Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Краткий справочник по математике для учащихся 10-11 классов

Краткий справочник по математике для учащихся 10-11 классов

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

1. Формулы сокращённого умножения


а) Квадрат суммы: hello_html_2f081d4d.gif

б) Квадрат разности: hello_html_60f5f515.gif

Вообще, квадрат алгебраической суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых плюс сумма удвоенных попарных произведений этих слагаемых (с учётом правила знаков).


в) Куб суммы: hello_html_m2e61df4c.gif


г) Куб разности: hello_html_m1940f40c.gif


д) Разность квадратов: hello_html_4d24a12b.gif


е) Сумма кубов: hello_html_592dfbd3.gif


ж) Разность кубов: hello_html_468fe535.gif

з) Разность квадратов: hello_html_71066e35.gif



2. Свойства степеней:


  1. аman=am+n

  2. hello_html_3c985856.gif

  3. (am)n=amn


3. Свойства радикалов:


hello_html_m18bfdabd.gif



4.Линейные и квадратные уравнения

Уравнение вида ax + b=0, где х — переменная, a(a0) и b – любые числа, называется линейным.

Если:

1) a 0, уравнение ax + b=0 имеет единственное решение hello_html_m4378d531.gif;

2) а = 0, в этом случае уравнение имеет вид 0*x + b=0,

при b = 0 решением уравнения является любое число х;

при b 0 уравнение решений не имеет.


Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где х — переменная, а, b, с — некоторые числа, причем a 0, называется квадратным.

В уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент а называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом, с — свободным членом.

Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

x1,2=(—b±b2—4ac)/(2a).

Выражение D =b2 — 4ас называется дискриминантом квадратного уравнения.

Если D = 0, то существует только одно значение переменной, удовлетворяющее уравнению ax2 + bx + c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число —b/2a называют корнем кратности два.



Если D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если D>0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.


5.Решение неравенств методом интервалов

Метод интервалов является основным методом решения неравенств. Он позволяет свести решение неравенства f(x)=> (<‚≤‚≥) к решению уравнения f(x)=. Метод заключается в следующем.


1. Находится ОДЗ неравенства.

2. Неравенство приводится к виду f(x)=> (<‚≤‚≥) (т.е. правая часть переносится в влево) и упрощается.

3. Решается уравнение f(x)=.

4. На числовой оси изображается: а) ОДЗ; б) непосторонние корни уравнения f(x)= (попавшие в ОДЗ). Они наносятся в виде полых кружков, если исходное неравенство строгое, и закрашенных, если оно не строгое.


5. Все точки, отмеченные на ОДЗ и ограничивающие его, разбивают это множество на так называемые интервалы знакопостоянства. На каждом таком интервале определяется знак функции f(x). Ответ записывается в виде объединения отдельных множеств, на которых f(x) имеет соответствующий знак. Точки, отмеченные закрашенными кружками, в ответ входят в ответ отмеченных пустыми – нет (подумайте, почему). Точки ОДЗ, являющиеся граничными, включаются (или не включаются) в ответ после дополнительной проверки.


6. Основные методы решения рациональных

уравнений с модулями


При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, используется определение модуля:


hello_html_3b08448.gifhello_html_63491f1e.gifhello_html_1f57ed1f.gif

Пусть х и у – действительные числа. Приведем (в виде формул) свойства модуля.

1) hello_html_4316fa6.gifhello_html_m41739f2a.gifhello_html_mbe83314.gif 3) hello_html_6cb58215.gif

4) hello_html_m572f10f5.gifk = 2,4,…, в частности, hello_html_a343285.gif

5) hello_html_m4516ba3f.gifk = 2,4,…, в частности, hello_html_m65456691.gif

6) hello_html_39861acc.gif 7) hello_html_4d62de86.gif


Основные методы решения уравнений с модулями


1. Попробовать "избавиться" от знака модуля, используя определение модуля.


2. Возвести уравнение (т.е. обе его части) в квадрат. Затем воспользоваться свойством 5.


3. Сделать постановку.


4. Самым универсальным методом решения уравнений, содержащих несколько знаков модулей, является следующий. Выражения, стоящие под знаками абсолютных величин, приравниваются к нулю. Корни полученных уравнений разбивают ОДЗ исходного уравнения на интервалы. На каждом таком интервале, используя определение модуля, удается освободиться от модулей.


7. Рациональные неравенства с модулями


Неравенства с модулями (как и все другие) можно решать методом интервалов. На этом пути, в частности, приходится решать уравнения с модулями. Однако, как правило, проще освободиться от модулей в самих неравенствах,а далее, если требуется, применять метод интервалов.

Обсудим, как это можно сделать.

1. Неравенства вида | f (x) > g (х) (≥, <, ≤) рекомендуем решать одним из двух способов, которые рассмотрены ниже.

1а. Из определения модуля следует, что изучаемые неравенства равносильны совокупности либо системе следующих неравенств:

| f (х)| > g (х) hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_3574fdb1.gif hello_html_m53d4ecad.gif

(*)

| f (х)| < g (х) hello_html_30720172.gif – g (х) < f (х) < g (х) hello_html_30720172.gifhello_html_m328c8e82.gifhello_html_7c8dc06c.gif


Если неравенства, находящиеся слева от знаков “ hello_html_30720172.gif ”, являются нестрогими то и в правой части эквивалентностей все неравенства следует заменить соответствующими нестрогими (“направленными” в ту же сторону).

В частном случае, когда g (х) hello_html_m58c6a92c.gifa = const,



неравенство

где

эквивалентно следующему:

1

2

| f (х)| < a

а ≤ 0

а > 0

нет решений

a < f (х) < a

3

4

5

| f (х)| ≤ a

а < 0

а = 0

а > 0

нет решений

f (х) = 0

а ≤ f (х) ≤ а

6

7

8

| f (х)| > a

а < 0

а = 0

а > 0

ответ = ОДЗ

f (х) ≠ 0

f (х) < – a и f (х) > a

9

10

| f (х)| ≥ a

а ≤ 0

а > 0

ответ = ОДЗ

f (х) ≤ – a и f (х) ≥a

1b. В ряде случаев (например, если g (х) –абсолютная величина), рассматриваемые неравенства удобнее всего решать возведением в квадрат.




Как решить неравенство

| f (x)| > g (x), если g (x) ≥ 0

1

Почленно возвести в квадрат


| f (x)|2 > (g (x))2

( f (x))2 > (g (x))2

2

Перенести (g (х))2 в левую часть

( f (x))2 – (g (x))2> 0

3

4

Воспользоваться формулой

Применить метод интервалов

( f (x) g (x)) ( f (x) + g (x)) > 0

...


Освобождение от модулей на подмножествах ОДЗ. Неравенство может содержать несколько модулей | fi(x)|. Самым универсальным методом освобождения от них является следующий. Функции, стоящие под знаками модулей, приравниваются к нулю. Корни этих вспомогательных уравнений разбивают ОДЗ неравенства на интервалы. На каждом таком интервале определяем знаки функций fi и освобождаемся от модулей, используя определение: | fi(x)| = ± fi(x), в зависимости от знаков. Объединив решения, найденные на всех подмножествах ОДЗ, получаем окончательный ответ.


8. Иррациональные неравенства


Неравенства, в которых неизвестная содержится под знаком корня, называется иррациональным


При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:

Если обе части неравенства на некотором множестве Х принимают только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве X). Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.

Рассмотрим неравенство вида

hello_html_m51420581.gif(1)

Ясно, что решение этого неравенства является в то же время решением неравенства f(x) ≥0 и решением неравенства g(x) >0 (из неравенства (1) следует, что g (х) >hello_html_6ca45d3a.gif 0). Значит, неравенство (1) равносильно системе неравенств

hello_html_215f944e.gif


Так как при выполнении условий, задаваемых первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, то их возведение в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Выполнив это преобразование, придем к системе

hello_html_m6c7d9349.gif

Неравенствоhello_html_m51420581.gifравносильно системе неравенств

hello_html_m6c7d9349.gif

Рассмотрим теперь неравенство вида

hello_html_40659dbd.gif(2)

Как и выше, заключаем, что f(x) ≥0 , но в отличие от предыдущего случая здесь g (х) может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. Поэтому заданное неравенство (2) рассмотрим в каждом из следующих случаев:

g (х) < 0 и g (х) ≥ 0. Получим совокупность систем

hello_html_7bc484a3.gif

В первой из этих систем можно опустить последнее неравенство — оно вытекает из первых двух неравенств системы. Во второй системе можно выполнить возведение в квадрат обеих частей последнего неравенства.

В итоге приходим к следующему результату: неравенство hello_html_40659dbd.gif равносильно совокупности двух систем


hello_html_1f886266.gifhello_html_m729a8eb2.gif












9. Тригонометрические функции

Знаки Sin Знаки Cos


hello_html_m2cc35a7e.png








Таблица значений тригонометрических функций

α


0


hello_html_5ba6b496.gif

hello_html_m40f34beb.gif

hello_html_m3464b2e2.gif

hello_html_m25e34c55.gif

hello_html_m74733c04.gif

hello_html_4ec01f59.gif

2hello_html_m74733c04.gif

sin α

0


hello_html_m3d4efe4.gif

hello_html_18bb84e9.gif

hello_html_m9b24522.gif

1


0


-1


0


cos α


1


hello_html_m9b24522.gif

hello_html_18bb84e9.gif


hello_html_m3d4efe4.gif

0


-1


0


1


tgα

0

hello_html_m60f7e3e3.gif

1

hello_html_m980c3de.gif

Не существует

0

Не существует

0

ctg α

Не существует

hello_html_m980c3de.gif

1

hello_html_m60f7e3e3.gif

0

Не существует

0

Не существует


Основные тригонометрические тождества


Sin2α+cos2α=1,

tgα =hello_html_m59bde04d.gif , cosα≠0

Ctgα=hello_html_m141518c8.gif, sinα≠0

tgαctgα = l,

cosα≠0, sinα≠0

Secα=1/cosα, cos α0

Cosecα=1/sinα, sin α0

tg2α+1=1/cos2α=sec2α, (cosα0)

ctg2α+1=1/sin2α=cosec2α, (sin α0)


Выражения одной функции через другую


Shello_html_m2823cef2.gifhello_html_m2823cef2.gifinα=±√(1-cos2α)

Chello_html_m2823cef2.gifosα=±√l - sin2α

tgα=1/ctgα, cosα≠0, sinα≠0

Ctgα=1/tgα, cosα≠0, sinα≠0


Формулы отрицательного аргумента


sin (-α)=-sin α

tg(-α)=-tg α

cos (-α) = cos α

ctg(-α)=- ctg α

Формулы приведения


Функция α


Аргумент α

π/2hello_html_m78531b32.gifα

π hello_html_m78531b32.gifα

3π/2hello_html_m78531b32.gifα

hello_html_m78531b32.gifα

sin α

cos α

hello_html_a8eb4e6.gifsin α

-cos α

hello_html_m78531b32.gifsin α

cos α

hello_html_a8eb4e6.gifsin α

-cosα

hello_html_m78531b32.gifsin α

cos α

tg α

hello_html_a8eb4e6.gifctg α

hello_html_m78531b32.giftg α

hello_html_a8eb4e6.gifctg α

hello_html_m78531b32.giftg α


ctg α

hello_html_a8eb4e6.giftg α

hello_html_m78531b32.gifctg α

hello_html_a8eb4e6.giftg α

hello_html_m78531b32.gifctg α



Формулы суммы двух аргументов


sin (α hello_html_m78531b32.gifβ)=sin α cos βhello_html_m78531b32.gifcos α sin β,

cos (α hello_html_m78531b32.gifβ)=cos α cos β hello_html_a8eb4e6.gifsin α sin β

tg (α+β)=hello_html_m70ffee60.gif

ctg (α+β)= hello_html_43e40377.gif

tg (α-β)= hello_html_786a7cb2.gif

ctg (α-β)= hello_html_m412dd145.gif


Формулы двойного и тройного угла


sin 2α=2 sin α cos α

sin 3α=3sin α-4 sin3 α

cos 2α = cos 2α - sin 2α

cos 3α =4cos 3α-3 cos α

cos2α=1-2sin 2α, cos2α =2cos2α-1


tg 2α=hello_html_m5371e991.gif

tg 3α=hello_html_m1e14a41.gif


Формулы преобразования

суммы тригонометрических функций

в произведения и произведения в суммы


sinα+sinβ=2hello_html_7ad0ed83.gif

cosα+cosβ=2hello_html_m4e3a5ec0.gif

sinα-sinβ=2hello_html_58401a5a.gif

cosα-cosβ=-2hello_html_44ade62e.gif

tg α+ tg β= hello_html_m16a08c7d.gif

ctg α+ ctg β= hello_html_73ef7e7c.gif

tg α- tg β= hello_html_758c5e87.gif

ctg α-ctg β= hello_html_30afcc7d.gif

sinαsinβ=hello_html_7145a88f.gif

cosαcosβ=hello_html_m2b4feb34.gif

sinαcosβ=hello_html_6d6e663c.gif


Формулы половинного угла


hello_html_m1a18517.gif

hello_html_a486415.gif

hello_html_m451af737.gif

hello_html_m36eb4eed.gif

hello_html_m72a69e3f.gif

hello_html_m1f6f33d2.gif

hello_html_23628fb1.gif

hello_html_51ade95b.gif

hello_html_7a0f5f3f.gif

hello_html_m4ce52606.gif



10. Арифметическая прогрессия


Арифметической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же (определенным для данной последовательности) числом d, называемым разностью прогрессии.

Формула n-го члена an = a1 + (n1) d.

Формула суммы n первых членов hello_html_m64a223f.gif

11. Геометрическая прогрессия


Геометрической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q, называемое знаменателем прогрессии. Предполагается, что q ≠ 0.

Если число членов прогрессии конечно, то она называется конечной геометрической прогрессией; в противном случае она называется бесконечной геометрической прогрессией.

Формула n-го члена an= a1q n1.

Формула суммы n первых членовhello_html_m4dd0e5e2.gif.


12. Понятие производной


Производной функции y= f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю


hello_html_m4d18b834.gif

Таблица производных

№ п/п

Х – аргумент

u- дифференцируемая

функция аргумента

1.

hello_html_6cefce71.gif

hello_html_42efb498.gif

2. hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_375c587c.gif

hello_html_m6df3c23f.gif

3.

hello_html_67dd607c.gif

hello_html_3c57bba2.gif

4.

hello_html_4e2501d7.gif

hello_html_m590dda61.gif

5.

hello_html_700ce686.gif

hello_html_m63948461.gif

6.

hello_html_m2c5777c6.gif

hello_html_7f8d46e4.gif

7.

hello_html_21a64a72.gif

hello_html_3095f78e.gif

8.

hello_html_m18e80769.gif

hello_html_7f3ae819.gif

9.

hello_html_mdd526cf.gif

hello_html_m4ae033f1.gif

10.

hello_html_m7480f410.gif

hello_html_14fa5926.gif

11.

hello_html_m39aa66f.gif

hello_html_236ec933.gif

12.

hello_html_3cb68333.gif

hello_html_77d6b20a.gif

13.

hello_html_m70faa3dd.gif

hello_html_mc3b9d2e.gif


13. Показательная функция


Показательной функцией называется функция вида:

y=ax, где а - заданное число, a>0, аhello_html_272b5b97.gif.

графики функций y=2x и y=(1/2)x

hello_html_62b0ac4d.gifhello_html_m2d1d742b.gif











14. Логарифмы и их свойства

a-основание

с –показатель степени

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени с, в которую надо возвести а, чтобы получить b.

hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m259c6e34.gif, (где b>0; a>0; a≠1)

Основное логарифмическое тождество: hello_html_7b2c60e6.gif

Свойства логарифмов


  1. hello_html_m6b210ded.gif

  2. hello_html_5169ddd0.gif

  3. hello_html_686557f9.gif

  4. hello_html_m4e2216af.gif

  5. hello_html_5b52b78f.gif

  6. loga 1=0

Формула перехода от одного основания к другому:

hello_html_39e56d3c.gif


Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называют функцию вида

hello_html_m5b16e3ff.gifгде hello_html_m43d981bf.gif

hello_html_75c38ea8.gifhello_html_3d63fa.gifhello_html_m1798155d.png

hello_html_m264864c9.png











15. Показательные уравнения

Определение: Показательными называют уравнения, содержащие неизвестную величину в показателе степени (основание степени не содержит неизвестной величины.

Рассмотрим «простейшее» показательное уравнение вида

hello_html_m3163fcdf.gif, а>0.

Если bhello_html_m7ceebba.gif0, то это уравнение решений не имеет.

Если b>0 и аhello_html_3750bfcb.gif1, то f(x)=logab.

Если а = 1, то при b hello_html_3750bfcb.gif 1 данное уравнение не имеет решений.

при b =1 решением является любое число из области определения.


16. Логарифмические уравнения


Определение: Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма.

logax=b; x>0; a>0; a≠1. x=ab

Для успешного решения логарифмических уравнений и неравенств необходимо уверенное владение формулами для логарифмов и свойствами логарифмической функции.

Использование формул логарифма произведения, частного и других без дополнительных оговорок может привести как к приобретению посторонних решений, так и к потере корней.

Поэтому необходимо внимательно следить за равносильностью совершаемых преобразований. Так, к примеру, в формуле logаху=logах+logау

ОДЗ: xy>0

x>0

y>0

Запишем равносильное преобразование:

1)logaxy=loga|x|+loga|y|, xy>0

2)logax/y=loga|x|-loga|y|, xy>0

3)logax2p=2p loga|x|, x≠0


17. Логарифмические неравенства


При решении логарифмических неравенств, так же как и при решении показательных неравенств, нужно четко представлять себе, что логарифмическая и показательная функции с основанием, большим единицы, монотонно возрастают, и монотонно убывают с основанием, меньшим единицы, но положительным.


Неравенство hello_html_m6bf15aaf.gif

при а > 1 равносильно системе неравенств

hello_html_m4e6107b5.gif


logax1<logax2

x1<x2

а при 0 < а < 1 — системе неравенств

hello_html_m45a08d25.gif


logax1>logax2

x12


Неравенство hello_html_m518d8e8a.gif

равносильно совокупности двух систем неравенств (переменное основание)

hello_html_6812be26.gifhello_html_m55e6685a.gif


18. Первообразная


Функцию, от которой берут производную называется первообразной.


Таблица первообразных.



Функция f (x)

Первообразная F (x)

0

С

1

х

х

hello_html_m2d595d1b.gif

hello_html_m7a49640d.gif

hello_html_m69ac48cf.gif

hello_html_m3703bb00.gif

hello_html_m561c73da.gif

hello_html_m23d3f6ee.gif

hello_html_m21b34d0.gif

sin x

cos x

cos x

sin x

hello_html_m7e4407fb.gif

сtgx

hello_html_m730c8e03.gif

tgx

ex

ex

hello_html_m18f07e6.gif

hello_html_m3b8f963.gif

ax

hello_html_m7c31e3b8.gif


19. Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных функций f (x) называется неопределенным интегралом данной функции и обозначается hello_html_23720372.gif, при этом f(x) - подинтегральная функция , f(x)dx –подинтегральное выражение.


Таблица основных интегралов

1. hello_html_3b0dac97.gif;

9. hello_html_48e161af.gif;

2. hello_html_m471413da.gif,

а – 1;

10. hello_html_6eba2aeb.gif,

а > 0;

3. hello_html_m315b7e00.gif;

11. hello_html_m65135c75.gif;

4. hello_html_m5aa3c519.gif,

а – 1, а > 0;

12. hello_html_m127e115d.gif,

а > 0;

5. hello_html_mc44f59c.gif;

13. hello_html_m8860ea0.gif;

6. hello_html_m7bdcbf3d.gif;

14. hello_html_m188b2c1b.gif,

а > 0;

7. hello_html_3eb01048.gif;

15. hello_html_5077f2c4.gif,

b 0;

8. hello_html_2f83ba0f.gif;

16. hello_html_a180ea1.gif.






Автор
Дата добавления 01.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров264
Номер материала ДA-025423
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх