Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Курс лекций по математике

Курс лекций по математике

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Министерство образования, науки и молодежи Республики Крым

ГАПОУ РК «Симферопольский торгово-экономический колледж»







«Утверждаю»

Зам.директора по УР

___________ О.Н. Сухановская

«___» __________ 20__ г.




КУРС ЛЕКЦИЙ

учебной дисциплины, ПМ «Математика»

по специальностям

38.02.01Экономика и бухгалтерский учет (по отрослям)

38.02.06 Финансы




Разработан:

(Казимова З.А.)

Дата разработки:

«___» _______ 20___ г.

Согласован:

Председатель ЦК

Юзвак Л.Н.



Рассмотрено и одобрено на заседании цикловой комиссии

от «_____» _____________ 20___г., протокол №______


Симферополь, 2016 г.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 1

Дисциплина: Математика

Тема: Функции и их графики. Область определения и область значения функции

Цель занятия: изучить понятия функции, области определения и области значения функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции; определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках; строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

владеть: материалом школьной программы.

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Понятие

2. Понятие графика функции

3. Область определения функции

4. Область значения функции

Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у. Переменную х называют независимой переменной или аргументом. Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y), образуют область значений функции.

Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, то есть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y.

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

7) Периодичность функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.


ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 2

Дисциплина: Математика

Тема: Нули функции, промежутки знакопостоянства. Монотонность функции. Чётность и нечётность функции

Цель занятия: Изучить свойства функции.

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции; определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках; строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Нули функции

2. Промежутки знакопостоянства.

3. Монотонность функции.

4. Чётность и нечётность функции

Основные свойства функций.

1) Область определения функции и область значений функции.

Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y, которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции.

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции.

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции.

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 3

Дисциплина: Математика

Тема: Ограниченная функция. Периодическая функция. Обратная функция

Цель занятия: изучить свойства функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: вычислять значение функции по заданному значению аргумента при различных способах задания функции; определять основные свойства числовых функций, иллюстрировать их на графиках; строить графики изученных функций, иллюстрировать по графику свойства элементарных функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Ограниченная функция.

2. Периодическая функция.

3. Обратная функция

Ограниченная и неограниченная функции.

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.

Периодичность функции.

Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.

Определение обратной функции.

Пусть функция hello_html_m95a475f.pngстрого монотонная (возрастающая или убывающая) и непрерывная на области определения hello_html_6a1ea82b.png, область значений этой функции hello_html_m32a890.png, тогда на интервале hello_html_m6356207d.pngопределена непрерывная строго монотонная функция hello_html_m152bad63.pngс областью значений hello_html_8d21203.png, которая является обратной для hello_html_m95a475f.png.

Другими словами, об обратной функции hello_html_m152bad63.pngдля функции hello_html_m95a475f.pngна конкретном промежутке имеет смысл говорить, если на этом интервале hello_html_m95a475f.pngлибо возрастает, либо убывает.

Функции f и g называют взаимно обратными.

Зачем вообще рассматривать понятие обратных функций?

Это вызвано задачей решения уравнений hello_html_m95a475f.png. Решения как раз и записываются через обратные функции.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 4

Дисциплина: Математика

Тема: Степень с произвольным действительным показателем и ее свойства

Цель занятия: изучить степень с произвольным действительным показателем и ее свойства

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Понятие степени с произвольным действительным показателем и ее свойства

2. Понятие степени с произвольным действительным

3. Степень и ее свойства

Пусть дано положительное число hello_html_m422ab7a8.pngи произвольное действительное число hello_html_2778661b.png. Число hello_html_603c8433.pngназывается степенью, число hello_html_m422ab7a8.png— основанием степени, число hello_html_2778661b.png— показателем степени.

По определению полагают:

  • hello_html_m482fe0c.png.

  • hello_html_5a1bb4a.png.

  • hello_html_2e4cfa5a.png, hello_html_1b5b3bc.png.

Если hello_html_m422ab7a8.pngи hello_html_3e82b39c.png— положительные числа, hello_html_m56f42487.pngи hello_html_m2014bba7.png— любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

  • hello_html_m1e82962a.png.

  • hello_html_m5115dc21.png.

  • hello_html_mb8d50a0.png.

  • hello_html_783f6bd9.png.

  • hello_html_ma230e0e.png.

  • hello_html_4f1c18e8.png.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 5

Дисциплина: Математика

Тема: Степенная функция, ее свойства и график

Цель занятия: изучить график степенной функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Степенная функция, ее свойства и график

2. Степенная функция и график

Степенная функция, ее свойства и график

Вы знакомы с функциями y=x, y=x2, y=x3, y=1/x и т. д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т. е. функции y=xp, где p - заданное действительное число.
Свойства и график степенной функции существенно зависит от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях
x и p имеет смысл степень xp. Перейдем к подобному рассмотрению различных случаев в зависимости от
показателя степени
p.

  1. Показатель p=2n -четное натуральное число.

В этом случае степенная функция y=x2n, где n - натуральное число, обладает следующими

свойствами:

  • область определения - все действительные числа, т. е. множество R;

  • множество значений - неотрицательные числа, т. е. y больше или равно 0;

  • функция y=x2n  четная, так как x2n=(-x)2n

  • функция является убывающей на промежутке x<0 и возрастающей на промежутке x>0.

График функции y=x2n имеет такой же вид, как например график функции y=x4.

hello_html_m193e6bb1.png



        2. Показатель
p=2n-1- нечетное натуральное число
В этом случае степенная функция  
y=x2n-1 , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

  • область определения - множество R;

  • множество значений - множество R;

  • функция y=x2n-1 нечетная, так как (-x)2n-1=x2n-1;

  • функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции y=x2n-1 имеет такой же вид, как, например, график функции y=x3.

hello_html_719f43c0.png



       3.Показатель p=-2n, где n - натуральное число.


В этом случае степенная функция y=x-2n=1/x2n обладает следующими свойствами:

  • область определения - множество R, кроме x=0;

  • множество значений - положительные числа y>0;

  • функция  y=1/x2n четная, так как 1/(-x)2n=1/x2n;

  • функция является возрастающей на промежутке x<0 и убывающей на промежутке x>0.

График функции y=1/x2n имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x2.

hello_html_m4b5b8f73.png


       4.Показатель
p=-(2n-1), где n - натуральное число.
В этом случае степенная функция 
y=x-(2n-1) обладает следующими свойствами:

  • область определения - множество R, кроме x=0;

  • множество значений - множество R, кроме y=0;

  • функция y=x-(2n-1) нечетная, так как (-x)-(2n-1) =-x-(2n-1);

  • функция является убывающей на промежутках x<0 и x>0.

График функции y=x-(2n-1) имеет такой же вид, как, например, график функции y=1/x3.

hello_html_m61dd3eac.png

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 6

Дисциплина: Математика

Тема: Показательная функция, ее свойства и график

Цель занятия: изучить показательную функцию, ее свойства и график

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Показательная функция

2. Показательная функция и ее свойства

3. Показательная функция и ее график

Показательная функция, ее свойства и график

  • Функцию вида y=ax, где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.

  • Область определения показательной функции: D (y)=R – множество всех действительных чисел.

  • Область значений показательной функции: E (y)=R+ - множество всех положительных чисел.

  • Показательная функция  y=ax возрастает при a>1.

  • Показательная функция y=ax убывает при 0

Справедливы все свойства степенной функции:

  • а0=1  Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

  •  а1=а  Любое число в первой степени равно самому себе.

  •  ax∙ay=ax+y   При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.

  •  ax:ay=ax- y  При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

  • (ax)y=axy   При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают

  •  (a∙b)x=ax∙by   При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.

  • (a/b)x=ax/by  При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.

  •   а=1/ax

  •  (a/b)-x=(b/a)x.

Примеры.

1) Построить график функции y=2x. Найдем значения функции

hello_html_74db9834.jpgпри х=0, х=±1, х=±2, х=±3.

x=0, y=20=1;                   Точка А.

x=1, y=21=2;                   Точка В.

x=2, y=22=4;                   Точка С.

x=3, y=23=8;                   Точка D.              

x=-1, y=2-1=1/2=0,5;       Точка K.

x=-2, y=2-2=1/4=0,25;     Точка M.

x=-3, y=2-3=1/8=0,125;   Точка N.

Большему  значению аргумента х соответствует и большее значение функции у. Функция y=2x возрастает на всей области определения D (y)=R, так как основание функции 2>1.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 7

Дисциплина: Математика

Тема: Простейшие показательные уравнения

Цель занятия: научиться решать простейшие показательные уравнения

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Простейшие показательные уравнения

2. Способы решения простейших показательных уравнений

Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида: ax=ay. Отсюда следует равенство: х=у. В самом деле, степени с одинаковыми основаниями могут быть равными только в том случае, если равны показатели этих степеней. Решить уравнение:

1) 5x=125.  Представим число 125 в виде степени числа 5:

5x=53; Степени равны, их основания равны, значит, и показатели степеней будут равны:

x=3.

2) 4x=32. Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 2:

(22)x=25; используем формулу возведения степени в степень: (ax)y=axy  

22x=25;

2x=5  |:2

x=2,5.

 3) 32x-1=81. Число 81 представим в виде степени числа 3:

32x-1=34;  приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями:

2x-1=4;  решаем простейшее линейное уравнение:

2x=4+1;

2x=5  |:2;

x=2,5.

hello_html_m25ce4435.jpg

К правой части применяем формулу: (a/b)-x=(b/a)x. Получим равенство степеней с одинаковыми основаниями.

Приравниваем показатели степеней и находим х из полученного линейного уравнения.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.





ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 8

Дисциплина: Математика

Тема: Приведение некоторых показательных уравнений к простейшим

Цель занятия: изучить способ приведения.

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Приведение некоторых показательных уравнений к простейшим

2. Разбор примеров

Пример 4. Решить уравнение: hello_html_638e06d8.gif.

Решение. Вынесем в левой части уравнения выражение hello_html_48dc2797.gifза скобки, получим: hello_html_48dc2797.gifhello_html_2e971ae9.gif hello_html_3b00c10f.gifhello_html_48dc2797.gif=hello_html_e857950.gif hello_html_m5b33d0d2.gif.

Ответ: hello_html_m5b33d0d2.gif.

Пример 5. Решить уравнение: hello_html_m7d4cbff.gif.

Решение. Так как hello_html_1415d81e.gif, hello_html_5252bc03.gif, hello_html_m13f66f47.gif, то первоначальное уравнение примет вид: hello_html_m73e35be4.gif. Сгруппируем первое, четвертое и второе, третье слагаемые, и вынесем общие множители за скобки: hello_html_7fe2249.gif hello_html_3b00c10f.gif hello_html_334943ad.gif. Полученное уравнение сводится к совокупности уравнений: hello_html_36b4d534.gif, hello_html_m425843f6.gif. Решая эти уравнения логарифмированием обеих частей, находим корни первоначального уравнения: hello_html_5efdb3e6.gif.

Ответ: hello_html_5efdb3e6.gif.

Рассмотрим примеры нескольких видов уравнений, которые могут быть решены вторым методом – методом введения новых переменных.

Уравнение вида hello_html_61f6c37a.gif при помощи введения новой переменой hello_html_40d2f031.gif, сводится к решению алгебраического уравнения hello_html_m3f0b1217.gif.

Пример 6. Решить уравнение: hello_html_m21a5dae0.gif.

Решение. Пусть hello_html_m130b203a.gif. Тогда первоначальное уравнение примет вид: hello_html_m634ea1c9.gif, откуда находим hello_html_mf180346.gif. Таким образом данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений hello_html_52bd33ef.gif и hello_html_m7454b2d7.gif. Решая первое уравнение, получаем hello_html_179dd939.gif. Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как hello_html_m724786cd.gifпри любом значении переменной, а hello_html_m6e80c23d.gif.

Ответ: hello_html_179dd939.gif.

Пример 7. Решить уравнение: hello_html_mcdcebda.gif.

Решение. Учитывая, что hello_html_m75962dbd.gifhello_html_m1a4ee502.gif и hello_html_472cdc2a.gif, получим уравнение hello_html_339e551c.gif. Введем новую переменную hello_html_m39ff476e.gif, получим: hello_html_51135695.gif. Преобразуя это дробно-рациональное уравнение, придем к следующему уравнению: hello_html_m41be00b7.gif. Последнее уравнение распадается на совокупности двух уравнений, решая которые получаем: hello_html_m32387805.gif hello_html_12b69176.gif, hello_html_m50cf09f7.gif. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений: hello_html_m63350941.gif; hello_html_50c8114.gif; hello_html_m6a3af5b8.gif. Из первого уравнения находим hello_html_m28b8f0d6.gif. Логарифмируя обе части второго уравнения по основанию 2, находим hello_html_7bf2e1a.gif.Третье уравнение решений не имеет, так как hello_html_5710f09.gif, в то время как hello_html_m78aff37.gif при любом значении переменной.

Ответ: hello_html_m28b8f0d6.gif; hello_html_7bf2e1a.gif.

Пример 8. Решить уравнение: hello_html_7f6b90f8.gif .

Решение. Так как hello_html_m409be4af.gif, то имеем: hello_html_6257f84d.gif. Разделим обе части уравнения на hello_html_5197ab5d.gif, получим: hello_html_5d87d4d3.gif. Введем новую переменную hello_html_20883188.gif, придем к квадратному уравнению hello_html_m21745ac3.gif, решая которое, получим hello_html_m9ba5ddf.gif, hello_html_57ef144c.gif. Таким образом, решение первоначального уравнения сводится к решению совокупности двух показательных уравнений: hello_html_m76060486.gif; hello_html_m467eead5.gif, решая которые получим: hello_html_m243718f3.gif. Ответ: hello_html_m243718f3.gif.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 9

Дисциплина: Математика

Тема: Практическое применение показательной функции и показательных уравнений

Цель занятия: изучить практическое применение показательной функции и показательных уравнений

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Практическое применение показательной функции и показательных уравнений

2. Разбор примеров

Решение показательных уравнений, встречающихся в заданиях ЕГЭ

1) Решить уравнение:

. В ответе запишите корень уравнения или сумму корней, если их несколько.


Решение: существует теорема, способная облегчить решение данного уравнения:

Теорема: если функция f(х) возрастает на Y, а g(x) убывает на Y, то уравнение вида f(x)=g(x) имеет не более одного корня.

Следовательно, - функция убывающая , так как 0<0,2<1 на R. - возрастающая на [-7; +∞). Итак, есть корень, методом подбора определяем х=-2, проведём проверку:



Ответ: -2.

2) Найдите значение выражения 6n+m , если


Решение: , умножим числитель и знаменатель дроби на 6m,

6n+m-3= -5∙(6m+n-6)

6n+m-3= -5∙6m+n+30

6∙6m+n= 33

6n+m= 5,5


Ответ: 6n+m= 5,5

3) Найдите значение выражения:
3
x ∙(3x-3), если 3x+3-x=3.


Решение: 3x+3-x=3 | ∙3x

32x+1= 3∙3x

32x-3∙3x= -1

3x∙(3x-3)= -1


Ответ: 3x∙(3x-3)= -1.


4) Решите уравнения

Пусть

D=25

t1=1, t2= - (т.к. a+b+c=0)

число t= -не удовлетворяет условию t>0

t=1, ,

x2+2x-3=0,

x1=1, x2= -3 (т.к. a+b+c=0)

Ответ: -3; 1 .

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 10

Дисциплина: Математика

Тема: Простейшие показательные неравенства

Цель занятия: изучить простейшие показательные неравенства

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Простейшие показательные неравенства

2. Примеры

Решение показательных неравенств вида hello_html_m7d16e193.gif, где а – положительное число отличное от 1, основано на следующих теоремах:

  1. Если а >1, то неравенство hello_html_m7d16e193.gif равносильно неравенству hello_html_m11ec1159.gif.

  2. Если 0 < а < 1, то неравенство hello_html_m7d16e193.gifравносильно неравенству hello_html_13fd8e14.gif.

Другие показательные неравенства теми или иными методами, как правило, сводятся к неравенству этого вида.

Решить неравенство hello_html_70a67d15.gif. …………………………(1)

Решение. 1) Воспользовавшись свойствами степени с рациональным показателем, преобразуем неравенство (1) к виду hello_html_m19587e83.gif.

2) По теореме 1 неравенство (1) равносильно неравенству hello_html_m7c3226d.gif.

3) Преобразуем полученное дробно-рациональное неравенство к виду hello_html_12c2f5c6.gif

решив полученное неравенство методом интервалов, получаем hello_html_127b0c41.gif.

Ответ: hello_html_127b0c41.gif.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 11

Дисциплина: Математика

Тема: Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество

Цель занятия: изучить логарифм числа. Основное логарифмическое тождество

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Логарифм числа.

2. Основное логарифмическое тождество

Логарифмом  положительного числа  N  по основанию  ( b > 0,  bhello_html_m3b41fae2.gif1 ) называется показатель степени  x , в которую нужно возвести  b, чтобы получить N . 


Обозначение логарифма:

                                                     

hello_html_49a58d8.gif

 

Эта запись равнозначна следующей:  bx = N .

 

П р и м е р ы :     log3  81 = 4 , так как  34  = 81 ;

 

                             log1/3 27 = 3 , так как  ( 1/3 ) -3 = 33 = 27 .

                                 

Вышеприведенное определение логарифма можно записать в виде тождества:

hello_html_6bcec605.gif

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ №12

Дисциплина: Математика

Тема: Основные свойства логарифмов. Формула перехода от одного основания логарифма к другому

Цель занятия: изучить основные свойства логарифмов. Формула перехода от одного основания логарифма к другому

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Основные свойства логарифмов.

2. Формула перехода от одного основания логарифма к другому

Основные свойства логарифмов.

1)   log   b = 1так как  b 1 = b .

2)   log   1 = 0 ,  так как  b 0 = 1 .

3)  Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

log ( ab ) = log  a + log  b .

4)  Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя:

log ( a / b ) = log  a – log  b .

5)  Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм её основания: 

log  ( b k ) = k · log  b .

Следствием этого свойства является следующее: логарифм корня равен логарифму подкоренного числа, делённому на степень корня:

hello_html_m22bead89.gif

6)  Если в основании логарифма находится степень, то величину, обратную показателю степени, можно вынести за знак логарифма:

hello_html_m50aa2501.gif

Два последних свойства можно объединить в одно:

hello_html_77326f7a.gif 

7)  Формула модуля перехода ( т.e. перехода от одного основания логарифма к другому основанию ):

hello_html_mc6d268f.gif

В частном случае при  N = a  имеем:  

hello_html_m5f0a1275.gif

Десятичным логарифмом называется  логарифм по основанию 10. Он обозначается  lg , т.е. log 10 N = lg N . Логарифмы чисел 10, 100, 1000, ... pавны соответственно 1,  2,  3, …,  т.е. имеют столько положительных

единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе после единицы. Логарифмы чисел 0.1, 0.01, 0.001, ... pавны соответственно –1,  –2,  –3, …, т.е. имеют столько отрицательных единиц, сколько нулей стоит в логарифмируемом числе перед единицей ( считая и нуль целых ). Логарифмы остальных чисел имеют дробную часть, называемую мантиссой. Целая часть логарифма называется характеристикой. Для практического применения десятичные логарифмы наиболее удобны.

Натуральным логарифмом называется  логарифм по основанию  е. Он обозначается  ln , т.е. log e N = ln N. Число е является иррациональным, его приближённое значение 2.718281828. Оно является пределом, к которому стремится число ( 1 + 1 / n ) n  при неограниченном возрастании  n . Как это ни покажется странным, натуральные логарифмы оказались очень удобными при проведении различного рода операций, связанных с анализом функций. Вычисление логарифмов по основанию  е  осуществляется гораздо быстрее, чем по любому другому основанию.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 13

Дисциплина: Математика

Тема: Логарифмическая функция, её свойства и график

Цель занятия:

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лнкция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Логарифмическая функция и ее свойства

Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают R+. Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию а.

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел.

3. Если основание логарифмической функции a>1, то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство 0

4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при x>1, и отрицательной при 0<х<1.

6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при х>1, и положительной при 0

hello_html_7eddc2f5.jpg

На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции - (0

hello_html_m643c603b.jpg

7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид.

8. Функция не имеет точек максимума и минимума.

Оснащение: доска.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.










































ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 14

Дисциплина: Математика

Тема: Свойства и график логарифмической функции

Цель занятия:

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лнкция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Логарифмическая функция и график


Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой y = x. Данное утверждение показано на следующем рисунке.

hello_html_m5ae6a55f.jpg

Изложенное выше утверждение будет справедливо, как для возрастающих, так и для убывающих логарифмических и показательных функций. Рассмотрим пример: найти область определения логарифмической функции f(x) = log8(4 - 5*x).

Исходя из свойств логарифмической функции, областью определения является все множество положительных вещественных чисел R+. Тогда заданная функция будет определена для таких х, при которых 4 - 5*x>0. Решаем это неравенство и получаем x<0.8.

Таким образом, получается, что областью определения функции f(x) = log8(4 - 5*x) будет являться промежуток (-∞;0.8)

Оснащение: доска.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 15

Дисциплина: Математика

Тема: Методы решения простейших логарифмических уравнений

Цель занятия: изучить методы решения простейших логарифмических уравнений

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Логарифмическое уравнение

2. Методы решения простейших логарифмических уравнений

Логарифмическое уравнение – это трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент логарифма.

При решении логарифмических уравнений используются два основных метода: 1) переход от уравнения hello_html_m32a6db43.gif к уравнению видаhello_html_7746f9ec.gif; 2) введение новых переменных.

Замечание. Так как область определения логарифмической функции только множество положительных действительных чисел, при решении логарифмических уравнений необходимо либо находить область допустимых значений уравнения (ОДЗ), либо после нахождения решений уравнения делать проверку.

Рассмотрим некоторые виды простейших логарифмических уравнений.

Решение простейшего логарифмического уравнения hello_html_4c723ef4.gif……(1)

Основано на следующем важном свойстве логарифмов:

логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному отличному от единицы основанию равны тогда и только тогда, когда равны эти числа.

Для уравнения (1) из этого свойства получаем: hello_html_7e09c8c4.gif - единственный корень.

Для уравнения вида hello_html_51de1ed.gif…………..(2) получаем равносильное уравнение hello_html_7abd2dee.gif.

Пример Решить уравнение hello_html_6e1cc5f.gif.

Решение. Поскольку hello_html_mcc50c5d.gif, hello_html_m3ec70c1.gif, то исходное уравнение равносильно уравнению hello_html_m7d009e37.gif hello_html_3b00c10f.gif hello_html_m6c9cbbb6.gif. Отсюда получаем hello_html_4447e3f8.gif -единственный корень данного уравнения.

Ответ: hello_html_4447e3f8.gif.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.





ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 16

Дисциплина: Математика

Тема: Методы решения более сложных логарифмических уравнений

Цель занятия: изучить методы решения более сложных логарифмических уравнений

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Методы решения более сложных логарифмических уравнений

2. Примеры

Решить уравнение hello_html_65b3ffdf.gif.

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению hello_html_5ad9d1dd.gif , которое в свою очередь равносильно квадратному уравнению hello_html_m5cec82d1.gif. Находим корни этого уравнения : х1=3, х2=2.

Ответ: х1=3, х2=2.

К простейшим логарифмическим уравнениям относятся также уравнения вида hello_html_61ebce01.gif………………(3), которое а) при Аhello_html_m6475e144.gif1 и Вhello_html_m6475e144.gif0 имеет единственный корень hello_html_m59b1c73d.gif; б) при А=1 и В=0 имеет решением любое положительное, отличное от единицы, число; в) при А=1 и Вhello_html_m6475e144.gif0 корней не имеет; г) при Аhello_html_m6475e144.gif1 и В=0 корней не имеет.

Рассмотрим методы сведения логарифмических уравнений к простейшим уравнениям и системам уравнений и неравенств.

1) Уравнение вида hello_html_1c7e9fdc.gif методом замены переменной: hello_html_921dab7.gifсводится к уравнению hello_html_734f07d8.gif. Если t1, t2,…,tn – корни этого уравнения, то решение первоначального уравнения сводится к решению совокупности простейших уравнений: hello_html_m4b8ccdb1.gif, hello_html_71a042ce.gif,…, hello_html_1109b082.gif.

Пример 11. Решить уравнение hello_html_7b3f7bab.gif.

Решение. 1) Обозначим hello_html_1a9f1245.gif, тогда уравнение примет вид hello_html_6b784626.gif

2) Решим полученное дробно-рациональное уравнение

hello_html_6b784626.gifhello_html_3b00c10f.gifhello_html_m3f5372be.gifhello_html_3b00c10f.gifhello_html_m32470561.gifhello_html_3b00c10f.gifhello_html_m6ed5cebb.gif

3) Найдем значения старой переменной, решив совокупность уравнений:

hello_html_3aabfba8.gifhello_html_3b00c10f.gifх1=10, х2 = hello_html_5ee7160f.gif

Ответ: х1=10, х2 = hello_html_5ee7160f.gif.

2) Уравнение вида hello_html_6bc5f2c9.gif, можно заменить одной из равносильных ему систем: hello_html_61fc36fd.gif или hello_html_1d291f2e.gif

Пример 12. Решить уравнение hello_html_4dd1530c.gif.

Решение. 1) Уравнение равносильно системе: hello_html_7824e7fd.gif

2) Решим первое неравенство системы: hello_html_69771999.gif.

3) Решим второе уравнение системы: hello_html_m538dcd51.gif hello_html_3b00c10f.gif hello_html_m19bf9f88.gif hello_html_3b00c10f.gif

hello_html_529d1697.gif. Оба корня уравнения удовлетворяют неравенству системы.

Ответ: hello_html_529d1697.gif.

Пример 13. Решить уравнение hello_html_m6505167e.gif.

Решение. 1) Найдем область допустимых решений данного уравнения, для чего решим систему неравенств: hello_html_f7e9aef.gif. Первое неравенство системы выполняется при любых значениях переменной, второе - при hello_html_m9e9af38.gif. Поэтому система имеет решение hello_html_m9e9af38.gif.

2) Для решения уравнения перейдем к одному основанию логарифмов, а именно к основанию 2, воспользовавшись свойствами логарифмов:

hello_html_m7e237b35.gifhello_html_3b00c10f.gifhello_html_70aa2de0.gifhello_html_3b00c10f.gifhello_html_m355fe0b8.gif.

Решая полученное дробно-рациональное уравнение, находим: hello_html_mecef592.gif, hello_html_m70df9539.gif, hello_html_m7701104c.gif. Из найденных значений только hello_html_m70df9539.gif входит в область допустимых решений уравнения.

Ответ: hello_html_mf5b9ae6.gif.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 17

Дисциплина: Математика

Тема: Методы решения логарифмических уравнений, сводящихся к простейшим

Цель занятия: изучить методы решения логарифмических уравнений, сводящихся к простейшим

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Методы решения логарифмических уравнений, сводящихся к простейшим

2. Примеры

Решить уравнение hello_html_m6505167e.gif.

Решение. 1) Найдем область допустимых решений данного уравнения, для чего решим систему неравенств: hello_html_f7e9aef.gif. Первое неравенство системы выполняется при любых значениях переменной, второе - при hello_html_m9e9af38.gif. Поэтому система имеет решение hello_html_m9e9af38.gif.

2) Для решения уравнения перейдем к одному основанию логарифмов, а именно к основанию 2, воспользовавшись свойствами логарифмов:

hello_html_m7e237b35.gifhello_html_3b00c10f.gifhello_html_70aa2de0.gifhello_html_3b00c10f.gifhello_html_m355fe0b8.gif.

Решая полученное дробно-рациональное уравнение, находим: hello_html_mecef592.gif, hello_html_m70df9539.gif, hello_html_m7701104c.gif. Из найденных значений только hello_html_m70df9539.gif входит в область допустимых решений уравнения.

Ответ: hello_html_mf5b9ae6.gif.

Пример 14. Решить уравнение hello_html_4f7bc223.gif.

Решение. 1) Область допустимых решений уравнения hello_html_m6b1abace.gif

2) Воспользуемся свойствами логарифмов и преобразуем первоначальное уравнение:

hello_html_1a16fee.gif

3) Введем новую переменную hello_html_m2230258.gif. Тогда уравнение примет вид:

hello_html_m6615e8d0.gif. Найдем корни этого квадратного уравнения hello_html_7224e73f.gif, hello_html_m2d5c9844.gif.

4) Первоначальное уравнение, таким образом, свелось к системе двух простейших логарифмических уравнений: hello_html_37b0b1d0.gif, hello_html_5f4cddef.gif. Решив эти уравнения получим:

х1 = 16, х2 = hello_html_m791aa2c4.gif. Оба подученных корня входят в область допустимых решений первоначального уравнения.

Ответ: х1 = 16, х2 = hello_html_m791aa2c4.gif.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 18

Дисциплина: Математика

Тема: Радианная мера угла

Цель занятия: изучить понятие радианная мера угла

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Радианная мера угла

2. Разбор примеров

Наравне с  градусной мерой угла используется  радианная.

Возьмем на координатной плоскости окружность с центром в точке О и радиусом R. Отметим на ней дугу РМ, длина которой равна R и угол РОМ.

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.hello_html_m5604f522.png

Градусная мера угла в 1 радиан равна:

Так как дуга длиной πR (полуокружность), стягивает центральный угол в 180°, то дуга длиной R, стягивает угол в π раз меньший, т.е.

hello_html_m252225db.png

И наоборот

hello_html_m4a0c3cd7.png

Так как π = 3,14, то 1 рад = 57,3°

Если угол содержит a радиан, то его градусная мера равна

hello_html_m2e225fec.png

И наоборот

hello_html_m161a3866.png

Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование «рад» опускают.

Например, 360° = 2π рад, пишут 360° = 2π

Пример 1.

Найти радианную меру угла равного а) 40° ,  б)120° ,  в)105°

Решение

а) 40° = 40·π / 180 = 2π/9

б) 120° = 120·π/180 = 2π/3

в) 105° = 105·π/180 = 7π/12

Пример 2.

Найти градусную меру угла выраженного в радианах а) π/6 ,  б) π/9,  в) 2·π/3

Решение

а) π/6 = 180°/6 = 30°

б) π/9 = 180°/9 = 20°

в) 2π/3 = 2·180°/6 = 120°

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 19

Дисциплина: Математика

Тема: Тригонометрические функции: синус, косинус

Цель занятия: изучить тригонометрические функции: синус, косинус

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Тригонометрические функции

2. Синус

3. Косинус

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке hello_html_4b0abee8.pngи с осями hello_html_m797d270d.pngи hello_html_5de84e13.png(см. Рис. 3). Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке hello_html_4b0abee8.pngи радиусом, равным единице. Пусть отрезок hello_html_7c80a637.pngповорачивается на произвольный угол hello_html_m538e03e5.pngвокруг центра hello_html_4ed5e1f8.png

Синусом угла hello_html_m538e03e5.pngназывается отношение ординаты точки hello_html_502c7336.pngк длине отрезка hello_html_992720f.pngОбозначают hello_html_m1001ddb0.pngТак как длина отрезка hello_html_7c80a637.pngравна hello_html_6cecbaef.png, то hello_html_4232abe3.png

Косинусом угла hello_html_m538e03e5.pngназывается отношение абсциссы точки hello_html_502c7336.pngк длине отрезка hello_html_992720f.pngОбозначают hello_html_m12650408.pngТак как длина отрезка hello_html_7c80a637.pngравна 1, то hello_html_m43205a36.png

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 20

Дисциплина: Математика

Тема: Тригонометрические функции: тангенс, котангенс

Цель занятия: изучить тригонометрические функции: тангенс, котангенс

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Тригонометрические функции: тангенс, котангенс

2. Разбор примеров

Тангенсом угла hello_html_m538e03e5.pngназывается отношение ординаты точки hello_html_502c7336.pngк абсциссе точки hello_html_502c7336.png. Обозначают hello_html_387c5497.png(в англоязычной литературе hello_html_m14274ae.pngТак как hello_html_m309b6cde.pngи hello_html_m37954a3a.pngто hello_html_m7d5566bf.png

Котангенсом угла hello_html_m538e03e5.pngназывается отношение абсциссы точки hello_html_502c7336.pngк ординате точки hello_html_502c7336.png. Обозначают hello_html_m4d5374ca.png(в англоязычной литературе hello_html_43c7b3ff.pngТак как hello_html_m309b6cde.pngи hello_html_m37954a3a.pngто hello_html_2983b774.pngКотангенс равен обратному значению тангенса: hello_html_m7262bf3c.png

Секансом угла hello_html_m538e03e5.pngназывается отношение длины отрезка hello_html_7c80a637.pngк абсциссе точки hello_html_502c7336.png. Обозначают hello_html_4a2807ec.pngТак как длина отрезка hello_html_7c80a637.pngравна 1, то hello_html_6f28f3ce.pngСеканс равен обратному значению косинуса: hello_html_m290e7fbe.png

Косекансом угла hello_html_m538e03e5.pngназывается отношение длины отрезка hello_html_7c80a637.pngк ординате точки hello_html_502c7336.png. Обозначают hello_html_372ca8ba.png(в англоязычной литературе hello_html_11afcd4a.pngТак как длина отрезка hello_html_7c80a637.pngравна hello_html_6cecbaef.png, то hello_html_m202c8b05.pngКосеканс равен обратному значению синуса: hello_html_a565fa4.png

Из определения следует: если косинус угла равен нулю, то тангенс и секанс этого угла не существуют. Аналогично для котангенса и косеканса: если синус угла равен нулю, то котангенс и косеканс этого угла не существуют.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 21

Дисциплина: Математика

Тема: Свойства и графики тригонометрических функций y = sinx, y = cosx

Цель занятия: изучить свойства и графики тригонометрических функций y = sinx, y = cosx

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Свойства и графики тригонометрических функций y = sinx

2. Свойства и графики тригонометрических функций y = cosx

а)  Область определения:   D (sin x) = R .

    б)  Множество значений:   E (sin x) = [ – 1 ,  1 ] .

в)  Четность, нечетность:   функция нечетная.

    г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T = 2hello_html_m714d6ae7.gif

    д)  Нули функции:  sin x = 0  при   x = hello_html_m714d6ae7.gifn,   n hello_html_m1413cab6.gif Z.

    е)  Промежутки знакопостоянства:

hello_html_m3dac91f4.gif;      hello_html_m5150fb86.gif.

ж)  Промежутки монотонности:

hello_html_m1f44cc27.gif;

hello_html_m315c6442.gif.

з)  Экстремумы:

hello_html_758ff1e8.gif;          hello_html_47c112f4.gif.

     График функции    y= sin x   изображен на рисунке.

hello_html_m789a9a3.jpg

а)  Область определения:   D (cos x) = R .

    б)  Множество значений:   E (cos x ) = [ – 1 ,  1 ] .

в)  Четность, нечетность:   функция четная.

    г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T = 2hello_html_m714d6ae7.gif    д)  Нули функции:  cos x = 0  при   x = hello_html_m7ce96cf6.gif + hello_html_m714d6ae7.gifn,   n hello_html_m1413cab6.gif Z.

   е)  Промежутки знакопостоянства:

hello_html_379e851a.gif
hello_html_m4b868361.gif.

.      ж)  Промежутки монотонности:

hello_html_m7cf4a03c.gif;

hello_html_m160bc501.gif.

      з)  Экстремумы:

hello_html_m7be5b2a8.gif;            hello_html_38538b55.gif.

     График функции    y= cos x   изображен на рисунке.

hello_html_39605cb.jpg

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 22

Дисциплина: Математика

Тема: Свойства и графики тригонометрических функций y = tgx, y = ctgx

Цель занятия: изучить свойства и графики тригонометрических функций y = tgx, y = ctgx

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Свойства и графики тригонометрических функций y = tgx

2. Свойства и графики тригонометрических функций y = ctgx

а)  Область определения:   D (tg x) = R \ {hello_html_m714d6ae7.gif/2 + hello_html_m714d6ae7.gif n( n hello_html_m1413cab6.gif Z ) }.

    б)  Множество значений:   E (tg x ) = R .

в)  Четность, нечетность:   функция нечетная.

    г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T = hello_html_m714d6ae7.gif.

    д)  Нули функции:  tg x = 0  при   x = hello_html_m714d6ae7.gifn,   n hello_html_m1413cab6.gif Z.

      е)  Промежутки знакопостоянства:

hello_html_650e4094.gif;       hello_html_7215e5e0.gif.

      ж)  Промежутки монотонности:  функция возрастает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области определения.

      з)  Экстремумы:  нет.

   График функции   y = tg x   изображен на рисунке.

hello_html_7bd5ad41.jpg

а)  Область определения:   D (ctg x) = R \ {hello_html_m714d6ae7.gif n( n hello_html_m1413cab6.gif Z ) }.

    б)  Множество значений:   E (ctg x ) = R .

в)  Четность, нечетность:   функция нечетная.

    г)  Периодичность:   функция периодическая с основным периодом  T = hello_html_m714d6ae7.gif.

    д)  Нули функции:  ctg x = 0  при   x = hello_html_m714d6ae7.gif/2 + hello_html_m714d6ae7.gifn,   n hello_html_m1413cab6.gif Z.

    е)  Промежутки знакопостоянства ;

hello_html_49f9b44a.gif;       hello_html_m686bf434.gif.

     ж)  Промежутки монотонности:  функция убывает на каждом интервале, целиком принадлежащем ее области  определения.

     з)  Экстремумы:  нет.

   График функции   y = ctg x  изображен на рисунке.

 

hello_html_m5242f67e.jpg

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 23

Дисциплина: Математика

Тема: Преобразование графиков тригонометрических функций

Цель занятия: изучить преобразование графиков тригонометрических функций

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Преобразование графиков тригонометрических функций

2. Примеры

Функцию у=f(x) называют периодической ,если существует такое отличное от нуля число Т ,что выполняется двойное равенство f ( x - T) = f(x) = f(x + T)

Т - период функции у=f(x)

sin ( x - T) =sin x =sin (x + T) . Аналогично для у=cos x

Функции у=sin x , у=cos x являются периодическими . Наименьший период их равен 2hello_html_m161cdf35.png.Любое число вида 2hello_html_m161cdf35.pngk ,где k =hello_html_m58ed7ce8.png1,hello_html_m58ed7ce8.png2,hello_html_m58ed7ce8.png3 ,... ,является периодом у=sin x , у=cos x .

Наименьший период функций у= tg x , y= ctg xявляется hello_html_m161cdf35.png.

Основной период функций у=sin kx и у=cos kx равен hello_html_m77019e2e.png

А для у= tg x и y= ctg xhello_html_m59f35e4f.png

Пример.

Найти основной период функции:

а) у=cos 3x |k|=|3|=3 T = hello_html_m77019e2e.png= hello_html_m56f33302.png-период у=cos 3x

б) у = tg 0,5 x |k|=|0,5|=0,5 Т = hello_html_m59f35e4f.png= hello_html_6e2990a.png= hello_html_310848f.pngпериод у = tg 0,5x

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 24

Дисциплина: Математика

Тема: Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

Цель занятия: изучить основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента

2. Тригонометрические тождества

hello_html_fdff7e1.gifhello_html_m1405002c.gifhello_html_m30928c8c.gifhello_html_5b18bea9.gifhello_html_m2b2231c0.gifhello_html_36be5bf2.gif

Следует иметь в виду, что указанные равенства верны  при всех значениях x,  при  которых  их  левая  и  правая части одновременно имеют  смысл  (т.е. в областях определения)  и их называют  основными тригонометрическими тождествами. При использовании тождеств  hello_html_777e59ce.gif  необходимо учитывать  области их определения.   Например, областью определения тождества   hello_html_m326eebf8.gif  является  все множество действительных чисел   R;  область определения  тождества  hello_html_3c15a33d.gif  задается  условием hello_html_428eb27c.gif

область определения  тождества  hello_html_691cc26a.gif –   условием

hello_html_1e6960e5.gif

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 25

Дисциплина: Математика

Тема: Формулы приведения

Цель занятия: изучить формулы приведения

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Формулы приведения

2. Примеры

Значения  тригонометрических  функций  аргументов hello_html_m499db7bb.gif выражаются   через  значения  соответствующих  функций аргумента  x  по  формулам приведения  (см. таблицу),  которые  можно  сформулировать  в  виде  следующего  правила: а)  при переходе от функции углов hello_html_16af154.gif к  функциям   угла    название  функции   изменяют:   синус  на  косинус, тангенс  на  котангенс  (и наоборот),  а  при  переходе  от  функции  углов  hello_html_d1b9ea8.gif  к  функции  угла   x   название  функции  сохраняют;

     б)  считая    острым   углом   (т.е.  0 < x < hello_html_m714d6ae7.gif)

2)   перед  функцией  угла   x ставят  такой  знак,   который   имеет  исходная   функция   в  соответствующей  четверти.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 26

Дисциплина: Математика

Тема: Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени. Формулы половинного аргумента

Цель занятия: изучить формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций. Формулы двойного аргумента. Формулы понижения степени. Формулы половинного аргумента

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций.

2. Формулы двойного аргумента.

3. Формулы понижения степени.

4. Формулы половинного аргумента

hello_html_m25c5ea33.gif

hello_html_m344c8c79.gif

hello_html_m664e8067.gif

hello_html_m32f7c3d2.gif

hello_html_ef3432b.gifhello_html_m27618eb7.gif   hello_html_m4c071f89.gif

hello_html_m1ae39490.gifhello_html_m27618eb7.gif   hello_html_43d6fad1.gif

hello_html_m53effb75.gif

hello_html_m48260a10.gif

hello_html_m7eb7ecce.gif                 hello_html_m6909982b.gif

hello_html_m4fdd30b3.gif                     hello_html_m4853ae48.gif

hello_html_4bf73fc8.gif                      hello_html_m8fb73ee.gif

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 27

Дисциплина: Математика

Тема: Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций на произведение, формулы преобразования произведения тригонометрических функций на сумму

Цель занятия: изучить формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций на произведение, формулы преобразования произведения тригонометрических функций на сумму

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КПЗУН

План занятия:

1. Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций на произведение

2. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций на сумму

hello_html_m16a90e98.gif

hello_html_41cfce14.gif

hello_html_m657d7b25.gif

hello_html_m2c34e5f2.gif

hello_html_m25639800.gif

hello_html_5a2b14b1.gif

hello_html_1ac8e203.gif           hello_html_m15f92917.gif

hello_html_2f1ec62a.gif        hello_html_m28a96159.gif

hello_html_m548666c1.gif

hello_html_77dc469d.gif

hello_html_m3bb0bb90.gif

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 28

Дисциплина: Математика

Тема: Обратные тригонометрические функции y = arcsinx, y = arccosx, их свойства и графики

Цель занятия: изучить обратные тригонометрические функции y = arcsinx, y = arccosx, их свойства и графики

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Обратные тригонометрические функции y = arcsinх, его свойства и график

2. Обратные тригонометрические функции y = arccosx, его свойства и график

Арксинусом  числа   y  hello_html_m1413cab6.gif [ – 1, 1]    называется  такая   дуга    hello_html_20b1c1da.gif, синус  которой  равен  y,   т.е. hello_html_m6d664b93.gif L hello_html_m67b8122e.gif.

       Функция   x = arcsin y   является   обратной  к  функции    y = sin x   на отрезке  hello_html_20b1c1da.gif.    Для   исходной  и  обратной  функций   привычнее  аргументы  и   функцию  обозначать  одними   и  теми  же  буквами:     y = sin xy = arcsin x.  

      В  таких  обозначениях  графики  указанных  функций  симметричны     относительно  прямой   y = x.   Поэтому,  нарисовав  график  функции   y = sin x на отрезке   hello_html_m1ccfc99a.gif   и  симметрично   отобразив   его   относительно   прямой
y = x,   получим  график  арксинуса.

hello_html_m25d7ded0.jpg

Арккосинусом  числа   y hello_html_m1413cab6.gif [– 1,  1]   называется  такая  дуга   x hello_html_m1413cab6.gif [ 0 , hello_html_m714d6ae7.gif],  косинус  которой равен  y,  т.е.

hello_html_45eb757a.gif L hello_html_76be41fd.gif.

    Функция x = arccos y является обратной к функции y = cosх на отрезке x hello_html_m1413cab6.gif [ 0, hello_html_m714d6ae7.gif]. Для исходной и обратной функций привычнее аргументы  и  функцию   обозначать  одними  и  теми  же  буквами:    y = cos x,   y = arccos x. График  функции    y = arccos x    приведен  на  рисунке.

hello_html_7b0b6ed4.jpg

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 29

Дисциплина: Математика

Тема: Обратные тригонометрические функции y = arctgx, y = arcctgx, их свойства и графики

Цель занятия: изучить обратные тригонометрические функции y = arctgx, y = arcctgx, их свойства и графики

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Обратные тригонометрические функции y = arctgx, их свойства и графики

2. Обратные тригонометрические функции y = arcctgx, их свойства и графики

Арктангенсом  числа   y hello_html_m1413cab6.gif R   называется   такая  дуга    hello_html_m5b6159dd.gif,   тангенс которой равен    y,   т.е.
hello_html_m63d6ef68.gif L hello_html_m619d215.gif.

     Функция   x = arctg y   явлется  обратной  к  функции,   y = tg x   на  интервале hello_html_m5b6159dd.gif.    Для   исходной   и  обратной  функций   привычнее  аргументы  и  функцию   обозначать  одними  и  теми  же  буквами:   y = tg x,    y = arctg x. График  функции    y = arctg x    приведен  на  рисунке.

hello_html_64234ca5.jpgАрккотангенсом  числа  y hello_html_m1413cab6.gif R    называется  такая  дуга   x hello_html_m1413cab6.gif [ 0 , hello_html_m714d6ae7.gif],  котангенс  которой  равен   y,   т.е.

hello_html_30afea4b.gif L hello_html_111b0e90.gif.

     Функция   x = arcctg  является  обратной  функции  y =ctg x   на  интервале xhello_html_m1413cab6.gif (0,  hello_html_m714d6ae7.gif).       Для  исходной  и  обратной  функций  привычнее   аргументы  и   функцию  обозначать  одними   и   теми   же   буквами:   y = ctg x,  y = arcctg x . График  функции    y = arcctg x    приведен  на  рисунке.

hello_html_3564361f.jpg

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 30

Дисциплина: Математика

Тема: Простейшие тригонометрические уравнения вида cosx = a, sinx = a

Цель занятия: изучить простейшие тригонометрические уравнения вида cosx = a, sinx = a

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Простейшие тригонометрические уравнения вида sinx = a

2. Простейшие тригонометрические уравнения вида cosx = a

Тригонометрическим  уравнением  называется  уравнение  вида

hello_html_m15c29f17.gif

где   f (x, y)    и   g (x, y)    –  тригонометрические  выражения.

     Для  таких  уравнений  справедливы  все  общие  положения  о равносильности  уравнений   и  их  следствиях.  Обычно  каждое  тригонометрическое  уравнение  с  помощью  соответствующим  образом подобранного  преобразования  сводится  к  простейшему тригонометрическому уравнению.

К  простейшим  тригонометрическим  уравнениям  относятся   следующие:

hello_html_7a99eb6d.gif

где    x  –  неизвестная  величина,   a  –  постоянная   (известное  число).

    Формулы  решений  простейших  тригонометрических  уравнений

hello_html_m5cda5b7c.gif

 

hello_html_534927e9.gif

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 31

Дисциплина: Математика

Тема: Простейшие тригонометрические уравнения вида tgx = a, ctgx = a

Цель занятия: изучить простейшие тригонометрические уравнения вида tgx = a, ctgx = a

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КПЗУН

План занятия:

1. Простейшие тригонометрические уравнения вида tgx = a

2. Простейшие тригонометрические уравнения вида ctgx = a

К  простейшим  тригонометрическим  уравнениям  относятся   следующие:

hello_html_7a99eb6d.gif

где    x  –  неизвестная  величина,   a  –  постоянная   (известное  число).

 

    Формулы  решений  простейших  тригонометрических  уравнений

hello_html_d70e929.gif

hello_html_ac07d1f.gif

      Обращаем внимание  на то,  что  уравнения  для   tg x  и   ctg x   имеют решения  при  любом  значении  a hello_html_m1413cab6.gif R,  а  уравнения  для   sin  и   cos x  – лишь   при    a hello_html_m1413cab6.gif [–1, 1].

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 32

Дисциплина: Математика

Тема: Методы решения сложных тригонометрических уравнений

Цель занятия: изучить методы решения сложных тригонометрических уравнений

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Методы решения сложных тригонометрических уравнений

2. Разбор примеров

ПРИМЕР 1. Решить уравнение hello_html_m4340d375.gif.

РЕШЕНИЕ. Перепишем уравнение в виде hello_html_m2c44974e.gif

и, применив формулы для косинуса двойного угла, получим

hello_html_m4d8ba19f.gif,

или

hello_html_4bb87eff.gif,

или hello_html_4907b520.gif.

Основная идея этого МЕТОДА заключается в преобразовании исходного уравнения к уравнению вида hello_html_1344ee28.gif

Так как сумма квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из чисел равно нулю, то решение уравнения сводится к решению системы

hello_html_785be9af.gif

из которой находим

hello_html_6a905e4c.gif

Откуда, объединяя решения, получим hello_html_m46721d03.gif

где hello_html_2702f281.gif

ПРИМЕР 2. Решить уравнение hello_html_7d660d43.gif

РЕШЕНИЕ. Перепишем уравнение в виде hello_html_324da5d8.gif

так как hello_html_m1b3ac263.gifа hello_html_m55e5bbb1.gifто левая часть уравнения hello_html_m44188a3c.gif

правая часть уравнения hello_html_m95685a8.gifПоэтому решениями уравнения могут быть только те значения hello_html_41959f4c.gifпри которых левая и правая части

принимают значения 3, т.е. решение уравнения сводится к решению системы

hello_html_m38c1c2c0.gifоткуда hello_html_530c3628.gif

Объединяя, полученные решения, найдем решение данного уравнения

hello_html_m7c8e83d5.gifгде hello_html_m74461588.gif

Основная идея этого МЕТОДА заключается в переходе к уравнению вида hello_html_m56e6f35b.gif,

где hello_html_m4d000de0.gif, а hello_html_m78fab7a.gif. Тогда hello_html_m3204bdc.gifдолжен удовлетворять системе уравнений

hello_html_1e136428.gif

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 33

Дисциплина: Математика

Тема: Методы решения тригонометрических уравнений, сводящихся к простым

Цель занятия: изучить методы решения тригонометрических уравнений, сводящихся к простым

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия:

План занятия:

1. Методы решения тригонометрических уравнений, сводящихся к простым

2. Разбор примеров

Решение тригонометрических уравнений сводящихся к квадратным уравнениям

hello_html_460e6598.gif

hello_html_10c2e9a7.gif

hello_html_60853176.gif

hello_html_m4348ccf9.gif

Пусть hello_html_1338042b.gif, тогда

hello_html_1bb70619.gif

hello_html_219e74eb.gif

hello_html_1a5f8963.gif

hello_html_m32cf1d66.gif

hello_html_m6bd82da1.gif или hello_html_47babff2.gif

hello_html_mb224425.gif Т.к. hello_html_mc85a5a0.gif

hello_html_m20952638.gif при hello_html_m4d8f3e66.gif, то корней нет.

Ответ: hello_html_m20952638.gif

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 34

Дисциплина: Математика

Тема: Методы решения систем тригонометрических уравнений

Цель занятия: изучить методы решения систем тригонометрических уравнений

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы и применение вычислительных устройств; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения; находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах; выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ОСЗ

План занятия:

1. Методы решения систем тригонометрических уравнений

2. Примеры

  1. Сведение систем к виду

Пример 1.

Решение:

Воспользуемся преобразованиями, сохраняющими равносильность систем:

Сложив уравнения (1) и (2) и вычтя их, получаем систему, равносильную данной

(2)



,


Ответ: ((; , ,

Пример 2.


Решение:

Если сложить и вычесть уравнения системы, то получится система, эквивалентная исходной. Итак,


, ,

Ответ: , ,

Пример 3.

Решение:

Мы знаем, что . Значит наша система принимает вид Решив систему, получим

Ответ: , n, k

Пример 4. . (1)

Решение:

Перенося в каждом из уравнений системы все члены в левую часть и пользуясь формулами преобразования разности синусов в произведение получили, что (2)

Следовательно, наша система распадается на четыре:

(3)

(4)

(5)

(6)

Ясно, что система (3) равносильна следующей:

Откуда , ,

Аналогично дорешиваются системы (4); (5); (6).

Ответ: , ,

, ,

, ,

,,

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 35

Дисциплина: Математика

Тема: Понятие предела функции. Односторонние пределы

Цель занятия: изучить понятие предела функции. Односторонние пределы.

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Понятие предела функции.

2. Односторонние пределы

Предел функции в точке

Пусть функция у=ƒ (х) определена в некоторой окрестности точки хо, кроме, быть может, самой точки хо.

Число А называется пределом функции у=ƒ(х) в топке x0 (или при х® хо), если для любой последовательности допустимых значений аргумента xn, n є N (xn¹x0), сходящейся к хо последовательность соответствующих значений функции ƒ(хn), n є N, сходится к числу А

hello_html_2f3eeb00.jpg

В этом случае пишут       hello_html_m802efdb.jpg

или ƒ(х)—>А при х→хо. Геометрический смысл предела функции: hello_html_16b7d996.jpgозначает, что для всех точек х, достаточно близких к точке хо, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Односторонние пределы

В   определении   предела   функции hello_html_m802efdb.jpgсчитается, что х стремится к x0 любым способом: оставаясь меньшим, чем x0 (слева от х0), большим, чем хо (справа от хо), или колеблясь около точки x0.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к хо существенно влияет на значение придела  функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А1 называется пределом функции у=ƒ(х) слева в точке хо, если для любого число ε>0 существует число δ=δ(ε)> 0 такое, что при х є (х0-δ;xo), выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>х0-0 или коротко: ƒ(хо-0)=А1 (обозначение Дирихле) (см. рис. 111).

hello_html_67bb4921.jpg

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

hello_html_6bc83ad4.jpg

Коротко предел справа обозначают ƒ(хо+0)=А.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует  hello_html_m802efdb.jpg, то существуют и оба односторонних предела, причем А=А12.

Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела ƒ(х0-0) и ƒ(х0+0) и они равны, то существует предел hello_html_m802efdb.jpg и А=ƒ(х0-0).

Если же А1¹А2, то етот придел не существует.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 36

Дисциплина: Математика

Тема: Приращение аргумента, приращение функции. Непрерывность функций. Непрерывность элементарных функций

Цель занятия: изучить приращение аргумента, приращение функции. Непрерывность функций. Непрерывность элементарных функций

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Приращение аргумента, приращение функции.

2. Непрерывность функций.

3. Непрерывность элементарных функций

Непрерывность функции в точке

Пусть функция у=ƒ(х) определена в точке хо и в некоторой окрестности этой точки. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е.

hello_html_m2d54b223.jpg

Равенство (19.1) означает выполнение трех условий:

1) функция ƒ (х) определена в точке x0 и в ее окрестности;

2)  функция ƒ(х) имеет предел при х→хо;

3)  предел функции в точке хо равен значению функции в этой точке, т. е. выполняется равенство (19.1).

Так как  hello_html_1198653d.jpg  то равенство (19.1) можно записать в виде

hello_html_4fc09550.jpg

Это означает, что при нахождении предела непрерывной функции ƒ(х) можно перейти к пределу под знаком функции, то есть β функцию ƒ(х) вместо аргумента х подставить его предельное значение хо.

Например, hello_html_m1b723747.jpg. В первом равенстве функция и предел поменялись местами (см. (19.2)) в силу непрерывности функции еx .

<< Пример 19.1

Вычислить   hello_html_m4dd057b5.jpg

Решение:

hello_html_m7dd5ba8.jpghello_html_1113eb26.jpg

Отметим, что 1n(1+х)~х при х→0.

Можно дать еще одно определение непрерывности функции, опираясь на понятия приращения аргумента и функции.

Пусть функция у=ƒ(х) определена в некотором интервале (а;b). Возьмем произвольную точку хоє(а;b). Для любого хє(а;b) разность х-хо называется приращением аргумента х  в точке х0 и обозначается ∆х («дельта х»): ∆х=х-x0. Отсюда х=х0+∆х.

Разность соответствующих значений функций ƒ(х)-ƒ(х0) называется приращением функции ƒ(х) в точке х0 и обозначается ∆у (или ∆ƒ или ∆ƒ(х0)): ∆у=ƒ(х)-ƒ(х0) или ∆у=ƒ(х0+∆х)-ƒ(х0) (см. рис. 119).

hello_html_2297947d.jpg

Очевидно, приращения ∆х и ∆у могут быть как положительными, так и отрицательными числами.

Запишем равенство (19.1) в новых обозначениях. Так как условия х→х0 и х-х0→0 одинаковы, то равенство (19.1) принимает вид hello_html_4b8a5a91.gif или

hello_html_711c4a6e.jpg

Полученное равенство (19.3) является еще одним определением непрерывности функции в точке: функция у=ƒ(х) называется непрерывной в точке х0, если она определена в точке х0 и ее окрестности и выполняется равенство (19.3), т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Исследуя непрерывность функции в точке, применяют либо первое (равенство (19.1)), либо второе (равенство (19.3)) определение.

<<< Пример 19.2

Исследовать на непрерывность функцию у=sinx.

Решение: Функция у=sinx определена при всех х є R Возьмем произвольную точку х и найдем приращение ∆у:

hello_html_mf346a4b.jpg

Тогда

hello_html_7621eb4a.jpg

так как произведение ограниченной функции и δ.м.ф. есть δ.м.ф.

Согласно определению (19.3), функция у=sinx непрерывна в точке х.

Аналогично доказывается, что функция у=cos х также непрерывна.

Непрерывность функции в интервале и на отрезке

Функция у=ƒ(х) называется непрерывной в интервале (a,b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Функция у=ƒ(х) называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна в интервале (a,b) и в точке х=а непрерывна справа (т.е. hello_html_m19feae16.jpg), а в точке x=b непрерывна слева (т. е. hello_html_ecf6728.jpg).

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 37

Дисциплина: Математика

Тема: Понятие производной функции. Производные некоторых элементарных функций

Цель занятия: изучить понятие производной функции. Производные некоторых элементарных функций

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Понятие производной функции.

2. Производные некоторых элементарных функций

Производной функции у=ƒ(х) β точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению

hello_html_4449c789.jpg

Производная функции ƒ(х) есть некоторая функция f'(x), произведённая из  данной функции.

Функция у=ƒ(х), имеющая производную в каждой точке интервала (a;b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции у=ƒ(х) в точке х=х0 обозначается одним из символов: ƒ'(х0), у'|x=xo или у'(х0).

<< Пример 20.1

 Найти производную функции у=С, С=const.

Решение:

- Значению х даем приращение ∆х;

- находим приращение функции ∆у: ∆у=ƒ(х+∆х)-ƒ(х)=С-С= 0;

- значит, ∆(y)/ ∆(x)=0/∆(x)=0;

- следовательно,

hello_html_348f0616.jpg

<< Пример 20.2

 Найти производную функции у=х2.

Решение:

- Аргументу х даем приращение ∆х;

- находим ∆у: ∆у=(х+∆х)2—х2=2х•∆х+(∆х)2;

- составляем отношение

hello_html_3a9e36b0.jpg

- находим предел этого отношения:

hello_html_200df191.jpg

Таким образом, (х2)'=2х.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 38

Дисциплина: Математика

Тема: Геометрический, физический и экономический смысл производной

Цель занятия: изучить геометрический, физический и экономический смысл производной

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗИЗ

План занятия:

1. Геометрический смысл производной

2. Физический смысл производной

Скорость прямолинейного движения

Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние ОМ=S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S=S(t).

hello_html_1f0ea2f6.jpg

Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.

Если в некоторый момент времени t точка занимает положение М, то в момент времени t+∆t (∆t — приращение времени) точка займет положение M1, где OM1=S+∆S (∆S — приращение расстояния) (см. рис. 127). Таким образом, перемещение точки М за время ∆t будет ∆S=S(t+∆t)-S(t).

Отношение ∆S/∆t  - выражает среднюю скорость движения точки зв время ∆t:

hello_html_698db5ce.jpg

Средняя скорость зависит от значения ∆t: чем меньше ∆t, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени ∆t называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V, получим

hello_html_7eff62f3.jpg

Касательная к кривой

Дадим сначала общее определение касательной к кривой.

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1 (см. рис. 128).

Прямую ММ1, проходящую через эти точки, называют секущей.

Пусть точка М1, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стремится к некоторому предельному положению МТ.

Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей ММ1, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М1 неограниченно приближается по кривой к точке М1.


hello_html_m1e3930b4.jpghello_html_9a305e5.jpg

Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у=ƒ(х), имеющий в точке М(х; у) невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент k=tga, где a— угол касательной с осью Ох.

Для этого проведем через точку М и точку М1 графика с абсциссой х+∆х секущую (см. рис. 129). Обозначим через φ — угол между секущей ММ1 и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен

hello_html_m47448348.jpg

При ∆х→0 в силу непрерывности функции приращение ∆у тоже стремится к нулю; поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1, поворачиваясь около точки М, переходите касательную. Угол φ→α, т. е. hello_html_m5bce03a5.jpg

Следовательно, hello_html_78b7b07b.jpg

Поэтому угловой коэффициент касательной равен

hello_html_34485e31.jpg

К нахождению пределов вида (20.1) и (20.2) приводят к решению множества других задач. Можно показать, что:

- если Q=Q(t) — количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время t, то сила тока в момент времени t равна

hello_html_29ce157e.jpg

- если N=N(t) — количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время t, то скорость химической реакции в момент времени t равна

hello_html_m1e1e7ac9.jpg

- если m=m(x) — масса неоднородного стержня между точками О(0;0) и М(х;0), то линейная плотность стержня в точке х есть

hello_html_52cd2b93.jpg

Пределы (20.1)-(20.5) имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так:

hello_html_2a7bb8c5.jpg

(читается «V равно S штрих по t», «тангенс α равен у штрих по х» и т. д.).

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 39

Дисциплина: Математика

Тема: Правила дифференцирования

Цель занятия: изучить правила дифференцирования

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Правила дифференцирования

2. Примеры

Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции u=u(х) и ν=ν(х) - две дифференцируемые в некотором интервале (a;b) функции.

Теорема 20.2 . Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u±ν)'=u'±ν'.

Обозначим у=u±ν. По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

hello_html_e1afc08.jpg

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема 20.3 . Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (u•ν)'=u'ν+v'u.

hello_html_5e55a866.jpg

т. е. (u•ν)'=u'•ν+u•ν'.

При доказательстве теоремы использовалась теорема о связи непрерывности и дифференцируемости: так как функции u=u(х) и ν=ν(х) дифференцируемы, то они и непрерывны, поэтому ∆ν→0 и ∆u→0 при ∆х→0.

Можно показать, что:

а)  (с•u)'=с•u', где с = const;

б)  (u•ν•w)'=u'v•w+u•v'•w+u•v•w'.  

Теорема 20.4. Производная частного двух функций   hello_html_4e4d61.jpgесли ν(х)≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

hello_html_78f175d8.jpg

Пусть у=u/v. Тогда

hello_html_1898115b.jpghello_html_5a8fe273.jpghello_html_4e5ac833.jpghello_html_6c6003b6.jpg

hello_html_3e983f41.jpg

Следствие 20.1.

  hello_html_m50e73e35.jpg

Следствие 20.2.

hello_html_283db727.jpg

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 40

Дисциплина: Математика

Тема: Производная сложной функции

Цель занятия: изучить производную сложной функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Производная сложной функции

2. Примеры

Производная сложной и обратной функций

Пусть у=ƒ(и) и u=φ(х), тогда у=ƒ(φ(х)) — сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Теорема 20.5 . Если функция u=φ(х) имеет производную u'х в точке х, а функция у=ƒ(u) имеет производную у'u в соответствующей точке u=φ(х), то сложная функция у=ƒ(φ(х)) имеет производную у'х в точке х, которая находится по формуле у'х=у'u-u'х.

По условию

hello_html_218f63e5.jpg

Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем

hello_html_2c24d174.jpg

у=у'u•∆u+α*∆u,                                     (20.6)

где α→0 при ∆u→0.

Функция u=φ(х) имеет производную в точке х:

hello_html_1e2af8dd.jpg

этому

u=u¢ х •∆х+ß•∆х, где ß→0 при ∆х→0.

Подставив значение ∆u в равенство (20.6), получим

Δy=y¢ u(u'х•∆х+ß*∆х)+а(u'х•∆х+ß•∆х),

т.е.

у=у'u•u'х•∆х+у'u•ß•∆х+u'х•а•∆х+α•ß•∆х.

Разделив полученное равенство на ∆х и перейдя к пределу при ∆х→О, получим у'х=у'u*u'х.

Итак, для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножыть на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько. Так, если у=ƒ(u), u=φ(ν), ν=g(х), то у'х=у'u•u'ν•ν'х. Пусть у=ƒ(х) и х=φ(у) — взаимно обратные функции.

Теорема 20.6 . Если функция у=ƒ(х) строго монотонна на интервале (a;b) и имеет неравную нулю производную ƒ'(х) в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция х=φ(у) также имеет производную φ'(у) в соответствующей точке, определяемую равенством

hello_html_2110027b.jpg

Рассмотрим обратную функцию х=φ(у). Дадим аргументу у приращение ∆у¹ 0. Ему соответствует приращение ∆х обратной функции, причем ∆х¹ 0 в силу строгой монотонности функции у=ƒ(х). Поэтому можно записать

hello_html_m22b24b90.jpg

Если ∆у→0, то в силу непрерывности обратной функции приращение ∆х→0. И так как

hello_html_m4588febd.jpg

то из (20.7) следуют равенства

hello_html_m34aa34af.jpg

Таким образом, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Правило дифференцирования обратной функции записывают так:

hello_html_39523dbc.jpg

<< Пример 20.3

 Найти производную функции у=log23tg x4.

Решение: Данная функция является сложной. Ее можно представить в виде цепочки «простых» функций: у=u3, где u=Iog2z, где z=tgq, где q=х4. По правилу дифференцирования сложной функции (у'х=y'u•u'z•z'q•q'x) получаем:

hello_html_b01a967.jpg

<< Пример 20.4

 Пользуясь   правилом   дифференцирования   обратной функции, найти производную у'х для функции  hello_html_1dd8d0a5.jpg

Решение: Обратная функция х=у3+1 имеет производную х'y =3у2.

Следовательно,

hello_html_262174c4.jpg

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 41

Дисциплина: Математика

Тема: Производная показательной и логарифмической функции

Цель занятия: производная показательной и логарифмической функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Производная показательной функции

2. Производная логарифмической функции

Показательная функция у=ах, а>0, а≠1

Найдем сначала производную функции у=ех. Придав аргументу х приращение ∆х, находим приращение функции ∆у: ∆у=ех+∆ххх∆х-1). Стало быть, hello_html_m3a171b32.jpg

hello_html_m79f72035.jpg

При вычислении предела воспользовались эквивалентностью ех-l~x при х→0.

Итак, у'=ех, т.е. (ex)'=ex

Теперь рассмотрим функцию у=ах, х є R. Так как ах=exlna, то по формуле производной сложной функции находим:

x)'=(ехlnа)'=exlna•(х•lna)'=ехlnа•lna=ax•lnа.

Таким образом, (aх)'=aхInа.

<< Пример 20.5

 Найти производную функции у=7х2-4х.

Решение: Используя формулу производной сложной функции и формулу производной показательной функции, находим

y'=(7x2-4x)'=7x2-4xln7(x2-4x)'=7x2-4xln7(2x-4).

Логарифмическая функция у=logax, a>0, α≠1

Найдем сначала производную функции у=lnх. Для нее

hello_html_m544327c1.jpg

Переходя к пределу при ∆х→0 и воспользовавшись эквивалентностью

hello_html_7efb7263.jpg

получаем:

hello_html_1a1aca7e.jpg
т. е.
hello_html_m69be5aaa.jpg

Теперь рассмотрим функцию y=logax.

Так как hello_html_m7bf4403.jpg 

То hello_html_2011fac6.jpg

Таким образом, hello_html_m608a25f6.jpg

<< Пример 20.6

Найти производную функции у=ln(х4-2х2+6).

Решение:
Производную логарифмической функции у=Iog
ax можно найти иначе. Так как обратной для нее функцией является х=ау, то по формуле производной обратной функции имеем:

hello_html_m2a82fd87.jpg

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 42

Дисциплина: Математика

Тема: Производная тригонометрической функции

Цель занятия: производная тригонометрической функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Производная тригонометрической функции

2. Примеры

Тригонометрические функции у=sinx, у=cosx, у=tgx, у=ctgx

Для функции у=sinx имеем:

hello_html_m296d97fe.jpg

Переходя к пределу при ∆х→0 и воспользовавшись первым замечательным пределом
hello_html_m43d9ab90.jpg получаем hello_html_m28bea3b4.jpg

т. е. у'=cosx или (sinx)'=cosx.

Найдем производную функции у=cos x, воспользовавшись формулой производной сложной функции:

hello_html_13f59a5c.jpg

т. е. (cosх)'=-sinx

Для нахождения производных функций у=tgx и у=ctgx воспользуемся формулой производной частного:

hello_html_m17ec1b77.jpg

Проделав аналогичные операции, получим формулу

hello_html_m4bacb040.jpg

Этот результат можно получить иначе:

hello_html_m47ed225b.jpg

<< Пример 20.7

Найти производную функции у=cos2x.

Решение: (cos2x)'=-sin2x•(2х)'=-2sin2x.

Обратные тригонометрические функции у=arcsinx, у=arccosx, y=arctgar, у=arcctgx

Пусть у=arcsinx. Обратная ей функция имеет вид x=siny, ує[-p/2; p /2]. На интервале (-p /2;p/2) верно равенство x'=cosy≠0.

По правилу дифференцирования обратных функций

hello_html_327de410.jpg

где перед корнем взят знак плюс, так как cosy>0 при ує(-p /2;p/2).

Итак, hello_html_63f43c6a.jpg

Аналогично получаем, что hello_html_707f8a44.jpg

Эту формулу можно получить проще: так как arccosх+arcsinх=p/2, т.е. arccosx=p/2-arcsinх, то (arccosx)'=(p /2-arcsinх)=-1/Ö (1-х2)

Найдем производную функции у=arctgx.

Она является обратной к функции х=tgy, где ує(-p/2;p /2).

Поэтому, по правилу дифференцирования обратных функций, получаем, что

hello_html_m7331cc4c.jpg

Итак, hello_html_34195c12.jpg

Функции arctgх и arcctgх связаны отношением

arctgx+arcctgх=p /2,    т. е.    arcctgх=p /2-arctgx.

Дифференцируя это равенство, находим

hello_html_mc18c71e.jpg

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 43

Дисциплина: Математика

Тема: Возрастание, убывание и экстремумы функции

Цель занятия: изучить возрастание, убывание и экстремумы функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Возрастание функции

2. Убывание функции

3. Экстремумы функции

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых hello_html_m4c91bf23.pngи hello_html_73075a9e.pngвыполняется неравенство hello_html_5dc6654c.png. Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых hello_html_m4c91bf23.pngи hello_html_73075a9e.pngвыполняется неравенство hello_html_6a6bed50.png. Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

hello_html_1a6b195d.png

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале hello_html_m4e2becc2.pngмы можем утверждать о возрастании на отрезке hello_html_m2f14351f.png.

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку hello_html_m6ecf2711.pngназывают точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство hello_html_698fa464.png. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают hello_html_7835b201.png.

Точку hello_html_m6ecf2711.pngназывают точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство hello_html_a7d816c.png. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают hello_html_526333b4.png.

Под окрестностью точки hello_html_m6ecf2711.pngпонимают интервал hello_html_1010d550.png, где hello_html_7b350475.png- достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

hello_html_23607a6d.png

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

hello_html_31da9c5d.png

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

  • если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

  • если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

  • найти область определения функции;

  • найти производную функции;

  • решить неравенства hello_html_2008ad1d.pngи hello_html_m16cfdcff.pngна области определения;

  • к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции hello_html_65f4bf32.png.

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, hello_html_m25cc6b86.png.

Переходим к нахождению производной функции:
hello_html_m27e2f0e9.png

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства hello_html_5c9b0743.pngи hello_html_153edaa8.pngна области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x=0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.
hello_html_2b54e1f.png

Таким образом, hello_html_m39bb3af4.pngи hello_html_77ece39.png.

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

hello_html_m306c8567.png

Ответ:

функция возрастает при hello_html_237b5ac2.png, убывает на интервале (0;2].

Достаточные условия экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех признаков экстремума, конечно, если функция удовлетворяет их условиям. Самым распространенным и удобным является первый из них.

Первое достаточное условие экстремума.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в hello_html_7b350475.png-окрестности точки hello_html_m6ecf2711.png, а в самой точке hello_html_m6ecf2711.pngнепрерывна.

Тогда

  • если hello_html_2008ad1d.pngпри hello_html_13092a4e.pngи hello_html_m16cfdcff.pngпри hello_html_m541f8784.png, то hello_html_m6ecf2711.png- точка максимума;

  • если hello_html_m16cfdcff.pngпри hello_html_13092a4e.pngи hello_html_2008ad1d.pngпри hello_html_m541f8784.png, то hello_html_m6ecf2711.png- точка минимума.

Другими словами:

  • если в точке hello_html_m6ecf2711.pngфункция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то hello_html_m6ecf2711.png- точка максимума;

  • если в точке hello_html_m6ecf2711.pngфункция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то hello_html_m6ecf2711.png- точка минимума.

Алгоритм нахождения точек экстремума по первому признаку экстремума функции.

  • Находим область определения функции.

  • Находим производную функции на области определения.

  • Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

  • Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

  • Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров нахождения точек экстремума и экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума функции.

Пример.

Найти экстремумы функции hello_html_m503ab102.png.

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2. Находим производную:

hello_html_m6a2a6b59.png

Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5, знаменатель обращается в ноль при x=2. Отмечаем эти точки на числовой оси
hello_html_743782ab.png

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 и x=6.

hello_html_75141670.png, следовательно, на интервале hello_html_m682b8ae4.pngпроизводная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично
hello_html_52340f2d.png

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим – минус, над четвертым – плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.

В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 – точка максимума, ей соответствуем максимум функции hello_html_m136a27f1.png.

В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 – точка минимума, ей соответствуем минимум функции hello_html_m6f935edd.png.

Графическая иллюстрация.

hello_html_m7f6b58e8.png

Ответ:

hello_html_5431c1a.png.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З. А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 44

Дисциплина: Математика

Тема: Наибольшее и наименьшее значения функции

Цель занятия: изучить наибольшее и наименьшее значения функции

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Наибольшее значение функции

2. Наименьшее значение функции

Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке

Если функция hello_html_4336ddd6.pngопределена и непрерывна на отрезке hello_html_3933325f.png, то она на этом отрезке достигает своих наибольшего и наименьшего значений. Если свое наибольшее значение hello_html_24da2f54.pngфункция hello_html_m1006dc60.pngпринимает в точке hello_html_m20879d9f.png, то hello_html_7f186419.pngбудет локальным максимумом функции hello_html_m1006dc60.png, так как в этом случае существует окрестность точки hello_html_5a9d166d.png, такая, что hello_html_m4c62ff8b.png.

Однако свое наибольшее значение hello_html_24da2f54.pngфункция hello_html_m1006dc60.pngможет принимать и на концах отрезка hello_html_3933325f.png. Поэтому, чтобы найти наибольшее значение hello_html_24da2f54.pngнепрерывной на отрезке hello_html_3933325f.pngфункции hello_html_m1006dc60.png, надо найти все максимумы функции на интервале hello_html_m16bac56d.pngи значения hello_html_m1006dc60.pngна концах отрезка hello_html_3933325f.png, то есть hello_html_78cc48ec.pngи hello_html_m65939be9.png, и выбрать среди них наибольшее. Вместо исследования на максимум можно ограничиться нахождением значений функции в критических точках.

Наименьшим значением hello_html_m34a38cdb.pngнепрерывной на отрезке hello_html_3933325f.pngфункции hello_html_m1006dc60.pngбудет наименьший минимум среди всех минимумов функции hello_html_m1006dc60.pngна интервале hello_html_m16bac56d.pngи значений hello_html_78cc48ec.pngи hello_html_m65939be9.png.

Пример

Задание. Найти наибольшее и наименьшее значение функции hello_html_m4739e106.pngна отрезке hello_html_63091a16.png.

Решение. Находим производную функции:

hello_html_me0cdf5a.png

Находим точки, в которых производная равна нулю:

hello_html_16742538.png

Из полученных значений нам надо оставить лишь те, которые принадлежат заданному промежутку hello_html_63091a16.png. Оба значения лежат в этом промежутке.

Находим значения функции в полученных стационарных точках из промежутка и на концах промежутка:

hello_html_m8545cef.png

Таким образом,

hello_html_480851d1.png

Ответ. hello_html_480851d1.png

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 45

Дисциплина: Математика

Тема: Понятие первообразной. Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл

Цель занятия: изучить понятие первообразной. Основное свойство первообразной. Неопределенный интеграл

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Понятие первообразной.

2. Основное свойство первообразной.

3. Неопределенный интеграл

Определение первообразной.

Первообразной функции f(x) на промежутке (a; b) называется такая функция F(x), что выполняется равенство hello_html_14490dcd.pngдля любого х из заданного промежутка.

Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство hello_html_3d37c4f8.png. Таким образом, функция f(x) имеет множество первообразных F(x)+C, для произвольной константы С, причем эти первообразные отличаются друг от друга на произвольную постоянную величину.

Определение неопределенного интеграла.

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается hello_html_m2b5908f3.png.

Выражение hello_html_577cf418.pngназывают подынтегральным выражением, а f(x)подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x).

Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C.

На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной).

  1. hello_html_55b40d50.png
    Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции.

  2. hello_html_m15501c62.png
    Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

  3. hello_html_6e722a8e.png, где k – произвольная константа.
    Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла.

  4. hello_html_2bc3b24b.png
    Неопределенный интеграл суммы/разности функций равен сумме/разности неопределенных интегралов функций.

Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения.

Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств:
hello_html_m258ca590.png

Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах.

Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:

  • первое свойство позволяет проводить проверку интегрирования. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;

  • второе свойство неопределенного интеграла позволяет по известному дифференциалу функции найти ее первообразную. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 46

Дисциплина: Математика

Тема: Правила нахождения первообразных. Таблица первообразных

Цель занятия: изучить правила нахождения первообразных. Таблица первообразных

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Правила нахождения первообразных.

2. Таблица первообразных

hello_html_38e5c413.pngОснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 47

Дисциплина: Математика

Тема: Определённый интеграл, его геометрический смысл

Цель занятия: изучить определённый интеграл, его геометрический смысл

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Определённый интеграл

2. Геометрический смысл

Определенным интегралом от a до b непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале [a;b] , называется приращение первообразной F(x) для этой функции, то есть

 hello_html_m7e4d7200.gif

Числа a и b называются нижним и верхним пределами интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла:

Площать S криволинейной трапеции (фируры, ограниченной графиком непрерывной положительной на интервале [a;b] функции y=f(x), осью OX и прямыми x = a и x = b вычисляется по формуле

hello_html_260e645d.jpg

 hello_html_41cfd531.gif

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 48

Дисциплина: Математика

Тема: Свойства определенного интеграла

Цель занятия: изучить свойства определенного интеграла

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: находить производные элементарных функций; использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков; применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения; вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Свойства определенного интеграла

2. Примеры

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, считая подынтегральную функцию интегрируемой на отрезке [a;b]. При выводе свойств будем использовать определение интеграла и формулу Ньютона-Лейбница.

1. Если с — постоянное число и функция ƒ(х) интегрируема на [a;b], то

hello_html_m26a6f81c.gif

т. е. постоянный множитель с можно выносить за знак определенного интеграла.

Составим интегральную сумму для функции с • ƒ(х). Имеем:

hello_html_1093b342.gif

Тогда Отсюда вытекает, что функцияhello_html_7f12b426.gifс • ƒ(х) интегрируема на [а; b] и справедлива формула (38.1).▲

2. Если функции ƒ1(х) и ƒ2(х) интегрируемы на [а;b], тогда интегрируема на [а; b] их сумма u

hello_html_m7378ea5f.gif

т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

hello_html_m31eb8779.gif

Свойство 2 распространяется на сумму любого конечного числа слагаемых.

3.hello_html_m2c38a813.gif

Это свойство можно принять по определению. Это свойство также подтверждается формулой Ньютона-Лейбница.

hello_html_26313d21.gif

4. Если функция ƒ(х) интегрируема на [а; b] и а < с < b, то

hello_html_39a21c1b.gif

т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка. Это свойство называют аддитивностью определенного интеграла (или свойством аддитивности).

При разбиении отрезка [а;b] на части включим точку с в число точек деления (это можно сделать ввиду независимости предела интегральной суммы от способа разбиения отрезка [а; b] на части). Если с = хm, то интегральную сумму можно разбить на две суммы:

hello_html_604e3a8f.gif

Каждая из написанных сумм является интегральной соответственно для отрезков [а; b], [а; с] и [с; b]. Переходя к пределу в последнем равенстве при n → ∞ (λ → 0), получим равенство (38.3).

Свойство 4 справедливо при любом расположении точек а, b, с (считаем, что функция ƒ (х) интегрируема на большем из получающихся отрезков).

Так, например, если а < b < с, то

hello_html_591c5597.gif

Отсюда

hello_html_36b62de8.gif

(использованы свойства 4 и 3).

5. «Теорема о среднем». Если функция ƒ(х) непрерывна на отрезке [а; b], то существует тонка с є [а; b] такая, что

hello_html_m512fecd4.gif

По формуле Ньютона-Лейбница имеем

hello_html_m10ec9946.gif

где F'(x) = ƒ(х). Применяя к разности F(b)-F(a) теорему Лагранжа (теорему о конечном приращении функции), получим

F(b)-F(a) = F'(c)•(b-а) = ƒ(с)•(b-а).▲

Свойство 5 («теорема о среднем») при ƒ (х) ≥ 0 имеет простой геометрический смысл: значение определенного интеграла равно, при некотором с є (а; b), площади прямоугольника с высотой ƒ (с) и основанием b- а  (см. рис. 170). Числоhello_html_7b4df310.gif

hello_html_m1f8452e9.gif

называется средним значением функции ƒ(х) на отрезке [а; b].


6. Если функция ƒ (х) сохраняет знак на отрезке [а; b], где а < b, то интеграл
hello_html_m7fa9a129.gifимеет тот же знак, что и функция. Так, если ƒ(х)≥0 на отрезке [а; b], тоhello_html_m7cb03c96.gif

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 49

Дисциплина: Математика

Тема: Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

Цель занятия: изучить элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Элементы комбинаторики.

2. Перестановки, размещения, сочетания

Вариант упорядочивания данного множества называется перестановкой (permutation).

Например, есть множество, состоящее из 3 элементов - А, В, и С. Пример перестановки - СВА. Число всех перестановок из n элементов
hello_html_796de07e.png

Пример: Для случая А, В, С число всех перестановок 3! = 6. Перестановки: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА

Если из множества n элементов выбирают m в определенном порядке, это называется размещением (arrangement).

Пример размещения из 3 по 2: АВ или ВА - это два разных размещения. Число всех размещений из n по m

hello_html_m41a26689.png
Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 равно 3!/1! = 6. Размещения: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ

Также бывают размещения с повторениями, как ясно из названия, элементы на определенных позициях могут повторяться.

Число всех размещений из n по m с повторениями

hello_html_m7a06a651.png
Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 с повторениями равно 3*3 = 9. Размещения: AA, АВ, АС, ВА, BB, ВС, СА, СВ, CC
Если из множества n элементов выбирают m, и порядок не имеет значения, это называется
сочетанием (combination).

Пример сочетания из 3 по 2: АВ. Число всех размещений из n по m
hello_html_m748ea35c.png
Пример: Для случая А, В, С число всех сочетаний из 3 по 2 равно 3!/(2!*1!) = 3. Сочетания: АВ, АС, СВ

Приведем до кучи формулу соотношения между перестановками, размещениями и сочетаниями
hello_html_6684d859.png обратите внимание, что внизу hello_html_m6cf11726.png

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 50

Дисциплина: Математика

Тема: Основные понятия математической статистики. Числовые характеристики рядов данных

Цель занятия: изучить основные понятия математической статистики. Числовые характеристики рядов данных

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул; вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Основные понятия математической статистики.

2. Числовые характеристики рядов данных

Определение. Генеральная совокупность – это совокупность всех мысленно возможных объектов данного вида, над которыми проводятся наблюдения с целью получения конкретных значений определенной случайной величины.

Генеральная совокупность может быть конечной или бесконечной в зависимости от того, конечна или бесконечна совокупность составляющих ее объектов.

Не следует смешивать понятие генеральной совокупности с реально существующими совокупностями. Например, на склад поступила продукция некоторого цеха за месяц, что является реально существующей совокупностью, которую нельзя назвать генеральной, поскольку выпуск продукции можно мысленно продолжить сколь угодно долго.

Определение. Выборкой (выборочной совокупностью) называется совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности.

Выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть ее объекты должны достаточно хорошо отражать свойства генеральной совокупности.

Выборка может быть повторной, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность, и бесповторной, при которой отобранный объект не возвращается в генеральную совокупность.

Применяют различные способы получения выборки.

1) Простой отбор – случайное извлечение объектов из генеральной совокупности с возвратом или без возврата.

2) Типический отбор, когда объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из ее «типической» части.

3) Серийный отбор – объекты отбираются из генеральной совокупности не по одному, а сериями.

4) Механический отбор - генеральная совокупность «механически» делится на столько частей, сколько объектов должно войти в выборку и из каждой части выбирается один объект.

Число объектов генеральной совокупности и число объектов выборки называют объемами генеральной и выборочной совокупностей соответственно. При этом предполагают, что (значительно больше).


1.2. Вариационные ряды


Полученные различными способами отбора данные образуют выборку, обычно это множество чисел, расположенных в беспорядке. По такой выборке трудно выявить какую-либо закономерность их изменения (варьирования).

Для обработки данных используют операцию ранжирования, которая заключается в том, что результаты наблюдений над случайной величиной, то есть наблюдаемые значения случайной величины располагают в порядке возрастания.


Пример 1. Дана выборка :

¦ Проведем ранжирование выборки :

После проведения операции ранжирования значения случайной величины объединяют в группы, то есть группируют так, что в каждой отдельной группе значения случайной величины одинаковы. Каждое такое значение называется вариантом. Варианты обозначаются строчными буквами латинского алфавита с индексами, соответствующими порядковому номеру группы .

Изменение значения варианта называется варьированием.


Определение. Последовательность вариантов, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом.

Число, которое показывает, сколько раз встречаются соответствующие значения вариантов в ряде наблюдений, называется частотой или весом варианта и обозначается , где - номер варианта.

Отношение частоты данного варианта к общей сумме частот называется относительной частотой или частостью (долей) соответствующего варианта и обозначается или , где - число вариантов. Частость является статистической вероятностью появления варианта . Естественно считать частость аналогом вероятности появления значения случайной величины .


Определение. Дискретным статистическим рядом называется ранжированная совокупность вариантов с соответствующими им частотами или частостями .

Дискретный статистический ряд удобно записывать в виде табл.1.

Таблица 1 (для примера 1)

Характеристики дискретного статистического ряда:

1. Размах варьирования .

2. Мода - вариант, имеющий наибольшую частоту

( в примере 1. ).

3. Медиана - значение случайной величины, приходящееся на середину ряда.

Пусть - объем выборки.

Если , то есть ряд имеет четное число членов, то . Если , то есть ряд имеет нечетное число членов, то .

( в примере 1. ).




Если изучаемая случайная величина является непрерывной или число значений ее велико, то составляют интервальный статистический ряд.

Сначала определяют число интервалов , в зависимости от объема выборки, с помощью табл.2.

Таблица 2.

Затем определяют длину частичного интервала :

, где - шаг ; - число интервалов .

Более точно шаг можно рассчитать с помощью формулы Стерджеса:


, число интервалов .

Если шаг окажется дробным, то за длину интервала берут ближайшее целое число или ближайшую простую дробь (обычно берут интервалы одинаковые по длине, но могут быть интервалы и разной длины).

За начало первого интервала рекомендуется брать величину , а конец последнего должен удовлетворять условию . Промежуточные интервалы получают, прибавляя к концу предыдущего интервала шаг.

Просматривая результаты наблюдений, определяют сколько значений случайной величины попало в каждый конкретный интервал. При этом в интервал включают значения, большие или равные нижней границе интервала, и меньшие – верхней границы.

В первую строку таблицы статистического распределения вписывают частичные промежутки .

Во второю строку статистического ряда вписывают количество наблюдений (где ) попавших в каждый интервал; то есть частоты соответствующих интервалов.

Подсчет частот для каждого интервала удобно проводить методом «конвертиков». Этот метод состоит в том, что попадание значения случайной величины в тот или иной интервал, отмечается точкой, а также и черточкой. В результате каждому десятку будет соответствовать фигура, похожая на конверт.



При вычислении интервальных частостей округление результатов следует производить таким образом, чтобы сумма частостей была равна 1.

Иногда интервальный статистический ряд, для простоты исследований, условно заменяют дискретным. В этом случае серединное значение -го интервала принимают за вариант , а соответствующую интервальную частоту - за частоту этого варианта.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 51

Дисциплина: Математика

Тема: Понятие случайного события и случайного эксперимента. Статистическое определение вероятности

Цель занятия: изучить Понятие случайного события и случайного эксперимента. Статистическое определение вероятности

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Понятие случайного события и случайного эксперимента.

2. Статистическое определение вероятности

Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать результат отличает случайное явление от детерминированного.

Не все случайные явления (эксперименты) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях. Случайность и хаос — не одно и то же. Оказывается, что и в случайных экспериментах наблюдаются некоторые закономерности, например свойство «статистической устойчивости»: если hello_html_m59cee259.gif— некоторое событие, могущее произойти или не произойти в результате эксперимента, то доля hello_html_m564a7dee.gifэкспериментов, в которых данное событие произошло, имеет тенденцию стабилизироваться с ростом общего числа экспериментов hello_html_312e649c.gif, приближаясь к некоторому числу hello_html_904a198.gif. Это число служит объективной характеристикой «степени возможности» событию hello_html_m59cee259.gifпроизойти.

Следует помнить, что мы занимаемся математикой и имеем дело не с реальностью, а лишь с её математической моделью. Мы и будем изучать только математические модели, а приложение их к реальности оставим на долю математической и практической статистики.

Пространство элементарных исходов.

Определение 1. Пространством элементарных исходов hello_html_73003896.gif(«омега») называется множество, содержащее все возможные результаты данного случайного эксперимента, из которых в эксперименте происходит ровно один. Элементы этого множества называют элементарными исходами и обозначают буквой hello_html_m2a513f1.gif(«омега»).

Определение 2. Событиями мы будем называть подмножества множества hello_html_73003896.gif. Говорят, что в результате эксперимента произошло событие hello_html_m3d45c168.gif, если в эксперименте произошел один из элементарных исходов, входящих в множество hello_html_m59cee259.gif.

Замечание 2. Вообще говоря, можно назвать событиями не обязательно любые подмножества множества hello_html_73003896.gif, а лишь элементы некоторого набора подмножеств. О смысле такого ограничения мы поговорим позднее.

Пример 1. Один раз подбрасывается кубик — игральная кость. Рассмотрим пространство элементарных исходов hello_html_m41881708.gif, элементарные исходы здесь соответствуют числу выпавших очков.

Примеры событий: hello_html_4444f3f.gif— выпало одно или два очка; hello_html_35ef089.gif— выпало нечётное число очков.

Пример 2. Два раза подбрасывается игральная кость. Или, что то же самое, один раз подбрасываются две игральные кости. Будем считать пространством элементарных исходов множество пар чисел hello_html_m34eece63.gif, где hello_html_m4080c867.gif(сответственно, hello_html_m6d690934.gif) есть число очков, выпавших при первом (втором) подбрасывании: hello_html_m21523713.gif.

Примеры событий:

hello_html_17b4af85.gifпри первом подбрасывании выпало одно очко;

hello_html_m13fd971a.gifпри втором подбрасывании выпало одно очко;

hello_html_m2b6e1255.gifна костях выпало одинаковое число очков;

hello_html_4dad0c26.gifна обеих костях выпало нечётное число очков.

Пример 3. На поверхность стола бросается монета. Результатом эксперимента можно считать координату центра монеты. Пространство элементарных исходов — множество точек стола. Если нам не безразличен угол поворота монеты, то можно добавить к множеству положений центра величину этого угла. В этом случае hello_html_73003896.gifесть множество пар hello_html_339e692.gif, где hello_html_1afc4ce6.gif— точка стола и hello_html_m138e1383.gif— угол поворота. Число элементарных исходов такого эксперимента несчётно.

Пример 4. Монета подбрасывается до тех пор, пока не выпадет вверх гербом. Пространство элементарных исходов состоит из бесконечного, но счётного числа исходов: hello_html_m207bbaa7.gif, где  р  означает выпадение решки, а  г  — герба при одном подбрасывании.

Определение 3.

1. Достоверным называется событие, которое обязательно происходит в результате эксперимента, т.е. единственное событие, включающее все элементарные исходы — событие hello_html_73003896.gif.

2. Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, т.е. событие, не содержащее ни одного элементарного исхода («пустое множество» hello_html_4f2f7f66.gif). Заметим, что всегда hello_html_3de49d3b.gif.

Операции над событиями

В теории вероятностей существуют ровно те же операции над множествами, что и в теории множеств.

Определение 4.

hello_html_2e725784.gifhello_html_208aefe6.gif1. Объединением hello_html_m39744e4c.gifсобытий hello_html_m59cee259.gif и hello_html_3ae1332b.gif называется событие, состоящее в том, что произошло либо hello_html_m59cee259.gif, либо hello_html_3ae1332b.gif, либо оба события одновременно. На языке теории множеств hello_html_m39744e4c.gifесть множество, содержащее как элементарные исходы из множества hello_html_m59cee259.gif, так и элементарные исходы из множества hello_html_3ae1332b.gif.

2. Пересечением hello_html_m11fc74a8.gifсобытий hello_html_m59cee259.gifи hello_html_3ae1332b.gifназывается событие, состоящее в том, что произошли оба события hello_html_m59cee259.gifи hello_html_3ae1332b.gifодновременно. На языке теории множеств hello_html_m11fc74a8.gifесть множество, содержащее элементарные исходы, входящие в пересечение множеств hello_html_m59cee259.gifи hello_html_3ae1332b.gif.

hello_html_4cd63a18.gifhello_html_m3c47488f.gif3. Противоположным (или дополнительным) к событию hello_html_m59cee259.gifназывается событие hello_html_6cd29932.gif, состоящее в том, что событие hello_html_m59cee259.gifв результате эксперимента не произошло. Т.е. множество hello_html_me1d59d8.gifсостоит из элементарных исходов, не входящих в hello_html_m59cee259.gif.

4. Дополнением hello_html_4b01a87.gifсобытия hello_html_3ae1332b.gifдо hello_html_m59cee259.gifназывается событие, состоящее в том, что произошло событие hello_html_m59cee259.gif, но не произошло hello_html_3ae1332b.gif. Т.е. множество hello_html_4b01a87.gifсодержит элементарные исходы, входящие в множество hello_html_m59cee259.gif, но не входящие в hello_html_3ae1332b.gif.

Определение 5.

hello_html_781a65c1.gif1. События hello_html_m59cee259.gifи hello_html_3ae1332b.gifназывают несовместными, если hello_html_67c5ef19.gif.

hello_html_2e42f6b2.gif2. События hello_html_m17e43b1d.gifназывают попарно несовместными, если для любых hello_html_m769d1ded.gif, где hello_html_m4ac5618d.gif, события hello_html_m1ff3f4b2.gifи hello_html_673c0019.gifнесовместны.

3. Говорят, что событие hello_html_m59cee259.gifвлечёт событие hello_html_3ae1332b.gif, и пишут hello_html_m2e5cb44d.gif, если всегда, как только происходит событие hello_html_m59cee259.gif, происходит и событие hello_html_3ae1332b.gif. На языке теории множеств это означает, что любой элементарный исход, входящий в множество hello_html_m59cee259.gif, одновременно входит и в множество hello_html_3ae1332b.gif, т.е. hello_html_m59cee259.gifсодержится в hello_html_3ae1332b.gif.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 52

Дисциплина: Математика

Тема: Классическое определение вероятности. Сумма вероятностей

Цель занятия: изучить классическое определение вероятности. Сумма вероятностей

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: КУ

План занятия:

1. Классическое определение вероятности.

2. Сумма вероятностей

Классическое определение вероятности случайного события

Под вероятностью случайного события понимают меру возможности осуществления данного события в конкретных условиях эксперимента (испытания). При классическом определении за вероятность события А принимается отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов hello_html_m71030b7d.gif к общему числу возможных исходов hello_html_m2a649e89.gif [3]:

hello_html_mb043536.gif.

Поскольку в общем случае hello_html_mbaee9bc.gif, то из этого определения следует, что вероятность произвольного случайного события принимает значения из отрезка [0, 1].

Основные свойства вероятности случайного события

1. Вероятность невозможного события равна 0. Действительно, поскольку число благоприятных невозможному событию исходов равно 0, то получим

hello_html_10aa3b2a.gif.

2. Вероятность достоверного события равна 1. Действительно, поскольку каждое событие пространства элементарных исходов удовлетворяет достоверному событию, то получим

hello_html_m1f7e7c2b.gif.

3. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

4. Вероятность противоположного события hello_html_3334888d.gif можно вычислить исходя из предыдущего утверждения:

hello_html_m1e07fcc5.gif.

5. Теорема умножения. Вероятность произведения двух событий hello_html_65c825dd.gif и hello_html_75ca6af.gif равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого [3]:

hello_html_65d25b0.gif.

Если события hello_html_65c825dd.gif и hello_html_75ca6af.gif независимы, то

hello_html_194b9947.gif.

6. Теорема сложения. Вероятность суммы двух совместных событий hello_html_65c825dd.gif и hello_html_75ca6af.gif равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

hello_html_m5a323335.gif.

Если события hello_html_65c825dd.gif и hello_html_75ca6af.gif несовместны, т. е. не могут произойти одновременно, то

hello_html_74e776cc.gif.

Если задача заключается в том, чтобы найти вероятность хотя бы одного события (А) из группы независимых событий hello_html_m3fb2513d.gif, составляющих полную группу, то эта задача проще решается через противоположное событие (не появилось ни одного события из данной группы):

hello_html_4b2457e9.gif.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 53

Дисциплина: Математика

Тема: Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом стереометрии

Цель занятия: изучить предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом стереометрии

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Предмет стереометрии.

2. Аксиомы стереометрии.

3. Следствия из аксиом стереометрии

Основными фигурами стереометрии являются точка, прямая, плоскость. Примеры стереометрических фигур: шар, сфера, конус, цилиндр, параллелепипед и т.д.

Обозначение основных фигур стереометрии

hello_html_6e282b2f.jpg

Рис. 1.

А, В, С, D – точки. Точки обозначаются прописными латинскими буквами.

АВ = hello_html_m6b2b4e3.png, CD = b – прямые. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами.

hello_html_4bbef0a8.png – плоскости. Плоскости обозначаются греческими буквами. (Рис. 1).

Рассмотрим прямую hello_html_m6b2b4e3.png. На ней лежат точки А и В. Прямая hello_html_m6b2b4e3.pngможет быть также обозначена как АВ.

Рассмотрим прямую b, на ней лежат точки С и D. Прямая b может быть также обозначена как СD.

Специфика всей стереометрии заключается в том, что пространственные фигуры мы будем изображать на плоскости.

Так же, как и в планиметрии, важен знак принадлежности, hello_html_m621e453.png. Например, точка А принадлежит прямой hello_html_m6b2b4e3.png: hello_html_58426077.png.

Рассмотрим плоскость hello_html_1c7f42f4.png (Рис. 1). Точка М принадлежит плоскости hello_html_1c7f42f4.png: hello_html_28c18b2e.png. А вот прямая hello_html_m6b2b4e3.png не принадлежит плоскости hello_html_1c7f42f4.png: hello_html_m2a4aeb5.png

Первая аксиома стереометрии

Аксиомы стереометрии.

Аксиома 1 (А1)

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. 

Пояснение к аксиоме А1.

hello_html_m1e76da19.png

Рис. 2.

Рассмотрим три точки: А, В, С, причем точка С не принадлежит прямой АВ:hello_html_m528e812d.png (Рис. 2). Тогда через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость hello_html_1c7f42f4.png, и притом только одна.

Плоскость hello_html_1c7f42f4.pngможно также обозначить через три точки АВС. 

Вторая аксиома стереометрии

Аксиома 2 (А2)

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. 

По-иному говорят, что прямая лежит в плоскости или что плоскость проходит через прямую. 

Пояснение к аксиоме А2.

Рассмотрим плоскость hello_html_1c7f42f4.png, точки А, В прямой hello_html_m6b2b4e3.pngпринадлежат плоскости hello_html_1c7f42f4.png(Рис. 3).

hello_html_m5c57557c.png

Рис. 3.

Аксиома утверждает – все точки прямой hello_html_m6b2b4e3.png(прямой АВ) принадлежат плоскости hello_html_1c7f42f4.png, т.е. вся прямая лежит в плоскости hello_html_1c7f42f4.pngили плоскость hello_html_1c7f42f4.pngпроходит через прямую hello_html_m6b2b4e3.png. Смысл заключается в следующем: из того, что только две точки принадлежат плоскости, вытекает, что бесчисленное множество точек прямой лежат в этой плоскости.

Эту аксиому можно записать следующим образом:

hello_html_229ddf8d.png

Следствие: Может ли быть только три общие точки у прямой и плоскости? Нет, не может быть. Может быть две точки, и тогда вся прямая лежит в плоскости.

Если у прямой и плоскости одна общая точка М, то тогда говорят, что прямая hello_html_m6b2b4e3.pngи плоскость hello_html_1c7f42f4.pngпересекаются в точке М (Рис. 4). Этот факт записывается следующим образом: hello_html_m1555aad4.png.

hello_html_mdd4f1fb.jpg

Рис. 4. 

Третья аксиома стереометрии

Аксиома 3 (А3)

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Говорят, что плоскости пересекаются по прямой. 

Пояснение к аксиоме А3.

Имеем разные плоскости: плоскость hello_html_1c7f42f4.png, плоскость hello_html_m7ce870b1.png. Известно, что они имеют общую точку М, точка М принадлежит плоскости hello_html_m1b052dbe.pngи плоскости hello_html_m7ce870b1.png. (Рис. 5)

hello_html_285b3956.jpg

Рис. 5.

Отсюда вытекает, что существует прямая hello_html_m6b2b4e3.png, которая проходит через точку М, которая одновременно принадлежит и плоскости a, и плоскости b. Вот в этом случае и говорят, что плоскости hello_html_1c7f42f4.pngи hello_html_m7ce870b1.pngпересекаются по прямой hello_html_m6b2b4e3.png.

hello_html_m55fec2fc.png

Смысл аксиом разъясняется в многочисленных вопросах и задачах. Вот некоторые из них. 

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 54

Дисциплина: Математика

Тема: Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых. Параллельность прямой и плоскости

Цель занятия: изучить параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых. Параллельность прямой и плоскости

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Параллельные прямые в пространстве.

2. Параллельность трех прямых.

3. Параллельность прямой и плоскости

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).

Обозначение параллельных прямых: a || b.

hello_html_7859eda0.png

hello_html_m3b593e46.jpg

Рис. 1.

Теорема 1 и ее доказательство

Теорема 1.

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Дано: прямая а, hello_html_102b7f18.png (Рис. 2.)

Доказать: существует единственная прямая b || a, hello_html_13e5b4c.png

hello_html_4f362dd.jpg

Рис. 2.

Доказательство:

Через прямую а и точку  hello_html_m6482d77.png, не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость α (Рис. 3.). В плоскости α  можно провести единственную прямую b, параллельную а, проходящую через точку M (из аксиомы планиметрии о параллельных прямых). Существование такой прямой доказано.

hello_html_24b2bb93.png

Рис. 3.

Докажем единственность такой прямой. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку M и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда плоскость β  проходит через точку M и прямую а. Но через точку M и прямую а проходит единственная плоскость (в силу теоремы 2). Значит, плоскости β и α совпадают. Из аксиомы параллельных прямых, следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельная заданной прямой. Единственность доказана.

Лемма (о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость) и ее доказательство

Лемма Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Дано:  а || b, hello_html_64486d51.png

Доказать: hello_html_m31dc2669.png

hello_html_m5b8fcb39.png

Рис. 4.

Доказательство: (Рис. 4.)

Существует некоторая плоскость β, в которой лежат параллельные прямые а и b. Точка М принадлежит и плоскости α, и прямой а, которая лежит в плоскости β. Значит, М – общая точка плоскостей α и β. А по третьей аксиоме, существует прямая MN, по которой пересекаются эти две плоскости.

Прямая MN пересекается с прямой b.(так как в противном случае, получается, что прямые MN и b параллельные, то есть a = MN, что невозможно, так как прямая а пересекается с плоскостью α в точке М по условию). То есть точка N – это точка пересечения прямой b и плоскости  α.hello_html_27173e13.png.

          Докажем, что N  - это единственная общая точка прямой b и плоскости α. Допустим, что есть другая точка, но тогда прямая bпринадлежит плоскости α (по второй аксиоме). То есть MN = b, что невозможно, так как прямые а и b параллельны, а прямая а должна пересекаться с прямой MN. Лемма доказана.

Теорема 2 и ее доказательство

Теорема 2.

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Дано: hello_html_m290bac0c.png

 Доказать: hello_html_m34a4aafa.png.

hello_html_m7a91b58e.png

Рис. 5.

Доказательство: (Рис. 5.)

Выберем произвольную точку К на прямой b. Тогда существует единственная плоскость α, проходящая через точку К и прямую а. Докажем, что прямая b лежит в плоскости α.

Предположим противное. Пусть прямая b не лежит в плоскости α. Тогда прямая b пересекает плоскость α в точке К. Так как прямые b и с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость α. Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость α, но это невозможно, так как прямая а лежит в плоскости α. Получили противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая b лежит в плоскости α.

Докажем, что прямые а и не пересекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и b пересекаются в некоторой точке М. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы 1. Получили противоречие. Значит, прямые а и не пересекаются.

Мы доказали, что прямые а и не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и b параллельны (по определению), что и требовалось доказать.

Три случая взаимного расположения прямой и плоскости

1. Прямая лежит в плоскости (рис. 1).

hello_html_m330cbdc6.png

Рис. 1

2. Прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то есть пересекаются (рис. 2).

hello_html_m6babd4b6.png

Рис. 2

3. Прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки (рис. 3).

hello_html_m12de3a42.png

Рис. 3

Определение параллельности прямой и плоскости

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность прямой а и плоскости α обозначается так:hello_html_m8832783.png (рис. 4)

hello_html_m271bd013.png

Рис. 4

Оказывается, что если в плоскости α имеется прямая b, параллельная прямой а, не лежащей в плоскости α, то прямая а и плоскость α параллельны (рис. 7). Другими словами, наличие в плоскости α прямой b, параллельной прямой а, является признаком, по которому можно сделать вывод о параллельности прямой а и плоскости α. Сформулируем это утверждение в виде теоремы.

hello_html_m3b6b307c.png

Рис. 7

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости) и ее доказательство

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство:

Рассмотрим плоскость α и две параллельные прямые а и b, прямая b лежит в плоскости α, а прямая а не лежит в этой плоскости (рис. 7). Докажем, что прямая а параллельна плоскости α.

hello_html_m757d61af.png

Рис. 8

Предположим, это не так, то есть что прямая а пересекается с плоскостью α (рис. 8). Значит, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми (лемма приведена ниже), прямая b тоже пересекается с плоскостью α. Но это невозможно, так как прямая b по условию лежит в плоскости α. Итак, прямая а не пересекает плоскость α, поэтому она параллельна плоскости. Теорема доказана.

Лемма: если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Докажем еще два утверждения, которые часто используются при решении задач.

Утверждение 1 и его доказательство

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

           

hello_html_m5cd1cfca.png

Рис. 9

Доказательство:

Итак, пусть через прямую а, параллельную плоскости α, проходит плоскость hello_html_365cc2b.png, пересекающая плоскость α по прямой b (рис. 9). Докажем, что прямые а и b параллельны.

Действительно, прямые а, b лежат в одной плоскости hello_html_365cc2b.png и не пересекаются, ведь в противном случае прямая а пересекала бы плоскость α, что невозможно, так как по условию прямая а параллельна плоскости α. Значит прямые а и b параллельны, что и требовалось доказать.

Утверждение 2 и его доказательство

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Рис. 10

hello_html_m5d9e7f58.png

Рис. 11                                                         

Доказательство:

Пусть а и b – параллельные прямые, причем прямая а параллельна плоскости α. Следовательно, прямая а не пересекает плоскость α. Тогда, по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая b тоже не пересекает плоскость α. А это значит, что прямая b либо параллельна плоскости α (рис. 10), либо лежит в ней (рис. 11), что и требовалось доказать.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 55

Дисциплина: Математика

Тема: Скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой.

Цель занятия: изучить скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой.

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Скрещивающиеся прямые.

2. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых) и ее доказательство

Теорема (признак скрещивающихся прямых)

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на этой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доказательство

Пусть нам дана плоскость α. Прямая АВ лежит в плоскости α, а прямая DC пересекается с плоскостью α в точке С, которая не лежит на прямой АВ (Рис. 1.). Докажем, что прямые АВ и DC являются скрещивающимися.

hello_html_2a7e35ce.png

Рис. 1.

Используем метод от противного. Предположим, что существует плоскость β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC. Тогда в плоскости β лежит прямая АВ и точка С. Через прямую и точку, не лежащую на ней проходит единственная плоскость - α. Значит, такой плоскости β, в которой лежит, и прямая АВ и прямая DC, не существует. То есть, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. Теорема доказана.

Возможные случаи расположения прямых

Три случая расположения прямых

1) Прямые a и b пересекаются в некоторой точке С: hello_html_28e5a834.png (Рис. 2.). Как мы знаем, через две пересекающиеся прямые проходит единственная плоскость.

hello_html_6ae6b9cc.png

Рис. 2.

2) Прямые a и b параллельны: a || b (Рис. 3.). Если прямые параллельны, то они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

hello_html_m18d4ec70.png

Рис. 3.

Заметим, что и в первом, и во втором случае прямые лежали в одной плоскости.

3) Прямые a и b скрещиваются (Рис. 4.). То есть прямые a и b не лежат в одной плоскости.

hello_html_m100fad36.png

Рис. 4.

Пример скрещивающихся прямых в треугольной пирамиде

Пример

Дана треугольная пирамида ABCD, АВС – плоскость основания, точка D не лежит в плоскости АВС (Рис. 5.). Почему прямые АВ и DC скрещивающиеся?

hello_html_m472593aa.jpg

Рис. 5.

Прямая DC пересекает плоскость АВС в точке С, не лежащей на прямой АВ, а прямая АВ лежит в плоскости АВС. Значит, по признаку, прямые АВ и DC – скрещивающиеся. То есть противоположные ребра треугольной пирамиды лежат на скрещивающихся прямых.

Теорема 2 и ее доказательство

Теорема 2.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство.

Пусть нам даны две скрещивающиеся прямые АВ и CD. Докажем, что через прямую АВ проходит плоскость, параллельная прямой CD, и притом только одна.

hello_html_m4f16a580.png

Рис. 6.

Проведем через точку А прямую АЕ, параллельную прямой DC (Рис. 6.). По теореме о параллельных прямых, такая прямая существует и единственная. Тогда через две пересекающиеся прямые АВ и АЕ можно провести единственную плоскость α. Так как прямая DC, которая не лежит в плоскости α, параллельна прямой АЕ, лежащей в плоскости α,  значит, что прямая DC параллельна плоскости α, по признаку параллельности прямой и плоскости. Существование доказано.

Докажем единственность такой плоскости. Пусть существует другая плоскость β, которая проходит через прямую АВ и параллельна прямой DC. Тогда прямая АЕ пересекает плоскость β, а значит и параллельная ей прямая DC пересекает плоскость β, по лемме. То есть, прямая DC не параллельна плоскости β. Получили противоречие. Следовательно, плоскость α – единственная. Теорема доказана.

Задача 1

Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, точки M, N, P – середины отрезков DA, DB и DC соответственно, точка K лежит на отрезке BN (Рис. 7.). Выясните взаимное расположение прямых.

hello_html_m2d2d3c57.png

Рис. 7.

 

1) ND и AB.

Прямая ND - это другое обозначение прямой ВD. Прямая ВD и прямая АВ лежат в плоскости АВD и пересекаются.

2) PK и ВС.

Прямые PK и ВС лежат в одной плоскости. Значит, они либо параллельные, либо пересекаются. Проведем среднюю линию NP (N, P – середины отрезков DB и DC соответственно). По свойству средней линии, прямая NP параллельна прямой ВС. Через точку Р можно провести только одну прямую, параллельную прямой ВС, и это прямая NP. Значит, любая другая прямая, проходящая через точку Р, не параллельна прямой ВС. Значит, PK и ВС пересекаются.

3) MN и AB.

В треугольнике ABD точки M и N – середины сторон АD и ВD. Значит, МN – средняя линия. По свойству средней линии, МN параллельна АВ.

4) МР и АС.

В треугольнике ADС точки M и Р – середины сторон АD и СD. Значит, МР – средняя линия. По свойству средней линии, МР параллельна АС.

5) КN и АС.

Прямая КN и прямая ВD – это одна и та же прямая. Прямая АС лежит в плоскости АВС, прямая  ВD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой АС. Значит, по признаку, прямые ВD и АС – скрещивающиеся. То есть, прямые КN и АС- скрещивающиеся.

6) МD и ВС.

Прямая МD и прямая АD – это одна и та же прямая. Прямая ВС лежит в плоскости АВС, прямая  АD пересекает плоскость АВС в точке, не лежащей на прямой ВС. Значит, по признаку, прямые АD и ВС – скрещивающиеся. То есть, прямые МD и ВС – скрещивающиеся.

Задача 2

Докажите, что если АВ и СD скрещиваются, то АD и ВС тоже скрещиваются.

Доказательство

Предположим, что прямые АD и ВС не скрещивающиеся, то есть лежат в одной плоскости. Значит, все точки А, В, С, D лежат в этой плоскости, значит прямые АВ и СD тоже лежат в этой плоскости. Но прямые АВ и СD скрещивающиеся по условию. Получили противоречие. Значит, прямые АD и ВС – скрещивающиеся.

Угол между пересекающимися прямыми

1) Пересекающиеся прямые.

Если прямые пересекающиеся, то мы имеем четыре разных угла. Углом между прямыми, называется наименьший из углов. Угол между пересекающимися прямыми а и b обозначим α (Рис. 4.). Угол α такой, что hello_html_43be0170.png.

hello_html_m42a6a4aa.png

Рис. 4.

Угол между скрещивающимися прямыми

2) Скрещивающиеся прямые

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Выберем произвольную точку О. Через точку О проведем прямую а1, параллельную прямой а, и прямую b1, параллельную прямой b (Рис. 5.). Прямые а1 и b1 пересекаются в точке О. Угол между пересекающимися прямыми а1 и b1 , угол φ, и называется углом между скрещивающимися прямыми.

hello_html_76fd12cf.png

Рис. 5.

Зависит ли величина угла от выбранной точки О? Выберем точку О1. Через точку О1 проведем прямую а2, параллельную прямой а, и прямую b2, параллельную прямой b (Рис. 6.). Угол между пересекающимися прямыми а2 и b2 обозначим φ1. Тогда углы φ и φ1 - углы с сонаправленными сторонами. Как мы доказали, такие углы равны между собой. Значит, величина угла между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки О.

hello_html_3bbab2da.png

 

Рис. 6.

Оснащение: доска, мультимедийный комплекс.

Литература:

1. Алгебра и начала анализа: Учебник для 11 кл. общеобразовательных учреждений/ С.М.Никольский, С.М.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. – М.: Просвещение, 2009.

2. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. – М.: Просвещение, 2010.

3. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса. – М.: Просвещение, 2010.

4. Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса. – М.: Просвещение, 2010.

5. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Щварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса. – М.: Просвещение, 2008.

Преподаватель: Казимова З.А.



ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 56

Дисциплина: Математика

Тема: Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

Цель занятия: изучить скрещивающиеся прямые. Проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой. Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми

В результате проведения занятия обучающийся должен

знать: значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике, широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе; значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии, вклад российских и зарубежных ученых, оказавших наибольшее влияние на становление математики; универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности; вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

уметь: распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями; описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении; анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве; изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач; строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды, решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;

владеть: материалом школьной программы

Норма времени: 2 часа

Вид занятия: Лекция

Тип занятия: ИПЗНЗ

План занятия:

1. Углы с сонаправленными сторонами.

2. Угол между прямыми

Определение сонаправленных лучей

Любая прямая, например ОО1 (Рис. 1.), рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О1А1 параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О2А2 и ОА не являются сонаправленными (Рис. 1.). Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости.

hello_html_m2ac0f973.png

Рис. 1.

Теорема о равенстве углов с сонаправленными сторонами

Если стороны двух углов сонаправленны, то такие углы равны.

Доказательство

Пусть нам даны параллельные лучи ОА и О1А1 и параллельные лучи ОВ и О1В1 (Рис. 2.). То есть, мы имеем два угла АОВ и А1О1В1, чьи стороны лежат на сонаправленных лучах. Докажем, что эти углы равны.

hello_html_7d791692.png

Рис. 2.

На стороне луча ОА и О1А1 выберем точки А и А1 так, чтобы отрезки ОА и О1А1 были равны. Аналогично, точки В и В1 выберем так, чтобы отрезки ОВ и О1В1 были равны.

Рассмотрим четырехугольник А1О1ОА (Рис. 3.). В этом четырехугольники стороны ОА и О1А1 параллельны и равны. По признаку параллелограмма, четырехугольник А1О1ОА является параллелограммом. Так как А1О1ОА – параллелограмм, то стороны ОО1 и АА1 параллельны и равны.

Рассмотрим четырехугольник В1О1ОВ. В этом четырехугольники стороны ОВ и О1В