Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Координаты вектора на плоскости (теоретическая подборка)

библиотека
материалов

Координаты вектора на плоскости

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы hello_html_m17e5fcb8.gif и hello_html_m4ba9e958.gif:

hello_html_5ec162f8.jpg

Векторы hello_html_m17e5fcb8.gif и hello_html_m4ba9e958.gif ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.  

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: hello_html_6ab5f4c.gif.

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Любой вектор hello_html_m14956daf.gif плоскости единственным образом выражается в виде:
hello_html_ddb271b.gif, где hello_html_m90b6cd5.gif – числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение hello_html_ddb271b.gif называется разложением вектора hello_html_m14956daf.gif по базису hello_html_m2634da70.gif.

hello_html_1e42019b.jpg

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть. Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии.

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости hello_html_m23a3d70d.gif и hello_html_m43118393.gif, то вектор hello_html_63db5e27.gif имеет следующие координаты:
hello_html_m7fc4bfe1.gif

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Пример 1

Даны две точки плоскости hello_html_m510cb3a2.gif и hello_html_20386868.gif. Найти координаты вектора hello_html_63db5e27.gif

Решение: по соответствующей формуле:
hello_html_5db19a75.gif

Ответ: hello_html_42f66235.gif

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов hello_html_233a9caf.jpg

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису hello_html_m2634da70.gif, в данном случае hello_html_319f417c.gif. Любой вектор является свободным, поэтому при необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости. Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис.

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: hello_html_m140b0df9.gif, а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу.

Пример 2

а) Даны точки hello_html_m24a9f46e.gif и hello_html_20b45de.gif. Найти векторы hello_html_63db5e27.gif и hello_html_22db2888.gif.
б) Даны точки
 hello_html_m385f936e.gif и hello_html_5445bfde.gif. Найти векторы hello_html_m33dd6fc0.gif и hello_html_3b5f48a.gif.




Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю».

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости hello_html_m23a3d70d.gif и hello_html_m43118393.gif, то длину отрезка hello_html_28104f0d.gif можно вычислить по формуле hello_html_m4d2d5dd4.gif

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: hello_html_m58b79eca.gif , но более стандартен первый вариант

Пример 3

Даны точки hello_html_m46c01d8f.gif и hello_html_20b45de.gif. Найти длину отрезка hello_html_28104f0d.gif.

Решение: по соответствующей формуле:
hello_html_m40bd9822.gif

Ответ: hello_html_70efbbf2.gif

Для наглядности выполню чертёж
hello_html_56c97e40.jpg

Отрезок hello_html_28104f0d.gif – это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ hello_html_6a787429.gif можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости hello_html_1bc80ac2.gif, то его длина вычисляется по формуле hello_html_m58099581.gif.

Пример 5

Даны точки hello_html_m46c01d8f.gif и hello_html_20b45de.gif. Найти длину вектора hello_html_63db5e27.gif.

Решение: Сначала найдём вектор hello_html_63db5e27.gif:
hello_html_ee9bd55.gif

По формуле hello_html_m58099581.gif вычислим длину вектора:
hello_html_4404b174.gif

Ответ: hello_html_3a42b445.gif

Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? Округление целесообразно проводить до 2-3-х знаков после запятой.

Выполним чертеж к задаче:
hello_html_m549537b2.jpg

Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости.

А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка hello_html_28104f0d.gif равна длине вектора hello_html_63db5e27.gif. Так же очевидно, что длина вектора hello_html_22db2888.gif будет такой же. По итогу: hello_html_49bb32a1.gif

Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки hello_html_m46c01d8f.gif и hello_html_20b45de.gif. Найти длину отрезка hello_html_28104f0d.gif.

Вместо применения формулы hello_html_m4d2d5dd4.gif, поступаем так:
1) Находим вектор
 hello_html_ee9bd55.gif.
2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка
 hello_html_28104f0d.gif равна длине вектора hello_html_63db5e27.gif:
hello_html_306d111d.gif

Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии.



Пример 6

а) Даны точки hello_html_m36e042c5.gif и hello_html_1eb0453f.gif. Найти длину вектора hello_html_22db2888.gif.
б) Даны векторы
 hello_html_mdf2c002.gif, hello_html_m32bb8714.gif, hello_html_2fd18443.gif и hello_html_m63948df7.gif. Найти их длины.



Автор
Дата добавления 01.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров74
Номер материала ДБ-306613
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх