Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Курс по выбору "Экстремальные задачи" для 11 класса(математика)

Курс по выбору "Экстремальные задачи" для 11 класса(математика)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:


БЕКІТЕМІН: КЕЛІСЕМІН: Ә/б ОТЫРЫСЫНДА

УТВЕРЖДАЮ: СОГЛАСОВАНО: ҚАРАЛДЫ:

Директор Оқу ісінің меңгерушісі РАССМОТРЕНО НА

Зам.директора по УВР ЗАСЕДАНИИ М/О:

__________________ __________________ Хаттама №___________

. Дейнега Г.Г. «____»____________ Протокол № _________

Утемисов М.Ж «___»_______________ Рук.МО_____________





ПЛАН

курса по выбору

2015 – 2016 УЧЕБНЫЙ ГОД

Предмет - «Математика»

Наименование курса «Экстремальные задачи»

Класс-11 «Б»



Всего часов -34 (1 час в неделю)





Разработал учитель Байкунов Валерий Шаймуханович,

2 категория, высшее образование







2015 год

Пояснительная записка.

Задачи на экстремумы-оптимумы — это одно из наиболее могучих деревьев математического сада. Крепки корни этого дерева; они разветвляются и уходят глубоко в различные математические науки. Ствол этого дерева ветвист и высок. Крона его раскинулась широко и могуче. Особенно быстро растет и расцветает это дерево в наше время.

Ф.Ф.Нагибин

Задачи, где требуется определить условия, при которых некоторая величина принимает наибольшее и наименьшее значение, принято называть задачами «на экстремум» (от латинского слова extremum – «крайний») или задачами «на максимум и минимум» (от латинских maximum и minimum – соответственно «наибольшее» и «наименьшее»). Такие задачи часто встречаются в технике и естествознании, в повседневной деятельности людей.

Как из круглого бревна выпилить прямоугольную балку с наименьшим количеством отходов? Каких размеров должен быть ящик, чтобы при заданном расходе материала его объем был наибольший? В каком месте следует строить мост через реку, чтобы дорога, проходящая через него и соединяющая два города, была кратчайшей?

С незапамятных времен перед человеком возникают практические проблемы нахождения наибольшего и наименьшего, наилучшего и наихудшего. Как правило, в задачах подобного рода достижение некоторого результата может быть осуществлено не единственным способом и приходится отыскивать наилучший.

О таких задачах особенно хорошо писал великий русский математик П.Л. Чебышев. «Практическая деятельность человека представляет чрезвычайное разнообразие, и для удовлетворения всех ее требований, разумеется, недостает науке многих и различных метод. Но из них особенную важность имеют те, которые необходимы для решения различных видоизменений одной и той же задачи, общей для всей практической деятельности человека».

Эти задачи (им легко придать геометрический вид) имеют большое практическое значение. С их помощью можно решать важный во всяком деле вопрос, как, по словам русского математика П.Л. Чебышева, «располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды». Уметь решать подобные задачи очень важно, и поэтому они привлекают большое внимание.

Курс по выбору позволит познакомиться с некоторыми этапами истории зарождения теории экстремальных значений величин, получивших в дальнейшем развитие и обобщение. Содержание рассматриваемых задач самое разнообразное, разнообразны и методы их решения. Однако общее в решении экстремальных задач заключается в самом характере применения того или иного математического метода. Дело в том, что по самой своей природе математические методы не могут прилагаться непосредственно к действительности, а применяются только к математическим моделям того или иного явления.

В простейших случаях условие задачи сразу переводится на математический язык (например, условие записывается в виде уравнения или неравенства), и мы получаем математическую формулировку задачи, т. е. ее математическую модель. Математическая модель только тогда имеет практическое значение, когда она достаточно хорошо отображает основные свойства и определенные характеристики исследуемого реального явления.

Математическая модель экстремальных задач имеет свою особенность: в ее состав всегда входит некоторая функция, называемая «целевой функцией», которую требуется при заданных условиях минимизировать (максимизировать), т. е. найти ее оптимальное значение.

Содержание рассматриваемых задач самое разнообразное, разнообразны и методы их решения. Знание этих методов позволяют нам обрести ясность мысли, способность находить собственное оригинальное решение. Существуют разные способы формализации, как условий задачи, так и процесса её решения: алгебраический, табличный, графический и др. Каждый из этих способов обладает своими достоинствами.

Реальность такова, что в учебных пособиях решение задач на нахождение наибольших и наименьших значений рассматривается общим (как принято говорить, основным) методом изучения экстремальных задач – методом дифференциального исчисления, а элементарные методы решения задач данного класса либо полностью отсутствуют, либо разрознены. Да и в школьном курсе частным приемам отводится недостаточно внимания и времени. Кроме того, практика последних лет говорит о необходимости формирования умений решать данные задачи различных типов в связи с включением их в содержание ЕНТ.

Координируя изучение математики с другими предметами, с историей общества, подчеркивая роль и влияние практики на развитие математики, указывая условия, а иногда и причины зарождения и развития тех или иных идей и методов, мы тем самым способствуем развитию у школьников диалектического мышления и формированию мировоззрения, содействуем процессу их умственного созревания. Достигнутое таким образом более глубокое понимание учебного материала, безусловно, вызовет у школьников повышение интереса к предмету.

В данном курсе подробно рассматриваются различные методы решения экстремальных задач, что позволит более широкому кругу обучающихся научиться решать задачи на экстремум.

Программа курса строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения математических задач.


Цели курса:

  • образовательно-содержательная цель: обучить учащихся решению предлагаемых видов экстремальных задач, оказать помощь учащимся в преодолении трудностей в подготовке к сдаче ЕНТ и для поступления в ВУЗы

  • развивающая цель: через решение задач на экстремумы развивать алгоритмическое мышление, а также умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать;

  • воспитательная цель: посредством организации занятий воспитывать настойчивость в достижении цели, развивать устойчивый интерес к предмету. Способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе и решения практических проблем.

Задачи курса:

  • формировать устойчивый интерес к математике;

  • расширить знания о методах и способах решения задач на экстремумы;

  • формировать умения моделировать реальные ситуации;

  • развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся;

  • подготовить учащихся к ЕНТ по математике;

  • предоставить ученику возможность реализовать свой интерес к выбранному предмету, определить готовность ученика осваивать выбранный предмет на повышенном уровне.

Сроки реализации программы.

Программа рассчитана на один год обучения, 34 часа. Программа предназначена для учащихся 11 класса естественно – математического направления.


Основные методы и технологии.

  • технология разноуровневого обучения;

  • развивающее обучение;

  • технология обучения в сотрудничестве;

  • коммуникативная технология.


Предполагаемые результаты:

В результате изучения курса учащиеся должны:

  • понимать сущность понятия "экстремальные задачи";

  • знать методы решения задач на экстремумы и алгоритм их решения;

  • уметь применять знания на практике и в нестандартных ситуациях.


Содержание курса.

Введение

1. Роль экстремальных задачи в формировании логической культуры человека. Исторический экскурс.

2. Систематизация способов решения задач на экстремумы

3. Практикум по решению задач

4. Метод дифференциального исчисления

5. Задачи для самостоятельного решения









Календарно – тематическое планирование


Тема

Количество часов

Дата

Введение

Исторический экскурс. Методы решения экстремальных задач.

1 час.

2.09

Частные приемы решения задач на экстремум

Выделение полного квадрата.

1 час.

9.09

Способ анализа множества значений функции.

1 час.

16.09

Использование свойств неравенств.

1 час.

23.09

Использование определений возрастающей и убывающей функций.

1 час.

30.09

Экстремальное свойство квадратичной функции.

1 час.

7.10

Оценка дискриминанта.

1 час.

14.10

Метод симметрии.

1 час.

21.10

  1. 10

Линейное программирование.

1 час.

28.10

Практикум по решению задач

Преобразование алгебраических выражений.

1 час.

4.11

Преобразование алгебраических выражений.

1 час.

18.11

Преобразование тригонометрических выражений.

1 час.

25.11

Преобразование тригонометрических выражений.

1 час.

2.12

Текстовые алгебраические задачи.

1 час.

9.12

Текстовые алгебраические задачи.

1 час.

23.12

Геометрические задачи.

1 час.

13.01

Геометрические задачи.

1 час.

20.01

Кратчайшие системы дорог.

1 час.

27.01

Кратчайшие системы дорог.

1 час.

3.02

Задачи с параметром.

1 час.

10.02

Задачи с параметром.

1 час.

17.02

Линейное программирование.

1 час.

24.02

Линейное программирование.

1 час.

2.03

Решение тестовых заданий по теме «Решение задач на экстремум

1 час.

9.03

Решение тестовых заданий по теме «Решение задач на экстремум

1 час.

16.03

Метод дифференциального исчисления

Преобразование алгебраических выражений.

1 час.

6.04

Преобразование тригонометрических выражений.

1 час.

13.04

Текстовые алгебраические задачи.

1 час.

20.04

Геометрические задачи.

1 час.

27.04

Геометрические задачи.

1 час.

4.05

Задачи для самостоятельного решения

Разные задачи и примеры

1 час.

11.05

Разные задачи и примеры

1 час.

18.05

Решение тестовых заданий по теме «Решение экстремальных задач с использованием производной».

1 час.

Вне расписания доп. занятие

Решение тестовых заданий по теме «Решение экстремальных задач с использованием производной».

1 час.

Вне расписания доп.занятие


Методические рекомендации по реализации программы.


Современные жизненные условия, в которые поставлено общество и, в том числе, школа, выдвигают свои требования к новому поколению, вступающему в жизнь: оно должно быть не только знающим основы наук и умелым, но и мыслящим, инициативным, самостоятельным.

Необходимость развития логического мышления и творческих способностей обусловлена временем, той эпохой, в которой мы живем. Простое усвоение учеником системы знаний уже недостаточно, возникает необходимость в формировании у молодого поколения потребности в самостоятельной творческой деятельности, в развитии своих интеллектуальных способностей. Пытаясь достичь поставленной цели, а именно показать роль и значимость задач на экстремумы в развитии интеллектуальных способностей учащихся, я попыталась, опираясь на свои знания и опыт систематизировать методы экстремальных задач, создать учебное пособие «Экстремальные задачи» – банк данных материалов, который является основным дидактическим средством для предлагаемого курса.

Настоящий сборник задач разработан для учащихся 11 классов. Каждая из предложенных задач – математическая миниатюра, побуждающая к самостоятельному исследованию, и является одним из самых мощных инструментов развития мышления и интеллекта.

В сборнике описан ряд классических идей решения экстремальных задач, которые для большинства школьников являются нестандартными. Каждая идея снабжена комментарием, примерами решения задач и задачами для самостоятельного решения. Приведены подборки задач олимпиадного и исследовательского типов, которые сгруппированы по классам.

Сложность задач существенно различна. Для решения некоторых из них достаточно смекалки, логики и пространственного воображения. Другие задачи требуют некоторого опыта, интуиции и наблюдательности. Чтобы решить наиболее трудные задачи потребуется умение организовать работу над задачей (прояснить ситуацию, выявить круг идей, подобрать удобный «язык») и владеть определённой техникой.

Начинать обучение следует с простых задач. Затем можно приступать к решению более сложных задач. На более высоком уровне целесообразно предложить учащимся комбинированные задачи, условия которых предполагает различные типы задач, их комбинацию. Для более эффективной работы учащихся целесообразно в качестве дидактических средств использовать плакаты с опорными конспектами в виде примерной модели.

Важно правильно организовать работу учащихся с текстом задачи при проведении анализа условия. Для этого каждый учащийся должен быть обеспечен текстом. В этом плане наиболее удобными являются готовые сборники задач.
Безусловно, огромна роль учителя в правильной организации работы группы и самостоятельной познавательной деятельности школьников, поскольку доля самостоятельной работы учащихся составляет 85% всего учебного времени данного курса. Значимой для формирования и развития умения решать задачи является деятельность учащихся по самостоятельному выявлению видов задач каждого типа, составлению математической модели, плана решения. Для этого используется групповая работа. Для каждой группы разрабатываются методические инструкции и информационные листы. В течение работы учитель осуществляет разноуровневый контроль усвоения материала в рамках каждого типа задач. При этом, поскольку усвоение материала в разных группах не зависит от другого типа задач, учащиеся абсолютно безболезненно могут переходить от

одного типа к другому в течение всего курса.

Эффективность реализации программы легко определяется на выходе после прохождения всего цикла на разных уровнях, по отдельным типам задач и в целом по курсу. По итогам курса учащиеся должны получить отметку «зачтено».

При успешной реализации задач курса учащиеся должны знать:

  • основные способы решения задач на экстремумы;

  • основные способы моделирования реальных ситуаций при решении задач различных типов.

При успешной реализации задач курса учащиеся должны уметь:

  • работать с текстами задачи, определять её тип;

  • составлять план решения задачи;

  • решать задачи разного уровня (включая творческие задания);

  • моделировать реальные ситуации, описываемые в задачах.


Советы учащимся

1. Прочитайте условия всех задач и наметьте, в каком порядке вы будете их решать. Учтите, что обычно задачи упорядочены по возрастанию их трудности.

2. Если условие, на ваш взгляд, можно понять разными способами, то не выбирайте самый удобный для себя.

3. Если задача решилась слишком легко – это подозрительно, возможно, вы неправильно поняли условие или где-то ошиблись.

4. Если задача не решается – попробуйте её упростить (взять меньшие числа, рассмотреть частные случаи и т.д.) или порешать ее «от противного», или заменить числа буквами и т. д.

5. Если неясно, верно ли некоторое утверждение, то пытайтесь его поочередно то доказывать, то опровергать (совет А. Н.Колмогорова).

6. Не зацикливайтесь на одной задаче: иногда отрывайтесь от нее и оценивайте положение. Если есть хоть небольшие успехи, то можно продолжать, а если мысль ходит по кругу, то задачу лучше оставить (хотя бы на время).

7. Если устали, отвлекитесь на несколько минут (посмотрите на облака или просто отдохните).

8. Решив задачу, сразу оформляйте решение. Это поможет проверить его правильность и освободит внимание для других задач.

9. Каждый шаг решения надо формулировать, даже если он кажется очевидным.

Осваивать идеи и методы решения задач можно двумя способами:

1) сначала прочитать описание идеи, потом разобрать примеры, потом порешать задачи на эту тему, или

2) сразу начать с задач, чтобы самим уловить идею, а уже потом прочитать комментарии и разобрать примеры.

Решать задачи мы советуем не все подряд, а выбирая те, которые вам интересны. Если какая-то задача особенно понравилась, то, решив её, не переходите сразу к следующей, а подумайте еще над этой. Попробуйте понять:

какие идеи привели к решению, чем эта задача похожа или не похожа на другие задачи;

где в решении использованы те или иные данные, перестанет ли утверждение быть верным, если какое-то условие убрать или ослабить;

можно ли данные и ответ поменять местами, т. е. верно ли обратное утверждение;

можно ли обобщить задачу или вывести интересные следствия.

Не стремитесь решать много задач. Если вы решите за день одну или две задачи и хорошо всё продумаете, то это будет лучше чем решить десять задач поверхностно. Важно не количество решенных задач, а то новое, что удалось

понять.

Старайтесь решать задачи красиво, без лишних выкладок и перебора случаев. Для математика важна прежде всего, математическая интуиция, которая ведет к цели. Если у вас после решения хорошей задачи поднимается настроение – это признак успешной работы.


Список использованной литературы.

  1. Савин А. П. Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. – М.: Педагогика, 1985. – 352 с., ил.

  2. Чебышев П.Л. Полное собрание сочинений, т. V, изд. АН СССР, 1951.

  3. Нагибин Ф.Ф. Экстремумы. Пособие для учащихся старших классов. М.: Просвещение,1966.

  4. Беляева Э.С., Монахов В.М. Экстремальные задачи. Пособие для учащихся. М., «Просвещение», 1977.

  5. Савин А.П. Математические миниатюры: Научно-попул. лит. – М.: Дет. лит., 1991.

  6. Баймуханов Б., Медеуов Е., Базаров К. Алгебра: Учебник для 8 классов общеобразовательных школ. – Алматы: ТОО «Издательство «Мектеп», 2004.

  7. Бартенев Ф.А. Нестандартные задачи по алгебре. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 1976.

  8. Гусев В.А., Орлов А.И., Розенталь А.Л. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах: Книга для учителей. – 2-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1984.

  9. Петраков И.С. Математические кружки в 8-10 классах: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение,1987.

  10. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Пособие для учащихся. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1984.

  11. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. Пособие для 10 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989.

  12. Райзберг Б.А. Экономическая энциклопедия для детей и взрослых. – М.: АОЗТ «Нефтехиминвест». 1995.

  13. Балаян Э.Н. Для поступающих в вузы. – Ростов н/Д: Феникс, 2006. – 800 с. – (Абитуриент).

  14. Кострикина Н. П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7 – 9 классов: Кн. для учителя. – М.: Просвещение, 1991.

  15. Тихонов А. Н., Костомаров Д. П. Вводные лекции по прикладной математике. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.






Методическая основа


Методы решения экстремальных задач.


Имеет значение не багаж, а орудие, которым ты его схватываешь.

А. Экзюпери

Содержание рассматриваемых задач самое разнообразное, разнообразны и методы их решения. Задачи, рассматриваемые в данной работе, решаются элементарными средствами и существенно зависят от вида той функции, экстремум которой приходится находить. При этом широко используется алгебро-геометрический язык (аналитическим проблемам дается геометрическое представление, а геометрические ситуации переводятся на язык уравнений, неравенств и их систем).

Умение решать задачи на экстремум – это искусство. Как во всяком искусстве, здесь есть свои технические приемы. Не секрет, что человек, владеющий разными инструментами и применяющий их в зависимости от характера выполняемой работы, добивается значительно лучших результатов, чем человек, владеющий лишь одним универсальным инструментом.

Условимся считать задачей и текстовую задачу, и уравнение, и вычислительный пример.


Методы решения экстремальных задач.

1. Выделение полного квадрата.

2. Способ анализа множества значений функции.

3. Использование свойств неравенств.

4. Использование определений возрастающей и убывающей функций.

5. Экстремальное свойство квадратичной функции.

6. Оценка дискриминанта.

7. Метод симметрии.

8. Линейное программирование.



Автор
Дата добавления 16.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров236
Номер материала ДВ-263158
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх