Курсовая работа " Использование тригонометрии в жизни"

                Муниципальное образовательное учреждение лицей №86

Использование тригонометрии в жизни

                                              Курсовая работа

Автор–Светлов Владислав,

 10 «В» класс

МОУ лицей №86 г.Ярославль

Научный руководитель –

Арабаджи Елена Владимировна

Ярославль, 2017

Содержание:

1)    Введение

1.     Цели и задачи…………………………………………………….стр. 3

2)    Основная часть.

1.     История тригонометрии………………………………………...стр. 4

2.     Тригонометрические уравнения………………………………...стр. 8

3.     Схема решения тригонометрических уравнений……………....стр. 9

4.     Способы решения тригонометрических уравнений…………..стр. 11

5.     Практическое применение тригонометрии…………………....стр. 12

6.     Тригонометрия в биологии……………………………………..стр. 13

7.     Тригонометрия в медицине……………………………………..стр. 14

8.     Тригонометрия в физике………………………………….……стр. 16

9.     Тригонометрия в природе………………………………………стр. 17

10. Тригонометрия в музыке………………………………………..стр.17

11. Тригонометрия помогает мозгу………………………………...стр. 18

12. Тригонометрия в архитектуре……………………………….....стр. 18

3)    Практическая часть…………………………………………………….стр. 19

4)    Заключение……………………………………………………………..стр. 21

5)    Список литературы……………………………………………………стр. 22

6)    Приложение………………………………………………………….…стр. 23

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ В ЖИЗНИ.

Введение

   Тригонометрия - это раздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций. С этой наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики, но и в нашей повседневной жизни. Тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, и, что самое интересное, без нее не обошлось даже в музыке и архитектуре. Значительную роль играют задачи с практическим содержанием. Каждого изучающего математику, интересует как и где применяются полученные знания. Ответ на этот вопрос и дает данная работа. Я считаю, что большинство физических явлений природы, физиологических процессов, закономерностей в музыке и искусстве можно описать с помощью тригонометрии и тригонометрических функций. По звездам вычисляли местонахождение корабля в море. Древние люди вычисляли высоту дерева, сравнивая длину его тени с длиной тени от шеста, высота которого была известна. Тригонометрия (от греч. trigwnon - треугольник и metrew - измеряю).

Цель

Узнать где и как используется тригонометрия в окружающем нас мире.

Задачи

1.     Изучить историю тригонометрии

2.     Узнать где используется тригонометрия

3.     Узнать как используется тригонометрия в других науках

4.     Сделать вывод о проделанной работе

Общие сведения о тригонометрии

История тригонометрии началась более двух тысячелетий назад. Первоначально ее возникновение было связано с необходимостью выяснения соотношений углов и сторон треугольника. В процессе исследований выяснилось, что математическое выражение данных соотношений требует введения особых тригонометрических функций, которые первоначально оформлялись как числовые таблицы.

Для многих смежных с математикой наук толчком к развитию стала именно история тригонометрии. Происхождение единиц измерения углов (градусов), связанное с исследованиями ученых Древнего Вавилона, опирается на шестидесятиричную систему исчисления, которая дала начала современной десятиричной, применяемой во многих прикладных науках.

История тригонометрии

Тригонометрия в ранние века

Руководствуясь данными о сохранившихся научных реликвиях, исследователи сделали вывод, что история возникновения тригонометрии связана с работами греческого астронома Гиппарха, который впервые задумался над поиском способов решения треугольников (сферических). Его труды относятся ко 2 веку до нашей эры.

· 

· 

· 

· 

· 

Также одним из важнейших достижений тех времен является определение соотношения катетов и гипотенузы в прямоугольных треугольниках, которое позже получило название теоремы Пифагора.

История развития тригонометрии в Древней Греции связана с именем астронома Птоломея - автора геоцентрической системы мира, господствовавшей до Коперника.

Греческим астрономам не были известны синусы, косинусы и тангенсы. Они пользовались таблицами, позволяющими найти значение хорды окружности с помощью стягиваемой дуги. Единицами для измерения хорды были градусы, минуты и секунды. Один градус приравнивался к шестидесятой части радиуса.

Также исследования древних греков продвинули развитие сферической тригонометрии. В частности, Евклид в своих «Началах» приводит теорему о закономерностях соотношений объемов шаров различного диаметра. Его труды в этой области стали своеобразным толчком в развитии еще и смежных областей знаний. Это, в частности, технология астрономических приборов, теория картографических проекций, система небесных координат и т. д.

Средневековье: исследования индийских ученых

Значительных успехов достигли индийские средневековые астрономы. Гибель античной науки в IV веке обусловила перемещение центра развития математики в Индию.

История возникновения тригонометрии как обособленного раздела математического учения началась в Средневековье. Именно тогда ученые заменили хорды синусами. Это открытие позволило ввести функции, касающиеся исследования сторон и углов прямоугольного треугольника. То есть именно тогда тригонометрия начала обосабливаться от астрономии, превращаясь в раздел математики.

Первые таблицы синусов были у Ариабхаты, они была проведены через 3^о, 4^о, 5^о. Позже появились подробные варианты таблиц: в частности, Бхаскара привел таблицу синусов через 1^о.

Первый специализированный трактат по тригонометрии появился в X—XI веке. Автором его был среднеазиатский учёный Аль-Бируни. А в своем главном труде «Канон Мас‘уда» (книга III) средневековый автор еще более углубляется в тригонометрию, приводя таблицу синусов (с шагом 15') и таблицу тангенсов (с шагом 1°).

История развития тригонометрии в Европе

После перевода арабских трактатов на латынь (XII-XIII в) большинство идей индийских и персидских ученых были заимствованы европейской наукой. Первые упоминания о тригонометрии в Европе относятся к XII веку.

По мнению исследователей, история тригонометрии в Европе связана с именем англичанина Ричарда Уоллингфордского, который стал автором сочинения «Четыре трактата о прямых и обращенных хордах». Именно его труд стал первой работой, которая целиком посвящена тригонометрии. К XV веку многие авторы в своих трудах упоминают о тригонометрических функциях.

История тригонометрии: Новое время

В Новое время большинство ученых стало осознавать чрезвычайную важность тригонометрии не только в астрономии и астрологии, но и в других областях жизни. Это, в первую очередь, артиллерия, оптика и навигация в дальних морских походах. Поэтому во второй половине XVI века эта тема заинтересовала многих выдающихся людей того времени, в том числе Николая Коперника, Иоганна Кеплера, Франсуа Виета. Коперник отвел тригонометрии несколько глав своего трактата «О вращении небесных сфер» (1543). Чуть позже, в 60-х годах XVI века, Ретик - ученик Коперника - приводит в своем труде «Оптическая часть астрономии» пятнадцатизначные тригонометрические таблицы.

· 

· 

· 

· 

· 

Франсуа Виет в «Математическом каноне» (1579) дает обстоятельную и систематическую, хотя и бездоказательную, характеристику плоской и сферической тригонометрии. А Альбрехт Дюрер стал тем, благодаря кому на свет появилась синусоида.

Заслуги Леонарда Эйлера

Придание тригонометрии современного содержания и вида стало заслугой Леонарда Эйлера. Его трактат «Введение в анализ бесконечных» (1748) содержит определение термина «тригонометрические функции», которое эквивалентно современному. Таким образом, этот ученый смог определить обратные функции. Но и это еще не все.

Определение тригонометрических функций на всей числовой прямой стало возможным благодаря исследованиям Эйлера не только допустимых отрицательных углов, но и углов боле 360°. Именно он в своих работах впервые доказал, что косинус и тангенс прямого угла отрицательные. Разложение целых степеней косинуса и синуса тоже стало заслугой этого ученого. Общая теория тригонометрических рядов и изучение сходимости полученных рядов не были объектами исследований Эйлера. Однако, работая над решением смежных задач, он сделал много открытий в этой области. Именно благодаря его работам продолжилась история тригонометрии. Кратко в своих трудах он касался и вопросов сферической тригонометрии.

История происхождения основных понятий

История возникновения и развития тригонометрии насчитывает не один век. Введение понятий, которые составляют основу этого раздела математической науки, также не было одномоментным.

Так, понятие «синус» имеет очень долгую историю. Упоминания о различных отношениях отрезков треугольников и окружностей обнаруживаются еще в научных трудах, датируемых III веком до нашей эры. Работы таких великих древних ученых, как Евклид, Архимед, Апполоний Пергский, уже содержат первые исследования этих соотношений. Новые открытия требовали определенных терминологических уточнений. Так, индийский учёный Ариабхата дает хорде название «джива», означающее «тетива лука». Когда арабские математические тексты переводились на латынь, термин заменили близким по значению синусом (т. е. «изгиб»).

Слово «косинус» появилось намного позже. Этот термин является сокращенным вариантом латинской фразы «дополнительный синус».

Возникновение тангенсов связано с расшифровкой задачи определения длины тени. Термин «тангенс» ввел в X веке арабский математик Абу-ль-Вафа, составивший первые таблицы для определения тангенсов и котангенсов. Но европейские ученые не знали об этих достижениях. Немецкий математик и астроном Регимонтан заново открывает эти понятия в 1467 г. Доказательство теоремы тангенсов – его заслуга. А переводится этот термин как «касающийся».

Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида f(kx+b)=a, гдеf(x) - одна из тригонометрических функций:sinx, cosx, tgx. Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнениюsinx=1/2 удовлетворяют следующие значения: x₁=π/6, x₂=5π/6, x₃=π/6+2π, x₄=π/6-2πи т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравненияsin(x)=a, где │a│≤1, такова: x=(-1)^karcsin(a+πn)

Здесь nможет принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) nназывают параметром. Записывают обычно nϵZ, подчеркивая тем самым, что параметр nпринимать любые целые значения.

Решения уравнения cos(x), где │a│≤1, находятся по формулеx= ±arcsin(a+2πn), nϵZ

Особо отмечу некоторые частные случаи простейших тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:

sinx = 0, x = πk, kϵZtgx =0, x = πk, kϵZ

sinx = 1, x = π/2 + 2πk, kϵZtgx =1, x = π/4+πk, kϵZ

sinx = -1, x = -π/2 + 2πk, kϵZtgx =-1, x = -π/4 +πk, kϵZ

cos x = 0, x = π/2+2πk, kϵZ

cos x = 1, x = 2πk, kϵZ

cos x = -1, x = π + 2πk, kϵZ

Схема решения тригонометрических уравнений

Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая:

Решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений.

Средства решения: преобразования, разложения на множители, замена неизвестных.

Ведущий принцип: не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей "цепочки" (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу замечу, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.

Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага - замены переменных - превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.

Еще раз напомню: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.

Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения sinx = a (│a│≤1)ответ может быть записан следующим образом:

1) в виде двух серий: x₁ = arcsina+2πk, x₂ = π - arcsina+2πk,kϵZ;

2) в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий: x=(-1)^karcsina+πk,kϵZ;

3) поскольку sinx = cos (x-π/2), то ответ можно записать в виде x = π/2 ±arccosa+2πk, kϵZ. (В дальнейшем наличие параметра k, n, mили lв записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. (Исключения будут оговариваться.)

Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).

Обычно ответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения sinx = aработа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения cosx = a.)

Способы решения тригонометрических уравнений

1)    Введение вспомогательного аргумента

Стандартным путем преобразования выражений вида acosx + bsinxявляется следующий прием: пусть φ- угол, задаваемый равенствами cosφ=a/√(a²+b²), sinφ=b/√(a²+b²). Для любых aи bтакой угол существует. Таким образом acosx + bsinx= √(a²+b²)*cos(x-φ). Если a>0, b>0 или a>0, b<0, φ=b/a, в других случаях φ=π+b/a. (Пример см. в Практической части).

2)    Универсальная тригонометрическая подстановка

Многие тригонометрические уравнения можно решить с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки.

Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку x/2 не определен в точках x=π+2πk, поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы x=π+2πk, корнями исходного уравнения.(Пример см. в Практической части).

3) Решение тригонометрических уравнений с помощью формул

Для решения большинства таких уравнений требуется применение различных формул и преобразований тригонометрических выражений. (Пример см. в Практической части).

4)    Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители

Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых равна нулю, решаются разложением их левой части на множители. (Пример см. в Практической части).

Практические применения тригонометрии

Многие задаются вопросами: есть ли связь между предметами, изучаемыми в школе? Как помогает математика в изучении других предметов? Зачем нужна тригонометрия? И вот ответ на эти вопрос. Тригонометрия или тригонометрические функции используются в астрономии (особенно для расчётов положения небесных объектов), когда требуется сферическая тригонометрия,  в морской и воздушной навигации, в теории музыки, в акустике, в оптике, в анализе финансовых рынков, в электронике, в теории вероятности, в статистике, в биологии, в медицинской визуализации ,например, компьютерной томографии и ультразвук, в аптеках, в химии, в теории чисел, в сейсмологии, в метеорологии, в океанографии, во многих физических науках, в межевании и геодезии, в архитектуре, в фонетике, в экономике, в электротехнике, в машиностроении, в гражданском строительстве, в компьютерной графике, в картографии, в кристаллографии, в разработке игр и многих других областях.

Тригонометрия в биологии.

Модель биоритмов

Одно из фундаментальных свойств живой природы - это цикличность большинства происходящих в ней процессов. Биологические ритмы, биоритмы – это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов. Основной земной ритм – суточный. Модель биоритмов можно построить с помощью тригонометрических функций. Для построения модели биоритмов необходимо ввести дату рождения человека, дату отсчета (день, месяц, год) и длительность прогноза (кол-во дней).

Теория трех ритмов.

Физический цикл -23 дня. Определяет энергию, силу, выносливость, координацию движения.

Эмоциональный цикл - 28 дней. Состояние нервной системы и настроение.

Интеллектуальный цикл - 33 дня. Определяет творческую способность личности.
С помощью специальной программы я составил собственный график по теории трех ритмов (см. в Приложении).

Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

                                       Тригонометрия в медицине.

Бета-ритм -  активная умственная деятельность

Альфа-ритм -  монотонная, рутинная деятельность

Тета-ритм -  состояние близкое ко сну, полудрема

Дельта-ритм -  глубокий сон

Многим людям приходится делать кардиограмму сердца, но немногие знают, что кардиограмма человеческого сердца – график синуса или косинуса.

Формула сердца

В результате исследования, проведенного студентом иранского университета Шираз Вахидом-Резой Аббаси, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.
Формула, получившая название тегеранской, была представлена широкой научной общественности состоявшейся в Нидерландах. Эта формула представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, тем самым, постановку диагноза и начало собственно лечения.

Сонный синус

Синус Каротидный, Синус Сонный (Carotid Sinus) - небольшое расширение у начала сонной артерии в месте ее разделения на наружную и внутреннюю сонные артерии; в нем присутствуют рецепторы, которые участвуют в регуляции артериального давления (см. Барорецептор). Когда происходит повышение давления крови, импульсы от этих рецепторов поступают в вазомоторный центр головного мозга, который инициирует рефлекс вазодилатации; в результате происходит замедление частоты сердечных сокращений и снижение кровяного давления до нормы.

Пещеристый синус.

Синус Пещеристый (Cavernous Sinus) - парный канал в который поступает венозная кровь от головного мозга, глаза, носа и из верхней части щеки; отток крови осуществляется через внутреннюю яремную и лицевую вены. Через пещеристый синус проходят внутренняя сонная артерия и отводящий нерв в толще его стенок проходят глазодвигательный, блоковый и глазной нервы (1-я ветвь тройничного нерва).

Тригонометрия в физике:

В окружающем нас мире приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Эти процессы называются колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям и описываются одинаковыми уравнениями. Существуют разные виды колебательных явлений.

Гармоническое колебание — явление периодического изменения какой-либо величины, при котором зависимость от аргумента имеет характер функции синуса или косинуса.

Механические колебания.   Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно через одинаковые промежутки времени. Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примерами простых механических колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

Тригонометрия в природе.

Мы часто задаем вопрос «Почему мы иногда видим то, чего нет на самом деле?». Для исследования предложены следующие вопросы: «Как возникает радуга? Северное  сияние?», «Что такое оптические иллюзии?».
И, может кто-нибудь из вас сейчас задумался «Как же тригонометрия может нам помочь найти ответы на эти вопросы?».

Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.
И действительно, радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления: sinα / sinβ = n₁ / n₂

n₁ - показатель преломления первой среды
 n₂ - показатель преломления второй среды

α-угол падения, β-угол преломления света
Северное сияние - свечение верхних слоёв атмосферпланет, обладающих магнитосферой, вследствие их взаимодействия с заряженными частицами солнечного ветра.

Сила, действующая на движущуюся в магнитном поле заряженную частицу называется силой Лоренца. Она пропорциональна заряду частицы и векторному произведению поля и скорости движения частицы.

Тригонометрия в музыке.

Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался сделать это, были Пифагор и его ученики.

Частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8…

Диатоническая    гамма    2:3:5

Тетраэдр из различных типов аккордов четырех звуков:

синий – малые интервалы;

более теплые тона - более «разряженные» звуки аккорда; красная сфера- наиболее гармоничный аккорд с равными интервалами между нотами.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов.

Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Такой вывод был сделан после серии экспериментов, участникам которых предлагалось взглянуть на окружающий мир через призмы, увеличивающие этот угол.
Такое искажение приводило к тому, что подопытные носители призм воспринимали удаленные объекты как более близкие и не могли справиться с простейшими тестами. Некоторые из участников экспериментов даже наклонялись вперед, стремясь выровнять свое тело перпендикулярно неправильно представляемой поверхности земли. Однако по прошествии 20 минут они привыкли к искаженному восприятию, и все проблемы исчезли. Это обстоятельство указывает на гибкость механизма, с помощью которого мозг приспосабливает зрительную систему к меняющимся внешним условиям. Интересно заметить, что после того, как призмы были сняты, некоторое время наблюдался обратный эффект - переоценка расстояния.

Архитектура

Я сам очень люблю геометрию, черчениеи все что связано с этими науками. Поэтому я решил посвятить вся свои исследования в основном архитектуре. 

Тригонометрия широко используется в строительстве, а особенно в архитектуре. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Но теоретические данные мало что значат. Хочу привести пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства (см. в приложении).

Так же я сделал несколько выводов о построении мостов (см. в приложении).

Тригонометрия как я уже сказал используется в построении зданий, различных сооружений, и таких зданий очень много (см. в приложении).

Практическая часть

Пример №1. Введение вспомогательного аргумента

Решим уравнение 12cosx - 5sinx = -13

Решение: разделим обе части уравнения на , получим
12/13cosx –5/13sinx = −1.

Одним из решений системы {cosφ = 12/13, sinφ = 5/13} является φ₌ arccos_(12/13).

Учитывая это, запишем уравнение в виде:cosx*cosφ – sinx*sinφ= −1

Применив формулу для косинуса суммы аргументов, получим: cos(x+φ)= −1

Откудаx+φ=π+2πn, x= −φ+π(2n−1)т.е.x= −arccos(12/13)+ π(2n+1), nϵZ.

Эта формула и дает все решения исходного уравнения.

Ответ: x= −arccos(12/13)+ π(2n+1), nϵZ.

Пример №2. Тригонометрическая подстановка.

Решим уравнение

Решение: Обращение к функции tgx/2 предполагает, что cosx/2 ≠ 0, то есть x ≠ π+2πn, nϵZ.

По формулам универсальной тригонометрической подстановки исходное уравнение примет вид:

Ответ:           ,        ;              ,         .

Пример №3. Решение уравнений с помощью формул.

1)    Уравнения, сводящиеся к квадратным.

cos² x + cosx – 2 = 0
Это уравнение является квадратным относительно cosx. Введем замену переменных cosx=y, тогда получим уравнение: y² + y – 2 = 0. Его корни y₁=1, y₂= -2. Таким образом решение сводится к решению двух уравнений:

cosx=1 имееткорниx = 2πn, nϵZ,

cosx=-2 не имеет корней.

2)Уравнения, допускающие понижение степени.

Понижение степени происходит с использованием формул:

cos2α =2cos²α – 1     cos2α =1-2sin²α6sin²x + 2cos2x=5

Выразим sin² x через cos2x

3(1 – cos2x) + 2cos2x = 4cos2x = 1,

x=πn, nϵZ.

Пример №4. Решение уравнений с помощью разложения на множители.

1)    1) sin2x+cosx=02)cos3x+sin5x=0

2sinxcosx+cosx=0          cos3x+cos(π/2-5x) = 0  

cosx (2sinx+1) =0                                        2cos( π/4 – x)*cos(4x – π/4) = 0

cosx=0                                                         cos( π/4 – x) = 0

x = π/2+2πk, k ϵ Z                                        x₁=3/4π+πn, n ϵ Z

или sinx=1/2                                                 cos(4x – π/4) = 0 

x = (-1)^k π/6 + πk, k ϵ Z                                 x₂=3/16π+πn/4, n ϵ Z.

Заключение

Связь математики с окружающим миром позволяет «материализовать» знания школьников. Это помогает нам лучше понять жизненную необходимость знаний, приобретаемых в школе.
Графическое решение тригонометрических неравенств привело к рассмотрению интересных математических орнаментов.


Я выяснил, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях. Я доказал, что тригонометрия тесно связана с физикой, встречается в природе, музыке, архитектуре и медицине. Думаю, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться.

  Список литературы:

1.   http://www.tofmal.ru/projects/trigan/

2.   http://www.lovehate.ru/opinions/76348/1

3.   http://www.myshared.ru/slide/629182/

4.   http://project.1september.ru/works/599526

5.   http://docme.ru:8180/doc/479565/zachem-nuzhna-trigonometriya

6.   http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2013/09/28/trigonometriya-v-arkhitekture

7.   https://yandex.ru/images/search?text=Мост%20Верразано&isize=large&_=1458918377016

8.   http://www.cleverstudents.ru/trigonometry/universal_trigonometric_substitution.html

9.   http://mognovse.ru/xgp-nauchno-issledovateleskaya-rabota-po-teme-trigonometriya-i.html

10. http://usa-trip.ru/mostyi-nyu-yorka/

Приложение

Статуя

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Велось множество расчетов, чтобы фигура с большой высоты смотрелась пропорционально. В основном они были основаны на методе визирования, то есть приблизительного измерения, на глаз. Однако коэффициент разности тех или иных пропорций позволили сделать фигуру более приближенной к идеалу. Таким образом, зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы (тоже самое мы можем сделать и с нижней точкой зрения), тем самым найдем точку зрения.

Ситуация меняется , так  как статую поднимают на высоту, поэтому расстояние от верхушки статуи до глаз человека увеличивается, следовательно и синус угла падения увеличивается. Сравнив изменения расстояния от верхушки статуи до земли в первом и во втором случаях, можно найти коэффициент пропорциональности. Впоследствии мы получим чертеж, а потом скульптуру, при поднятии которой зрительно фигура будет приближена к идеалу

Мосты

За основу анализа я взял большой город, а именно Нью-Йорк. В Нью-Йорке очень большое количество мостов. Всего их 2027. Есть длинные и короткие, высокие и низкие, но все мосты Нью-Йорка, как и остальные мосты всего мира, построены на основе законов тригонометрии. Все мосты на земле построены в виде графика sin (x). Но этот график настолько расширен  что мы не замечаем этого и нам кажется что мы едем по прямой поверхности.

Но главной отличительной особенностью Нью-Йоркских мостов является то, что в основе каркаса моста лежит график sin (x).

Здания

В основе многих зданий мира лежит график │sinx│ или tgx.