Курс лекций по математике

Скачать материал

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым

ГАПОУ РК «Симферопольский торгово-экономический колледж»

«Утверждаю»

Зам.директора по УР

___________ О.Н. Сухановская

«___» __________ 20__ г.

КУРС ЛЕКЦИЙ

учебной дисциплины, ПМ «Математика»

по специальностям

38.02.01Экономика и бухгалтерский учет (по отрослям)

38.02.06 Финансы

Разработан:

(Казимова З.А.)

Дата разработки:

«___» _______ 20___ г.

Согласован:

Председатель ЦК

Юзвак Л.Н.

Рассмотрено и одобрено на заседании цикловой комиссии

от «_____» _____________ 20___г., протокол №______

Симферополь, 2016 г.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 1

Дисциплина: Математика

Тема: Функции и их графики. Область определения и область значения функции

Цель занятия: изучить понятия функции, области определения и области значения функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции; определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках; строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

владеть: материалом школьной программы.

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Понятие

2. Понятие графика функции

3. Область определения функции

4. Область значения функции

Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, то есть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y.

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодичность функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 2

Дисциплина: Математика

Тема: Нули функции, промежутки знакопостоянства. Монотонность функции. Чётность и нечётность функции

Цель занятия: Изучить свойства функции.

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Нули функции

2. Промежутки знакопостоянства.

3. Монотонность функции.

4. Чётность и нечётность функции

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

4) Монотонность функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 3

Дисциплина: Математика

Тема: Ограниченная функция. Периодическая функция. Обратная функция

Цель занятия: изучить свойства функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Ограниченная функция.

2. Периодическая функция.

3. Обратная функция

Ограниченная и неограниченная функции.

Периодичность функции.

Определение обратной функции.

Пусть функция строго монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения , область значений этой функции , тогда на интервале определена непрерывная строго монотонная функция с областью значений , которая является обратной для .

Другими словами, об обратной функции для функции на конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале либо возрастает, либо убывает.

Функции f и g называют взаимно обратными.

Зачем вообще рассматривать понятие обратных функций?

Это вызвано задачей решения уравнений . Решения как раз и записываются через обратные функции.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 4

Дисциплина: Математика

Тема: Степень с произвольным действительным показателем и ее свойства

Цель занятия: изучить степень с произвольным действительным показателем и ее свойства

В результате проведения занятия обучающийся должен

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Понятие степени с произвольным действительным показателем и ее свойства

2. Понятие степени с произвольным действительным

3. Степень и ее свойства

Пусть дано положительное число и произвольное действительное число . Число называется степенью, число — основанием степени, число — показателем степени.

По определению полагают:

Если и — положительные числа, и — любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 5

Дисциплина: Математика

Тема: Степенная функция, ее свойства и график

Цель занятия: изучить график степенной функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Степенная функция, ее свойства и график

2. Степенная функция и график

Степенная функция, ее свойства и график

Вы знакомы с функциями y=x, y=x², y=x³, y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y=x^p, где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях x и p имеет смысл степень x^p. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени p.

Показатель p=2n -четное натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x²ⁿ, где n - натуральное число, обладает следующими

свойствами:

область определения - все действительные числа, т. е. множество R;
множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;
функция y=x²ⁿ четная, так как x²ⁿ=(-x)²ⁿ
функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.

График функции y=x²ⁿимеет такой же вид, как например график функции y=x⁴.

2. Показатель p=2n-1- нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция y=x^2n-1, где натуральное число, обладает следующими свойствами:

область определения - множество R;
множество значений - множество R;
функция y=x^2n-1 нечетная, так как (-x)^2n-1=x^2n-1;
функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y=x^2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=x³.

3.Показатель p=-2n, где n - натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x^-2n=1/x²ⁿ обладает следующими свойствами:

область определения - множество R, кроме x=0;
множество значений - положительные числа y>0;
функция y=1/x²ⁿ четная, так как 1/(-x)²ⁿ=1/x²ⁿ;
функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.

График функции y=1/x²ⁿ имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x².

4.Показатель p=-(2n-1), где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция y=x^-(2n-1) обладает следующими свойствами:

область определения - множество R, кроме x=0;
множество значений - множество R, кроме y=0;
функция y=x^-(2n-1) нечетная, так как (-x)^-(2n-1) =-x^-(2n-1);
функция является убывающей на промежутках x<0 и x>0.

График функции y=x^-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x³.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 6

Дисциплина: Математика

Тема: Показательная функция, ее свойства и график

Цель занятия: изучить показательную функцию, ее свойства и график

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Показательная функция

2. Показательная функция и ее свойства

3. Показательная функция и ее график

Показательная функция, ее свойства и график

Функцию вида y=a^x, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.
Область значений показательной функции: E (y)=R₊ - множество всех положительных чисел.
Показательная функция y=a^x возрастает при a>1.
Показательная функция y=a^x убывает при 0

Справедливы все свойства степенной функции:

а⁰=1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
а¹=а Любое число в первой степени равно самому себе.
a^x∙a^y=a^x+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
a^x:a^y=a^{x- y} При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
(a^x)^y=a^xy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
(a∙b)^x=a^x∙b^y При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
(a/b)^x=a^x/b^yПри возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
а^-х=1/a^x
(a/b)^-x=(b/a)^x.

Примеры.

1) Построить график функции y=2^x. Найдем значения функции

при х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=2⁰=1; Точка А.

x=1, y=2¹=2; Точка В.

x=2, y=2²=4; Точка С.

x=3, y=2³=8; Точка D.

x=-1, y=2^-1=¹/₂=0,5; Точка K.

x=-2, y=2^-2=¹/₄=0,25; Точка M.

x=-3, y=2^-3=¹/₈=0,125; Точка N.

Большему значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2^x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 7

Дисциплина: Математика

Тема: Простейшие показательные уравнения

Цель занятия: научиться решать простейшие показательные уравнения

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Простейшие показательные уравнения

2. Способы решения простейших показательных уравнений

Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида: a^x=a^y. Отсюда следует равенство: х=у. В самом деле, степени с одинаковыми основаниями могут быть равными только в том случае, если равны показатели этих степеней. Решить уравнение:

1) 5^x=125. Представим число 125 в виде степени числа 5:

5^x=5³; Степени равны, их основания равны, значит, и показатели степеней будут равны:

x=3.

2) 4^x=32. Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 2:

(2²)^x=2⁵; используем формулу возведения степени в степень: (a^x)^y=a^xy

2^2x=2⁵;

2x=5 |:2

x=2,5.

3) 3^2x-1=81. Число 81 представим в виде степени числа 3:

3^2x-1=3⁴; приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями:

2x-1=4; решаем простейшее линейное уравнение:

2x=4+1;

2x=5 |:2;

x=2,5.

К правой части применяем формулу: (a/b)^-x=(b/a)^x. Получим равенство степеней с одинаковыми основаниями.

Приравниваем показатели степеней и находим х из полученного линейного уравнения.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 8

Дисциплина: Математика

Тема: Приведение некоторых показательных уравнений к простейшим

Цель занятия: изучить способ приведения.

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Приведение некоторых показательных уравнений к простейшим

2. Разбор примеров

Пример 4. Решить уравнение: .

Решение. Вынесем в левой части уравнения выражение за скобки, получим: = .

Ответ: .

Пример 5. Решить уравнение: .

Решение. Так как , , , то первоначальное уравнение примет вид: . Сгруппируем первое, четвертое и второе, третье слагаемые, и вынесем общие множители за скобки: . Полученное уравнение сводится к совокупности уравнений: , . Решая эти уравнения логарифмированием обеих частей, находим корни первоначального уравнения: .

Ответ: .

Рассмотрим примеры нескольких видов уравнений, которые могут быть решены вторым методом – методом введения новых переменных.

Уравнение вида при помощи введения новой переменой , сводится к решению алгебраического уравнения .

Пример 6. Решить уравнение: .

Решение. Пусть . Тогда первоначальное уравнение примет вид: , откуда находим . Таким образом данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений и . Решая первое уравнение, получаем . Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как при любом значении переменной, а .

Ответ: .

Пример 7. Решить уравнение: .

Решение. Учитывая, что и , получим уравнение . Введем новую переменную , получим: . Преобразуя это дробно-рациональное уравнение, придем к следующему уравнению: . Последнее уравнение распадается на совокупности двух уравнений, решая которые получаем: , . Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений: ; ; . Из первого уравнения находим . Логарифмируя обе части второго уравнения по основанию 2, находим .Третье уравнение решений не имеет, так как , в то время как при любом значении переменной.

Ответ: ; .

Пример 8. Решить уравнение: .

Решение. Так как , то имеем: . Разделим обе части уравнения на , получим: . Введем новую переменную , придем к квадратному уравнению , решая которое, получим , . Таким образом, решение первоначального уравнения сводится к решению совокупности двух показательных уравнений: ; , решая которые получим: . Ответ: .

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 9

Дисциплина: Математика

Тема: Практическое применение показательной функции и показательных уравнений

Цель занятия: изучить практическое применение показательной функции и показательных уравнений

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Практическое применение показательной функции и показательных уравнений

2. Разбор примеров

Решение показательных уравнений, встречающихся в заданиях ЕГЭ

1) Решить уравнение:

. В ответе запишите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.

Решение: существует теорема, способная облегчить решение данного уравнения:

Теорема: если функция f(х) возрастает на Y, а g(x) убывает на Y, то уравнение вида f(x)=g(x) имеет не более одного корня.

Следовательно, - функция убывающая , так как 0<0,2<1 на R. - возрастающая на [-7; +∞). Итак, есть корень, методом подбора определяем х=-2, проведём проверку:

Ответ: -2.

2) Найдите значение выражения 6ⁿ⁺^m, если

Решение: , умножим числитель и знаменатель дроби на 6^m,

6^n+m-3= -5∙(6^m+n-6)

6^n+m-3= -5∙6^m+n+30

6∙6^m+n= 33

6ⁿ⁺^m= 5,5

Ответ: 6ⁿ⁺^m= 5,5

3) Найдите значение выражения:
3^x ∙(3^x-3), если 3^x+3^-^x=3.

Решение: 3^x+3^-^x=3 | ∙3^x

3²^x+1= 3∙3^x

3²^x-3∙3^x= -1

3^x∙(3^x-3)= -1

Ответ: 3^x∙(3^x-3)= -1.

4) Решите уравнения

Пусть

D=25

t₁=1, t₂= - (т.к. a+b+c=0)

число t= -не удовлетворяет условию t>0

t=1, ,

x²+2x-3=0,

x₁=1, x₂= -3 (т.к. a+b+c=0)

Ответ: -3; 1 .

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 10

Дисциплина: Математика

Тема: Простейшие показательные неравенства

Цель занятия: изучить простейшие показательные неравенства

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Простейшие показательные неравенства

2. Примеры

Решение показательных неравенств вида , где а – положительное число отличное от 1, основано на следующих теоремах:

Если а >1, то неравенство равносильно неравенству .
Если 0 < а < 1, то неравенство равносильно неравенству .

Другие показательные неравенства теми или иными методами, как правило, сводятся к неравенству этого вида.

Решить неравенство . …………………………(1)

Решение. 1) Воспользовавшись свойствами степени с рациональным показателем, преобразуем неравенство (1) к виду .

2) По теореме 1 неравенство (1) равносильно неравенству .

3) Преобразуем полученное дробно-рациональное неравенство к виду

решив полученное неравенство методом интервалов, получаем .

Ответ: .

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 11

Дисциплина: Математика

Тема: Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество

Цель занятия: изучить логарифм числа. Основное логарифмическое тождество

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Логарифм числа.

2. Основное логарифмическое тождество

Логарифмом положительного числа N по основанию ( b > 0, b1 ) называется показатель степени x , в которую нужно возвести b, чтобы получить N .

Обозначение логарифма:

Эта запись равнозначна следующей: b^x = N .

П р и м е р ы : log₃ 81 = 4 , так как 3⁴ = 81 ;

log_1/3 27 = – 3 , так как ( 1/3 ) ^-3 = 3³ = 27 .

Вышеприведенное определение логарифма можно записать в виде тождества:

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ №12

Дисциплина: Математика

Тема: Основные свойства логарифмов. Формула перехода от одного основания логарифма к другому

Цель занятия: изучить основные свойства логарифмов. Формула перехода от одного основания логарифма к другому

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Основные свойства логарифмов.

2. Формула перехода от одного основания логарифма к другому

Основные свойства логарифмов.

1) log b = 1 , так как b ¹ = b .

2) log 1 = 0 , так как b ⁰ = 1 .

3) Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

log ( ab ) = log a + log b .

4) Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:

log ( a / b ) = log a – log b .

5) Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания:

log ( b ^k) = k · log b .

Следствием этого свойства является следующее: логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на степень корня:

6) Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак логарифма:

Два последних свойства можно объединить в одно:

7) Формула модуля перехода ( т.e. перехода от одного основания логарифма к другому основанию ):

В частном случае при N = a имеем:

Десятичным логарифмом называется логарифм по основанию 10. Он обозначается lg , т.е. log₁₀ N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, ... pавны соответственно 1, 2, 3, …, т.е. имеют столько положительных

единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, ... pавны соответственно –1, –2, –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные логарифмы наиболее удобны.

Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е. Он обозначается ln , т.е. log _e N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) ⁿ при неограниченном возрастании n . Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию е осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 13

Дисциплина: Математика

Тема: Логарифмическая функция, её свойства и график

Цель занятия:

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лнкция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Логарифмическая функция и ее свойства

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел.

3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0

4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при x>1, и отрицательной при 0<х<1.

6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при х>1, и положительной при 0

На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции - (0

7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид.

8. Функция не имеет точек максимума и минимума.

Оснащение: доска.

Литература:

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 14

Дисциплина: Математика

Тема: Свойства и график логарифмической функции

Цель занятия:

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лнкция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Логарифмическая функция и график

Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой y = x. Данное утверждение показано на следующем рисунке.

Изложенное выше утверждение будет справедливо, как для возрастающих, так и для убывающих логарифмических и показательных функций. Рассмотрим пример: найти область определения логарифмической функции f(x) = log₈(4 - 5*x).

Исходя из свойств логарифмической функции, областью определения является все множество положительных вещественных чисел R+. Тогда заданная функция будет определена для таких х, при которых 4 - 5*x>0. Решаем это неравенство и получаем x<0.8.

Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log₈(4 - 5*x) будет являться промежуток (-∞;0.8)

Оснащение: доска.

Литература:

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 15

Дисциплина: Математика

Тема: Методы решения простейших логарифмических уравнений

Цель занятия: изучить методы решения простейших логарифмических уравнений

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Логарифмическое уравнение

2. Методы решения простейших логарифмических уравнений

Логарифмическое уравнение – это трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент логарифма.

При решении логарифмических уравнений используются два основных метода: 1) переход от уравнения к уравнению вида; 2) введение новых переменных.

Замечание. Так как область определения логарифмической функции только множество положительных действительных чисел, при решении логарифмических уравнений необходимо либо находить область допустимых значений уравнения (ОДЗ), либо после нахождения решений уравнения делать проверку.

Рассмотрим некоторые виды простейших логарифмических уравнений.

Решение простейшего логарифмического уравнения ……(1)

Основано на следующем важном свойстве логарифмов:

логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному отличному от единицы основанию равны тогда и только тогда, когда равны эти числа.

Для уравнения (1) из этого свойства получаем: - единственный корень.

Для уравнения вида …………..(2) получаем равносильное уравнение .

Пример Решить уравнение .

Решение. Поскольку , , то исходное уравнение равносильно уравнению . Отсюда получаем -единственный корень данного уравнения.

Ответ: .

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 16

Дисциплина: Математика

Тема: Методы решения более сложных логарифмических уравнений

Цель занятия: изучить методы решения более сложных логарифмических уравнений

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Методы решения более сложных логарифмических уравнений

2. Примеры

Решить уравнение .

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению , которое в свою очередь равносильно квадратному уравнению . Находим корни этого уравнения : х₁=3, х₂=2.

Ответ: х₁=3, х₂=2.

К простейшим логарифмическим уравнениям относятся также уравнения вида ………………(3), которое а) при А1 и В0 имеет единственный корень ; б) при А=1 и В=0 имеет решением любое положительное, отличное от единицы, число; в) при А=1 и В0 корней не имеет; г) при А1 и В=0 корней не имеет.

Рассмотрим методы сведения логарифмических уравнений к простейшим уравнениям и системам уравнений и неравенств.

1) Уравнение вида методом замены переменной: сводится к уравнению . Если t₁, t₂,…,t_n – корни этого уравнения, то решение первоначального уравнения сводится к решению совокупности простейших уравнений: , ,…, .

Пример 11. Решить уравнение .

Решение. 1) Обозначим , тогда уравнение примет вид

2) Решим полученное дробно-рациональное уравнение

3) Найдем значения старой переменной, решив совокупность уравнений:

х₁=10, х₂ =

Ответ: х₁=10, х₂ = .

2) Уравнение вида , можно заменить одной из равносильных ему систем: или

Пример 12. Решить уравнение .

Решение. 1) Уравнение равносильно системе:

2) Решим первое неравенство системы: .

3) Решим второе уравнение системы:

. Оба корня уравнения удовлетворяют неравенству системы.

Ответ: .

Пример 13. Решить уравнение .

Решение. 1) Найдем область допустимых решений данного уравнения, для чего решим систему неравенств: . Первое неравенство системы выполняется при любых значениях переменной, второе - при . Поэтому система имеет решение .

2) Для решения уравнения перейдем к одному основанию логарифмов, а именно к основанию 2, воспользовавшись свойствами логарифмов:

Решая полученное дробно-рациональное уравнение, находим: , , . Из найденных значений только входит в область допустимых решений уравнения.

Ответ: .

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 17

Дисциплина: Математика

Тема: Методы решения логарифмических уравнений, сводящихся к простейшим

Цель занятия: изучить методы решения логарифмических уравнений, сводящихся к простейшим

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Методы решения логарифмических уравнений, сводящихся к простейшим

2. Примеры

Решить уравнение .

Ответ: .

Пример 14. Решить уравнение .

Решение. 1) Область допустимых решений уравнения

2) Воспользуемся свойствами логарифмов и преобразуем первоначальное уравнение:

3) Введем новую переменную . Тогда уравнение примет вид:

. Найдем корни этого квадратного уравнения , .

4) Первоначальное уравнение, таким образом, свелось к системе двух простейших логарифмических уравнений: , . Решив эти уравнения получим:

х₁ = 16, х₂ = . Оба подученных корня входят в область допустимых решений первоначального уравнения.

Ответ: х₁ = 16, х₂ = .

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 18

Дисциплина: Математика

Тема: Радианная мера угла

Цель занятия: изучить понятие радианная мера угла

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Радианная мера угла

2. Разбор примеров

Наравне с градусной мерой угла используется радианная.

Возьмем на координатной плоскости окружность с центром в точке О и радиусом R. Отметим на ней дугу РМ, длина которой равна R и угол РОМ.

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.

Градусная мера угла в 1 радиан равна:

Так как дуга длиной πR (полуокружность), стягивает центральный угол в 180°, то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.

И наоборот

Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°

Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна

И наоборот

Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.

Например, 360° = 2π рад, пишут 360° = 2π

Пример 1.

Найти радианную меру угла равного а) 40° , б)120° , в)105°

Решение

а) 40° = 40·π / 180 = 2π/9

б) 120° = 120·π/180 = 2π/3

в) 105° = 105·π/180 = 7π/12

Пример 2.

Найти градусную меру угла выраженного в радианах а) π/6 , б) π/9, в) 2·π/3

Решение

а) π/6 = 180°/6 = 30°

б) π/9 = 180°/9 = 20°

в) 2π/3 = 2·180°/6 = 120°

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 19

Дисциплина: Математика

Тема: Тригонометрические функции: синус, косинус

Цель занятия: изучить тригонометрические функции: синус, косинус

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Тригонометрические функции

2. Синус

3. Косинус

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке и с осями и (см. Рис. 3). Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке и радиусом, равным единице. Пусть отрезок поворачивается на произвольный угол вокруг центра

Синусом угла называется отношение ординаты точки к длине отрезка Обозначают Так как длина отрезка равна , то

Косинусом угла называется отношение абсциссы точки к длине отрезка Обозначают Так как длина отрезка равна 1, то

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 20

Дисциплина: Математика

Тема: Тригонометрические функции: тангенс, котангенс

Цель занятия: изучить тригонометрические функции: тангенс, котангенс

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Тригонометрические функции: тангенс, котангенс

2. Разбор примеров

Тангенсом угла называется отношение ординаты точки к абсциссе точки . Обозначают (в англоязычной литературе Так как и то

Котангенсом угла называется отношение абсциссы точки к ординате точки . Обозначают (в англоязычной литературе Так как и то Котангенс равен обратному значению тангенса:

Секансом угла называется отношение длины отрезка к абсциссе точки . Обозначают Так как длина отрезка равна 1, то Секанс равен обратному значению косинуса:

Косекансом угла называется отношение длины отрезка к ординате точки . Обозначают (в англоязычной литературе Так как длина отрезка равна , то Косеканс равен обратному значению синуса:

Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс и секанс этого угла не существуют. Аналогично для котангенса и косеканса: если синус угла равен нулю, то котангенс и косеканс этого угла не существуют.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 21

Дисциплина: Математика

Тема: Свойства и графики тригонометрических функций y = sinx, y = cosx

Цель занятия: изучить свойства и графики тригонометрических функций y = sinx, y = cosx

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Свойства и графики тригонометрических функций y = sinx

2. Свойства и графики тригонометрических функций y = cosx

а) Область определения: D (sin x) = R .

б) Множество значений: E (sin x) = [ – 1 , 1 ] .

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2

д) Нули функции: sin x = 0 при x = n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

; .

ж) Промежутки монотонности:

;

з) Экстремумы:

; .

График функции y= sin x изображен на рисунке.

а) Область определения: D (cos x) = R .

б) Множество значений: E (cos x ) = [ – 1 , 1 ] .

в) Четность, нечетность: функция четная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = 2 д) Нули функции: cos x = 0 при x = + n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

;
.

. ж) Промежутки монотонности:

;

з) Экстремумы:

; .

График функции y= cos x изображен на рисунке.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 22

Дисциплина: Математика

Тема: Свойства и графики тригонометрических функций y = tgx, y = ctgx

Цель занятия: изучить свойства и графики тригонометрических функций y = tgx, y = ctgx

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Свойства и графики тригонометрических функций y = tgx

2. Свойства и графики тригонометрических функций y = ctgx

а) Область определения: D (tg x) = R \ {/2 + n( n Z ) }.

б) Множество значений: E (tg x ) = R .

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = .

д) Нули функции: tg x = 0 при x = n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства:

; .

ж) Промежутки монотонности: функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y = tg x изображен на рисунке.

а) Область определения: D (ctg x) = R \ { n( n Z ) }.

б) Множество значений: E (ctg x ) = R .

в) Четность, нечетность: функция нечетная.

г) Периодичность: функция периодическая с основным периодом T = .

д) Нули функции: ctg x = 0 при x = /2 + n, n Z.

е) Промежутки знакопостоянства ;

; .

ж) Промежутки монотонности: функция убывает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

з) Экстремумы: нет.

График функции y = ctg x изображен на рисунке.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 23

Дисциплина: Математика

Тема: Преобразование графиков тригонометрических функций

Цель занятия: изучить преобразование графиков тригонометрических функций

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Преобразование графиков тригонометрических функций

2. Примеры

Функцию у=f(x) называют периодической ,если существует такое отличное от нуля число Т ,что выполняется двойное равенство f ( x - T) = f(x) = f(x + T)

Т - период функции у=f(x)

sin ( x - T) =sin x =sin (x + T) . Аналогично для у=cos x

Функции у=sin x , у=cos x являются периодическими . Наименьший период их равен 2.Любое число вида 2k ,где k =1,2,3 ,... ,является периодом у=sin x , у=cos x .

Наименьший период функций у= tg x , y= ctg xявляется .

Основной период функций у=sin kx и у=cos kx равен

А для у= tg x и y= ctg x

Пример.

Найти основной период функции:

а) у=cos 3x |k|=|3|=3 T = = -период у=cos 3x

б) у = tg 0,5 x |k|=|0,5|=0,5 Т = = = период у = tg 0,5x

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 24

Дисциплина: Математика

Тема: Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

Цель занятия: изучить основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

2. Тригонометрические тождества

Следует иметь в виду, что указанные равенства верны при всех значениях x, при которых их левая и правая части одновременно имеют смысл (т.е. в областях определения) и их называют основными тригонометрическими тождествами. При использовании тождеств необходимо учитывать области их определения. Например, областью определения тождества является все множество действительных чисел R; область определения тождества задается условием

область определения тождества – условием

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 25

Дисциплина: Математика

Тема: Формулы приведения

Цель занятия: изучить формулы приведения

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Формулы приведения

2. Примеры

Значения тригонометрических функций аргументов выражаются через значения соответствующих функций аргумента x по формулам приведения (см. таблицу), которые можно сформулировать в виде следующего правила: а) при переходе от функции углов к функциям угла x название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс (и наоборот), а при переходе от функции углов к функции угла x название функции сохраняют;

б) считая x острым углом (т.е. 0 < x < )

2) перед функцией угла x ставят такой знак, который имеет исходная функция в соответствующей четверти.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 26

Дисциплина: Математика

Тема: Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени. Формулы половинного аргумента

Цель занятия: изучить формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени. Формулы половинного аргумента

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций.

2. Формулы двойного аргумента.

3. Формулы понижения степени.

4. Формулы половинного аргумента

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 27

Дисциплина: Математика

Тема: Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций на произведение, формулы преобразования произведения тригонометрических функций на сумму

Цель занятия: изучить формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций на произведение, формулы преобразования произведения тригонометрических функций на сумму

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КПЗУН

План занятия:

1. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций на произведение

2. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций на сумму

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 28

Дисциплина: Математика

Тема: Обратные тригонометрические функции y = arcsinx, y = arccosx, их свойства и графики

Цель занятия: изучить обратные тригонометрические функции y = arcsinx, y = arccosx, их свойства и графики

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Обратные тригонометрические функции y = arcsinх, его свойства и график

2. Обратные тригонометрические функции y = arccosx, его свойства и график

Арксинусом числа y [ – 1, 1] называется такая дуга , синус которой равен y, т.е. L .

Функция x = arcsin y является обратной к функции y = sin x на отрезке . Для исходной и обратной функций привычнее аргументы и функцию обозначать одними и теми же буквами: y = sin x, y = arcsin x.

В таких обозначениях графики указанных функций симметричны относительно прямой y = x. Поэтому, нарисовав график функции y = sin x на отрезке и симметрично отобразив его относительно прямой
y = x, получим график арксинуса.

Арккосинусом числа y [– 1, 1] называется такая дуга x [ 0 , ], косинус которой равен y, т.е.

L .

Функция x = arccos y является обратной к функции y = cosх на отрезке x [ 0, ]. Для исходной и обратной функций привычнее аргументы и функцию обозначать одними и теми же буквами: y = cos x, y = arccos x. График функции y = arccos x приведен на рисунке.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 29

Дисциплина: Математика

Тема: Обратные тригонометрические функции y = arctgx, y = arcctgx, их свойства и графики

Цель занятия: изучить обратные тригонометрические функции y = arctgx, y = arcctgx, их свойства и графики

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Обратные тригонометрические функции y = arctgx, их свойства и графики

2. Обратные тригонометрические функции y = arcctgx, их свойства и графики

Арктангенсом числа y R называется такая дуга , тангенс которой равен y, т.е.
L .

Функция x = arctg y явлется обратной к функции, y = tg x на интервале . Для исходной и обратной функций привычнее аргументы и функцию обозначать одними и теми же буквами: y = tg x, y = arctg x. График функции y = arctg x приведен на рисунке.

Арккотангенсом числа y R называется такая дуга x [ 0 , ], котангенс которой равен y, т.е.

L .

Функция x = arcctg y является обратной функции y =ctg x на интервале x (0, ). Для исходной и обратной функций привычнее аргументы и функцию обозначать одними и теми же буквами: y = ctg x, y = arcctg x . График функции y = arcctg x приведен на рисунке.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 30

Дисциплина: Математика

Тема: Простейшие тригонометрические уравнения вида cosx = a, sinx = a

Цель занятия: изучить простейшие тригонометрические уравнения вида cosx = a, sinx = a

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Простейшие тригонометрические уравнения вида sinx = a

2. Простейшие тригонометрические уравнения вида cosx = a

Тригонометрическим уравнением называется уравнение вида

где f (x, y) и g (x, y) – тригонометрические выражения.

Для таких уравнений справедливы все общие положения о равносильности уравнений и их следствиях. Обычно каждое тригонометрическое уравнение с помощью соответствующим образом подобранного преобразования сводится к простейшему тригонометрическому уравнению.

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся следующие:

где x – неизвестная величина, a – постоянная (известное число).

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 31

Дисциплина: Математика

Тема: Простейшие тригонометрические уравнения вида tgx = a, ctgx = a

Цель занятия: изучить простейшие тригонометрические уравнения вида tgx = a, ctgx = a

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КПЗУН

План занятия:

1. Простейшие тригонометрические уравнения вида tgx = a

2. Простейшие тригонометрические уравнения вида ctgx = a

К простейшим тригонометрическим уравнениям относятся следующие:

где x – неизвестная величина, a – постоянная (известное число).

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений

Обращаем внимание на то, что уравнения для tg x и ctg x имеют решения при любом значении a R, а уравнения для sin x и cos x – лишь при a [–1, 1].

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 32

Дисциплина: Математика

Тема: Методы решения сложных тригонометрических уравнений

Цель занятия: изучить методы решения сложных тригонометрических уравнений

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Методы решения сложных тригонометрических уравнений

2. Разбор примеров

ПРИМЕР 1. Решить уравнение .

РЕШЕНИЕ. Перепишем уравнение в виде

и, применив формулы для косинуса двойного угла, получим

или

или .

Основная идея этого МЕТОДА заключается в преобразовании исходного уравнения к уравнению вида

Так как сумма квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из чисел равно нулю, то решение уравнения сводится к решению системы

из которой находим

Откуда, объединяя решения, получим

где

ПРИМЕР 2. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ. Перепишем уравнение в виде

так как а то левая часть уравнения

правая часть уравнения Поэтому решениями уравнения могут быть только те значения при которых левая и правая части

принимают значения 3, т.е. решение уравнения сводится к решению системы

откуда

Объединяя, полученные решения, найдем решение данного уравнения

где

Основная идея этого МЕТОДА заключается в переходе к уравнению вида ,

где , а . Тогда должен удовлетворять системе уравнений

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 33

Дисциплина: Математика

Тема: Методы решения тригонометрических уравнений, сводящихся к простым

Цель занятия: изучить методы решения тригонометрических уравнений, сводящихся к простым

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия:

План занятия:

1. Методы решения тригонометрических уравнений, сводящихся к простым

2. Разбор примеров

Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям

Пусть , тогда

или

Т.к.

при , то корней нет.

Ответ:

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 34

Дисциплина: Математика

Тема: Методы решения систем тригонометрических уравнений

Цель занятия: изучить методы решения систем тригонометрических уравнений

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Методы решения систем тригонометрических уравнений

2. Примеры

Сведение систем к виду

Пример 1.

Решение:

Воспользуемся преобразованиями, сохраняющими равносильность систем:

Сложив уравнения (1) и (2) и вычтя их, получаем систему, равносильную данной

(2)

Ответ: ((; , ,

Пример 2.

Решение:

Если сложить и вычесть уравнения системы, то получится система, эквивалентная исходной. Итак,

, ,

Ответ: , ,

Пример 3.

Решение:

Мы знаем, что . Значит наша система принимает вид Решив систему, получим

Ответ: , n, k

Пример 4. . (1)

Решение:

Перенося в каждом из уравнений системы все члены в левую часть и пользуясь формулами преобразования разности синусов в произведение получили, что (2)

Следовательно, наша система распадается на четыре:

(3)

(4)

(5)

(6)

Ясно, что система (3) равносильна следующей:

Откуда , ,

Аналогично дорешиваются системы (4); (5); (6).

Ответ: , ,

, ,

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 35

Дисциплина: Математика

Тема: Понятие предела функции. Односторонние пределы

Цель занятия: изучить понятие предела функции. Односторонние пределы.

В результате проведения занятия обучающийся должен

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Понятие предела функции.

2. Односторонние пределы

Предел функции в точке

Пусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки х_о, кроме, быть может, самой точки х_о.

Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в топке x₀ (или при х® х_о), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, n є N (x_n¹x₀), сходящейся к х_о последовательность соответствующих значений функции ƒ(х_n), n є N, сходится к числу А

В этом случае пишут

или ƒ(х)—>А при х→х_о. Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х_о, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Односторонние пределы

В определении предела функции считается, что х стремится к x₀ любым способом: оставаясь меньшим, чем x₀ (слева от х₀), большим, чем х_о (справа от х_о), или колеблясь около точки x₀.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х_о существенно влияет на значение придела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А₁ называется пределом функции у=ƒ(х) слева в точке х_о, если для любого число ε>0 существует число δ=δ(ε)> 0 такое, что при х є (х₀-δ;x_o), выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>х₀-0 или коротко: ƒ(х_о-0)=А₁ (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначают ƒ(х_о+0)=А.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует , то существуют и оба односторонних предела, причем А=А₁=А₂.

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела ƒ(х₀-0) и ƒ(х₀+0) и они равны, то существует предел и А=ƒ(х₀-0).

Если же А₁¹А₂, то етот придел не существует.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 36

Дисциплина: Математика

Тема: Приращение аргумента, приращение функции. Непрерывность функций. Непрерывность элементарных функций

Цель занятия: изучить приращение аргумента, приращение функции. Непрерывность функций. Непрерывность элементарных функций

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Приращение аргумента, приращение функции.

2. Непрерывность функций.

3. Непрерывность элементарных функций

Непрерывность функции в точке

Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке х_о и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

1) функция ƒ (х) определена в точке x₀ и в ее окрестности;

2) функция ƒ(х) имеет предел при х→х_о;

3) предел функции в точке х_о равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1).

Так как то равенство (19.1) можно записать в виде

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции ƒ(х) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть β функцию ƒ(х) вместо аргумента х подставить его предельное значение х_о.

Например, . В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции е^x_.

<< Пример 19.1

Вычислить

Решение:

Отметим, что 1n(1+х)~х при х→0.

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция у=ƒ(х) определена в некотором интервале (а;b). Возьмем произвольную точку х_оє(а;b). Для любого хє(а;b) разность х-х_о называется приращением аргумента х в точке х₀ и обозначается ∆х («дельта х»): ∆х=х-x₀. Отсюда х=х₀+∆х.

Разность соответствующих значений функций ƒ(х)-ƒ(х0) называется приращением функции ƒ(х) в точке х₀ и обозначается ∆у (или ∆ƒ или ∆ƒ(х₀)): ∆у=ƒ(х)-ƒ(х₀) или ∆у=ƒ(х₀+∆х)-ƒ(х₀) (см. рис. 119).

Очевидно, приращения ∆х и ∆у могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия х→х₀ и х-х₀→0 одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид или

Полученное равенство (19.3) является еще одним определением непрерывности функции в точке: функция у=ƒ(х) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в точке х₀ и ее окрестности и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое (равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.

<<< Пример 19.2

Исследовать на непрерывность функцию у=sinx.

Решение: Функция у=sinx определена при всех х є R Возьмем произвольную точку х и найдем приращение ∆у:

Тогда

так как произведение ограниченной функции и δ.м.ф. есть δ.м.ф.

Согласно определению (19.3), функция у=sinx непрерывна в точке х.

Аналогично доказывается, что функция у=cos х также непрерывна.

Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция у=ƒ(х) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у=ƒ(х) называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке х=а непрерывна справа (т.е. ), а в точке x=b непрерывна слева (т. е. ).

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 37

Дисциплина: Математика

Тема: Понятие производной функции. Производные некоторых элементарных функций

Цель занятия: изучить понятие производной функции. Производные некоторых элементарных функций

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Понятие производной функции.

2. Производные некоторых элементарных функций

Производной функции у=ƒ(х) β точке х₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению

Производная функции ƒ(х) есть некоторая функция f'(x), произведённая из данной функции.

Функция у=ƒ(х), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции у=ƒ(х) в точке х=х₀ обозначается одним из символов: ƒ'(х₀), у'|_x=xo или у'(х₀).

<< Пример 20.1

Найти производную функции у=С, С=const.

Решение:

- Значению х даем приращение ∆х;

- находим приращение функции ∆у: ∆у=ƒ(х+∆х)-ƒ(х)=С-С= 0;

- значит, ∆(y)/ ∆(x)=0/∆(x)=0;

- следовательно,

<< Пример 20.2

Найти производную функции у=х².

Решение:

- Аргументу х даем приращение ∆х;

- находим ∆у: ∆у=(х+∆х)²—х²=2х•∆х+(∆х)²;

- составляем отношение

- находим предел этого отношения:

Таким образом, (х²)'=2х.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 38

Дисциплина: Математика

Тема: Геометрический, физический и экономический смысл производной

Цель занятия: изучить геометрический, физический и экономический смысл производной

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗИЗ

План занятия:

1. Геометрический смысл производной

2. Физический смысл производной

Скорость прямолинейного движения

Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ=S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S=S(t).

Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.

Если в некоторый момент времени t точка занимает положение М, то в момент времени t+∆t (∆t — приращение времени) точка займет положение M₁, где OM₁=S+∆S (∆S — приращение расстояния) (см. рис. 127). Таким образом, перемещение точки М за время ∆t будет ∆S=S(t+∆t)-S(t).

Отношение ∆S/∆t - выражает среднюю скорость движения точки зв время ∆t:

Средняя скорость зависит от значения ∆t: чем меньше ∆t, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени ∆t называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V, получим

Касательная к кривой

Дадим сначала общее определение касательной к кривой.

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М₁ (см. рис. 128).

Прямую ММ₁, проходящую через эти точки, называют секущей.

Пусть точка М₁, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стремится к некоторому предельному положению МТ.

Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей ММ₁, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М₁ неограниченно приближается по кривой к точке М₁.

Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у=ƒ(х), имеющий в точке М(х; у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент k=tga, где a— угол касательной с осью Ох.

Для этого проведем через точку М и точку М₁ графика с абсциссой х+∆х секущую (см. рис. 129). Обозначим через φ — угол между секущей ММ₁ и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен

При ∆х→0 в силу непрерывности функции приращение ∆у тоже стремится к нулю; поэтому точка М₁ неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ₁, поворачиваясь около точки М, переходите касательную. Угол φ→α, т. е.

Следовательно,

Поэтому угловой коэффициент касательной равен

К нахождению пределов вида (20.1) и (20.2) приводят к решению множества других задач. Можно показать, что:

- если Q=Q(t) — количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t равна

- если N=N(t) — количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t, то скорость химической реакции в момент времени t равна

- если m=m(x) — масса неоднородного стержня между точками О(0;0) и М(х;0), то линейная плотность стержня в точке х есть

Пределы (20.1)-(20.5) имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так:

(читается «V равно S штрих по t», «тангенс α равен у штрих по х» и т. д.).

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 39

Дисциплина: Математика

Тема: Правила дифференцирования

Цель занятия: изучить правила дифференцирования

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Правила дифференцирования

2. Примеры

Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции u=u(х) и ν=ν(х) - две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции.

Теорема 20.2 . Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u±ν)'=u'±ν'.

Обозначим у=u±ν. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 20.3 . Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (u•ν)'=u'ν+v'u.

т. е. (u•ν)'=u'•ν+u•ν'.

При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции u=u(х) и ν=ν(х) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому ∆ν→0 и ∆u→0 при ∆х→0.

Можно показать, что:

а) (с•u)'=с•u', где с = const;

б) (u•ν•w)'=u'v•w+u•v'•w+u•v•w'.

Теорема 20.4. Производная частного двух функций если ν(х)≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

Пусть у=u/v. Тогда

Следствие 20.1.

Следствие 20.2.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 40

Дисциплина: Математика

Тема: Производная сложной функции

Цель занятия: изучить производную сложной функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Производная сложной функции

2. Примеры

Производная сложной и обратной функций

Пусть у=ƒ(и) и u=φ(х), тогда у=ƒ(φ(х)) — сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Теорема 20.5 . Если функция u=φ(х) имеет производную u'_х в точке х, а функция у=ƒ(u) имеет производную у'_u в соответствующей точке u=φ(х), то сложная функция у=ƒ(φ(х)) имеет производную у'_х в точке х, которая находится по формуле у'_х=у'_u-u'_х.

По условию

Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем

∆у=у'_u•∆u+α*∆u, (20.6)

где α→0 при ∆u→0.

Функция u=φ(х) имеет производную в точке х:

этому

∆u=u¢_х •∆х+ß•∆х, где ß→0 при ∆х→0.

Подставив значение ∆u в равенство (20.6), получим

Δy=y¢_u(u'_х•∆х+ß*∆х)+а(u'_х•∆х+ß•∆х),

т.е.

∆у=у'u•u'_х•∆х+у'_u•ß•∆х+u'_х•а•∆х+α•ß•∆х.

Разделив полученное равенство на ∆х и перейдя к пределу при ∆х→О, получим у'_х=у'_u*u'_х.

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножыть на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у=ƒ(u), u=φ(ν), ν=g(х), то у'_х=у'_u•u'_ν•ν'_х. Пусть у=ƒ(х) и х=φ(у) — взаимно обратные функции.

Теорема 20.6 . Если функция у=ƒ(х) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную ƒ'(х) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х=φ(у) также имеет производную φ'(у) в соответствующей точке, определяемую равенством

Рассмотрим обратную функцию х=φ(у). Дадим аргументу у приращение ∆у¹ 0. Ему соответствует приращение ∆х обратной функции, причем ∆х¹ 0 в силу строгой монотонности функции у=ƒ(х). Поэтому можно записать

Если ∆у→0, то в силу непрерывности обратной функции приращение ∆х→0. И так как

то из (20.7) следуют равенства

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Правило дифференцирования обратной функции записывают так:

<< Пример 20.3

Найти производную функции у=log₂³tg x⁴.

Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: у=u³, где u=Iog₂z, где z=tgq, где q=х⁴. По правилу дифференцирования сложной функции (у'_х=y'_u•u'_z•z'_q•q'_x) получаем:

<< Пример 20.4

Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную у'_х для функции

Решение: Обратная функция х=у³+1 имеет производную х'_y =3у².

Следовательно,

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 41

Дисциплина: Математика

Тема: Производная показательной и логарифмической функции

Цель занятия: производная показательной и логарифмической функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Производная показательной функции

2. Производная логарифмической функции

Показательная функция у=а^х, а>0, а≠1

Найдем сначала производную функции у=е^х. Придав аргументу х приращение ∆х, находим приращение функции ∆у: ∆у=е^х+∆х-е^х =е^х(е^∆х-1). Стало быть,

При вычислении предела воспользовались эквивалентностью е^х-l~x при х→0.

Итак, у'=е^х, т.е. (e^x)'=e^x

Теперь рассмотрим функцию у=а^х, х є R. Так как а^х=e^xlna, то по формуле производной сложной функции находим:

(а^x)'=(е^хlnа)'=e^xlna•(х•lna)'=е^хlnа•lna=a^x•lnа.

Таким образом, (a^х)'=a^хInа.

<< Пример 20.5

Найти производную функции у=7^х2-4х.

Решение: Используя формулу производной сложной функции и формулу производной показательной функции, находим

y'=(7^x2-4x)'=7^x2-4xln7(x²-4x)'=7^x2-4xln7(2x-4).

Логарифмическая функция у=logax, a>0, α≠1

Найдем сначала производную функции у=lnх. Для нее

Переходя к пределу при ∆х→0 и воспользовавшись эквивалентностью

получаем:

т. е.

Теперь рассмотрим функцию y=log_ax.

Так как

То

Таким образом,

<< Пример 20.6

Найти производную функции у=ln(х⁴-2х²+6).

Решение:
Производную логарифмической функции у=Iog_ax можно найти иначе. Так как обратной для нее функцией является х=а^у, то по формуле производной обратной функции имеем:

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 42

Дисциплина: Математика

Тема: Производная тригонометрической функции

Цель занятия: производная тригонометрической функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Производная тригонометрической функции

2. Примеры

Тригонометрические функции у=sinx, у=cosx, у=tgx, у=ctgx

Для функции у=sinx имеем:

Переходя к пределу при ∆х→0 и воспользовавшись первым замечательным пределом
получаем

т. е. у'=cosx или (sinx)'=cosx.

Найдем производную функции у=cos x, воспользовавшись формулой производной сложной функции:

т. е. (cosх)'=-sinx

Для нахождения производных функций у=tgx и у=ctgx воспользуемся формулой производной частного:

Проделав аналогичные операции, получим формулу

Этот результат можно получить иначе:

<< Пример 20.7

Найти производную функции у=cos2x.

Решение: (cos2x)'=-sin2x•(2х)'=-2sin2x.

Обратные тригонометрические функции у=arcsinx, у=arccosx, y=arctgar, у=arcctgx

Пусть у=arcsinx. Обратная ей функция имеет вид x=siny, ує[-p/2; p /2]. На интервале (-p /2;p/2) верно равенство x'=cosy≠0.

По правилу дифференцирования обратных функций

где перед корнем взят знак плюс, так как cosy>0 при ує(-p /2;p/2).

Итак,

Аналогично получаем, что

Эту формулу можно получить проще: так как arccosх+arcsinх=p/2, т.е. arccosx=p/2-arcsinх, то (arccosx)'=(p /2-arcsinх)=-1/Ö (1-х²)

Найдем производную функции у=arctgx.

Она является обратной к функции х=tgy, где ує(-p/2;p /2).

Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, получаем, что

Итак,

Функции arctgх и arcctgх связаны отношением

arctgx+arcctgх=p /2, т. е. arcctgх=p /2-arctgx.

Дифференцируя это равенство, находим

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 43

Дисциплина: Математика

Тема: Возрастание, убывание и экстремумы функции

Цель занятия: изучить возрастание, убывание и экстремумы функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Возрастание функции

2. Убывание функции

3. Экстремумы функции

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

найти область определения функции;
найти производную функции;
решить неравенства и на области определения;
к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x=0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ:

функция возрастает при , убывает на интервале (0;2].

Достаточные условия экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.

Тогда

если при и при , то - точка максимума;
если при и при , то - точка минимума.

Другими словами:

если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;
если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.

Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

Находим область определения функции.
Находим производную функции на области определения.
Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).
Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).
Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.

Пример.

Найти экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2. Находим производную:

Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5, знаменатель обращается в ноль при x=2. Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6.

, следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.

В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции .

В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции .

Графическая иллюстрация.

Ответ:

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 44

Дисциплина: Математика

Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции

Цель занятия: изучить наибольшее и наименьшее значения функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Наибольшее значение функции

2. Наименьшее значение функции

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке

Если функция определена и непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение функция принимает в точке , то будет локальным максимумом функции , так как в этом случае существует окрестность точки , такая, что .

Однако свое наибольшее значение функция может принимать и на концах отрезка . Поэтому, чтобы найти наибольшее значение непрерывной на отрезке функции , надо найти все максимумы функции на интервале и значения на концах отрезка , то есть и , и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках.

Наименьшим значением непрерывной на отрезке функции будет наименьший минимум среди всех минимумов функции на интервале и значений и .

Пример

Задание. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке .

Решение. Находим производную функции:

Находим точки, в которых производная равна нулю:

Из полученных значений нам надо оставить лишь те, которые принадлежат заданному промежутку . Оба значения лежат в этом промежутке.

Находим значения функции в полученных стационарных точках из промежутка и на концах промежутка:

Таким образом,

Ответ.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 45

Дисциплина: Математика

Тема: Понятие первообразной. Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл

Цель занятия: изучить понятие первообразной. Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Понятие первообразной.

2. Основное свойство первообразной.

3. Неопределенный интеграл

Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство . Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается .

Выражение называют подынтегральным выражением, а f(x) – подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.
Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.
, где k – произвольная константа.
Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.
Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;
второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 46

Дисциплина: Математика

Тема: Правила нахождения первообразных. Таблица первообразных

Цель занятия: изучить правила нахождения первообразных. Таблица первообразных

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Правила нахождения первообразных.

2. Таблица первообразных

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 47

Дисциплина: Математика

Тема: Определённый интеграл, его геометрический смысл

Цель занятия: изучить определённый интеграл, его геометрический смысл

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Определённый интеграл

2. Геометрический смысл

Определенным интегралом от a до b непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале [a;b] , называется приращение первообразной F(x) для этой функции, то есть

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Площать S криволинейной трапеции (фируры, ограниченной графиком непрерывной положительной на интервале [a;b] функции y=f(x), осью OX и прямыми x = a и x = b вычисляется по формуле

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 48

Дисциплина: Математика

Тема: Свойства определенного интеграла

Цель занятия: изучить свойства определенного интеграла

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Свойства определенного интеграла

2. Примеры

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [a;b]. При выводе свойств будем использовать определение интеграла и формулу Ньютона-Лейбница.

1. Если с — постоянное число и функция ƒ(х) интегрируема на [a;b], то

т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла.

▼Составим интегральную сумму для функции с • ƒ(х). Имеем:

Тогда Отсюда вытекает, что функцияс • ƒ(х) интегрируема на [а; b] и справедлива формула (38.1).▲

2. Если функции ƒ₁(х) и ƒ₂(х) интегрируемы на [а;b], тогда интегрируема на [а; b] их сумма u

т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

▼▲

Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона-Лейбница.

4. Если функция ƒ(х) интегрируема на [а; b] и а < с < b, то

т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности).

При разбиении отрезка [а;b] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка [а; b] на части). Если с = х_m, то интегральную сумму можно разбить на две суммы:

Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно для отрезков [а; b], [а; с] и [с; b]. Переходя к пределу в последнем равенстве при n → ∞ (λ → 0), получим равенство (38.3).

Свойство 4 справедливо при любом расположении точек а, b, с (считаем, что функция ƒ (х) интегрируема на большем из получающихся отрезков).

Так, например, если а < b < с, то

Отсюда

(использованы свойства 4 и 3).

5. «Теорема о среднем». Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то существует тонка с є [а; b] такая, что

▼По формуле Ньютона-Лейбница имеем

где F'(x) = ƒ(х). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим

F(b)-F(a) = F'(c)•(b-а) = ƒ(с)•(b-а).▲

Свойство 5 («теорема о среднем») при ƒ (х) ≥ 0 имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором с є (а; b), площади прямоугольника с высотой ƒ (с) и основанием b- а (см. рис. 170). Число

называется средним значением функции ƒ(х) на отрезке [а; b].

6. Если функция ƒ (х) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а < b, то интегралимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], то

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 49

Дисциплина: Математика

Тема: Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

Цель занятия: изучить элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

В результате проведения занятия обучающийся должен

уметь: решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Элементы комбинаторики.

2. Перестановки, размещения, сочетания

Вариант упорядочивания данного множества называется перестановкой (permutation).

Например, есть множество, состоящее из 3 элементов - А, В, и С. Пример перестановки - СВА. Число всех перестановок из n элементов

Пример: Для случая А, В, С число всех перестановок 3! = 6. Перестановки: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА

Если из множества n элементов выбирают m в определенном порядке, это называется размещением (arrangement).

Пример размещения из 3 по 2: АВ или ВА - это два разных размещения. Число всех размещений из n по m

Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 равно 3!/1! = 6. Размещения: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ

Также бывают размещения с повторениями, как ясно из названия, элементы на определенных позициях могут повторяться.

Число всех размещений из n по m с повторениями

Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 с повторениями равно 3*3 = 9. Размещения: AA, АВ, АС, ВА, BB, ВС, СА, СВ, CC
Если из множества n элементов выбирают m, и порядок не имеет значения, это называется сочетанием (combination).

Пример сочетания из 3 по 2: АВ. Число всех размещений из n по m

Пример: Для случая А, В, С число всех сочетаний из 3 по 2 равно 3!/(2!*1!) = 3. Сочетания: АВ, АС, СВ

Приведем до кучи формулу соотношения между перестановками, размещениями и сочетаниями
обратите внимание, что внизу

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 50

Дисциплина: Математика

Тема: Основные понятия математической статистики. Числовые характеристики рядов данных

Цель занятия: изучить основные понятия математической статистики. Числовые характеристики рядов данных

В результате проведения занятия обучающийся должен

уметь: решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул; вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Основные понятия математической статистики.

2. Числовые характеристики рядов данных

Определение. Генеральная совокупность – это совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений определенной случайной величины.

Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной в зависимости от того, конечна или бесконечна совокупность составляющих ее объектов.

Не следует смешивать понятие генеральной совокупности с реально существующими совокупностями. Например, на склад поступила продукция некоторого цеха за месяц, что является реально существующей совокупностью, которую нельзя назвать генеральной, поскольку выпуск продукции можно мысленно продолжить сколь угодно долго.

Определение. Выборкой (выборочной совокупностью) называется совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности.

Выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть ее объекты должны достаточно хорошо отражать свойства генеральной совокупности.

Выборка может быть повторной, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность, и бесповторной, при которой отобранный объект не возвращается в генеральную совокупность.

Применяют различные способы получения выборки.

1) Простой отбор – случайное извлечение объектов из генеральной совокупности с возвратом или без возврата.

2) Типический отбор, когда объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из ее «типической» части.

3) Серийный отбор – объекты отбираются из генеральной совокупности не по одному, а сериями.

4) Механический отбор - генеральная совокупность «механически» делится на столько частей, сколько объектов должно войти в выборку и из каждой части выбирается один объект.

Число объектов генеральной совокупности и число объектов выборки называют объемами генеральной и выборочной совокупностей соответственно. При этом предполагают, что (значительно больше).

1.2. Вариационные ряды

Полученные различными способами отбора данные образуют выборку, обычно это множество чисел, расположенных в беспорядке. По такой выборке трудно выявить какую-либо закономерность их изменения (варьирования).

Для обработки данных используют операцию ранжирования, которая заключается в том, что результаты наблюдений над случайной величиной, то есть наблюдаемые значения случайной величины располагают в порядке возрастания.

Пример 1. Дана выборка :

¦ Проведем ранжирование выборки :

После проведения операции ранжирования значения случайной величины объединяют в группы, то есть группируют так, что в каждой отдельной группе значения случайной величины одинаковы. Каждое такое значение называется вариантом. Варианты обозначаются строчными буквами латинского алфавита с индексами, соответствующими порядковому номеру группы .

Изменение значения варианта называется варьированием.

Определение. Последовательность вариантов, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

Число, которое показывает, сколько раз встречаются соответствующие значения вариантов в ряде наблюдений, называется частотой или весом варианта и обозначается , где - номер варианта.

Отношение частоты данного варианта к общей сумме частот называется относительной частотой или частостью (долей) соответствующего варианта и обозначается или , где - число вариантов. Частость является статистической вероятностью появления варианта . Естественно считать частость аналогом вероятности появления значения случайной величины .

Определение. Дискретным статистическим рядом называется ранжированная совокупность вариантов с соответствующими им частотами или частостями .

Дискретный статистический ряд удобно записывать в виде табл.1.

Таблица 1 (для примера 1)

Характеристики дискретного статистического ряда:

1. Размах варьирования .

2. Мода - вариант, имеющий наибольшую частоту

( в примере 1. ).

3. Медиана - значение случайной величины, приходящееся на середину ряда.

Пусть - объем выборки.

Если , то есть ряд имеет четное число членов, то . Если , то есть ряд имеет нечетное число членов, то .

( в примере 1. ).

Если изучаемая случайная величина является непрерывной или число значений ее велико, то составляют интервальный статистический ряд.

Сначала определяют число интервалов , в зависимости от объема выборки, с помощью табл.2.

Таблица 2.

Затем определяют длину частичного интервала :

, где - шаг ; - число интервалов .

Более точно шаг можно рассчитать с помощью формулы Стерджеса:

, число интервалов .

Если шаг окажется дробным, то за длину интервала берут ближайшее целое число или ближайшую простую дробь (обычно берут интервалы одинаковые по длине, но могут быть интервалы и разной длины).

За начало первого интервала рекомендуется брать величину , а конец последнего должен удовлетворять условию . Промежуточные интервалы получают, прибавляя к концу предыдущего интервала шаг.

Просматривая результаты наблюдений, определяют сколько значений случайной величины попало в каждый конкретный интервал. При этом в интервал включают значения, большие или равные нижней границе интервала, и меньшие – верхней границы.

В первую строку таблицы статистического распределения вписывают частичные промежутки .

Во второю строку статистического ряда вписывают количество наблюдений (где ) попавших в каждый интервал; то есть частоты соответствующих интервалов.

Подсчет частот для каждого интервала удобно проводить методом «конвертиков». Этот метод состоит в том, что попадание значения случайной величины в тот или иной интервал, отмечается точкой, а также и черточкой. В результате каждому десятку будет соответствовать фигура, похожая на конверт.

При вычислении интервальных частостей округление результатов следует производить таким образом, чтобы сумма частостей была равна 1.

Иногда интервальный статистический ряд, для простоты исследований, условно заменяют дискретным. В этом случае серединное значение -го интервала принимают за вариант , а соответствующую интервальную частоту - за частоту этого варианта.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 51

Дисциплина: Математика

Тема: Понятие случайного события и случайного эксперимента. Статистическое определение вероятности

Цель занятия: изучить Понятие случайного события и случайного эксперимента. Статистическое определение вероятности

В результате проведения занятия обучающийся должен

уметь: вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Понятие случайного события и случайного эксперимента.

2. Статистическое определение вероятности

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать результат отличает случайное явление от детерминированного.

Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях. Случайность и хаос — не одно и то же. Оказывается, что и в случайных экспериментах наблюдаются некоторые закономерности, например свойство «статистической устойчивости»: если — некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля экспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов , приближаясь к некоторому числу . Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию произойти.

Следует помнить, что мы занимаемся математикой и имеем дело не с реальностью, а лишь с её математической моделью. Мы и будем изучать только математические модели, а приложение их к реальности оставим на долю математической и практической статистики.

Пространство элементарных исходов.

Определение 1. Пространством элементарных исходов («омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой («омега»).

Определение 2. Событиями мы будем называть подмножества множества . Говорят, что в результате эксперимента произошло событие , если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество .

Замечание 2. Вообще говоря, можно назвать событиями не обязательно любые подмножества множества , а лишь элементы некоторого набора подмножеств. О смысле такого ограничения мы поговорим позднее.

Пример 1. Один раз подбрасывается кубик — игральная кость. Рассмотрим пространство элементарных исходов , элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.

Примеры событий: — выпало одно или два очка; — выпало нечётное число очков.

Пример 2. Два раза подбрасывается игральная кость. Или, что то же самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Будем считать пространством элементарных исходов множество пар чисел , где (сответственно, ) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании: .

Примеры событий:

— при первом подбрасывании выпало одно очко;

— при втором подбрасывании выпало одно очко;

— на костях выпало одинаковое число очков;

— на обеих костях выпало нечётное число очков.

Пример 3. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать координату центра монеты. Пространство элементарных исходов — множество точек стола. Если нам не безразличен угол поворота монеты, то можно добавить к множеству положений центра величину этого угла. В этом случае есть множество пар , где — точка стола и — угол поворота. Число элементарных исходов такого эксперимента несчётно.

Пример 4. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, но счётного числа исходов: , где р означает выпадение решки, а г — герба при одном подбрасывании.

Определение 3.

1. Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, т.е. единственное событие, включающее все элементарные исходы — событие .

2. Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, т.е. событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» ). Заметим, что всегда .

Операции над событиями

В теории вероятностей существуют ровно те же операции над множествами, что и в теории множеств.

Определение 4.

1. Объединением событий и называется событие, состоящее в том, что произошло либо , либо , либо оба события одновременно. На языке теории множеств есть множество, содержащее как элементарные исходы из множества , так и элементарные исходы из множества .

2. Пересечением событий и называется событие, состоящее в том, что произошли оба события и одновременно. На языке теории множеств есть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в пересечение множеств и .

3. Противоположным (или дополнительным) к событию называется событие , состоящее в том, что событие в результате эксперимента не произошло. Т.е. множество состоит из элементарных исходов, не входящих в .

4. Дополнением события до называется событие, состоящее в том, что произошло событие , но не произошло . Т.е. множество содержит элементарные исходы, входящие в множество , но не входящие в .

Определение 5.

1. События и называют несовместными, если .

2. События называют попарно несовместными, если для любых , где , события и несовместны.

3. Говорят, что событие влечёт событие , и пишут , если всегда, как только происходит событие , происходит и событие . На языке теории множеств это означает, что любой элементарный исход, входящий в множество , одновременно входит и в множество , т.е. содержится в .

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 52

Дисциплина: Математика

Тема: Классическое определение вероятности. Сумма вероятностей

Цель занятия: изучить классическое определение вероятности. Сумма вероятностей

В результате проведения занятия обучающийся должен

уметь: вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Классическое определение вероятности.

2. Сумма вероятностей

Классическое определение вероятности случайного события

Под вероятностью случайного события понимают меру возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания). При классическом определении за вероятность события А принимается отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов к общему числу возможных исходов [3]:

Поскольку в общем случае , то из этого определения следует, что вероятность произвольного случайного события принимает значения из отрезка [0, 1].

Основные свойства вероятности случайного события

1. Вероятность невозможного события равна 0. Действительно, поскольку число благоприятных невозможному событию исходов равно 0, то получим

2. Вероятность достоверного события равна 1. Действительно, поскольку каждое событие пространства элементарных исходов удовлетворяет достоверному событию, то получим

3. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

4. Вероятность противоположного события можно вычислить исходя из предыдущего утверждения:

5. Теорема умножения. Вероятность произведения двух событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого [3]:

Если события и независимы, то

6. Теорема сложения. Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Если события и несовместны, т. е. не могут произойти одновременно, то

Если задача заключается в том, чтобы найти вероятность хотя бы одного события (А) из группы независимых событий , составляющих полную группу, то эта задача проще решается через противоположное событие (не появилось ни одного события из данной группы):

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 53

Дисциплина: Математика

Тема: Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом стереометрии

Цель занятия: изучить предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом стереометрии

В результате проведения занятия обучающийся должен

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Предмет стереометрии.

2. Аксиомы стереометрии.

3. Следствия из аксиом стереометрии

Основными фигурами стереометрии являются точка, прямая, плоскость. Примеры стереометрических фигур: шар, сфера, конус, цилиндр, параллелепипед и т.д.

Обозначение основных фигур стереометрии

Рис. 1.

А, В, С, D – точки. Точки обозначаются прописными латинскими буквами.

АВ = , CD = b – прямые. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами.

– плоскости. Плоскости обозначаются греческими буквами. (Рис. 1).

Рассмотрим прямую . На ней лежат точки А и В. Прямая может быть также обозначена как АВ.

Рассмотрим прямую b, на ней лежат точки С и D. Прямая b может быть также обозначена как СD.

Специфика всей стереометрии заключается в том, что пространственные фигуры мы будем изображать на плоскости.

Так же, как и в планиметрии, важен знак принадлежности, . Например, точка А принадлежит прямой : .

Рассмотрим плоскость (Рис. 1). Точка М принадлежит плоскости : . А вот прямая не принадлежит плоскости : .

Первая аксиома стереометрии

Аксиомы стереометрии.

Аксиома 1 (А1)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Пояснение к аксиоме А1.

Рис. 2.

Рассмотрим три точки: А, В, С, причем точка С не принадлежит прямой АВ: (Рис. 2). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость , и притом только одна.

Плоскость можно также обозначить через три точки АВС.

Вторая аксиома стереометрии

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

По-иному говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую.

Пояснение к аксиоме А2.

Рассмотрим плоскость , точки А, В прямой принадлежат плоскости (Рис. 3).

Рис. 3.

Аксиома утверждает – все точки прямой (прямой АВ) принадлежат плоскости , т.е. вся прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую . Смысл заключается в следующем: из того, что только две точки принадлежат плоскости, вытекает, что бесчисленное множество точек прямой лежат в этой плоскости.

Эту аксиому можно записать следующим образом:

Следствие: Может ли быть только три общие точки у прямой и плоскости? Нет, не может быть. Может быть две точки, и тогда вся прямая лежит в плоскости.

Если у прямой и плоскости одна общая точка М, то тогда говорят, что прямая и плоскость пересекаются в точке М (Рис. 4). Этот факт записывается следующим образом: .

Рис. 4.

Третья аксиома стереометрии

Аксиома 3 (А3)

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят, что плоскости пересекаются по прямой.

Пояснение к аксиоме А3.

Имеем разные плоскости: плоскость , плоскость . Известно, что они имеют общую точку М, точка М принадлежит плоскости и плоскости . (Рис. 5)

Рис. 5.

Отсюда вытекает, что существует прямая , которая проходит через точку М, которая одновременно принадлежит и плоскости a, и плоскости b. Вот в этом случае и говорят, что плоскости и пересекаются по прямой .

Смысл аксиом разъясняется в многочисленных вопросах и задачах. Вот некоторые из них.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 54

Дисциплина: Математика

Тема: Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых. Параллельность прямой и плоскости

Цель занятия: изучить параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых. Параллельность прямой и плоскости

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Параллельные прямые в пространстве.

2. Параллельность трех прямых.

3. Параллельность прямой и плоскости

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).

Обозначение параллельных прямых: a || b.

Рис. 1.

Теорема 1 и ее доказательство

Теорема 1.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Дано: прямая а, (Рис. 2.)

Доказать: существует единственная прямая b || a,

Рис. 2.

Доказательство:

Через прямую а и точку , не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость α (Рис. 3.). В плоскости α можно провести единственную прямую b, параллельную а, проходящую через точку M (из аксиомы планиметрии о параллельных прямых). Существование такой прямой доказано.

Рис. 3.

Докажем единственность такой прямой. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку M и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда плоскость β проходит через точку M и прямую а. Но через точку M и прямую а проходит единственная плоскость (в силу теоремы 2). Значит, плоскости β и α совпадают. Из аксиомы параллельных прямых, следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельная заданной прямой. Единственность доказана.

Лемма (о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость) и ее доказательство

Лемма Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Дано: а || b,

Доказать:

Рис. 4.

Доказательство: (Рис. 4.)

Существует некоторая плоскость β, в которой лежат параллельные прямые а и b. Точка М принадлежит и плоскости α, и прямой а, которая лежит в плоскости β. Значит, М – общая точка плоскостей α и β. А по третьей аксиоме, существует прямая MN, по которой пересекаются эти две плоскости.

Прямая MN пересекается с прямой b.(так как в противном случае, получается, что прямые MN и b параллельные, то есть a = MN, что невозможно, так как прямая а пересекается с плоскостью α в точке М по условию). То есть точка N – это точка пересечения прямой b и плоскости α..

Докажем, что N - это единственная общая точка прямой b и плоскости α. Допустим, что есть другая точка, но тогда прямая bпринадлежит плоскости α (по второй аксиоме). То есть MN = b, что невозможно, так как прямые а и b параллельны, а прямая а должна пересекаться с прямой MN. Лемма доказана.

Теорема 2 и ее доказательство

Теорема 2.

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Дано:

Доказать: .

Рис. 5.

Доказательство: (Рис. 5.)

Выберем произвольную точку К на прямой b. Тогда существует единственная плоскость α, проходящая через точку К и прямую а. Докажем, что прямая b лежит в плоскости α.

Предположим противное. Пусть прямая b не лежит в плоскости α. Тогда прямая b пересекает плоскость α в точке К. Так как прямые b и с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость α. Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость α, но это невозможно, так как прямая а лежит в плоскости α. Получили противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая b лежит в плоскости α.

Докажем, что прямые а и b не пересекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и b пересекаются в некоторой точке М. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы 1. Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются.

Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и b параллельны (по определению), что и требовалось доказать.

Три случая взаимного расположения прямой и плоскости

1. Прямая лежит в плоскости (рис. 1).

Рис. 1

2. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то есть пересекаются (рис. 2).

Рис. 2

3. Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки (рис. 3).

Рис. 3

Определение параллельности прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность прямой а и плоскости α обозначается так: (рис. 4)

Рис. 4

Оказывается, что если в плоскости α имеется прямая b, параллельная прямой а, не лежащей в плоскости α, то прямая а и плоскость α параллельны (рис. 7). Другими словами, наличие в плоскости α прямой b, параллельной прямой а, является признаком, по которому можно сделать вывод о параллельности прямой а и плоскости α. Сформулируем это утверждение в виде теоремы.

Рис. 7

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости) и ее доказательство

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство:

Рассмотрим плоскость α и две параллельные прямые а и b, прямая b лежит в плоскости α, а прямая а не лежит в этой плоскости (рис. 7). Докажем, что прямая а параллельна плоскости α.

Рис. 8

Предположим, это не так, то есть что прямая а пересекается с плоскостью α (рис. 8). Значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми (лемма приведена ниже), прямая b тоже пересекается с плоскостью α. Но это невозможно, так как прямая b по условию лежит в плоскости α. Итак, прямая а не пересекает плоскость α, поэтому она параллельна плоскости. Теорема доказана.

Лемма: если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Докажем еще два утверждения, которые часто используются при решении задач.

Утверждение 1 и его доказательство

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Рис. 9

Доказательство:

Итак, пусть через прямую а, параллельную плоскости α, проходит плоскость , пересекающая плоскость α по прямой b (рис. 9). Докажем, что прямые а и b параллельны.

Действительно, прямые а, b лежат в одной плоскости и не пересекаются, ведь в противном случае прямая а пересекала бы плоскость α, что невозможно, так как по условию прямая а параллельна плоскости α. Значит прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

Утверждение 2 и его доказательство

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Рис. 10

Рис. 11

Доказательство:

Пусть а и b – параллельные прямые, причем прямая а параллельна плоскости α. Следовательно, прямая а не пересекает плоскость α. Тогда, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая b тоже не пересекает плоскость α. А это значит, что прямая b либо параллельна плоскости α (рис. 10), либо лежит в ней (рис. 11), что и требовалось доказать.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 55

Дисциплина: Математика

Тема: Скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой.

Цель занятия: изучить скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой.

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Скрещивающиеся прямые.

2. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых) и ее доказательство

Теорема (признак скрещивающихся прямых)

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доказательство

Пусть нам дана плоскость α. Прямая АВ лежит в плоскости α, а прямая DC пересекается с плоскостью α в точке С, которая не лежит на прямой АВ (Рис. 1.). Докажем, что прямые АВ и DC являются скрещивающимися.

Рис. 1.

Используем метод от противного. Предположим, что существует плоскость β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC. Тогда в плоскости β лежит прямая АВ и точка С. Через прямую и точку, не лежащую на ней проходит единственная плоскость - α. Значит, такой плоскости β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC, не существует. То есть, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. Теорема доказана.

Возможные случаи расположения прямых

Три случая расположения прямых

1) Прямые a и b пересекаются в некоторой точке С: (Рис. 2.). Как мы знаем, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

Рис. 2.

2) Прямые a и b параллельны: a || b (Рис. 3.). Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Рис. 3.

Заметим, что и в первом, и во втором случае прямые лежали в одной плоскости.

3) Прямые a и b скрещиваются (Рис. 4.). То есть прямые a и b не лежат в одной плоскости.

Рис. 4.

Пример скрещивающихся прямых в треугольной пирамиде

Пример

Дана треугольная пирамида ABCD, АВС – плоскость основания, точка D не лежит в плоскости АВС (Рис. 5.). Почему прямые АВ и DC скрещивающиеся?

Рис. 5.

Прямая DC пересекает плоскость АВС в точке С, не лежащей на прямой АВ, а прямая АВ лежит в плоскости АВС. Значит, по признаку, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. То есть противоположные ребра треугольной пирамиды лежат на скрещивающихся прямых.

Теорема 2 и ее доказательство

Теорема 2.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство.

Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Докажем, что через прямую АВ проходит плоскость, параллельная прямой CD, и притом только одна.

Рис. 6.

Проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой DC (Рис. 6.). По теореме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственная. Тогда через две пересекающиеся прямые АВ и АЕ можно провести единственную плоскость α. Так как прямая DC, которая не лежит в плоскости α, параллельна прямой АЕ, лежащей в плоскости α, значит, что прямая DC параллельна плоскости α, по признаку параллельности прямой и плоскости. Существование доказано.

Докажем единственность такой плоскости. Пусть существует другая плоскость β, которая проходит через прямую АВ и параллельна прямой DC. Тогда прямая АЕ пересекает плоскость β, а значит и параллельная ей прямая DC пересекает плоскость β, по лемме. То есть, прямая DC не параллельна плоскости β. Получили противоречие. Следовательно, плоскость α – единственная. Теорема доказана.

Задача 1

Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки M, N, P – середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN (Рис. 7.). Выясните взаимное расположение прямых.

Рис. 7.

1) ND и AB.

Прямая ND - это другое обозначение прямой ВD. Прямая ВD и прямая АВ лежат в плоскости АВD и пересекаются.

2) PK и ВС.

Прямые PK и ВС лежат в одной плоскости. Значит, они либо параллельные, либо пересекаются. Проведем среднюю линию NP (N, P – середины отрезков DB и DC соответственно). По свойству средней линии, прямая NP параллельна прямой ВС. Через точку Р можно провести только одну прямую, параллельную прямой ВС, и это прямая NP. Значит, любая другая прямая, проходящая через точку Р, не параллельна прямой ВС. Значит, PK и ВС пересекаются.

3) MN и AB.

В треугольнике ABD точки M и N – середины сторон АD и ВD. Значит, МN – средняя линия. По свойству средней линии, МN параллельна АВ.

4) МР и АС.

В треугольнике ADС точки M и Р – середины сторон АD и СD. Значит, МР – средняя линия. По свойству средней линии, МР параллельна АС.

5) КN и АС.

Прямая КN и прямая ВD – это одна и та же прямая. Прямая АС лежит в плоскости АВС, прямая ВD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой АС. Значит, по признаку, прямые ВD и АС – скрещивающиеся. То есть, прямые КN и АС- скрещивающиеся.

6) МD и ВС.

Прямая МD и прямая АD – это одна и та же прямая. Прямая ВС лежит в плоскости АВС, прямая АD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой ВС. Значит, по признаку, прямые АD и ВС – скрещивающиеся. То есть, прямые МD и ВС – скрещивающиеся.

Задача 2

Докажите, что если АВ и СD скрещиваются, то АD и ВС тоже скрещиваются.

Доказательство

Предположим, что прямые АD и ВС не скрещивающиеся, то есть лежат в одной плоскости. Значит, все точки А, В, С, D лежат в этой плоскости, значит прямые АВ и СD тоже лежат в этой плоскости. Но прямые АВ и СD скрещивающиеся по условию. Получили противоречие. Значит, прямые АD и ВС – скрещивающиеся.

Угол между пересекающимися прямыми

1) Пересекающиеся прямые.

Если прямые пересекающиеся, то мы имеем четыре разных угла. Углом между прямыми, называется наименьший из углов. Угол между пересекающимися прямыми а и b обозначим α (Рис. 4.). Угол α такой, что .

Рис. 4.

Угол между скрещивающимися прямыми

2) Скрещивающиеся прямые

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Выберем произвольную точку О. Через точку О проведем прямую а₁, параллельную прямой а, и прямую b₁, параллельную прямой b (Рис. 5.). Прямые а₁ и b₁ пересекаются в точке О. Угол между пересекающимися прямыми а₁ и b₁ , угол φ, и называется углом между скрещивающимися прямыми.

Рис. 5.

Зависит ли величина угла от выбранной точки О? Выберем точку О₁. Через точку О₁ проведем прямую а₂, параллельную прямой а, и прямую b₂, параллельную прямой b (Рис. 6.). Угол между пересекающимися прямыми а₂ и b₂ обозначим φ₁. Тогда углы φ и φ₁ - углы с сонаправленными сторонами. Как мы доказали, такие углы равны между собой. Значит, величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки О.

Рис. 6.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 56

Дисциплина: Математика

Тема: Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

Цель занятия: изучить скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой. Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Углы с сонаправленными сторонами.

2. Угол между прямыми

Определение сонаправленных лучей

Любая прямая, например ОО₁ (Рис. 1.), рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О₁А₁ параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О₂А₂ и ОА не являются сонаправленными (Рис. 1.). Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости.

Рис. 1.

Теорема о равенстве углов с сонаправленными сторонами

Если стороны двух углов сонаправленны, то такие углы равны.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные лучи ОА и О₁А₁ и параллельные лучи ОВ и О₁В₁ (Рис. 2.). То есть, мы имеем два угла АОВ и А₁О₁В₁, чьи стороны лежат на сонаправленных лучах. Докажем, что эти углы равны.

Рис. 2.

На стороне луча ОА и О₁А₁ выберем точки А и А₁ так, чтобы отрезки ОА и О₁А₁ были равны. Аналогично, точки В и В₁ выберем так, чтобы отрезки ОВ и О₁В₁были равны.

Рассмотрим четырехугольник А₁О₁ОА (Рис. 3.). В этом четырехугольники стороны ОА и О₁А₁ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник А₁О₁ОА является параллелограммом. Так как А₁О₁ОА – параллелограмм, то стороны ОО₁ и АА₁ параллельны и равны.

Рассмотрим четырехугольник В₁О₁ОВ. В этом четырехугольники стороны ОВ и О₁В₁ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В₁О₁ОВ является параллелограммом. Так как В₁О₁ОВ – параллелограмм, то стороны ОО₁ и ВВ₁ параллельны и равны.

Рис. 3.

И прямая АА₁ параллельна прямой ОО₁, и прямая ВВ₁ параллельна прямой ОО₁, значит прямые АА₁ и ВВ₁ параллельны.

Рассмотрим четырехугольник В₁А₁АВ. В этом четырехугольники стороны АА₁ и ВВ₁ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник В₁А₁АВ является параллелограммом. Так как В₁А₁АВ – параллелограмм, то стороны АВ и А₁В₁ параллельны и равны.

Рассмотрим треугольники АОВ и А₁О₁В₁. Стороны ОА и О₁А₁равны по построению. Стороны ОВ и О₁В₁также равны по построению. А как мы доказали, и стороны АВ и А₁В₁ тоже равны. Значит, треугольники АОВ и А₁О₁В₁равны по трем сторонам. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Значит, углы АОВ и А₁О₁В₁равны, что и требовалось доказать.

Угол между пересекающимися прямыми

1) Пересекающиеся прямые.

Рис. 4.

Угол между скрещивающимися прямыми

2) Скрещивающиеся прямые

Рис. 5.

Рис. 6.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 57

Дисциплина: Математика

Тема: Параллельные плоскости

Цель занятия: изучить параллельные плоскости

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Параллельные плоскости

2. Примеры

Определения параллельных плоскостей

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Обозначение: .

Иллюстрация параллельных плоскостей (Рис. 1.)

Рис. 1.

Аксиома А3

Существуют ли параллельные плоскости?

Вспомним аксиому А3.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (Рис. 2.).

Рис. 2.

То есть, еще остается случай, если две плоскости не имеют общей точки. Такие плоскости называются параллельными.

Теорема (Признак параллельности двух плоскостей) и доказательство

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Доказательство

Проведем в плоскости две пересекающиеся прямые а и b в точке М, а в плоскости пересекающиеся прямые а₁ и b₁, причем прямая а₁ параллельна прямой а, а прямая b₁ параллельна прямой b (Рис. 3.). Докажем, что плоскости и параллельны.

Рис. 3.

Прямая а принадлежит плоскости , прямая а₁ принадлежит плоскости , а прямая а параллельна прямой а₁. Значит, прямая а параллельна плоскости , по признаку параллельности прямой и плоскости. Аналогично, прямая b параллельна прямой b₁ из плоскости . Значит, прямая b параллельна плоскости .

Предположим, что плоскости и не являются параллельными, то есть они пересекаются по некоторой прямой, назовем ее с (Рис. 4.).

Рис. 4.

Плоскость проходит через прямую а, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая а параллельна прямой с. Аналогично, плоскость проходит через прямую b, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая b параллельна прямой с. Получаем, что через одну точку М проходит две прямые, параллельные прямой с, что невозможно. Получили противоречие. Значит, предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным. Значит, плоскости не пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.

Задача 1

Плоскости и параллельны, прямая m лежит в плоскости .

Докажите, что прямая m параллельна плоскости .

Доказательство

Предположим, что прямая mпересекается с плоскостью в некоторой точке М (Рис. 5.). Тогда точка М принадлежит и плоскости , и плоскости (так как точка М лежит на прямой m, а прямаяmпринадлежит плоскости). Но это невозможно, так как плоскости и по условию параллельны. Значит, прямая mпараллельна плоскости .

Рис. 5.

Задача 2

Докажите, что плоскости и параллельны, если прямые m и nплоскости параллельны плоскости .

Доказательство

Предположим, что плоскости и пересекаются по прямой с (Рис. 6.). Плоскость проходит через прямую m, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Значит, прямая m параллельна прямой с. Аналогично, плоскость проходит через прямую n, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая n параллельна прямой с. Получаем, что через одну точку М проходит две прямые m и n, параллельные прямой с, что невозможно. Получили противоречие. Значит, предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным. Значит, плоскости и не пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.

Рис. 6.

Задача 3

Две стороны треугольника параллельны плоскости . Докажите, что и третья сторона параллельна плоскости .

Доказательство

Дан треугольник АВС и плоскость. Стороны АВ и АС параллельны плоскости (Рис. 7.). Докажем, что и сторона ВС параллельна плоскости .

Через две пересекающиеся прямые АС и АВ проходит плоскость и притом только одна. Плоскость параллельна плоскости , так как прямые АС и АВ параллельны плоскости (из задачи 2). Но прямая ВС лежит в плоскости , а значит ВС параллельна плоскости (из задачи 1).

Рис. 7.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 58

Дисциплина: Математика

Тема: Свойства параллельных плоскостей

Цель занятия: изучить свойства параллельных плоскостей

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Свойства параллельных плоскостей

2. Примеры

Свойство 1

Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и плоскость , которая пересекает плоскости и по прямым а и b соответственно (Рис. 1.).

Рис. 1.

Прямые а и b лежат в одной плоскости, а именно в плоскости γ. Докажем, что прямые а и b не пересекаются.

Если бы прямые а и b пересекались, то есть имели бы общую точку, то эта общая точка принадлежала бы двум плоскостям и , и , что невозможно, так как они параллельны по условию.

Итак, прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

Свойство 2

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Рис. 2.

Доказательство

Пусть даны параллельные плоскости и и параллельные прямые АВ и СD, которые пересекают эти плоскости (Рис. 2.). Докажем, что отрезки АВ и СD равны.

Две параллельные прямые АВ и СD образуют единственную плоскость γ, γ = АВDС. Плоскость γ пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым (по первому свойству). Значит, прямые АС и ВD параллельны.

Прямые АВ и СD также параллельны (по условию). Значит, четырехугольник АВDС – параллелограмм, так как его противоположные стороны попарно параллельны.

Из свойств параллелограмма следует, что отрезки АВ и СD равны, что и требовалось доказать.

Свойство 3

Параллельные плоскости рассекают стороны угла на пропорциональные части.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные плоскости и, которые рассекают стороны угла А (Рис. 3.). Нужно доказать, что .

Рис. 3.

Параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла А. Назовем линию пересечения плоскости угла А и плоскости – ВС, а линию пересечения плоскости угла А и плоскости – В₁С₁. По первому свойству, линии пересечения ВС и В₁С₁ параллельны.

Значит, треугольники АВС и АВ₁С₁ подобны. Получаем:

Свойство доказано.

Решение задач

Задача 1.

Параллельные плоскости и пересекают сторону АВ угла ВАС, соответственно, в точках А₁ и А₂, а сторону АС этого угла, соответственно, в точках В₁ и В₂ (Рис. 4.).

Найдите:

а) АА₂ и АВ₂, если А₁А₂=2А₁А=12 см, АВ₁=5 см.

б) А₂В₂ и АА₂, если А₁В₁=18 см. АА₁=24 см, .

Рис. 4.

Решение:

а) Пусть А₁А = k, тогда по условию длина А₁А₂=2k =12 см., следовательно, k =6 см. Тогда отрезок АА₂=3k=3∙6=18, т.е. АА₂=18 см.

Две параллельные плоскости и рассечены плоскостью угла ВАС. Из первого свойства следует, что прямые А₁В₁ и А₂В₂ параллельны. Значит, треугольники АА₂В₂ и АА₁В₁ подобны по двум углам (угол ВАС общий, углы АА₁В₁ и АА₂В₂ равны). Из подобия имеем:

см.

Ответ: АА₂= 18 см, АВ₂ = 15 см.

б) Пусть А₁А₂= k, тогда длина отрезка , по условию. Длина отрезка АА₂ состоит из длин двух отрезков: АА₂=АА₁+ А₁А₂, т.е. получаем уравнение относительно к:

Значит, см.

Из подобия треугольников АА₂В₂ и АА₁В₁ следует, что

см.

Ответ: А₂В₂ = 54 см, АА₂ = 72 см.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 59

Дисциплина: Математика

Тема: Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре

Цель занятия: изучить тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Тетраэдр.

2. Задачи на построение сечений в тетраэдре

Тетраэдр. Задачи на построение сечений в тетраэдре

Тетраэдр и его элементы

Как построить тетраэдр? Возьмем произвольный треугольник АВС. Произвольную точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Получим 4 треугольника. Поверхность, образованная этими 4 треугольниками, и называется тетраэдром (Рис. 1.). Внутренние точки, ограниченные этой поверхностью, также входят в состав тетраэдра.

Рис. 1. Тетраэдр АВСD

Элементы тетраэдра.
А, B, C, D – вершины тетраэдра.
AB, AC, AD, BC, BD, CD - ребра тетраэдра.
ABC, ABD, BDC, ADC - грани тетраэдра.

Замечание: можно принять плоскость АВС за основание тетраэдра, и тогда точка D является вершиной тетраэдра. Каждое ребро тетраэдра является пересечением двух плоскостей. Например, ребро АВ – это пересечение плоскостей АВD и АВС. Каждая вершина тетраэдра – это пересечение трех плоскостей. Вершина А лежит в плоскостях АВС, АВD, АDС. Точка А – это пересечение трех означенных плоскостей. Этот факт записывается следующим образом: А = АВС ∩ АВD ∩ АСD.

Задача 1

Составьте из 6 спичек 4 равных треугольника. На плоскости решить задачу не получается. А в пространстве это сделать легко. Возьмем тетраэдр. 6 спичек – это его ребра, четыре его грани и будут четырьмя равными треугольниками. Задача решена.

Задача 2

Дан тетраэдр АВСD. Точка M принадлежит ребру АВ, точка N принадлежит ребру ВD и точка Р принадлежит ребру DС (Рис. 2.). Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Рис. 2. Рисунок к задаче 2

Решение:
Рассмотрим грань DВС. В этой грани точки N и P принадлежат грани DВС, а значит, и тетраэдру. Но по условию точки N, P принадлежат секущей плоскости. Значит, NP – это линия пересечения двух плоскостей: плоскости грани DВС и секущей плоскости. Предположим, что прямые NP и ВС не параллельны. Они лежат в одной плоскости DВС. Найдем точку пересечения прямых NP и ВС. Обозначим ее Е (Рис. 3.).

Рис. 3. Рисунок к задаче 2. Нахождение точки Е

Точка Е принадлежит плоскости сечения MNP, так как она лежит на прямой NР, а прямая NР целиком лежит в плоскости сечения MNP.

Также точка Е лежит в плоскости АВС, потому что она лежит на прямой ВС из плоскости АВС.

Получаем, что ЕМ – линия пересечения плоскостей АВС и MNP, так как точки Е и М лежат одновременно в двух плоскостях - АВС и MNP. Соединим точки М и Е, и продолжим прямую ЕМ до пересечения с прямой АС. Точку пересечения прямых ЕМ и АС обозначим Q.

Итак, в этом случае NPQМ - искомое сечение.

Рис. 4. Рисунок к задаче 2.Решение задачи 2

Рассмотрим теперь случай, когда NP параллельна BC. Если прямая NP параллельна какой-нибудь прямой, например, прямой ВС из плоскости АВС, то прямая NP параллельна всей плоскости АВС.

Искомая плоскость сечения проходит через прямую NP, параллельную плоскости АВС, и пересекает плоскость по прямой МQ. Значит, линия пересечения МQ параллельна прямой NP. Получаем, NPQМ - искомое сечение.

Задача 3

Точка М лежит на боковой грани АDВ тетраэдра АВСD. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которое проходит через точку М параллельно основанию АВС.

Рис. 5. Рисунок к задаче 3

Решение:
Секущая плоскость φ параллельна плоскости АВС по условию, значит, эта плоскость φ параллельна прямым АВ, АС, ВС.
В плоскости АВD через точку М проведем прямую PQ параллельно АВ (рис. 5). Прямая PQ лежит в плоскости АВD. Аналогично в плоскости АСD через точку Р проведем прямую РR параллельно АС. Получили точку R. Две пересекающиеся прямые PQ и РR плоскости РQR соответственно параллельны двум пересекающимся прямым АВ и АС плоскости АВС, значит, плоскости АВС и РQR параллельны. РQR – искомое сечение. Задача решена.

Задача 4

Дан тетраэдр АВСD. Точка М – точка внутренняя, точка грани АВD. N – внутренняя точка отрезка DС (Рис. 6.). Построить точку пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Рис. 6. Рисунок к задаче 4

Решение:
Для решения построим вспомогательную плоскость DМN. Пусть прямая DМ пересекает прямую АВ в точке К (Рис. 7.). Тогда, СКD – это сечение плоскости DМN и тетраэдра. В плоскости DМN лежит и прямая NM, и полученная прямая СК. Значит, если NM не параллельна СК, то они пересекутся в некоторой точке Р. Точка Р и будет искомая точка пересечения прямой NM и плоскости АВС.

Рис. 7. Рисунок к задаче 4. Решение задачи 4

Задача 5

Дан тетраэдр АВСD. М – внутренняя точка грани АВD. Р – внутренняя точка грани АВС. N – внутренняя точка ребра DС (Рис. 8.). Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М, N и Р.

Рис. 8. Рисунок к задаче 5

Решение:
Рассмотрим первый случай, когда прямая MN не параллельна плоскости АВС. В прошлой задаче мы нашли точку пересечения прямой MN и плоскости АВС. Это точка К, она получена с помощью вспомогательной плоскости DМN, т.е. мы проводим DМ и получаем точку F. Проводим СF и на пересечении MN получаем точку К.

Рис. 9. Рисунок к задаче 5. Нахождение точки К

Проведем прямую КР. Прямая КР лежит и в плоскости сечения, и в плоскости АВС. Получаем точки Р₁ и Р₂. Соединяем Р₁ и М и на продолжении получаем точку М₁. Соединяем точку Р₂ и N. В результате получаем искомое сечение Р₁Р₂NМ₁. Задача в первом случае решена.
Рассмотрим второй случай, когда прямая MN параллельна плоскости АВС. Плоскость МNР проходит через прямую МN параллельную плоскости АВС и пересекает плоскость АВС по некоторой прямой Р₁Р₂, тогда прямая Р₁Р₂параллельна данной прямой MN (Рис. 10.).

Рис. 10. Рисунок к задаче 5. Искомое сечение

Теперь проведем прямую Р₁М и получим точку М₁. Р₁Р₂NМ₁ – искомое сечение.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 60

Дисциплина: Математика

Тема: Параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

Цель занятия: изучить параллелепипед. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Параллелепипед.

2. Свойства граней и диагоналей параллелепипеда

Параллелепипед образован с помощью двух равных параллелограммов АВСD и А₁B₁C₁D₁, которые находятся в параллельных плоскостях. Обозначение: АВСDА₁B₁C₁D₁ или АD₁ (рис. 1.).

Рис. 1.

Свойства параллелепипеда

1) Все грани – параллелограммы.

Так как плоскости АВС и А₁B₁C₁ параллельны, а плоскость АА₁В₁ пересекает их соответственно по прямым АВ и А₁В₁, то из свойств параллельных плоскостей следует, что прямые АВ и А₁B₁ параллельны. А так как и прямые АА₁ и ВВ₁ параллельны по условию, то АВВ₁А₁ параллелограмм. Аналогично, можно рассмотреть и другие грани.

2) Ребра АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁ равны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны. Значит, отрезки параллельных прямых АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, которые заключены между параллельными плоскостями АВС и А₁B₁C₁, равны.

3) Имеются три четверки равных и параллельных ребер: 1 – АВ, А₁В₁, D₁C₁, DC, 2 - AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, 3 - АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁.

4) Имеются равные углы (с сонаправленными сторонами). Например, углы А₁АВ и D₁DC.

Свойство 1

Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Например, плоскости параллелограммов АА₁В₁В и DD₁C₁C параллельны, так как пересекающиеся прямые АВ и АА₁ плоскости АА₁В₁ соответственно параллельны двум пересекающимся прямым DC и DD₁ плоскости DD₁C₁. Параллелограммы АА₁В₁В и DD₁C₁C равны (т. е. их можно совместить наложением), так как равны стороны АВ и DС, АА₁ и DD₁, и равны углы А₁АВ и D₁DC.

Свойство 2

Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Рис. 2.

Рассмотрим диагонали А₁C и D₁B (рис. 2). Они также являются диагоналями четырехугольника A₁D₁CB. В этом четырехугольнике стороны A₁D₁ и BC параллельны и равны, а значит, A₁D₁CB – параллелограмм (по признаку параллелограмма). А в параллелограмме диагонали А₁C и D₁B пересекаются в одной точке О и делятся этой точкой пополам.

Рис. 3.

Рассмотрим теперь четырехугольник АВС₁D₁(рис. 3). В этом четырехугольнике стороны С₁D₁ и АВ параллельны и равны, а значит, АВС₁D₁ – параллелограмм (по признаку параллелограмма). А в параллелограмме диагонали С₁А и D₁В пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Эти диагонали также пересекаются в точке О, так как мы уже выяснили, что середина диагонали D₁В – это точка О. Следовательно, все диагонали параллелепипеда А₁C, С₁А и D₁В, DВ₁ пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Задача 1

В параллелепипеде АВСDА₁B₁C₁D₁ постройте сечение плоскостью AD₁M, где М – середина ребра ВС. Определите вид полученного сечения.

Рис. 4.

Решение: (рис. 4)

Соединим точки А и D₁. Точки А и D₁лежат и в плоскости сечения и в плоскости АА₁D₁. Значит, АD₁– линия пересечения этих плоскостей.

Проведем прямую МN параллельно прямой АD₁. Плоскости АА₁D₁и ВСС₁ параллельны, значит, плоскость АМN рассекает их по параллельным прямым МN и АD₁. Итак, АМND₁– искомое сечение.

Четырехугольник АМND₁- трапеция с основаниями АD₁ и МN, так как АD₁ и МN лежат на параллельных прямых.

Заметим, что средняя линия М₁N₁ в треугольнике АDD₁ равна отрезку МN. Этот факт понадобится нам дальше для решения задач на нахождения периметра.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 61

Дисциплина: Математика

Тема: Перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Цель занятия: изучить перпендикулярные прямые в пространстве. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Перпендикулярные прямые в пространстве.

2.. Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.

3.Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Определения перпендикулярности прямых в пространстве

Определение. Две прямые называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Обозначение. .

Рис. 1.

Рассмотрим прямые а и b. Прямые могут пересекаться, скрещиваться, быть параллельными. Для того, чтобы построить угол между ними нужно выбрать точку и через нее провести прямую , параллельную прямой а, и прямую , параллельную прямойb. Прямые и пересекаются. Угол между ними и есть угол между прямыми а и b. Если угол равен 90°, то прямые а и b перпендикулярны.

Лемма

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Доказательство:

Пусть даны две параллельные прямые а и b, и прямая с,причем . Нужно доказать, что .

Возьмем произвольную точку М. Через точку М проведем прямую , параллельную прямой а и прямую , параллельную прямой c (рис. 2). Тогда угол АМС равен 90°.

Рис. 2.

Прямая b параллельна прямой а по условию, прямая параллельна прямой а по построению. Значит, прямые и b параллельны.

Имеем, прямые и b параллельны, прямые с и параллельны по построению. Значит, угол между прямыми b и с – это угол между прямыми и, то есть угол АМС, равный 90°. Значит, прямые b и с перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Определение перпендикулярности прямой и плоскости

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Обозначение. .

Рис. 3.

Свойство

Если , то . (пересечение а и )

Доказательство:

Напоминание. Прямая и плоскость или пересекаются в одной точке, или параллельны, или прямая лежит в плоскости.

Если прямая а параллельна плоскости (рис. 4), то в плоскости можно провести прямую , параллельную прямой а. Получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая а лежит в плоскости (рис. 5), то в плоскости можно провести прямую , параллельную прямой а. Опять получаем противоречие с определением перпендикулярности прямой и плоскости.

Значит, если прямая а перпендикулярна плоскости , то она пересекается с ней.

Рис. 4. Рис. 5.

Теорема

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перепедикуляная к этой плоскости.

Доказательство.

Пусть прямая а параллельна прямой а₁. Прямая а перепендикулярна плоскости. Докажем, что и прямая а₁ перепендикулярна плоскости.

Прямая а перпендикулярна плоскости . Значит, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Прямая х лежит в плоскости , значит, (см. рис. 6).

Рис 6.

Прямая а перпендикулярна прямой х, а прямая а₁ параллельна прямой а. Значит, прямая а₁ перпендикулярна прямой х по лемме. Прямую х мы выбирали произвольно. Значит, прямая а₁ перпендикулярна любой прямой в плоскости , то есть прямая х перпендикулярна плоскости , что и требовалось доказать.

Обратная теорема

Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Доказательство.

Пусть прямая а перепендикулярна плоскости и прямая b перепендикулярна плоскости. Докажем, что прямая а параллельна прямой b.

Рисунок 7.

Предположим, что прямая b не параллельна прямой а. Через точку М прямой b проведем прямую , параллельно прямой а (рис. 8).

Прямые и а параллельны, прямая а перпендикулярна плоскости . По теореме, прямая также перпендикулярна плоскости .

Прямые b и пересекаются, а значит через них проходит некоторая плоскость. Пусть эта плоскость пересекает плоскость по прямой с. Тогда прямая перпендикулярна прямой с, так как прямая с лежит в плоскости , а прямая ей перпендикулярна.

Но тогда в плоскости, определенной пересекающимися прямыми b и через точку М проходят два перпендикуляра b и к прямой с. Получаем противоречие. Значит, прямая b параллельна прямой а, что и требовалось доказать.

Рис. 8.

Задача 1

Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 9). Докажите, что и , если .

Рис. 9.

Доказательство.

ABCD – прямоугольник, так как в параллелограмме ABCD угол .

Прямая В₁С₁ параллельна прямой ВС, а прямая ВС перпендикулярна прямой DС. Значит, по лемме, прямая DС перпендикулярна В₁С₁.

Прямая АВ перпендикулярна прямой ВС, а ВС параллельна прямой A₁D₁. Значит, по лемме, прямая АВ перпендикулярна A₁D₁. Задача доказана.

Рассмотрим другое доказательство факта, что .

Угол DCB равен углу между прямыми DC и В₁С₁. Угол DCB – прямой. Значит, прямые DС и В₁С₁ перпендикулярны.

Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости. Вспомогательное утверждение

Утверждение

Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.

Рис. 1.

Доказательство (см. рис. 1)

Пусть нам дана прямая а и точка М. Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а.

Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р) к прямой а, . В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а. Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.

Теорема

Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

Рис. 2.

Доказательство.

Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с, перпендикулярная плоскости α.

Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а. Пусть прямая b– линия пересечения плоскостей α и γ.

Рис. 3.

В плоскости γ через точку М проведем прямую с, перпендикулярную прямой b.

Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.

Предположим, что существует прямая с₁, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с₁ перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с₁ параллельны. Но по построению прямые с и с₁ пересекаются в точке М. Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.

Задача 1

Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а, то они параллельны.

Рис. 4.

Доказательство:

Проведем прямую с параллельно прямой а. По лемме, если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая тоже пересекает плоскость. Прямая а пересекает плоскости α и β по условию. Значит прямая с пересекает плоскость α в некоторой точке А и плоскость β в точке В.

Прямая а перпендикулярна плоскостям α и β, а значит и параллельная ей прямая с перпендикулярна плоскостям α и β.

Предположим, что плоскости α и β пересекаются. Точка М – общая точка плоскостей α и β. Но тогда в треугольнике АМВ угол МАВ равен 90° и угол АВМ равен 90°, что невозможно. Значит, предположение о том, что плоскости α и β пересекаются было неверным. Значит, плоскости α и β параллельны.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 62

Дисциплина: Математика

Тема: Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Цель занятия: изучить признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

2. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Доказательство.

Пусть нам дана плоскость α. В этой плоскости лежат две пересекающиеся прямые p и q. Прямая а перпендикулярна прямой p и прямой q. Нам нужно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости α, то есть, что прямая а перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α.

Напоминание.

Для доказательства нам нужно вспомнить свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Серединный перпендикуляр р к отрезку АВ – это геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка. То есть, если точка С лежит на серединном перпендикуляре р, то АС = ВС.

Рис. 1.

Пусть точка О – точка пересечения прямой а и плоскости α (рис. 2). Без ограничения общность, будем считать, что прямые p и q пересекаются в точке О. Нам нужно доказать перпендикулярность прямой а к произвольной прямой m из плоскости α.

Проведем через точку О прямую l, параллельно прямой m. На прямой а отложим отрезки ОА и ОВ, причем ОА = ОВ, то есть точка О – середина отрезка АВ. Проведем прямую PL, .

Рис. 2.

Прямая р перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, р – серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Точка Р лежит на прямой р. Значит, РА = РВ.

Прямая q перпендикулярна прямой а (из условия), (по построению). Значит, q – серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Точка Q лежит на прямой q. Значит, QА = QВ.

Треугольники АРQ и ВРQ равны по трем сторонам (РА = РВ, QА = QВ, РQ – общая сторона). Значит, углы АРQ и ВРQ равны.

Треугольники АPL и BPL равны по углу и двум прилежащим сторонам (∠АРL = ∠ВРL, РА = РВ, PL – общая сторона). Из равенства треугольников получаем, что AL = BL.

Рассмотрим треугольник ABL. Он равнобедренный, так как AL = BL. В равнобедренном треугольнике медиана LО является и высотой, то есть прямая LО перпендикулярна АВ.

Мы получили, что прямая а перпендикулярна прямой l, а значит, и прямой m, что и требовалось доказать.

Задача 1

Точки А, М, О лежат на прямой, перпендикулярной к плоскости α, а точки О, В, С и D лежат в плоскости α (рис. 3). Какие из следующих углов являются прямыми: ?

Рис. 3.

Решение

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна плоскости α, а значит, прямая АО перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости α, в том числе прямой ВО. Значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОС, значит, .

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОD, значит, . Рассмотрим треугольник DAO. В треугольнике может быть только один прямой угол. Значит, угол DAM – не является прямым.

Рассмотрим угол . Прямая АО перпендикулярна прямой ОD, значит, .

Рассмотрим угол . Это угол в прямоугольном треугольнике BMO, он не может быть прямым, так как угол МОВ – прямой.

Ответ: .

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 63

Дисциплина: Математика

Тема: Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью.

Цель занятия: изучить расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Признак перпендикулярности двух плоскостей

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Расстояние от точки до плоскости.

2. Теорема о трех перпендикулярах.

3. Угол между прямой и плоскостью.

Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим плоскость α и точку А, которая лежит вне этой плоскости (рис. 1). Как известно, из точки А можно провести единственную прямую АH перпендикулярную плоскости α. Проведем прямую АН перпендикулярно плоскости α, .

Рис. 1.

Определение. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α. То есть, перпендикуляр – это отрезок.

Определение. Пусть точка М другая произвольная точка плоскости α. Тогда отрезок АМ называется наклонной, а отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α.

Определение. Расстоянием от точки А до плоскости α называют длину перпендикуляра АН. Обозн.: ρ(А; α) = АН. Заметим, что АН – наименьшее из расстояний между точкой А и любой точкой плоскости.Действительно, в прямоугольном треугольнике АНМ перпендикуляр (катет АН) короче наклонной (гипотенузы АМ).

Расстояние между параллельными плоскостями

Плоскость α и плоскость β параллельны. На плоскости β выберем произвольную точку А (рис. 2). Из точки А опустим перпендикуляр АА₀ на плоскость α. Перпендикуляр АА₀ и назовем расстоянием между плоскостями α и β.

Рис. 2.

Заметим, что длина этого перпендикуляра не зависит от того, какую точку мы выбрали.

Например, выберем другую точку В, опустим перпендикуляр ВВ₀. Прямые АА₀ и ВВ₀ перпендикулярны одной и той же плоскости, значит, прямые АА₀ и ВВ₀ параллельны. Тогда из свойств параллельных плоскостей отрезки АА₀ и ВВ₀равны.

Расстояние между прямой и плоскостью

Расстояние между прямой и плоскостью определяется в случаях, когда прямая параллельна плоскости. Тогда все точки прямой а равноудалены от плоскости α. Выберем любую точку А на прямой а, опустим перпендикуляр АА₀ на плоскость α (рис. 3). Длина перпендикуляра АА₀ и называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью α.

Обозн.: АА₀ = р(а; α).

Рис. 3.

Теорема о трех перпендикулярах

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Дано:

Доказать:

Рис. 4.

Доказательство:

Пусть нам дана плоскость α (рис. 4). Проведем перпендикуляр АН к плоскости α, АМ - наклонная, М – основание наклонной. НМ – это проекция наклонной АМ на плоскость α. В плоскости α проведем прямую а через основание наклонной М перпендикулярно проекции НМ. Нужно доказать, что прямая а перпендикулярна наклонной АМ.

Прямая АН перпендикулярна плоскости α, а значит, и всем прямым, лежащим в ней. Значит, прямая АН перпендикулярна прямой а. Прямая НМ перпендикулярна прямой а по условию. Имеем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым АН и НМ плоскости АНМ, значит, по признаку, прямая а перпендикулярна плоскости АНМ.Прямая АМ лежит в плоскости АНМ. Значит, прямая а перпендикулярна прямой АМ, что и требовалось доказать.

Обратная теорема

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Дано:

Доказать:

Доказательство:

Пусть нам дана плоскость α (рис. 4). Проведем перпендикуляр АН к плоскости α, АМ - наклонная. НМ – это проекция наклонной АМ на плоскость α. В плоскости α проведем прямую а через основание наклонной М перпендикулярно наклонной AМ. Нужно доказать, что прямая а перпендикулярна проекции HМ.

Прямая АН перпендикулярна плоскости α, а значит, и всем прямым, лежащим в ней. Значит, прямая АН перпендикулярна прямой а. Прямая AМ перпендикулярна прямой а по условию. Имеем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым АН и AМ плоскости АНМ, значит, по признаку, прямая а перпендикулярна плоскости АНМ.Прямая HМ лежит в плоскости АНМ. Значит, прямая а перпендикулярна прямой HМ, что и требовалось доказать.

Замечание к теореме о трех перпендикулярах

В доказанной прямой и обратной теореме точка М (основание наклонной) лежала на прямой , лежащей в плоскости α. Давайте проведем в плоскости α другую прямую а, которая параллельна . Тогда углы между прямыми a, АМ, НМ не изменятся. И из перпендикулярности прямой а и прямой АМ будет вытекать перпендикулярность прямой а и прямой НМ и наоборот.

Рис. 5.

Проекция фигур на плоскость

Любая фигура, в том числе фигура F (рис. 2), состоит из точек. Если мы все точки спроектируем на плоскость α, то получим фигуру F₁ – проекцию фигуры F на плоскость α. F₁ = пр_αF.

Утверждение о проекции прямой на плоскость, не перпендикулярной плоскости

Проекцией прямой а на не перпендикулярную к ней плоскость α является прямая.

Рис. 3.

Доказательство:

Имеем плоскость α. Пусть прямая а пересекает плоскость α.

Нам нужно доказать, что проекцией этой прямой является некоторая прямая, которая лежит в плоскости.

Возьмем произвольную точку М на прямой а и опустим перпендикуляр МН, тогда Н – это проекция точки М на плоскость. Через пересекающиеся прямые МН и а проходит единственная плоскость β.

Пусть плоскость β и плоскость α пересекаются по некоторой прямой а₁.

Возьмем произвольную точку М₁ на прямой а и опустим перпендикуляр М₁Н₁ на прямую а₁, т.е. построим проекцию Н₁ точке М₁.

Прямые М₁Н₁ и МН перпендикулярны одной прямой а, значит прямые М₁Н₁ и МН – параллельны. Так как прямая МН перпендикулярна к плоскости α, то прямая М₁Н₁ тоже перпендикулярна плоскости α. Таким образом, Н₁ – это проекция точки М₁ на плоскость α.

То есть мы доказали, что любая точка М₁ прямой а проектируется в точку, которая лежит на прямой а₁.

И обратно, если мы возьмем какую-то точку Н₁ на прямой а₁, то она является проекцией некоторой точки М₁ прямой а.

Итак, действительно проекцией прямой а на не перпендикулярную к ней плоскость является прямая, что и требовалось доказать.

Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Рис. 4.

Рассмотрим плоскость α и прямую АН, НМ - перпендикуляр, АМ - проекция прямой. Угол между прямой АН и плоскостью α – это угол между прямой АН и ее проекцией АМ на плоскости, т.е. это угол МАН = φ₀. Обозн.:

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она проектируется в точку, угол между прямой и плоскостью считается равным 90°.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 64

Дисциплина: Математика

Тема: Двугранный угол. Признак перпендикулярности двух плоскостей

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Двугранный угол.

2. Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Двугранный угол

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Рис. 3. Полуплоскости

Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 3). Их общая граница – а. Указанная фигура называется двугранным углом.

Терминология

Полуплоскости α и β – это грани двугранного угла.

Прямая а – это ребро двугранного угла.

Измерение двугранного угла

На общем ребре а двугранного угла выберем произвольную точку О (рис. 4). В полуплоскости α из точки О восстановим перпендикуляр ОА к прямой а. Из той же точки О во второй полуплоскости β восставим перпендикуляр ОВ к ребру а. Получили угол АОВ, который называется линейным углом двугранного угла.

– линейный угол двугранного угла.

Рис. 4. Измерение двугранного угла

Докажем равенство всех линейных углов для данного двугранного угла.

Пусть мы имеем двугранный угол (рис. 5). Выберем точку О и точку О₁на прямой а. Построим линейный угол соответствующий точке О, т. е. проведем два перпендикуляра ОА и ОВ в плоскостях α и β соответственно к ребру а. Получаем угол АОВ – линейный угол двугранного угла.

Рис. 5. Иллюстрация доказательства

Из точки О₁ проведем два перпендикуляра ОА₁ и ОВ₁ к ребру а в плоскостях α и β соответственно и получим второй линейный угол А₁О₁В₁.

Лучи О₁А₁ и ОА сонаправленны, так как они лежат в одной полуплоскости и параллельны между собой как два перпендикуляра к одной и той же прямой а.

Аналогично, лучи О₁В₁ и ОВ сонаправлены, значит, ∠АОВ = ∠А₁О₁В₁ как углы с сонаправленными сторонами, что и требовалось доказать.

Свойство линейного угла

Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла.

Доказать: а ⊥ АОВ.

Рис. 6. Иллюстрация доказательства

Доказательство:

ОА ⊥ а по построению, ОВ ⊥ а по построению (рис. 6).

Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым ОА и ОВ из плоскости АОВ, значит, прямая а перпендикулярна плоскости ОАВ, что и требовалось доказать.

Виды двугранных углов

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Это означает, что, сколько градусов радиан содержится в линейном угле, столько же градусов радиан содержится в его двугранном угле. В соответствии с этим различают следующие виды двугранных углов.

- Острый (рис. 6)

Двугранный угол острый, если его линейный угол острый, т.е. .

- Прямой (рис. 7)

Двугранный угол прямой, когда его линейный угол равен 90°- Тупой (рис. 8)

Двугранный угол тупой, когда его линейный угол тупой, т.е. .

Рис. 7. Прямой угол Рис. 8. Тупой угол

Признак перпендикулярности плоскостей

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Дано:

Доказать:

Рис. 3

Доказательство:

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой АС (рис. 3). Чтобы доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны, нужно построить линейный угол между ними и показать, что этот угол равен 90°.

Прямая АВ перпендикулярна по условию плоскости β, а значит, и прямой АС, лежащей в плоскости β.

Проведем прямую АD перпендикулярно прямой АС в плоскости β. Тогда ВАD –линейный угол двугранного угла.

Прямая АВ перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АD, лежащей в плоскости β. Значит, линейный угол ВАD равен 90°. Значит, плоскости α и β перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Следствие

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 4).

Дано:

Доказать:

Рис. 4

Доказательство:

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны.

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны.

Следствие доказано.

Следствие 2

Плоскость линейного угла перпендикулярна всем элементам соответствующего двугранного угла: ребру и граням.

Дано:

Доказать:

Рис. 5

Доказательство:

Мы имеем двугранный угол, образованный полуплоскостями α и β, которые пересекаются по прямой l (l – ребро двугранного угла) (рис. 5).

На ребре l взята точка М, к ребру l проведены два перпендикуляра МА и МВ в плоскостях α и β соответственно. Пусть пересекающиеся прямые МА и МВ образуют плоскость γ. Это и есть плоскость линейного угла.

Прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым АМ и МВ из плоскости γ по построению. Значит, прямая l перпендикулярна плоскости γ.

Плоскость α проходит через прямую l, которая перпендикулярна γ, значит, .

Аналогично, плоскость β проходит через прямую l, которая перпендикулярна γ, значит, .

Итак, доказано, что плоскость линейного угла перпендикулярна всем его элементам: и ребру, и граням.

Утверждение

Если в одной из перпендикулярных плоскостей проведена прямая перпендикулярно к их линии пересечения, то эта прямая перпендикулярна и к другой плоскости.

Дано: ,

Доказать:

Рис. 6

Доказательство:

Пусть в плоскости β проведена прямая b = MB, которая перпендикулярна к линии пересечения плоскостей – l. (рис. 6)

Проведем прямую МА = а перпендикулярно прямой l. Тогда из точки М проведены два перпендикуляра к ребру l в плоскостях α и β. Получаем ∠АМВ – линейный угол двугранного угла. Так как плоскости α и β перпендикулярны, то ∠АМВ = 90°. Значит, прямые а и b перпендикулярны.

Тогда прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая b перпендикулярна плоскости α, что и требовалось доказать.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 65

Дисциплина: Математика

Тема: Многогранник и его элементы. Выпуклые многогранники. Призма. Прямая и правильная призмы. Площадь боковой и полной поверхностей призмы

Цель занятия: изучить многогранник и его элементы. Выпуклые многогранники. Призма. Прямая и правильная призмы. Площадь боковой и полной поверхностей призмы.

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Многогранник и его элементы.

2. Выпуклые многогранники

3. Призма.

4. Прямая и правильная призмы.

5. Площадь боковой и полной поверхностей призмы

Определение многогранника

Определение. Поверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть многогранной поверхностью или многогранником.

Примеры многогранников

Рассмотрим следующие примеры многогранников:

1. Тетраэдр ABCD – это поверхность, составленная из четырех треугольников: АВС, ADB, BDC и ADC (рис. 1).

Рис. 1

2. Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ – это поверхность, составленная из шести параллелограммов (рис. 2).

Рис. 2

Основные элементы многогранников

Основными элементами многогранника являются грани, ребра, вершины.

Грани – это многоугольники, составляющие многогранник.

Ребра – это стороны граней.

Вершины – это концы ребер.

Рассмотрим тетраэдр ABCD (рис. 1). Укажем его основные элементы.

Грани: треугольники АВС, ADB, BDC, ADC.

Ребра: АВ, АС, ВС, DC, AD, BD.

Вершины: А, В, С, D.

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁(рис. 2).

Грани: параллелограммы АА₁D₁D, D₁DСС₁, ВВ₁С₁С, АА₁В₁В, ABCD, A₁B₁C₁D₁.

Ребра: АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, AD, A₁D₁, B₁C₁, BC, AB, A₁B₁, D₁C₁, DC.

Вершины: A, B, C, D, A₁,B₁,C₁,D₁.

На рисунке 1 изображена призма ABCDFA₁B₁C₁D₁F₁, ее основания ABCDF и A₁B₁C₁D₁F₁. Пятиугольники ABCDF и A₁B₁C₁D₁F₁ равны и лежат в параллельных плоскостях.

Рис. 1

Призма – это многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани – параллелограммы.

Основания призмы – это две грани, являющиеся равными многоугольниками, которые лежат в параллельных плоскостях.

Боковыми гранями являются все грани призмы, кроме оснований. Каждая боковая грань является параллелограммом.

Общие стороны боковых граней называются боковыми ребрами.

Вернемся к рисунку 1. В пятиугольнике ABCDFA₁B₁C₁D₁F₁:

ABCDF и A₁B₁C₁D₁F₁ – основания призмы.

Боковыми гранями являются грани АА₁В₁В, ВВ₁С₁С, CC₁D₁D, DD₁F₁F, FF₁A₁A. А боковыми ребрами – АА₁, ВВ₁, СС₁, DD₁, FF₁.

Прямая призма

Определение. Если боковое ребро призмы перпендикулярно плоскости ее основания, то такая призма называется прямой.

Рассмотрим пятиугольную призму ABCDFA₁B₁C₁D₁F₁ (рис. 2).

Пусть боковое ребро AA₁ перпендикулярно плоскости основания. Значит, данная призма – прямая. Так как ребро АА₁ перпендикулярно плоскости АВС, то это боковое ребро перпендикулярно любой прямой из плоскости основания АВС, в том числе и прямой AF. Значит, боковая грань является прямоугольником.Рис. 2

Правильная призма

Определение. Правильной n-угольной призмой называется такая прямая призма, у которой в основаниях лежит правильный n-угольник.

Площадь боковой поверхности призмы

Теорема. Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

Рассмотрим эту теорему на примере треугольной прямой призмы ABCA₁B₁C₁ (рис. 5). Призма ABCA₁B₁C₁ – прямая, значит, все боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Дано: АВСА₁В₁С₁ – прямая призма, т. е. АА₁ ⊥ АВС.

АА₁ = h.

Доказать: S_бок= Р_осн∙ h.

Рис. 5

Доказательство.

Треугольная призма АВСА₁В₁С₁ – прямая, значит, боковые грани АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С – прямоугольники. А все боковые ребра призмы равны высоте призмы.

Найдем площадь боковой поверхности как сумму площадей прямоугольников АА₁В₁В, АА₁С₁С, ВВ₁С₁С:

S_бок = АВ∙ АА₁ + ВС∙ ВВ₁ + СА∙ СС₁ = АВ∙ h + ВС∙ h + СА∙ h = (AB + ВС + CА) ∙ h = P_осн ∙ h.

Получаем, S_бок= Р_осн∙ h, что и требовалось доказать.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 66

Дисциплина: Математика

Тема: Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед. Куб

Цель занятия: изучить параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед. Куб

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Параллелепипед.. Куб

2. Прямоугольный параллелепипед.

3. Куб

Параллелепипед

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ (рис. 3) – частный случай призмы. В основаниях призмы лежат параллелограммы ABCD и A₁B₁C₁D₁.

Рис. 3

Если боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, то такой параллелепипед будет называться прямым параллелепипедом.

Рис. 4

Рассмотрим параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁(рис. 4). Если ребро AA₁ перпендикулярно плоскости ABCD, то параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ прямой.

Если в основании прямого параллелепипеда лежит прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным. Обозначение: ABCDA₁B₁C₁D₁или кратко AC₁.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 67

Дисциплина: Математика

Тема: Пирамида. Правильная пирамида. Площадь боковой и полной поверхностей пирамиды

Цель занятия: Пирамида. Правильная пирамида. Площадь боковой и полной поверхностей пирамиды

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Пирамида.

2. Правильная пирамида.

3. Площадь боковой и полной поверхностей пирамиды

Рассмотрим многоугольник А₁А₂...А_n, который лежит в плоскости α, и точку P, которая не лежит в плоскости α (рис. 1). Соединим точку P с вершинами А₁, А₂, А₃, … А_n. Получим n треугольников: А₁А₂Р, А₂А₃Р и так далее.

Определение. Многогранник РА₁А₂…А_n, составленный из n-угольника А₁А₂...А_n и n треугольников РА₁А₂, РА₂А₃ …РА_nА_n_-1, называется n-угольной пирамидой. Рис. 1.

Рис. 1

Пример пирамиды

Рассмотрим четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 2).

Р – вершина пирамиды.

ABCD – основание пирамиды.

РА – боковое ребро.

АВ – ребро основания.

Из точки Р опустим перпендикуляр РН на плоскость основания АВСD. Проведенный перпендикуляр является высотой пирамиды.

Рис. 2

Площадь поверхности пирамиды

Полная поверхность пирамиды состоит из поверхности боковой, то есть площади всех боковых граней, и площади основания:

S_полн = S_бок + S_осн

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если:

ее основание – правильный многоугольник;
отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Пояснение на примере правильной четырехугольной пирамиды

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду PABCD (рис. 3).

Р – вершина пирамиды. Основание пирамиды АВСD – правильный четырехугольник, то есть квадрат. Точка О, точка пересечения диагоналей, является центром квадрата. Значит, РО – это высота пирамиды.

Рис. 3

Пояснение: в правильном n-угольнике центр вписанной и центр описанной окружности совпадает. Этот центр и называется центром многоугольника. Иногда говорят, что вершина проектируется в центр.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой и обозначается h_а.

Свойства правильной пирамиды

1. все боковые ребра правильной пирамиды равны;

2. боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Доказательство этих свойств приведем на примере правильной четырехугольной пирамиды.

Дано: РАВСD – правильная четырехугольная пирамида,

АВСD – квадрат,

РО – высота пирамиды.

Доказать:

1. РА = РВ = РС = РD

2. ∆АВР = ∆ВCР =∆СDР =∆DAP См. Рис. 4.

Рис. 4

Доказательство.

РО – высота пирамиды. То есть, прямая РО перпендикулярна плоскости АВС, а значит, и прямым АО, ВО, СО и DО, лежащим в ней. Значит, треугольники РОА, РОВ, РОС, РОD – прямоугольные.

Рассмотрим квадрат АВСD. Из свойств квадрата следует, что АО = ВО = СО = DО.

Тогда у прямоугольных треугольников РОА, РОВ, РОС, РОD катет РО – общий и катеты АО, ВО, СО и DО равны, значит, эти треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников вытекает равенство отрезков, РА = РВ = РС = РD. Пункт 1 доказан.

Отрезки АВ и ВС равны, так как являются сторонами одного квадрата, РА = РВ = РС. Значит, треугольники АВР и ВCР – равнобедренные и равны по трем сторонам.

Аналогичным образом получаем, что треугольники АВР, ВCР, СDР, DAP равнобедренны и равны, что и требовалось доказать в пункте 2.

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему:

Для доказательства выберем правильную треугольную пирамиду.

Дано: РАВС – правильная треугольная пирамида.

АВ = ВС = АС.

РО – высота.

Доказать: . См. Рис. 5.

Рис. 5

Доказательство.

РАВС – правильная треугольная пирамида. То есть АВ = АС = ВС. Пусть О – центр треугольника АВС, тогда РО – это высота пирамиды. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник АВС. Заметим, что .

Треугольники РАВ, РВC, РСА – равные равнобедренные треугольники (по свойству). У треугольной пирамиды три боковые грани: РАВ, РВC, РСА. Значит, площадь боковой поверхности пирамиды равна:

S_бок = 3S_РАВ

Теорема доказана.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 68

Дисциплина: Математика

Тема: Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника.

Цель занятия: изучить симметрию в пространстве. изучить понятие правильного многогранника

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Симметрия в пространстве

2. Примеры

3. Понятие правильного многогранника

4. Примеры

Определение.

Точки А и называются симметричными относительно точки О (центра симметрии), если О – середина отрезка . Точка О симметрична сама себе.

Чтобы для заданной точки А получить симметричную ей точку относительно точки О, нужно провести прямую через точки А и О, отложить от точки О отрезок, равный ОА, и получить искомую точку (рисунок 1).

Рис. 1. Симметрия относительно точки

Аналогично точки В и симметричны относительно точки О, т. к. О – середина отрезка .

Так, задан закон, согласно которому каждая точка плоскости переходит в другую точку плоскости, и мы говорили, что при этом сохраняются любые расстояния, то есть .

Рассмотрим симметрию относительно прямой в пространстве.

Чтобы получить для заданной точки А симметричную точку относительно некоторой прямой а, нужно из точки А на прямую опустить перпендикуляр и отложить на нем равный отрезок (рисунок 2).

Рис. 2. Симметрия относительно прямой в пространстве

Определение.

Точки А и называются симметричными относительно прямой а (ось симметрии) если прямая а проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. Каждая точка прямой симметрична сама себе.

Определение.

Точки А и называются симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии) если плоскость проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. Каждая точка плоскости симметрична сама себе (рисунок 3).

Рис. 3. Симметрия относительно плоскости

Некоторые геометрические фигуры могут иметь центр симметрии, ось симметрии, плоскость симметрии.

Элементы симметрии фигур

Определение.

Точка О называется центром симметрии фигуры если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Например, в параллелограмме и параллелепипеде точка пересечения всех диагоналей является центром симметрии. Проиллюстрируем для параллелепипеда.

Рис. 4. Центр симметрии параллелепипеда

Так, при симметрии относительно точки О в параллелепипеде точка А переходит в точку , точка В – в точку и т. д., таким образом, параллелепипед переходит сам в себя.

Определение.

Прямая называется осью симметрии фигуры если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Например, каждая диагональ ромба является для него осью симметрии, ромб переходит сам в себя при симметрии относительно любой из диагоналей.

Рассмотрим пример в пространстве – прямоугольный параллелепипед (боковые ребра перпендикулярны основаниям, в основаниях – равные прямоугольники). Такой параллелепипед имеет оси симметрии. Одна из них проходит через центр симметрии параллелепипеда (точку пересечения диагоналей) и центры верхнего и нижнего оснований.

Определение.

Плоскость называется плоскостью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Например, прямоугольный параллелепипед имеет плоскости симметрии. Одна из них проходит через середины противоположных ребер верхнего и нижнего оснований (рисунок 5).

Рис. 5. Плоскость симметрии прямоугольного параллелепипеда

Элементы симметрии присущи правильным многогранникам.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники, а в каждой вершине сходится одинаковое число ребер.

Теорема.

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при .

Доказательство:

Рассмотрим случай, когда – правильный шестиугольник. Все его внутренние углы равны :

Тогда при внутренние углы будут и больше.

В каждой вершине многогранника сходятся не менее трех ребер, значит, в каждой вершине содержится не менее трех плоских углов. Их общая сумма (при условии, что каждый больше либо равен ) больше либо равна . Это противоречит утверждению: в выпуклом многограннике сумма плоских всех углов при каждой вершине меньше .

Теорема доказана.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 69

Дисциплина: Математика

Тема: Элементы симметрии правильных многогранников

Цель занятия: изучить элементы симметрии правильных многогранников

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Элементы симметрии правильных многогранников

2. Примеры

Примеры правильных многогранников

Куб (рисунок 6):

Рис. 6. Куб

-куб составлен из шести квадратов; квадрат – это правильный многоугольник;

-каждая вершина – это вершина трех квадратов, например вершина А – общая для граней-квадратов ABCD, ;

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. состоит из трех прямых углов. Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника;

-куб имеет центр симметрии – точка пересечения диагоналей;

-куб имеет оси симметрии, например прямые а и b (рисунок 6), где прямая а проходит через середины противоположных граней, а b – через середины противоположных ребер;

-куб имеет плоскости симметрии, например плоскость, которая проходит через прямые а и b.

2. Правильный тетраэдр (правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны между собой):

Рис. 7. Правильный тетраэдр

-правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников;

-в каждой вершине сходятся по три ребра;

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. правильный тетраэдр состоит из трех плоских углов по . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника;

- правильный тетраэдр имеет оси симметрии, они проходят через середины противоположных ребер, например прямая MN. Кроме того, MN – расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD, MN перпендикулярно ребрам АВ и CD;

-правильный тетраэдр имеет плоскости симметрии, каждая проходит через ребро и середину противоположного ребра (рисунок 7);

-правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.

3. Правильный октаэдр:

-состоит из восьми равносторонних треугольников;

-в каждой вершине сходятся по четыре ребра;

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. правильный октаэдр состоит из четырех плоских углов по . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

4. Правильный икосаэдр:

-состоит из двадцати равносторонних треугольников;

-в каждой вершине сходятся по пять ребер;

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет , т. к. правильный икосаэдр состоит из пяти плоских углов по . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

5. Правильный додекаэдр:

-состоит из двенадцати правильных пятиугольников;

-в каждой вершине сходятся по три ребра;

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет . Это меньше , что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 70

Дисциплина: Математика

Тема: Прямоугольная система координат в пространстве. Расстояние между точками

Цель занятия: прямоугольная система координат в пространстве. Расстояние между точками

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Прямоугольная система координат в пространстве.

2. Расстояние между точками

Если через точку О в пространстве мы проведем три перпендикулярные прямые, назовем их, выберем направление, обозначим единичные отрезки, то мы получим прямоугольную систему координат в пространстве. Оси координат называются так: Ох – ось абсцисс, Оy – ось ординат и Оz – ось аппликат. Вся система координат обозначается – Oxyz. Таким образом, появляются три координатные плоскости: Оxy, Оxz, Оyz.

Приведем пример построения точки В(4;3;5) в прямоугольной системе координат (см. Рис. 1).

Рис. 1. Построение точки B в пространстве

Первая координата точки B – 4, поэтому откладываем на Ox 4, проводим прямую параллельно оси Oy до пересечения с прямой, проходящей через у=3. Таким образом, мы получаем точку K. Эта точка лежит в плоскости Oxy и имеет координаты K(4;3;0). Теперь нужно провести прямую параллельно оси Oz. И прямую, которая проходит через точку с аппликатой 5 и параллельна диагонали параллелограмма в плоскости Oxy. На их пересечении мы получим искомую точку B.

Рассмотрим расположение точек, у которых одна или две координаты равны 0 (см. Рис. 2).

Рис. 2.

Например, точка A(3;-1;0). Нужно продолжить ось Oy влево до значения -1, найти точку 3 на оси Ox, и на пересечении линий, проходящих через эти значения, получаем точку А. Эта точка имеет аппликату 0, а значит, она лежит в плоскости Oxy.

Точка C(0;2;0) имеет абсциссу и аппликату 0 – не отмечаем. Ордината равна 2, значит точка C лежит только на оси Oy, которая является пересечением плоскостей Oxy и Oyz.

Чтобы отложить точку D(-4;0;3) продолжаем ось Ox назад за начало координат до точки -4. Теперь восстанавливаем из этой точки перпендикуляр – прямую, параллельную оси Oz до пересечения с прямой, параллельной оси Ox и проходящей через значение 3 на оси Oz. Получаем току D(-4;0;3). Так как ордината точки равна 0, значит точка D лежит в плоскости Oxz.

Следующая точка E(0;5;-3). Ордината точки 5, аппликата -3, проводим прямые проходящие через эти значения на соответствующих осях, и на их пересечении получаем точку E(0;5;-3). Эта точка имеет первую координату 0, значит она лежит в плоскости Oyz.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 71

Дисциплина: Математика

Тема: Координаты середины отрезка. Векторы в пространстве.

Цель занятия: изучить координаты середины отрезка. Изучить векторы в пространстве.

В результате проведения занятия обучающийся должен

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия:

План занятия:

1. Координаты середины отрезка

2. Примеры

3. Векторы в пространстве

4. Примеры

Середина отрезка - это точка, которая лежит на отрезке и находится на равном расстоянии от конечных точек.

В геометрических задачах часто можно столкнуться с необходимостью найти середину отрезка заданного координатами точек его концов, например в задачах поиска медианы, средней линии, ...

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.

Формулы вычисления расстояния между двумя точками:

Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(x_a, y_a) и B(x_b, y_b) на плоскости:
Формула вычисления координат середины отрезка с концами A(x_a, y_a, z_a) и B(x_b, y_b, z_b) в пространстве: Начертим прямоугольную систему координат в пространстве Oxyz. Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим единичный вектор оси абсцисс, единичный вектор оси ординат , и единичный вектор оси аппликат (см. рис. 1). Эти векторы сонаправлены с направлениями осей, имеют единичную длину и ортогональны – попарно перпендикулярны. Такие вектора называют координатными векторами или базисом.

Рис. 1. Разложение вектора по трем координатным векторам

Возьмем вектор , поместим его в начало координат, и разложим этот вектор по трем некомпланарным - лежащим в разных плоскостях - векторам. Для этого опустим проекцию точки M на плоскость Oxy, и найдем координаты векторов , и . Получаем: . Рассмотрим по отдельности каждый из этих векторов. Вектор лежит на оси Ox, значит, согласно свойству умножения вектора на число, его можно представить как какое-то число x умноженное на координатный вектор . , а длина вектора ровно в x раз больше длины . Так же поступим и с векторами и , и получаем разложение вектора по трем координатным векторам:

Коэффициенты этого разложения x, y и z называются координатами вектора в пространстве.

Рассмотрим правила, которые позволяют по координатам данных векторов найти координаты их суммы и разности, а также координаты произведения данного вектора на данное число.

;

1) Сложение:

2) Вычитание:

3) Умножение на число: ,

Вектор, начало которого совпадает с началом координат, называется радиус-вектором. (Рис. 2). Вектор - радиус-вектор, где x, y и z – это коэффициенты разложения этого вектора по координатным векторам , , . В данном случае x – это первая координата точки A на оси Ox, y – координата точки B на оси Oy, z – координата точки C на оси Oz. По рисунку видно, что координаты радиус-вектора одновременно являются координатами точки М.

Рис. 2.

Возьмем точку A(x₁;y₁;z₁) и точку B(x₂;y₂;z₂) (см. рис. 3). Представим вектор как разность векторов и по свойству векторов. Причем, и - радиус-векторы, и их координаты совпадают с координатами концов этих векторов. Тогда мы можем представить координаты вектора как разность соответствующих координат векторов и : . Таким образом, координаты вектора мы можем выразить через координаты конца и начала вектора.

Рис. 3.

Рассмотрим примеры, иллюстрирующие свойства векторов и их выражение через координаты. Возьмем векторы , , . Нас спрашивают вектор . В данном случае найти это значит найти координаты вектора , которые полностью его определяют. Подставляем в выражение вместо векторов соответственно их координаты. Получаем:

Теперь умножаем число 3 на каждую координату в скобках, и то же самое делаем с 2:

У нас получилась сумма трех векторов, складываем их по изученному выше свойству:

Ответ:

Пример №2.

Дано: Треугольная пирамида AOBC (см. рис. 4). Плоскости AOB, AOC и OCB – попарно перпендикулярны. OA=3, OB=7, OC=4; M - сер.AC; N - сер.OC; P – сер. CB.

Найти: ,,,,,,,.

Рис. 4.

Решение: Введем прямоугольную систему координат Oxyz с началом отсчета в точке O. По условию обозначаем точки A, B и C на осях и середины ребер пирамиды – M, P и N. По рисунку находим координаты вершин пирамиды: A(3;0;0), B(0;7;0), C(0;0;4).

Так как координаты вектора - это разность координат его конца и начала, получаем:. Таким же образом находим координаты векторов и . ; .

Чтобы найти координаты вектора , нужно сначала найти координаты точек M и N. По рисунку видно, что точка N имеет координаты, так как она лежит на оси аппликат. Рассмотрим . MN – средняя линия, . Значит координата точки M по оси Oz 2. Теперь проведем из точки M перпендикуляр к оси Ox, координата 1,5. Точка M лежит в плоскости Oxz, значит по оси Oy координата 0. Получаем M(1,5;0;2). Теперь зная координаты точек M и N, считаем их разность: .

Теперь найдем координаты точки P. Опустим перпендикуляр на плоскость Oxy, получаем значение 3,5 по оси ординат. И проведя перпендикуляр к оси Oz, получаем значение 2 по оси аппликат. Точка P имеет координаты (0;3,5;2). Зная координаты нужных точек, найдем координаты оставшихся векторов.

;

.

Вектора и - радиус-векторы, значит, их координаты равны координатам концов этих векторов: , .

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 72

Дисциплина: Математика

Тема: Компланарность векторов

Цель занятия: изучить компланарность векторов

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Компланарность векторов

2. Примеры

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

Рассмотрим векторы и : рис. 1

Рис. 1. Векторы и

Мы знаем, что если заданы два неколлинеарных вектора на плоскости, то любой третий вектор на той же плоскости можно однозначно разложить по этим векторам: рис. 2, 3.

Рис. 2. Векторы на плоскости

Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным

Рис. 3. Разложение вектора через два неколлинеарных

Данный факт легко доказывается. Пусть . Из точки С проводим прямую CB, параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Аналогично из точки С проводим прямую CА, параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Это означает, что существуют такие два числа х и у, причем единственные, что:

Напомним, что коллинеарными называются векторы, принадлежащие одной и той же или параллельным прямым.

Теорема о компланарных векторах, сложение векторов в пространстве

Если вектор можно представить в виде , где х и у – конкретные числа, то вектора и компланарны.

Рис. 4. Сложение векторов в пространстве

Рассмотрим три вектора и в пространстве. На плоскости мы строили параллелограмм на двух заданных векторах. В пространстве же мы можем построить параллелепипед на трех заданных векторах. Найдем сумму этих векторов (рис. 4).

Из точки К откладываем заданные векторы. Достраиваем параллелепипед. Суммой трех заданных векторов будет диагональ параллелепипеда:

Данный факт легко доказать с помощью правила многоугольника. Согласно свойствам параллелепипеда, имеем пары равных векторов: , . Так, получаем: , ч.т.д.

Если заданы три некомпланарных вектора, то мы можем разложить любой заданный четвертый вектор через три заданных. Например, заданы некомпланарные векторы и . Тогда любой вектор можно представить в виде суммы: , где х, у и z – конкретные числа, причем для заданного вектора единственные. Эти числа называются коэффициентами разложения.

Теорема о разложении вектора по трем некомпланарным векторам

Любой вектор в пространстве можно разложить по трем заданным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство.

Рис. 5. Разложение вектора по трем некомпланарным

Дано: некомпланарные векторы и , произвольный вектор .

Построим все заданные векторы из одной точки – точки О (рис. 5). Рассмотрим плоскость, образованную векторами и . Из точки Р проведем прямую , параллельно направлению . – точка пересечения плоскости и прямой. Векторы и по построению коллинеарны, значит имеем: . Теперь, согласно правилу треугольника, имеем: . Вектор мы нашли. Вектор , согласно построению, лежит в плоскости векторов и , значит, согласно теореме, рассмотренной выше, о разложении вектора через два неколлинеарных имеем: .

Так, получено разложение произвольного вектора в пространстве через три некомпланарных вектора: Докажем, что такое разложение единственно. Используем метод от противного. Предположим, что есть еще тройка чисел (), с помощью которой можно заданный вектор разложить по трем некомпланарным. . Имеем систему:

Вычтем из первого уравнения второе:

Получить нулевой вектор из трех некомпланарных ненулевых векторов путем их сложения можно только в случае, когда: , , .

Так, доказано, что возможно единственное разложение вектора по трем некомпланарным.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 73

Дисциплина: Математика

Тема: Уравнение плоскости

Цель занятия: изучить уравнение плоскости

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Уравнение плоскости

2. Примеры

Уравнение с тремя переменными x, у, z называется уравнением данной поверхности P в системе координат Охуz, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности Р и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности. Из всех возможных поверхностей нас сегодня будет интересовать уравнение плоскости.

Пусть дана некоторая точка M₀(x₀;y₀;z₀) и ненулевой вектор . Через точку M₀ можно провести только одну плоскость α перпендикулярную вектору (см. рис. 1).

Рис. 1.

Выведем уравнение плоскости α. Пусть М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М принадлежит плоскости α только тогда, когда вектор перпендикулярен вектору . Поэтому уравнение плоскости, проходящей через точку M₀ перпендикулярно вектору, можно записать в виде: . Вектор в уравнении называется нормальным вектором плоскости. В качестве нормального вектора можно взять любой вектор, перпендикулярный плоскости.

Пусть координаты вектора равны . И обозначим координаты произвольной точки М через x, y и z. Тогда вектор имеет координаты .

Теперь можно записать уравнение плоскости через координаты вектора и вектора :

Это уравнение называется уравнением плоскости, проходящей через точку M₀(x₀;y₀;z₀) перпендикулярно вектору (А; В; С). Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые, обозначив слагаемые, не содержащие переменные за D:

;

;

.

Зная уравнение плоскости, можно найти расстояние от точки, не лежащей на плоскости до самой плоскости.

Дано: В некоторой декартовой системе координат уравнение Ax+By +Cz+D=0, описывающее плоскость. M₀(x₀, y₀, z₀) - точка пространства, заданная своими координатами в той же системе координат (см. рис. 2).

Рис. 2.

Найти: расстояние от точки М₀ до плоскости.

Решение: Пусть точка М₁(x₁;y₁;z₁)-проекция точки М₀ на плоскость. Значит, нам необходимо найти длину отрезка M₀M₁. Чтобы найти расстояние d, выразим вектор через вектор нормали, координаты которого мы знаем по уравнению плоскости - (А; В; С): .

Так как вектор и вектор - коллинеарны, значит, можно выразить координаты вектора двумя способами: , .

Получаем систему уравнений:

Выражаем координаты точки M₁:

Подставим координаты точки M₁ в уравнение плоскости, так как эта точка лежит в плоскости α:

.

Отсюда выражаем коэффициент k:

.

Теперь выведем формулу для нахождения расстояния от точки до плоскости:

.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 74

Дисциплина: Математика

Тема: Координаты точки и координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

Цель занятия: изучить координаты точки и координаты вектора. Скалярное произведение векторов.

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Координаты точки и координаты вектора.

Отложим от какой-нибудь точки O векторы и (см. рис. 1). Если векторы и не являются сонаправленными, то лучи ОА и ОВ образуют угол АОВ - угол между векторами, обозначим его . Если же векторы и - сонаправлены, то будем считать, что угол между ними равен 0°. Если угол между векторами равен 90°, то векторы называются перпендикулярными. На письме угол между векторами обозначают так: .

Задача 1. Дано: A(0;1;2), B(√2;1;2), C(√2;2;1), D(0;2;1). Доказать: ABCD – квадрат.

Решение:

1) Найдем координаты векторов, длины которых совпадают с длинами сторон четырехугольника. Координаты вектора – это разность координат конца и начала отрезка.

, , , . По координатам видно, что , . Доказано, что ABCD – параллелограмм.

2) Найдем модули эти векторов по формуле: .

Получаем: . Доказано, что ABCD – ромб.

3) Найдем один угол между векторами. .

Стороны попарно параллельны, стороны равны, и один угол равен 90°, значит остальные углы тоже равны 90°. Следовательно, ABCD – квадрат, что и требовалось доказать.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 75

Дисциплина: Математика

Тема: Скалярное произведение векторов.

Цель занятия: изучить скалярное произведение векторов.

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение векторов находится по формуле: .

Рис. 1. Угол между векторами

Основные свойства скалярного произведения векторов:

1)

2)

3)

4)

Рассмотрим задачу на нахождение скалярного произведения векторов.

Задача 1. Дано: ABCDA₁B₁C₁D₁ – куб, O₁ – центр A₁B₁C₁D₁ , AB=a (см. рис. 2).

Рис. 2.

Найти скалярные произведения векторов:

а) . Находим эти вектора на рисунке, они сонаправлены, значит угол между ними 0°, а эти вектора равны a. Получаем:

б) . Эти вектора параллельны и противоположно направлены, значит, угол между ними 180°. Модуль вектора - это диагональ квадрата, , . Получаем: .

в) . Так как эти вектора перпендикулярны (по рисунку), то косинус угла между ними равен 0. Значит, .

г) . Модули этих векторов равны - это диагонали квадратов. Чтобы найти угол между нужными векторами, рассмотрим треугольник A₁C₁B. Этот треугольник равносторонний, значит, угол равен 60°.

·= - 2a²

д) . Эти вектора перпендикулярны, значит, .

е) . Длины этих векторов равны , так как они являются половинами диагоналей. Эти векторы противоположно направлены, угол между ними 180°.

Получаем:.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 76

Дисциплина: Математика

Тема: Тела и поверхности вращения. Цилиндр и его элементы

Цель занятия: изучить тела и поверхности вращения. Цилиндр и его элементы

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Тела и поверхности вращения.

2. Цилиндр и его элементы

Рассмотрим произвольную плоскость α и окружность L с центром О радиуса r, лежащую в этой плоскости (см. рис. 1). Через каждую точку окружности проведем прямую, перпендикулярную к плоскости α. Поверхность, образованная этими прямыми, называется цилиндрической поверхностью, а сами прямые — образующими цилиндрической поверхности. Прямая, проходящая через точку О перпендикулярно к плоскости α, называется осью цилиндрической поверхности. Поскольку все образующие и ось перпендикулярны к плоскости α, то они параллельны друг другу.

Рис. 1.

Рассмотрим теперь плоскость β, параллельную плоскости α (см. рис. 2). Отрезки образующих, заключенные между плоскостями α и β, параллельны и равны друг другу. По построению концы этих отрезков, расположенные в плоскости α, заполняют окружность L. Концы же, расположенные в плоскости β, заполняют окружность L₁ с центром О₁ радиуса r, где О₁— точка пересечения плоскости β с осью цилиндрической поверхности. Справедливость этого утверждения следует из того, что множество концов образующих, лежащих в плоскости β, получается из окружности L параллельным переносом на вектор OO₁. Параллельный перенос является движением и, значит, наложением, а при наложении любая фигура переходит в равную ей фигуру. Следовательно, при параллельном переносе на вектор ОО₁ окружность L перейдет в равную ей окружность L₁ радиуса r с центром в точке О₁.

Рис. 2.

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L₁ называется цилиндром. Круги называются основаниями цилиндра, отрезки образующих, заключенные между основаниями, — образующими цилиндра, а образованная ими часть цилиндрической поверхности — боковой поверхностью цилиндра. Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра. Все образующие цилиндра параллельны и равны друг другу. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания — радиусом цилиндра.

Можно дать другое определение цилиндра. Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. На рисунке (см. рис. 3) изображен цилиндр, полученный вращением прямоугольника АВСD вокруг стороны АВ. При этом боковая поверхность цилиндра образуется вращением стороны СD, а основания — вращением сторон ВС и АD. Поэтому цилиндр называют телом вращения.

Рис. 3. Цилиндр, полученный вращением прямоугольника.

Рассмотрим сечения цилиндра различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось цилиндра, то сечение представляет собой прямоугольник, две стороны которого — образующие, а две другие — диаметры оснований цилиндра. Такое сечение называется осевым (см. рис. 4).

Рис. 4.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра, то сечение является кругом. В самом деле, такая секущая плоскость - плоскость y на рисунке (см. рис. 5) отсекает от данного цилиндра тело, также являющееся цилиндром. Его основаниями служат два круга, один из которых и есть рассматриваемое сечение.

Рис. 5.

На практике нередко встречаются предметы, которые имеют форму более сложных цилиндров. На рисунке изображен цилиндр, каждое основание которого представляет собой фигуру, ограниченную частью параболы и отрезком (см. рис. 6).

Рис. 6.

Наклонный цилиндр - цилиндр, основаниями которого являются круги, но образующие цилиндра не перпендикулярны к плоскостям оснований (см. рис. 7). Однако в дальнейшем мы будем рассматривать только такие цилиндры, которые были определены в этом пункте. Их называют иногда прямыми круговыми цилиндрами.

Рис. 7. Наклонный цилиндр.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 77

Дисциплина: Математика

Тема: Сечения цилиндра плоскостями

Цель занятия: изучить сечения цилиндра плоскостями

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Сечения цилиндра плоскостями

2. Примеры

Задача 1.

Дано: Концы отрезка АВ = 13 дм лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус цилиндра равен 10 дм, а расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно 8 дм. Найти: высоту H цилиндра (см. рис. 1).

Рис. 1.

Решение: Проведем образующую ВС: Так как , то.

Проведем. Так как и, то.

Таким образом, прямая ОК перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АС и BC плоскости АВС. Следовательно, , значит, расстояние между прямыми АВ и ОО₁ равно ОК; ОК = 8 дм.

Рассмотрим ∆АКО – прямоугольный, по теореме Пифагора: , АС=2AK=12 дм.

Рассмотрим - прямоугольный, по теореме Пифагора: .

BC – образующая цилиндра, и она равна высоте цилиндра.

Ответ: H=5 дм.

Задача 2.

Дано: Через образующую АА₁, цилиндра проведены две секущие плоскости, одна из которых проходит через ось цилиндра, угол между плоскостями равен φ. Найти: отношение площадей сечений цилиндра этими плоскостями.

Решение: Нарисуем плоскости α – ABB₁A₁ и β - AA₁C₁C в цилиндре. Построим угол между плоскостями на рисунке (см. рис. 2).

Рис. 2.

. Значит, угол .

Теперь найдем отношение площадей, которое спрашивается: . (Угол C в треугольнике ABC – прямой, так как он опирается на диаметр нижнего основания цилиндра).

Ответ: .

Задача 3.

Дано: Угол между образующей цилиндра и диагональю осевого сечения равен φ, Площадь основания цилиндра равна 8. Найти: площадь боковой поверхности цилиндра.

Рис. 3.

Решение: Обозначим на рисунке АВСD - осевое сечение, диагональ осевого сечения – AC, угол CAB=φ. (см. рис. 3).

Для более удобной подстановки в формулу обозначим, что BC=2r, AB=h.

Из треугольника ABC, .

. Вместо h подставляем найденное выражение, получаем: .

В полученном выражении πr²=S_осн – по условию. Значит, .

Ответ: .

В данной задаче 3, можно воспользоваться только рисунком №4, не рисуя полностью весь цилиндр.

Рис. 4.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 78

Дисциплина: Математика

Тема: Вписанные и описанные призмы и цилиндры

Цель занятия: изучить вписанные и описанные призмы и цилиндры

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ЗЗ

План занятия:

1. Вписанные и описанные призмы и цилиндры

2. Примеры

Призма называется вписанной в цилиндр, если все вершины призмы лежат на окружностях оснований цилиндра, то есть если ее основания вписаны в окружности оснований цилиндра. В этом случае также говорят, что цилиндр описан около призмы (см. рис.1).

Рис. 1.

Для того чтобы призму можно было вписать в цилиндр, необходимо и достаточно, чтобы призма была прямая, а около ее основания можно было описать окружность. При этом высота цилиндра равна высоте призмы, а радиус цилиндра равен радиусу окружности, описанной около основания призмы.

Обычно, для решения задач нет необходимости рисовать и призму и цилиндр, достаточно нарисовать плоский чертеж, оговорив, в каком сечении он получится. Как правило, это основание призмы - ABC(см. рис. 2) или осевое сечение цилиндра, содержащее боковое ребро призмы – AA₁ (см. рис. 3).

Рис. 2.

Рис. 3.

Задача 1. В основании прямой призмы квадрат со стороной a=1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, описанного около этой призмы.

Рис. 4.

Решение: Нарисуем сразу основание цилиндра, описанное около основания призмы (см. рис. 4). Радиус, который нас спрашивают это отрезок OA – половина диагонали квадрата.

Рассмотрим треугольник ACD. По теореме Пифагора, .

.

Ответ: .

Призма называется описанной около цилиндра, если основания призмы описаны около оснований цилиндра, то есть призма, у которой плоскостями оснований являются плоскости оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра (см. рис. 5).

Рис. 5.

Цилиндр при этом называется вписанным в призму. Для того чтобы в призму можно было вписать цилиндр, необходимо, чтобы призма была прямая и в основание ее можно было вписать окружность. При этом высота цилиндра равна высоте призмы, а радиус цилиндра равен радиусу окружности, вписанной в основание призмы.

Обычно, для решения задач нет необходимости рисовать и призму и цилиндр, достаточно нарисовать плоский чертеж, оговорив, в каком сечении он получится. Как правило, это основание призмы (см. рис. 6) или осевое сечение цилиндра, содержащее образующую цилиндра, лежащую на боковой поверхности призмы.

Рис. 6.

Задача 2. В основании прямой призмы правильный треугольник со стороной 1. Найдите радиус окружности основания цилиндра, вписанного в эту призму.

Рис. 7.

Решение:

1) Нарисуем основание призмы с вписанной в него окружностью (см. рис. 7). На данном рисунке радиус – это отрезок OL.

2) Применим формулу, изученную в 9 классе: .

Если не помнить эту формулу:

1) Рассмотрим треугольник BLC – прямоугольный. По теореме Пифагора, .

2) В равностороннем треугольнике точка пересечения медиан – точка O делит отрезок BL, как 2:1 считая от вершины. Значит,

.

Ответ: .

Задача 3. Около правильной шестиугольной призмы, со стороной основания 1, описан цилиндр. Найдите радиус окружности основания этого цилиндра.

Решение: Нарисуем сразу нужное нам основание, без пространственного чертежа (см. рис. 8).

Рис. 8.

Мы изучали в девятом классе, что радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен стороне этого шестиугольника. Значит, .

Ответ: 1.

Задача 4. В правильную шестиугольную призму, со стороной основания 1, вписан цилиндр. Найдите радиус этого цилиндра.

Решение:

1) Нарисуем основание призмы ABCDEF и основание цилиндра – окружность, вписанную в шестиугольник (см. рис. 9). Нам надо найти радиус окружности, то есть перпендикуляр от центра окружности до стороны AF – OL.

Рис. 9.

2) Рассмотрим треугольник AOL – прямоугольный (см. рис. 10). Отметим на рисунке все известные нам элементы. Из треугольника AOL:

Рис. 10.

.

3) Угол α – это внутренний угол шестиугольника, .

Ответ: .

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 79

Дисциплина: Математика

Тема: Конус и его элементы. Сечения конуса плоскостями. Усеченный конус

Цель занятия: изучить конус и его элементы. Сечения конуса плоскостями. Усеченный конус

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Конус и его элементы.

2. Сечения конуса плоскостями.

3. Усеченный конус

Рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР, перпендикулярную к плоскости α этой окружности (см. рис. 1). Через точку Р и каждую точку окружности проведем прямую. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые — образующими конической поверхности. Точка Р называется вершиной, а прямая ОР — осью конической поверхности.

Рис. 1.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом (см. рис. 2). Круг называется основанием конуса, вершина конической поверхности — вершиной конуса, отрезки образующих, заключенные между вершиной и основанием — образующими конуса, а образованная ими часть конической поверхности — боковой поверхностью конуса. Ось конической поверхности называется осью конуса, а ее отрезок, заключенный между вершиной и основанием — высотой конуса. Отметим, что все образующие конуса равны друг другу.

Рис. 2.

Конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. На рисунке изображен конус (см. рис. 3), полученный вращением прямоугольного треугольника АВС вокруг катета АВ. При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы АС, а основание — вращением катета ВС.

Рис. 3. Конус, полученный вращением

Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями. Если секущая плоскость проходит через ось конуса, то сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Это сечение называется осевым (см. рис. 4).

Рис. 4.

Если секущая плоскость перпендикулярна к оси конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром О₁, расположенным на оси конуса (см. рис. 5). Радиус этого круга, можно найти из подобия треугольников AOM и AO₁M₁: .

Рис. 5.

В школьном курсе геометрии мы будем рассматривать только прямые круговые конусы (называя их просто конусы), хотя бывают и другие. Если ось конуса не перпендикулярна основанию, то такой конус называется наклонным (см. рис. 6).

Рис. 6. Наклонный конус

Возьмем произвольный конус и проведем секущую плоскость, перпендикулярную к его оси (см. рис. 1). Эта плоскость пересекается с конусом по кругу и разбивает конус на две части. Одна из частей представляет собой конус, а другая называется усеченным конусом. Основание исходного конуса и круг, полученный в сечении этого конуса плоскостью, называются основаниями усеченного конуса, а отрезок, соединяющий их центры — высотой усеченного конуса.

Рис. 1.

Часть конической поверхности, ограничивающая усеченный конус, называется его боковой поверхностью, а отрезки образующих конической поверхности, заключенные между основаниями, называются образующими усеченного конуса. Все образующие усеченного конуса равны друг другу.

Усеченный конус может быть получен вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной к основаниям. На рисунке изображен усеченный конус, полученный вращением прямоугольной трапеции АВСO вокруг стороны СO, перпендикулярной к основаниям АO и ВС (см. рис. 2). При этом боковая поверхность образуется вращением боковой стороны АВ, а основания усеченного конуса — вращением оснований СВ и OА трапеции.

Рис. 2.

Найдем формулу площади боковой поверхности усеченного конуса, зная радиусы r, r₁ оснований и образующую усеченного конуса l (см. рис. 3). Площадь боковой поверхности усеченного конуса, это разность площадей большого конуса и маленького, образованного сечением.

Рис. 3.

Используя формулу нахождения площади боковой поверхности конуса, , запишем: .

Пусть PA₁=x, тогда:

Выразим отсюда x через радиус основания и образующую усеченного конуса. Рассмотрим прямоугольные треугольники РО₁А₁ и РОА. Так как они подобны, составим пропорцию:

Подставим x в формулу площади:

.

Площадь полной поверхности усеченного конуса равна сумме площади боковой поверхности, площади нижнего основания и площади верхнего основания (см. рис. 4):

Рис. 4.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 80

Дисциплина: Математика

Тема: Вписанные и описанные пирамиды и конусы

Цель занятия: изучить вписанные и описанные пирамиды и конусы

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ЗЗ

План занятия:

1. Вписанные и описанные пирамиды и конусы

2. Примеры

Пирамида, вершина которой совпадает с вершиной конуса, а основание – многоугольник, вписанный в окружность основания конуса, называется пирамидой, вписанной в конус. В этом случае также говорят, что конус описан около пирамиды (см. рис. 1).

Рис. 1. Конус описан около пирамиды

Для того чтобы пирамиду можно было вписать в конус, необходимо, чтобы около ее основания можно было описать окружность. При этом высота конуса равна высоте пирамиды, а радиус конуса равен радиусу окружности, описанной около основания пирамиды.

Обычно для решения задач нет необходимости рисовать и пирамиду и конус, достаточно нарисовать плоский чертеж, оговорив, в каком сечении он получится. Как правило, это основание пирамиды (см. рис. 2) или осевое сечение конуса, содержащее боковые ребра пирамиды (см. рис. 3).

Рис. 2. Основание пирамиды

Рис. 3. Осевое сечение конуса

Задача 1. Треугольная пирамида SABC вписана в конус. Найти радиус конуса, если AB=3, BC=4, АС=5.

Решение: чтобы найти радиус конуса, достаточно нарисовать основание пирамиды – треугольник ABC – и описанную около него окружность. Определим, где находится центр окружности относительно треугольника ABC. Так как треугольник со сторонами 3, 4 и 5 – прямоугольный (по теореме Пифагора – ), значит, угол (см. рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

По рисунку видно, что .

Ответ: 2,5.

Пирамида, вершина которой совпадает с вершиной конуса, а основание – многоугольник, описанный около окружности основания конуса, называется пирамидой, описанной около конуса. В этом случае также говорят, что конус вписан в пирамиду (см. рис. 5).

Рис. 5. Конус вписан в пирамиду

Для того чтобы конус можно было вписать в пирамиду, необходимо, чтобы в ее основание можно было вписать окружность. При этом высота конуса равна высоте пирамиды, а радиус конуса равен радиусу окружности, вписанной в основание пирамиды.

Обычно для решения задач нет необходимости рисовать и пирамиду, и конус, достаточно нарисовать плоский чертеж, оговорив, в каком сечении он получится. Как правило, это основание пирамиды (см. рис. 6) или осевое сечение конуса, содержащее высоты боковых граней пирамиды образующим конуса (см. рис. 7).

Рис. 6. Основание пирамиды

Рис. 7. Осевое сечение конуса

Задача 2. Треугольная пирамида SABC описана около конуса. Найти радиус конуса, если AB=4, BC=4, CD=6.

Рис. 8. Иллюстрация к задаче

Решение: сделаем рисунок основания пирамиды – треугольник ABC и основания конуса – окружность, вписанную в треугольник (см. рис. 8). Проведем высоты и обозначим все известные величины. BD=BN, так как это касательные, проведенные к окружности из одной точки. Также из треугольника BDC, найдем катет по теореме Пифагора: .

Чтобы найти радиус, воспользуемся подобием треугольников DCB и NCO. Они подобны по двум углам, так как общий, а .

Составим пропорцию из сторон подобных треугольников: . Подставим все известные величины: .

Ответ: .

Рассмотрим еще два примера решения задач.

Задача 3. Треугольная пирамида SABC вписана в конус. Найти радиус и высоту конуса, если AB=13, BC=14, CA=15, SA=9.

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Решение: начнем с нахождения радиуса, для этого нарисуем основания пирамиды и конуса (см. рис. 9). Так как треугольник ABC – произвольный, найдем радиус по формуле: .

Площадь треугольника можно найти по формуле: .

Найдем полупериметр: и площадь:

Подставим S в формулу радиуса: .

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Чтобы найти высоту конуса сделаем другой чертеж (см. рис. 10), где S – вершина конуса и пирамиды, O – центр основания конуса, R – радиус, который мы нашли ранее. SA=9 – по условию. Найдем H по теореме Пифагора: .

Задача 4. Треугольная пирамида SABC описана около конуса. Найти угол наклона боковой грани пирамиды, если AB=13, BC=14, AC=15, SО=5.

Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Решение: так как в решении задач мы всегда подразумеваем прямой круговой конус, то высота конуса совпадает с высотой пирамиды – SO (см. рис. 11). Значит, O – центр вписанной окружности, и точка O равноудалена от всех сторон треугольника ABC.

Построим угол, который необходимо найти. Угол между плоскостями – это линейный угол двугранного угла. Проведем перпендикуляры SK, OK к линии пересечения плоскостей AC. На рисунке искомый угол – угол α.

Чтобы найти угол α, рассмотрим прямоугольный треугольник SKO, SO=5. Также, в этом треугольнике мы можем найти катет KO, так как это радиус окружности, вписанной в треугольник. .

Найдем площадь треугольника ABC и его полупериметр:

; .

Подставим числа в формулу: .

Нарисуем отдельно треугольник SOK (см. рис. 12). ;

Рис. 12. Иллюстрация к задаче

Ответ:

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 81

Дисциплина: Математика

Тема: Шар и сфера. Сечения шара плоскостью

Цель занятия: изучить шар и сфера. Сечения шара плоскостью

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Шар и сфера

2. Сечения шара плоскостью

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на равном расстоянии от данной точки.

Данная точка называется центром сферы (точка О на рисунке, см. рис. 1), а данное расстояние — радиусом сферы. Радиус сферы часто обозначают латинской буквой R.

Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы. Очевидно, диаметр сферы равен 2R. Отметим, что сфера может быть получена вращением полуокружности ACB вокруг своего диаметра AB.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки пространства, которые расположены от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая и точку О), и не содержит других точек.

Рис.1.

Выведем уравнение сферы радиуса R с центром С(х₀; у₀; z₀) (см. рис. 1). Расстояние от произвольной точки М (х; у; z), до точки С вычисляется по формуле: .

Если точка М лежит на данной сфере, то МС = R, или МС² = R², т. е. координаты точки М удовлетворяют уравнению: .

Если же точка М (х; у; г) не лежит на данной сфере, то, т. е. координаты точки М не удовлетворяют данному уравнению.

Следовательно, в прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С(x₀; у₀; z₀) имеет вид: .

В отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса сферу нельзя развернуть на плоскость, и, следовательно, для нее непригоден способ определения и вычисления площади поверхности с помощью развертки. Для определения площади сферы воспользуемся понятием описанного многогранника. Многогранник называется описанным около сферы (шара), если сфера касается всех его граней. При этом сфера называется вписанной в многогранник (см. рис. 2).

Рис. 2.

Рассмотрим последовательность описанных около данной сферы многогранников, в которой число граней многогранника неограниченно возрастает и при этом наибольший размер каждой грани многогранника стремится к нулю.

За площадь сферы примем предел последовательности площадей поверхностей этих многогранников.

Чуть позже, мы докажем, что .

Поговорим теперь о названиях геометрических фигур, которыми мы пользуемся. В курсе планиметрии словом «треугольник» мы понимали 2 разных объекта (см. рис. 3):

1) 3 точки, не лежащие на одной прямой, попарно соединенные отрезками, то есть замкнутую ломаную из трех звеньев.

2) Часть плоскости, ограниченную этой линией, включая ее саму.

Рис. 3.

Говоря периметр треугольника, мы имели в виду контур. Говоря площадь треугольника, мы имели в виду часть плоскости. Из контекста всегда было понятно, о чем речь и никакой путаницы не возникало.

Исключением является окружность - это линия, и круг - часть плоскости, ограниченная окружностью.

В стереометрии ситуация осложняется.

Под словом куб можно понимать (см. рис. 4):

1) Каркас (из проволоки).

2) Поверхность (то, что мы в жизни назвали бы пустой кубик).

3) Часть пространства, ограниченного этой поверхностью.

О первом понимании в курсе геометрии не говорят, а сразу дают определение многогранника как поверхности. Сначала мы определили прямоугольный параллелепипед, как поверхность, а чуть позже будем употреблять то же слово, для обозначения части пространства, ограниченного этой поверхностью (когда будем говорить об объемах).

Рис. 4.

Существует такое же исключение, что и в планиметрии. Сфера-поверхность, а шар-тело, ограниченное сферой. Поэтому нельзя говорить площадь шара, только площадь сферы (или площадь поверхности шара).

Картографические проекции.

Создание карт выполняется с помощью картографических проекций — способа перехода от реальной, геометрически сложной земной поверхности к плоскости карты. Для этого проектируют изображение на различные вспомогательные поверхности: цилиндр, конус, плоскость.

Рис. 5.

1. Цилиндрические проекции используются для карт мира — модель Земли мысленно помещают в цилиндр и проектируют на его стенки земную поверхность. При развёртывании цилиндра образуется плоское изображение (см. рис. 5).

2. Конические проекции зачастую используются для изображения Евразии, Азии. Для создания данной проекции один или несколько конусов мысленно насаживаются на модель Земли и на них переносят все точки земной поверхности.

3. Иногда в качестве вспомогательной поверхности используют касательную плоскость.

Выбор проекций связан с особенностями карты(место, цели), но в любом случае возникают искажения, из-за того, что сфера не имеет плоской развертки.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 82

Дисциплина: Математика

Тема: Плоскость, касательная к сфере

Цель занятия: изучить плоскость, касательная к сфере

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Плоскость, касательная к сфере

2. Примеры

Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, а их общая точка называется точкой касания плоскости и сферы.

Касательной плоскостью к шару называется касательная плоскость к сфере, которая является границей этого шара.

ТЕОРЕМА:

Признак касательной плоскости

Пусть OF - радиус сферы W(O,R), точка F ∈ α, α ⊥ OF.Плоскость, перпендикулярная радиусу сферы и проходящая через его конец, лежащий на сфере касается сферы.

Пусть M - произвольная точка плоскости α. По условию OF ⊥ α, следовательно OM - наклонная к плоскости α, и поэтому OM>OF, т.е. OM>R. Следовательно точка M не может лежать на сфере, значит плоскость α имеет со сферой только одну общую точку F, т.е. касается сферы в точке F.

О свойстве касательной плоскости к сфере

Касательная плоскость к сфере перепендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть плоскость α касается сферы W(O,R) в точке F. По определению касательной плоскости точка F является единственной общей точкой плоскости α и сферы W(O,R). Следовательно любая другая точка M плоскости α лежит вне сферы, и поэтому OM > OF. Значит, длина отрезка OF - расстояние от центра O до плоскости α, т.е. OF ⊥ α.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 83

Дисциплина: Математика

Тема: Уравнение сферы

Цель занятия: изучить уравнение сферы

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ЗЗ

План занятия:

1. Уравнение сферы

2. Примеры

Пусть центр сферы находится в точке A (a; b; c), а радиус сферы равен R. Точками сферы являются те и только те точки пространства, расстояние от которых до точки A равно R. Квадрат расстояния от любой точки B (x; y; z) сферы до точки A равен

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)².

Поэтому уравнение сферы с центром A (a; b; c) и радиусом R имеет вид:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 84

Дисциплина: Математика

Тема: Объем шара. Площадь сферы

Цель занятия: изучить объем шара. Площадь сферы

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Объем шара.

2. Площадь сферы

Выведем формулу для вычисления объёма шара. Для этого выберем ось OX так, чтобы начало оси совпадало с центром шара (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация

Тогда OC = R – радиус шара, а отрезок OM = x.

1. Рассмотрим сечение шара плоскостью – это круг с центром в точке M. Радиус этого круга найдём из прямоугольного треугольника OMC по теореме Пифагора:

2. Найдём площадь этого сечения :

3. Так как мы выразили площадь черезx, то можем вычислить объём шара с помощью основной формулы объёма тела (объём тела равен интегралу от площади параллельного сечения).

Эту формулу можно преобразовать:

, где D – диаметр шара.

Задача 1 (вычисление объёма шара)

Площадь шара 64 . Найти объём этого шара.

Дано: .

Найти:V

Решение:

1. Для того чтобы найти объём шара, необходимо знать его радиус. Для этого запишем формулу площади шара и выразим из неё радиус.

см

2. Подставим значение радиуса в формулу объёма шара:

Ответ:

Мы знаем, что площадь сферы рассчитывается по формуле:



Докажем эту формулу с помощью формулы объёма шара:



Рис. 1. Иллюстрация к доказательству

Возьмём сферу и опишем вокруг неё многогранник (рис. 1), у которого n граней, и разобьем этот многогранник на пирамиды. Вершины данных пирамид будут совпадать с центром сферы, а основания пирамид являются гранями многогранника. Рассмотрим одну из таких пирамид ABCDO, в ней основание ABCD – грань пирамиды, вершинаO – центр сферы, высота OK – радиус сферы (плоскость ABCD касательная к сфере, следовательно, радиус перпендикулярен этой плоскости). Запишем объём этой пирамиды:

, где – площадь основания пирамиды; R – радиус сферы.

Сложим объёмы всех пирамид и, по свойству объёмов, получим объём многогранника.

, где – площадь поверхности многогранника.

Если представить, что количество граней многогранника бесконечно много (рис. 2), то площадь поверхности многогранника будет приближаться к площади сферы (, объём многогранника – к объёму сферы (

Рис. 2. Иллюстрация к доказательству

Следовательно, площадь сферы равна:

, где – объём сферы



Формула расчёта площади сферы доказана.

Задача 1 (нахождение отношения объёмов двух шаров)

Отношение объёмов двух шаров равно 8. Найти отношение площадей сфер этих шаров.

Дано:

Найти:

Решение:

1. Объём и площадь шара зависят от радиуса шара. Обозначим радиус первого шара , а второго шара – . Следовательно, объём первого шара равен:



Объём второго шара:



По условию , поэтому:







2. Запишем отношение площадей сфер:



Ответ:

Задача 2 (доказательство равенства площадей)

Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник (рис. 3). Высота конуса является диаметром шара (центр шара и центр высоты совпадают). Доказать, что площадь сферы равна площади полной поверхности конуса.

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Дано: – осевое сечение конуса;

Доказать:

Доказательство:

1. Введём обозначения:

– радиус основания конуса.

Так как треугольник равносторонний, то

, где l – образующая конуса.

– радиус шара.

2. Запишем формулу площади полной поверхности конуса:



Так как , то

3. Определим зависимость между радиусом основания конуса и радиусом шара, для этого рассмотрим высоту PK в . Так как этот треугольник равносторонний, то:





Высота PK является диаметром шара, поэтому:







4. Подставим значение радиуса сферы в формулу площади сферы:





Следовательно, площадь сферы равна площади полной поверхности конуса, что и требовалось доказать.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

Скачать материал

Скачать материал "Курс лекций по математике"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 663 611 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Рабочая программа по математике

29.06.2016
420
0

docx

Рабочая программа по математике для учащихся 5-6 классов к учебнику Н.Я.Виленкин и др.

29.06.2016
759
0

docx

Рабочая программа по алгебре и началам математического анализа для учащихся 10-11 классов на базовом уровне к учебнику А.Г.Мордковича и др.

29.06.2016
532
1

docx

Жай бөлшектердің негізгі қасиеті.Жай бөлшектерді қысқарту.

29.06.2016
1180
0

docx

«Ондық бөлшектерді қосу және азайту» тақырыбына есептер шығару

29.06.2016
1000
0

rar

Урок математики в 5 классе на тему "Вычитание десятичных дробей"

29.06.2016
577
0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 29.06.2016 3376
- DOCX 3.1 мбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Казимова Зера Алимовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Казимова Зера Алимовна
- На сайте: 8 лет и 3 месяца
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 7486
- Всего материалов: 4