«Решение задач по алгебре событий»
Пусть
- пространство элементарных событий
рассматриваемого опыта. Для каждого возможного в этом опыте события А выделим
совокупность всех элементарных событий, наступление которых необходимо влечёт
наступление А. Эти элементарные события благоприятствуют появлению А. Множество
этих элементарных событий обозначим тем же символом А, что и соответствующее
событие.
Таким
образом, событие А состоит в том, что произошло одно из элементарных событий,
входящих в указанное множество А. Мы отождествляем событие А и соответствующее
ему множество А элементарных событий.
Событие
называется достоверным, если оно наступает в результате появления
любого элементарного события. Обозначение: .
Невозможным назовём событие, не
наступающее ни при каком элементарном событии. Обозначение: Æ.
Пример. В опыте с кубиком достоверным является
событие, что выпадет число, меньшее 7. Невозможным – выпадет отрицательное
число.
Суммой (или объединением) двух событий А
и В назовём событие А+В (или АÈВ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А, или В.
Сумме событий А и В соответствует объединение множеств А и В. Очевидные
соотношения: А+Æ=А, А+=,
А+А=А.
Пример. Событие «выпало чётное» является
суммой событий: выпало 2, выпало 4, выпало 6.
Произведением (или пересечением) двух событий А и В назовём событие АВ (или АÇВ), которое происходит тогда и только тогда,
когда происходит и А, и В. Произведению событий А и В соответствует пересечение
множеств А и В.
Очевидные соотношения: АÆ=Æ,
А=А, АА=А.
Пример. «Выпало 5» является пересечением
событий: выпало нечётное и выпало больше 3-х.
Два
события назовём несовместными, если их одновременное появление в
опыте невозможно, т.е. АВ=Æ.
Пример. Выпало чётное число и выпало нечётное
число – события несовместные.
Событие
назовём противоположным к
А, если оно происходит тогда и только тогда, когда А не происходит. Очевидные
соотношения: А+=, А=Æ, =А.
Пример. Выпало чётное число и выпало нечётное
число – события противоположные.
Разностью событий А и В назовём событие
А\В, происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В.
Очевидные соотношения: =\А,
А\В=А.
Операции
сложения и умножения обладают следующими свойствами: А+В=В+А, АВ=ВА,
А(В+С)=АВ+АС, А(ВС)=(АВ)С.
Пример. Производится два выстрела по цели.
Пусть событие А – попадание в цель при первом выстреле и В – при втором, тогда и -
промах соответственно при первом и втором выстрелах. Обозначим поражение цели
событием С и примем, что для этого достаточно хотя бы одного попадания.
Требуется выразить С через А и В.
Решение. Цель будет поражена в следующих
случаях: попадание при первом и промах при втором; промах при первом и
попадание при втором; попадание при первом и втором выстрелах. Перечисленные
варианты можно соответственно записать: А, В и АВ. Интересующее нас событие
заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов
(хотя бы одного), то есть
С=
А+В+АВ.
С
другой стороны, событие , противоположное С,
есть промах при двух выстрелах, то есть ,
отсюда искомое событие С можно записать в виде С=.
«Решение
задач по комбинаторике»
Комбинаторными задачами называются задачи,
в которых необходимо подсчитать, сколькими способами можно сделать тот или иной
выбор, выполнить какое-либо условие.
Пусть
имеется множество, содержащее n элементов. Каждое его
упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов,
называется размещением из n элементов
по k элементов:
, где n!=1*2*3*…*n
Пример. Группа учащихся изучает 7 учебных
дисциплин. Сколькими способами можно составить расписание занятий на
понедельник, если в этот день недели должно быть 4 различных урока?
Решение. Число способов равно числу размещений
из 7 элементов по 4, т.е. равно . Получаем =.
Размещения
из n элементов по n элементов
называются перестановками из n
элементов:
.
Пример. Сколько шестизначных чисел, кратных
пяти, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что в числе цифры
не повторяются?
Решение. Цифра 5 обязана стоять на последнем
месте. Остальные пять цифр могут стоять на оставшихся пяти местах в любом
порядке. Следовательно, искомое число шестизначных чисел, кратных пяти, равно
числу перестановок из пяти элементов, т.е. 5!=5*4*3*2*1=120.
Сочетания. Пусть имеется множество,
состоящее из n элементов. Каждое его подмножество,
содержащее k элементов, называется сочетанием из n элементов по k элементов:
Пример. Сколько матчей будет сыграно в
футбольном чемпионате с участием 16 команд, если каждые две команды встречаются
между собой один раз?
Решение. Матчей состоится столько, сколько
существует двухэлементных подмножеств у множества, состоящего из 16 элементов,
т.е. их число равно .
Свойства сочетаний:
«Вычисление
вероятностей событий по классической формуле определения вероятностей»
Классическое определение вероятности: вероятность
Р(А) события А равна отношению числа возможных результатов опыта (М),
благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов опыта (N):
.
Пример 1. Подбрасывание игральной кости один
раз. Событие А состоит в том, что выпавшее число очков – чётно. В этом случае N=6 – число граней куба; М=3 – число граней с чётными номерами; тогда
Р(А)=3/6=1/2.
Пример 2. Подбрасывание симметричной монеты 2
раза. Событие А состоит в том, что выпало ровно 2 герба. В этом случае N=4, т.к. ={ГГ, ГР, РГ, РР}; М=1, т.к. А={ГГ}.
Тогда Р(А)= ¼.
Пример 3. Вытягивание шара из урны, содержащей
2 белых и 3 чёрных шара. Событие А состоит в том, что вытянули чёрный шар. В
этом случае N=2+3=5 (общее число шаров в урне), М=3 (число
чёрных шаров), тогда Р(А)=3/5.
Пример 4. Набирая номер телефона, абонент
забыл две последние цифры. Какова вероятность того, что он с первого раза
наберёт эти цифры правильно, если он помнит, что они различны?
Решение. Обозначим А – событие, состоящее в
том, что абонент, набрав произвольно две цифры, угадал их правильно. М – число
правильных вариантов, очевидно, что М=1; N – число
различных цифр, . Таким образом, Р(А)=M/N=1/90.
Пример 5. Шесть шариков случайным образом
располагаются в шести ящиках так, что для каждого шарика равновероятно
попадание в любой ящик и в одном ящике может находиться несколько шариков. Какова
вероятность того, что в каждом ящике окажется по одному шарику?
Решение. Событие А – в каждом ящике по одному
шарику. М – число вариантов распределения шариков, при которых в каждый ящик
попадает по одному шарику, М=6! (число способов переставить между собой 6
элементов). N – общее число вариантов N=66 (так как каждый шарик может попасть в каждый из ящиков).
В результате получаем .
Пример 6. В урне 3 белых и 4 чёрных шара. Из
урны вынимаются два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми.
Решение. Обозначим: А – событие, состоящее в
появлении белых шаров; N – число способов вытащить 2 шара
из 7; ; M – число
способов вытащить 2 белых шара из имеющихся 3 белых шаров; .
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.