Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Другое / Другие методич. материалы / КОС по Технической механике
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Другое

КОС по Технической механике

библиотека
материалов



областное государственное автономное образовательное

учреждение среднего профессионального образования

«Валуйский индустриальный техникум»


Утверждаю:

Зам. директора по УМР

___________Рябинин А.Н.




Коплект

контрольно – оценочных средств



ОП.01 Техническая механика



Основной профессиональной образовательной программы (ОПОП)

подготовки специалистов среднего звена

по специальности: 190631 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта


























г.Валуйки





Разработчик: Маусенов А.А.- преподаватель профессионального цикла ОГАОУ СПО «Валуйский индустриальный техникум»



Рассмотрено на заседании ПЦК технического цикла

Протокол № от 20 г.

Председатель ПЦК

Топычканов Д.Г. ________________________














Содержание

Содержание 3

Паспорт комплекта контрольно – оценочных средств 4

Общие положения 4

1. Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке 5

  1. «Уметь – знать» 5

  2. Показатели сформированности общих компетенций 5


  1. Формы текущего контроля и промежуточной аттестации по учебной дисциплине 7

  2. Оценка освоения курса учебной дисциплины 8

3.1. Общие положения 8

3.2.Типовые задания для оценки освоения УД 9

4. Контрольно-оценочные материалы для 30

4.1. Общие положения 30

4.2. Выполнение задания для оценки освоения УД 30

Паспорт комплекта контрольно – оценочных средств

Общие положения

Комплект контрольно-оценочных средств (КОС) предназначен для контроля и оценки образовательных достижений обучающихся, освоивших программу учебной дисциплины: ОП-1. Техническая механика

КОС включает контрольные материалы для проведения текущего контроля и промежуточной аттестации по учебной дисциплине.

Результатом освоения учебной дисциплины являются приобретённые

умения и знания, а также сформированность элементов общих компетенций.

Формой аттестации по учебной дисциплине является экзамен.

Комплект контрольно-оценочных средств разработан на основании:

1. ФГОС СПО по специальности: 190631 «Техническое обслуживание и ремонт
автомобильного транспорта»

2. Рабочей программы учебной дисциплины:

ОП-1. Техническая механика

  1. Учебного плана по специальности: 190631 «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»

  2. Положения о промежуточной аттестации ОГАОУ СПО ВИТ.

  3. Положения о текущем контроле знаний студентов.

  4. Комплекта контрольно – оценочных средств учебной дисциплины.

1. Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке

1.1. «Уметь – знать»

В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:

- выполнять основные расчёты по технической механике;

- выбирать материалы, детали и узлы, на основе анализа их свойств, для конкретного применения;


В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:

- основы теоретической механики, сопротивления материалов, деталей машин;

- основные положения и аксиомы статики, кинематики, динамики и деталей машин;

- элементы конструкций механизмов и машин;

- характеристики механизмов и машин;

В результате контроля и оценки по учебной дисциплине осуществляется комплексная проверка перечисленных умений, знаний и уровня сформированности общих компетенций.

1.2.Показатели сформированности общих компетенций

Таблица 1



Название ОК

Технологии формирования ОК (на учебных занятиях)

ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

Технология коммуникативного обучения

Технология использования компьютерных

программ

Технология тестирования

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

Технология индивидуализации обучения

ОК 3. Решать проблемы, оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.

Способность:

- осуществлять действия на основе пошаговых

инструкций в стандартных и нестандартных

ситуациях.

ОК 4. Осуществлять поиск и

использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

Интернет - технологии Проектная технология

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности;

Информационно-коммуникационные технологии (ИКТ)

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями

Групповые технологии

Технология обучения в сотрудничестве

ОК 7. Ставить цели, мотивировать деятельность подчиненных, организовывать и контролировать их работу с принятием на себя

ответственности за результат выполнения заданий.

Способность:

- работать в группе, коллективе ради достижения
цели;

- слушать других людей и принимать во внимание
то, что они говорят, понимать их позицию.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

Технология индивидуализации обучения Технология разно уровневого (дифференцированного) обучения

ОК 9. Быть готовым к смене технологий в профессиональной деятельности.

Способность:

- определить трудности, с которыми приходится
сталкиваться при решении проблем;

- обучаться самостоятельно для
профессионального роста.

2. Формы текущего контроля и промежуточной аттестации по учебной дисциплине


Таблица 2



Разделы и темы учебной дисциплины

Форма текущего контроля и промежуточной аттестации

Раздел 1. Теоретическая механика.


1. Тестирование

2. Лабораторные работы

Раздел 2. Основы сопротивления материалов.

1. Тестирование

2. Лабораторные работы

Раздел 3. Детали и механизмы машин


1. Тестирование

2. Лабораторные работы

Форма аттестации экзамен.

3. Оценка освоения курса учебной дисциплины

3.1. Общие положения

Основной целью оценки освоения курса учебной дисциплины является оценка умений и знаний посредством текущего контроля знаний и промежуточной аттестации.

Оценка освоения курса УД осуществляется с использованием следующих форм и методов контроля: тестирование на уроках, лабораторные работы, решения задач на практических занятиях. Промежуточная аттестация – экзамен по учебной дисциплине выставляется при наличии положительной оценки по всем видам текущего контроля знаний:


Тесты для оценки освоения УД

Учебная дисциплина: Техническая механика

Специальность: «190631 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»

Ф.И.О обучающегося_________________

Проверил: Маусенов А.А.

Оценка _________________


Раздел I:«Теоретическая механика»

Тема I «Статика»

1. Что называется силой?

а) Давление одного тела на другое. б) Мера воздействия одного тела на другое.

в) Величина взаимодействия между телами. г) Мера взаимосвязи между телами (объектами).

2. Назовите единицу измерения силы?

а) Паскаль. б) Ньютон.

в) Герц. г) Джоуль.

3. Чем нельзя определить действие силы на тело?

а) числовым значением (модулем); б) направлением;

в) точкой приложения; г) геометрическим размером;

4. Какой прибор служит для статистического измерения силы?

а) амперметр; б) гироскоп;

в) динамометр; г) силомер;

5. Какая система сил называется уравновешенной?

а) Две силы, направленные по одной прямой в разные стороны.

б) Две силы, направленные под углом 90о друг к другу.

в) Несколько сил, сумма которых равна нулю.

г) Система сил, под действием которых свободное тело может находится в покое.

6hello_html_m435236c7.gif. Чему равна равнодействующая трёх приложенных к телу сил, если F1=F2=F3=10кН? Куда она направлена?

hello_html_m1f34f58a.gif1 а) 30 кН, вправо. б) 30 кН, влево

hello_html_m1f34f58a.gif2 в) 10 кН, вправо. г) 20 кН, вниз.
hello_html_m914b7bd.gifhello_html_m1ca3d8a8.gif

hello_html_m1f34f58a.gif3


7. Какого способа не существует при сложении сил, действующих на тело?

а) геометрического; б) графического;

в) тензорного; г) аналитического;

8. Две силы F1=30Н и F2=40Н приложены к телу под углом 900 друг другу. Чему равна их равнодействующая?

а) 70Н. б) 10Н.

в) 50Н. г) 1200Н.

9hello_html_m3cbe3f85.gif. Чему равна равнодействующая трёх сил, если F1=F2=F3=10 кН?

hello_html_m1f34f58a.gifа) 0 кН. б) 10 кН.

1200 1200 в) 20 кН. hello_html_14041706.gifhello_html_2b1a130d.gifhello_html_1604d9e2.gifhello_html_m42583e96.gifhello_html_m132aa528.gifг) 30 кН.

hello_html_m1f34f58a.gif1200 hello_html_m1f34f58a.gif

10. Что называется моментом силы относительно точки (центра)?

а) Произведение модуля этой силы на время её действия.

б) Отношение силы, действующей на тело, к промежутку времени, в течение которого эта сила действует.

в) Произведение силы на квадрат расстояния до точки (центра).

г) Произведение силы на кратчайшее расстояние до этой точки (центра).

11. Когда момент силы считается положительным?

а) Когда под действием силы тело движется вперёд.

б) Когда под действием силы тело вращается по ходу часовой стрелки.

в) Когда под действием силы тело движется назад.

г) Когда под действием силы тело вращается против хода часовой стрелки.

12. Что называется парой сил?

а) Две силы, результат действия которых равен нулю.

б) Любые две силы, лежащих на параллельных прямых.

в) Две силы, лежащие на одной прямой, равные между собой, но противоположные по направлению.

г) Две силы, лежащие на параллельных прямых, равные по модулю, но противоположные по направлению.


13. Что называется центром тяжести?

а) Это точка, в которой может располагаться масса тела.

б) Это точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы данного тела.

в) Это точка приложения силы тяжести.

г) Это точка, в которой совпадают центр симметрии тела и центра тяжести тела.

14. Назовите координаты центра тяжести фигуры, изображенной на рисунке hello_html_m1bef3334.gif

hello_html_605e723a.gifhello_html_129fc69.gif а) hello_html_1a0d12a9.gif

10 б) hello_html_39f6b46e.gif

в) hello_html_m4a492a17.gif

hello_html_4c83ff8e.gifС г) hello_html_m7100bfc0.gif

1

4 12 hello_html_m785c0af1.gif


15. Какой формулой нужно воспользоваться, чтобы найти координату hello_html_515d6252.gifс центра тяжести фигуры, выполненной из тонкой проволоки?

а) hello_html_m30053c0.gifб) hello_html_m7c8d8d58.gif

в) hello_html_144419d1.gifг) hello_html_m5a195e0e.gif

















Учебная дисциплина: Техническая механика

Специальность: «190631 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»

Ф.И.О обучающегося_________________

Проверил: Маусенов А.А.

Оценка _________________


Тема II: «Кинематика»

1.Что изучает кинематика?

а) Движение тела под действием приложенных к нему сил.

б) Виды равновесия тела.

в) Движение тела без учета действующих на него сил.

г) Способы взаимодействия тел между собой.

2. Что из ниже перечисленного не входит в систему отсчёта?

а) Способ измерения времени. б) Пространство.

в) Тело отсчёта. г) Система координат, связанная с телом отсчёта.

3hello_html_5c7c344f.gif. Какого способа не существует для задания движения точки (тела)?

а) Векторного. б) естественного.

в) Тензорного. г) Координатного.

4. Движение тела описывается уравнением hello_html_m594a334b.gif2 . Определите скорость тела через 2с после начала движения.

а) 21,4 м/c б) 3,2 м/c

в) 12 м/c г) 6,2 м/c

5. Движение тела описывается уравнением hello_html_m6140431d.gif. Не делая вычислений, назовите начальную координату тела и его начальную скорость.

а) 12м; 7м/c б) 3м; 7м/c

в) 7м; 3м/c г) 3м; -12м/c

6. Чему равно ускорение точек на ободе колеса диаметром 40см, движущегося со скоростью 36 км/ч?

а) 250 м/с2 б) 1440 м/с2

в) 500 м/с2 г) 4 м/с2

7. Определите полное ускорение тела, для которого hello_html_d956cb.gif2, hello_html_428acd0f.gif 2

а) 7 м/с2 б)1 м/с2

в) 5м/с2 г) 25м/с2

8. Тело вращается согласно уравнению: hello_html_5c5daa4f.gif2. Не делая вычислений, определите угловую скорость вращения hello_html_11b50f9c.gif и угловое ускорение hello_html_m4d6f888c.gif этого тела.

а) 50 рад/с; 0,1 рад/с2 б) 0,1 рад/с; 0,02 рад/с

в) 50 рад/с; 0,02 рад/с2 г) 0,1 рад/с; 0,04 рад/с2

9hello_html_m36ba881b.gifhello_html_m36ba881b.gifhello_html_36d5a7b3.gifhello_html_m36ba881b.gif. На рисунке изображены графики зависимости ускорения от времени для разных движений. Какой из них соответствует равномерному движению?

аhello_html_m3a47fb67.gifhello_html_2176fb19.gifhello_html_m30456c32.gifhello_html_43f6f033.gifhello_html_fae2480.gif а а а

hello_html_2800d21e.gifhello_html_7e1b1eb2.gifhello_html_96e4237.gifhello_html_m90db582.gifhello_html_m33ea1dbe.gifhello_html_m3089a194.gifhello_html_192c0a47.gif

А t Б t В t Г t

а) график А б) график Б

в) график В г) график Г

10. По дорогам, пересекающимся под прямым углом, едут велосипедист и автомобилист. Скорости велосипедиста и автомобилиста относительно дороги соответственно равны 8 м/с и 15 м/с. Чему равен модуль скорости автомобилиста относительно велосипедиста?

а) 1 м/с б) 3 м/с

в) 9 м/с г) 17м/с

11. в вагоне поезда, скорость которого равна 1мс, навстречу движению идет пассажир со скоростью 1,5 м/с. Чему равна по модулю скорость пассажира для людей, стоящих на платформе?

а) 0,5 м/с б) 2,5 м/с

в) 0 м/с г) 1,5 м/с

12. На рисунке показан график зависимости координаты автомобиля от времени. Какова скорость автомобиля?

hello_html_6084b31.gifx а) -2 м/с

6 б) -0, 5 м/с

4 в) 0,5м/с

2 г) 2 м/с

3 t



13. Моторная лодка развивает скорость 4 м/с. За какое минимальное время лодка может пересечь реку шириной 200 м при скорости течения реки 3 м/с.

а) 50 с б) 200 с

в) 40 с г) 0,02 с

14. Тело совершает движение, уравнение которого hello_html_m189ff795.gif. В соответствии с этой формулой циклическая частота равна:

а) 5 рад/с б) 10 рад/с

в) 20 рад/c г) 25 рад /с

15. Движение тела описывается уравнением hello_html_m8546c29.gif2. Определите скорость и ускорение тела через 2с после начала движения.

а) 6,2 м/с; 0,75 м/с2 б) 9,2 м/с; 1,5 м/с2

в) 0,75 м/с; 6,2 м/с2 г) 0,15 м/с; 12м/с2

16. Автомобиль, движущийся равномерно и прямолинейно со скоростью 60 км/ч, увеличивает в течение 20 с скорость до 90 км/ч. Определите какое ускорение получит автомобиль и какое расстояние он проедет за это время, считая движение равноускоренным?

а) 0,415м/с2; 417м б) 45 м/с2; 180 м

в) 15 м/с2; 120км г) 0,045 м/с2; 30 км

17. Движение точки по прямолинейной траектории описывается уравнением hello_html_m1dcf9435.gif. Определите скорость и ускорение точки в начале движения.

а) 0,2 м/с; 0,6 м/с2 б) 0,6 м/с; -1 м/с2

в) 0,6м/с; -2 м/с2 г) 0,2м/с; -0,6 м/с2


















Учебная дисциплина: Техническая механика

Специальность: «190631 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»

Ф.И.О обучающегося_________________

Проверил: Маусенов А.А.

Оценка _________________


Тема III: «Динамика»

1.Товарный вагон, движущийся с небольшой скоростью, сталкивается с другим вагоном и останавливается. Какие преобразования энергии происходят в данном процессе?

а) Кинетическая энергия вагона преобразуется в потенциальную энергию пружины.

б) Кинетическая энергия вагона преобразуется в его потенциальную энергию.

в) Потенциальная энергия пружины преобразуется в её кинетическую энергию.

г) Внутренняя энергия пружины преобразуется в кинетическую энергию вагона.

2. Равнодействующая всех сил, действующих на автомобиль «Волга» массой 1400 кг, равна 2800 Н. Чему равно изменение скорости автомобиля за 10 сек?

а) 0 б) 2 м/с

в) 0,2 м/с г) 20 м/с

3. Масса тела 2г, а скорость его движения 50 м/с. Какова энергия движения этого тела?

а) 2,5 Дж б) 25 Дж

в) 50 Дж г) 100 Дж

4. Молоток массой 0,8 кг ударяет по гвоздю и забивает его в доску. Скорость молотка в момент удара 5м/с, продолжительность удара равна 0,2 с. Средняя сила удара равна:

а) 40 Н б) 20 Н

в) 80 Н г) 8 Н

5. Автомобиль движется со скоростью 40 м/с. Коэффициент трения резины об асфальт равен 0,4. Наименьший радиус поворота автомобиля равен:

а) 10 м б) 160 м

в) 400 м г) 40 м

6. Тело массой 5 кг движется по горизонтальной прямой. Сила трения равна 6 Н. Чему равен коэффициент трения?

а) 8,3 б) 1,2

в) 0,83 г) 0,12

7. Парашютист опускается равномерно со скоростью 4 м/с. Масса парашютиста с парашютом равна 150 кг. Сила трения парашютиста о воздух равна:

а) 6000 Н б) 2400 Н

в) 1500 Н г) 375 Н

8. Два тела массами m1=0,1 кг и m2=0,2 кг летят навстречу друг другу со скоростями hello_html_ea4c9ac.gif и hello_html_m301f091c.gif. Столкнувшись, они слипаются. На сколько изменилась внутренняя энергия тел при столкновении?

а) на 19 Дж б) на 20 Дж

в) на 30 Дж г) на 40 Дж

9. Мальчик массой 40 кг стоит в лифте. Лифт опускается с ускорением 1 м/с2 . Чему равен вес мальчика?

а) 400 Н б) 360 Н

в) 440 Н г) 320 Н

10. Проводя опыт, вы роняете стальной шарик на массивную стальную плиту. Ударившись о плиту, шарик подскакивает вверх. По какому признаку, не используя приборов, вы можете определить, что удар шарика о плиту не является абсолютно упругим?

а) Абсолютно упругих ударов в природе не бывает.

б) На плите останется вмятина.

в) При ударе шарик деформируется.

г) Высота подскока шарика меньше высоты, с которой он упал.

11. С яблони, высотой 5 м, упало яблоко. Масса яблока 0,6 кг. Кинетическая энергия яблока в момент касания поверхности Земли приблизительно равна:

а) 30 Дж б) 15 Дж

в) 8,3 Дж г) 0,12 Дж

12. Пружину жесткостью 30 Н/м растянули на 0,04 м. Потенциальная энергия растянутой пружины:

а) 750 Дж б) 1,2 Дж

в) 0,6 Дж г) 0,024 Дж

13. Навстречу друг другу летят шарики из пластилина. Модули их импульсов соответственно равны hello_html_fefd435.gif и hello_html_5e273d16.gif . Столкнувшись шарики слипаются. Чему равен импульс слипшихся шариков?

а) hello_html_m514099ed.gif б) hello_html_m62beb6f2.gif

в) hello_html_m218d635a.gif г) hello_html_m42fef244.gif

14. Гвоздь длиной 10 см забивают в деревянный брус одним ударом молотка. В момент удара кинетическая энергия молотка равна 3 Дж. Определите среднюю силу трения гвоздя о дерево бруса?

а) 300 Н б) 30 Н

в) 0,3 Н г) 0,03 Н

15.Упавший и отскочивший от поверхности Земли мяч подпрыгивает на меньшую высоту, чем та, с которой он упал. Чем это объясняется?

а) Гравитационным притяжением мяча к Земле.

б) Переходом при ударе кинетической энергии мяча в потенциальную.

в) Переходом при ударе потенциальной энергии мяча в кинетическую.

г) Переходом при ударе части механической энергии мяча в тепловую.

16. Тело массой 10 кг поднимают вверх по наклонной плоскости силой 1,4 Н. Угол наклона 45о . Чему равен коэффициент трения?

а) 0,2 б) 0,02

в) 2 г) 0,14

17. Какая сила действует на тело массой 10 кг, если это тело движется согласно уравнению: x=4t2-12t+6.

а) 90 Н б) 80 Н

в) 70 Н г) 60 Н

18. Какой мощности электродвигатель необходимо поставить на лебедку, чтобы она могла поставить груз массой 1,2 т на высоту 20 м за 30 с?

а) 8кВт б) 72 кВт

в) 3,6 кВт г) 720 кВт

19. Какая формула отражает основной закон динамики вращательного движения?

а) hello_html_m6095ec67.gif б) hello_html_m2d087b29.gif

в) hello_html_m705907d9.gif г) Т=hello_html_m4c582174.gif

20. Ракета массой 5 т поднимается на высоту 10 км за 20 с. Чему равна сила тяги двигателя ракеты?

а) 2,5 hello_html_47278024.gif105 Н б) 3hello_html_47278024.gif 105 Н

в) 4,5 hello_html_47278024.gif105 Н г) 5,5hello_html_47278024.gif 105 Н








Учебная дисциплина: Техническая механика

Специальность: «190631 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»

Ф.И.О обучающегося_________________

Проверил: Маусенов А.А.

Оценка _________________


Раздел II: «Сопротивление материалов»

Тема I «Растяжение и сжатие»

  1. Какой формы тела не существует?

а) Брус б) Штатив

в) Оболочка г) Массив

2. Прочность это:

а) Способность конструкции выдерживать заданную нагрузку не разрушаясь и без появления остаточных деформаций.

б) Способность конструкции сопротивляться упругим деформациям.

в) Способность конструкции сохранять первоначальную форму упругого равновесия.

г) способность конструкции не накапливать остаточные деформации.

3hello_html_7bb023d4.gif. Брус нагружен продольными силами F1=30 H; F2=50 Н; F3=40 H. Какая из эпюр продольных сил построена правильно?




б)



в)


г)



4. На брус круглого поперечного сечения диаметром 10 см действует продольная сила 314 кН. Рассчитайте напряжение.

а) 4 МПа б) 40 кПа

в) 40 МПа г) 4 Па




5. Какая из формул выражает закон Гука при деформации растяжения (сжатия)?

а)hello_html_m7c327924.gif б) hello_html_12b2144.gif

в) hello_html_27d86511.gif г) hello_html_m273a59ee.gif

6. На сколько переместится сечение бруса длиной 1 м под действием продольной силы в 1 кН. Сечение бруса 2 см2, а модуль Юнга 2 МПа?

а) 2,5 м б) 2,5 см

в) 2,5 мм г) 25 см

7. Как называется график зависимости между растягивающей силой и соответствующим удлинением образца материала?

а) Спектрограмма б) Голограмма

в) Томограмма г) Диаграмма

8. Пластичность – это

а) Способность материала, не разрушаясь, воспринимать внешние механические воздействия.

б) Способность материала давать значительные остаточные деформации, не разрушаясь.

в) Способность материала восстанавливать после снятия нагрузки свои первоначальные формы и размеры.

г) Способность материала сопротивляться проникновению в него другого тела практически не получающего остаточных деформаций.

9. Чему равен коэффициент запаса прочности, если предельное напряжение 100 МПа, а расчетное напряжение 80 МПа?

а) 0,25 б) 0,2

в) 0,8 г) 1,25

10. Чтобы прочность конструкции не нарушилась, коэффициент запаса прочности должен быть:

а) n=1 б) nhello_html_m42ce3b3b.gif1

в) nhello_html_25434063.gif1 г) nhello_html_65568132.gif1

11. Какого вида расчетов не существует в «сопротивлении материалов»?

а) Проектного расчета б) расчета на допустимую нагрузку

в) Проверочного расчета г) Математического расчета

12. Рассчитайте коэффициент запаса прочности для стальной тяги, площадь поперечного сечения которой 3,08 см2, находящийся под действием силы 40 кН. Допустимое напряжение hello_html_m76634ccc.gif160 МПа

а) 12,3 б) 8,1

в) 0,81 г) 1,23

13. Из условия прочности известно, что допустимая сила, действующая на одну заклепку 105 кН. Максимальная нагрузка на конструкцию 27 МН. Сколько заклепок необходимо поставить?

а) 250 б) 257

в) 258 г) 260

14. При расчете заклепочных соединений на смятие учитывается:

а) наименьшая толщина склепываемых элементов

б) наибольшая толщина склепываемых элементов

в) толщина всех склепываемых деталей

г) диаметр заклепки

15. Твердость – это

а) Способность материала, не разрушаясь, воспринимать внешние механические воздействия.

б) Способность материала давать значительные остаточные деформации, не разрушаясь.

в) Способность материала восстанавливать после снятия нагрузок свои первоначальные формы и размеры.

г) Способность материала сопротивляться проникновению в него другого тела практически не получающего остаточных деформаций.
















Учебная дисциплина: Техническая механика

Специальность: «190631 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»

Ф.И.О обучающегося_________________

Проверил: Маусенов А.А.

Оhello_html_mb2152c8.gifценка _________________


Тема II: « Кручение»

  1. Какой вид деформации называется кручением?

а) Это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении возникает внутренний силовой фактор – крутящий момент.

б) Это такой вид деформации, при котором на гранях элемента возникают касательные напряжения.

в) Это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении возникает внутренний силовой фактор – продольная сила.

г) Это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении возникает внутренний силовой фактор – поперечная сила

2. На рисунке изображен брус, нагруженный четырьмя моментами Т1= 10 кН hello_html_47278024.gifм; Т2= 30 кНhello_html_47278024.gif м; Т3= 20 кНhello_html_47278024.gif м; Т4= 20 кН hello_html_47278024.gifм. В каком случае правильно построена эпюра крутящих моментов?






3.Какого допущения не существует в теории кручения бруса?

а) Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси и при деформации.

б) Поперечное сечение остается круглым, радиусы не меняют своей длины и не искривляются.

в) Материал бруса при деформации следует закону Гука.

г) Материал однороден и изотропен.


4. Что называется крутящим моментом?

а) Произведение силы, действующей на тело, на квадрат площади сечения.

б) Момент касательных сил, возникающих в поперечном сечении.

в) Произведение силы на плечо.

г) Произведение массы тела на квадрат расстояния но оси кручения.

5. Если М1= 5 кН hello_html_47278024.gifм; М2= 10 кНhello_html_47278024.gif м; М3= 20 кН hello_html_47278024.gifм, то чему равен момент X ?

hello_html_m18452b2c.gifа) – 5 кНhello_html_47278024.gif м

б) 10 кН hello_html_47278024.gifм

в) - 15 кНhello_html_47278024.gif м

г) 20 кНhello_html_47278024.gif м

6.Что такое чистый сдвиг?

а) Это такой вид деформации, при котором возникают только касательные напряжения на противоположных гранях выделенного элемента, равные по модулю и противоположные по знаку.

б) Это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении возникает только один силовой фактор - касательные напряжения.

в) Это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении возникают только поперечные силы.

г) Это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении возникает только один силовой фактор – продольная сила.

7. Какая формула является законом Гука при сдвиге?

а) hello_html_5c191cd1.gif б) hello_html_m551d2470.gif

в) hello_html_4ddec7bd.gif г) hello_html_1f06f685.gif

8. Рассчитайте значение касательного напряжения для бруса круглого сечения, у которого полярный момент сопротивления Wp= 81,7 см2 , а крутящий момент равен Мк = 3,8 кНhello_html_m47c0b831.gif м

а) 0,046 Па б) 21,5 Па

в) 21,5hello_html_m47c0b831.gif10-9Па г) 46 МПа





























Учебная дисциплина: Техническая механика

Специальность: «190631 Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта»

Ф.И.О обучающегося_________________

Проверил: Маусенов А.А.

Оценка _________________


Тема III: « Изгиб»


  1. Что называется изгибом?

а) Это такой вид деформации, при котором возникают только касательные напряжения

б) Это такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникают изгибающие моменты

в) Это такой вид деформации, при котором возникают поперечные силы

г) Это такой вид деформации, при котором возникают продольные силы

2. Как называется брус, работающий на изгиб?

а) массив; б) балка;

в) консоль; г) опора.

3. При чистом изгибе волокна, длинны которых не меняется, называются…

а) средний слой; б) неизменяющийся;

в) нулевой слой; г) нейтральный слой.

4. Какого вида изгиба не существует?

а) поперечного; б) чистого;

в) косого; г) нелинейного.

5. При прямом поперечном изгибе возникают…

а) поперечные силы; б) изгибающие моменты;

в) поперечные силы и изгибающие моменты; г) изгибающие силы и крутящие моменты.

6. Для наиболее наглядного представления о характере изменения внутренних силовых факторов при нагрузках на брус принято строить…

а) графики; б) эпюры;

в) диаграммы; г) фигуры.

7. Касательные напряжения при поперечном изгибе рассчитываются по формуле…

а) Пуассона; б) Журавского;

в) Мора; г) Гука.

8. Вычислить интеграл Мора можно по правилу…

а) Буравчика; б) Верещагина;

в) Ленца; г) Сжатых волокон.

9. Какое выражение называется формулой Журавского?

а) hello_html_59c968c3.gif б) hello_html_364c6263.gif

в) hello_html_m5eea64cc.gif г) hello_html_23ec510b.gif

10. Какой дифференциальной зависимости не существует между распределенной нагрузкой q, поперечной силой Qу и изгибающим моментом?

а) hello_html_mffa70c9.gif б) hello_html_ea7e95a.gif

в) hello_html_32c0bbfa.gif г) hello_html_m5c561b88.gif























































Эталон ответов


Раздел 1


Тема 1


1 - Б 6 - В 11 - Б

2 - Б 7 - В 12 - Г

3 - Г 8 - В 13 - Б

4 - В 9 - А 14 - Г

5 - Г 10 - Г 15 - Б


Тема 2


1 - В 6 - В 11 - А 16 - А

2 - В 7 - В 12 - А 17 - В

3 - В 8 - Г 13 - В

4 - Б 9 - Г 14 - В

5 - Г 10 - Г 15 - Б


Тема 3


1 - А 6 - Б 11 - А 16 - Б

2 - Г 7 - В 12 - Г 17 - Б

3 - А 8 - В 13 - В 18 - А

4 - Б 9 - Б 14 - Б 19 - Г

5 - В 10 - Г 15 - Г 20 – А



Раздел 2


Тема 1


1 - Б 6 - А 11 - Г

2 - А 7 - Г 12 - Г

3 - Г 8 - Б 13 - В

4 - В 9 - Г 14 - А

5 - В 10 - Б 15 - Г


Тема 2


1 - А 6 - А

2 - Б 7 - А

3 - Г 8 - Г

4 - Б

5 - А


Тема 3


1 - Б 6 - Б

2 - Б 7 - Б

3 - Г 8 - Б

4 - Г 9 - А

5 - В 10 - Г




Практические занятия:

1-3. Решение задач на определение направлений реакций связей основных типов.

4-5 .Упражнение по решению задач на определение равнодействующей системы сил геометрическим способом.

6-7. Упражнение по решению задач на определение проекций силы на две взаимно перпендикулярные оси.

8. Упражнение по решению задач на рациональный выбор координатных осей

9. «Определение равнодействующей плоской системы сходящихся сил»

10-12. «Определение опорных реакций двух опорных балок»

13-16. «Определение опорных реакций консольных балок с жёсткой заделкой»

17. Решение задач по теме « Трение»

18. «Пространственная система произвольно расположенных сил»

19. Решение задач по теме: « Теорема о сложении скоростей»

20. «Мощность. КПД, работа и мощность при вращательном движении.»

21. Теорема об изменении количества движения, об изменении кинетической энергии.

22-23. «Расчёт на прочность при растяжении – сжатии»;

24-26. Упражнение по решению задач на срез.

27-29. Упражнение по решению задач на смятие.

30-33. «Определение геометрических характеристик плоских сечений»

34-38.«Построение эпюр внутренних силовых факторов при кручении»;

39- 41.«Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в двухопорных балках

42- 45. «Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в консольных балках, нагруженных равнораспределённой нагрузкой».

46-49. «Расчёт размеров поперечного сечения вала при сочетании основных видов нагружений»

50. Решение задач на применение формулы Эйлера, Ясинского.

51-52. Решение задач на придел выносливости, коэффициент запаса.

53. Приближённый расчёт на действие ударной нагрузки.

54-55. Решение задач на расчет прочности фрикционных передач.

56-57. Решение задач на расчет на контактную прочность и изгиб, расчет конических передач.

58. Решение задач на расчет винта на износостойкость.

59-62.Расчёт на прочность, тепловой расчёт червячной передачи.

63-65. Решение задач на силы и напряжения ременных передач и в ветвях ремня.

66-68. «Подбор подшипников качения»

69. «Расчет муфт».

70-72. «Расчёт на прочность шпоночных и шлицевых соединений»

73-76. «Расчёт на прочность сварных соединений»



3.2.Типовые задания для оценки освоения УД

Типовые задания для оценки освоения

1-3. Тема : Решение задач на определение направлений реакций связей основных типов.

Дано: На конструкцию действуют пара сил с моментом М = 60 кНм и две силы: F1 = 40 кН и F2 = 50 кН, направление которых задано углами hello_html_m5814e99c.png = 30° и hello_html_m599b896d.png = 60°.

Определить: реакции внешних связей при изменении направления каждой из заданных сил в отдельности. При окончательных расчетах принять а = 0,4 м.

hello_html_2344db3d.png

Рис. 1

 

Указания. При решении данной задачи следует применить принцип возможных (виртуальных) перемещений в сочетании с принципом освобождаемости от связей. Для этого отбрасывают соответствующую связь и заменяют ее действие искомой реакцией, конструкция (механическая система) при этом должна приобрести одну степень свободы. Далее, сообщая системе возможное перемещение, составляют уравнение равновесия в форме возможных (виртуальных) работ, учитывая и работу искомой реакции. Все вошедшие в составленное уравнение возможные перемещения следует выразить через какое-нибудь одно.

Ниже приведены примеры использования принципа освобождаемости от связей для основных типов опор.

Шарнирно-неподвижная опора А (рис.2, а)

 

hello_html_2d5c4afb.png

Рис. 2

Эта связь имеет две составляющие реакции: hello_html_mf7af49e.png и hello_html_3ff180.png. Для определения составляющей hello_html_mf7af49e.png эту опору преобразуют так, как показано на рис. 2, б, а для нахождения hello_html_3ff180.png – так, как показано на рис. 2, в.

 

Шарнирно-подвижная опора В (рис.3, а)

Для определения реакции hello_html_75cd08b6.png отбрасывают опорную неподвижную поверхность и заменяют ее реакцией hello_html_d7cef0d.png, как показано на рис. 3, б.

hello_html_m262427cf.png

Рис. 3

 

Невесомый стержень СС1 (рис. 4, а)

В этом случае стержень заменяют его реакцией hello_html_a1f39.png, направленной вдоль этого стержня (рис. 4, б).

hello_html_76da9587.png

Рис. 4

 

Гладкая плоскость (рис. 5, а)

Отбрасывая опорную плоскость, к рассматриваемому телу в точке Д его контакта с этой плоскостью прикладывают реакцию hello_html_m101d2391.png (рис. 5, б).

hello_html_2bdd40b9.png

Рис. 5

 

Жесткая заделка Е (рис. 6, а)

Данная связь имеет две составляющие реакции hello_html_103804e4.png и hello_html_24f205d6.png, а также реактивный момент hello_html_7be0a399.png. Для определения момента жесткую заделку заменяют неподвижной шарнирной опорой, а к телу 1 прикладывают искомый реактивный момент hello_html_7be0a399.png (рис. 6, б).

hello_html_m1bede2b6.png

Рис. 6

 

Для определения составляющих hello_html_103804e4.png и hello_html_24f205d6.png, жесткую заделку преобразуют так, как показано на рис. 6, в и 6, г соответственно.

Следует отметить, что возможные перемещения точек механической системы рассматриваются как величины первого порядка малости, поэтому действительные криволинейные перемещения точек заменяют прямолинейными, направленными по касательным к траекториям точек, а длины этих отрезков равны длинам соответствующих элементарных дуг. Так как возможные перемещения точек направлены по касательным к их траекториям, то эти перемещения совпадают с направлением скоростей точек. При расчетах учитывать, что зависимость между возможными перемещениями такие же, как между соответствующими скоростями звеньев механизма при его движении.

Для вычисления работы силы, приложенной к телу, которое совершает возможное перемещение, поворачиваясь вокруг мгновенного центра вращения (МЦВ) следует взять с соответствующим знаком произведение момента этой силы относительно МЦВ на угол поворота. Применение же теоремы Вариньона о моменте равнодействующей значительно облегчает процесс решения задачи.

 

Решение:

1. Исследование влияния направления силы hello_html_mf705d76.png

1.1. Определение реакции hello_html_27b1fa92.png

Расчетная схема в этом случае представлена на рис. 7.

Стержень АД имеет МЦВ в точке Р1, а стержень СВ – в точке Р2. Возможными перемещениями этих стержней будут углы поворота hello_html_m2d585844.png и hello_html_75a55863.png вокруг соответствующих мгновенных центров вращения. Связь между углами hello_html_m2d585844.png и hello_html_75a55863.png установим исходя из возможного перемещения hello_html_m4a68cd9.png общей для обоих стержней точки С

hello_html_27a2aa82.pngоткуда hello_html_31752f55.png

hello_html_m2ce38437.png

Рис. 7

 

Из подобия треугольников КСР1 и ВСР2 имеем

hello_html_53ce8c4d.pngили hello_html_m35495240.png

тогда

hello_html_57391899.png

Кроме того, отметим, что в прямоугольном треугольнике Р1КД угол КР1Д равен 450, следовательно, КР1 = КД = 8а. Снова рассматривая подобие треугольников КСР1 и ВСР2, находим

hello_html_m212bee97.pngили hello_html_2b3d523d.png откуда hello_html_m32130aa.png

Составим уравнение равновесия в форме возможных работ:

hello_html_m67cf6c85.png

В результате решения полученного алгебраического уравнения с учетом численных значений заданных величин, находим расчетную зависимость искомой реакции от изменяемого угла hello_html_m5814e99c.png:

hello_html_m1ba3880c.png(1)

 

1.2. Определение реакции hello_html_7969e431.png

Расчетная схема для определения реакции hello_html_7969e431.png представлена на рис.8.

hello_html_4d3c3a39.png

Рис.8

 

Мгновенный центр вращения Р1 стержня АД находится на пересечении перпендикуляров к возможным перемещениям hello_html_m5f59a80c.png и hello_html_5e1506d0.png точек А и Д соответственно; таким образом возможным перемещением всего стержня АД будет являться угол поворота hello_html_m2d585844.png вокруг точки Р1. Возможное перемещение hello_html_520cee0b.png точки С перпендикулярно СР1.

Возможный поворот стержня СВ на некоторый угол hello_html_75a55863.png будет осуществляться вокруг своего МЦВ (точек Р2), находящегося на пересечении перпендикуляров к возможным перемещениям hello_html_520cee0b.png и hello_html_m224cdfcb.png.

Установим связь между углами hello_html_m2d585844.png и hello_html_75a55863.png:

hello_html_1e4c2b05.pngоткуда hello_html_d519b12.png

Согласно рис. 8, прямоугольный треугольник DLP1 – равнобедренный, следовательно LP1 = DL = 8a, тогда в треугольнике СКР1 сторона KP1 = KL + LP1 = 4a + 8a = 12a. Из подобия треугольников СКР1 и Р2ВС имеем

hello_html_m757bbba6.pngили hello_html_7e7dc329.png

Таким образом hello_html_m2c598c70.png

Составим уравнение равновесия в форме возможных работ:

hello_html_33c6acb0.png

где

hello_html_62c82d64.png

и т. к. hello_html_5d873e45.png то hello_html_m6540499d.png,

откуда

hello_html_743c805b.png

После подстановок уравнение равновесия приобретет вид

hello_html_2ee011cb.png

С учетом численных значений заданных величин и в результате соответствующих преобразований получим расчетную формулу

hello_html_m28060f39.png(2)

 

1.3. Определение реакции hello_html_mf3d849a.png

Расчетная схема представлена на рис. 9.

 

hello_html_m3c753adb.png

Рис. 9

 

Мгновенный центр вращения стержня СВ находится в точке Р2, а возможными перемещениями стержней АЕД и СВ будут углы поворота hello_html_m2d585844.png и hello_html_75a55863.png соответственно.

Составим уравнение равновесия:

hello_html_567c45e.png

Здесь hello_html_m1655d3de.png

Из подобия hello_html_2f45e35a.png и hello_html_ba169c3.png находим hello_html_f9e4c96.png откуда hello_html_36c1fdec.png следовательно hello_html_1a80fe77.png

Связь между углами hello_html_m2d585844.png и hello_html_75a55863.png найдем через возможное перемещение hello_html_520cee0b.png:

hello_html_4ea77a3.pngили hello_html_m62913c04.png

Перепишем уравнение равновесия с учетом найденных величин:

hello_html_3a735964.png

Учитывая численные значения заданных величин после преобразований найдем

hello_html_5f825bb1.png(3)

 

1.4. Определение реакции hello_html_75cd08b6.png

Расчетная схема представлена на рис. 10.

Мгновенный центр вращения стержня СВ находится в точке С. При этом возможным перемещением системы является поворот только стержня СВ на угол hello_html_4077c1ad.png.

Составим уравнение равновесия:

hello_html_m1e4360de.png

или

hello_html_m5a083c15.png

откуда

hello_html_m703fcdb9.png(4)

hello_html_m3497fc4a.png

Рис. 10

 

Реакция hello_html_75cd08b6.png от изменения направления силы hello_html_mf705d76.png не зависит.





4-5. Упражнение по решению задач на определение равнодействующей системы сил геометрическим способом

Пример 1.

Вычисление и построение равнодействующей сходящихся сил осуществляется по правилам векторной алгебры. Это можно сделать геометрическим и аналитическим способами.

При геометрическом способе строится векторный (силовой) многоугольник, замыкающая сторона которого и определяет вектор равнодействующей (рис. 25, б). Перенеся этот вектор параллельно себе в точку О пересечения линий действия сил, получаем искомую равнодействующую (см. рис. 25, а).

hello_html_m675b6b89.png

Рис. 25.

При аналитическом способе равнодействующая определяется через ее проекции на оси декартовой системы координат, которую удобно выбрать с началом в точке приложения сил О.

По теореме векторной алгебры о проекции суммы векторов на ось, для проекций равнодействующей на выбранные оси получаем:

hello_html_m6912e85f.png

Эти равенства выражают правило: проекции равнодействующей сходящихся сил на выбранные координатные оси равны алгебраическим суммам проекций заданных сил на соответствующие оси. Далее, вспоминая правило построения вектора по его проекциям на координатные оси, строим равнодействующую R (рис. 26). Модуль и направляющие косинусы равнодействующей определяются по формулам

hello_html_1f0b79db.png

hello_html_5e858b6.png

Пример 2.

Определить давление однородного шара на гладкую стенку и натяжение нити, если шар находится в равновесии (рис. 27, а). Вес шара Р=20 Н, угол наклона нити к вертикали hello_html_m17575cf2.png.

Мысленно освободим шар от наложенных связей. Для этого связи отбросим, а их действие на шар заменяем реакциями. Реакция стенки N направлена перпендикулярно стенке (от точки касания С к центру шара О), реакция нити Т - вдоль нити от точки А к точке В. Тем самым выявляется полная система сил, приложенных к покоящемуся шару. Это система сил, сходящихся в центре О шара, и состоящая из веса шара Р (активная сила), реакции стенки N и реакции нити Т (рис. 27, б). Реакции N и Т по величине неизвестны.

Для их определения следует воспользоваться условиями равновесия (в той или иной форме - геометрической, аналитической).

hello_html_614306d5.png

При геометрическом способе решения строится замкнутый многоугольник сил и используются соотношения школьной геометрии (теорема синусов, теорема косинусов, теорема Пифагора и т.д.). В данном случае это замкнутый силовой треугольник (рис. 27, в), из которого получаем:

hello_html_40137152.png

или, после подстановки числовых значений:

hello_html_m7e1640df.png

При аналитическом способе решения выбирается подходящая система координат, и уравнения равновесия составляются в форме (2) или hello_html_m23dc330e.png. Выбирая оси, как показано на рис. 27, б, составляем для данной плоской системы сходящих сил два уравнения равновесия:

hello_html_m5a011731.png

Решая эти уравнения, приходим к тем же значениям для неизвестных сил: hello_html_42c13065.png, hello_html_50656f76.png.

Отметим, что реакция N - это сила, с которой стенка действует на шар. Давление шара на стенку суть сила N, приложенная от шара к стенке. Она равна по модулю силе N, но направлена в противоположную сторону - от шара к стенке (показана штрихами на рис. 27, а).

Пример 2.

Груз весом hello_html_m63de8515.pngудерживается в равновесии двумя стержнями AD и BD одинаковой длины и тросом DE. Найти усилия в стрежнях и натяжение нити, если hello_html_m1fe1e65b.png. (рис. 28).

Мысленно перережем трос и стержни и приложим к точке D реакции hello_html_m516ffd7f.pngстержней и реакцию Т троса.

Получаем уравновешенную систему из четырех сил, которые образуют пространственную систему сил, сходящихся в точке hello_html_m48d3b099.png. Сила G известна по величине и направлению, силы hello_html_m6fd794ee.png- только по направлению. Для определения величины этих сил следует воспользоваться условием равновесия.

Геометрическое условие равновесия для пространственной системы сил оказывается малопригодным, так как приводит к построению замкнутого пространственного силового многоугольника. Здесь эффективен аналитический способ решения задач на равновесие.

Выбираем наиболее удобную для вычисления проекций сил систему координатных осей (см. рис. 28) и составляем уравнения равновесия;

hello_html_m777210e1.png

Из последнего уравнения сразу находим: hello_html_m44eff035.png. Первое и второе уравнения после подстановки в них найденного значения Т образуют систему для определения неизвестных hello_html_m30f0c77e.pngи hello_html_m3579eabf.png.

hello_html_7ed7d79.png

Рис. 28.

Выражая из первого уравнения неизвестное hello_html_1444bf9.pngи подставляя во второе уравнение, приходим к уравнению с одним неизвестным hello_html_m18faaa6f.png:

hello_html_m35800147.png

Из него находим:

hello_html_751c66a0.png

Теперь легко определяется и оставшееся неизвестное (52):

hello_html_m3ff18a6e.png

После подстановки значения hello_html_401dd45d.png, находим численные значения реакций: hello_html_me3a5c05.png.

Отрицательные знаки у реакций hello_html_m5aca29f.pngуказывают на то, что эти силы имеют направления, противоположные указанным на рис. 28. Можно было бы сразу указать точное направление этих сил, так как видно, что стержни испытывают сжатие. Мы не сделали этого только потому, что избранный вариант зрительно более удобен для вычисления проекций сил на оси.

Представим себе, что груз G в приведенном примере поддерживался бы еще одной или несколькими связями - еще одним стержнем (например, вдоль hello_html_6d7622b2.png), еще одним тросом (например, протянутым из точки D в точку Н). Тогда в уравнения равновесия вошли бы и реакции этих дополнительных связей, и мы имели бы не три, а четыре, пять и более неизвестных. Однако число уравнений равновесия остается при этом неизменным - три независимых уравнения для пространственной системы сходящихся сил и два - для плоской. Следовательно, не всякая задача на равновесие может быть решена при помощи уравнений статики. В статике могут быть однозначно решены лишь задачи, в которых количество неизвестных совпадает с числом независимых уравнений равновесия. Такие задачи называются статически определенными. Если количество неизвестных превышает число независимых уравнений статики, то задача не может быть однозначно решена методами статики и называется статически неопределенной. Методы решения статически неопределенных задач рассматриваются в курсе сопротивления материалов.

В заключение раздела о сходящихся силах приведем две теоремы, весьма полезные при решении задач.


6-7. Упражнение по решению задач на определение проекций силы на две взаимно перпендикулярные оси.

Пример 1.

три цепи одинаковой длины l соединены вместе кольцом А (рис. 1, а). Оставшиеся свободными концы цепей закреплены в трех точках В, С и D таким образом, что эти точки образуют вершины куба. Как необходимо установить под кольцо А подпорку АЕ и какую длину она должна иметь, чтобы кольцо А располагалось относительно точек В, С и D как четвертая вершина куба? При этом цепь АВ должна быть натянута силой Р, а цепи AD и АС – силами 2Р каждая. Определить также усилие в подпорке АЕ. Весом подпорки пренебречь.

hello_html_5795281f.png

Решение задачи

1. Из точки А (рис. 150, б) вдоль цепей отложим заданные силы: вдоль цепи АВ – силу Р, вдоль цепей АС и AD – силы 2Р. Построив на них параллелепипед, получим в нем диагональ АА1, выражающую равнодействующую трех усилий в цепях.

Вдоль линии действия равнодействующей R нужно установить подпорку АЕ, которая должна соответствовать диагонали параллелепипеда ACE1FDC1EF1, подобного силовому параллелепипеду.

2. Находим модуль равнодействующей:
R = sqrt(P
12 + P22 + P32) = sqrt(P2 + 2(2P)2) = sqrt(P2 + 8P2) = 3P.

3. Из подобия двух показанных на рис. 150, б параллелепипедов следует пропорция
AC/2P = AF/P = AE/R.
Зная, что длина цепи AC=
l, находим длину подпорки АЕ:
AE = R*AC/(2P) = 3
l/2,
а также расстояние AF=C
1E:
AF = AC/2 =
l/2.

Таким образом, усилие в подпорке равно 3Р, длина подпорки 1,5l, а установить ее нужно так, чтобы нижний конец Е находился от DB1 на расстоянии F1E=l и от DC1 – на расстоянии C1E=AF=l/2.

Решение этой задачи после выполнения пункта 2 можно продолжать иным путем. Можно найти угол α, образуемый R с вертикальной цепью, а затем определить из ΔADE длину АЕ и т. д.

Пример 2.

Найти усилия в стержне АВ и цепях АС и AD, поддерживающих груз Q весом 42 кГ, если АВ=145 см, АС=80 см, AD=60 см. Плоскость прямоугольника CADE горизонтальна, а плоскости V и W вертикальны. Крепление в точке В шарнирное (рис. 151, а).

hello_html_30328c26.png


Решение задачи

1. Разложим силу Q на три составляющие TB, TC и TD, направленные соответственно вдоль стержня AB и цепей АС и AD. Для этого, приняв вектор Q за диагональ АА1, построим силовой параллелепипед, из которого видно, что составляющая TB сжимает стержень АВ, а составляющие TC и TD растягивают цепи АС и AD (рис. 151, б).

2. Соответственно приняв отрезок BE за диагональ, а стержень АВ и цепи АС и AD – за ребра, построим параллелепипед, подобный силовому (см. рис. 151, б).

3. Из подобия параллелепипедов, полученных на рис. 151, б, следует пропорция
(а) Q/BE = T
C/AC = TD/AD = TB/AB.

4. Длины трех отрезков из четырех, входящих в пропорцию, известны. Длина отрезка BE неизвестна. Найдем ее из рассмотрения прямоугольных треугольников ABE и АСЕ:
BE
2 = AB2 - AE2 = AB2 - (AC2 + CE2) = AB2 - AC2 - AD2,
откуда
BE = sqrt(AB
2 - AC2 - AD2) = sqrt(1452 - 802 - 602) = 105 см.

5. Рассматривая теперь первое отношение пропорции (а) вместе со вторым, а затем с третьим и четвертым, находим
T
C = Q*AC/BE = 42*80/105 = 32 кГ;
T
D = Q*AD/BE = 42*60/105 = 24 кГ;
T
B = Q*AB/BE = 42*145/105 = 58 кГ.





8. Упражнение по решению задач на рациональный выбор координатных осей

Пример1.

Тяжелый однородный шар радиуса hello_html_m2fbb0e33.pngи весом hello_html_m455dbdae.pngудерживается в равновесии в положении, показанном на рис. Определить давление шара на гладкую наклонную плоскость и силу растягивающую стержень hello_html_m53f1416f.png.

 

Решение:

     Рис. 2.15.

 

За объект равновесия принимаем шар, на него действуют три силы: hello_html_m62bc3bbd.png– вес шара, hello_html_m466a9979.png– реакция плоскости, hello_html_m12b0b162.png– реакция стержня hello_html_m53f1416f.png. Уравнения равновесия сил, приложенных к шару –

hello_html_m11413d33.png

    Из этих уравнения находим

                                              hello_html_49a2651f.png

 

    Рекомендуем самостоятельно определить реакции связей в расчетных схемах считая, hello_html_540206a2.pngи hello_html_m1929e8f5.pngзаданными величинами.

    Ответы:

    для схемы на рис. 2.13 – hello_html_m28fd1104.png

    для схемы на рис. 2.14 – hello_html_459c271f.png




Пример2.


  Рис. 2.12.

       Стержень AO, шарнирно закрепленный в вершине О прямоугольного трехгранного угла, удерживается в наклонном положении тросами AB и AC, перпендикулярными соответствующим граням трехгранного угла. hello_html_5866a0e7.pngм, hello_html_60e09535.pngм, hello_html_m424b6a9e.pngм. К узлу A прикреплен груз hello_html_m341e3a45.pngН. Определить усилия в стержне и тросах, пренебрегая их весом.

Решение:

     За объект равновесия принимаем узел A, На узел действуют четыре силы: активная сила hello_html_m62bc3bbd.png, реакции тросов hello_html_m3829f9dc.pngи стержня hello_html_478051cf.png. Направления реакций приняты в соответствии с указаниями п.п. 1.2.2 и 1.2.3.

При составлении уравнений равновесия будем следовать рекомендациям п. 2.1.

 

                             hello_html_m4651189.png

 

    Значения косинусов углов hello_html_1c31c641.pngи hello_html_71aada0b.pngнайдем из прямоугольных треугольников hello_html_765a9b65.pngи hello_html_18aaa2fc.png.

Из уравнений равновесия находим

 

                              hello_html_a7a741f.png,

                               hello_html_m78f66e.pngН,

                             hello_html_m6c099250.pngН.


9. Определение равнодействующей плоской системы сходящихся сил»

Пример1.

К концу В веревки АВ прикреплено кольцо, на которое действуют четыре силы: P1=40 н, P2=25 н, P3=25 н и P4=20 н, направленные, как показано на рисунке (сила P2 горизонтальна). Определить усилие, возникшее в веревке, и ее направление относительно горизонтали.

Решение методом проекций

1. Веревка будет натянута равнодействующей четырех заданных сил. Следовательно, определив модуль равнодействующей, получим усилие, возникшее в веревке, а определив направление равнодействующей, найдем положение натянутой веревки.

2. Изобразим точку В с действующими на нее силами на отдельном рисунке (рис. 43, б) и совместим оси проекций с силами P2 и P4.

3. Найдем проекции заданных сил на ось х:
X
1 = P1 cos 55° = 40 cos 55° = 22,9;
X
2 = P2 = 25;
X
3 = P3 cos 30° = 25 cos 30° = 21,6;
X
4 = 0.

4. Находим проекции данных сил на ось у:
Y
1 = P1 sin 55° = 40 sin 55° = 32,8;
Y
2 = 0;
Y
3 = -P3 sin 30° = -25 sin 30° = -12,5;
Y
4 = -P4 = -20.

5. Найдем проекции равнодействующей R на оси х и у:
X
R = 22,9 + 25 + 21,6 = 69,5;
Y
R = 32,8 – 12,5 – 20 = 0,3.

6. Найдем модуль равнодействующей:
R = sqrt(X
R2 + YR2) = sqrt(69,52 + 0,32) = 69,5 н.

Как видно, в данном случае проекция равнодействующей на ось у очень мала по сравнению с проекцией на ось х. Поэтому равнодействующая практически численно равна проекции на ось х. Следовательно, можно принять, что вектор равнодействующей направлен вдоль оси х вправо (проекция на ось х положительна), т. Е. горизонтально.

Таким образом, четыре заданные силы натягивают веревку равнодействующей силой R, приложенной к точке В (к кольцу на конце веревки) и направленной горизонтально.

Другой конец веревки (точка A, рис. 43, а) закреплен, поэтому на кольцо В со стороны веревки действует еще одна сила, численно равная равнодействующей, но направленная в противоположную сторону. Эта сила называется уравновешивающей системы четырех сил.

На рис. 43, в показаны равнодействующая R и уравновешивающая Rур.


Пример2.

Пример 1. Шар веса hello_html_37680dd7.png опирается в точке hello_html_46cd3633.png на наклонную плоскость, образующую с вертикалью угол hello_html_m5814e99c.png, и привязан к стене веревкой, которая образует с вертикалью угол hello_html_m599b896d.png (рис.13а). Определить реакцию плоскости в точке hello_html_46cd3633.png и натяжение веревки.

hello_html_1e695116.jpg

Рис.13

 

Решение: Обозначим искомую реакцию плоскости, направленную по нормали hello_html_m485186cc.png к этой плоскости, через hello_html_m2d6f823.png, а натяжение веревки – через hello_html_m2f71ed42.png. Линия действия всех трех сил hello_html_m74865b47.png и hello_html_m54fbe242.png пересекаются в центре шара hello_html_m4889aac1.png. Примем вертикаль и горизонталь в точке hello_html_m4889aac1.png за координатные оси и найдем проекции сил hello_html_m74865b47.png и hello_html_m54fbe242.png на эти оси:

hello_html_45488772.png, hello_html_6ad6504c.png, hello_html_m7b11e099.png,

hello_html_367864b1.png, hello_html_m4a310c65.png, hello_html_m63921a90.png.

Так как данная система сходящихся сил является плоской, то условия равновесия (4) имеют вид

1) hello_html_m3a8f5770.png

2) hello_html_m3fd511bf.png

Умножив первое уравнение на hello_html_m61db4526.png, а второе на hello_html_m4089e79e.png и сложив их, получим

hello_html_19d9f1cf.png.

Затем из первого уравнения находим

hello_html_1f4fac67.png.

В случае, когда веревка, удерживающая шар, параллельна наклонной плоскости hello_html_4489b0b8.png, получим hello_html_m4ac2395b.png, hello_html_8160a66.png.

Для решения этой же задачи графическим способом, необходимо построить замкнутый силовой многоугольник. Построение силового многоугольника всегда нужно начинать с известных, заданных сил. Из произвольной точки hello_html_4c6a7e66.png (рис.13б) проведем вектор hello_html_m70e5ffa5.png, параллельный данной силе hello_html_m54fbe242.png, длина которого в выбранном масштабе изображает модуль этой силы. Затем через точки hello_html_4c6a7e66.png и hello_html_576824de.png проводим прямые, параллельные линиям действия искомых сил hello_html_m2f71ed42.png и hello_html_m2d6f823.png, которые пересекутся в точке hello_html_m2070a385.png. Векторы hello_html_m44e9ef02.png и hello_html_72021a8a.png определяют искомые силы hello_html_m2d6f823.png и hello_html_m2f71ed42.png.Чтобы найти направление искомых сил на силовом треугольнике , нужно обойти этот треугольник по его периметру, причем направление этого обхода определяется направлением данной силы hello_html_m54fbe242.png. Измерив длину сторон hello_html_3329761a.png и hello_html_m44e9ef02.png и зная масштаб, в котором построена сила hello_html_m54fbe242.png, найдем численные значения сил hello_html_m2f71ed42.pngи hello_html_m2d6f823.png.

Пример 3. Определить реакции стержней, удерживающих грузы F1=70 кН и F2=100 кН. Массой стержней пренебречь.

hello_html_2d260f3.jpg



 

Указание. В данной задаче рассматривается равновесие плоской системы сходящихся сил и требуется определить реакции двух шарнирно соединенных между собой стержней, удерживающих два груза. Таким образом, к шарниру В в каждой задаче приложены четыре силы, из которых две неизвестны. Для задач такого типа универсальным является аналитический метод решения.

Последовательность решения задачи:

1. выбрать тело (точку), равновесие которого следует рассматривать;

2. освободить тело (шарнир В) от связей и изобразить действующие на него активные силы и реакции отброшенных связей. Причем реакции стержней следует направить от шарнира В, так как принять считать предположительно стержни растянутыми;

3. выбрать систему координат, совместив ее начало с точкой В, и составить уравнения равновесия, используя условия равновесия системы сходящихся сил на плоскости hello_html_63906f47.png;

4. определить реакции стержней из решения указанной системы уравнений;

5. проверить правильность полученных результатов по уравнению, которое не использовалось при решении задачи, либо решить задачу графически.

Решение.

1. Рассматриваем равновесие шарнира В (рис 14,а)

2. Освобождаем шарнир В от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей (рис.14,б)

3. Выбираем систему координат и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В.

hello_html_m42ad0f22.png

hello_html_6bcf6249.png

4. Определяем реакции стержней R1 и R2, решая уравнения.

Из уравнения 1: hello_html_m1c070980.png

Подставляем найденное значение R1 в уравнение 2 и получаем

hello_html_m139a4dd5.png

Знак минус перед значением R2 указывает на то, что первоначально выбранное направление реакции неверно – следует направить реакцию R2 в противоположную сторону, т.е. к шарниру В (на рис.14,б истинное направление реакции R2 показано штриховым вектором)

5. Проверяем правильность полученных результатов, решая задачу графически. Полученная система сил находится в равновесии, следовательно, силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, должен быть замкнутым.

Строим силовой многоугольник в следующем порядке: в выбранном масштабе (например,hello_html_5b52ebd0.png=2 кН/мм) откладываем заданную силу F1 (ab=F1), затем из точки b под углом 300 к горизонту откладываем силу F2 (bc=F2), далее из точек а и с проводим прямые, параллельные положениям стержней 1 и 2. Эти прямые пересекаются в точке d и в результате построения образуется замкнутый многоугольник abcd, в котором сторона cd=R2, а сторона da=R1. Измерив длины этих сторон (в мм) и умножив на масштаб построения hello_html_5ddcc73d.png, получаем значения реакций стержней: hello_html_m20b412a3.png

hello_html_mc8d0ffa.png

Графическое решение подтверждает правильность первого решения.

 



10-12. «Определение опорных реакций двух опорных балок»


Пример1.

Определить реакции опор горизонтальной балки от заданной нагрузки.

Дано:

Схема балки (рис. 1).

P = 20 кН, G = 10 кН, М = 4 кНм, q = 2 кН/м, a=2 м, b=3 м, hello_html_5da3b3e3.png.

___________________________________

Определить реакции опор в точках А и В.

hello_html_57827770.png

Рис. 1

Решение:

Рассмотрим равновесие балки АВ (рис. 2).

К балке приложена уравновешенная система сил, состоящая из активных сил и сил реакции.

Активные (заданные) силы:

hello_html_m54fbe242.png, hello_html_m546a4598.png, hello_html_7a485458.png, пара сил с моментом М, где

hello_html_7a485458.png- сосредоточенная сила, заменяющая действие распределенной вдоль отрезка АС нагрузки интенсивностью q.

Величина

hello_html_m5d5f1a03.png

Линия действия силы hello_html_7a485458.png проходит через середину отрезка АС.

Силы реакции (неизвестные силы):

hello_html_m52cea11e.png, hello_html_m322cf06a.png, hello_html_2e3c2c35.png.

hello_html_m52cea11e.png- заменяет действие отброшенного подвижного шарнира (опора А).

Реакция hello_html_m52cea11e.png перпендикулярна поверхности, на которую опираются катки подвижного шарнира.

hello_html_m322cf06a.png, hello_html_2e3c2c35.png - заменяют действие отброшенного неподвижного шарнира (опора В).

hello_html_m322cf06a.png, hello_html_2e3c2c35.png - составляющие реакции hello_html_d7cef0d.png, направление которой заранее неизвестно.

Расчетная схема

hello_html_20042fe2.png

Рис. 2

 

Для полученной плоской произвольной системы сил можно составить три уравнения равновесия:

hello_html_m20319eaa.png, hello_html_m54f9d72f.png, hello_html_m5c9f2514.png.

Задача является статически определимой, так как число неизвестных сил (hello_html_46ca96c4.png, hello_html_m2a49c77b.png, hello_html_m70a41a12.png) - три - равно числу уравнений равновесия.

Поместим систему координат XY в точку А, ось AX направим вдоль балки. За центр моментов всех сил выберем точку В.

Составим уравнения равновесия:

1) hello_html_m1a14bac6.png;

2) hello_html_68bfa994.png

3) hello_html_m4bfb8d21.png

Решая систему уравнений, найдем hello_html_m52cea11e.png, hello_html_5e2cd3eb.png, hello_html_2e3c2c35.png.

hello_html_7262c153.png

hello_html_687f0971.png

hello_html_m55b3552c.png

Определивhello_html_5e2cd3eb.png, hello_html_2e3c2c35.png, найдем величину силы реакции неподвижного шарнира

hello_html_m5c7d268b.png

 

В целях проверки составим уравнение

hello_html_3895345e.png.

Если в результате подстановки в правую часть этого равенства данных задачи и найденных сил реакций получим нуль, то задача решена - верно.

hello_html_m4bbbc7e5.png

Реакции найдены верно. Неточность объясняется округлением при вычислении hello_html_23cafefd.png.

Ответ: hello_html_1610c63b.pnghello_html_60d10151.png

 

Пример 2. Для заданной плоской рамы определить реакции опор.

Дано:

Схема рамы рис.3

P = 20 кН, G = 10 кН, М = 4 кНм, q = 2 кН/м, a=2 м, b=3 м, hello_html_5da3b3e3.png.

______________________________

Определить реакции опор рамы.

hello_html_m341da4f7.png

Рис. 3

 

Решение:

Рассмотрим равновесие жесткой рамы АВЕС (рис. 4).

 

Расчетная схема

 

hello_html_29ec5962.png

Рис. 4

 

Система сил приложенных к раме состоит из активных сил и сил реакций.

Активные силы:

hello_html_m75c7a39a.png, hello_html_m546a4598.png, пара сил с моментом hello_html_m440cd967.png, hello_html_m325c7dfd.png, hello_html_m68627a3c.png.

hello_html_m325c7dfd.png, hello_html_m68627a3c.png заменяют действие распределенной нагрузки на отрезках ВД и ДЕ.

hello_html_3b8088a8.png

Линия действия силы hello_html_m325c7dfd.png проходит на расстоянии hello_html_1c32e7be.png от точки В.

hello_html_63b14302.png

Линия действия силы hello_html_m68627a3c.png проходит через середину отрезка ДЕ.

Силы реакции:

hello_html_m13bd538d.png, hello_html_m250a6afd.png, hello_html_3ee36d8c.png - заменяют действие жесткого защемления, которое ограничивает любое перемещение рамы в плоскости чертежа.

К раме приложена плоская произвольная система сил. Для нее можем составить три уравнения равновесия:

hello_html_m20319eaa.png, hello_html_m54f9d72f.png, hello_html_6c0481f5.png

Задача является статистически определимой, так как число неизвестных тоже три - hello_html_m13bd538d.png, hello_html_m250a6afd.png, hello_html_3ee36d8c.png.

Составим уравнения равновесия, выбрав за центр моментов точку А, так как ее пересекают наибольшее число неизвестных сил.

1)hello_html_462ccb9e.png

2)hello_html_4b96f093.png

3) hello_html_513e525c.png

Решая систему уравнений, найдем hello_html_m402014bb.png, hello_html_m4317f1bb.png, hello_html_3ee36d8c.png.

hello_html_4a74e31c.png

hello_html_m37f279d8.png

hello_html_m443254d.png

Для проверки полученных результатов составим уравнение моментов вокруг точки С.

hello_html_m6c429013.png

Подставляя все значения, получим

hello_html_555c047b.png

Реакции найдены верно.

Ответ:

hello_html_m129bd84b.png

hello_html_60424382.png


13-16. Определение опорных реакций консольных балок с жёсткой заделкой

Пример1.

hello_html_m2b1c0ca5.png

1) Освобождаем балку от опор, а их действие заменяем опорными реакциями;

2) Заменяем распределенную нагрузку на равнодействующую G = q . L;

3) Выбираем координатные оси;

4) Составляем уравнения равновесия.

Fkx = 0 RВх = 0

mА(Fк)= 0 G .L/2 + m — RВу (L + B)= 0

RВу = [G .L/2 + m]/(L + B) = [5. 6/2 + 10](6+6) = 2,08 кн

mВ(Fk)= 0 R.(L + B) — Q .(L/2 + B) + m = 0

R = [Q .(L/2 + B) - m] / (L + B) =[5 .(6/2 + 6) - 10] / (6 + 6) = 2,92 кн

Пример 2.

Для заданной конструкции, состоящей из двух ломаных стержней, определить реакции опор и давление в промежуточном шарнире С.

Дано:

Схема конструкции (рис. 6).

P = 20 кН, G = 10 кН, М = 4 кНм, q = 2 кН/м, a=2 м, b=3 м, hello_html_5da3b3e3.png.

______________________________________

Определить реакции опор в точках А и В и давление в промежуточном шарнире С.

 

hello_html_m7159d6a5.png

Рис. 1

Решение:

Рассмотрим равновесие всей конструкции (рис. 7).

К ней приложены:

активные силы hello_html_m54fbe242.png, hello_html_m546a4598.png, hello_html_7a485458.pngпара сил с моментом М, где

hello_html_m4e89a830.png;

силы реакции:

hello_html_m6e9e157b.pnghello_html_5e2cd3eb.png, hello_html_2e3c2c35.png, hello_html_543c69f.png, hello_html_m52cea11e.png,

hello_html_m6e9e157b.pnghello_html_5e2cd3eb.png, hello_html_2e3c2c35.png, hello_html_543c69f.png - заменяют действие жесткого защемления;

hello_html_m52cea11e.png- заменяет действие шарнирно-подвижной опоры А.

 

Расчетная схема

 

hello_html_2f4ab2b2.png

Рис. 2

 

Для полученной плоской произвольной системы сил можем составить три уравнения равновесия, а число неизвестных - четыреhello_html_5e2cd3eb.png, hello_html_2e3c2c35.png, hello_html_543c69f.png, hello_html_m52cea11e.png.

Чтобы задача стала статически определимой, конструкцию расчленяем по внутренней связи - шарниру С и получаем еще две расчетные схемы (рис. 3, рис. 4).

hello_html_2017bf77.pnghello_html_47f81ffc.png

Рис 3 Рис. 4

 

hello_html_3c3fc7c4.png, hello_html_m1722c05d.png заменяют действие тела АС на тело СВ, которое передается через шарнир С. Тело СВ передает свое действие на тело АС через тот же шарнир С, поэтому hello_html_m57cd8e03.pnghello_html_1d4cb7da.png; hello_html_cce471b.png, hello_html_2aed874e.png.

Для трех расчетных схем в сумме можем составить девять уравнений равновесия, а число неизвестных – шесть hello_html_5e2cd3eb.png, hello_html_2e3c2c35.png, hello_html_543c69f.png, hello_html_m52cea11e.png, hello_html_3c3fc7c4.png, hello_html_m1722c05d.png, то есть задача стала статически определима. Для решения задачи используем рис. 8, 9, а рис. 7 оставим для проверки.

Тело ВС рис 4

1) hello_html_647e5073.png

2) hello_html_m59b8b2cb.png

3) hello_html_m3fc6e19e.png

Тело СА (рис. 9)

4) hello_html_m21311aba.png

5) hello_html_2141d4b6.png

6) hello_html_1fa6dbd4.png

Решаем систему шести уравнений с шестью неизвестными.

hello_html_6ac14958.png

hello_html_m1d0cfb29.png

hello_html_523e6914.png

hello_html_598cb458.png

hello_html_m30858134.png

hello_html_1787ff09.png

 

Проверка:

hello_html_m20df614a.png

Реакции внешних опор в точках А и В найдены верно. Давление в шарнире С вычисляем по формуле hello_html_22e51930.png

 

Ответ: hello_html_26737af9.png, hello_html_7d447098.png, hello_html_m76025269.png, hello_html_m26aa017c.png,hello_html_5983fa47.pnghello_html_m5744fded.png

Минусы означают, что направления hello_html_2e3c2c35.png иhello_html_543c69f.png надо изменить на противоположные.


17. Решение задач по теме « Трение»



Пример 1. Плоскость hello_html_35e92d7b.png может вращаться на шарнире hello_html_m7fef126a.png, так что ее можно установить под любым углом hello_html_m5814e99c.png к горизонту. На эту плоскость положено тело весом hello_html_4a4080e3.png (рис.25). При каком угле hello_html_m5814e99c.png тело будет оставаться в равновесии?

hello_html_m43acee50.jpg

Рис.25

 

Решение. Обозначим через hello_html_76ebc3ff.png нормальную реакцию плоскости и через hello_html_m3f5de1c3.png силу трения. Составим два уравнения равновесия для сходящейся системы сил hello_html_4ad5999d.png, спроектировав их на оси hello_html_1ea8dd60.png и hello_html_5e5604d9.png

hello_html_m7a4c00e1.png, hello_html_m5aa8ff50.png.

Из этих уравнений получим

hello_html_m6622e02d.png.

Наибольшее значение, которого может достигнуть сила трения в покое, равно

hello_html_449f6c72.png. Поэтому hello_html_418d01eb.png, а следовательно

hello_html_4684c99c.png, или hello_html_140b3804.png.

Так как hello_html_m2fdf2433.png, то hello_html_m4a34166a.png или hello_html_m2c62b59a.png.

Отсюда заключаем, что тело будет оставаться в равновесии до тех пор, пока угол наклона плоскости не превышает угла трения.

Заметим, что при помощи прибора, изображенного на рис.25, можно определить коэффициент трения.

Пример 2. На рис. 26 показана схема колодочного тормоза. Найти наименьшее значение силы hello_html_m63035b08.png, необходимое для того, чтобы затормозить шкив hello_html_47552ac7.png. Коэффициент трения между тормозной колодкой и поверхностью шкива равен hello_html_m224a31b4.png. Нужные размеры указаны на чертеже.

hello_html_581dbcda.jpg

Рис.26

 

Решение. Приложенные к шкиву в точке hello_html_m448aa291.png нормальное давление и силу трения обозначим через hello_html_m67b531bf.png и hello_html_138ca2e3.png. В той же точке hello_html_m448aa291.png к тормозной колодке приложены нормальная реакция hello_html_41e7b8f8.png и сила трения hello_html_m4e39b9f3.png, равные по модулю и противоположные по направлению силам hello_html_m67b531bf.png и hello_html_138ca2e3.png. Напишем условия равновесия для шкива и для рычага hello_html_m38973c9b.png в отдельности, приравняв нулю сумму моментов всех сил, приложенных к шкиву, относительно точки hello_html_47552ac7.png и сумму моментов сил, приложенных к рычагу, относительно точки hello_html_m7fef126a.png. Получим два уравнения

hello_html_m4884bd39.png, hello_html_3f334153.png.

Положим hello_html_975a434.png, где hello_html_2e04a4ff.png. Подставив это значение hello_html_m1f0ad5e8.png в эти уравнения и заменив hello_html_m4d4cfef1.png и hello_html_4746fb5a.png через hello_html_m37852be7.png и hello_html_m1f0ad5e8.png, получим

hello_html_m192715f.png.

Определив величину hello_html_m37852be7.png из первого уравнения и подставив ее значение во второе уравнение, найдем

hello_html_670e7fbc.png.

Как видно из формулы, с увеличением коэффициента hello_html_718cce14.png величина hello_html_4a4080e3.png уменьшается и когда hello_html_718cce14.png достигает наибольшего значения hello_html_m224a31b4.png, сила hello_html_4a4080e3.png будет иметь наименьшее значение. Следовательно, окончательно получим

hello_html_779bd0d9.png.




18. Пространственная система произвольно расположенных сил

Если силы, действующие на тело, лежат в пространстве, то такая система сил называется пространственной, и если главный вектор и главный момент системы равны нулю, то система сил уравновешенная.

Следовательно, необходимые и достаточные условия равновесия пространственной системы будут R = 0, M = 0 - в векторной форме. Так как при равновесии главный момент нравен нулю относительно любого центра приведения, то вместо hello_html_m463b9dc7.png можно писать М без индекса.

Спроектировав главный вектор R на координатные оси Оx, Оy, Оz получим аналитические условия равновесия произвольной пространственной системы сил, которые выражаются шестью уравнениями равновесия и

hello_html_m77795c95.png hello_html_20c8ce86.png

hello_html_m7ff45259.png hello_html_544ab710.png (28)

hello_html_5cdd3756.png hello_html_4c51fe1.png

и формулируется так: произвольная пространственная система сил находится в равновесии, если сумма проекций сил на каждую из координатных осей и сумма моментов всех сил относительно осей координат равны нулю.

При решении необходимо рассмотреть связи, которые до сих пор не встречались нам.

Подпятник (рис.38) - это тип опоры не препятствующий повороту тела или какой-либо его детали вокруг своего центра, но препятствующий смещению тела в любом направлении, поэтому для такого типа опоры не известны ни величина реакции , ни образуемые его с координатами осями углы, а известна только точка приложения реакции.

hello_html_1c723fa1.png

Рис. 38

 

Такую реакцию можно представить составляющими, направленными в положительных направлениях трех осей координат (отрицательный знак, полученный при решении уравнения равновесия, покажет, что в действительности та или иная составляющая опорной реакции направлена в противоположную выбранному направлению сторону).

В большинстве задач требуется определить не реакцию, а ее составляющие, сама реакция определяется как диагональ прямоугольного параллепипеда, построенного на составляющих X, Y, Z как на сторонах.

hello_html_m82f08d2.png.

Направление реакции можно определить по направляющим косинусам

hello_html_m134c038e.png,

hello_html_m14da49f9.png, (29)

hello_html_m8b34056.png.

Подлинник (рис.39) - это цилиндрический шарнир, позволяющий телу или его элементу (например, валу, оси и т.д.) поворачиваться вокруг своей оси, смещаться вдоль нее, но не позволяющему перемещаться в перпендикулярной плоскости к его оси, следовательно, реакция подшипника может быть расположена только в плоскости, перпендикулярной к его оси. Зная в этой плоскости только точку приложения реакции и не зная угла, образуемого его с какой-либо находящейся в этой плоскости осью, представляем реакцию двумя составляющими, направленными в положительные стороны координатных осей, расположенных в этой плоскости. Сама реакция R может быть определена как равнодействующая определенных составляющих Z и Y.

hello_html_72559921.png

Рис.39

 

hello_html_m33508d42.png. (30)

Направление ее может быть найдено по формулам:

hello_html_m14da49f9.png, (31)

hello_html_m8b34056.png.

Порядок (план) решения задач.

1. Установить, равновесие какого тела нужно рассмотреть, чтобы определить неизвестные величины.

2. Выбрать начало координат и положения координатных осей.

3. Установить, какие активные силы действуют на тело.

4. Освободившись от связей, наложенных на рассматриваемую систему, заменить действие связей силами реакций связей.

5. Составить соответствующие уравнения равновесия.

6. Решая уравнения равновесия, определить неизвестные величины.

7. Найдя знаки неизвестных сил, установить их фактические направления.

hello_html_39efcbe.png

Рис.40

 

Рассмотрим сначала методику определения проекций силы на оси координат и моментов ее относительно этих осей. Пусть по внутренней диагонали куба (рис.40) действует сила F. Определим проекции силы F на оси координат и моменты ее относительно осей. Чтобы найти проекции силы на ось координат, необходимо применить метод двойного проектирования, который заключается в том, что сначала сила проецируется на плоскость, включающую данную ось, а затем уже эта проекция проецируется на данную ось. Так, чтобы определить проекцию силы F на ось Х, необходимо сначала спроецировать ее на плоскость ХOY, а уже затем на ось ординат. В результате получим, что

hello_html_m28572f67.png

где hello_html_4691111f.pnghello_html_m7f906709.png;

Отсюда hello_html_1f83b883.png

Знак минус показывает, что направление проекции противоположно положительному направлению оси Х. Аналогично,

hello_html_7cb7d6d8.png

где hello_html_3d0ca368.png

Отсюда hello_html_m2cd9d9ae.png

Проекция силы F на ось Z определяется как

hello_html_74ea031.png,

где hello_html_999a6d1.png

Отсюда hello_html_40bfa720.png

Итак, убеждаемся, что сила направлена на внутренней диагонали куба, то проекция силы на все оси одинаковы.

При определении момента силы относительно оси координат необходимо помнить, что он равен произведению проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси на перпендикуляр, опущенный из точки пересечения оси с плоскостью на линию действия проекции силы. Знак момента будет положительным, если, посмотрев с положительного направления оси координат увидим вращение плоскости под действием проекции против часовой стрелки и, наоборот, отрицательный если это вращение совпадает с вращением стрелки часов.

hello_html_4742ce76.png

Рис.41

 

Так, момент силы F (рис.41) относительно оси Z будет равен произведению проекции силы F на плоскость Q, перпендикулярную оси Z, на перпендикуляр, опущенный из точки О пересечения оси с этой плоскостью на линию действия проекции силы hello_html_2554305e.png. Итак

hello_html_m1bea673.png.

Знак момента положительный, так как вокруг оси Z плоскость Q под действием проекции hello_html_2554305e.png, если смотреть с положительного направления оси Z, вращается против часовой стрелки. Момент силы относительно оси координат будет равен 0, когда сила параллельна этой оси или пересекает ее.

hello_html_m75e1882b.png

Рис.42

 

Так, в примере (рис.42) сила F пересекает ось Y, следовательно, ее момент относительно Y равен нулю. Момент силы F относительно оси X будет произведение проекции силы на плоскость перпендикулярную оси Х (плоскость ZOY) на перпендикуляр, опущенный из точки О, пересечения оси Х с плоскостью ZOY на линию действия проекции силы на эту плоскость:

hello_html_1b3c07e1.png,

где hello_html_m6a96c94a.png, hello_html_m3875263c.png,

откуда

hello_html_658691c1.png

Знак (-) показывает, что плоскость ZOY под действием проекции hello_html_31883ddf.png вокруг оси Х вращается по часовой стрелке. Аналогично

hello_html_m401ab7f3.png

Учитывая, что

hello_html_20fe00e3.png,

hello_html_cd14739.png,

hello_html_m536733fe.png,

где x, y, z - координаты точки приложения силы,

X, Y, Z - проекции силы на соответствующие оси.

Координаты точки А (а, 0, а).

Проекции силы hello_html_m16ce0f3c.pnghello_html_7271c648.pnghello_html_40bfa720.png

Подставляя, проверим результаты наших рассуждений:

hello_html_6bf7dde2.png

hello_html_m17451269.png

hello_html_3aa62ac2.png



19. Решение задач по теме: « Теорема о сложении скоростей»


Пример1.

Два автомобиля 1 и 2 движутся параллельно друг другу в одну и ту же сторону со скоростями v1=80 км/ч и v2=60 км/ч (рис. 212, а). С какой скоростью второй автомобиль двигается относительно первого?


Решение задачи


1. Ответ «по соображению» получается мгновенно: v2-1=60-80=-20 км/ч, т. е. относительно первого второй автомобиль двигается со скоростью 20 км/ч, но в обратную сторону.

2. Объясним это решение с точки зрения теории сложного движения точки. Условно остановим первый автомобиль. Но тогда, чтобы не изменились условия движения, необходимо мысленно представить, что полотно дороги под вторым автомобилем и вместе с ним получает движение в обратную сторону со скоростью vпер=-v1 (рис. 212, б).

Находясь в условном переносном движении со скоростью vпер, второй автомобиль относительно дороги движется со скоростью v2.

Поэтому результирующая обеих скоростей vабс=v2-1 численно равна их разности:
v
2-1 = v1 - v2 = 80 - 60 = 20 км/ч.

Как видно на рисунке результирующая направлена в сторону, противоположную скорости v1.









Пусть некоторая точка М со­вершает движение по отношению к системе отсчета Oxyz, которая са­ма движется произвольным образом по отношению к неподвижной систе­ме отсчета O1x1y1z1, (рис.2).

Конечно, абсолютное движение точки М определяется уравнениями

hello_html_6b5deafb.png

hello_html_4f68f1bf.png

hello_html_60bd8dd6.png

Относительное движение – в движущихся осях уравнениями

hello_html_m3ce9cf54.png

hello_html_203a9576.png

hello_html_m7f53c8fa.png

Рис. 10.3.

  Уравнений, определяющих переносное движение точки, не может быть вообще. Так как, по определению, переносное движение точки М – это движение относительно неподвижных осей той точки системы O1x1y1z1, с которой совпадает точка в данный момент. Но все точки подвижной сис­темы движутся по-разному.

Поло­жение подвижной системы отсчета может быть также определено, если задать положение точки О радиусом-вектором hello_html_m474a91a7.png, проведенным из начала неподвижной системы отсчета, и направления единичных векторов hello_html_m3c6794d.png подвижных осей Оx, Oy, Oz.

hello_html_m21ef3c1e.png

Рис.2

 

Произвольное переносное движение подвижной системы отсчета слагается из поступательного движения со скоростью hello_html_m603c3d07.png точки О и движения вокруг мгновенной оси вращения ОР, походящей через точку О, с мгновенной угловой скоростью hello_html_m4c94fbd3.png. Вследствие переносного движения подвижной системы отсчета радиус-вектора hello_html_m326a8a91.png и направления единичных векторов hello_html_m3c6794d.png изменяются. Если векторы hello_html_1c722d4a.png заданы в функции времени, то переносное движение подвижной системы отсчета вполне определено.

Положение точки М по отношению к подвижной системе отсчета можно определить радиусом-вектором hello_html_2e43254b.png

hello_html_m39a85097.png,

где координаты x, y, z точки М изменяются с течением времени вследствие движения точки М относительно подвижной системы отсчета. Если радиус-вектор hello_html_2e43254b.png задан в функции времени, то относительное движение точки М, т.е. движение этой точки относительно подвижной системы отсчета, задано.

Положение точки М относительно неподвижной системы отсчета O1x1y1z1, может быть определено радиусом-вектором hello_html_351ba208.png. Из рис.2 видно, что

hello_html_69f73c07.png. (1)

Если относительные координаты x,y,z точки М и векторы hello_html_m3c6794d.png определены в функции времени, то слагающееся из относительного и переносного движений составное движение точки М, т.е. движение этой точки по отношению к неподвижной системе отсчета, также надо считать заданным.

Скорость составного движения точки М, или абсолютная скорость этой точки, равна, очевидно, производной от радиуса-вектора hello_html_351ba208.png точки M по времени t

hello_html_m457b3b1d.png

Поэтому, дифференцируя равенство (1) по времени t, получим

hello_html_m170b6358.png
Разобьем слагаемые в правой части этого равенства на две группы по следующему признаку. К первой группе отнесем те слагаемые, которые содержат производные только от относительных координат
x,y,z, а ко второй - те слагаемые, которые содержат производные от векторов hello_html_1c722d4a.png, т.е. от величин, изменяющихся только вследствие переносного движения подвижной системы отсчета

hello_html_58d243d6.png

hello_html_4b00bd67.png

Каждая из групп слагаемых, обозначенных через hello_html_m5fba10e1.png и hello_html_416e738e.png, представляет собой, по крайней мере, по размерности некоторую скорость. Выясним физический смысл скоростейhello_html_m1d59376f.png и hello_html_61f1a938.png.

Скорость hello_html_m5fba10e1.png, как это следует из равенства (3), вычисляется в предположении, что изменяются только относительные координаты x,y,z точки М, но векторы hello_html_1c722d4a.png остаются постоянными, т.е. подвижная система отсчета Oxyz как бы условно считается неподвижной. Итак, скорость hello_html_m5fba10e1.png представляет собой относительную скорость точки М.

Скорость hello_html_416e738e.png вычисляется так, как будто бы точка М не двигалась относительно подвижной системы отсчета, так как производные x,y,z в равенство (4) не входят. Поэтому скорость hello_html_61f1a938.png представляет собой переносную скорость точки М.

Итак, hello_html_2573f90f.png. (5)

Это равенство выражает теорему сложения скоростей в случае, когда переносное движение является произвольным: абсолютная скорость точки М равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки.

Пример 2. Колечко М движется по вращающемуся стержню (рис.3) так, что OM=s=3t2 (см) и hello_html_2f6f5973.png (рад).

hello_html_252d1f8.png



 

Ранее было установлено, что тра­ектория относительного движения – прямая линия, сов­падающая со стерж­нем, и движение это определяется уравнением s=s(t). Траектория пе­реносного движения точки М в мо­мент времени t – окружность радиуса OM=s.

Поэтому относительная ско­рость hello_html_m7a3acb73.png. И направлена по ка­сательной к траектории вдоль стержня (рис.3). Переносная скорость колечка, как при вращении вокруг оси, hello_html_33f5e293.png. Направлен вектор этой скорости по касательной к траектории переносного движения, перпендикулярно стержню.

Абсолютная скорость колечка hello_html_301a3eee.png. Величина ее, т.к. hello_html_3f2368a8.png.

hello_html_m4209b913.png.




20. Мощность. КПД, работа и мощность при вращательном движении.




Пример1.

Для определения мощности электродвигателя через его шкив перекинута тормозная лента (рис. 260, а). Один конец ленты удерживается динамометром, а к другому концу прикреплена двухкилограммовая гиря. После запуска двигателя при установившейся угловой скорости n=1850 об/мин динамометр показывает усилие 49 Н. Определить мощность двигателя.


Решение задачи

1. Рассмотрим, какие силы действуют на шкив при установившемся равномерном вращении.

Шкив приводится во вращательное движение вращающим моментом Mвр, создаваемым двигателем. Кроме того, на шкив действуют сила натяжения правой ветви ленты, создаваемая динамометром (Tд=49 Н), и сила Tг натяжения левой ветви ленты, создаваемая двухкилограммовой гирей (Tг=2*9,81=19,6 Н)

2. Определим вращающий момент двигателя. Так как шкив вращается равномерно, то алгебраическая сумма моментов всех сил относительно оси вращения шкива равна нулю:
Mвр - Tдd/2 + Tгd/2 = 0,
где d – диаметр шкива, d=240 мм=0,24 м. Отсюда
Mвр = (Tд - Tг)d/2 = (49 - 19,6)*0,12 = 3,53 Н*м.

3. Переведя угловую скорость n=1850 об/мин в рад/сек:
ω = πn/30 = 3,14*1850/30 = 194 рад/сек,
из формулы (3) можно найти мощность двигателя:
N = Mврω = 3,53*194 = 685 вт.

Таким образом, мощность двигателя составляет 685 вт.

Пример2.

Токарный станок приводится в движение электродвигателем, мощность которого N=2,21 кВт. Считая, что к резцу станка подводится лишь 0,8 мощности двигателя, определить вертикальную составляющую усилия резания, если диаметр обрабатываемой детали d=200 мм, а шпиндель вращается со скоростью n=92 об/мин.


Решение задачи

1. Шпиндель станка с закрепленной в нем деталью вращается под действием вращающего момента, который уравновешивается моментом искомого вертикального усилия резания P, т. е.
M
вр - Pd/2 = 0,
где d=200 мм =0,2 м – диаметр обрабатываемой детали.

Следовательно,
M
вр = Pd/2 = 0,l P.

2. Мощность, подведенная к резцу, составляет 0,8 от всей мощности двигателя. Таким образом, к. п. д. передачи η=0,8 и подведенная к резцу мощность
N
под = ηN = 0,8*2,21 = 1,77 кВт.

3. Переведем угловую скорость n=92 об/мин в рад/сек:
ω = πn/30 = 3,14*92/30 = 9,63 рад/сек,

4. Подставим найденные значения Mвр, Nпод и ω в формулу (3):
M
вр = N/ω
и получаем
0,1 P = 1770/9,63



21.Теорема об изменении количества движения, об изменении кинетической энергии.


Пример1.

По графику зависимости скорости от времени v(t) определить, является ли работа силы, действующей на материальную точку в интервале времени от 0 до τ положительной, отрицательной, равной нулю (рис.1). Учесть, что АО = ОВ.

hello_html_m6db5c92e.png

Рис.1

 

Решение. Работа силы, действующей на частицу, равна приращению кинетической энергии частицы.

hello_html_m13a50b56.png

Кинетическая энергия материальной точки связана со скоростью соотношением hello_html_m72354912.png Поскольку скорости частицы в моменты времени t=0 и t=τ согласно условию задачи равны по величине (на графике АО = ОВ), то и кинетические энергии в этих состояниях одинаковы, т.е. hello_html_472b1bc1.png Следовательно, работа приложенной силы за указанный промежуток времени равна нулю.

 

Пример 2. Точка движется по оси Ox под действием силы, направленной вдоль оси x (рис.2). Сравните значения кинетической энергии точки в начальном и конечном состояниях для случаев, когда проекция силы на ось координат изменяется согласно графикам “а” и “б” ?

hello_html_69a36780.png

Рис.2

 

Решение. Согласно теореме приращение кинетической энергии частицы равно работе силы, действующей на частицу.

hello_html_m13a50b56.png

Работа переменной силы определяется соотношением hello_html_3fb8326a.png Учитывая геометрический смысл интеграла (площадь криволинейной трапеции), нетрудно видеть, что в случае “а” работа равна нулю и кинетические энергии начального и конечного состояний совпадают. В случае “б” работа положительна и кинетическая энергия конечного состояния больше, чем начального.

 

Пример 3. Два диска с равными массами, на разных размеров (RA = 2RB) раскручивают до одинаковых угловых скоростей. Найти отношения произведенных работ.

Решение. Работа по раскручиванию диска равна приращению кинетической энергии, т.е. A=∆Wk. Начальная кинетическая энергия каждого диска равна нулю, конечная связана с угловой скоростью формулой

hello_html_2db2efa5.pngУчитывая, что момент инерции сплошного однородного диска равен hello_html_78d46205.png получим искомое отношение произведенных работ:

hello_html_m30a2f56e.png



Теорема об изменении момента количества движения точки (теорема моментов).

hello_html_m1177a37f.pngИз двух основных динамических харак­теристик, величина hello_html_5b9f6645.png является векторной. Иногда при изучении движения точки вместо изменения самого вектора hello_html_5b9f6645.png оказывается необходимым рассматривать изменение его момента. Мо­мент вектора hello_html_5b9f6645.png относительно данного центра О или оси z обозна­чается hello_html_d2cb675.png или hello_html_a616265.png и называется соответственно моментом количества движения или кинетическим моментом точки отно­сительно этого центра (оси). Вычисляется момент вектора hello_html_5b9f6645.png так же, как и момент силы. При этом вектор hello_html_5b9f6645.png считается приложенным к движущейся точке. По модулю hello_html_m147cd8af.png, где h - длина перпендикуляра, опущенного из центра О на направление вектора hello_html_5b9f6645.png (рис.15).

Теорема моментов отно­сительно центра. Найдем для ма­териальной точки, движущейся под дей­ствием силы F (рис.3), зависимость между моментами векторов hello_html_m24fb4771.png и hello_html_7441c2ef.pngотно­сительно какой-нибудь неподвижного центра О. В конце было показано, что hello_html_m6fa68901.png.

Аналогично hello_html_30460138.png

hello_html_57dc3f3b.pngПри этом вектор hello_html_743db00c.png направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор hello_html_m33fd7aae.png, а вектор hello_html_m21555522.png - перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и векторhello_html_6fc70e74.png.

 

hello_html_m5f4a63d4.png

Рис.3

 

Дифференцируя выражение hello_html_m21555522.png по времени, получаем:

hello_html_m4bdb29f5.png

Ноhello_html_m331f8eb8.png, как векторное произведение двух параллельных векторов, ahello_html_6dfe6f13.png. Следовательно,

hello_html_2cc97c05.png

В результате мы доказали следующую теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра. Аналогичная теорема имеет место для моментов вектора hello_html_5791a47f.pngсилы hello_html_m3f83c066.pngотносительно какой-нибудь оси z, в чем можно убедиться, проектируя обе части равенства hello_html_m7029bd54.png на эту ось. Ма­тематическое выражение теоремы моментов относительно оси дается формулой hello_html_m390035ba.png.



22-23. Расчёт на прочность при растяжении – сжатии


Пример 1.

Круглая колонна диаметра d сжимается силой F. Определить увеличение диаметра hello_html_1188f3b8.png, зная модуль упругости Е и коэффициент Пуассона hello_html_m5425f6db.png материала колонны.

hello_html_49d86ee5.png

Р е ш е н и е.

Продольная деформация по закону Гука равна

hello_html_m11a2e870.png.

Используя закон Пуассона, находим поперечную деформацию

hello_html_m528dc3e3.png.

С другой стороны, hello_html_m135d3424.png.

Следовательно, hello_html_m49fc9bed.png.

 

Пример 2.

Построить эпюры продольной силы, напряжения и перемещения для ступенчатого бруса.

hello_html_271df7d3.png

Р е ш е н и е.

1. Определение опорной реакции. Составляем уравнение равновесия в проекции на ось z:

hello_html_m1873345b.png, hello_html_m1a5ad5cc.png,

откуда RE = 2qa.

2. Построение эпюр Nz, hello_html_4e3daecb.png, W.

Э п ю р а Nz. Она строится по формуле

hello_html_16e5e3d2.png.

Имеем

hello_html_4999dcfe.png,

hello_html_56d80c64.png

hello_html_59dd0776.png,

hello_html_m5bd0f3d3.png.

Э п ю р а hello_html_4e3daecb.png. Напряжение равно hello_html_m4ad64964.png. Как следует из этой формулы, скачки на эпюре hello_html_4e3daecb.png будут обусловлены не только скачками Nz, но также резкими изменениями площади поперечных сечений. Определяем значения hello_html_4e3daecb.png в характерных точках:

hello_html_7c6f9509.png

hello_html_11bd472a.png

hello_html_20cfa45c.png

hello_html_3c73bcf5.png

hello_html_7157d5f9.pngи строим эпюру hello_html_4e3daecb.png.

Э п ю р а W. Она строится по формуле

hello_html_2e9b95f.png.

Построение ведем от защемления к свободному концу. Находим перемещения в характерных сечениях:

Wo = WE = 0,

hello_html_675eb5a.png

hello_html_201db875.png

hello_html_29392f1a.png

hello_html_m26f79272.png

и строим эпюру W.

 

Пример 3.

Для стержня, изображенного на рисунке, построить эпюру нормальной силы и определить удлинение стержня, если F1 = 100 кН, F2 = 50 кН, q = 40 кН/м, а = 1 м, b = 2 м, с = 1,5 м, Е = 2×105 МПа, S = 0,2 м2.

Решение.

1. Разбиваем брус на участки АВ, ВС, CD

2. Определяем значение нормальной силы на каждом участке

hello_html_1bf5d7eb.png

CD hello_html_73775b98.png

hello_html_m78a62fc1.png

CB hello_html_m76c316dd.png

hello_html_m7cf35fa4.png

при z2=1,5 м, N2=-100 кН,

при z2=3,5 м, N2=-20 кН,

hello_html_3ed4144c.png

hello_html_a162236.pngкН

1) Строим эпюру нормальной силы

2) Определяем удлинение стержня

hello_html_2c8669f8.png

hello_html_359754b0.png

hello_html_45a80553.png

hello_html_m6153cb7d.png

hello_html_m652b7aeb.png

 

Пример 4.

Построить эпюру hello_html_m56add044.png для колонны переменного сечения (рис. а). Длины участков hello_html_m48a302a5.png2 м. Нагрузки: сосредоточенные hello_html_3e8c4312.png=40 кН, hello_html_45f4152d.png=60 кН, hello_html_m7c6af6d9.png=50 кН; распределенная hello_html_m269a91f8.png=20 кН/м.

hello_html_m62eb6b69.jpg

 

Решение:

Пользуемся методом сечений. Рассматриваем (поочередно) равновесие отсеченной (верхней) части колонны (рис. в).

Из уравнения hello_html_3fd019d3.png для отсеченной части стержня в произвольном сечении участка hello_html_59e650bb.png продольная сила

hello_html_m2f3ce188.png(hello_html_4c28dabc.png),

при hello_html_m7b8eb911.png=0 hello_html_78a72934.png кН;

при hello_html_m1ddfeb09.png=2 м hello_html_m5d6ebfd8.png кН,

в сечениях участков hello_html_m750b6057.pngимеем соответственно:

hello_html_m34e9bab.pngкН,

hello_html_66a43ebc.pngкН,

hello_html_m30320061.pngкН,

Итак, в четырех сечениях продольные силы отрицательны, что указывает на деформацию сжатия (укорочения) всех участков колонны. По результатам вычислений строим эпюру продольных сил hello_html_m56add044.png (рис. б), соблюдая масштаб. Из анализа эпюры следует, что на участках, свободных от нагрузок, продольная сила постоянна, на нагруженных – переменна, в точках приложения сосредоточенных сил – изменяется скачкообразно.


24-26. Упражнение по решению задач на срез.


Пример № 1

Круглый стержень, растягиваемый силой F = 180 кН укреплен на детали с помощью чеки прямоугольного сечения (рис.1). Из условий прочности на растяжение, срез и смятие стали определить диаметр стержня d, необходимую длину а хвостовой его части, а также размеры поперечного сечения чеки t и h без учета ее работы на изгиб. Допускаемые напряжения принять: [σр] = 160 МПа, [τср] = 100 МПа, [σсм] = 320 МПа.

hello_html_m591af4bb.jpg

Рис.1

 

Решение.

Стержень под действием силы F испытывает растяжение, ослабленным сечением будет сечение стержня, которое проходит через чеку. Его площадь определяется как разность площадей круга и прямоугольника, у которого одна сторона равна ширине чеки t, а вторую можно принять равной диаметру стержня d. hello_html_m34b11fe9.png. Эта площадь показана на (рис. 1, ж).

По условию прочности на растяжения

hello_html_36772802.png

определяем площадь растяжения, подставляя N = F, имеем:

hello_html_m7bf34901.png

приравниваяhello_html_m3474302a.png (1) получаем первое уравнение. В хвостовике стержня под давлением чеки может произойти срез по площади Аср = 2(a - h)d. Из условия прочности на срез

hello_html_m7ada7f48.png, где Q=F

определим площадь среза хвостовика

hello_html_m1fee13d4.png

отсюда 2(a - hd = 1800 (2) получаем второе уравнение.

Исходя из условия равно прочности на срез стержня и чеки определяем площадь среза чеки, которая определяется как A2ср = 2ht и равны A1ср т.е. A2ср = A1ср, поэтому получаем третье уравнение 2ht = 1800 (3).

Под действием силы F чека, оказывая давление на внутреннюю часть стержня вызывает смятие стержня по площади Aсм = d·t. Из условия прочности на смятие

hello_html_m4f63197d.png

определяем площадь смятия:

hello_html_m70215a1f.pngили hello_html_49346225.png

Таким образом, получим четыре уравнения для определения диаметра стержня d, длины хвостовика а и размеров поперечного сечения чеки t и h:

hello_html_m3c9af514.png

2(a - h)d = 1800 (4)

2ht = 1800

dt = 56,25

подставим в первое уравнение системы (4) вместо dt = 56,25, получим:

hello_html_505a4798.png56,25 = 1125 или hello_html_505a4798.png= 1125 + 56,25 = 1687,5

отсюда hello_html_m9ff8600.png т.е. d=46,4мм

т.к. dt=56,25, hello_html_m7d9df4b3.png; t = 12,1 мм.

Из третьего уравнения системы (4) определяем h.

2ht = 1800, отсюда hello_html_74ddaa42.png; h = 74,3 мм.

Из второго уравнения системы (4) определяем а.

2(a - h)d = 1800

(a - h) = 900, отсюда hello_html_m5827b17e.png

Итак, а = 93,7 мм.

 

 

Пример № 2

Проверить прочность тяги на растяжение, а болта на срез и смятие, если к тяге приложена сила F = 60 кН, размеры даны на (рис.2), при допускаемых напряжениях: на растяжение [σр] = 120 МПа, на срез [τср] = 80 МПа, на смятие [σсм] = 240 МПа.

hello_html_m3dd91968.jpg

Рис. 2

 

Решение.

Устанавливаем, какие виды деформаций испытывают детали соединения. Под действием силы F стальная тяга диаметром d и проушина с наружным диаметром D1 и внутренним D2 будут испытывать растяжение, площадка тяги представляет собой окружность с площадью

hello_html_6dd1dcc7.png

в проушине, ослабленной отверстием D2 разрыв может произойти по площади A = (D1D2)в. Используя условия прочности при растяжении

hello_html_m5b58b494.png

проверяем прочность тяги на растяжение; т.к. N = F, то

hello_html_m5dcddbcd.png

т.е. тяга удовлетворяет условию прочности.

Растягивающее напряжение в проушине;

hello_html_53f2292f.png

Прочность проушине обеспечена.

Болт диаметром D2 испытывает срез по двум плоскостям, каждая из которых равна площади поперечного сечения болта, т.е.

hello_html_me2a34e8.png

Из условия прочности на срез:

hello_html_6df869d4.pngт.к. Q = F,

hello_html_19204353.png, то hello_html_m3e248f21.png

Внутренняя часть проушины оказывает давление на поверхность болта, поэтому смятию подвергается цилиндрическая поверхность болта по площади Асм = D2·в.

Из условия прочности на смятие:

hello_html_m4f63197d.png

выполняем проверку прочности болта на смятие

hello_html_m538f412.png

 

 

Пример № 3

Болт диаметром d = 100мм, работающий на растяжение, опирается головкой на лист (рис. 3). Определить диаметр головки D и высоту ее h, если растягивающее напряжение в сечении болта σр = 100 Н/мм2, напряжение смятия по площади опирания головки σсм = 40Н/мм2 и напряжения среза головки τср = 50 Н/мм2.

hello_html_5a30ea1e.jpg

Рис.3

 

Решение.

Приступая к решению задачи, нужно установить какие виды деформаций испытывает стержень болта и его головка, чтобы затем использовать соответствующие расчетные зависимости. Если уменьшать диаметр болта d, то это может привести к разрыву, так как стержень болта испытывает растяжение. Площадь поперечного сечения, по которой может произойти разрыв hello_html_50651fe6.png (рис. 3,в). Уменьшение высоты головки h, если прочность головки стержня окажется недостаточной, повлечет за собой срез по боковой поверхности цилиндра высотой h и диаметром d (рис. 3,а). Площадь среза Аср = π·d·h.

Если будет уменьшаться диаметр головки D, то воспринимающая силу F, опорная кольцевая поверхность головки стержня может подвергнуться смятию. Площадь смятия hello_html_m505bb593.png (рис. 3,б).

Таким образом, расчет необходимо вести по условиям прочности на растяжение, срез и смятие. При этом следует соблюдать определенную последовательность, т.е. начинать расчет с определения тех силовых факторов или размеров, которые не зависят от других определяемых величин. В данной задаче начинаем с определения внутренней силы Ν, которая равна по величине срезающей силе Q прикладываемой к болту силы F.

Из условия прочности при растяжении

hello_html_m5b58b494.png

определяем силу N, которая равна по величине силе Q = F.

Сила hello_html_2ee35cc2.png

Из условия прочности на срез hello_html_6df869d4.png определим высоту головки

болта, т.к. Q = F, то, hello_html_64898ef.png, но Aср = πdh, поэтому hello_html_6619161a.png.

Определяем диаметр опорной поверхности головки болта из условия ее прочности на смятие

hello_html_m4f63197d.png

отсюда hello_html_m45fe6ef0.png, но hello_html_m59271ba1.png откуда hello_html_m4e8f9054.png.

Ответ: h = 50 мм, D = 187 мм.


27-29. Упражнение по решению задач на смятие.

Пример1.

Выполнить расчет прикрепления стержня к узловой фасонке (см. рис.1) болтами диаметром d = 2 см. Стержень, поперечное сечение которого представляет собой два одинаковых равнобоких уголка, растягивается силой F = 300 кН.

Материал фасонки и болтов – сталь, для которой расчетные сопротивления равны: на растяжение Rbt = 200 МПа, на срез Rbs = 160 МПа, на смятие Rbр = 400 МПа, коэффициент условий работы соединения hello_html_27c20355.png= 0,75. Одновременно рассчитать и назначить толщину листа фасонки.

hello_html_m2f90a81d.pnghello_html_m34f6c631.pnghello_html_3bec9aca.png

Рис.1

 

Решение.

Прежде всего необходимо установить номер равнобоких уголков, составляющих стержень, определив потребную площадь поперечного сечения Anec из условия прочности на растяжение

hello_html_m11f1940f.png

Учитывая предстоящее ослабление стержня отверстиями для болтов, следует добавить к площади сечения Anec 15%. Полученной таким образом площади сечения А = 1,15ּ20 = 23 см2 отвечает по ГОСТ 8508–86 (см. Приложение) симметричное сечение из двух равнобоких уголков размерами 75hello_html_m10b3d601.png75hello_html_m10b3d601.png8 мм.

Производим расчет на срез. Пользуясь формулой hello_html_75d51cb9.png, найдем необходимое число болтов

hello_html_17877934.png

Остановившись на этом числе болтов, определим толщину hello_html_m37d90274.png узловой фасонки, используя условие прочности на смятие hello_html_f32cfd7.png

hello_html_60211b7.png

Указания

1. Привязка линии размещения болтов (заклепок) в один ряд находится из условия: m = b/2 + 5 мм.

В нашем примере (рис. 1)

m = 75/2 + 5 = 42,5 мм.

2. Минимальное расстояние между центрами соседних болтов принимают равным l = 3d. В рассматриваемой задаче имеем

l = 3ּ20 = 60 мм.

3. Расстояние от крайних болтов до границы соединения l/ принимается равным 0,7l. В нашем примере l/ = 0,7l = 0,7ּ60 = 42 мм.

4. При выполнении условия hello_html_20a3ba43.png см болты (заклепки) размещают в две линии в шахматном порядке (рис. 2).

hello_html_247b4ea2.pnghello_html_m4025722d.pnghello_html_mf3235e3.pnghello_html_142dc42a.pnghello_html_7df8c372.png

 

Пример № 2

Определить необходимое количество заклепок диаметром 20 мм для соединения внахлестку двух листов толщиной 8 мм и 10 мм. Сила F, растягивающая соединение, равна 200 кН. Допускаемые напряжения: на срез hello_html_5dfaa10.png = 140 МПа, на смятие hello_html_52f17d95.png= 320 МПа.

hello_html_45712881.png

Решение.

Из условия прочности на срез необходимое число заклепок

hello_html_mae0436c.png

Из условия прочности на смятие необходимое число заклепок

hello_html_4ab8929e.png

Ответ: 5 заклепок.

 

Пример № 3

Проверить прочность соединения деревянных элементов – врубки «прямым зубом», показанной на рисунке. Размеры врубки даны на рисунке в мм, растягивающая сила F = 100 кН. Расчетные сопротивления для древесины имеют значения: на скалывание Rск = 2,5 МПа, на смятие Rсм = 10 МПа, коэффициент условий работы соединения γс = 1.

hello_html_m6051d77.png

Решение.

Проверяем выполнение условия прочности на скалывание hello_html_5f451481.png

hello_html_m17648129.png

Таким образом, условие прочности на скалывание выполняется.

Проверяем условие прочности на смятие hello_html_m148d717a.png

hello_html_341d8f32.png

Таким образом, и условие прочности на смятие также выполняется.



30-33. Определение геометрических характеристик плоских сечений


Пример 1.

Определить положение центра тяжести полукруга (см. рис.).

hello_html_7c1eb198.png

Решение.

Направим ось y по оси симметрии полукруга, а ось z совместим с его основанием. В этом случае zc=0, надо определить только координату yc. Подсчитаем Sz непосредственным интегрированием по площади полукруга:

hello_html_m163d7e4b.png.

Далее по формуле находим расстояние центра тяжести от основания полукруга:

hello_html_12f06ec0.png.

 

Пример 2.

Для прямоугольного поперечного сечения определить моменты инерции относительно осей геометрической симметрии hello_html_733c14bf.png и осей, совпадающих со сторонами прямоугольника hello_html_m25332871.png (см. рис.).

hello_html_7bd1f6f1.png

Решение.

Оси x, y являются главными центральными для прямоугольного поперечного сечения, так как они совпадают с осями геометрической симметрии. Оси x0, y0 − в данном случае будут вспомогательными. Для определения осевого момента инерции Jx выделим на расстоянии y полоску шириной B и толщиной dy, следовательно dF=Bdy, тогда

 

hello_html_68418bd7.png

Теперь рассмотрим на расстоянии x от оси y полоску шириной h и толщиной dx, в этом случае dF=hdy и момент инерции Jy будет равен

hello_html_61462eab.png

Центробежный момент инерции

hello_html_mcb04c07.png

где hello_html_147c2c50.png.

Моменты инерции относительно осей x0, y0, можно вычислить используя формулы переноса, полагая hello_html_1d815d84.png, тогда

hello_html_m3faa6543.png

 

Пример 3.

Определить геометрические характеристики относительно центральных и главных осей для сечения в виде прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке.

hello_html_m4c5358b0.png

Решение.

Отнесем треугольник к вспомогательной системе координат x0, y0. В качестве элементарной площади возьмем полоску на расстоянии y0 толщиной dy0 и переменной ширины b(y0) так, что

hello_html_6f7ab0c4.png.

Из подобия треугольников нетрудно установить, что:

hello_html_m1fe0d045.png,

тогда hello_html_m26843e17.png.

Статический момент hello_html_m2cccb95b.pngбудет равен

hello_html_4423c6f6.png

По аналогии получим

hello_html_m186546fb.png

Площадь треугольника

hello_html_d76dc2a.png.

Координаты центра тяжести C определим по формулам:

hello_html_m32780117.png

Через точку C проводим центральные оси x, y параллельные осям hello_html_49bd799a.png

Момент инерции hello_html_m368a55b.png и аналогично hello_html_m5491f380.png равны:

hello_html_3a6bf0a4.png,

hello_html_m187bff56.png.

Для определения момента инерции относительно центральной оси x воспользуемся формулой при параллельном переносе осей

hello_html_m2dfb8954.png.

Так как hello_html_31b239a6.png, то

hello_html_3960cce4.pnghello_html_m15963b1b.png

Центробежный момент

hello_html_415ab7eb.png,

где hello_html_m25729a85.png; hello_html_28a582bf.png.

Интегрируя, получаем

hello_html_m234403b6.png

 

Перейдя к центральным осям x и y, получим

hello_html_37878192.png.

Определение направлений главных осей:

hello_html_m467eac7d.png.

Проводим главные центральные оси 1 и 2.

Если, например, hello_html_793e3ff0.png, то имеем равнобедренный треугольник, для которого hello_html_m65ab70ca.png, hello_html_mb5b27d7.png, hello_html_m3fd57c92.png. Тогда:

hello_html_m5c429f39.png.

 

Пример 4.

Определить площадь и моменты инерции относительно главных центральных осей инерции круглого поперечного сечения диаметра hello_html_1f7134cc.png (см. рис.).

hello_html_5dce54c8.png

Решение.

Выберем оси x, y, которые для круглого сечения будут главными и центральными, так как являются осями геометрической симметрии. В качестве элементарной площади dF возьмем полоску на уровне y толщиной dy и шириной b(y), т.е. hello_html_2f2ca860.png. Координаты точки A на контуре сечения, а также dy, b(y) равны:

hello_html_m4b674610.png.

Тогда элементарная площадь

hello_html_m5e62dfb0.png.

Площадь круга

hello_html_m4edb0231.png.

Моменты инерции относительно оси x

hello_html_m39dd567a.png

Такое значение имеет момент инерции относительно оси yhello_html_543abbe4.png. Следовательно, полярный момент инерции для круга

hello_html_m75a0acc2.png.

 

Пример 5.

Определить положение центра тяжести и моменты инерции относительно главных центральных осей для поперечного сечения в виде полукруга (см. рис.).

hello_html_m453f1497.png

 

Решение.

Проводим вспомогательные оси x0, y0 при этом учтем, что ось y0 является осью геометрической симметрии и будет одной из главных центральных осей инерции сечения − 1 (см. рис.). Вторая главная центральная ось будет проходить через центр тяжести сечения и перпендикулярно оси y0.

Площадь полукруга hello_html_medaec28.png.

Статический момент относительно вспомогательной оси x0 равен

hello_html_7b0a3559.png,

где hello_html_m7ff4b233.png.

Координаты центра тяжести в осях x0, y0:

hello_html_m3849717a.png

Через точку С с координатами hello_html_153567b.png, hello_html_m6561ea5f.png проводим вторую главную центральную ось инерции − 2 (см. рис.). Таким образом? положение главных центральных осей для заданного сечения − определено.

Моменты инерции полукруга относительно осей x0, y0 будут равны половине моментов инерции полного круга, найденных в предыдущей задаче:

hello_html_7c1c29e4.png.

Определим осевые моменты инерции сечения относительно главных центральных осей

hello_html_6c8122af.png

 

Пример 6.

Найти центробежный момент инерции для равнобокого уголка 125х125х10 (мм) относительно центральных осей x, y.

hello_html_m18061788.png

а) б) в)

 

Решение.

Из таблицы ГОСТа для уголка (рис. а) находим

J1=571 мм4, J2=149 мм4, J12=0, hello_html_153567b.png =3,45 мм, hello_html_m5814e99c.png=-450, F=24,3 мм2.

Центробежный момент

hello_html_35877d90.pngмм4.

Для уголка (рис. б) угол hello_html_4de8bb9.png,

hello_html_47d30ace.pngмм4.

Для уголка (рис. в) угол hello_html_45a0e8d7.png,

Jxy=211 мм4.

 

Пример 7.

Определить центробежный момент инерции неравнобокого уголка 160х100х10 относительно центральных осей, параллельных полкам (см. рис.).

hello_html_m76f6f9b9.png

 

Решение:

По таблице сортамента прокатной стали в соответствии с ГОСТ 8510-72 (СТ СЭВ 255-76) имеем hello_html_m330c3f2f.png= 204 cм4, hello_html_539b91c8.png = 667 cм4, Iu min = 121 cм4, hello_html_m2c66cc4c.png = 0,390.

Для определения центробежного момента инерции hello_html_m2816d0c3.png воспользуемся формулами поворота осей (переход от главных осей hello_html_a73668f.png к данным hello_html_m5f0d41f9.png)

hello_html_25bbd0cb.png.

Угол в данном случае отрицателен, так как кратчайшее совмещение оси hello_html_22244520.png с hello_html_m82246b3.png происходит по часовой стрелке. Главный момент инерции hello_html_4e47903c.pngзадан в таблице сортамента, а главный момент hello_html_3d33f290.pngопределяем из соотношения

hello_html_446ead8f.png,

откуда hello_html_7e78a926.png= 204 + 667 – 121 = 750 см4.

Таким образом, центробежный момент уголка будет равен

hello_html_m2816d0c3.png= 0,5(121-750)×(-0,677) = 213 см4.

 

Пример 8.

Определить центробежный момент инерции равнобокого уголка 100х100х10 относительно центральных осей, параллельных полкам (см. рис.).

hello_html_m6db94a88.png

 Решение:

По таблице сортамента прокатной стали в соответствии с ГОСТ 8509-72 (СТ СЭВ 104-74) имеем hello_html_4acd0d32.png=284 см4, hello_html_m14526ba7.png=74,1 см4, hello_html_416179c3.png=3,84 см, hello_html_m72f14add.png=1,96 см.

Пользуясь формулой поворота, находим

hello_html_m137d491d.png,

hello_html_556d761a.pngсм4.


34-38. Построение эпюр внутренних силовых факторов при кручении.



Зная величины внешних скручивающих моментов и используя метод сечений, мы можем определить крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях вала. Крутящий момент Мк в сечении вала числено равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения, при этом могут рассматриваться как левая, так и правая отсеченные части вала.

Примем правило знаков для крутящего момента: его положительное направление соответствует повороту сечения по ходу часовой стрелки, если смотреть на сечение со стороны внешней нормали (рис. 1).

hello_html_me9fad52.png

Рис.1

 

При наличии распределенной моментной нагрузки m (рис.5.3) крутящие моменты МК связаны дифференциальной зависимостью

hello_html_fb3dbea.png

из которой вытекает следующая формула:

hello_html_m70f6edcc.png

где hello_html_72e10037.png– крутящий момент в начале участка.

Согласно формуле на участках с равномерно распределенной нагрузкой m крутящий момент изменяется по линейному закону. При отсутствии погонной нагрузки (m = 0) крутящий момент сохраняет постоянное значение (МК = МКо = const). В сечениях, где к валу приложены сосредоточенные скручивающие моменты, на эпюре МК возникают скачки, направленные вверх, если моменты направлены против часовой стрелки, либо вниз – при обратном направлении моментов.

hello_html_436286c0.png

Рис. 2

 

Пример 1.

Построить эпюру крутящих моментов для жестко защемленного стержня (рис.5.4, а).

hello_html_m548f7023.png

Рис.3

 

Решение.

Следует отметить, что алгоритм и принципы построения эпюры крутящих моментов полностью совпадают с алгоритмом и принципами построения эпюры продольных сил.

1. Намечаем характерные сечения.

2. Определяем крутящий момент в каждом характерном сечении.

hello_html_7bc4d788.png

3. По найденным значениям строим эпюру hello_html_m4ce3b39f.png(рис3).

Пример2.

К стальному валу (см.рис.5.10) приложены скручивающие моменты: М1, M2, M3, M4. Требуется:

1) построить эпюру крутящих моментов;

2) при заданном значении hello_html_5dfaa10.png определить диаметр вала из расчета на прочность и округлить его величину до ближайшей большей, соответственно равной: 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100 мм;

3) построить эпюру углов закручивания;

4) найти наибольший относительный угол закручивания.

Дано: М1 = М3 = 2 кНм, М2 = М4 = 1,6 кНм, а = b = с = 1,2 м, hello_html_5dfaa10.png = 80 МПа.

hello_html_m251692e6.png

Рис.4.

 

Решение.

1. Построить эпюру крутящих моментов.

При построений эпюр Мкр примем следующее правило знаков: крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса действующий на него момент представляется направленным по движению часовой стрелки.

Крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях брусьев, определяются по внешним окручивающим моментам с помощью метода сечений. На основании метода сечения крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Для брусьев, имеющих один неподвижно закрепленный (заделанный) и один свободный конец, крутящие моменты всех поперечных сечений удобно выражать через внешние моменты, приложенные с той стороны от рассматриваемого сечения, с которой расположен свободный конец. Это позволяет определять крутящие моменты, не вычисляя реактивного момента, возникающего в заделке.

Для построения эпюры крутящих моментов необходимо найти величины крутящих моментов на каждом участке вала.

I участок (КД):

hello_html_m4303901e.pngкНм,

II участок (СД):

hello_html_72b296c8.pngкНм,

III участок (СВ):

hello_html_m264ebb2b.pngкНм,

IV участок (ВА):

hello_html_m58882ea9.pngкНм.

По значению этих моментов строим эпюру Мкр в выбранном масштабе. Положительные значения Мкр откладываем вверх, отрицательные - вниз от нулевой линии эпюры (см. рис.5.11).

hello_html_m7785428c.png

Рис.5

 

2. При заданном значении hello_html_5dfaa10.png определим диаметр вала из расчета на прочность.

Условие прочности при кручении имеет вид

hello_html_36666035.png.

hello_html_54daba19.png- максимальный крутящий момент, взятый по абсолютной величине. Определяется из эпюры Мкр (рис.5.11).

hello_html_4ebc171d.pngкНм;

hello_html_m41e38583.png- полярный момент сопротивления для сплошного круглого вала.

Диаметр вала определяется по формуле

hello_html_62d47edc.png

Принимаем d = 50 мм = 0,05 м.

3. Построим эпюру углов закручивания.

Угол закручивания участка вала длиной l постоянного поперечного сечения определяется по формуле

hello_html_m75e5774a.png.

где hello_html_4c74f25e.png - жесткость сечения вала при кручении.

hello_html_m3d2cf96b.pngН/м2;

hello_html_m7a74516c.png- полярный момент инерции круглого вала

hello_html_m602b48d.pngм4.

Вычислим углы закручивания сечений В, С, D и К относительно закрепленного конца вала (сечения А)

hello_html_m410d0c10.pngрад,

hello_html_m7a0f1d2e.pngрад,

hello_html_1ea97fa8.pngрад,

hello_html_46a1ac47.pngрад.

Строим эпюру углов закручивания

4. Найдем наибольший относительный угол закручивания

hello_html_m5cedf583.pngрад/м.




39-41. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в двухопорных балках


Пример.

Построить эпюры hello_html_m2cd3d112.pngи hello_html_d9a6149.pngдля двухопорной балки, нагруженной, как показано на рис.

Решение.
1. Определяем реакции опор hello_html_m10bd5831.pngи hello_html_209723b7.png. Из уравнения моментов относительно точки hello_html_m6235bf1a.pngнаходим
hello_html_1a634a95.png.
Из уравнения моментов относительно точки hello_html_1d119b00.pngнаходим
hello_html_m4bce1872.png.
Алгебраическая сумма проекций всех внешних сил на ось, перпендикулярную балке,
hello_html_m5594e61c.png; следовательно, реакции опор определены правильно.

2. Разбиваем балку на три участка. Характерными являются сечения А, С, D и В.

3. Так как все участки балки свободны от распределенной нагрузки, то поперечные силы на каждом участке постоянны и эпюра hello_html_m2cd3d112.pngизобразится прямыми, параллельными базовой линии. Применяя метод сечений, определяем значения поперечных сил на каждом участке:
hello_html_m2afdd91a.png; hello_html_m7d4d1622.png; hello_html_23691f24.png.
По полученным данным строим эпюру hello_html_m2cd3d112.png(рис.
7, б).

4. Для построения эпюры hello_html_d9a6149.png, применяя метод сечений, вычисляем значения изгибающих моментов в характерных сечениях. При этом каждый раз рассматриваем равновесие левой отсеченной части (можно рассматривать правую часть или ту и другую части поочередно - результаты будут те же):
hello_html_7f5b0843.pnghello_html_649cf1e1.png;

hello_html_31b4d2cd.png;

hello_html_m32e5aeac.png;

hello_html_2aa0ae9.png.
По полученным данным строим эпюру hello_html_d9a6149.png(рис.
7, в).
Рассматривая эпюры hello_html_m2cd3d112.png, hello_html_d9a6149.pngи нагрузку на балку с точки зрения общих правил построения эпюр, обнаруживаем, что построение эпюр не содержит принципиальных ошибок: например, где Q > 0 (участок I), момент hello_html_d9a6149.pngвозрастает; где Q < 0 (участки II и III), он убывает; в сечении С на эпюре Q имеет место скачок, равный значению приложенной сосредоточенной силы (12 кН), а в эпюре hello_html_d9a6149.png- излом, причем острие излома направлено против силы; в сечении D, где приложена пара сил, на эпюре hello_html_d9a6149.pngнаблюдается скачок, равный моменту этой пары (8 кН-м), а в эпюре hello_html_m2cd3d112.pngнет никаких изменений.

hello_html_mebd022.png

Рисунок 1

Рисунок 2

Пример 2. Построить эпюры hello_html_m2cd3d112.pngи hello_html_d9a6149.pngдля двухопорной балки, нагруженной, как показано на рис.

Решение.

1. Из уравнения моментов относительно правой опоры hello_html_m400d9b35.pngнаходим hello_html_m4dc70b77.png.
Из уравнения моментов относительно левой опоры hello_html_6b2461ba.pngнаходим hello_html_m6cd707.png.
Проверяя по уравнению проекций на вертикальную ось
hello_html_20b2ae97.png,
убеждаемся, что реакции опор определены правильно.

2. Разбиваем балку на два участка. Характерными сечениями являются А, С и В.

3. Применяя метод сечений, строим эпюру hello_html_m2cd3d112.png. Балка по всей длине несет равномерно распределенную нагрузку; следовательно, значение поперечной силы изменяется по линейному закону и ее эпюра изобразится наклонным отрезком прямой со скачком под сосредоточенной нагрузкой F. В сечении правее опоры А (при рассмотрении левой части балки) hello_html_m5fa90c08.png.
В сечении левее сечения С (при рассмотрении левой части балки)
hello_html_m17bf5f79.png.
В сечении левее опоры В (при рассмотрении правой части балки) hello_html_m4fb6b0ba.png.
Всечении правее сечения С (при рассмотрении правой части балки)
hello_html_77584eb0.png.
По полученным данным строим эпюру hello_html_m2cd3d112.png(рис.
8, б). Образовавшийся под сечением С в эпюре hello_html_m2cd3d112.pngскачок, равный значению силы F = 10 кН, подтверждает правильность построения эпюры поперечных сил.

4. Строим эпюру hello_html_d9a6149.png(рис. ). Так как на всех участках нагрузка распределенная, то эпюра изгибающих моментов должна иметь вид параболы с выпуклостью навстречу нагрузке и переломом под сечением С, где приложена сосредоточенная сила. При этом на участке I, где hello_html_m5b6f25d6.png, hello_html_d9a6149.pngвозрастает, а на участке II, где hello_html_m5df25b83.png, hello_html_d9a6149.pngубывает.

Применяя метод сечений, определяем значения изгибающих моментов в характерных сечениях. В сечении А hello_html_m5aee37f9.png, в сечении В hello_html_733e3b1d.png. В сечении С при рассмотрении левой отсеченной части
hello_html_mbb3cccd.png. В том же сечении при рассмотрении правой отсеченной части hello_html_m50518911.png.
Совпадение значений hello_html_m264cca62.png, найденных слева и справа, подтверждает правильность построения эпюры hello_html_d9a6149.png, Таким образом, эпюра hello_html_d9a6149.pngдля заданной балки изображается восходящей дугой параболы на участке АС и нисходящей дугой другой параболы на участке СВ. При этом hello_html_d9a6149.png=36 kH.



42-45. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов в консольных балках

Пример1.

Построить эпюры Qy и Мх для простой консоли, изображенной на рисунке.


 hello_html_62fb67ae.jpg


Решение.


1. Определение опорных реакций. Составляем уравнения равновесия:


hello_html_m6f17c7d.jpg,   MA + F.a + M - q . 2a . 4a = 0,


откуда MA = 6qa2;


hello_html_mac001fd.jpg,    RA = q . 2a - F = qa.


2. Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента.


Э п ю р а Qy. В сечении А имеем QA = RA (скачок на величину и в направлении реакции RA = qa). На участке АВ погонной нагрузки нет, поэтому поперечная сила постоянна. В сечении В поперечная сила меняется скачком от QBA = QA = qa до QBC = QBA + F = 2qa (скачок на величину и в направлении силы F = qa). На участках ВС и CD поперечная сила опять сохраняет постоянное значение, т.е. QBC = QCD = 2qa. На участке DE поперечная сила изменяется по линейному закону от QD = 2qa до QE = QD - q . 2a = 0.


Э п ю р а Мх. В сечении А приложен момент МА, вызывающий растяжение верхних волокон, поэтому на эпюре изгибающего момента происходит скачок вверх на величину момента MA = 6qa2.


На участке АВ Мх изменяется по линейному закону. Вычисляем момент в сечении В MB = MA + hello_html_m34b783a4.jpg= -6qa2 + qa×a = -5qa2 и проводим наклонную прямую. Аналогично на участках ВС и СD. В бесконечно близком сечении слева от точки С момент равен MСB = MB + hello_html_m34b783a4.jpg= -5qa2 + 2qa . a = -3qa2.


В сечении С на эпюре Мх скачок вверх, равный приложенной паре сил M = qa2, и правее этого сечения имеем MCD = MCB - qa2 = -3qa2 - qa2 = -4qa2.


Момент в сечении D MD = MCD + hello_html_m34b783a4.jpg= -4qa2 + 2qa.hello_html_m184480f3.jpg = -2qa2.


На участке DE изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы, обращенной выпуклостью вниз (в сторону погонной нагрузки q). В сечении Е по условию загружения балки МЕ = 0. По двум точкам D и Е приближённо стр

Пример 2.


Построить эпюры Qy и Мх для балки.


 hello_html_7b6b2f82.jpg


Решение.


1. Определение опорных реакций. Составляем уравнения равновесия:


hello_html_m456e6a69.jpg,    q . 4a . а + qa2 + 3qa2-RD . 4a = 0,


откуда RD = 2qa;


hello_html_m1a26be07.jpg,    RBa + qa2 +3qa2-qaa = 0,


откуда RB = 2qa.


П р о в е р к а


hello_html_mac001fd.jpg,    q×4a - RB - RD = 4qa - 2qa - 2qa = 0.


2. Построение эпюр поперечной силы и изгибающего момента.


Э п ю р а Qy. Строится по формуле Qy = Qo ± qz. В данном случае перед вторым слагаемым следует взять знак “плюс”, так как погонная нагрузка положительна (см. правила построения эпюр). На участках АВ и ВС эпюра Qy изображается прямой, наклоненной вверх (в направлении погонной нагрузки q), а на участке CD поперечная сила постоянна (q = 0). В сечениях В и D на балку действуют сосредоточенные силы RA и RD, поэтому на эпюре Qy возникают скачки. Вычисляем значения поперечной силы в характерных точках QA = 0,


QBA = QA + q×a = qa,


QBC = QBA - RB = qa - 2qa = -qa,


QC = QBC + q . 3a = -qa + 3qa = 2qa и строим эпюру Qy.


Э п ю р а Мх. Она строится по формуле Мх = Мо + hello_html_m34b783a4.jpg. На участках с погонной нагрузкой (АВ и ВС) изгибающий момент изменяется по закону квадратной параболы Mx = Mo + Qoz + 0,5qz2, обращенной выпуклостью вверх (в сторону погонной нагрузки q). В сечениях А и D, где приложены сосредоточенные пары, на эпюре Мх наблюдаются скачки, причем момент qa2 вызывает растяжение сверху (при обходе слева направо), поэтому в сечении А скачок направлен вверх, а момент 3qa2 вызывает растяжение снизу (при обходе справа налево), поэтому в сечении D скачок происходит вниз. На участке АВ парабола строится по двум точкам А и В, а на участке ВС – по трем точкам (к крайним точкам В и С добавляется точка экстремума). Положение точки экстремума определяется из условия zo = QBC /hello_html_m584ccfb6.jpg. Согласно дифференциальной зависимости hello_html_m584ccfb6.jpg= dQ/dz = q, поэтому zo = qa/q = 0. Вычисляем значения момента в характерных точках:


MA = -qa2, MB = MA + hello_html_m34b783a4.jpg= -qa2 + (1/2) . q .a = -qa2/2,


Mmax = MB + hello_html_m34b783a4.jpg= -qa2/2 - (1/2) .qa . a = -qa2,


MC = Mmax + hello_html_m34b783a4.jpg= -qa2 + (1/2) . 2 qa . 2a = qa2


и строим эпюру Мх.


Пример 3


По заданной эпюре поперечной силы Qy установить нагрузку, действующую на двухопорную балку, и ее опорные реакции. Построить также эпюру изгибающего момента, учитывая, что на правой опоре С приложена пара сил.


 hello_html_ac8e2dc.jpg


Решение.


Скачки на эпюре Qy свидетельствуют о приложенных в этих сечениях сосредоточенных силах. Приняв направление обхода слева направо, получим: реакция в точке А равна RA = qa и направлена вверх; в сечении В приложена сосредоточенная сила F = 5qa, направленная вверх; наконец, реакция RB = 2qa и направлена вниз. На участке АВ поперечная сила изменяется по линейному закону, что связано с наличием погонной нагрузки, интенсивность которой определяется как тангенс угла наклона прямой qy = dQ/dz = (-3qa - qa)/4a = -q. Знак “минус” означает, что нагрузка направлена вниз. Для определения неизвестной пары сил М, приложенной в сечении С, составим уравнение моментов относительно этой точки:


hello_html_2d35270a.jpg,      -RA . 7a - F .3a + q . 4a . 5a + MC = 0,


откуда MC = 2qa2 и направлен против часовой стрелки.


Эпюру Мх строим по формуле Мх = Мо + hello_html_m34b783a4.jpg. На участке АВ изгибающий момент изменяется по квадратичному закону. На концевой шарнирной опоре А нет пары сил, поэтому МА = 0. В сечении, где Qy = 0, изгибающий момент принимает экстремальное значение:


Mmax = MA + hello_html_m34b783a4.jpg= (1/2)qa . a = qa2/2.


Находим момент в сечении В: MB = Mmax + hello_html_m34b783a4.jpgт = qa2/2- (1/2)3qa . 3a = -4qa2 и по трём точкам приближенно строим параболу, обращенную выпуклостью вниз. На участке ВС изгибающий момент изменяется по линейному закону от MB = -4qa2 до MC = MB + hello_html_m34b783a4.jpg= -4qa2 + 2qa . 3a = 2qa2. По условию загружения балки также имеем MC =2qa2. Совпадение значений МС, найденных независимо друг от друга, свидетельствует о правильности построения эпюры Мх.





46-49. Расчёт размеров поперечного сечения вала при сочетании основных видов нагружений


Пример 1.

Подобрать прямоугольное сечение балки (рис.1) при условии, что hello_html_m267c0430.png, hello_html_caa381.png=160 МПа, hello_html_37680dd7.png=60 кН, hello_html_2aa28ee1.png=30°, hello_html_m14ca8017.png=2.8 м.

hello_html_m1b94df25.png

Рис.1

 

Решение:

Разложив силу P на две составляющие, действующие по нап­равлению главных осей поперечного сечения балки, определяем опорные реакции и строим эпюры изгибающих моментов Mz и My (рис.2). Наибольшие моменты действуют в среднем сечении, где

hello_html_7646df98.png, hello_html_m7bea63db.png,

следовательно, это сечение является опасным.

hello_html_370c7977.png

Рис 2. Эпюры изгибающих моментов к примеру 1

 

Для определения положения опасной точки расставим знаки от hello_html_m125a03a1.png и hello_html_71a9facc.png в угловых точках поперечного сечения балки (рис.2).При действии момента hello_html_621a5f24.png в точках hello_html_46cd3633.png и hello_html_m7facec52.png будут иметь место положительные (растя­гивающие) напряжения, а в точках hello_html_40ce398e.png и hello_html_4e26b217.png - отрицательные (сжимающие) напряжения. При действии момента hello_html_687d47b9.png в точках hello_html_46cd3633.png и hello_html_40ce398e.png будут иметь место положительные hello_html_28f80cf2.png, а в точках hello_html_4e26b217.png и hello_html_m7facec52.png - отрицательные. Точки поперечного сечения hello_html_46cd3633.png и hello_html_4e26b217.png, в которых действуют нормальные напряжения одного знака, являются опасными; для них и должны составляться условия прочности.

Судя по условию задачи, материал, из которого изготовлена балка, является пластичным (hello_html_caa381.png=160 МПа) и, следовательно, одинаково сопротивляется деформации растяжения и деформации сжатия. Таким образом, точки hello_html_46cd3633.png и hello_html_4e26b217.png являются равноопасными, и для них используется одно условие прочности

hello_html_2f493db.png.

Вычислим моменты сопротивления сечения при заданном соотношении высоты и ширины

hello_html_m2f2b7baf.png, hello_html_45b91fb6.png.

Подставляя в условие прочности выражения для изгибающих моментов и моментов сопротивления, получим:

hello_html_26333c7d.png,

тогда h=2b=18,04 см.

 

Пример 2.

При установке на опоры двутавровой балки (№ 60: hello_html_m6358cdd1.png=182 см3, hello_html_m3c61052a.png=2560 см3), предназначенной для работы на изгиб в верти­кальной плоскости, совпадающей с плоскостью стенки, была допущена ошибка и стенка двутавра отклонилась от вертикали на угол hello_html_61da3479.png= 1о. Определить связанное с этим увеличение наибольших нормальных напряжений.

hello_html_692746d2.png

Рис.3. Появление внутренних изгибающих моментов

при косом изгибе к примеру 2

 

Решение:

Отклонение оси двутавра (ось hello_html_m276a057e.png) от вертикали привело к возникновению косого изгиба (рис.3) и появлению изгибающих моментов hello_html_621a5f24.png и hello_html_687d47b9.png

hello_html_7c456a25.png,

hello_html_m451ed4bf.png.

Максимальные напряжения при косом изгибе

hello_html_m4d06c175.png,

hello_html_me1ab1ea.png

так как hello_html_59dfbe1.png, то hello_html_7b27f688.png.

В случае правильной установки балки, сила P совпадала бы с вертикальной осью балки hello_html_m276a057e.png, и имел бы место прямой изгиб, изгибающий момент был бы равен hello_html_m440cd967.png (см. рис.3), а напряжения

hello_html_ea57938.png.

Таким образом, максимальные напряжения при косом изгибе за счет такого незначительного отклонения от вертикали возрастут на 24,6 %.




50. Решение задач на применение формулы Эйлера, Ясинского.



Пример 1.

Стержень, показанный на рис. 1, а, загружен сжимающей силой F. Поперечное сечение стержня, состоящее из двух швеллеров № 30 и двух планок, соединенных со швеллерами четырьмя болтами, изображено на рис. 1, б. Размер планок 400х12 мм, диаметр болтов 20 мм. Материал – сталь С235 с hello_html_m759a8ada.png.

Требуется:

1) найти значение критической нагрузки;

2) определить допускаемую нагрузку так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности стержня;

3) вычислить нормируемый коэффициент запаса устойчивости.

hello_html_m7ea6eac9.png

Рис.1

 

Решение.

Прежде всего, найдем моменты инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей. Сечение имеет две оси симметрии (оси y и z на рис. б), поэтому эти оси и будут главными центральными осями инерции сечения. Моменты инерции относительно этих осей определяем, используя данные из сортамента прокатной стали и формулы hello_html_m3a5e6227.png, hello_html_2873669d.png:

hello_html_22a8c127.png

hello_html_m15df765e.png

Минимальным оказался момент инерции относительно оси z. Определяем площадь сечения

hello_html_5532d225.png

и минимальный радиус инерции по формулам hello_html_5fb5457b.png, hello_html_m53089fce.png и выбрав минимальный из двух:

hello_html_3d43ee76.png

hello_html_m1dd5101c.png

Рис.2

Теперь можно найти гибкость стержня. Для заданного условия закрепления стержня в соответствии с рис. 2 коэффициент hello_html_m465de1a6.png. Тогда по формуле hello_html_mb8912c8.png

hello_html_m3cd4243e.png

Сравним величину полученной гибкости стержня с характеристиками hello_html_m5ae6ff07.png и hello_html_m476e025c.png для материала сталь С235. Для стали С235

hello_html_m5b2c0b6f.png

hello_html_m4f568071.pngпо таблице в (справочные данные). Таким образом, hello_html_m7fee8a5e.png и для определения критической силы следует использовать формулу Ясинского hello_html_5a2bfb74.png:

hello_html_26ffbfef.png

Значения коэффициентов a и b в формуле Ясинского взяты из таблицы в (справочные данные) и переведены из МПа в кН/см2.

Найдем допускаемую нагрузку из условия устойчивости по формуле hello_html_73cf050a.png. Для определения коэффициента hello_html_5a5dda3c.png используем таблицу в (справочные данные). Интерполируем значения hello_html_5a5dda3c.png, заданные в таблице: hello_html_m2f14490c.png соответствует hello_html_m8d62d32.png, hello_html_1f4cbace.png. Тогда гибкости hello_html_m51eee294.png рассматриваемого стержня соответствует hello_html_m378332f9.png. Значение допускаемой нагрузки

hello_html_3903e60c.png

Проверим, удовлетворяет ли найденная допускаемая нагрузка условию прочности hello_html_1a6fc172.png. Вычислим площадь нетто, уменьшив полную площадь сечения на площадь, занимаемую четырьмя отверстиями под болты (при выполнении расчетно-проектировочной работы студенту предлагается условно принять площадь ослаблений, составляющую 15% от полной площади):

hello_html_1e3d0624.png

Тогда условие прочности

hello_html_63d9933a.png

выполняется.

В заключение найдем нормируемый коэффициент запаса устойчивости по формуле:

hello_html_mec38119.png

Коэффициент запаса устойчивости находится в пределах hello_html_me918887.png.

 

Пример 2.

Определить критическую нагрузку для сжатого стального стержня, имеющего прямоугольное поперечное сечение 4hello_html_m10b3d601.png6 см. Концы стержня шарнирно закреплены. Длина стержня l = 0,8 м.

Решение.

Вычисляем минимальный радиус инерции поперечного сечения стержня:

hello_html_6d3c158b.png

Согласно рисунку принимаем hello_html_62623f7d.png

hello_html_m78a5d48b.png

Находим значение гибкости сжатого стержня:

hello_html_56f66102.png

Так как hello_html_m79816bf0.png, то для вычисления критического напряжения hello_html_62fcdec.png используем формулу Ясинского hello_html_m2c62265a.png предварительно выписав из таблицы (справочные данные) коэффициенты а = 310 МПа, в = 1,14 МПа, с = 0:

hello_html_53782955.png

и тогда Fcr =hello_html_m15837f65.pnghello_html_5fc500fa.png0,55 мН = 550 кН.

Пример 3.

Определить величину критической силы, критического напряжения для стойки длиной l = 4 м, один конец которой жестко защемлен, а другой шарнирно оперт. Материал стойки – сталь с hello_html_m15add544.png Поперечное сечение стойки показано на рисунке.

hello_html_m5943dd7a.png

Решение.

Согласно рисунку, приведенному в предыдущем примере принимаем hello_html_m2a031006.png Вычисляем осевой момент инерции кольцевого поперечного сечения:

hello_html_2b7df36a.png

а затем и радиус инерции поперечного сечения:

hello_html_m65b909c7.png

Определяем гибкость сжатого стержня:

hello_html_3dd0fec8.png

Таким образом, критическую силу вычисляем по формуле Эйлера hello_html_m6a92478a.png:

hello_html_m889c3c0.png

а критическое напряжение по формуле hello_html_e3de94c.png:

hello_html_42831606.png

 

Пример 4.

Определить критическую силу для деревянной стойки прямоугольного поперечного сечения 10hello_html_m10b3d601.png20 см и длиной 8 м, если оба конца стойки шарнирно закреплены. Материал стойки – сосна с модулем продольной упругости Е = hello_html_m3207182f.png МПа.

Решение.

Согласно рисунку, приведенному в предыдущем примере принимаем hello_html_md78d7dd.png

Определяем гибкость стойки hello_html_362e18be.png

Следовательно, для определения критической силы будем применять формулу Эйлера hello_html_m6a92478a.png:

hello_html_7d17ac87.png

Ответ: hello_html_m568acfac.png= 25,68 кН.

 

Пример 5.

Составной стальной стержень длиной 5 м состоит из двух швеллеров № 20, соединенных вплотную (см. рис.). Определить допустимую сжимающую нагрузку, если оба конца стержня шарнирно закреплены. Материал швеллеров – сталь с hello_html_12147a93.png

hello_html_1aa3f40a.png

Решение.

Расчет составных элементов из уголков, швеллеров и т.п., соединенных вплотную или через прокладки, следует выполнять как сплошностенчатых. Находим hello_html_m31af9cce.png

hello_html_7a27a7c1.png

hello_html_m17360133.png

Определяем гибкость сжатого составного элемента по формуле hello_html_m56783279.png :

hello_html_59004798.pngа из таблицы (справочные данные) находим hello_html_65ab11cb.png = 0,2284. И, наконец, из формулы hello_html_3316df18.png определяем при hello_html_m5e1bf439.png:

hello_html_1a0e37f0.png

Для сравнения найдем критическую силу для рассматриваемой сжатой стальной стойки (hello_html_m6537a2e6.png). Имеем hello_html_295377d2.png следовательно, используем формулу Эйлера hello_html_m6a92478a.png :

hello_html_74ca893a.png



51-52. Решение задач на придел выносливости, коэффициент запаса.

Пример 1.

Для подъема черпака с углем весом 100 кН служит трос, свитый из 200 железных проволок. Каков диаметр каждой проволоки, если коэффициент запаса прочности взят равным 5? Предел прочности 350 МПа.

hello_html_ma9f815b.pnghello_html_62c2b724.pnghello_html_m3af6beaf.pnghello_html_m46ae4623.pnghello_html_fdfb3d0.pnghello_html_26b1a750.png


Пример2.

Какой высоты можно построить кирпичную стену при запасе прочности 6, если предел прочности кирпича 6 Н/мм2? Плотность кирпича 2 • 103 кг/м3.

hello_html_3c760fcb.pnghello_html_386d3900.pnghello_html_6dd02eec.png

53. Приближенный расчет на действие ударной нагрузки.

Пример1.

Имеется шарнирно закрепленная балка перекрытия длиной 4 м из древесины сечением 20х10 см. На средину балки с высоты 50 см падает гиря весом в 32 кг. Требуется определить прочность балки при ударной нагрузке.

1. Определим прогиб балки при воздействии статической нагрузки

f = Ql3/48EI = 32х4003/(48х100000х6666.667) = 0.064 см

где Е = 105 кгс/см2 - модуль упругости древесины, I = bh3/12 = 6666.667 см4 - момент инерции поперечного сечения.

2. Если определять динамический коэффициент с учетом того, что высота падения значительно больше статического прогиба, то

kд = 1 + √(2х50/0.064) = 40.53

3. Тогда максимальный прогиб составит

fд = 0.064х40.53 = 2.59 см

4. Это достаточно большой прогиб, но намного важнее выяснить, выдержит ли такую ударную нагрузку балка

Мд = Qlkд/4 = 32х400х40.53/4 = 129696 кг·см

5. Тогда при расчетном сопротивлении R = 140 кг/см2 требуемый момент сопротивления составит

Wтр = М/R = 129696/140 = 926.4 см3

6. Момент сопротивления для балки сечением 20х10 см составит W = 2I/h = 6666.667/10 = 666.67см3 < Wтр = 926.4 см3.

Вывод: балка под действием такой ударной нагрузки разрушится.


Пример2.

Имеется все та же шарнирно закрепленная балка перекрытия длиной 4 м из древесины сечением 20х10 см. На расстоянии 1 м от опоры балки с той же высоты 50 см падает все та же гиря весом в 32 кг. Требуется определить прочность балки при ударной нагрузке.

1. Определим прогиб балки в месте падения груза при воздействии статической нагрузки

f = Qа2b2/3lEI = 32х1002x3002/(3х400x100000х6666.667) = 0.036 см

kд = √2х50/0.036 = 52.7

как видим, за счет смещения места падения груза к одной из опор динамический коэффициент даже увеличился, но нас по прежнему интересует прочность балки

Мд = Qabkд/l = 32х100x300х52.7/400 = 126491 кг·см

так как максимальное значение изгибающего момента почти не изменилось, то и без дальнейших расчетов понятно, что балка такую ударную нагрузку не выдержит. А вот если груз упадет очень близко к одной из опор, например на расстоянии 10 см, то

f = Qа2b2/3lEI = 32х102x3902/(3х400x100000х6666.667) = 0.00061 см

kд = √2х50/0.00061 = 405.42

Мд = Qabkд/l = 32х10x390х229.4/400 = 126491 кг·см

Вывод: на каком бы расстоянии от опоры ни упал груз, балка под действием такой ударной нагрузки разрушится.


54-55. Решение задач на расчет прочности фрикционных передач.

Пример1.

Схема для расчета цилиндрической фрикционной передачи пред­ставлена на рис.

Контактные напряжения передач с контак­том по линии определяют по формуле Герца

hello_html_m4abdecc9.jpg

где q — нормальная нагрузка по длине кон­тактной линии; Q — сила прижатия катков; К — коэффициент запаса сцепления (коэффи­циент нагрузки), К= 1,25...2; l — длина кон­тактной линии; ρпр — приведенный радиус кривизны:

hello_html_m501b0541.jpg

Епр — приведенный модуль упругости,

hello_html_m501c16c4.jpg

μ — коэффициент поперечной деформации.

При μ = 0,3 получим условие прочности по контактным напряже­ниям:

hello_html_3dc20f2f.jpg

где [σH] — допускаемое контактное напряжение для менее прочного материала катков.

Пример2.

ля фрикционных передач с металлическими катками основным критерием работоспособности является контактная прочность. Прочность и долговечность фрикционных передач оцениваются по контактным напряжениям — напряжениям смятия поверхности на площадке контакта. Расчет па прочность фрикционной передачи Схема для расчета цилиндрической фрикционной передачи представлена на рис. 2.2.2

hello_html_m6d4436eb.jpg
Рисунок 2.2.2 Схема для расчета цилиндрической фрикционной передачи



Контактные напряжения передач с контактом по линии определяют по формуле Герца

hello_html_14fa013.jpg,



где Q — сила прижатия катков;

hello_html_m415d1a9c.jpg;

К — коэффициент запаса сцепления (коэффициент нагрузки), К= 1,25...2;
l— длина контактной линии;

hello_html_5b803609.jpg— приведенный радиус кривизны:hello_html_m4d612b09.jpg,hello_html_m468a600f.jpg

hello_html_40a241ed.jpg— приведенный модуль упругости,
hello_html_29b70069.jpg- коэффициент Пуассона



56-57. Решение задач на расчет на контактную прочность и изгиб, расчет конических передач.

Пример1.

Расчет на изгиб является основным для зубьев открытых передач и передач с высокой поверхностной прочностью зубьев.

Расчет выполняют для наиболее опасного случая нагружения, когда вся внешняя нагрузка передается одной парой зубьев, при этом нагрузка приложена к вершине зуба, что соответствует началу зацепления для зубьев ведомого и концу зацепления для зубьев ведущего колеса. Такое допущение справедливо для колес 8-й и более низкой степени точности. Зуб рассматривают как консольную балку постоянного сечения bws, нагруженную силой Fn, направленной по линии зацепления. Влиянием сил трения пренебрегают.

Под действием силы Fn в опасном сечении (рис. 3.32) действуют изгибающий момент Ми, перерезывающая сила Q и продольная сжимающая сила N.

Толщина зуба s в опасном сечении определяется точками пересечения ветвей квадратичной параболы (форма балки равного сопротивления изгибу) с боковой поверхностью зуба.

Силу Fn можно перенести на ось симметрии зуба и разложить на составляющие:

hello_html_4e6ec8f7.png                                          

где  aa – угол давления в расчетном положении зуба (рис. 3.33).

Изгибающий момент:

 

hello_html_52e69c57.png.

 

Сжимающая сила:

 

hello_html_2f671019.png.

 

Несмотря на то, что напряжения на растянутой стороне зуба (рис. 3.32) меньше, чем на сжатой, но, как показывают эксперименты, поверхностные слои материала зуба хуже сопротивляются переменным растягивающим напряжениям. Поэтому наиболее опасными являются напряжения на растянутой стороне зуба. Расчетное напряжение у основания зуба

 

hello_html_m467992c9.png,                           

 

где kT – теоретический коэффициент концентрации напряжений на переходном участке зуба. Напряжение изгиба u, напряжение сжатия сж и характеристики поперечного сечения WХ и А определяют по уравнениям:

 

hello_html_41409c11.png;      hello_html_1c048e2f.png;

 

hello_html_m506a674e.png;          hello_html_m49076cb.png.

 

Учитывая геометрическое подобие зубьев различного модуля, плечо hello_html_77cf409e.png приложения силы Ft и ширину s опасного сечения выражают через модуль:

 

hello_html_m2ca0dfe5.png;     hello_html_14acca95.png,

 

где s – коэффициенты подобия.

Исходя из вышеприведенных зависимостей, получаем

 

hello_html_m33aa205b.png.

 

Если в этой формуле величины (указаны в квадратных скобках), зависящие от очертания зуба, определяемые числом зубьев z и коэффициентом смещения режущего инструмента х, объединить в один коэффициент YF (коэффициент формы зубьев), значение которого определяют по графику (рис. 3.34), то окончательно получим

 

hello_html_36b76811.png.                           

hello_html_3c6e6cfc.jpg

Рис. 3.. К расчету зубьев
прямозубых колес на изгиб

Рис. 3. К определению угла давления

в расчетном положении зуба

 

hello_html_3531fb6e.png

Рис. 3.34.  График  для  определения
коэффициента YF формы зуба

 

Для косозубых цилиндрических передач с учетом их повышенной прочности по сравнению с прямозубыми напряжения у основания зуба:

 

hello_html_6cf6cef1.png,                        

 

где ZF – коэффициент повышения изгибной прочности.

 

hello_html_m15318e65.png.

Коэффициент kF, учитывающий неравномерность распределения нагрузки одновременно зацепляющихся пар зубьев, зависит от степени точности нарезания зубьев и окружной скорости. Коэффициент, учитывающий повышение изгибной прочности вследствие наклона контактной линии к основанию зуба: Y = 1- / 140.

Для проектного расчета принимают  приближенно:

для  прямозубых передач kF=1,5 и определяют модуль:

 

hello_html_2e85bd33.png,                            

 

для косозубых kF= 1 и

 

hello_html_3dc5af4e.png.                         

 

Пример 2.

Расчет зубьев прямозубой конической передачи по контактным напряжениям в соответствии с формулой (3.109) выполняют по диаметрам эквивалентных колес.

Для среднего сечения зуба

 

hello_html_7255f471.png.

 

Учитывая связь тригонометрических функций, находим:

 

hello_html_m373e1af7.png;       hello_html_5fe8c4d.png.

 

Уравнение (3.109) после преобразования будет иметь вид

 

hello_html_m3f7ecb57.png,                 

 

где н = 0,85 – опытный коэффициент снижения прочности конической передачи по сравнению с эквивалентной цилиндрической.

Для проектного расчета формулу (3.133) преобразуют. Учитывая, что основными габаритными размерами конических колес являются dе2 и  Rе, а нагрузка характеризуется моментом T2, то после преобразования получаем

 

hello_html_6386861e.png,                

 

где kbe = bw / Re – коэффициент ширины зубчатого венца относительно внешнего конусного расстояния. При наиболее широко распространенном значении  kbe=0,285  выражение будет иметь вид

 

hello_html_641104aa.png.                           

 

Размеры поперечного сечения зуба конического колеса пропорциональны расстоянию этих сечений от вершины конуса, а нагрузка по длине зуба распределяется по закону треугольника, вершина которого совпадает с вершиной делительного конуса, поэтому напряжения изгиба одинаковы по всей длине зуба. На практике за расчетное принимают среднее сечение зуба с нагрузкой qm. По аналогии с прямозубой цилиндрической передачей условие изгибной прочности имеет вид

 

hello_html_5dc7229f.png,                       

 

где F = 0,85 – коэффициент понижения изгибной прочности конической прямозубой передачи по сравнению с цилиндрической; mm – модуль в среднем нормальном сечении зуба. Коэффициент формы зубьев YF назначают по графику рис. 3.34 в соответствии с эквивалентным числом зубьев z [см. формулу (3.132)].

Наряду с прямозубыми передачами в машиностроении применяют косозубые и кривозубые конические передачи. Наибольшее распространение получили передачи с круговыми зубьями, имеющие более плавное зацепление и поэтому большую быстроходность и несущую способность.



58. Решение задач на расчет винта на износостойкость.

Пример1.

Проверка винта на устойчивость обычно производится по следующему критерию работоспособности:


hello_html_m27ece3dd.gif, (9)


где sy - расчетный коэффициент запаса на устойчивость; Fкр - критическая сила, вызывающая потерю устойчивости; [sy] - допускаемый коэффициент запаса устойчивости, назначаемый обычно в пределах от 3 до 5. Большие значения выбираются в тех случаях, когда возможно внецентренное приложение осевой нагрузки, или появление сил, перпендикулярных оси винта.

Величина критической силы определяется как


hello_html_139a02eb.gif, (10)


где σкр – критическое напряжение, Ав – площадь поперечного сечения винта по внутреннему диаметру d3.

Величина критического напряжения определяется в зависимости от значения гибкости винта


hello_html_316b8e4f.gif, (11)


где μ – коэффициент приведения длины, lp – расчетная длина винта (наибольшее расстояние от пяты до середины высоты гайки), I – приведённый момент инерции сечении вала.

С учётом параметров резьбы



hello_html_79180f9d.gif


В первом приближении для определения расчетной длинны винта можно использовать зависимость


hello_html_4f37fed4.gif, (12)


где l - наибольшее осевое перемещение винта


hello_html_6850415b.gif



Коэффициент приведения длины μ = 2. Подставляем численные значения в уравнение (11), получим



hello_html_m2fac684b.gif



Для Ст 45 hello_html_m70351cb9.gif

Т.к. hello_html_m9473a57.gif, то критическое напряжение определяется по формуле Эйлера


hello_html_6c1eef9b.gif



Теперь подставив σкр и Ав в выражение (10) найдём критическую силу



hello_html_m64344926.gif



Из формулы (9) получаем



hello_html_m6538bc5a.gif



Так как hello_html_48c67c8c.gif, то в ходе расчета мы установили, что винт обладает необходимым запасом устойчивости.


59-62. Расчет на прочность, тепловой расчет червячной передачи.

Пример1.

Рассчитать червячную передачу с архимедовым червяком одноступенчатого редуктора общего назначения при следующих данных:
мощность, передаваемая червяком,
P1=7 кВт;
угловая скорость червяка
ω1=105 рад/с (n=955 мин-1);
передаточное число передачи
u=21;
нагрузка постоянная, работа редуктора непрерывная, круглосуточная, спокойная, срок службы передачи 20000 ч.

Решение.

Назначаем материалы: червяка - хромистая сталь 40Х, улучшенная до HRC30...35; венца колеса - БрАЖ9-4Л; колесного центра — чугун СЧ15. Для передачи примем эвольвентное зацепление без смещения с углом профиля зубьев α=20°. Для изготовления червячной передачи назначаем 8-ю степень точности.

Так как число зубьев колеса должно быть z2=28, то при заданном передаточном числе минимально возможное число заходов червяка z1=2; при этом число зубьев колеса

hello_html_198d4144.png

Угловая скорость колеса по формуле

hello_html_m6ae1ea55.png

Примем к. п. д. передачи η=0,82. Мощность, передаваемая червячным колесом, по формуле

hello_html_21ca3681.png

Рассчитаем зубья червячного колеса на контактную прочность. Вычислим межосевое расстояние aw передачи по формуле

hello_html_m80379e6.png


предварительно определив значения величин, входящих в данную формулу. Крутящий момент, передаваемый червячным колесом, по формуле

hello_html_m5db712cf.png

Примем коэффициент диаметра червяка по ГОСТ 19672-74 (СТ СЭВ 267—76) q=10; коэффициент концентрации нагрузки K=1; коэффициент динамической нагрузки KHv=1,2; скорость скольжения (предварительно) vск= 4 м/с; допускаемое контактное напряжение для зубьев колеса по табл. H]=200 МПа. Межосевое расстояние передачи по формуле

hello_html_4ba5e608.png


hello_html_3f6d9d65.png


По ГОСТ 2144-76 примем aw=a=250 мм.

Угол подъема резьбы червяка из приложения к ГОСТ 2144-76 (см. табл.) γ=14°02′10″. Модуль по формуле

hello_html_254b86b8.png


что согласуется с ГОСТ 19672-74 (СТ СЭВ 267-76).

Уточним значения vск и η. Делительный диаметр червяка d1 по формуле d1=qm=8×10=80 мм. Начальный диаметр червяка по формуле dw1=d1=80 мм.

Окружная скорость червяка по формуле

hello_html_6ef0b302.png

Скорость скольжения по формуле

hello_html_3d3bf00f.png


что очень близко к предварительно принятому значению
vск=4 м/с.

В формуле

hello_html_m1a98ba86.png


примем
ηз.п=0,97 и из табл. Зависимость угла трения ψ′=1°20′.

К. п. д. передачи, соответствующий принятым материалам и параметрам, по формуле

hello_html_1185afc9.png


т. е. несколько больше ранее принятого значения, что не вызывает необходимости пересчета зубьев на контактную прочность (крутящий момент
T2, передаваемый колесом, оказывается несколько больше, чем принят при определении aw, но зато вместо расчетного aw=205 мм в соответствии с ГОСТ 2144—76 принято aw=250 мм, что вполне учитывает возможность передачи колесом значительно большего крутящего момента).

Мощность P2 и крутящий момент T2, передаваемые колесом, по формулам

hello_html_10c989af.png


hello_html_187d0092.png

Произведем проверочный расчет зубьев на изгиб по формуле

hello_html_23c6c4ef.png



Для этого определим значения величин, входящих в эту формулу. Значения коэффициентов параметров витков исходного червяка принимаем по ГОСТ 19036—81 (СТ СЭВ 266—76). Высота головок витков червяка и зубьев колеса по формуле

hello_html_141e60de.png

Диаметр вершин витков червяка по формуле

hello_html_1470c461.png

Ширина обода червячного колеса по формуле

hello_html_m53613b6.png

Делительный диаметр червячного колеса по формуле

hello_html_50302607.png

Эквивалентное число зубьев колеса по формуле

hello_html_33a5cbb4.png

Коэффициент формы зубьев червячного колеса YF2=1,48. Значения коэффициентов K и KFv те же, что и при расчете зубьев на контактную прочность.

Частота вращения червячного колеса по формуле

hello_html_7bf8519b.png

Базовое число циклов напряжений N0=106. Эквивалентное число циклов напряжений NE по формуле

hello_html_m40c5d70f.png

Коэффициент долговечности по формуле

hello_html_38b3976b.png

Предел текучести σT и предел прочности при растяжении σВ для бронзы БрАЖ9-4 по табл. "Механические свойства некоторых бронз" σT=200 МПа и σВ=400 МПа. Допускаемое напряжение на изгиб для зубьев колеса по формуле

hello_html_1ecbf82d.png


hello_html_1b43165a.png

Произведем проверочный расчет зубьев на изгиб по формуле

hello_html_29546fa4.png


hello_html_m3b692091.png


hello_html_3603fc50.png


Следовательно, зубья червячных колес на изгиб вполне прочные. Высота головок витков червяка и зубьев колеса
ha=10 мм. Высота ножек и зубьев витков (см. рис. 1) по формуле

hello_html_m7fd2bb68.png

hello_html_28942af5.png

Рис. 1

Высота зубьев и витков по формуле

hello_html_m36f66813.png


Вычислим основные геометрические параметры червяка и колеса. Делительный диаметр червяка

hello_html_29e4e271.png

Диаметр вершин червяка по формуле

hello_html_598d4d9b.png

Диаметр впадин червяка по формуле

hello_html_m3b48cfb8.png

Расчетный шаг резьбы червяка по формуле

hello_html_m125bf094.png

Длина нарезанной части червяка по формуле из табл. "Длина нарезанной части червяка"

hello_html_39471b68.png

Делительный диаметр колеса

hello_html_44180d84.png

Диаметр вершин колеса по формуле

hello_html_39a1629e.png

Диаметр впадин колеса по формуле

hello_html_m49c5a400.png

Наружный диаметр червячного колеса по формуле

hello_html_m59f192a7.png




Пример2.

Цель теплового расчета — проверка температуры масла в редукторе которая не должна превышать допустимой

[t] = 80...95 °C

Температура масла в корпусе червячного редуктора при непрерывной работе без искусственного охлаждения определяется по формуле:

tм2 = tb + P(1 – η) / Kt * A

где Р — мощность на быстроходном валу редуктора, Вт

P = T2W2 / η = 857 * 4,7 / 0,85 = 4739 Вт

Kt = 9...17B т/м2 град. — коэффициент теплопередачи

Kt = 15

А — площадь теплоотдающей поверхности корпуса редуктора. По табл. 11.6

А = 0,8м2

tb = 20 °C — температура воздуха вне корпуса редуктора

tм = 20 + 4739(1 – 0,85) / 15 * 0,8 = 79,2° < [t]°

Тепловой расчет удовлетворяет.



63-65. Решение задач на силы и напряжения ременных передач и в ветвях ремня.

Пример1.



Пример 1. Рассчитать передачу плоским ремнем от электродвигателя к редуктору привода ленточного конвейера. Требуемая мощность электродвигателя P1=5,2кВт при n1 = 2880 мин-1. Передаточное число ременной передачи u =4,03. Характер нагрузки — спокойная, работа двухсменная. Угол наклона ливни центров шкивов горизонту hello_html_m2884a6a4.png = 400.

Решение. 1. Тип ремня. Для ременной передачи принимаем плоский резинотканевый ремень с тремя прокладками (i= 3) из ткани БКНЛ-65, выпускаемый в широком диапазоне ширин.

2. Диаметр меньшего шкива.

а) Вращающий момент на меньшем ведущем шкиве передачи

T1= 9550Р1/n1=9550·5,2/2880 = 17,24 Нм.

б) Ориентировочное значение диаметра меньшего шкива по формуле (10.15)

hello_html_34c326e7.png

По стандарту принимаем d1 = 140 мм.

в) Скорость ремня

v = hello_html_m10eb20be.pngd1n1 /60000 = hello_html_m10eb20be.png·140·2880/60000= 21,1 м/с.

г) Окончательное значение диаметра d1 меньшего шкива устанавливаем при i= 3 и v < 25 м/с: d1 = 140 мм.

3. Диаметр большего шкива. При коэффициенте скольжении hello_html_m82246b3.png=0,015

d2 = ud1(l – hello_html_m82246b3.png) = 4,03·140(1 - 0,015) = 556 мм.

По стандарту принимаем d2 = 560 мм.

4. Фактическое передаточное число

uф= d2/[d1(l – hello_html_m82246b3.png)] = 560/[140·(1 - 0,015)] = 4,06.

5. Расчетная длина Lp ремня. Ориентировочное межосевое расстояние

a>1,5(d1+d2) = 1,5·(560 + 140) = 1050 мм.

Тогда длина ремня

Lp = 2a + 0,5hello_html_m10eb20be.png(d1+d2)+0,25(d2d1)2/a =2·1050 + 0,5·hello_html_m10eb20be.png·(560 + 140) + 0,25·(560- 140)/1050 = 3241 мм.

Принимаем из нормального ряда размеров Lp = 3400 мм.

6. Частота пробегов ремня

U = v/Lp= 21,1/3,4 = 6,2 c-1,

что допустимо: U < 10 с-1.

7. Окончательно межосевое расстояние

hello_html_10baa0df.png

8. Угол обхвата ремнем меньшего шкива

а1 = 180° - 570(d2 – d1)/a = 180° - 57°(560 – 140)/1130 = 158,8°,

что допустимо: а1 > 150°.

9. Окружная сила, передаваемая ремнем,

Ft = 2·103T1/d1 = 2·103·17,24/140 = 246 Н.

10. Ширина ремня.

а) Допускаемая приведенная удельная сила: [р]0 = 3 Н/мм.

б) Поправочные коэффициенты: Сθ= 1,0; Сa = 0,94; Сv = 0,86; Ср= 1,1 — при двухсменной работе.

в) Допускаемая удельная сила

[p] = [р]0СθСaСυр = 3·1,0·0,94·0,86/1,1 = 2,2 Н/мм.

г) Ширина ремня

b > Ft/(i[p]) = 246/(3·2,2) = 37,2 мм.

Принимаем b = 40 мм .

11. Ширина шкива: В=1,1b+10мм=1,1·40+10=54 мм.

Принимаем В = 53 мм (см. § 27.4).

12. Сила предварительного натяжения ремня. Принимаем способ натяжения ремня — силами упругости. При а=1130мм<2·(d2+d1)=2·(560+140)=1400 мм удельная сила предварительного натяжения р0 = 2 Н/мм. Тогда

F0 = bip0 = 40·3·2 = 240H.

13. Сила, действующая на валы

Fn = 2F0sin(hello_html_1fbaed93.png/2)= 2·240·sin(158,8о/2) = 472 Н.



Пример 2. Рассчитать передачу клиновым ремнем нормального и узкого сечения, а также передачу поликлиновым ремнем от электродвигателя к редуктору привода ленточного конвейера. Требуемая мощность электродвигателя Р1=5,2 кВт при п1 = 2880 мин-1. Передаточное число передачи u=4,03, Характер нагрузки — спокойная, работа двухсменная. Передача предназначена для эксплуатации в центральных районах страны.

Решение. 1. Выбор сечения ремня. Для передачи мощности Р1 = 5,2 кВт при n1=2880 мин-1 можно принять ремни обычного качества:

а) клиновой ремень нормального сечения А, класс 1;

б) клиновой ремень узкого сечения SPZ, класс I;

в) поликлиновой ремень сечения К.

2. Выбор диаметра d1 меньшего шкива.

а) Вращающий момент на ведущем валу:

Т1 = 9550Р1/n1 = 9550·5,2/2880 = 17,4 Нм.

б) Коэффициент Сp динамичности и режима работы при двухсменной работе: Ср= 1,1. Тогда Р1’= СpP1 = 1,1·5,2 = 5,72 кВт.

в) Диаметр d1 меньшего шкива выбираем для ремней сечений A, SPZ, К соответственно: d1 = 100 мм; d1 = 71 мм; d1= 80 мм.

Для сравнения расчет передачи выполняем для всех трех типов ремней и результаты сводим в табл. 11.

 

Таблица 11 Результаты расчета передач клиновыми ремнями нормального и узкого сечений и поликлиновыми ремнем

Определяемая величина

Результаты для ремней

А

SPZ

К

Расчетный диаметр d1 меньшего шкива, мм

100

71

80

Высота h ремня, клина, мм

8

8

2,35

Скорость ремня, м/с hello_html_ma169c0d.png

15,1

10,7

12,1

Расчетные диаметр d2 большего шкива, мм, при hello_html_m82246b3.png= 0,015

397

282

318

Принимаем d2 мм

400

280

315

Фактическое передаточное число uф

4,06

4

4

Ориентировочное межосевое расстояние а, мм hello_html_6b4862c1.png

283

201

220

Длина ремня Lp. мм

1430

1007

1123

Принимаем Lp, мм , из стандартного ряда

1600

1120

1120

Частота пробегов ремня, hello_html_77347496.png, с-1

9,4

10,6

10,8

Допускаемая частота [U] пробегов ремня, с-1

20

20

30

Номинальное межосевое расстояние аном мм

378

264

218

Угол обхвата ремнем меньшего шкив α1 град

134,7

134,8

118,6

Минимально допустимый угол обхвата [α]1 град

110

110

110

Минимальное межосевое расстояние аmin, при 0,98 Lp

360

252

205

Максимальное межосевое расстояние amax при 1,055 Lp

425

297

254

Допускаемая приведенная мощность, передаваемая одним ремнем или одним клином [P]о, кВт

2,07

2,0

0,43

Базовая длина ремня Lо, мм

1700

1600

710

Поправочные коэффициенты:

 

 

 

а) коэффициент Са угла обхвата

0,87

0,87

0,80

б) при Lp /Lо

0,94

0,7

1,58

коэффициент CL длины ремня

0,98

0,93

1,08

в) коэффициент Сu передаточного числа

1,14

1,14

1,14

Допускаемая мощность [Р], передаваемая одним ремнем или одним клином, кВт hello_html_2df2a59d.png

1,82

1.67

0,39

Ориентировочное число z ремней или клиньев при Сz = 1

2,85

3,11

13,7

Коэффициент Сz числа клиньев

0,95

0,9

0,85

Число z ремней или клиньев

3

4

16

Допускаемое число [z] ремней пли клиньев

10

10

36

Ширина шкива В, мм

50

53

42

Ресурс ремней Lh, ч при К1 = 2,5 и К2 = 1

5000

5000

Сила предварительного натяжения ремней Fо, Н

395

493

459

Сила Fn, Н, действующая на валы hello_html_m5587f134.png

729

910

789

 

Сравнение результатов расчета показывает, что меньшие размеры имеет передача поликлиновым ремнем.




66-68. Подбор подшипников качения.

Пример1.

Подшипники качения подбирают по статической грузоподъемности или заданной долговечности.
По статической грузоподъемности выбирают подшипники, у которых угловая скорость вращающегося кольца не превышает 1 об/мин ≈ 0,1 рад/с

Выбор подшипников по динамической грузоподъемности

Критерием для выбора подшипника служит неравенство Стр< С, (1)
где Стр — требуемая величина динамической грузоподъемности подшипника;
С — табличное значение динамической грузоподъемности выбранного подшипника

Для радиальных и радиально-упорных подшипников динамическая грузоподъемность представляет собой постоянную радиальную нагрузку, которую группа идентичных подшипников с неподвижным наружным кольцом сможет выдержать до возникновения усталостного разрушения рабочих поверхностей колец или тел качения в течение одного миллиона оборотов внутреннего кольца.
Для упорных подшипников определение динамической грузоподъемности аналогично, но вместо радиальной для них подразумевается осевая нагрузка

hello_html_m14dfbe3.jpg

Формулами 2 и 3 выражена зависимость между приведенной нагрузкой подшипника Q, его долговечностью, выраженной в миллионах оборотов вращающегося кольца и обозначаемой L, или долговечностью Lh, выраженной в часах работы, и угловой скоростью n об/мин.
α — коэффициент, зависящий от формы кривой контактной усталости и принимаемый для шариковых подшипников α = 3 и для роликовых α = 10/3.
Формулы справедливы при любом n > 10 об/мин, но не превышающем предельного значения n пред для данного типоразмера подшипника. Предельные значения (n пред) указаны в ГОСТах на подшипники (так как случаи работы подшипников при n > n пред встречаются редко, здесь значения не даны). При n = 1 ÷ 10 об/мин расчет ведут, исходя из n = 10 об/мин

Часто при подборе подшипников приходится определять расчетную долговечность выбранного подшипника, в частности, это необходимо в тех случаях, когда подбор подшипника ведут методом последовательных приближений. Расчетную долговечность (в миллионах оборотов или в часах) определяют по табличному значению динамической грузоподъемности и величине приведенной нагрузки по формулам 4 и 5

hello_html_37d8870e.jpg

В качестве расчетной долговечности партии идентичных подшипников принято число оборотов (или часов при данной постоянной скорости), в течение которых не менее 90% из данной партии подшипников должны проработать без появления первых признаков усталости металла.
Полезно иметь в виду, что практически значительная часть подшипников будет иметь фактическую долговечность значительно более высокую, чем расчетная. Это обстоятельство следует учитывать в первую очередь при выборе желаемой долговечности подшипника и не назначать ее чрезмерно большой.
Вычисления по формулам (4) и (5) можно не выполнять, а определять Lh по таблицам

Таблица 1

hello_html_m60ca3e6b.jpg

Таблица 2

hello_html_m41bc40bd.jpg

Подбор подшипника для заданных условий работы начинают с выбора, типа подшипника. Во многих случаях эта задача не имеет однозначного решения и приходится выполнять расчеты для нескольких типов подшипников и лишь после их окончания делать окончательный выбор, ориентируясь не только на габариты подшипникового узла, соображения долговечности, но и учитывая требования экономичности

На первой стадии расчета при выборе типа подшипника, помимо величины и направления нагрузки и требуемой долговечности, учету подлежат следующие факторы: характер нагрузки (постоянная, переменная, вибрационная или ударная), состояние окружающей среды (влажность, запыленность, наличие паров кислот и т. п.) и ее температура, необходимость обеспечения высокой точности вращения и жесткости подшипникового узла. Некоторые из указанных факторов учитываются коэффициентами, входящими в величину приведенной нагрузки, другие непосредственно влияют на выбор типа подшипника или конструкцию подшипниковых узлов

В отношении стоимости подшипников надо иметь в виду следующее: дешевле других шариковые радиальные подшипники. Так, например, роликовые конические подшипники легкой серии дороже шариковых той же серии примерно на 30—50%. Для подшипников средней серии различие в стоимости указанных типов подшипников меньше и составляет примерно 20—35%. Резко возрастает стоимость подшипников с повышением класса точности; так если принять за единицу стоимость подшипника класса 0, то стоимость подшипника класса 6 составит примерно 1,2, а класса 5—1,5. Эти данные можно рассматривать как средние для всех типов подшипников, кроме роликовых конических, для них указанные отношения стоимостей составляют соответственно 1,5 и 1,8

При подборе подшипников возможны следующие варианты последовательности расчета:
1.Намечают тип подшипника и схему установки подшипников на данном валу.
2.Определяют радиальную и осевую нагрузки подшипника.
3.С учетом условий нагружения подшипника определяют его приведенную нагрузку.
4.Задаются желаемой долговечностью подшипника (при выборе величины Lh можно пользоваться таблицей)

Рекомендованные значения расчетной долговечности подшипников для различных типов машин

4000 и более

Ответственные механизмы, работающие с перерывами: вспомогательные механизмы на силовых станциях, конвейеры для поточного производства, лифты, нечасто используемые металлообрабатывающие станки

8000 и более

Машины для односменной работы с неполной нагрузкой: стационарные электродвигатели, редукторы общего назначения

12000 и более

Машины, работающие с полной загрузкой в одну смену: машины общего машиностроения, подъемные краны, вентиляторы, распределительные валы

Около 20000

Машины для круглосуточного использования: компрессоры, насосы, шахтные подъемники, стационарные электромашины, судовые приводы

40000 и более

Непрерывно работающие машины с высокой нагрузкой: оборудование бумажных фабрик, энергетические установки, шахтные насосы, оборудование торговых морских судов

100000 и более

По формуле (2) или (3) определяют требуемую динамическую грузоподъемность подшипника.
Выбирают конкретный типоразмер подшипника, который имеет динамическую грузоподъемность не ниже требуемой.
При этом надо иметь в виду, что даже небольшое уменьшение динамической грузоподъемности по сравнению с требуемой приводит к резкому снижению расчетной долговечности (см. формулы (4), (5).
При выборе подшипника должен быть учтен необходимый по условию прочности диаметр вала. (Встречаются случаи, особенно если угловая скорость вала сравнительно велика, когда для обеспечения требуемой долговечности подшипника приходится увеличивать диаметр вала по сравнению с необходимым по условию прочности).
Уточняют нагрузки подшипника и по табличному значению динамической грузоподъемности определяют расчетную долговечность. Если окажется, что она значительно отличается от требуемой, выбирают подшипник другого типоразмера и повторяют расчет.
Назначают класс точности подшипника с учетом требований к точности вращения вала. При отсутствии специальных требований принимают класс точности 0

Выбор подшипника по заданной долговечности

Применение данного варианта подбора подшипников связано с тем, что в начале расчета не всегда есть возможность определения радиальной, осевой и приведенной нагрузок подшипника. Это обстоятельство объясняется, во-первых, невозможностью точного определения положения точек приложения радиальных реакций подшипников; во-вторых, некоторые коэффициенты, входящие в формулу для определения приведенной нагрузки, зависят от конкретного типоразмера подшипника, т. е. они не известны на первой стадии расчета

В этом варианте предварительно выбирают не только тип подшипника, но и задаются его серией и размером. Затем составляют эскиз, на основе которого определяют нагрузки подшипника, вычисляют приведенную нагрузку и по значению динамической грузоподъемности определяют расчетную долговечность. Полученную таким путем величину Lh сравнивают с желаемой или рекомендуемой (см. таблицу) долговечностью. В случае неудовлетворительного результата изменяют тип, серию или размер подшипника, а иногда даже схему установки подшипников и повторяют расчет.
Так например, для быстроходных и промежуточных валов зубчатых редукторов можно рекомендовать применение подшипников средней серии, а для тихоходных — легкой

Приведенная нагрузка радиального или радиально-упорного подшипника представляет собой условную расчетную нагрузку, которая при приложении ее к подшипнику обеспечивает такую же его долговечность, которую он будет иметь при действительных условиях нагружения.
Для упорных подшипников определение аналогично, но приведенной является условная осевая нагрузка.
Для радиальных и радиально-упорных подшипников (за исключением роликовых радиальных) приведенную нагрузку определяют по формуле (6)

Q = (XKkR + YA)K6KT,
где R — радиальная нагрузка;
А — осевая нагрузка;
X — коэффициент радиальной нагрузки;
Y — коэффициент осевой нагрузки;
Кк — коэффициент вращения (кинематический коэффициент);
К6— коэффициент безопасности (коэффициент динамичности) — см. табл. 4;
Кт — температурный коэффициент

Коэффициент безопасности (коэффициент динамичности)

Если внутреннее кольцо подшипника вращается по отношению к направлению нагрузки, то Кн = 1,0; в случае, если оно неподвижно по отношению к нагрузке, Кн = 1,2
Значения температурного коэффициента Кт следующие:
- рабочая температура подшипника, °С : 100; 125; 150; 175; 200; 250;
- температурный коэффициент Кт 1,0; 1,05; 1,10; 1,15; 1,25; 1,40.
Величины коэффициентов X и Y приведены в подшипниковых таблицах. Для радиальных шариковых подшипников и для всех радиально-упорных подшипников эти коэффициенты зависят от отношения A/R и коэффициента е. Величина е, а также и Y для радиальных и радиально-упорных шарикоподшипников с номинальным углом контакта β ≤ 15° выбирается в зависимости от отношения А/ С0, где С0 — статическая грузоподъемность подшипника

Для радиальных роликовых подшипников величину Q вычисляют по формуле
Q = RКкКтK6 (7)
Для упорных подшипников
Q = АКбКт (8)

Следует иметь в виду, что для однорядных радиальных и радиально-упорных шарикоподшипников, а также однорядных конических роликоподшипников осевые усилия не оказывают влияния на величину приведенной нагрузки, пока отношение A/R не превысит
определенной величины е.
В двухрядных радиально-упорных подшипниках приведенная нагрузка зависит от величины осевой силы при любом ее значении; в случае, если A/R > е, в этих подшипниках работает лишь один ряд тел качения.
При выборе угла контакта подшипника следует стремиться к тому, чтобы отношение A/R было по возможности близким к величине е.
Осевые нагрузки, действующие на радиально-упорные подшипники, определяют с учетом схемы воздействия внешних сил, зависящих от выбранного относительного расположения подшипников (рис. 1 а, б)

hello_html_2dd1314f.jpg

Осевая нагрузка на каждый из подшипников может быть определена по следующим формулам, полученным при условии отсутствия осевой игры и преднатяга

Здесь SI и SII — осевые составляющие от радиальных нагрузок, приложенных соответственно к подшипникам I и II.
Их величины определяют по формулам:
S = 0,83 eR — для конических роликоподшипников;
S = eR — для радиально-упорных шарикоподшипников

Для радиально-упорных шариковых и роликовых подшипников с углом контакта β ≥ 18° величины е приведены в подшипниковых таблицах.
Для шарикоподшипников величина е может быть определена по формулам:
при β = 12°

hello_html_2a6d86dd.jpg

при  β = 15°

hello_html_2913a6f1.jpg

или найдена по графику
График для определения величины е для радиально-упорных шариковых подшипников

hello_html_5d574379.jpg

Радиальная реакция подшипника считается приложенной к валу в точке пересечения нормалей, проведенных к серединам контактных площадок. Расстояние а между этой точкой и торцом подшипника (см. рис. 1.6) приближенно может быть определено по следующим формулам:

для однорядных радиально-упорных шарикоподшипников

hello_html_m79bcc2e7.jpg

для двухрядных радиально-упорных шарикоподшипников
hello_html_m71056d5a.jpg
для однорядных конических роликоподшипников
hello_html_m2569d17f.jpg
для двухрядных конических роликоподшипников
hello_html_4d42f629.jpg

Величины ширины В и монтажной высоты Т подшипника, а также диаметров d и D берутся из подшипниковых таблиц

Осевая грузоподъемность радиальных роликоподшипников с короткими цилиндрическими роликами

Подшипники типов 12000, 42000, 92000, 52000 и 62000, имеющие бортики на наружных и внутренних кольцах, способны воспринимать непостоянно действующие осевые нагрузки (сравнительно небольшой величины). В отличие от шарикоподшипников и роликоподшипников с бочкообразными и коническими роликами у подшипников с цилиндрическими роликами осевая нагрузка в определенных допустимых пределах не вызывает уменьшения долговечности.
Допускаемую осевую нагрузку (в Н) для подшипников серий 100, 200, 300 и 400 можно определить по формуле
Адоп = KaС0 [ 1,75 - 0,125n Кв (D - d)]
Для подшипников серий 500 и 600 следует пользоваться формулой
Адоп = КаС0 [1,16 - 0,08 nKB (D - d)],
где С0—допустимая статическая нагрузка, Н;
n — наибольшая частота вращения, об/мин;
D — наружный диаметр подшипника, мм;
d — внутренний диаметр подшипника, мм;
Ка и Кв — коэффициенты, принимаемые по следующим данным

Значения коэффициента Ка

Значения коэффициента Кв Для подшипниковых узлов, где величины действующих нагрузок и угловые скорости изменяются во времени (например, в опорах коробок скоростей, канатных барабанов и т. п.), выбор подшипников производится по эквивалентной нагрузке Qэкв и суммарному числу оборотов. Под эквивалентной нагрузкой понимается такая условная нагрузка, которая обеспечивает ту же долговечность, какую имеет подшипник в действительных условиях работы.
Приведенная нагрузка при каждом режиме определяется, как указано выше.
Если нагрузка меняется, по линейному закону от Qmin до  Qmax, то эквивалентная нагрузка может быть определена с достаточной точностью по формуле

hello_html_m2a676887.jpg

При более сложном законе изменения нагрузок и угловых ско­ростей для определения эквивалентной нагрузки пользуются фор­мулой
hello_html_1fa19afe.jpg

где Q1 — постоянная нагрузка, действующая в течение L1 оборотов
Q2 — постоянная нагрузка, действующая в течение L2 оборотов
Q3 — постоянная нагрузка, действующая в течение L3 оборотов
Qn — постоянная нагрузка, действующая в течение Ln оборотов
L — общее число оборотов, в течение которого действуют нагрузки Q1; Q2; Q3Qn
Формула справедлива для всех типов подшипников, кроме подшипников с витыми роликами

Выбор подшипников по статической грузоподъемности

Если подшипник воспринимает нагрузку находясь в неподвижном состоянии или вращаясь со скоростью не более 1 об/мин, то его выбор производится по статической грузоподъемности вне зависимости от скорости вращения и необходимой долговечности.
Под статической грузоподъемностью С0 (ее величина указана в таблицах для каждого типоразмера подшипника) понимают такую нагрузку на невращающийся подшипник, под действием которой суммарное остаточное перемещение (сближение колец) составляет 0,0001 диаметра тела качения.
При действии комбинированной статической нагрузки вводится понятие о приведенной статической нагрузке, которая должна вызывать такие же остаточные перемещения, как те, которые возникают при действительных условиях нагружения.
Величины приведенной статической нагрузки для радиальных и радиально-упорных, подшипников определяются как большие из двух следующих значений:
Q0 = X0R + Y0A,
Qo = R,
где Х0 — коэффициент радиальной нагрузки;
У0 — коэффициент осевой нагрузки.
Значения Х0 и У0 приведены в подшипниковых таблицах. При выборе подшипника по таблицам должно выполняться неравенство
Qo ≤  Cо


Пример2.

Пример 1. Подобрать радиальный шарикоподшипник для вала редуктора диаметром d = 30 мм.

Дано: Fr =1500 H; n=1000 мин-1; потребный ресурс L10ah = 10000 ч; рабочая температура t 950C; Кт = 1; V = 1; Кб = 1,3. Циклограмма нагрузки состоит из четырех ступеней, имеющих отношение радиальных нагрузок:

hello_html_5d486aec.gif= 1,0; hello_html_7c6a80a9.gif= 0,5; hello_html_m4b073841.gif= 0,195; hello_html_69d22d1a.gif= 0,005;

при соответствующем отношении ресурса:


hello_html_m5d94ab93.gif

Осевые нагрузки случайные (малые по величине), т.е. можно принять Fa = 0.

Расчет.1 Определяем эквивалентную нагрузку

Pr = (XVFr + YFa)KбКт ,

где X = 1, Y = 0, так как Fa/(VFr) = 0 < e, см. табл.1, тогда

Pr = (1115000)1,31 = 1950 Н.

2 Эквивалентная динамическая нагрузка при переменном режиме работы

hello_html_18b6c2e6.gif

3 Определяем необходимый ресурс в миллионах оборотов

hello_html_m50da8d02.gif.

4 Определяем необходимую базовую динамическую радиальную грузоподъемность

hello_html_3e9ac6b5.gif

где а23 = 0,7...0,8 для обычных условий эксплуатации (таблица 4).

5 Выбираем по каталогу шарикоподшипник особо легкой серии 106 по ГОСТ 8338-75 со следующими характеристиками Сr = 13300Н, Cor = 6800 Н, nпред = 15000 мин-1 при жидкой смазке, d = 30 мм, D = 55 мм, В = 13 мм [3 или приложение А]. Вероятность безотказной работы при заданном ресурсе определяется по формуле (12):

hello_html_798cfb3f.gif,


hello_html_463ac7d3.gif


Пример 3. Подобрать радиальный шарикоподшипник для вала диаметром

d = 60 мм.

Дано: Fr =7000 H; Fa = 2500 H; n = 600 мин-1; потребный ресурс L10ah = 20000 ч; Кт = 1; V = 1; Кб = 1,3.

Расчет.1 Так как на подшипник действуют радиальная и осевая силы, расчет необходимо выполнять методом последовательных приближений. Выбираем предварительно подшипник легкой серии 212. Характеристики этого подшипника: Сr = 52000 Н, Cor = 31000 Н, nпред = 7000 мин-1 при жидком смазочном материале [3 или приложение А]. Циклограмма нагрузки та же, что и в примере 1.

2 Определяем эквивалентную нагрузку

Pr = (XVFr + YFa)KбКт .

По таблице1 для соотношения Fa/Cor = 2500/31000 = 0,086 находим для типа подшипника 0000 е = 0.287 Fa /(VFr) = 2500/(17000) = 0,357>e, следовательно

X = 0,56; Y = 1,53,

Pr = (0,5617000+1,532500)1.31= 10069 Н .

3 Эквивалентная динамическая нагрузка при переменном режиме работы (см. пример 1)

hello_html_7d90be0.gif

4 Определяем скорректированный расчетный ресурс принятого подшипника в миллионах оборотов

hello_html_m279a2506.gif

где а23 = 0,7...0,8 для обычных условий эксплуатации (таблица 2).

5 Определяем скорректированный ресурс принятого подшипника в часах

hello_html_m67151432.gif

что меньше необходимого.

6 Принимаем подшипник средней серии 312 со следующими характеристиками [3 или приложение А]: Сr = 81900 Н, Cor = 48000 Н, nпред = 6000 мин-1 при жидком смазочном материале.

7 Определяем эквивалентную нагрузку. Для соотношения Fa/Cor = 2500/48000 = 0,052 находим линейной интерполяцией е = 0.255.

Fa/(VFr)= 0,357>e,

следовательно, X = 0,56, Y = 1,77;

Pr = (0,5617000 + 1,732500)1.31= 10719 Н .

8 Эквивалентная динамическая нагрузка при переменном режиме работы

Рэr = 10719 0,547 = 5863 Н.

9 Определяем скорректированный расчетный ресурс принятого подшипника в миллионах оборотов

hello_html_ef4302a.gif

10 Определяем скорректированный расчетный ресурс принятого подшипника в часах

hello_html_74385796.gif

что более чем в 2 раза превышает необходимый ресурс.

Коэффициенты е и Y можно было также определить аналитически по таблице 6 для = 0, не используя таблицу 1.

Подшипник пригоден, его габариты: d = 60 мм, D = 130 мм, В = 31 мм. При заданном ресурсе надежность подшипника определяется по формуле(12):

hello_html_m5f1513d8.gif,

hello_html_m2f8e73ff.gifПример4. Подобрать подшипники для вала червяка, нагруженного консольной силой Fк, суммарной радиальной силой в зацеплении hello_html_m40760e9d.gif и осевой силой FА.

hello_html_m1eccc54c.png

Рисунок 1- К подбору подшипников вала червяка


Дано: Диаметр вала d = 35 мм, система внешних сил Fr, Fк и FА вызывает радиальные реакции в опорах Fr1 = 1000 Н, Fr2 = 1100 Н, n = 630 мин-1, Кб = 1,3, Кт = 1, V = 1, необходимый ресурс L10ah = 10000 часов. Циклограмма нагрузки та же, что и в примере 1.

Расчет.1 Задаемся подшипником 36207: d = 35 мм, D = 72 мм, В = 17 мм, Сr = 30800Н, Cor = 17800 Н, nпред = 12000 мин-1 при жидком смазочном материале, = 120 [3 или приложение Б].

2 Определяем минимальные осевые силы для 1-го и 2-го подшипников.

В радиально-упорных подшипниках за счет наклона к вертикали беговых дорожек тел качения под углом и воздействия радиальных реакций Fr возникают дополнительные осевые реакции в опорах подшипников. Эти реакции являются минимальными силами, необходимыми для осевого удержания свободно установленного подшипника, зависят от величины Fr и определяются зависимостью Famin = e`Fr, где е`= 0,83е для конических роликоподшипников, а для радиально-упорных шарикоподшипников е определяется по таблице 6.

При нахождении осевых реакций следует исходить из условия равновесия всех осевых сил, действующих на вал, и условия ограничения минимального уровня осевых нагрузок на радиально-упорные подшипники, которое обеспечивается правильной регулировкой подшипников при сборке узла вала.

Так, для заданной схемы составляются три уравнения:

FА + Fa1 - Fa2 = 0,

Fa1 Famin1 = e`Fr1,

Fa2 Famin2 = e`Fr2 .

Для нахождения решения в одной из опор осевая сила принимается равной минимальной Fa = e`Fr. Задаем Fa1 = e`Fr1, тогда Fa2 = Fa + Fa1 = FA + e`Fa1. Если при этом Fa2 e`Fr2 , то следует принять Fa2 = e`Fr2 и тогда Fa1 = Fa2 - FА = e`Fr2 - FA , причем условие Fa1 e`Fr1 будет обязательно выполнено.

Таблица 6 - Коэффициенты для расчета радиально- упорных шарикоподшипников (и радиальных при = 0)

0

12

15

0,56

0,45

0,44

hello_html_m261c2078.gif

hello_html_m261c2078.gif

hello_html_m261c2078.gif

е

hello_html_20a8b775.gif

hello_html_m515a3b02.gif

hello_html_m7afc87c5.gif

е

————

hello_html_120d3ed7.gif

hello_html_a5fd5ae.gif


Для 1-й опоры заданной схемы по данным таблицы 6 или по рисунку 12.60 [4, с.363]

hello_html_m47d12419.gif

Fa min1 = e`Fr1 = 0.3631000 = 320 Н.

Для второй опоры

hello_html_m7c8b0596.gif

Fa min2 = e`Fr2 = 0,3271100 = 360 Н.

3 Определяем осевые реакции в опорах. Принимаем, что Fa1 = Famin1 = 320 H, тогда Fa2 = Fa1 + FA = 320 + 4000 = 4320 H, что больше Fa min2, следовательно осевые реакции в опорах найдены правильно.

4 Определяем эквивалентную нагрузку. Расчет ведем по более нагруженной опоре. По данным таблицы 6 или по таблице1:

hello_html_4c178682.gif

Fa2 /(VFr2) = 4320 / (11100) = 3,92 > e;

следовательно, Х = 0,45, hello_html_m48cd1be6.gif

эквивалентная нагрузка:

Pr2 = (XVFr2 + YFa2)KбКт = (0,4511100+1,124320)1,31= 6933 Н.

5 Эквивалентная динамическая нагрузка при переменном режиме работы (см. пример1)

hello_html_m2376ba2.gif

6 Определяем скорректированный ресурс подшипника в миллионах оборотов

hello_html_3c5eabb8.gif

где а23 = 0,7...0,8 для обычных условий эксплуатации (таблица 4).

7 Определяем скорректированный расчетный ресурс подшипника в часах

hello_html_29bcd743.gif

Подшипник пригоден. Вероятность безотказной работы составляет по формуле (12):

hello_html_5c164a5b.gifhello_html_m567629e3.gif.

69. Расчет муфт.

Пример.

Пример. Определить диаметр dш срезного штифта предохранительной муфты (см. рис.1), если передаваемый вращающий момент Т = 90 Нм, число штифтов — один, его материал — сталь 45 с пределом прочности при сдвиге hello_html_m230ad0aa.png= 390 МПа. Расстояние от оси вала до оси штифта r = 30 мм. Муфта работает при переменной нагрузке.

Решение.

Определим предельный вращающий момент, приняв коэффициент перегрузки К = 2 (нагрузка переменная):

Тпр = 1,25КТ = hello_html_m273a176e.png= 225 Нм.

Далее определим силу F, срезающую штифт,

F = Тпр/r = hello_html_me42f202.png= 7500 Н.

Из расчета штифта на срез определяем его диаметр

hello_html_1f5ff32c.png.

Принимаем штифт диаметром 5 мм.

hello_html_m691fae12.png

Рис.8.1. Предохранительная дисковая муфта с разрушаемым элементом

 

На рис. 8.1 изображена предохранительная дисковая муфта с разрушаемым элементом. В этой муфте при перегрузке штифт 3 срезается кромками стальных закаленных втулок 4, установленных в полумуфтах 1 и 2. Для возобновления работы машины вывинчивают пробку и срезанный штифт заменяют новым. Иногда в муфте ставится два срезных штифта. Усилие F, срезающее штифт, равно

F = Тпр/r,

где Тпр — предельный вращающий момент; r — расстояние от оси вала до оси штифта. Диаметр dш штифта определяется из расчета его на срез.



70-72. расчет на прочность шпоночных и шлицевых соединений.


Пример1.

Условие прочности шпоночного соединения при смятии
hello_html_m2cc4e184.jpg
Где допускаемое напряжение на смятие
hello_html_788ef93e.jpg
Крутящий момент на валу
hello_html_7a9c8a3c.jpg
Условие прочности не выполняется
Условие прочности шпоночного соединения при срезе
hello_html_47b9e6d1.jpg
Где допускаемое напряжение на срез
hello_html_5d868f16.jpg
hello_html_m3377055e.jpg
Условие прочности выполняется.


Пример2.

На шпоночное соединение действует вращающий момент hello_html_m22a86d8.png, вызывающий напряжения среза hello_html_m639d7298.pngв шпонке и напряжения смятия hello_html_2baaa7b0.pngна боковых гранях шпонки и пазов ступицы и вала, см. рис. 6.2 (для упрощения расчетов считают, что напряжения смятия равномерно распределены по площади контакта боковых граней шпонок и шпоночных пазов; контактным давлением, возникающим при посадке шпонок в паз вала с натягом, пренебрегают).

Следовательно, призматические шпонки рассчитывают на смятие и срез по следующим формулам:

hello_html_209cb201.png,

hello_html_2560a2a0.png,

где hello_html_m22a86d8.png- вращающий момент; hello_html_m144179cd.png- диаметр вала; hello_html_3142e50d.png- ширина шпонки; hello_html_m62f285bc.png- рабочая длина шпонки; hello_html_m9a149d3.png- глубина врезания шпонки в ступицу; hello_html_2baaa7b0.pngи hello_html_20e7fb4a.png- расчетное и допускаемое напряжение на смятие для более слабого материала шпоночного соединения (вала, шпонки или ступицы); hello_html_m639d7298.pngи hello_html_m6dd45f78.png- расчетное и допускаемое напряжение на срез для материала шпонки.

Проверочный расчет сегментной шпонки проводится так же, как и для призматической шпонки:

hello_html_m10e50882.png,

hello_html_m4c80eed4.png,

где hello_html_m555ccfa2.png- длина шпонки.

У стандартных шпонок размеры поперечного сечения hello_html_3142e50d.pngи hello_html_5203c0ac.pngподобраны таким образом, что прочность соединения определяет напряжение смятия (расчет на срез не проводят).

Если прочность не достаточна, то устанавливают одну или несколько дополнительных шпонок (однако, установка нескольких шпонок сильно ослабляет вал, поэтому в таких случаях шпонки заменяют шлицевыми соединениями или соединением с натягом).


73-76. Расчет на прочность сварных соединений.



Пример 1. Стержень, состоящий из двух равнополочных уголков, соединенных косынкой, нагружен постоянной растягивающей силой F = 200 кН (рисунок 3.15). Определить номер профиля уголков и длину швов сварной конструкции соединения.

Материал уголков - сталь Ст 3.

Рhello_html_77125dd8.png
ешение.
1 Принимаем, что сварка осуществляется вручную электродами Э42.

2 Определяем допускаемое напряжение растяжения для основного металла, принимая для Ст 3 hello_html_7f4319b5.gif = 240 МПа (таблица А1) и hello_html_6628cd4d.gif = 1,25 (см. п. 3)



hello_html_2fb583d3.gif= 192 МПа



3 Определим допускаемое напряжение на срез для сварного шва, в соответствии с таблицей 3.11



[τ '] = 0,6 ·[σ Р] = 0,6 ·192 = 115,2 МПа.



4 Из расчета на растяжение определим площадь сечения уголков



hello_html_1037bf5c.gif= 1042 мм2.



Для одного уголка А = 521 мм2. По ГОСТ (таблица А5 ) выбираем уголок № 5,6 имеющий площадь поперечного сечения А = 541 мм2, толщину полки t = 5 мм и координату центра тяжести х0 = 15,7 мм.

5 Сварные швы располагают так, чтобы напряжения в них были одинаковыми. Поэтому при проектировании соединения уголков с косынками, т.е. при несимметричной конструкции, длину швов делают неодинаковой. Таким образом, каждый шов воспринимает только свою часть нагрузки F - F1 и F2.

Длину фланговых швов определяют в предположении, что их длина пропорциональна этим частям силы F - F1 и F2. Параллельные составляющие F1 и F2 находят по формулам:



hello_html_5a88f856.gif; F1 + F2 = F.



Решая эти уравнения, получим:



hello_html_m323ea679.gif= 200 ·103 · (56 – 15,7) / 56 = 144·103 H;



hello_html_20c7c115.gif= 200 ·103 – 144·103 = 56 ·103 H.



6 Определим длину швов (см. формулу 4.14 [1, с.128]), приняв катет шва k = t = 5 мм:



hello_html_m24f3f6e8.gif= 178 мм,



hello_html_m5b684991.gif= 69 мм.



Округляя, принимаем l1 = 180 мм, l2 = 40 мм, добавив для коротких швов по 5 мм против расчетной длины.



Пример 2. Найти параметры сварных швов кривошипа (рисунок 3.16), нагруженного постоянной силой F = 5 кН и имеющего размеры d = 100 мм; l = 200 мм; а = 300 мм; δmin =3 мм при условии, что прочность основного металла обеспечена.

Решение. 1 Дополнительно принято: основной металл - сталь Ст 4 (σТ = 260 МПа); сварка ручная дуговая электродом Э42А; швы угловые с катетом k = δmin = 3 мм (фрагмент А рисунок 3.16).

2 Определяем допускаемое напряжение растяжения для основного металла, принимая для стали Ст 4 hello_html_7f4319b5.gif = 260 МПа ( таблицу А1) и hello_html_6628cd4d.gif = 1,65 (см. п. 3)





hello_html_m13a7ba5a.gif= 157,6 МПа.



3 Допускаемое касательное напряжение сварного шва (см. таблицу 3.11),

hello_html_44fc1775.png
[
τ '] = 0,65 ·[σР] = 0,65 ·157,6 = 102 МПа.



4hello_html_43648a95.png Расчету подлежит шов № 1, который по сравнению со швом № 2 дополнительно нагружен изгибающим моментом М. Опасное сечение шва – сечение по биссектрисе прямого угла - представляет собой коническую поверхность, которую условно разворачивают на плоскость стыка свариваемых деталей. Выполняют приведение нагрузки (перенос F в центр тяжести расчетного сечения) и составляют расчетную схему (рисунок 3.17), на которой: F - центральная сила; М - изгибающий момент, Т - крутящий момент:



М = Fּl = 5000 ּ 200 = 1ּ 106 Нּмм;



Т = Fּa = 5000 ּ 300 = 1,5 ּ 106 Нּмм



  1. В наиболее нагруженных зонах шва, удаленных от оси Х-Х на расстояние у, находят суммарное касательное напряжение и сравнивают с допускаемым, используя зависимость,





hello_html_m70530bf7.gif, (*)



где hello_html_4871d4ce.gif - касательное напряжение при действии центральной сдвигающей силы hello_html_m56ebe0e4.gif; при наличии центрирующего пояска hello_html_4871d4ce.gif = 0;

hello_html_m6330e169.gif- касательное напряжение при действии вращающего момента Т,

hello_html_m2d2fb3.gif= 2·1,5·106 / (3,14·1002·0,7·3) =

= 45,1 МПа;



hello_html_m78aeb1e6.gif- касательное напряжение при действии изгибающего момента М ,

hello_html_5504596d.gif=

= 60,7 МПа.



Таким образом,



hello_html_70e2b61b.gif= 76,5 МПа < [τ '] = 102 МПа.



Статическая прочность угловых швов обеспечена.

6 Определим величину катета k проектным расчетом, преобразуя зависимость (*):



hello_html_m38a87000.gif= 2,23 мм.



Принято k = 3 мм.




Лабораторная работа № 1


Тема: Определение координат центра тяжести однородной плоской фигуры


Цель работы: научиться находить центр тяжести однородной плоской фигуры


Теоретическое обоснование


1. Формулы, определяющие координаты центра тяжести однородной плоской фигуры:


hello_html_5b075dc0.pnghello_html_13494d46.png


где S
i – площадь элемента плоской фигуры;

x
i, yi – координаты центра тяжести.


2. Способ разбиения.


Плоскую фигуру разбивают на элементы, центры тяжести и площади которых легко определяются, и по формулам находят координаты центра тяжести всей фигуры.


3. Способ отрицательных площадей.


В способе разбиения площади вырезанных элементов берутся со знаком минус.


4. Формулы, определяющие координаты центра тяжести геометрических фигур:


- треугольника

hello_html_m34991474.pnghello_html_m622a5137.png


где X
A, YA, XB, YB, XD, YD – координаты вершин треугольника:


- кругового сектора

hello_html_58eb5eca.png


hello_html_md8b8eca.png


Порядок выполнения работы:


  1. Найти центр тяжести плоской фигуры, применяя метод разбиения и метод отрицательных площадей (при необходимости).


  2. Изготовить шаблон плоской фигуры по заданным размерам (можно в масштабе).


  3. Проверить экспериментально правильность нахождения центра тяжести плоской фигуры.



Задания









Лабораторная работа № 2


Кручение стального образца круглого поперечного

сечения в пределах упругих деформаций.



Цель работы:

- проверка справедливости закона Гука при кручении;

- определение модуля упругости второго рода (модуля сдвига).

1. Описание работы


При кручении, как и при растяжении или сжатии, в начальной стадии деформации образца для большинства металлов имеют место линейная зависимость между углом закручивания и крутящим моментом Мкр - закон Гука (рисунок 1). По диаграмме кручения, аналогично диаграмме растяжения, можно видеть все характерные участки (кроме участка разрушения, т.к. при кручении “шейка” на образце не образуется) и точки, соответствующие моментам пропорциональности Мпц, текучести Мт и максимальному моменту Ммакс. По величинам этих моментов можно определить механические характеристики прочности материала - пределы пропорциональности, текучести и прочности:


Мпц Мт Ммакс

hello_html_m30456c32.gifhello_html_m1b5b5712.gifhello_html_m49cb8063.gifпц = , т = , в = , ( 1 )

W W W


где W = d3/16 - полярный момент сопротивления сечения образца.

Для вала круглого поперечного сечения угол закручивания определяется по формуле:

Мкр l

hello_html_m46e0a4ee.gif= , ( 2 )

G I


где l - расчетная длинна образца

G - модуль сдвига

I = d4 / 32 - полярный момент инерции поперечного сечения об-

разца.


При кручении длина l и диаметр d образца в пределах упругих деформаций остаются неизменными. Величина модуля сдвига может быть определена из закона Гука, если в пределах пропорциональности для заданного приращения крутящего момента Мкр на образце будут измерены приращения угла закручивания:

Мкр l

hello_html_m563d5c67.gifG = . ( 3 )

 I


Справедливость закона Гука при кручении может быть подтверждена и графически путем построением начального участка диаграммы в координатах - Мкр ( рис. 1).

hello_html_m219821c3.gif

Рисунок 1 - Диаграмма кручения


Для испытания используются стандартные круглые образцы диаметром d = 10 мм и расчетной длиной l = 100 мм (рисунок 2).



EMBED PBrush hello_html_m79fc25ed.gif

Рисунок 2 - Образец для испытания на кручение


Перед нагружением образца определяют величину максимального крутящего момента, при котором в образце возникнут напряжения, равные пределу пропорциональности

Мкр макс пц W, ( 4 )


где пц - предел пропорциональности материала образца при сдвиге.


Зная максимальный крутящий момент и задавшись необходимым числом замеров (5-6), определяют величину степени нагружения Мкр.

Испытание проводятся на машине для испытания образцов на кручение КМ-50; измерение угла закручивания осуществляется с помощью экстензометра.

Машина КМ-50 с максимальным крутящим моментом 500 Нм предназначена для проведения различных испытаний на кручение образцов круглого, прямоугольного и кольцевого сечений. Схематическое устройство машины показано на рисунке 3.

Крепление образца в захватах 2 производится с помощью клиновидных вкладышей с рифленой рабочей поверхностью, набор которых для образцов различных размеров и сечений входит в комплект машины. Для установки образцов разной длины нижний (активный) захват можно быстро перемещать, вращая маховик 2.

На станине машины, состоящей из основания 15, двух колонн 14 и траверсы 13, смонтированы ее основные узлы: механизм нагружения, силоизмерительный механизм, устройство для отчета углов закручивания и самопищущий диаграммный аппарат.

Н а г р у ж а ю щ е е у с т р о й с т в о. Электродвигатель, установленный на основании станины, через коробку скоростей и червячную пару 1 приводит во вращение грузовой вал 13 с нижним захватом. Механический привод сообщает валу две скорости вращения 0,3 и 0,1 об/мин. Для других скоростей (меньших ) используется ручной привод 12.

С и л о и з м е р и т е л ь н ы й м е х а н и з м обеспечивает регистрацию величины крутящего момента, передаваемого через испытываемый образец к верхнему (пассивному) захвату. При нагружении образца верхний захват вместе с валом 9 поворачивается на небольшой угол, пропорциоальный величине крутящего момента, и вызывает с помощью гибкой тяги 8 соответствующее отклонение маятникового силоизмерителя 3 от вертикального положения. В комплекте для маятника имеется три различных груза, позволяющих создавать следующие пределы измерения крутящего момента: 100, 200, и 500 Нм. При отклонении маятника через рычаг 7 приводится в движение рейка 6, на одном конце которой закрепляется самописец диаграммного аппарата 4, а на другом - зубчатая пара, перемещающая стрелку шкалы нагрузок 5. Для измерения углов закручивания при испытаниях образцов до разрушения служит связанный с нижним захватом лимб (шкала углов закручивания) с указательной стрелкой. Угол закручивания образца определяется углом поворота нижнего захвата относительно верхнего.

Для точных измерений углов закручивания в пределах упругих деформаций на образце устанавливается специальное устройство - экстензометр (торсиометр). Экстензометр (рисунок 4) состоит из двух колец 1 и 3, неподвижно закрепленных на образце, и стрелочного индикатора часового типа 4. При кручении образца одно кольцо поворачивается относительно другого, вследствие чего сменная планка 2, жестко закрепленная на кольце 3, с помощью тросика 6 будет перемещать штифт 5 индикатора, закрепленного на кольце 1. Перемещение стрелки индикатора А пропорционально углу закручивания образца . Зная цену деления индикатора в миллиметрах (обычно 0,01 мм) и радиус установки индикатора R , нетрудно вычислить цену деления шкалы индикатора в радианах:


hello_html_1c76e888.gif( 5 )


Чаще всего величина R подбирается такой, что одно деление по шкале индикатора соответствует 1 минуте угла закручивания.

Пружина индикатора может несколько деформировать тросик, связывающий штифт с планкой 2. Поэтому при снятии отчетов нельзя допускать обратных движений.

База торсиометра, т.е. расстояние между кольцами 1 и 2 может изменяться за счет смены планок в зависимости от длины испытуемого образца и может быть равна 100 и 200 мм.


2. Порядок проведения испытания


2.1. Ознакомиться с устройством испытательной машины КМ-50 и экстензометром для замера упругих деформаций при кручении. Экстензометр на образце устанавливается таким образом, чтобы цена деления стрелочного индикатора соответствовала углу поворота фиксированных сечений на 1 минуту. Образец с установленным экстензометром закрепляется в захватах машины заранее и производится предварительная проверка показаний индикатора.

2.2. Нагружение образца производят вручную. Начальный крутящий момент Мкр принимают за условный ноль и при этом значении снимают первое показание по. Далее увеличивают крутящий момент одинаковыми ступенями Мкр, производят соответствующие отчеты по экстензометру и заносят их в журнал испытаний.

2.3. Доводить нагрузку до очередного значения всегда нужно снизу, т.е. переходить заданную нагрузку, а затем производить частичную разгрузку не допускается.

2.4. Осуществив последнюю ступень нагружения, следует разгрузить образец до нагрузки, соответствующей начальной, и проверить показания по данным первой записи. Результаты опыта можно считать достоверными, если показания индикатора при этом вернутся к первоначальным. Снятие отчетов по индикатору можно также производить и при разгрузке образца по ступеням.



3. Обработка результатов испытаний


После очередной записи отчета по индикатору в журнале испытаний для каждой ступени нагружения производится подсчет приращения показаний, которые затем переводятся согласно цене деления экстензометра в минуты угла закручивания. В последней колонке таблицы журнала испытаний подсчитывается нарастающий угол закручивания испытуемого образца.

По значению величин нагрузки Мкр (из первой колонки таблицы) и соответствующему этой нагрузке значению суммы приращений угла закручивания строится график диаграммы кручения в координатах Мкр - , по которому просматривается линейность зависимости между Мкр и .

Для среднего приращения момента (ступени нагружения) Мкр определяется среднее приращение угла закручивания  по формуле:


hello_html_f3429c1.gif( 6 )


где п - число ступеней нагружения.


Модуль упругости второго рода определяется на основании формулы (3 ) с учетом перевода минут в радианы


hello_html_m7a1a65b5.gif( 7 )

где l - расчетная длина, равная расстоянию между опорными кольцами экстензометра.

Полученное в опыте значение модуля сдвига сравнивается с табличным значением Gт = 810 Па и определяется погрешность опыта


hello_html_m754a8865.gif% ( 8 )


В заключении работы делаются выводы по полученным результатам и составляется журнал испытаний.



4. Журнал испытаний


4.1. Размеры образца: Диаметр d =........мм;

Расчетная длина l =.........мм;

Полярный момент инерции

поперечного сечения hello_html_m9ae22.gif =.............м4


EMBED PBrush hello_html_m14d1ac9.gif

Рисунок 5 - Образец для испытания



Результаты испытаний образца

hello_html_7fc29472.gif

hello_html_m48d731bd.gif

hello_html_12845d49.gifМкр, Cреднее приращение

Н.м крутящего момента Мкр =........Нм

Среднее значение угла закручивания,

соответствующее Мкр:

ср=hello_html_4a929c65.gif=.........минhello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_m7956ee1b.gif, мин

Рисунок 6 - Экспериментальная зависимость между

крутящим моментом и углом закручивания

Модуль упругости 2 рода:

опытный hello_html_59a16006.gif.........МПа

теоретический Gт = 8 . 105 МПа

Расчетная погрешность

hello_html_25c45612.gif=..............%


Выводы:


5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ


1. При каком нагружении прямой брус испытывает деформацию кручения?

2. Какое правило знаков принято для крутящих моментов?

3. Что называется углом закручивания?

4. Как выражается закон Гука при кручении?

5. По каким формулам можно определить модуль упругости второго рода?

6. Как опытным путем определяется модуль упругости второго рода?

7. Как определяется угол закручивания образца экспериментально?

Какие измерительные приборы и приспособления при этом применяются?

8. Что называется жесткостью поперечного сечения бруса при кручении?

Какова размерность жесткости поперечного сечения.

9. Какие факторы влияют на величину угла закручивания?

10. По какой формуле определяется полярный момент сопротивления для

круглого вала сплошного сечения и для вала кольцевого сечения?

11. Объясните схематическое устройство и принцип работы испытательной машины типа КМ-50?

12. Каким образом осуществляется изменение диапазона нагрузок /моментов/ на машине КМ-50?

13. Объясните назначение и устройство экстензометра. Как он работает?






Рисунок 3 - Схематическое устройство машины КМ-50



hello_html_32f59895.gif

hello_html_405d9e1.gifhello_html_6e49775c.gifhello_html_mfd79312.gifhello_html_4b498f5.gifhello_html_m1fcfd641.gifhello_html_m26047b9b.gifhello_html_3289af2.gif

hello_html_m20c263cf.gifhello_html_m2f396e91.gif

hello_html_m4c6209a.gifhello_html_m5a3b3360.gifhello_html_261f3e1c.gifhello_html_m57c35987.gifhello_html_m8aaa2bc.gifhello_html_m53e494af.gif

hello_html_md9a25b9.gifhello_html_m2ec08e08.gifhello_html_35456de4.gif2 R

hello_html_m303a7992.gifhello_html_12b3f744.gifhello_html_25b5b493.gif1 

hello_html_5a91938c.gifhello_html_535a261a.gifhello_html_57b29779.gifhello_html_4002acde.gifhello_html_m253122f8.gifhello_html_m32ff6865.gifhello_html_3b3780d8.gifhello_html_5958d91c.gifhello_html_4cb207a4.gifhello_html_2e3c0973.gifhello_html_m79a520e.gifhello_html_1aa0fcd4.gifhello_html_6b33a348.gifhello_html_m536cb323.gifhello_html_c2a2a0a.gifhello_html_3aa75a45.gifhello_html_m1d8bc9a8.gifhello_html_48a5773f.gifhello_html_62de1f3e.gifhello_html_2c2f0095.gif

hello_html_4f4c185.gifhello_html_m7f42d1f0.gifhello_html_55650197.gifhello_html_4cb207a4.gifhello_html_d893a93.gifhello_html_m20c9bd22.gifhello_html_26e10237.gifhello_html_f919e84.gifhello_html_m4b2941d8.gifhello_html_63b1d12f.gifhello_html_5028cdbf.gif

hello_html_296aa105.gifhello_html_44f5a08e.gifhello_html_m1b3d8204.gifhello_html_1796d642.gifhello_html_5eca9ecc.gifhello_html_49af8d2c.gifhello_html_m14f5ec1e.gifhello_html_4d72afd9.gifhello_html_m3eb62d8b.gifhello_html_63b1d12f.gifА

hello_html_m3eb62d8b.gifhello_html_207bf965.gif

6

4

hello_html_m514c2fc9.gifhello_html_m6e90e94.gifhello_html_1d1c530b.gif5

hello_html_m1d8bc9a8.gifhello_html_m57c35987.gifhello_html_28e2445.gif

hello_html_1247cc7a.gifhello_html_1247cc7a.gifhello_html_4b7905e1.gif

hello_html_m2df7d86a.gifhello_html_1d43169e.gifhello_html_6eba59af.gifhello_html_m303a7992.gifhello_html_39641523.gif


hello_html_m4c72e117.gif3



Рисунок 4 - Экстензометр для измерения углов закручивания



Лабораторная работа №3.

Испытание материалов на сжатие

Цель работы – изучить поведение различных материалов и определить их механические характеристики при статическом сжатии.

Основные сведения

Испытания материалов на сжатие проводят на специальных прессах или универсальных испытательных машинах по специальным методикам: для стали и чугуна используется ГОСТ 25.503-80, бетона - ГОСТ 10.180-90, древесины поперек волокон ГОСТ 16483.11-72, древесины вдоль волокон ГОСТ 16483.10-73.


Образцы материалов для испытания на сжатие изготовляются в виде цилиндров высотой h и диаметром d . Для чугуна, например, рекомендуется диаметр от 10 до 25 мм. Отношение h/d должно быть в пределах от 1 до 2. При значении h/d >2 сказывается влияние продольного изгиба. При значении h/d<1 в большей степени сказывается влияние сил трения, возникающих между торцами образца и опорными плитами машины. 


Силы трения тормозят развитие деформации у торцов образца, чем и объясняется его бочкообразная форма в результате испытаний. Одним из способов уменьшения сил трения является смазывание торцов образца графитом, графитовой смазкой или парафином.

Образцы из искусственного камня (цементного или иного раствора) изготавливаются в виде кубиков или цилиндров.


Деревянные образцы изготавливают в виде прямоугольной призмы с основанием 20 х 20 мм и высотой вдоль волокон 30 мм или кубиков со стороной 20 мм и более.


Пластичные материалы (мягкая сталь, медь и др.) одинаково хорошо работают на растяжение и сжатие, поэтому испытание на сжатие является дополнением к испытанию этих материалов на растяжение.


Для пластичных материалов модуль упругости Е, предел упругости и предел текучести при сжатии примерно те же, что и при растяжении. При сжатии пластичных материалов сила постоянно возрастает (кривая I рис. 2.1), при этом величину напряжений, соответствующих разрушающей силе, определить невозможно, так как образец не разрушается, а превращается в диск (рис. 2.2,а). 


Характеристики, аналогичные относительному удлинению и относительному сужению при разрыве, при испытании на сжатие также получить невозможно.


Испытанию на сжатие подвергают главным образом хрупкие материалы, которые, как правило, лучше сопротивляются сжатию, чем растяжению, и применяются для изготовления элементов, работающих на сжатие. Для их расчета на прочность необходимо знать характеристики материалов, получаемые при испытании на сжатие. 


На рис. 2.1 кривая 2 показывает диаграмму сжатия чугуна, из которой видно, что закон Гука выполняется лишь приближенно в начальной стадии нагружения. Верхняя точка диаграммы соответствует разрушающей нагрузке Fmax, определив которую, вычисляют предел прочности материала на сжатие σспч=Fmax/A


hello_html_m470f87fb.png

Рис. 2.1. Диаграммы сжатия:

1 – малоуглеродистой стали; 2 – чугуна; 3 – бетона;

4 – сосны вдоль волокон; 5 – сосны поперек волокон


Разрушение чугунного образца происходит внезапно при незначительных остаточных деформациях. Разрушению предшествует образование трещин, расположенных приблизительно под углом 45° к образующим боковой поверхности образца, т.е. по линиям действия максимальных касательных напряжений (рис. 2.2,б).


Характер разрушения образцов из бетона (цементного раствора, камня) показан на рис. 2.2,в – при наличии сил трения между плитами машины и торцами образца. Разрушение происходит путем выкрашивания материала у боковых поверхностей в средней части образца. Трещины образуются под углом 45° к линии действия нагрузки. 


При снижении сил трения за счет нанесения слоя парафина на опорные поверхности образца разрушение происходит в виде продольных трещин, материал расслаивается по линиям, параллельным действию сжимающей силы, и сопротивление материала уменьшается (рис. 2.2, г).


Диаграмма сжатия бетона показана на рис. 2.1, кривая 3. Из диаграммы видно, что рост нагрузки сопровождается упругими деформациями вплоть до разрушения, что вообще характерно для хрупких материалов.


hello_html_47774870.png


Рис 2.2. Вид образцов из различных материалов до и после испытания на сжатие:

а – малоуглеродистая сталь; б – чугун; в – цементный раствор без смазки торцов;

г – цементный раствор со смазкой торцов; д – дерево вдоль волокон; е – дерево поперек волокон


Особым своеобразием отличается сопротивление сжатию древесины как материала анизотропного и обладающего волокнистой структурой. При сжатии, как и при растяжении, древесина обладает различной прочностью в зависимости от направления сжимавшей силы по отношению к направлению волокон. 


На рис. 2.1 изображены диаграммы сжатия образцов из древесины одной породы. Кривая 4 иллюстрирует сжатие образца вдоль волокон, а кривая 5 - поперек волокон. При сжатии вдоль волокон древесина значительно (в 8-10 раз) прочнее, чем при сжатии поперек волокон. При сжатии вдоль волокон образец разрушается вследствие сдвига одной части относительно другой (рис. 2.2, д), а при сжатии поперек волокон древесина склонна к прессованию и не всегда удается определить момент начала разрушения (рис. 2.2, е). 

Порядок выполнения и обработка результатов

Предложенные для испытания образцы замеряют и, поочередно устанавливая их между опорными плитами машины УММ-20, подвергают статическим нагружениям, в процессе которых на диаграммном аппарате производится запись диаграмм сжатия соответствующих материалов. По контрольной стрелке шкалы силоизмерителя фиксируются максимальные нагрузки для каждого из образцов.


По полученным диаграммам сжатия определяют максимальную нагрузку сжатия стального образца и разрушающие нагрузки для других образцов, корректируя их значения с показателями стрелки силоизмерителя, записывают показания в журнал испытаний. Далее определяют характерные значения напряжений и производят записи в журнал испытаний.


Необходимо сделать зарисовку разрушенных образцов и описать характер их разрушения. Дать сравнительную характеристику работы испытанных материалов.

Контрольные вопросы

1. Какой вид имеет диаграмма сжатия стали? В чем отличие этой диаграммы от диаграммы растяжения?

2. Какие механические характеристики можно определить по диаграмме сжатия стали?

3. Каков вид диаграммы сжатия чугуна, бетона? Каков характер разрушения образцов из этих материалов?

4. Какие механические характеристики определяют для хрупких материалов при их испытании на сжатие?

5. Какой вид имеет диаграмма сжатия дерева вдоль волокон и какие механические характеристики можно определить по ней?

6. Как разрушается дерево при сжатии вдоль и поперек волокон? В каком направлений дерево обладает лучшими механическими свойствами?

7. Какие характеристики материала можно получить при испытании на сжатие малоуглеродистой стали, чугуна, бетона, дерева?

8. Почему образцы из малоуглеродистой стали и из чугуна при сжатии приобретают бочкообразную форму? Почему это явление не наблюдается у бетонных образцов?







Лабораторная работа №4.

Проверка теоремы о взаимности перемещений

Цель работы – проверить опытным путем справедливость теоремы о взаимности перемещений и на ее основе построить упругую линию балки.

Основные сведения

Теорема о взаимности работ гласит, что работа первой силы на перемещении точки ее приложения под действием второй силы равна работе второй силы на перемещении точки ее приложения под действием первой силы, т.е.

F1 у12 = F2 у21 = W. (10.1)


Если силы равны, то теорема переходит в теорему о взаимности перемещений: перемещение первого сечения под действием силы, приложенной во втором сечении, равно перемещению второго сечения под действием той же силы, но приложенной в первом сечении.


у12 = у21. (10.2)

Порядок выполнения и обработка результатов

Опыты проводятся на настольной установке СМ-4.

Проверка теоремы о взаимности перемещений (рис.1) выполняется следующим образом.


hello_html_2723768e.png


Рис. 1. Проверка теоремы о взаимности перемещений


В двух произвольных сечениях балки устанавливаются индикаторы и гиревые подвесы (сечения 1 и 2 рис. 10.1, а). На индикаторе сечения 2 снимается начальный отсчет, балка нагружается в сечении 1 нагрузкой F и снимается отсчет индикатора, установленного в сечении 2 (см. рис. 10.1, б). Разность данного и начального отсчетов равна величине прогиба у21 в сечении 2. Затем балка разгружается. 


Данные по F и у21 заносятся в журнал испытаний. Далее на индикаторе, установленном в сечении 1, снимается начальный отсчет, балка нагружается в сечении 2 той же нагрузкой F и по разности отсчетов индикатора 1 определяется величина прогиба у12 (см. рис. 10.1, в). 


Балка разгружается и данные по у12 заносятся в журнал испытаний. Сопоставлением полученных данных по равенству (10.2) проверяется теорема о взаимности перемещений. Если равенство (10.2) не соблюдается, определяют процент погрешности

hello_html_37400cdf.png

и делают выводы.


Используя теорему о взаимности перемещений, можно с помощью одного индикатора, закрепленного стационарно в сечении приложения нагрузки заданной расчетной схемы (рис. 10.2), определить экспериментально перемещения балки в любом сечении и построить упругую линию балки.


hello_html_73acad6f.png


Рис. 10.2. Построение упругой линии балки


Индикатор линейных перемещений устанавливается в том сечении балки, в котором по расчетной схеме прикладывается заданная нагрузка. Один гиревой подвес размещается на консоли, второй – внутри пролета.


Определяются перемещения сечения, в котором установлен индикатор, при последовательном приложении заданной нагрузки F в расчетные точки 1 ... 10 (см. рис. 10.2). Эта операция включает в себя установку гиревого подвеса в расчетную точку, снятие начального отсчета по индикатору, приложение заданной нагрузки F к гиревому подвесу, снятие отсчета индикатора и определение приращения отсчетов, равного определяемому перемещению. Для приложения нагрузки в сечениях, расположенных на консоли, используется второй гиревой подвес.


Согласно теореме о взаимности перемещений, эти перемещения будут равны перемещениям расчетных точек при приложении нагрузки F в сечении установки индикатора.

Полученные значения перемещений заносятся в журнал испытаний.


Для сравнения экспериментальных перемещений с теоретическими последние просчитываются для заданной расчетной схемы по универсальному уравнению в тех же сечениях. Расчет линейных перемещений может быть проведен на ЭВМ.


По результатам сравнения экспериментальных и теоретических значений прогибов необходимо сделать соответствующие выводы.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте теорему о взаимности работ и взаимности перемещений.

2. Поясните, как можно проверить теорему о взаимности перемещений в лабораторных условиях. Изложите порядок проведения работы.

3. Где можно использовать свойства теоремы о взаимности перемещений?

4. Как построить экспериментально линию прогибов балки, имея в наличии один индикатор линейных перемещений? Если предлагается несколько вариантов, то какой из них дает более точные результаты?



Лабораторная работа №5.


Тема: Расчет на контактную прочность и изгиб конических зубчатых передач


hello_html_m6c03aba5.png









Таблица.



УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ШЕСТОЙ ГРУППЫ

Приступая к расчету кинематических и силовых параметров механических передач, студенты должны изучить материал, изложенный в конспекте [1, с.29… 34] или в источниках [2, с.117…119], [3, с.111…113], [4, с.114… 115].

Решение задач можно вести в следующем порядке.

1)
Определяют передаточные отношения передач; под передаточным отношением и понимается отношение угловых скоростей на ведущем и ведомом колесах (валах) передачи. Помимо этого передаточное отношение передачи можно определить

hello_html_1e5f1781.png

2)
Вычисляют частоту вращения и угловую скорость на всех валах привода; зная передаточное отношение и опираясь на (6.1), можно вычислить угловую скорость
hello_html_m35a9ebb5.png,
и так далее для каждого вала привода.

Угловую скорость
hello_html_68440348.png, рад/с, не всегда удобно использовать как характеристику скорости вращательного движения. Многие каталоги и рекомендации в технике для этого применяют частоту вращения п, об/мин. Угловая скорость и частота вращения связаны соотношением

hello_html_7d35c6a0.png;

3)
Вычисляют мощность на валах привода;

мощность вращательного движения
Р, Вт, уменьшается пропорционально к.п.д. механических устройств, служащих для передачи движения с вала на вал

P 2 = P 1 · 1 · п,
здесь
1 - к.п.д. передачи;

п - к.п.д. пары подшипников (опор) вала.

4)
Определяют величину вращающего момента на валах привода; момент вращения - Т, Hм. Если мощность Р выражается в киловаттах, кВт, то

hello_html_43599f6a.png, (8.5)

или

hello_html_m7825b8ba.png.
5)
Определяют общий к.п.д. и общее передаточное отношение привода.

Как известно, передаточное отношение кинематической цепи, состоящей из
N последовательно установленных пар, равно произведению передаточных отношений этих пар
u = u 1-2 ·u 2-3 ·u 3-4 · u N .

Общий к.п.д. привода при последовательном соединении механизмов и устройств также определяется произведением частных к.п.д.

= 1· 2· 3· п ·… · N.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ШЕСТОЙ ГРУППЫ

Пример Определить передаточное отношение между входными и выходными звеньями и каждой передачи в отдельности; угловую скорость, число оборотов, мощность и крутящий момент каждого вала; общий коэффициент полезного действия двухступенчатой передачи, изображенной на рисунке.

Числа зубьев колес соответствующих передач:
z1 = 20; z2 = 100;

z3 = 24; z4 = 96; к.п.д. зубчатой цилиндрической передачи ц = 0,97; к.п.д., учитывающий потери в опорах одного вала, п = 0,99; полезная мощность, подводимая к первому валу Р = 10 кВт; скорость вращения первого вала 1 = 100 с –1.

Реhello_html_m6524c83f.pngшение. 1 Передаточные отношения передач по формуле (8.1)
u 1 = z 2 / z 1 = 100 / 20 = 5;
u 2 = z 4 / z 3 = 96 / 24 = 4,

тогда общее передаточное отношение двухступенчатой передачи согласно формуле (8.7)
u = u 1 · u 2 = 5 · 4 = 20.
2 Определяем угловые скорости и частоты вращения валов по формулам

1 = 100 с –1 ;

2 =1 / u 1 = 100 / 5 = 20 с –1;

3 =2 / u 2 = 20 / 4 = 5 с –1;

n1 = (30 ·1) / = (30 · 100) / 3,14 = 955,414 об/мин;

n2 = (30 ·2) / = (30 · 20) / 3,14 = 191,08 об/мин;

n3 = (30 ·3) / = (30 · 5) / 3,14 = 47,77 об/мин.
3 Мощности на валах передаточного механизма согласно формуле

P 1 = 10 · п = 10 · 0,99 = 9,9 кВт;

P 2 = P 1 · ц · п = 9,9 · 0,97 · 0,99 = 9,507 кВт;

P 3 = P 3 · ц · п = 9,507 · 0,97 · 0,99 = 9,13 кВт.
4 Моменты на валах передаточного механизма

T 1 = P 1 / 1 = 9,9 · 10 3 / 100 = 99 Н·м;

T 2 = P 2 / 2 = 9,507 · 10 3 / 20 = 475,35 Н·м;

T 3= P 3 / 3 = 9,13 · 10 3 / 5 = 1826 Н·м.

5 Общий к.п.д. передаточного механизма согласно формуле

= п 3 · ц 2 = 0,99 3 · 0,97 2 = 0,913.


9.2 КОНТРОЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ (пример)

Р] = 100МПа


М18


1


М20


2


М16


3


М22


4


2


hello_html_m20f4d645.png


Из расчета фланговых швов длиной
L на

срез определить допускаемую нагрузку
[F]если известен катет шва k и допускаемое напряжение [ 'СР].

Дано:
[ 'СР] = 100 МПа, L = 50 мм, k =7 мм.


[F] = 49 кН


5


[F] = 30 кН


6


[F] = 40 кН


7


[F] = 35 кН


8


3


Определить модуль
т и шаг р зацепления прямозубого цилиндрического колеса без смещения, если число зубьев его Z , а диаметр вершин зубьев d a .

Дано:
Z = 48, d a = 250 мм.


р = 4 мм


9


р = 5,5 мм


10


р = 4,5 мм


11


р = 5 мм


12


4


Быстроходный вал двухступенчатого зубчатого редуктора имеет частоту вращения
n 1 . Определить угловую скорость 3 тихоходного вала, если известны числа зубьев колес редуктора.

Дано:
n 1 = 720 мин -1 , Z 1 = 20, Z 2 = 60, Z 3 = 20, Z 4 = 80 (принять / 30 0,1).


3 = 12 рад/с


13


3 = 8 рад/с


14


3 = 6 рад/с


15


3 = 10 рад/с


16


5


Определить вращающий момент
T 2 на тихоходном валу редуктора, зная частоту его вращения n 2, мощность на ведущем валу P 1 и общий КПД ? редуктора.

Дано:
n 2 = 240 мин -1 , P 1 = 6 кВт, ? = 0,94 (принять / 30 0,1).


T 2 = 216 Нм


17


Т 2 = 235 Нм


18


T 2 = 272 Нм


19


T 2 = 253 Нм


20





Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 01.07.2016
Раздел Другое
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров691
Номер материала ДБ-136890
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.