Контрольные и самостоятельные работы по всем темам геометрии 10-11.

Контрольная работа № 1

«Параллельность прямой и плоскости»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

1.   Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости α.  Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках E и F соответственно.

а)   Каково взаимное расположение прямых  EF и АВ?

б)   Чему равен угол между прямыми  EF и АВ, если угол АВС равен 150⁰? Ответ обоснуйте.

2.   Дан пространственный четырёхугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD равны. Середины сторон этого четырёхугольника соединены последовательно отрезками.

а)   Выполните рисунок к задаче.

б)   Докажите, что полученный четырёхугольник – ромб.

1.   Треугольники АВС и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Р – середина стороны AD, точка К – середина DC.

а)   Каково взаимное расположение прямых  РК и АВ?

б)   Чему равен угол между прямыми  РК и АВ, если угол АВС равен 40⁰ и угол ВСА равен 80⁰? Ответ обоснуйте.

2.   Дан пространственный четырёхугольник ABCD, М и N – середины сторон АВ и ВС соответственно, точка Е принадлежит стороне CD, точка К принадлежит стороне DA, DE : EC = 1 : 2, DK : KA = 1 : 2.

а)   Выполните рисунок к задаче.

б)   Докажите, что четырёхугольник MNEK – трапеция.

Контрольная работа № 2

«Параллельность прямых и плоскостей»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

1.   Прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скрещивающимися? Сделайте рисунок для каждого возможного случая.

2.   Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А₁ и А₂ соответственно, прямая m – в точках В₁ и В₂. Найдите длину отрезка А₂В₂, если А₁В₁ = 12 см, В₁О : ОВ₂ = 3 : 4.

3.   Изобразите параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M, N  и  К, являющиеся серединами рёбер АВ, ВС  и  DD₁.

1.   Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скрещивающимися? Сделайте рисунок для каждого возможного случая.

2.   Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А₁ и А₂ соответственно, прямая m – в точках В₁ и В₂. Найдите длину отрезка А₁В₁,если А₂В₂ = 15 см,    ОВ₁ : ОВ₂ = 3 : 5.

3.   Изобразите тетраэдр DABC и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M и N , являющиеся серединами рёбер DС  и ВС, и точку К, принадлежащую прямой DA, такую, что АК : КD = 1 : 3.

Контрольная работа № 3

«Перпендикулярность  прямых и плоскостей»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

1.   Диагональ куба равна 6 см. Найдите:

а)   ребро куба;

б)   косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

2.   Сторона AB ромба ABCD равна а, один из углов ромба равен 60⁰. Через сторону AB проведена плоскость α на расстоянии а/2 от точки D.

а)   Найдите расстояние от точки С до плоскости α.

б)   Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DАВМ, где М принадлежит плоскости α.

в)   Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью α.

1.   Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, диагональ параллелепипеда равна  см, а его измерения относятся как 1 : 1 : 2. Найдите:

а)   измерения параллелепипеда;

б)   синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

2.   Сторона квадрата ABCD равна а. Через сторону AD проведена плоскость α на расстоянии  а/2 от точки В.

а)   Найдите расстояние от точки  С до плоскости α.

б)   Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла ВАDМ, где М принадлежит плоскости α.

в)   Найдите синус угла между плоскостью квадрата и плоскостью α.

Контрольная работа № 4

«Многогранники»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

1.   Основанием пирамиды DABC является правильный треугольник ABC, сторона которого равна а. Ребро DА перпендикулярно к плоскости ABC, а плоскость BCD составляет с плоскостью ABC угол 30⁰. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2.   Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является ромб ABCD, сторона которого равна а и угол равен 60⁰. Плоскость АC₁D₁ составляет с плоскостью основания угол 60⁰. Найдите:

а)   высоту ромба;

б)   высоту параллелепипеда;

в)   площадь боковой поверхности параллелепипеда;

г)   площадь поверхности параллелепипеда.

1.   Основанием пирамиды МABCD является квадрат ABCD, ребро МD перпендикулярно к плоскости основания, AD = DМ = а. Найдите площадь поверхности пирамиды.

2.   Основанием прямого параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ является параллелограмм ABCD, стороны которого равны 2а и , острый угол равен 45⁰. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите:

а)   меньшую высоту параллелограмма;

б)   угол между плоскостью АВС₁ и плоскостью основания;

в)   площадь боковой поверхности параллелепипеда;

г)   площадь поверхности параллелепипеда.

Самостоятельная работа № 1

«Аксиомы стереометрии и их следствия»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

1.   Даны четыре точки, из которых три лежат на одной прямой. Верно ли утверждение, что все четыре точки лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

2.   а)   Докажите, что все вершины четырёхугольника ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали АС и BD пересекаются.

       б)   Вычислите площадь четырёхугольника, если его диагонали АС и BD  взаимно перпендикулярны, АС = 10  см,  BD = 12 см.

1.   Даны две пересекающиеся прямые. Верно ли утверждение, что все прямые, пересекающие данные, лежат в одной плоскости? Ответ обоснуйте.

2.   а)   Дан прямоугольник ABCD, О – точка пересечения его диагоналей. Известно, что точки А, В и О лежат в плоскости α. Докажите, что точки С и D также лежат в плоскости α.

      б)   Вычислите площадь прямоугольника, если АС = 8 см, < АОВ = 60⁰.

Самостоятельная работа № 2

«Параллельность прямых,  прямой и плоскости»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

Дан треугольник АВС, Е є АВ, К є ВС,

ВЕ : ВА = ВК : ВС = 2 : 5.

Через прямую АС проходит плоскость α,

 не  совпадающая  с плоскостью треугольника АВС.

а)   Докажите, что ЕК || α.

б)   Найдите длину отрезка АС, если ЕК = 4  см

Дан треугольник АВС, М є АВ, К є ВС,

ВМ : МА = 3 : 4.

Через  прямую МК проходит плоскость α,

параллельная прямой  АС.

а)   Докажите, что ВС : ВК = 7 : 3.

б)   Найдите длину отрезка МК, если АС = 14  см.

Самостоятельная работа № 3

«Перпендикулярность прямой и плоскости»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

1.   Прямая АВ перпендикулярна плоскости α, М и К – произвольные точки плоскости α. Докажите, что АВ перпендикулярна прямой МК.

2.   Треугольник АВС правильный, точка О – его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости АВС.

а)   Докажите, что МА = МВ = МС.

б)   Найдите МА, если АВ = 6 см, МО = 2 см.

1.   Прямая  МА перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Докажите, что МА  перпендикулярна прямой ВС.

2.   Четырёхугольник АВСD – квадрат, точка О – его центр. Прямая  ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата.

а)   Докажите, что МА = МВ = МС = MD.

б)   Найдите МА, если АВ = 4 см, ОМ = 1 см

Самостоятельная работа № 4

«Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

Из точки М проведён перпендикуляр МВ, равный 4 см, к плоскости прямоугольника АВСD. Наклонные МА и МС образуют с плоскостью прямоугольника углы 45⁰ и 30⁰ соответственно.

а)   Докажите, что треугольники МАD и МСD прямоугольные.

б)   Найдите стороны прямоугольника.

в)   Докажите, что треугольник ВDС является проекцией треугольника МDС на плоскость прямоугольника, и найдите его площадь.

Из точки М проведён перпендикуляр МD, равный 6 см, к плоскости квадрата АВСD. Наклонная МВ образует с плоскостью квадрата угол 60⁰.

а)   Докажите, что треугольники МАВ и МСВ прямоугольные.

б)   Найдите сторону квадрата.

в)   Докажите, что треугольник АВD является проекцией треугольника МАВ на плоскость квадрата, и найдите его площадь.

Самостоятельная работа № 5

«Понятие многогранника. Призма»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

Сторона основания правильной четырёхугольной призмы равна а, диагональ призмы образует с плоскостью основания угол 45⁰. Найдите:

а)   диагональ призмы;

б)   угол между диагональю призмы и плоскостью боковой грани;

в)   площадь боковой поверхности призмы;

г)   площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания.

Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна а и образует с плоскостью боковой грани угол 30⁰. Найдите:

а)   сторону основания призмы;

б)   угол между диагональю призмы и плоскостью основания;

в)   площадь боковой поверхности призмы;

г)   площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через диагональ основания параллельно диагонали призмы.

Самостоятельная работа № 6

«Пирамида»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

Высота правильной треугольной пирамиды равна , радиус окружности, описанной около её основания, . Найдите:

а)   апофему пирамиды;

б)   угол между боковой гранью и основанием;

в)   площадь боковой поверхности;

г)   плоский угол при вершине пирамиды.

Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна , высота пирамиды равна . Найдите:

а)   сторону основания пирамиды;

б)   угол между боковой гранью и основанием;

в)   площадь поверхности пирамиды;

г)   расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани

Контрольная работа № 1

«Координаты точки и координаты вектора»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

1.   ВАРИАНТ  1

1.   Найдите координаты вектора , если А(5; −1; 3), В(2; −2; 4).

2.   Даны векторы . Найдите .

3.   Изобразите систему координат Oxyz и постройте точку

А(1; −2; −4). Найдите расстояние от этой точки до координатных плоскостей.

1.   Найдите координаты вектора , если С(6; 3; −2), D(2; 4; −5).

2.   Даны векторы . Найдите .

3.   Изобразите систему координат Oxyz и постройте точку

В(−2; −3; 4). Найдите расстояние от этой точки до координатных       плоскостей.

Контрольная работа № 2

«Скалярное произведение векторов. Движения»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

1.   Вычислите скалярное произведение векторов  и , если ,  угол между векторами  и  равен 60⁰, .

2.   Дан куб  ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите  угол между прямыми AD₁ и ВМ, где М – середина ребра  DD₁.

3.   При движении прямая а отображается на прямую а₁, а плоскость α – на плоскость α₁. Докажите, что, если а||α, то а₁||α₁.

1.   Вычислите скалярное произведение векторов  и , если , , угол между векторами  и  равен 60⁰, .

2.   Дан куб  ABCDA₁B₁C₁D₁. Найдите угол между прямыми АС и DC₁.

3.   При движении прямая а отображается на прямую а₁, а плоскость α – на плоскость α₁. Докажите, что, если , то .

Контрольная работа № 3

«Цилиндр, конус и шар»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

ВАРИАНТ  1

1.   Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна  см². Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

2.   Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120⁰. Найдите: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30⁰; б) площадь боковой поверхности конуса.

3.   Диаметр шара равен 2т. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45⁰ к нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью

ВАРИАНТ  2

1.   Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 4 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

2.   Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 30⁰. Найдите: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60⁰; б) площадь боковой поверхности конуса.

3.   Диаметр шара равен 4т. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30⁰ к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Контрольная работа № 4

«Объём призмы, цилиндра, пирамиды и конуса»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

1.   Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 60⁰. Найдите объём пирамиды.

2.   В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 60⁰. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью её основания угол 45⁰. Найдите объём цилиндра.

1.   Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с плоскостью основания угол 60⁰. Найдите объём пирамиды.

2.   В конус вписана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 30⁰. Боковая грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол 45⁰. Найдите объём конуса.

Контрольная работа № 5

«Объём шара и площадь сферы»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

1.   Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол 60⁰. Найдите отношение объёмов конуса и шара.

2.   Объём цилиндра равен  см³, площадь его осевого сечения – 48 см². Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.

1.   В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса.

2.   Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат. Найдите отношение объёмов шара и цилиндра.

Самостоятельная работа № 1

«Координаты точки и координаты вектора»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

1.   Даны векторы  и . Найдите координаты вектора .

2. Даны векторы . Найдите координаты вектора .

3. Найдите значения  и , при которых векторы  и    коллинеарны.

1.   Даны векторы  и . Найдите координаты вектора .

2. Даны векторы . Найдите координаты вектора .

3. Найдите значения  и , при которых векторы  и   коллинеарны.

Самостоятельная работа № 2

«Скалярное произведение векторов»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

ВАРИАНТ  1

1.      Даны векторы  и . Вычислите .

2.   Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если .

ВАРИАНТ  2

1.   Даны векторы  и . Вычислите .

2.   Вычислите угол между прямыми АВ и CD, если .

Самостоятельная работа № 3

«Цилиндр»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

АРИАНТ  1

1.   Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом, диагональ которого равна 10 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2.   Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу в 120⁰. Высота цилиндра равна 5 см, радиус цилиндра  см. Найдите площадь сечения.

1.   Развёртка боковой поверхности цилиндра является прямоугольником, диагональ которого равна 8 см., а угол между диагоналями 30⁰. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

2.   Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть квадрат. Эта плоскость отсекает от окружности основания дугу в 90⁰. Радиус цилиндра равен 4 см. Найдите площадь сечения.

Самостоятельная работа № 4

«Объём прямоугольного параллелепипеда»

ВАРИАНТ  1

ВАРИАНТ  2

1.   Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2,5 см, 5 см и 5 см. Найдите ребро куба, объём которого в два раза больше объёма данного параллелепипеда.

2.   Найдите объём прямой призмы АВСА₁В₁С₁, если угол АСВ равен 90⁰, угол ВАС равен 30⁰, АВ = а, СВ = ВВ₁.

1.   Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, 6 см и 6 см. Найдите ребро куба, объём которого в три раза больше объёма данного параллелепипеда.

2.   Найдите объём прямой призмы АВСА₁В₁С₁, в которой угол АСВ равен 90⁰, АВ = ВВ₁ = а, АС = СВ.

Самостоятельная работа № 5

«Объём наклонной призмы, пирамиды и конуса»

ВАРИАНТ  1

Найдите объём правильной треугольной пирамиды с боковым ребром l = 10 см, если боковое ребро составляет с плоскостью основания угол, равный 30⁰.

ВАРИАНТ  2

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, если её высота Н = 10 см, а двугранный угол при основании равен 60⁰.