c0.png,
hello_html_m12276421.png.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении.

hello_html_bbb88d1.png

В качестве направляющего вектора возьмем единичный вектор hello_html_143e47b4.png.

Тогда уравнение прямой в каноническом виде запишется так:hello_html_m6ae58633.png
здесь hello_html_m21e0f244.png

Отсюда получаем hello_html_4a128016.png

Обозначим hello_html_6ce57d53.pngтогда hello_html_m59ea6fb9.png
Число k называется угловым коэффициентом прямой.

Вhello_html_31f35a4c.pngычисление угла между двумя прямыми.

Пусть две пересекающиеся в точке M прямые l1 и l2 заданы уравнениями:

hello_html_4dda072c.png.

Пусть прямая l1 образует с осью OX угол α1 , а l2  угол α2

Найдем угол φ. Из рисунка видно, чтоhello_html_238aa37.png и hello_html_57af0a62.png
hello_html_m17cecf2d.png
Так как hello_html_m5fc33f55.pngто hello_html_mb3bfe0e.png

Переход от общих уравнений прямой к каноническим.

Чтобы перейти от общих уравнений прямой к каноническим, нужно найти какую-либо точку M1(x1,y1,z1) на прямой.

Пусть прямая L задана общим уравнением

hello_html_1e8017c.png

Координаты точки М1 находятся как решение системы уравнения, задав одной из координат произвольное значение. За направляющий вектор hello_html_m4b37944.pngможно взять вектор произведения нормальных векторов.

hello_html_m2db7fea5.png

Пример 1.
Написать уравнения прямой, проходящей через две несовпадающие точки M0(x0,y0,z0) и M1(x1,y1,z1).

Решение: За направляющий вектор прямой можно принять
hello_html_m234bd217.png

Следовательно, имеем:hello_html_10cfdd1e.png

Пример 2.
Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M1(1, -2, 3) и параллельной вектору hello_html_m4b37944.png= (2, 4, -5). Найти точку Р прямой, которой соответствует значение t=2.

Решение. Воспользуемся формулами параметрического уравнения прямой. Так как в данном случае
 hello_html_m3ab54d0.pngто параметрические уравнения прямой имеют вид
hello_html_513a284b.pngПри t = 2 получаем  hello_html_m61bf5287.png

На прямой фиксирована точка Р (5, 6, -7).

Пример 3.
Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М1(5, -3, 8) перпендикулярно плоскости 4х + 7у - 8z -3 = 0.

Решение. Поскольку вектор hello_html_m5f19b492.png=(4, 7, -8) перпендикулярен плоскости 4х + 7у -8z -3 = 0, то в силу условия, он будет параллелен искомой прямой. Возьмем на прямой текущую точку M(x,y,z). Тогда векторыhello_html_7353bba2.png и hello_html_m5f19b492.pngколлинеарны. Используя условие коллинеарности векторов, получаем искомое уравнениеhello_html_6707635.png

Пример 4.
Привести общие уравнения прямой hello_html_m748f5e73.pngк каноническому виду.

Решение. Запишем уравнение прямой в канонической форме:

hello_html_3248a3be.png

Точку М1 на прямой найдем, положив в общих уравнениях прямой, например, z1=0:

hello_html_m212641c0.png

Решив эту систему уравнений, получим hello_html_m726a71aa.pngИтак, hello_html_28161227.png
За направляющий вектор прямой возьмем векторное произведение векторовhello_html_58947cdc.png

hello_html_561521fb.png

Поэтому m = 3, n = -5, р = -9.
Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид

hello_html_m507e3bef.png

Пример 5.
Найти угол между двумя прямыми:

hello_html_502b40c1.png

Решение. Первая прямая имеет направляющий вектор hello_html_m599c117b.png= (7, 2, -8) и hello_html_m5b0a3af2.png= (11, -8, -7) -вторая. В соответствии с формулой (3.17) получаем

hello_html_5df86fd8.png

Следовательно, φ = 45°.

Задание:

1. Составить параметрические уравнения прямых, проведенных через точку

M1(5, -4) в каждом из следующих случаев:

а) прямая параллельна прямой hello_html_m29b8d35e.png

2. Написать параметрические уравнения прямой, проведенной через начало координат перпендикулярно плоскости 4х - Зу + 5z -7 = 0.

3. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M1(5, -3, Ö2) и параллельной вектору, образующему с координатными ортами углы hello_html_m10fb2782.pngЛежат ли на этой прямой точки Р(1,-2,3) и Q(4, -4,0)?

4. Найти углы между координатными осями и прямой, проходящей через две точки
hello_html_1774ff14.png

5. Найти углы между двумя прямыми :
hello_html_m7c251719.pngОтчет:

1. Наименование и цель работы.

2. Задание.

3. Формулы и расчеты по ним.

Практическая работа №7


Тема: Расстояние от точки до прямой

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по нахождению расстояния от точки до прямой. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.

Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.


Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Расстояние от точки до прямой».

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Выполнить практическую работу по нахождению расстояния от точки до прямой.

Ответить на контрольные вопросы.


Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.


Определение. Нормальное уравнение прямой называется уравнение вида

Xcosα+Ysinα - p=0

Где р – длинна перпендикуляра, проведенного из начала координат к данной прямой, а α – угол, образованный этим перпендикуляром с осью 0х.

Для приведения общего уравнения прямой Аху+С=0 к нормальному виду следует умножить его члены на нормирующий множитель

hello_html_m53d4ecad.gifμ=hello_html_64cbd9e6.gif

где знак перед радикалом противоположен знаку свободного члена С с общем уравнении прямой.


Определение. Расстояние от точки М000) до прямой Аху+С=0 находиться по формуле

hello_html_addd5f6.gif

Примеры

1)Уравнение прямой 5х-12у+26=0 привести к нормальному виду


Решение. Сначала найдем нормирующий множитель.


hello_html_428611f7.gif

(берется знак «минус», так как С=26>0). Следовательно, нормальное уравнение данной прямой имеет вид

hello_html_md15ec54.gif

2) В треугольнике с вершинами А(-3;10), В(2;5) и С (3;2) найти длину высоты, проведенной из вершины А


Решение. Задача сводится к определению расстояния от точки А до прямой ВС. Запишем уравнение этой прямой

hello_html_56727391.gif, или 3х+у-11=0

Расстояние от точки А(-3;10) до прямой ВС найдем по формуле

hello_html_mcc580c8.gif


Задание


Выполнить практическую работу по нахождению расстояния от точки до прямой.

Вариант 1.

  1. Привести к нормальному виду уравнения следующих прямых:

  1. 4х-3у-15=0 3) 12х-5у+78=0

  2. х-7у+30=0 4) 8х-15у-34=0



  1. Найти расстояние от точки (-1;3) до прямой

3х-4у+40=0

  1. Какая из точек А(8;9), В(-5;-7) и С(-11;-3)ближе всего лежит к прямой:

6х+8у=15=0

  1. Найти длину перпендикуляра проведенного из начала координат к прямой 1) х-у+8=0. 2) 8х-15у-34=0 3)8х-2у-5=0 4) 3х+у+7=0

  2. Известны уравнения сторон треугольника: х+3у-3=0, 3х+у+11=0,

х-у-3=0. Найти длину высоты, которая проведена из вершины, лежащей на оси абсцисс.


Контрольные вопросы:

1.Формула нахождения расстояния между точками.

2.Прямоугольная Декартова система координат.

3.Метод координат на прямой.

Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.

Содержание отчета:

1) Наименование и цель практической работы.

  1. Задание.

  2. Формулы и расчеты по ним.

  3. Ответы на контрольные вопросы.


Вариант 2.

1. Привести к нормальному виду уравнения следующих прямых:

  1. 4х-6у-5=0 3) 12х-5у+45=0

  2. х-7у+36=0 4) 7х-3у-14=0



2.Какая из точек А(3;5), В(-1;0) и С(-14;3)ближе всего лежит к прямой:

6х+8у=15=0



3. Найти расстояние от точки (-1;9) до прямой

3х-4у+44=0

4. Найти длину перпендикуляра проведенного из начала координат к прямой 1) х-у+7=0. 2) 6х-15у-24=0 3)9х-2у-5=0 4) 3х+2у+7=0



5. Найти расстояние от точек А(-3;4) и В(4;2)до прямой 7х-3у-14=0.



Контрольные вопросы:

1.Полярная система координат.

2.Уравнение прямой проходящей через 2 точки.

3.Угловой коэффициент.

Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.



Содержание отчета:

    1. Наименование и цель практической работы.

    2. Задание.

    3. Формулы и расчеты по ним.

    4. Ответы на контрольные вопросы.


Практическая работа №8


Тема: Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по теме «Угловой коэффициент прямой». Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.

Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.


Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Угловой коэффициент прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом и начальной ординатой.»

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Выполнить практическую работу по выполнению действий над «угловыми коэффициентами прямой».

Ответить на контрольные вопросы.


Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.


Определение. Углом наклона прямой к оси Ох называется наименьший угол ϕ, на который нужно повернуть в положительном направлении ось абсцисс до её совпадения с данной прямой.

Направление любой прямой характеризуется её угловым коэффициентом k, который определяется как тангенс угла наклона ϕ этой прямой к оси Ох, т.е k=tg ϕ. Исключение составляет лишь прямая, перпендикулярная оси Ох, которая не имеет углового коэффициента.

Определение. Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент k и пересекающей ось Оу в точке, ордината которой равна b (начальная ордината), записывается в виде y=kx+b.


Примеры

Прямая, проходящая через точку А (-2; 3) образует с осью Ох угол 135. Составить уравнение этой прямой.

Решение. Будем искать уравнение прямой в виде y=kx+b. Угловой коэффициент прямой k=tg 135=-1.

Искомая прямая y=-x+b проходит через точку А (-2; 3), поэтому ее координаты х=-2, у=3 должны удовлетворять уравнению прямой,

т.е 3= -(-2)+b, откуда b=1.

Следовательно, искомое уравнение имеет вид:

y=-x+1, и x+y-1=0.


Задание


Выполнить практическую работу по выполнению действий с угловыми коэффициентами прямой.

Вариант 1.

  1. Вдоль прямой 2х+5у-15=0 направлен луч света, который, дойдя до оси абсцисс, отражается от нее. Написать уравнение отражённого луча.

  2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки :

1)А (2;3) и В (0;1);


  1. Составить уравнение прямой, проходящей через точки

A (-1;2) и В (0;1)

  1. Составить уравнение прямой, которая отсекает на отрицательной полуоси Оу отрезок, равный 2 единицам, и образует с осью Ох угол ϕ=30.

  2. Найти угловой коэффициент каждой из следующих прямых, заданных двумя точками: 1)А (2;5) и В (7;6); 2) С (-3;2) и D (-1;5).

Контрольные вопросы:


1. Угол наклона прямой к оси Ох.


Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.

Содержание отчета:

1) Наименование и цель практической работы.

  1. Задание.

  2. Формулы и расчеты по ним.

  3. Ответы на контрольные вопросы.


Вариант 2.

1. Написать уравнение с угловым коэффициентом и начальной ординатой для прямой 2х+3у+7=0.



2. Найти уравнение прямой, проходящей через точку (0;2) и образующей с осью Ох угол, вдвое больший угла, который составляет с той же осью прямая √3х-y+1=0.


3. Составить уравнение прямой, проходящей через точки :

  1. С (0;-5) и D (-2;-5)



4. Найти угловой коэффициент каждой из следующих прямых, заданных двумя точками: 1) A (1;-3) и В (-2;1); 2)С (3;-4) и D (-3;2).

5. Найти угловой коэффициент каждой из следующих прямых:

  1. х-4у-7=0;

  2. 5х-2у=0;

  3. 3у+5=0.

Контрольные вопросы:


1. Угол наклона прямой к оси Ох.



Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.



Содержание отчета:

    1. Наименование и цель практической работы.

    2. Задание.

    3. Формулы и расчеты по ним.

    4. Ответы на контрольные вопросы.



Практическая работа №9


Тема: Угол между двумя прямыми.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по нахождению углов между прямыми. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.

Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.


Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Угол между двумя прямыми».

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Выполнить практическую работу по нахождению угла между прямыми.

Ответить на контрольные вопросы.


Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.


Определение. Под углом между двумя прямыми понимается один из двух смежных углов, образованных при их пересечении. Тангенс угла φ между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых равны hello_html_5b62d671.gif и hello_html_7840c4b5.gif, вычисляется по формуле

hello_html_m9b0e523.gif, (1)

причем знак "плюс" соответствует острому углу φ, а знак "минус"- тупому.

Заметим, что если хотя бы одна из данных прямых параллельна оси Oy, то формула (1) не имеет смысла. В этом случае острый угол φ вычисляется непосредственно по формуле hello_html_ab3de27.gif, где hello_html_m8a62b51.gif и hello_html_m54ff623d.gif- углы наклона прямых к оси Ox.

Примеры

Найти острый угол между прямыми


hello_html_32788801.gif и hello_html_m4aeeb289.gif

Решение.

Угловые коэффициенты данных прямых таковы:hello_html_14b56caa.gif, hello_html_m68647d28.gif. Тангенс острого угла между этими прямыми найдем по формуле (1):

hello_html_m5a33b7f2.gif

Отсюда φ=hello_html_10896776.gif

Задание


Выполнить практическую работу по нахождению угла между прямыми:

Вариант 1.

1. Вычислить острый угол между прямыми:

1) hello_html_m452c4386.gif и hello_html_m67ee944d.gif

2) hello_html_6db6e06d.gif0 и hello_html_49344258.gif

3) hello_html_m2afcaf73.gif;

4) hello_html_284ea58b.gif.

2. Найти острый угол между прямыми hello_html_6c736fa9.gif и прямой, проходящей через точку hello_html_20d2c0d6.gifи hello_html_4f91ed82.gif.

3. Стороны треугольника заданы уравнением hello_html_m73074be3.gif Найдите углы, которые медиана, проведенная из точки B, образует со сторонами AB и BC.

4. Найти внутренние углы треугольника ABC с вершинами A(1;2), B(2;2), C(0;3).

5. Составить уравнение прямой, проходящей через точу М(-1;2) и составляющий угол hello_html_10896776.gif с прямой hello_html_79b98c02.gif


Контрольные вопросы:

1.Угол между двумя прямыми, определение.

2. Формула нахождения tghello_html_16079b4b.gif.

3. Какому углу соответствуют "+" и "-" в формуле.

4. Формула нахождения угла hello_html_m4000c48.gif

hello_html_m5067a78f.gif

Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.

Содержание отчета:

1) Наименование и цель практической работы.

  1. Задание.

  2. Формулы и расчеты по ним.

  3. Ответы на контрольные вопросы.


Вариант 2.

1. Вычислить острый угол между прямыми:

1) hello_html_m452c4386.gif и hello_html_m67ee944d.gif

2) hello_html_6db6e06d.gif0 и hello_html_49344258.gif

3) hello_html_m2afcaf73.gif;

4) hello_html_284ea58b.gif.

2. Противоположные вершины квадрата находятся в точках В(-2;2) и D(0:-3). Составить уравнения сторон квадратов.

3. Найти острый угол между прямыми hello_html_6c736fa9.gif и прямой, проходящей через точку hello_html_20d2c0d6.gifи hello_html_4f91ed82.gif.

4. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС даны вершина острого угла А(1;3) и уравнение противолежащего катета:

hello_html_m6986a3c9.gif

Составить уравнение двух других сторон треугольника.

5. Найти острый угол между прямыми hello_html_m50a874e1.gif и прямой, проходящей через точку hello_html_57b853b2.gifи hello_html_2714bc2e.gif.

Контрольные вопросы:

1.Угол между двумя прямыми, определение.

2. Формула нахождения tghello_html_16079b4b.gif.

3. Какому углу соответствуют "+" и "-" в формуле.

4. Формула нахождения угла hello_html_m4000c48.gif

hello_html_m5067a78f.gif


Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.



Содержание отчета:

    1. Наименование и цель практической работы.

    2. Задание.

    3. Формулы и расчеты по ним.

    4. Ответы на контрольные вопросы.


Практическая работа №10


Тема: Уравнение прямой проходящей через две точки.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по теме Уравнение прямой проходящей через две точки. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.

Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.


Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Уравнение прямой проходящей через две точки».

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Выполнить практическую работу по выполнению заданий по данной теме.

Ответить на контрольные вопрос.

Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.


Определение. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x1, y1) и B(x2, y2), записывается так: hello_html_e79960e.gif

Определение. Если точка A и B определяют прямую, параллельную оси Ох(hello_html_7bdbf846.gif

hello_html_m5fb6e8f6.gifили оси Оy (hello_html_1685fd54.gif), то уравнение такой прямой записывается соответственно в виде: hello_html_6e8ca1ef.gif или hello_html_m1970ec12.gif

Примеры

Составим уравнение прямой, проходящей через точки А(-3;5) и В(7;-2)

Решение:

Воспользуемся уравнением (1):

hello_html_m31fe009.gif или hello_html_m1929dff0.gif

Откуда

7x+10y-29=0

Проверим, лежат ли точки A(5;2), B(3;1) и C(-1;-1) на одной прямой

Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и С:

hello_html_3d25d9b7.gif или hello_html_2141abc1.gif

Подставляем в это уравнение координаты точки B(hello_html_m1a71e2d4.gif, получим

hello_html_5d5b2ab8.gif, т. е. hello_html_m188534bd.gif. Таким образом, координаты точки В удовлетворяют уравнению прямой АС, т.е. В ϵ АС

Задание


Выполнить практическую работу по составлению уравнений прямой, проходящей через две точки

Вариант 1.

  1. Составить уравнение прямой, проходящей через точки:

  1. A(4;-1) и B(-2;-9)

  2. C(0;3) и D(-4;2)

  3. E(-3;7) и F(-3;-5)

  4. K(9;-2) и L(-3;-2)

  1. Даны координаты вершин треугольника: M(-1;3), N(4;-2), P(0;-5)

Составить уравнение его сторон.

  1. Проверить, лежат ли на одной прямой три данные точки:

  1. A(-2;-7), B(1;-1), C(4;5)

  2. D(-2;9), E(2;-7), F(0;1)

  3. K(-1;-1), L(-3;-7), M(2;7)

  1. Найти ординату точки P(5;y), лежащей на одной прямой с точками M(-1;8)

и N(2;-1).

5.Найдите длину биссектрисы угла А треугольника с вершинами А(4;-2), В(7;-2), С(4;5).

Контрольные вопросы:

1. Какой вид имеет уравнение прямой, проходящей через две заданные точки?

2. Что называется уравнениями линии на плоскости?

3. Какой смысл имеют коэффициенты при неизвестных в общем уравнении прямой?

4. Какой вид имеет уравнение прямой с угловым коэффициентом?

5. Как найти угловой коэффициент прямой?

Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.

Содержание отчета:

1) Наименование и цель практической работы.

  1. Задание.

  2. Формулы и расчеты по ним.

  3. Ответы на контрольные вопросы.



Вариант 2.

  1. Напишите уравнение прямой, проходящей через две данные точки:

1) А (1; -1) и В (-3; 2)

2) С (2; 5) и D (5; 2)

3) М (0; 1) и N (-4; -5).

  1. Вершины четырехугольника имеют координаты P(1;0), Q(2;hello_html_m466849b0.gif, R(5;2), S(6;-1). Найти точку пересечения его диагоналей.

  2. Проверить, лежат ли три данные точки на одной прямой:

1) А (3; -7; 8), В (-5; 4; 1), С (27; -40; 29)

2) A (-5; 7; 12), В (4; -8; 3), С (13; -23; -6)

3) A (-4; 8; -2), В ( - 3; -1; 7), С (-2; -10; -16)

  1. Найти точку M(x;y), лежащую на прямой, проведенной через точки

P(1;-7) и Q(-2;5), если координаты искомой точки равны между собой.

  1. Треугольник ABC задан координатами своих вершин: А(-3;4), B(-9;6),

и C(5;2).Составить уравнение средней линии, параллельной стороне AC.

Контрольные вопросы:

1. Какой вид имеет уравнение прямой в отрезках на осях?

2. Какой вид имеет уравнение пучка прямых?

3. Какие координатные четверти пересекает прямая, если k<0, b<0?

4. Как привести уравнение с угловым коэффициентом к общему уравнению прямой?

5. Как можно найти точку пересечения двух прямых?

Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.



Содержание отчета:

    1. Наименование и цель практической работы.

    2. Задание.

    3. Формулы и расчеты по ним.

    4. Ответы на контрольные вопросы



Практическая работа №11

Тема: Вычисление кривых второго порядка (окружность, эллипс, гипербола парабола)

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний Кривых второго порядка. Уметь составлять общих уравнений и путем преобразований переходить к каноническим уравнениям. Повторить и систематизировать знания по данной теме.


Задачи:


развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


Обеспечение практической работы:


Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.


Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2009.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.


Ход практического занятия.


1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Кривые второго порядка».

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Выполнить практическую работу по составлению и исследованию уравнений окружности, эллипса, гиперболы и параболы».

Ответить на контрольные вопросы.

Выполнить практическую работу по исследованию кривых второго порядка.


Вариант 1

1. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке S и данным радиусом r: S (4; -7), r=5;

2. Для указанных окружностей определить координаты центра S и радиус r:

а) hello_html_43d82e28.gif б) hello_html_m49f0fd69.gif

3. Составить уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку М (2; 1).

4. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов:hello_html_m646091b0.gif

5. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы: а)hello_html_3524fbc3.gif б) hello_html_3184321f.gif

6. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для параболы hello_html_m63bbf72b.gif

7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, зная координаты фокуса: F ( 0; 4).

Вариант 2

1. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке S и данным радиусом r: S (-6; 3), r=hello_html_m789c5e7.gif

2. Для указанных окружностей определить координаты центра S и радиус r:

а) hello_html_m19cbd245.gif б) hello_html_m4e0cdd50.gif

3. Окружность, касающаяся осей координат, проходит через точку М (-2: -4). Написать её уравнение.

4. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов: hello_html_26dc09b.gif

5. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы: а)hello_html_3524fbc3.gif б) hello_html_706da49d.gif

6. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для параболы hello_html_m1194e554.gif

7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, зная координаты фокуса: F (0; - 3).

Вариант 3

1. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке S и данным радиусом r: S (4; -7), r=5;

2. Для указанных окружностей определить координаты центра S и радиус r: а)hello_html_m49f0fd69.gif

б) hello_html_m4e0cdd50.gif

3. Составить уравнение окружности касающейся координатных осей и лежащей в IV четверти, если ее радиус равен hello_html_m2c77b1d5.gif.

4. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов: hello_html_2a5b4def.gif

5. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы: а)hello_html_17515219.gif б) hello_html_493f67c4.gif

6. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для параболы hello_html_m79c36415.gif

7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, зная координаты фокуса: F (6; 0).

Вариант 4

1. Составить уравнение окружности с центром в заданной точке S и данным радиусом r: S (-6; 3), r=hello_html_m789c5e7.gif

2. Для указанных окружностей определить координаты центра S и радиус r:

а)hello_html_3b17d9bf.gif б)hello_html_5f88bf7c.gif

3. Составить уравнение окружности касающейся координатных осей и лежащей в IV четверти, если ее радиус равен 2.

4. Найти координаты вершин, оси, фокусы и эксцентриситет эллипсов: hello_html_m4c94851f.gif

5. Найти координаты вершин, оси, фокусы, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы:

а) hello_html_493f67c4.gif б) hello_html_3524fbc3.gif

6. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для параболы hello_html_1c59ded7.gif

7. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, зная координаты фокуса: F (-2,5; 0).


Контрольные вопросы:

1.Определение кривых второго порядка: окружность, парабола, гипербола, эллипс.

2. Написать канонические уравнения для каждой кривой.

3.Описать каждую кривую с рисунком.

Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.

Содержание отчета:

1) Наименование и цель практической работы.

2) Задание.

3) Формулы и расчеты по ним.

4) Ответы на контрольные вопросы.







Практическая работа № 8

Решение дифференциальных уравнений первого порядка.

Цель работы: научиться решать дифференциальные уравнения первого

порядка.

Содержание работы.

Основные понятия.

1 Дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие искомые

функции, их производные различных порядков и независимые переменные.

2 Порядком дифференциального уравнения называется наивысший поря-

док, входящих в него производных.

3 Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество

функций y = f (x) + C, которые удовлетворяют данному уравнению. Такое мно-

жество функций называется общим решением дифференциального уравнения.

4 Частное решение дифференциального уравнения — это решение, не

содержащее произвольных постоянных

5 Обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка с одной

неизвестной функцией называется соотношение F (x, у, у') = 0 между независи-

мым переменным х, искомой функцией у и её производной

6 Если уравнение может быть разрешено относительно производной, то

получается уравнение y' = f (x, у), разрешенное относительно производной.

7 Дифференциальные уравнения f(y) dy = g(x) dx называют уравнениями

с разделенными переменными

8 Линейное уравнение первого порядка – это уравнение вида:

9 Если q(x) = 0, то уравнение называется однородным, если q(x) ≠ 0, то

уравнение неоднородное

Задание

Исходные данные:

Решить дифференциальное уравнение y ' cos2 x y tgx .

Решение:


Обязательная контрольная работа №1


Практическая работа № 5.

Определение сходимости рядов по признаку Даламбера;

определение сходимости знакопеременных рядов;

разложение функций в ряд Маклорена.

Цель занятия: изучить методы определения сходимости

ряда

Теоретическая часть:


Вывод: ряд сходится.

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение понятию «числовой ряд»

2. Сформулируйте признак Даламбера

3. Сформулируйте признак Коши

Практическая часть:

Найдите первых пять членов последовательности по

известному общему:


















Практическая работа №25


Тема: Дифференцирование сложных функций. Дифференцирование неявной функции.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по нахождению дифференциалов сложных функций. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.

Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.


Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме "Дифференцирование сложных функций" и "Дифференцирование неявной функции".

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Выполнить практическую работу по нахождению дифференциала функции.

Ответить на контрольные вопросы.










Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.

Дифференцирование сложных функций.


Если hello_html_m77a01162.gif дифференцируемая функция аргументов x и y, а x и y дифференцируемые функции аргумента hello_html_m84d9a77.gif находится по формуле

hello_html_2fb2163b.gif (1)

или hello_html_32d1dcd8.gif.

Если hello_html_m77a01162.gif- дифференцируемая функция аргументов x и y, а x и y, в свою очередь, являются дифференцируемыми функциями аргументов u и hello_html_363157c7.gif, то частные производные сложной функции hello_html_20cc099c.gif находятся по формулам

hello_html_m7774be2c.gif

или

hello_html_m64c26bfd.gif

По аналогичным правилам вычисляются производные сложных функций, зависящих от большего числа аргументов.

Примеры:

Дано hello_html_2fbccb57.gif ,где hello_html_1c4a650c.gif. Найти hello_html_2df1a323.gif.


hello_html_32788801.gif и hello_html_m4aeeb289.gif

Решение. По формуле (1) находим

hello_html_m60a6bc3.gif

Дифференцирование неявной функции

Пусть переменная z есть не явно заданная функция независимых переменных x и y, определяемая уравнением F(x, y z)=0, причем F(x, y z)≠0. Тогда неявная функция z=z(x, y) так же является дифференцируемой и её частные производные находятся по формулам.

hello_html_650e040a.gif (1)

В частности, если переменная y есть новая функция одной переменной x, заданная уравнением F(x, y)=0, то

hello_html_m2f7b7e21.gif (2)

Примеры:

Найти производную неявной функции y, заданной уравнением

hello_html_m5fe0676b.gif

Решение. Здесь hello_html_7b059c1e.gif Так как

hello_html_m6f76d9bb.gif, то по формуле (2) имеем

hello_html_m27e12801.gif



Задание


Выполнить практическую работу по нахождению дифференциала функции:

Вариант 1.

Найти указанные производные

1. hello_html_m41adefbd.gif

2. hello_html_m5d4fafa3.gif

3. hello_html_675efe0c.gif

4. hello_html_m2f5feaee.gif

5. hello_html_m660260ec.gif

6. hello_html_mf096418.gif


Контрольные вопросы:

1. Формула нахождения полной производной сложной функции.

2. Формула нахождения частной производной сложной функции.

3. Формула нахождения частной производной неявной функции.



Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.

Содержание отчета:

1) Наименование и цель практической работы.

  1. Задание.

  2. Формулы и расчеты по ним.

  3. Ответы на контрольные вопросы.


Вариант 2.

1. hello_html_1b1429e7.gif

2. hello_html_m446c383f.gif

3. hello_html_20693f72.gif

4. hello_html_m5dfdfeec.gif

5. hello_html_mba103d1.gif

6. hello_html_4427c27b.gif




Контрольные вопросы:

1. Формула нахождения полной производной сложной функции.

2. Формула нахождения частной производной сложной функции.

3. Формула нахождения частной производной неявной функции.


Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.



Содержание отчета:

    1. Наименование и цель практической работы.

    2. Задание.

    3. Формулы и расчеты по ним.

    4. Ответы на контрольные вопросы.



Практическая работа №2.


Тема: Вычисление неопределенных интегралов.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по вычислению неопределенных интегралов. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2011.

Щипачев В.С. Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2012 - 480с.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2010-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.


Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

Изучить теоретический материал по теме «Вычисление неопределенных интегралов».

Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

Выполнить практическую работу по вычислению неопределенных интегралов.

Ответить на контрольные вопросы.


Теоретические сведения и методические рекомендации по решению задач.


Определение. Функция F(х) называется первообразной для функции f(х), если F’(x)=f(х) (или dF(x)=f(x)dx)

Определение. Любая непрерывная функция f(x) имеет бесконечное множество первообразных, которые отличаются друг от друга постоянным слагаемым.

Определение. Общее выражение F(x)+C совокупности всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции:

ʃf(x)dx=F(x)+C, если d(F(x)+C=f(x)dx


Основные свойства неопределенного интеграла


  1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а дифференциал от него равен подынтегральному выражение:

(ʃ f(x)dx)’=f(x); d(ʃ f(x)dx=f(x)dx


  1. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

ʃ df(x)=f(x)+C


  1. Постоянный множитель можно выносит за знак неопределенного интеграла:

ʃ k(x)dx=k ʃ f(x)dx


  1. Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от слагаемых функций;

ʃ [f1(x)±f2(x)]dx= ʃ f1(x)dx± ʃ f2(x)dx


  1. Если а – постоянная, то справедливы формулы

hello_html_m423b3f89.gif


Таблица простейших интегралов


1) hello_html_m75a66ac3.gif 2)hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m373580ba.gif

hello_html_69531938.gifhello_html_m4fc5f143.gif

hello_html_57a2b9c9.gifhello_html_7da8ebec.gif

hello_html_31634599.gifhello_html_3adcfe52.gif

hello_html_4009a2e7.gifhello_html_1ffb4bf4.gif

hello_html_md797a38.gifhello_html_m6f09dd2.gif



Определение. Проинтегрировать функцию f(x) – значит найти ее неопределенны интеграл. Неопределенное интегрирование основано на прямом использовании основных свойств неопределенного интеграла и таблицы простейших интегралов.


Примеры.

Найти интегралы:

hello_html_6af42dfc.gifhello_html_me1877b7.gifhello_html_291d16f6.gif



hello_html_m3952708b.gifhello_html_m685ed0ab.gif

Решение 1. Разделим почленно числитель и знаменатель; в результате подынтегральная функция окажется суммой трех слагаемых, каждое из которых проинтегрируем.

hello_html_1d9fdba2.gif

Заметим, что произвольные постоянные, получаются при интегрировании каждого слагаемого, здесь объединены в одну произвольную постоянную С.


2. Вычитая и прибавляя числитель подынтегральной функции число 9, получим

hello_html_me71dba0.gif


3. Возводя в квадрат и интегрируя каждое слагаемое, имеем:

hello_html_42339444.gif


4. Использую тригонометрическую формулу hello_html_1b3ba91e.gif находим

hello_html_109ed9da.gif


5.Здесь следует воспользоваться формулой понижения степени

hello_html_4ee928e8.gifоткуда получаем


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m48de5544.gif


Задание

Найти интегралы

Вариант 1.

1. hello_html_116d1d7b.gif hello_html_5779c72f.gif hello_html_m5d51eeae.gif hello_html_79425149.gif


2. hello_html_m5f4b101f.gif hello_html_6aa6d8f3.gif


3. hello_html_4c2ecec8.gifhello_html_m53d4ecad.gif hello_html_b41bf85.gif


4. hello_html_7d256751.gif hello_html_172fd4b5.gif


5. hello_html_m17628a90.gif hello_html_m6e1d687c.gif

Контрольные вопросы:

1.Сформулируйте определение первообразной функции y = f(x) .

2.Что называется неопределенным интегралом функции f(x)?

3.Перечислите  теоремы о первообразных.



Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.

Содержание отчета:

1) Наименование и цель практической работы.

  1. Задание.

  2. Формулы и расчеты по ним.

  3. Ответы на контрольные вопросы.



Вариант 2.

Найти интегралы






1. hello_html_m66cd8bc5.gifhello_html_1fb4be71.gifhello_html_5847a8f7.gifhello_html_29395ed6.gif


2. hello_html_36ac6093.gif hello_html_21300b42.gif


3. hello_html_5fed4855.gifhello_html_m53d4ecad.gif hello_html_5d22df8f.gif


4. hello_html_m38ca20ab.gif hello_html_m3e4b25de.gif


5. hello_html_68b38d46.gif hello_html_m4f449fe1.gif



Контрольные вопросы:

1.Приведите примеры двух различных первообразных для одной и той же функции f(x).

2. Что такое первообразная функция?

3. Перечислите основные свойства интеграла.

Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.



Содержание отчета:

    1. Наименование и цель практической работы.

    2. Задание.

    3. Формулы и расчеты по ним.

    4. Ответы на контрольные вопросы.



Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 15.08.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров248
Номер материала ДA-005998
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх