КПК учителя математики, пример ответа на дистанционное обучение

Алгебра 7-9

Задание на дистант

1.     Определить планируемые результаты по данной теме

2.     Выбрать УМК, определить по УТП количество часов и тематику

3.     Методические рекомендации по теме (ввод понятий, основные типы задач по теме, алгоритмы решения)

4.     Разработка урока + презентация / презентации по обобщению материала / интеллект-карта темы

Содержание курса математики в 7–9 классах

18. Задачи на части, доли, проценты – Зыбалова

Решение задач на нахождение части числа и числа по его части. Решение задач на проценты и доли. Применение пропорций при решении задач.

Логические задачи

Решение логических задач. Решение логических задач с помощью графов, таблиц.

Основные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, перебор вариантов. Первичные представления о других методах решения задач (геометрические и графические методы).

Тригонометрия

Тригонометрические функции острого угла в прямоугольном треугольнике Тригонометрические функции тупого угла.

 

Ответы:

Планируемые результаты по  теме:

1.Выпускник научится в 7-9 классах (для использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом уровне)

Текстовые задачи

·           Решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия;

·           строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка или уравнения), в которой даны значения двух из трех взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи;

·           осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение строится от условия к требованию или от требования к условию;

·           составлять план решения задачи;

·           выделять этапы решения задачи;

·           интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;

·           знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки;

·           решать задачи на нахождение части числа и числа по его части;

·           решать задачи разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три величины, выделять эти величины и отношения между ними;

·           находить процент от числа, число по проценту от него, находить процентное снижение или процентное повышение величины;

·           решать несложные логические задачи методом рассуждений.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·           выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых в задаче величин (делать прикидку).

Выпускник получит возможность научиться в 7-9 классах для обеспечения возможности успешного продолжения образования на базовом и углубленном уровнях

Текстовые задачи

·           Решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности;

·           использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач;

·           различать модель текста и модель решения задачи, конструировать к одной модели решения несложной задачи разные модели текста задачи;

·           знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от условия к требованию);

·           моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф-схемы;

·           выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;

·           уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода, рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;

·           анализировать затруднения при решении задач;

·           выполнять различные преобразования предложенной задачи, конструировать новые задачи из данной, в том числе обратные;

·           интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;

·           анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных направлениях;

·           исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке, рассматривать разные системы отсчета;

·           решать разнообразные задачи «на части»,

·           решать и обосновывать свое решение задач (выделять математическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;

·           осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу, на покупки, на движение), выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов;

·           владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;

·           решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя разные способы;

·           решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц;

·           овладеть основными методами решения сюжетных задач: арифметический, алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых по сравнению с изученными ситуациях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

·           выделять при решении задач характеристики рассматриваемой в задаче ситуации, отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые ситуации с учетом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации, учитывать плотность вещества;

·           решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный результат;

·           решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета.

2.      Выбрать УМК, определить по УТП количество часов и тематику

УМК «Алгебра 7-9» Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.И. Бунимович, Л.В. Кузницова, С.С. Минаева. Москва «Просвещение» 2016г

№	Содержание	Кол-во часов
7кл	Глава 1.Дроби и проценты
1.4	Задачи на проценты	4
	Глава 2. Прямая и обратная пропорциональность
2.3	Решение задач с помощью пропорций	2
	Глава 4.Уравнения
4.1	Алгебраический способ решения задач	2
4.4	Решение задач с помощью уравнений	5
8кл	Глава 1. Алгебраические дроби
1.7	Решение уравнений и задач	3
	Глава 3. Квадратные уравнения
3.4	Решение задач	3
	Глава 4. Системы уравнений
4.5	Решение задач с помощью систем уравнений	3
4.6	Задачи на координатной плоскости	2
9 кл	Глава 3.уравнения и системы уравнений
3.4	Решение задач	4
3.6	Решение задач	2

3. Методические рекомендации по теме (ввод понятий, основные типы задач по теме, алгоритмы решения)

 В практике начального обучения решение задач осуществляется в соответствии с методикой, предложенной американским педагогом-математиком Д. Пойа. Выделим этапы работы над задачей:

 1 этап. Усвоение содержания задачи (цель этапа - понять задачу, выделить условие, требование, установить связи между данными и искомыми).

2 этап. Разбор задачи или поиск решения (цель этапа - составить план решения).

3 этап. Решение задачи (цель этапа - оформить решение, записать ответ).

 4 этап. Проверка решения.

Установлено, что основные затруднения при решении задач данного вида возникают у учащихся прежде всего на начальных этапах хода решения, ибо попытки выбрать теоретический базис и способ действия, полагаясь на имеющийся субъектный опыт, в рассматриваемой ситуации не всегда успешны. Поэтому на этапе усвоения содержания (осмысления условия) задачи можно рекомендовать интерпретировать условие задачи, т.е. выполнить рисунок, чертеж, таблицу, схему для получения ясного представления о задачной ситуации; выделить данные и искомые, проверить их достаточность и непротиворечивость; обратиться к прошлому опыту: вспомнить аналогичные, уже решенные задачи, на которые данная задача может опираться; перевести элементы задачи на язык предполагаемого для использования при решении задачи какого-либо математического метода, переформулировать текст задачи (в случае деформированного текста или текста, осложненного лишними несущественными для решения задачи данными - например, качественными характеристиками объектов задачи). При составлении плана решения задачи уместно попытаться определить тип задачи, свести ее к ранее решенным; видоизменить задачу, переформулировав условие и упростив его, отбросив несущественную, излишнюю информацию; заменив описание некоторых понятий соответствующими терминами; переорганизовав текст задачи в форму, удобную для поиска решения; расчленить задачу на серию вспомогательных задач, последовательное решение которых составит решение данной. На этапе практической реализации намеченного плана решающему задачу полезно придерживаться советов, касающихся выбора способа оформления решения, гарантирующего фиксацию рассуждений в краткой и ясной, но достаточной для полного воспроизведения решения, форме; коррекции правильности решения путем сравнения с условием. Закончив решение задачи, следует осуществить его проверку: прикинуть правильность результата сопоставлением с условием и здравым смыслом; попытаться найти более экономичный способ решения; исследовать особые случаи решения, решить задачу другим способом или методом, составить обратную задачу.

В качестве основных в математике различают арифметический и алгебраический методы решения текстовых задач. Помимо указанных, в школьной практике используются и другие методы, позволяющие включить в содержание  курса математики задачи, традиционно решаемые на следующих ступенях обучения. Это графический и практический метод, метод подбора, последовательного или упорядоченного перебора, метод «предположение ответа» геометрический, логический. Решение может быть оформлено в виде последовательности действий, в вопросно-ответной форме, в виде таблицы, чертежа, схематичного рисунка, графа.

решению задачи включает следующие этапы независимо от выбранного метода решения:

1. Анализ и запись условия задачи.

2. Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения.

а) выявление основания для составления выражения, уравнении, системы уравнений и т.д.

б) составление выражения, уравнении, системы уравнений и т.д.

3. Осуществление плана решения задачи.

4. Проверка решения задачи.

5. Запись ответа.

6. Анализ решения.

Рассмотрим подробнее каждый из указанных этапов.

1. Анализ задачи.

Этот этап включает анализ и запись условия задачи, анализ чертежа если он необходим и построен:

Основное назначение этапа — осмыслить ситуацию, отраженную в задаче; выделить условия и требования назвать данные и искомые, выделить величины и зависимости между ними (явные и неявные). На этом этапе решения задач можно использовать такие приемы:

а) представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче;

б) постановка специальных вопросов и поиск ответов на них;

в) «переформулировка» задачи;

г) моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных или графических моделей и т.д.

Рекомендации :

1.Уясните смысл текста задачи и значение каждого слова. Вспомните или прочитайте определения понятий, вошедших в условие.

2.Установите объект исследования.

3. Выявите процессы, описываемые в задаче. Заметьте, сколько их, сколько раз придется вести наблюдения, сколько раз придется вести записи.

4.Укажите величины, характеризующие каждый процесс, обозначьте их и проставьте единицы измерения. Запишите зависимости между величинами в виде формул.

5. Запишите условие задачи в понятной и доступной вам форме, для чего: выберите одну из неизвестных величин (желательно самую маленькую) и обозначьте ее буквой, составьте для каждого процесса задачи выражения ,включающее данные и неизвестные. Не забудьте о выбранных единицах измерения, упростите все выражения.

 Первый прием — представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче, — выполняется фактически при чтении или слушании задачи. Вместе с тем мысленное воспроизведение всех объектов задачи и связей между ними может проводиться позже. Цель такого воспроизведения — выявление основных количественных и качественных характеристик ситуации, представленной в задаче.

Второй прием — постановка специальных вопросов и поиск ответов на них — включает следующий «стандартный» набор во­просов, ответы на которые позволяют детально разобраться в со­держании задачи:

1. О чем говорится в задаче?

2. Что известно в задаче?

3. Что требуется найти в задаче?

4. Что в задаче неизвестно? и др.

 Пример 4.1. По линии водопровода уложены 23 трубы двух размеров: 470 см и 825 см. Участок, выложенный более короткими трубами, длиннее на 5 630 см. Сколько уложено тех и других труб?

Проведем анализ содержания задачи, используя прием постановки во­просов и поиска ответов на них:

1. О чем говорится в задаче?

В задаче говорится об укладке труб по линии водопровода.

2. Что известно в задаче?

В задаче известно: по линии водопровода уложены 23 трубы; использо­вались трубы двух размеров; длина короткой трубы —470 см; длина длин­ной трубы — 825 см; участок, выложенный более короткими трубами, боль­ше на 5 630 см.

3. Что требуется найти в задаче?

В задаче требуется найти, сколько уложено длинных и коротких труб.

Третий прием — переформулировка текста задачи — состоит в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим описанием, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Вся лишняя, не­существенная информация при этом отбрасывается, текст задачи преобразуется в форму, облегчающую поиск пути решения. В ходе переформулировки выделяются основные ситуации, о которых идет речь в задаче, при необходимости строится вспомогательная мо­дель задачи: краткая запись условия, таблица, рисунок, чертеж, диаграмма и т. п.

Моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью ре­альных предметов, предметных моделей или графических моде­лей является еще одним, четвертым, приемом анализа задачи.

Пример 4.2. В первую неделю типография получила с фабрики шесть рулонов бумаги одного сорта и заплатила за них 204 р. Сколько рублей должна заплатить типография за месяц, если она получила 10 таких же рулонов бумаги того же сорта?

Вспомогательная модель задачи представлена в виде таблицы.

Число рулонов (шт.)	Стоимость (р.)	Цена (р.)
6	204	Одинаковая
10	?

Вспомогательные модели являются действенным средством поиска пути решения задачи и составления плана ее решения.

2. Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения.

 Назначение этапа — завершить установление связей между дан­ными и искомыми величинами и указать последовательность ис­пользования этих связей.

Проведя анализ задачи, не всегда просто найти путь ее решения. Поиск пути решения задачи является довольно трудным процессом, для которого нет точного предписания. Укажем некото­рые приемы, помогающие осуществлять этот этап:

 Одним из приемов поиска пути решения задачи является анализ задачи по тексту или по ее вспомогательной модели. Поиск пути решения задачи можно осуществлять от вопроса задачи к дан­ным (аналитический путь) или от данных к вопросу (синтетичес­кий путь).

 В первом случае (аналитический путь) на основе анализа задачи необходимо уточнить, что требуется найти в задаче и определить, что достаточно знать для ответа на этот вопрос. Для этого следует выяснить, какие из нужных данных есть в условии задачи. Если они (или одно из них) отсутствуют, надо определить, что нужно знать, чтобы найти недостающие данные (или одно недо­стающее данное), и т.д., пока для определения очередного неиз­вестного оба данных будут известны.

Поиск пути решения заканчивается составлением плана реше­ния задачи. Под планом решения будем понимать объяснение того, что узнаем, выполнив то или иное действие, и указание по по­рядку выполнения арифметических действий.

 Пример 4.3. В трех школах 1072 ученика, во второй на 16 учеников больше, чем в третьей, и на 14 учеников меньше, чем в первой. Сколько учеников в каждой школе?

Поиск пути решения. Чтобы определить число учащихся в каждой школе, надо сначала узнать число учащихся в одной из школ и разность между этим числом и числом учащихся других школ.

В условии дана разность числа учащихся второй и третьей школ и разность числа учащихся первой и второй школ. Поэтому в первую очередь удобнее определять число учащихся второй школы; для этого приравняем число учащихся первой и третьей школ к числу учащихся второй школы. Чтобы узнать, сколько было бы учащихся в трех школах, если бы каждой школе было столько, сколько во второй, надо знать настоящее число учащихся трех школ (дано в условии) и на сколько учеников увеличится или уменьшится при предполагаемом изменении числа учащихся первой и третьей школ. Последнее число определим, зная, что число учащихся первой школы надо уменьшить на 14 учеников (чтобы уравнять со второй школой), а число учащихся третьей школы увеличить на 16.

План решения.

1. На сколько учеников увеличилось бы общее число учащихся трех школ если бы в каждой школе число учеников было бы таким же, как во второй ;

2. Сколько учеников было бы в трех школах, если бы число учеников в каждой школе было бы таким же, как во второй школе?

3. Сколько учеников во второй школе?

4. Сколько учеников в первой школе?

5. Сколько учеников в третьей школе?

 Во втором случае (синтетический путь) решающий выделяет в тексте задачи два каких-либо данных и на основе связи между ними, установленной при анализе, определяет, какое неизвестное может быть найдено по этим данным и с помощью какого действия. Затем, считая полученное число данным, решающий опять выделяет два взаимосвязанных данных и определяет, какое неизвестное может быть найдено по ним и с помощью какого действия, и т.д., пока выполнение очередного действия не приведет к определению искомого.

 При решении задач анализ и синтез в рассуждениях, как правило, переплетаются. Осуществляя поиск пути решения задачи синтетически, анализ часто производят «про себя». В то же время, каким бы приемом мы ни вели поиск пути решения составной задачи, ее предварительный анализ (хотя бы подсознательный) неизбежен.

Еще одним из приемов поиска пути решения задачи является разбиение задачи на смысловые части. Сущность этой работы включается в том, чтобы научиться различать в данной задаче отдельные, менее сложные задачи, последовательное решение которых позволяет получить ответ на требование данной.

 Пример 4.4. Капитан хоккейной команды посчитал, что если собрать каждого игрока по 90 р., то на покупку инвентаря не хватит 750 р. Если же собирать по 100 р., то не хватит 500 р. .Собрав по 100 р. с игрока и получив от спонсора 1 250 р., команда закупила перчатки, клюшки и шайбы на всю сумму, причем за перчатки было уплачено на 600 р. меньше, чем за клюшки, и в 3 раза больше, чем за шайбы. Сколько было уплачено за шайбы?

Поиск пути решения. По краткой записи можно попытаться выяснить, из каких задач складывается данная задача и отделить их пунктирными линиями, а затем охарактеризовать составные части, на которые разбили задачу.

1. Капитан хоккейной команды посчитал, что если собрать с каждого игрока по 90 р., то на покупку инвентаря не хватит 750 р. Если же собирать по 100 р., то не хватит 500 р. Сколько игроков в команде?

2. Собрав по 100 р. с игрока и получив от спонсора 1 250 р., команда закупила перчатки, клюшки и шайбы. Сколько стоят перчатки, клюшки и шайбы вместе?

3. За перчатки уплачено на 600 р. меньше, чем за клюшки, и в 3 раза больше, чем за шайбы. Сколько уплачено за шайбы?

Решим эти задачи алгебраически.

1. Пусть х чел. — число игроков в команде. Тогда 90х р. — соберет команда, если каждый игрок сдаст по 90 р., 100 х р. — соберет команда если каждый игрок сдаст по 100 р. (90 х + 750) р. или (100х + 500)-стоимость инвентаря. Следовательно, получаем уравнение 90 х + 750 = 100х + 500, решив которое найдем х = 25 (чел).

2. Собрав с каждого игрока по 100 р., команда получила 100 · 25 = 2 500 (р.). Поэтому на закупку перчаток, клюшек и шайб (с учетом денег спонсора) было потрачено 2 500 + 1 250 = 3 750 (р.).

3. Пусть у р. — стоимость шайб, тогда 3у р. — стоимость перчаток , ( 3у + 600) р. — стоимость клюшек. По условию задачи имеем уравнение: у +3у +(3у + 600) =3750.

Решив это уравнение, найдем у = 450. Значит, за шайбы было уплачено 450р.

Ответ: за шайбы уплачено 450 р.

3. Осуществление плана решения задачи.

 Назначение этапа — найти ответ на требование задачи. Немаловажную роль при реше­нии задач играет запись найденного решения. Прежде всего оста­новимся на используемых сокращениях при записи действий с именованными числами. При записи именованных чисел, выра­женных в метрических мерах, используются наименования, при­нятые в международной системе единиц СИ, например, «м»— метр, «км/ч» — километров в час. Названия таких мер, как квад­ратный метр, кубический метр, записываются «м²», «м³». Все на­звания метрических мер, употребляемых без чисел, выписывают­ся полностью словами, например: «сколько гектаров земли …», а не «сколько га земли…».. Что касается других наименований, то здесь нет общеустановленных условных обозначений. Вместе с тем в последнее время, как правило, вме­сто «руб.» принято писать «р.», вместо «коп.» — «к.» и др.

 Алгебраический метод. Осуществление плана решения задачи выполняется письменно. В этом случае описывают выбор неизвестного (неизвестных) и его обозначения; записывают, как выражаются другие величины через неизвестные и заданные числа; а так же определяют соотношения, лежащие в основе математической модели задачи. Затем составляется уравнение (система уравнен, неравенств), выполняется его решение, в результате чего находится ответ на требование задачи.

 Геометрический метод. Осуществление плана решения задачи вы­полняется письменно. Обычно в этом случае описывают и выполня­ют построение графика или диаграммы. Затем ответы на требование задачи считываются с чертежа (если используется конструктивный прием) или находятся в результате аналитического решения задачи (если используется графико-вычислительный прием).

4. Проверка решения задачи.

 Назначение этапа — установить, правильно ли понята задача, и выяснить, не противоречит ли полученный ответ всем другим условиям задачи. Этот этап явля­ется обязательным при решении задач. Следует помнить, что логич­ные рассуждения на других этапах решения задачи не гаранти­руют правильности ее решения.

Проверку решения задачи можно прово­дить различными способами. Перечислим их.

 I. Установление соответствия между числами, полученными в результате решения задачи и данными в условии задачи.

 II. Составление и решение задачи, обратной данной.

 III. Решение задачи различными способами.

 IV. Решение задачи различными методами.

 V. Прикидка (грубая проверка).

Остановимся на каждом из них подробнее.

I. Проверка решения задачи способом установления соответ­ствия между числами, полученными в результате решения зада­чи, и данными в условии задачи заключается в следующем: чис­ловые значения искомой величины, полученные в ответе на воп­росы задачи, вводятся в текст задачи и устанавливается, не воз­никают ли при этом противоречия, а затем выполняются ариф­метические действия с числовыми значениями величин согласно их связям между собой, которые заданы в условии задачи. Если при этом получаются числа, данные в условии задачи, то делает­ся заключение о верном ее решении.

Следует иметь в виду, что подстановка полученных значений искомой величины в уравнение не является проверкой правиль­ности решения задачи. Получение верного равенства в этом слу­чае гарантирует лишь правильность решения уравнения.

II. Проверка решения задачи способом составления и решения задачи, обратной данной, заключается в том, что после решения задачи составляется обратная по отношению к данной задача. Если при ее решении в ответе получится значение величины, которое было задано в условии данной задачи, то можно считать, что она решена правильно.

С большой осторожностью следует применять этот способ при решении задач алгебраическим методом. Уравнение, составлен­ное при решении обратной задачи, всегда имеет корнем число, которое было задано в условии данной задачи. Может случиться так, что обратная задача не учитывает некоторых ограничений прямой задачи, и один из корней не будет являться ее решением.

Таким образом, указанный способ проверки оказывает определенную помощь в контроле проведенных вычислений и рассуждений, однако в некоторых случаях он малоэффективен т.к. мы можем получить несколько значений, являющихся потенциальными решениями.

III. Проверить решение задачи можно, решив ее различны способами. Напомним, что задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью использования этих связей. Получив при решении задачи различными способами один и тот же результат, делают вывод о том, что задача решена верно.

IV. Проверку решения задачи можно выполнить, решив задачу различными методами (арифметическим, алгебраическим, геомет­рическим и др.). В этом случае, получив один и тот же результат делают вывод о том, что задача была решена верно.

V. Проверка решения задачи прикидкой правильного ответа. Суть этого способа состоит в установлении границ для искомого числа. Он позволяет грубо оценить правильность решения задачи, и если в результате прикидки мы не выясним, что некоторые значения искомых не удовлетворяют условию задачи, то необходимо про­вести проверку каким-либо другим способом.

Обратим внимание на то, что прикидка не позволяет прове­рить правильность полученного числового значения ответа. В некоторых случаях она лишь позволяет определить, что задача ре­шена неверно.

В процессе решения задач необходимо проверять полученный : ответ на требование задачи, выбрав наиболее рациональный способом учитывающий специфику задачи. Например, задачу на встреч­ное движение удобно проверять, решив ее различными способа­ми, а задачу на нахождение неизвестных по двум разностям — способом установления соответствия между числами, получен­ными в результате решения задачи, и числами, данными в усло­вии задачи.

Следует помнить, что выполняя проверку задачи любым из указанных способов, необходимо выяснить, не противоречит ли полученный ответ всем условиям задачи. На практике это означа­ет, что при решении обратной задачи или при решении задачи другими методами логика рассуждений должна быть отличной от логики рассуждений, применяемой в ходе решения данной зада­чи. Несоблюдение этого может привести к тому, что ошибочное решение не будет обнаружено.

5. Запись ответа.

 Рекомендации: Прочитать, о чем спрашивается в задаче, выбрать числа, соответствующие вопросу и записать их в качестве ответа. Если таких чисел нет, ответ следует получить путем выполнения дополнительных действий. Если ответ состоит из нескольких чисел, то их записывают в том порядке, в котором о них спрашивается в задаче.

6. Анализ решения задачи.

 Рекомендации: Уяснить метод и идею решения задачи, особенности этого решения. Указать, что нового в приемах решения. Проверить, все ли различные случаи данной ситуации рассмотрены, нельзя ли сделать каких-то обобщений. Выяснить, нельзя ли рассмотреть другие процессы, чтобы упростить решение задачи, сделать его более рациональным. Попробуйте для этого по-другому записать зависимости между величинами, и на основе этого составить качественно новое выражение. Проследить, нельзя ли упростить расчеты.

 В реальном процессе решения задачи названные этапы не име­ют четких границ, и человек, решающий задачу, не всегда выде­ляет их в явном виде, переходя от одного к другому незаметно для себя. Вместе с тем решение каждой отдельно взятой задачи обяза­тельно должно содержать все указанные этапы, осмысленное про­хождение которых (вместе со знанием приемов их выполнения) делает процесс решения любой задачи осознанным и целена­правленным, а значит, более успешным. Игнорирование одних этапов (например, поиска пути решения) может привести к ре­шению методом «проб и ошибок», игнорирование других (напри­мер, проверки решения задачи) — к получению неверного ответа и т. д.

Методические рекомендации изложения темы «Проценты » по учебному комплекту под редакцией Г.В. Дорофеева для VII – IX классов.

Впервые о процентах учащиеся узнают в VI классе. Проценты предлагается рассматривать дважды: в начале учебного года, т.е. еще до изучения десятичных дробей (при повторении и систематизации материала, связанного с обыкновенными дробями), а затем в середине учебного года после изучения десятичных дробей. «Что такое процент» - это первая тема, изучаемая линией.

Рекомендации: На данном этапе нужно сформировать понимание процента как специального способа выражения доли величины, выработать умение выражать процент соответствующей обыкновенной дробью. Процент определяется как одна сотая часть некоторой величины. Причем перед введением определения следует рассмотреть примеры употребления процентов.

Не стоит торопиться приступать к решению задач на нахождение процента от некоторой величины. Нужно дать учащимся возможность привыкнуть к введенному понятию, освоить фактически другую терминологию. Через систему упражнений учебника ребята учатся употреблению нового термина, «переводу» задач с языка долей и дробей на язык процентов и обратно. В результате еще до решения основных задач на проценты, учащиеся прочно овладевают достаточно большим набором фактов, которые помогают им в дальнейшем. Так, они усваивают некоторые «эквиваленты»: 25% величины - это данной величины; половина некоторой величины – это 50%; 30% величины втрое больше, чем 10% и т.п.

Ребята учатся сравнивать доли величины, заданные разными способами:

 больше, чем 25%;  некоторой величины больше 50% этой величины;

23% меньше четверти; вся величина – это 100% и т.д.

Предлагаются упражнения, направленные на осознанное усвоение материала.

№ 99. [15] Для каждой фразы из левого столбца подберите соответствующую фразу в правом:

1. 100% учащихся школы а) половина всех учащихся школы

2. 25% учащихся школы б) все учащиеся школы

3. 10% учащихся школы в) четверть всех учащихся

4. 50% учащихся школы г) десятая часть всех учащихся.

№ 100. [15] Папа получил премию, 40% которой он потратил на подарок маме, 60% – на подарки детям. Все ли деньги потратил папа?

С самого начала освоения понятия учащимся рекомендуется давать больше заданий, в которых требуется заштриховать, закрасить, начертить, вырезать часть фигуры. Такого типа упражнения не встречаются в вышерассмотренных учебниках.

№ 98. [15] Какая часть прямоугольника заштрихована (см. рис. 2)? Выразите эту часть в процентах.

Рис. 2

Учащихся также нужно познакомить с формой неявного использования процентов, типичной для средств массовой информации.

№ 128. [15] Объясните, используя слово «процент», что означают следующие утверждения:

а) 10 москвичей из каждых 100 нуждаются в улучшении жилья;

б) 43 человека из каждых 100 доверяют гороскопам и постоянно читают их;

в) из каждых 100 новорожденных 52 – мальчики;

г) из каждых 100 жителей Брянска 25 имеют домашних животных.

Теперь, когда учащиеся достаточно свободно и осознанно владеют понятием процента, можно перейти к задаче на нахождение процентов некоторой величины. Методически целесообразно сначала находить один процент, а потом несколько процентов этой величины.

Что касается второго приема решения (путем умножения на обыкновенную дробь), то здесь он, конечно, рассматривается, но его обязательное усвоение следует отнести на более поздние сроки.

Для успешного усвоения материала можно предложить учащимся формулировки некоторых задач в развернутом виде, т.е. к рассматриваемому в условии сюжету поставлены не один, а несколько вопросов. Так привлекается их внимание к тому, какую информацию можно извлечь из ситуации с процентами.

№ 122. [15] В кассе профкома было 900 руб. На оплату проездных билетов израсходовали 80% этой суммы. Какие вопросы можно поставить к задаче? Ответьте на них.

№ 124. [15] Средняя зарплата в России в середине 1993 г. составляла 120000 р. К концу года она увеличилась на 50%.

1.      На сколько рублей увеличилась средняя зарплата?

2.      Какой стала зарплата к концу года?

Специальная серия задач посвящена трудному вопросу об увеличении на 200%, 300% и т.д. Так учащиеся постепенно подходят к пониманию того, что, например, увеличение на 100% - это то же самое, что увеличение в 2 раза и т.д.

№ 139. [15] В первом квартале 1995 г. квартплата в Москве в домах с лифтом была на 100% выше квартплаты в домах без лифта. Во сколько раз квартплата в домах с лифтом была выше квартплаты в домах без лифта?

К задаче приведен рисунок для того, чтобы ход решения был более понятным (см. рис. 3).

Рис. 3

В рамках этой темы учащиеся уже знакомятся с решением задачи вида К1, задачи на увеличение (уменьшение) величины на несколько процентов предлагаются в качестве производных задачи К1.

Второй этап в изучении процентов связывается с десятичными дробями. После изучения десятичных дробей и операций над ними нужно снова возвратится к понятию процента. Здесь предлагается два специальных пункта. В пункте «Главная задача на проценты» школьники учатся находить процент величины умножением на десятичную дробь. Прежде чем приступить к решению задач, нужно рассмотреть с учащимися правило и упражнения на перевод процентов в десятичную дробь.

«Чтобы выразить проценты десятичной дробью, нужно число, стоящее перед знаком %, разделить на 100 или, что то же самое, умножить на 0,01»

№ 596.[15] Выразить десятичной дробью:

а) 2,5%, 18,3%, 1,6%, 54,5%;

б) 0,1%, 0,5%, 0,3%, 0,7%;

в) 120%, 137%, 240%, 350%.

Предлагается рассмотреть разные способы решения той или иной задачи.

Пример 2. [15] Мужская рубашка стоила 8200 р. Сколько она стала стоить, когда ее цена увеличилась на 35%?

Так как 35% – это 0,35, то надо найти 0,35 от 8200 р.:

 (р.) (на столько повысилась цена).

Теперь найдем новую цену:

8200+2870=11070 (р.).

Можно рассуждать иначе. Старая цена составляет 100%, а новая – на 35% больше, т.е. она составляет 135%. Так как 135% – это 135:100=1,35, то цена увеличилась в 1,35 раза.   Имеем: (р.).

Также учащиеся знакомятся с задачами типа К2. Но авторы рассматривают эти задачи в рамках упражнений группы Б (более сложных).

№ 606. [15] В первый час работы продавец продал 40 кг яблок. Это составило 16% от первоначального количества яблок. Сколько килограммов яблок было у продавца первоначально?

В пункте «Выражение долей в процентах» центральной является задача об определении того, сколько процентов одна величина составляет от другой.

619. В избирательном округе 2500 избирателей. В голосовании приняли участие 1300 избирателей. Какой процент избирателей участвовал в голосовании?

Здесь принят подход, в соответствии с которым сначала находят, какую часть одна величина составляет от другой, выражают ее при необходимости десятичной дробью, а затем – в процентах.

Не следует торопиться приступать к решению новых задач. В учебнике предлагается система упражнений, в которых предлагается выразить дробь (обыкновенную или десятичную) в процентах.

№ 615. [15] Прочитайте предложение, выразив дробь в процентах:

а) бензином заполнили  бака;

б)  учащихся школы едут в школу на автобусе;

в) масса сушеной вишни составляет  массы свежей вишни;

г) магазин продал  привезенного сахара.

Одна из особенностей вычислительной линии курса состоит в формировании умений выполнять прикидку или оценку результата вычислений. При изучении процентов эта работа, естественно, продолжается. Учащимся предлагаются задачи из повседневной практики, в которых требуется найти приближенно с помощью прикидки процент от заданной величины. Для этого достаточно заменить данные другими числами, близкими к ним и удобными для расчетов. Так, если требуется прикинуть, чему равно 19% от какой-либо величины, то находят 20% этой величины, т.е. ее пятую часть.

№ 595. [15] Перед Новым годом магазин снизил цены на товары на 25%. На сколько примерно рублей понизилась цена товара, если до снижения она составляла 799 руб.? 1980 руб.? 11890 руб.?

№ 629. [15] Часть фигуры заштрихована (см. рис 4.). Определите, какой примерно процент фигуры заштрихован, выбрав наиболее подходящий ответ из данных.

Рис. 4

Третий этап в изучении процентов отнесен к 7классу. В силу возрастных возможностей семиклассников и уже накопленного ими опыта работы с процентами учащимся становятся доступными многие вопросы из тех, что традиционно не рассматривались со всем классом, а изучались лишь в качестве дополнительных в работе с сильными учениками. Учащиеся уже знакомы со всеми основными видами задач, теперь они осваивают другие способы их решения, которые были им неизвестны.

В первой главе учебника выделен пункт «Решение задач на проценты», в котором помещен материал, позволяющий вспомнить сведения из шестого класса и продвинуться в решении задач. Теперь есть возможность рассмотреть более сложные в техническом отношении задачи. Они требуют достаточно прочного навыка представления процентов дробью и наоборот, умение находить процент от величины, понимание того, какая из величин, участвующих в задаче, принимается за 100%. Поэтому в начале теоретической части пункта рассматриваются приемы, с помощью которых десятичная дробь выражается в процентах и наоборот; здесь специально выделяется вопрос о «маленьких» (меньше 1%) и «больших» (больше 100%) процентах, как наиболее трудный для усвоения.

№ 99. [18] В состав одного из поливитаминов входят минералы в следующих количествах: кальций и фосфор – по 4%, магний – 1,6%, железо – 0,07%, цинк – 0,06%. Сколько миллиграммов каждого минерала содержится в одной таблетке поливитамина, масса которой 25 г?

№ 88. [18] В конце 1996 г. рабочим была выплачена премия в 250% ежемесячной зарплаты. Какую премию получил рабочий, зарплата которого была 550 тыс. р.?

Предлагаемые в системе упражнений задачи, как правило, допускают разные способы рассуждений, и учащиеся самостоятельно выбирают более удобный и понятный для себя.

Кроме задач на нахождение процента от величины, рассматриваются задачи на нахождение величины по известному ее проценту.

№ 107. [18] После повышения цены на 30% книга стала стоить 52 рубля. Сколько стоила книга до повышения цены?

Решение. Первоначальная цена книги составляет 100%. Поэтому 52 руб., т.е. цена после подорожания, составляет 100%+30%=130% от первоначальной цены. Теперь можно решить задачу на нахождение величины по известному ее проценту.

Рассуждать можно по-разному:

1.      1% – это 52: 130=0,4(руб.), а 100% – это 0,4* 100=40(руб.);

2.      10% – 52:13=4(руб.), 100% – это 4*10=40(руб.);

3.      130% – это 1,3, поэтому 52 руб. составляют 1,3 первоначальной цены, а поэтому первоначальная цена равна 52:1,3=40(руб.).

Следует отметить еще один методический подход, использованный в изучении процентов. Первую главу заключает раздел «Для тех, кому интересно», в котором учащиеся еще раз встречаются с задачами на проценты. Здесь рассматривается восемь, если можно так выразиться, «классических олимпиадных» задач. Обычно они не включаются в учебники, т.к. являются трудными. Приведено более простое решение такого класса задач. Следует уделить им внимание хотя бы на кружке.

Задача. [18] Книга дороже альбома на 25%. На сколько процентов альбом дешевле книги? Вся методика обучения решению задач, принятая в учебнике, позволяет показать учащимся наглядный способ их решений с помощью рисунков (см. рис. 5). Хотя, конечно, эти задачи можно решать и арифметически.

Решение:

Цена альбома – 100%. Изобразим ее каким–либо отрезком

Увеличим этот отрезок на 25% т.е. на  его части; получим отрезок, соответствующий цене книги.

Теперь цена книги составляет 100%. Она изображена большим отрезком. Цена альбома меньше цены книги на этого отрезка. Так как  составляет 20%, то альбом дешевле книги на 20%.

Рис. 5

При изучении следующей главы «Отношения и пропорции» учащиеся активно пользуются опытом работы с процентами и приобретают новый. В систему упражнений нужно включить новые задачные ситуации.

№ 191.[18] В сплав входят медь, олово, сурьма в отношении 4:15:6. Сколько процентов сплава составляет каждый металл? («Деление в данном отношении»)

№ 252. [18] За определенное время с помощью принтера было распечатано 30 страниц. Сколько страниц распечатает принтер, производительность которого на 50% больше? («Прямая и обратная пропорциональность»)

№ 269. [18] Автомобиль за 2,4 ч проехал 60% всего пути. Через сколько минут ему останется проехать четверть всего расстояния, если он будет двигаться с той же скорость? («Решение задач с помощью пропорций»)

По мере овладения новым математическим аппаратом при изучении алгебры, учащиеся осваивают новый прием решения расчетных задач на проценты – с помощью составления уравнения.

№ 501. [18] Вкладчик открыл в банке счет. Через год на его счету было 360000 руб., что составило 120% от суммы, которую он внес первоначально. Сколько рублей внес вкладчик при открытии счета?

В VIII классе в теме «Алгебраические дроби» учащиеся снова обращаются к задачам на проценты. Задачи на «концентрацию», «сплавы», «банковские расчеты» – это хорошие примеры практических задач, позволяющих продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях. Для того чтобы помочь учащимся осознать на новом уровне подход к решению задач с процентами, стоит обратить их внимание на то, что в учебнике приводятся образцы решения ряда задач. К разобранному образцу учащиеся при желании может вернуться вновь и использовать его в качестве опоры при решении подобной задачи.

№ 187. [17] Разберите, как по условию задачи составлено уравнение и решите задачу. Клиент открыл счет в банке на некоторую сумму денег. Годовой доход по этому вкладу составляет 11%. Если бы он добавил 800 руб., то через год получил бы доход 220 руб. Какая сумма была внесена им в банк?

Решение. Пусть х руб. – сумма, которую клиент внес в банк. Тогда (х+800) руб. было бы на вкладе, если бы клиент добавил 800 руб.;

0,11(х+800) руб. – доход в 11%, который мог бы получить клиент с этой суммы.

Так как доход равен 220 руб., то имеем равенство:

0,11(х+800)=220.

№ 205. [17] Два слитка, один из которых содержит 35% серебра, а другой 65%, сплавляют и получают слиток массой 20 г., содержащий 47% серебра. Какова масса каждого из этих слитков?

При изучении темы «Системы уравнений» школьникам важно показать новый метод решения задач на проценты. Учащимся предлагается план решения.

№ 656. [17] В колбу налили некоторое количество 60%-го раствора соли и некоторое количество 80%-го раствора этой же соли. Получили 35 мл раствора, содержащего 72% соли. Сколько миллилитров каждого раствора налили в колбу?

Решите задачу, используя следующий план:

1.      Обозначьте буквами количество 60%-го и 80%-го растворов соли.

2.      Запишите уравнение, связывающее эти две величины и общее количество раствора.

3.      Определите количество соли в получившемся растворе.

4.      Запишите уравнение, связывающее количество соли в 60%-ном, 80%-ном и получившихся растворах.

5.      Составьте систему и решите ее.

В IX классе в главе «Дробные уравнения» также можно предложить задачи на проценты, решение которых основано на составлении дробных рациональных уравнений.

№ 419. [16] На первые и вторые премии в конкурсе студенческих дипломных работ было выделено 15 тыс. р., причем 40% этих денег пошло на первые премии. Вторых было выдано на 4 больше, чем первых. Сколько студентов получили первые премии и сколько вторые, если известно, что вторая премия составляла 50% первой?

Завершается линия процентных вычислений в IX классе темой «Простые и сложные проценты», включенной в изучение главы «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Сведения о простых и сложных процентах, которые сами по себе имеют большую практическую значимость, являются достаточно благоприятным материалом для применения знаний, полученных на уроках математики. Возможность опереться на сформированные навыки в работе с процентами, на умение воспользоваться калькулятором, табличным и графическим представлением информации позволило расширить диапазон решаемых задач на проценты.

В учебнике не вводятся формулы простых и сложных процентов. Учащиеся должны решать задачи, опираясь не на формулы, а на понимание на смысл понятия «процент», на умение находить процент от числа. В теме широко используется калькулятор, который позволяет рассматривать самые разнообразные задачи.

№ 639. [16] Один из акционеров предприятия имеет 100 акций, номинальная стоимость каждой из которых 50 р. Ежегодно ему выплачивается с каждой акции доход в 40% от ее номинальной стоимости.

а) Какой доход получит акционер за 1 год; за 2 года; за 10 лет; за n лет?

б) Через сколько лет его общий доход превзойдет удвоенную стоимость акций?

Авторы предлагают также задачи аналитического характера.

№ 654. [16] Виктор вложил на десять лет по 1000 р. на два разных счета – с 10% годовых и 20% годовых.

а) Каким будет доход по каждому из этих счетов через год? Во сколько раз доход по второму вкладу будет больше дохода по первому вкладу?

б) Каким будет доход по каждому из этих счетов за четвертый год? Во сколько раз доход по второму вкладу больше, чем по первому?

Как вы думаете, будет ли отношение ежегодных доходов по этим вкладам увеличиваться с течением времени и почему?

В ходе решения предлагаемых авторами задач учащиеся видят, что понятия арифметической и геометрической прогрессии, а также формулы их сумм – это не просто абстрактное отвлеченное понятие, а конкретное математическое знание, необходимое для жизни.

В данном курсе в русле новой содержательной линии «Анализ данных» формулируются приемы сбора, представления и анализа информации, так или иначе связанной с процентами.

Проценты также используются в VI – VII классах для представления информации в виде таблиц и диаграмм, а VIII – IX классах – при изучении вероятно-статистического материала.

№ 155. [15] На диаграмме показано, какой процент составляет тот или иной вид изделий от всей продукции ателье по пошиву мужской одежды.

а) Какова основная продукция данного ателье?

б) Какого цвета пиджаки ателье производит меньше всего? больше всего?

в) Сколько процентов продукции приходится на пиджаки светлого цвета? темного цвета?

г) Какой из следующих ответов может показывать , сколько процентов всех изделий составляют жилеты: 24%, 17%, 10%, 6%? (см.рис. 6)

Рис. 6

№ 675. [16] Закинул старик в реку невод. Пришел невод с таким уловом (в порядке вытаскивания):

П, О, Л, С, Я, П, К, О, З, К, П, К, Я, С, О, П, П, Л, О, О, Л, С, О, П, Л, П, К, Л, К, П, П, С, П, З, К, Я, П, З, С, О,О, Я, П, П, О, Л, С, Л, С, П,О, П, Л, К, С, О, Я, Л, П, С, О, Л, П, О, К, Л, П, О, О, П, О, Я, Л, П, С, П, О, Л, П, З.

Буквами обозначены: З – Золотая рыбка; К – Карась; Л – Лещ; О – Окунь; П – Пескарь; С – Сом; Я – Язь.

а) Произведите ранжирование ряда данных в алфавитном порядке.

б) Составьте таблицу относительных частот.

в) Какой процент пойманной рыбы составляют золотые рыбки?

г) Используя полученную стариком выборку, оцените, какие виды рыб наиболее и наименее распространены в местах, где старик закинул невод.

Таким образом, авторы данного курса уделяют большое внимание понятию процента. С помощью богатого задачного материала учащиеся могут увидеть все разнообразие применения данного математического термина.

Можно заметить, что понятие процента, как математически тривиального, вводится уже в младших классах среднего звена. В силу их возрастных особенностей и невысокой математической грамотности учащиеся не могут ознакомиться со всем спектром задач на проценты. В VII – IX классах данный термин забывается, и простейшие задачи шестого класса становятся для школьников сложными. Поэтому я считаю целесообразным уделять процентам больше внимания, как это сделано в учебном комплекте под редакцией Г. В. Дорофеева.

При решении логических задач

1. Методические рекомендации к теме “Графы”.

Понятие графа целесообразно вводить после того, как разобрано несколько задач, подобных задаче 1, решающее соображение в которых – графическое представление. Важно, чтобы ученики сразу осознали, что один и тот же граф может быть нарисован разными способами. Строгое определение графа, на мой взгляд, давать не нужно, т.к. оно слишком громоздко и это только затруднит обсуждение. На первых порах хватит и интуитивного понятия. При обсуждении понятия изоморфизма можно решить несколько упражнений на определение изоморфных и неизоморфных графов. Одно из центральных мест темы – теорема о четности числа нечетных вершин. Важно, чтобы ученики до конца разобрались в ее доказательстве и научились применять к решению задач. При разборе нескольких задач рекомендую не ссылаться на теорему, а фактически повторять ее доказательство. Чрезвычайно важно также понятие связности графа. Содержательным соображением здесь является рассмотрение компоненты связности, на это необходимо обратить особое внимание. Эйлеровы графы – тема почти игровая.

Первая и главная цель, которую нужно преследовать при изучении графов, –научить школьников видеть граф в условии задачи и грамотно переводить условие на язык теории графов. Не стоят рассказывать обе всем на нескольких занятиях подряд. Лучше разнести занятия по времени на 2–3 учебных года. (Прилагается разработка занятия “Понятие графа. Применение графов к решению задач” в 6 классе).

2. Теоретический материал к теме “Графы”.

Введение

Графы – замечательные математические объекты, с их помощью можно решать очень много различных, внешне не похожих друг на друга задач. В математике существует целый раздел – теория графов, который изучает графы, их свойства и применение. Мы же обсудим только самые основные понятия, свойства графов и некоторые способы решения задач.

Понятие графа

Рассмотрим две задачи.

Задача 1. Между девятью планетами солнечной системы установлено космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон – Меркурий; Меркурий – Вене; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн – Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на рейсовых ракетах с Земли до Марса ?

Решение: Нарисуем схему условия: планеты изобразим точками, а маршруты ракет – линиями.

Теперь сразу видно, что долететь с Земли до Марса нельзя.

Задача 2. Доска имеет форму двойного креста, который получается, если из квадрата 4x4 убрать угловые клетки.

Можно ли обойти ее ходом шахматного коня и вернуться на исходную клетку, побывав на всех клетках ровно по одному разу ?

Решение: Занумеруем последовательно клетки доски:

А теперь с помощью рисунка покажем, что такой обход таблицы, как указано в условии, возможен:

Мы рассмотрели две непохожие задачи. Однако решения этих двух задач объединяет общая идея – графическое представление решения. При этом и картинки, нарисованные для каждой задачи, оказались похожими: каждая картинка – это несколько точек, некоторые из которых соединены линиями.

Такие картинки и называются графами. Точки при этом называются вершинами, а линии – ребрамиграфа. Заметим, что не каждая картинка такого вида будет называться графом. Например. если вас попросят нарисовать в тетради пятиугольник, то такой рисунок графом не будет. Будем называть что рисунок такого вида, как в предыдущих задачах, графом, если есть какая-то конкретная задача для которой такой рисунок построен.

Другое замечание касается вида графа. Попробуйте проверить, что граф для одной и той же задачи можно нарисовать разными способами; и наоборот для разных задач можно нарисовать одинаковые по виду графы. Здесь важно лишь то, какие вершины соединены друг с другом, а какие – нет. Например, граф для задачи 1 можно нарисовать по-другому:

Такие одинаковые, но по-разному нарисованные графы, называются изоморфными.

Степени вершин и подсчет числа ребер графа

Запишем еще одно определение: Степенью вершины графа называется количество выходящих из нее ребер. В связи с этим, вершина, имеющая четную степень, называется четной вершиной, соответственно, вершина, имеющая нечетную степень, называется нечетной вершиной.

С понятием степени вершины связана одна из основных теорем теории графов –теорема о честности числа нечетных вершин. Докажем ее мы немного позднее, а сначала для иллюстрации рассмотрим задачу.

Задача 3. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью другими ?

Решение: Допустим, что такое соединение телефонов возможно. Тогда представим себе граф, в котором вершины обозначают телефоны, а ребра – провода, их соединяющие. Подсчитаем, сколько всего получится проводов. К каждому телефону подключено ровно 5 проводов, т.е. степень каждой вершины нашего графа – 5. Чтобы найти число проводов, надо просуммировать степени всех вершин графа и полученный результат разделить на 2 (т.к. каждый провод имеет два конца, то при суммировании степеней каждый провод будет взят 2 раза). Но тогда количество проводов получится разным . Но это число не целое. Значит наше предположение о том, что можно соединить каждый телефон ровно с пятью другими, оказалось неверным.

Ответ. Соединить телефоны таким образом невозможно.

Теорема: Любой граф содержит четное число нечетных вершин.

Доказательство: Количество ребер графа равно половине суммы степеней его вершин. Так как количество ребер должно быть целым числом, то сумма степеней вершин должна быть четной. А это возможно только в том случае, если граф содержит четное число нечетных вершин.

Связность графа

Есть еще одно важное понятие, относящееся к графам – понятие связности.

Граф называется связным, если из любые две его вершины можно соединить путем, т.е. непрерывной последовательностью ребер. Существует целый ряд задач, решение которых основано на понятии связности графа.

Задача 4. В стране Семерка 15 городов, каждый из городов соединен дорогами не менее, чем с семью другими. Докажите, что из каждого города модно добраться в любой другой.

Доказательство: Рассмотрим два произвольных А и В города и допустим, что между ними нет пути. Каждый из них соединен дорогами не менее, чем с семью другими, причем нет такого города, который был бы соединен с обоими рассматриваемыми городами (в противном случае существовал бы путь из A в B). Нарисуем часть графа, соответствующую этим городам:

Теперь явно видно, что мы получили не менее различных 16 городов, что противоречит условию задачи. Значит утверждение доказано от противного.

Если принять во внимание предыдущее определение, то утверждение задачи можно переформулировать и по-другому: “Доказать, что граф дорог страны Семерка связен.”

Теперь вы знаете, как выглядит связный граф. Несвязный граф имеет вид нескольких “кусков”, каждый из которых – либо отдельная вершина без ребер, либо связный граф. Пример несвязного графа вы видите на рисунке:

Каждый такой отдельный кусок называется компонентой связности графа. Каждая компонента связности представляет собой связный граф и для нее выполняются все утверждения, которые мы доказали для связных графов. Рассмотрим пример задачи, в которой используется компонента связности:

Задача 5. В Тридевятом царстве только один вид транспорта – ковер-самолет. Из столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний – одна, а из всех остальных городов, – по 20. Докажите, что из столицы можно долететь в город Дальний.

Доказательство: Понятно, что если нарисовать граф ковролиний Царства, то он может быть несвязным. Рассмотрим компоненту связности, которая включает в себя столицу Царства. Из столицы выходит 21 ковролиния, а из любых других городов, кроме города Дальний – по 20, поэтому, чтобы выполнялся закон о четном числе нечетных вершин необходимо, чтобы и город Дальний входил в эту же самую компоненту связности. А так как компонента связности – связный граф, то из столицы существует путь по ковролиниям до города Дальний, что и требовалось доказать.

Графы Эйлера

Вы наверняка сталкивались с задачами, в которых требуется нарисовать какую-либо фигуру не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждую линию только один раз. Оказывается, что такая задача не всегда разрешима, т.е. существуют фигуры, которые указанным способом нарисовать нельзя. Вопрос разрешимости таких задач также входит в теорию графов. Впервые его исследовал в 1736 году великий немецкий математик Леонард Эйлер, решая задачу о Кенигсбергских мостах. Поэтому графы, которые можно нарисовать указанным способом, называются Эйлеровыми графами.

Задача 6. Можно ли нарисовать изображенный на рисунке граф не отрывая карандаш от бумаги и проводя каждое ребро ровно один раз ?

Решение. Если мы будем рисовать граф так, как сказано в условии, то в каждую вершину, кроме начальной и конечной, мы войдем столько же раз, сколько выйдем из нее. То есть все вершины графа, кроме двух должны быть четными. В нашем же графе имеется три нечетные вершины, поэтому его нельзя нарисовать указанным в условии способом.

Сейчас мы доказали теорему об Эйлеровых графах:

Теорема: Эйлеров граф должен иметь не более двух нечетных вершин.

И в заключение – задача о Кенигсбергских мостах.

Задача 7. На рисунке изображена схема мостов города Кенигсберга.

Можно ли совершить прогулку так, чтобы пройти по каждому мосту ровно 1 раз?

3. Задачи к теме “Графы”

Понятие графа.

1. На квадратной доске 3x3 расставлены 4 коня так, как показано на рис.1. Можно ли сделав несколько ходов конями, переставить их в положение, показанное на рис.2?

Рис. 1

Рис. 2

Решение. Занумеруем клетки доски, как показано на рисунке:

Каждой клетке поставим в соответствие точку на плоскости и, если из одной клетки можно попасть в другую ходом шахматного коня, то соответствующие точки соединим линией. Исходная и требуемая расстановки коней показаны на рисунках:

При любой последовательности ходов конями порядок их следования, очевидно, измениться не может. Поэтому переставить коней требуемым образом невозможно.

2. В стране Цифра есть 9 городов с названиями 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Путешественник обнаружил, что два города соединены авиалинией в том и только в том случае, если двузначное число, образованное названиями городов, делится на 3. Можно ли долететь по воздуху из города 1 в город 9 ?

Решение. Поставив в соответствие каждому городу точку и соединив точки линией, если сумма цифр делится на 3, получим граф, в котором цифры 3, 5, 9 связаны между собой, но не связаны с остальными. Значит долететь из города 1 в город 9 нельзя.

Степени вершин и подсчет числа ребер.

3. В государстве 100 городов к из каждого города выходит 4 дороги. Сколько всего дорог в государстве.

Решение. Подсчитаем общее количество выходящих городов дорог – 100 ^. 4 = 400. Однако при таком подсчете каждая дорога посчитана 2 раза – она выходит из одного города и входит в другой. Значит всего дорог в два раза меньше, т.е. 200.

4. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 человек имеют по 3 друга, 11 – по 4 друга, а 10 – по 5 друзей ?

Ответ. Нет (теорема о четности числа нечетных вершин).

5. У короля 19 вассалов. Может ли оказаться так, что у каждого вассала 1, 5 или 9 соседей ?

Ответ. Нет, не может.

6. Может ли в государстве, в котором из каждого города выходит ровно 3 дороги, быть ровно 100 дорог?

Решение. Подсчитаем число городов. Число дорог равно числу городов х, умноженному на 3 (число выходящих из каждого города дорог) и разделенному на 2 (см. задачу 3). Тогда 100 = Зх/2 => Зх=200, чего не может быть при натуральном х. Значит 100 дорог в таком государстве быть не может.

7. Докажите, что число людей, живших когда-либо на Земле и сделавших нечетное число рукопожатий, четно.

Доказательство непосредственно следует из теоремы о четности числа нечетных вершин графа.

Связность.

8. В стране из каждого города выходит 100 дорог и из каждого города можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт. Докажите, что и теперь из любого города можно добраться до любого другого.

Доказательство. Рассмотрим компоненту связности, в которую входит один из городов, дорогу между которыми закрыли. По теореме о четности числа нечетных вершин в нее входит и второй город. А значит по-прежнему можно найти маршрут и добраться из одного из этих городов в другой.

Графы Эйлера.

9. Имеется группа островов, соединенных мостами так, что от каждого острова можно добраться до любого другого. Турист обошел все острова, пройдя по каждому мосту розно 1 раз. На острове Троекратном он побывал трижды. Сколько мостов ведет с Троекратного, если турист

а) не с него начал и не на нем закончил?
б) с него начал, но не на нем закончил?
в) с него начал и на нем закончил?

10. На рисунке изображен парк, разделенный на несколько частей заборами. Можно ли прогуляться по парку и его окрестностям так, чтобы перелезть через каждый забор розно 1 раз?

Понятие графа. Применение графов к решению задач.

Теоретический материал к теме.

Понятие «графа» в школьной программе не дается. Отличаясь простотой теоретических сведений, наглядностью и доступностью, теория графов поможет решить довольно сложные задачи учащимся 6 класса. В некоторых задачах условие записанное с помощью рисунка, помогает найти правильный ход решения.

Задача: Я задумал число. Если к нему прибавить 24, потом полученную сумму умножить на 9, затем из произведения вычесть 76 и, наконец, полученную разность разделить на 19, то получится число 23. Найти задуманное число.

Решение:

1 способ: Сделаем рисунок.

Исходя из рисунка видим, чтобы найти задуманное число, надо выполнить обратные действия:

2 способ:

Видно, что решать задачу следует с конца, заменяя каждое действие на обратное ему.

Получаем:

Ответ: 33.

Задача: Несколько мальчиков встретились на вокзале, чтобы поехать за город в лес. При встрече все они поздоровались друг с другом за руку. Сколько мальчиков поехали за город, если всего было 10 рукопожатий?

Решение: Сделаем рисунок. Точки будут изображать мальчиков, а отрезки рукопожатия.

1)  2)  3)  4)

Из рисунка видно, что на вокзале встретились 5 мальчиков.

Фигуры которые получились при решении этих задач, состоят из точек и линий, соединяющих эти точки. Такую фигуру называют графом. Линии графа называют ребрами, а точки – вершинами. В графе не обязательно, чтобы каждая вершина была соединена со всеми остальными.

Если в графе ни одна часть не является замкнутой линией, то такой граф называется деревом.

Графы помогают решать задачи.

В классе:

Задача 1. Если задуманное число умножить на 5 и к результату прибавить 1, потом сумму увеличить в 6 раз и к результату прибавить 2, затем новую сумму умножить на 7 и полученное произведение увеличить на 4, то получим число, которое в 16 раз больше числа 135. Найдите это число.

Решение: Сделаем рисунок (построим граф).

Решая, действия выполняем наоборот.

Ответ: 10.

Задача 2. В первом матче футболисты «Звездочки» забили в ворота противника половину мячей, забитых ими во втором матче, и еще один мяч. Во втором матче они забили вдвое меньше мячей, чем в третьем матче, и еще один мяч. В третьем матче они забили вдвое меньше мячей, чем в первом, и еще один мяч. Сколько всего мячей забили футболисты «Звездочки» за три матча?

Решение:

Из рисунка видно, что в каждой игре было забито одинаковое число мячей. В каждой игре забито по 2 мяча.

Ответ: 6 мячей забито в 3-х играх.

Задача 3. Колхозница принесла на базар корзину яблок. I покупателю она продала половину всех яблок и еще 1 яблоко, II – половину остатка и еще 1 яблоко, III – половину нового остатка и еще 1 яблоко и т.д. Последнему – шестому покупателю она также продала половину оставшихся яблок и еще 1 яблоко, причем оказалось, что она продала все свои яблоки. Сколько яблок принесла для продажи колхозница?

Решение: Составим граф.

Решая, действия делаем обратно.

Ответ: 126 яблок.

Домашнее задание.

Задача. На вопрос путника: «Сколько у тебя в стаде голов скота?» - пастух ответил: «Если бы к моему стаду  добавить одну корову, то третью часть всего стада составляли бы овцы и козы. Если бы к имеющимся овцам и козам добавить одну овцу, то седьмую часть их составляли бы козы, в которых третья часть есть лишь один маленький козленок». Сколько голов скота было в стаде?

Решение: Составим граф по условию задачи.

Решаем обратно.

Ответ: в стаде 59 голов скота.

Краткое описание документа:

На современном этапе развития системы образования является актуальным социальный заказ общества - подготовить подрастающее поколение к творческой и профессиональной деятельности в высокоразвитом информационном обществе. Согласно «Концепции долгосрочного социально-экономического развития Российской Федерации на период до 2020 года» компьютерные технологии призваны стать неотъемлемой частью целостного образовательного процесса. «Стратегия инновационного развития Российской Федерации на период до 2020 года» включает адаптацию системы образования с целью формирования у населения с детства необходимых для инновационного общества и экономики знаний, компетенций и навыков. Осуществление работниками трудовых функций с использованием компьютерных технологий ставит перед системой образования задачу формирования у школьников информационно-коммуникационной компетентности. В связи с этим ставится задача вооружить детей первоначальными представлениями о компьютере и современных информационных технологиях, а также сформировать у школьников элементарные навыки работы на компьютере.