Краткий справочник по математике для учащихся 10-11 классов

1. Формулы сокращённого умножения

а) Квадрат суммы:

б) Квадрат разности:

Вообще, квадрат алгебраической суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых плюс сумма удвоенных попарных произведений этих слагаемых (с учётом правила знаков).

в) Куб суммы:

г) Куб разности:

д) Разность квадратов:

е) Сумма кубов:

ж) Разность кубов:

з) Разность квадратов:

2. Свойства степеней:

1.     а^maⁿ=a^m+n

2.    

3.     (a^m)ⁿ=a^mn

3. Свойства радикалов:

4.Линейные и квадратные уравнения

Уравнение вида ax + b=0, где х — переменная, a(a≠0) и b – любые числа, называется линейным.

Если:

1) a ≠ 0, уравнение ax + b=0 имеет единственное решение ;

2) а = 0, в этом случае уравнение имеет вид 0*x + b=0,

при b = 0 решением уравнения является любое число х;

при b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

Уравнение вида ax² + bx + c = 0, где х — переменная, а, b, с — некоторые числа, причем a ≠ 0, называется квадратным.

В уравнении ax² + bx + c = 0 коэффициент а называют первым коэффициентом, b — вторым коэффициентом, с — свободным членом.

Формула корней квадратного уравнения имеет вид:

x_1,2=(—b±√b²—4ac)/(2a).

Выражение D =b² — 4ас называется дискриминантом квадратного уравнения.

Если D = 0, то существует только одно значение переменной, удовлетворяющее уравнению ax² + bx + c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число —b/2a называют корнем кратности два.

Если D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если D>0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

5.Решение неравенств методом интервалов

Метод интервалов является основным методом решения неравенств. Он позволяет свести решение неравенства f(x)=>0 (<‚≤‚≥) к решению уравнения f(x)=0. Метод заключается в следующем.

1. Находится ОДЗ неравенства.

2. Неравенство приводится к виду f(x)=>0 (<‚≤‚≥) (т.е. правая часть переносится в влево) и упрощается.

3. Решается уравнение f(x)=0.

4. На числовой оси изображается: а) ОДЗ; б) непосторонние корни уравнения f(x)=0 (попавшие в ОДЗ). Они наносятся в виде полых кружков, если исходное неравенство строгое, и закрашенных, если оно не строгое.

5. Все точки, отмеченные на ОДЗ и ограничивающие его, разбивают это множество на так называемые интервалы знакопостоянства. На каждом таком интервале определяется знак функции f(x). Ответ записывается в виде объединения отдельных множеств, на которых f(x) имеет соответствующий знак. Точки, отмеченные закрашенными кружками, в ответ входят в ответ отмеченных пустыми – нет (подумайте, почему). Точки ОДЗ, являющиеся граничными, включаются (или не включаются) в ответ после дополнительной проверки.

6. Основные методы решения рациональных

уравнений с модулями

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, используется определение модуля:

     

Пусть х и у – действительные числа. Приведем (в виде формул) свойства модуля.

1)      3)

4)  k = 2,4,…, в частности,

5)  k = 2,4,…, в частности,

6)   7)

 Основные методы решения уравнений с модулями

1. Попробовать "избавиться" от знака модуля, используя определение модуля.

2. Возвести уравнение (т.е. обе его части) в квадрат. Затем воспользоваться свойством 5.

3. Сделать постановку.

4. Самым универсальным методом решения уравнений, содержащих несколько знаков модулей, является следующий. Выражения, стоящие под знаками абсолютных величин, приравниваются к нулю. Корни полученных уравнений разбивают ОДЗ исходного уравнения на интервалы. На каждом таком интервале, используя определение модуля, удается освободиться от модулей.

7. Рациональные неравенства с модулями

Неравенства с модулями (как и все другие) можно решать методом интервалов. На этом пути, в частности, приходится решать уравнения с модулями. Однако, как правило, проще освободиться от модулей в самих неравенствах,а далее, если требуется, применять метод интервалов.

Обсудим, как это можно сделать.

1. Неравенства вида | f (x) > g (х)  (≥, <, ≤)  рекомендуем решать одним из двух способов, которые рассмотрены ниже.

1а. Из определения модуля следует, что изучаемые неравенства равносильны совокупности либо системе следующих неравенств:

| f (х)| > g (х)  

(*)

| f (х)| < g (х)  – g (х) < f (х) < g (х)

Если неравенства, находящиеся слева от знаков “  ”, являются нестрогими то и в правой части эквивалентностей все неравенства следует заменить соответствующими нестрогими (“направленными” в ту же сторону).

В частном случае, когда g (х)  a  = const,

	неравенство	где	эквивалентно следующему:
1   2	| f (х)| < a	а ≤ 0 а > 0	нет решений – a < f (х) < a
3   4   5	| f (х)| ≤ a	а < 0 а = 0 а > 0	нет решений f (х) = 0 – а ≤ f (х) ≤ а
6   7   8	| f (х)| > a	а < 0 а = 0 а > 0	ответ = ОДЗ f (х) ≠ 0 f (х) < – a и f (х) > a
9 10	| f (х)| ≥ a	а ≤ 0 а > 0	ответ = ОДЗ f (х) ≤ – a и f (х) ≥a

1b. В ряде случаев (например, если g (х) –абсолютная величина), рассматриваемые неравенства удобнее всего решать  возведением  в квадрат.

	Как решить неравенство	| f (x)| > g (x), если g  (x) ≥ 0
1	Почленно возвести в квадрат	| f (x)|2 > (g (x))2 ( f (x))2 > (g (x))2
2	Перенести (g (х))2  в левую часть	( f (x))2 – (g (x))2 > 0
3 4	Воспользоваться формулой     Применить метод интервалов	( f (x) – g (x)) ( f (x) + g (x)) > 0 ...

Освобождение от модулей на подмножествах ОДЗ. Неравенство может содержать несколько модулей | f_i (x)|. Самым универсальным методом освобождения от них является следующий. Функции, стоящие под знаками модулей, приравниваются к нулю. Корни этих вспомогательных уравнений разбивают ОДЗ неравенства на интервалы. На каждом таком интервале определяем знаки функций f_i и освобождаемся от модулей, используя определение: | f_i (x)| = ± f_i  (x), в зависимости от знаков. Объединив решения, найденные на всех подмножествах ОДЗ, получаем окончательный ответ.

8. Иррациональные неравенства

Неравенства, в которых неизвестная содержится под знаком корня, называется иррациональным

При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:

Если обе части неравенства на некотором множестве Х принимают только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве X). Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.

Рассмотрим неравенство вида 

                                                   (1)

Ясно, что решение этого неравенства является в то же время решением неравенства f(x) ≥0 и решением неравенства g(x) >0 (из неравенства (1) следует, что g (х) > 0). Значит, неравенство (1) равносильно системе неравенств

Так как при выполнении условий, задаваемых первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, то их возведение в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Выполнив это преобразование, придем к системе

Неравенстворавносильно системе неравенств

Рассмотрим теперь неравенство вида

                                                      (2)

Как и выше, заключаем, что f(x) ≥0 , но в отличие от предыдущего случая здесь g (х) может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. Поэтому заданное неравенство (2) рассмотрим в каждом из следующих случаев:

g (х) < 0 и g (х) ≥ 0. Получим совокупность систем

В первой из этих систем можно опустить последнее неравенство — оно вытекает из первых двух неравенств системы. Во второй системе можно выполнить возведение в квадрат обеих частей последнего неравенства.

В итоге приходим к следующему результату: неравенство   равносильно совокупности двух систем

                  

9. Тригонометрические функции

                           Знаки Sin a                            Знаки Cos a

Таблица значений тригонометрических функций

α	0							2
sin α	0				1	0	-1	0
cos α	1				0	-1	0	1
tgα	0		1		Не существует	0	Не существует	0
ctg α	Не существует		1		0	Не существует	0	Не существует

Основные тригонометрические тождества

Sin2α+cos2α=1,	tgα = , cosα≠0	Ctgα=, sinα≠0	tgα∙ctgα = l, cosα≠0, sinα≠0
Secα=1/cosα, cos α≠0	Cosecα=1/sinα, sin α≠0	tg2α+1=1/cos2α=sec2α, (cosα≠0)	ctg2α+1=1/sin2α=cosec2α, (sin α≠0)

Выражения одной функции через другую

Sinα=±√(1-cos2α)

Cosα=±√l - sin2 α

tgα=1/ctgα, cosα≠0, sinα≠0

Ctgα=1/tgα, cosα≠0, sinα≠0

Формулы отрицательного аргумента

sin (-α)=-sin α	tg(-α)=-tg α
cos (-α) = cos α	ctg(-α)=- ctg α

Формулы приведения

Функция α	Аргумент α
	π/2α	π α	3π/2α	2π α
sin α	cos α	sin α	-cos α	sin α
cos α	sin α	-cosα	sin α	cos α
tg α	ctg α	tg α	ctg α	tg α
ctg α	tg α	ctg α	tg α	ctg α

Формулы суммы двух аргументов

sin (α β)=sin α cos β cos α sin β,	cos (α β)=cos α cos β  sin α sin β
tg (α+β)=	ctg (α+β)=
tg (α-β)=	ctg (α-β)=

Формулы двойного и тройного угла

sin 2α=2 sin α cos α	sin 3α=3sin α-4 sin3 α
cos 2α = cos 2α - sin 2α	cos 3α =4cos 3α-3 cos α
cos2α=1-2sin 2α,   cos2α =2cos2α-1
tg 2α=	tg 3α=

Формулы преобразования

суммы тригонометрических функций

в произведения и произведения в суммы

sinα+sinβ=2	cosα+cosβ=2
sinα-sinβ=2	cosα-cosβ=-2
tg α+ tg β=	ctg α+ ctg β=
tg α- tg β=	ctg α-ctg β=
sinαsinβ=
cosαcosβ=
sinαcosβ=

Формулы половинного угла

10. Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же (определенным для данной последовательности) числом  d, называемым разностью прогрессии.

Формула n-го члена a_n = a₁ + (n – 1) d.

Формула суммы n первых членов

11. Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число  q,  называемое знаменателем прогрессии.  Предполагается, что  q ≠ 0.

Если  число членов прогрессии конечно, то она называется конечной геометрической прогрессией; в противном случае она называется  бесконечной геометрической прогрессией.

Формула n-го члена  a_n= a₁q ^{n –1}.

Формула суммы n первых членов.

12. Понятие производной

Производной функции  y= f (x)  в точке  x  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

Таблица производных

№ п/п	Х – аргумент	u- дифференцируемая функция аргумента
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

13. Показательная функция

Показательной функцией называется функция вида:

y=a^x, где а - заданное число, a>0, а.

графики функций y=2^x  и  y=(1/2)^x

14. Логарифмы и их свойства

a-основание

с –показатель степени

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени с, в которую надо возвести а, чтобы получить b.

, (где b>0; a>0; a≠1)

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов

1.        

2.    

3.    

4.    

5.    

6.     log_a 1=0               

Формула перехода от одного основания к другому:

Логарифмическая функция

Логарифмической функцией называют функцию вида

 где

                              

15. Показательные уравнения

Определение: Показательными называют уравнения, содержащие неизвестную величину в показателе степени (основание степени не содержит неизвестной величины.

Рассмотрим «простейшее» показательное уравнение вида

, а>0.

Если b0, то это уравнение решений не имеет.

Если b>0 и а1, то f(x)=log_ab.

          Если  а = 1, то при  b  1 данное уравнение не имеет решений.

при  b =1  решением является любое число из области определения.

16. Логарифмические  уравнения

Определение: Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма.

log_ax=b;  x>0; a>0; a≠1.   x=a^b

Для успешного решения логарифмических уравнений и неравенств необходимо уверенное владение формулами для логарифмов и свойствами логарифмической функции.

Использование формул логарифма произведения, частного  и других без дополнительных оговорок может привести как к приобретению посторонних решений, так и к потере корней.

Поэтому необходимо внимательно следить за равносильностью совершаемых преобразований.  Так, к примеру, в формуле log_аху=log_ах+log_ау

ОДЗ: xy>0

x>0

y>0

Запишем равносильное преобразование:

1)log_axy=log_a|x|+log_a|y|, xy>0

2)log_ax/y=log_a|x|-log_a|y|, xy>0

3)log_ax^2p=2p log_a|x|, x≠0 

17. Логарифмические неравенства

При решении логарифмических неравенств, так же как и при решении показательных неравенств, нужно четко представлять себе, что логарифмическая и показательная функции с основанием, большим единицы, монотонно возрастают, и монотонно убывают с основанием, меньшим единицы, но положительным.

Неравенство

при а > 1 равносильно системе неравенств

 

log_ax₁<log_ax₂

x₁<x₂

а при 0 < а < 1 — системе неравенств

log_ax₁>log_ax₂

x₁<x₂

Неравенство

равносильно совокупности двух систем неравенств (переменное основание)

  

18. Первообразная

Функцию, от которой берут производную называется первообразной.

Таблица первообразных.

Функция  f (x)	Первообразная  F (x)
0	С
1	х
х
sin x	– cos x
cos x	sin x
	– сtgx
	tgx
ex	ex
ax

19. Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных функций  f (x)  называется неопределенным интегралом данной функции и обозначается , при этом f(x) - подинтегральная функция , f(x)dx –подинтегральное выражение.

Таблица основных интегралов

1. ;	9. ;
2. , а ¹ – 1;	10. , а > 0;
3. ;	11. ;
4. , а ¹ – 1, а > 0;	12. , а > 0;
5. ;	13. ;
6. ;	14. , а > 0;
7. ;	15. , b ¹ 0;
8. ;	16. .