Курсовая работа "Методы численного дифференцирования таблично заданной функции"

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации федеральное государственное бюджетное 

образовательное учреждение высшего образования

«Уральский государственный педагогический университет» Институт математики, физики, информатики и технологий

Кафедра высшей математики и методики обучения математике

МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ТАБЛИЧНО

ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

Курсовая работа

Направление «44.03.01 – Педагогическое образование»

Профиль «Математика»

Работа допущена к защите: _____________  ________________ дата                      подпись ______________________________ оценка

Исполнитель: Чигвинцева Светлана Анатольевна, cтудентка группы МАТ 1701z Научный руководитель: Бодряков Владимир Юрьевич, Доктор           физико-математических

наук, заведующий кафедрой высшей математики и методики обучения математике

Екатеринбург, 2019 г.

Содержание

Введение ……………………………………………………………………….3

Глава 1. Численные методы дифференцирования ………………………7

1.1. Понятие численного дифференцирования ……………………………7

1.2. Двухточечный метод …………………….……………………………. 8 1.3. Трехточечный метод ………………………………………………… 10

1.4. Пятиточечный метод ………………………………………………… 11

1.5. Методы численного сглаживания и интерполяции функции ……...14

Глава 2. Реализация численных методов………………………………...16

2.1. Модельная функция (реализация методов в среде EXCEL) ……….16

2.2. Задача о нахождении КОТР ………………………………………….23

Заключение ………………………………………………………………….30

Литература …………………………………………………………………..31

Введение

В настоящее время в отечественном образовании наблюдается серьёзный спад качества математического образования [6]. Причём приходится говорить не только об учащихся школ, но и о студентах – будущих специалистах, обучающихся в вузах и колледжах и изучающих математику в качестве профильной дисциплины [2, 7].  Несомненно, одной из причин данной ситуации послужил низкий уровень познавательного интереса обучающихся, прежде всего, на школьном уровне, где многие школьники причисляют себя к гуманитариям на основании неуспешности в математике [15]. Формированием познавательного интереса к математике, в большей степени, занимается учитель. Для формирования познавательного интереса к математике (среди прочих средств) используется новизна материала, возможность применить знания на практике, общение между учащимися и учителями, встречи обучающихся со специалистами различных отраслей; совместная работа обучающихся и учителей над исследовательскими проектами, требующими построения математической модели исследуемого процесса или явления.

В современных науке и технике важную роль играет математическое моделирование, заменяющее эксперименты с реальными объектами экспериментами с их математическими моделями. Разумеется, получение точного решения математической модели в виде конкретных функциональных соотношений предпочтительнее, однако при решении практических задач далеко не всегда удается найти аналитическое решение уравнений, составляющих математическую модель явления. Поэтому приходится применять численные методы. Важным классом прикладных задач являются оптимизационные задачи, в которых с использованием численного дифференцирования требуется найти наибольшее (наименьшее) значение целевой функции.

Численное решение прикладных задач составляет одну из важнейших целей прикладной математики. Изучение соответствующих прикладных разделов математики особенно важно при подготовке будущих инженерных и исследовательских кадров для промышленно и технологически насыщенного Уральского региона. Изучение этих разделов математики следует начинать на посильном для школьников (7-9 класс) уровне гораздо раньше, чем они приступят к изучению понятия производной и ее приложений в регулярном курсе «Алгебры и начал анализа» (10 класс). Формирование предпонятий теории оптимизационных задач можно осуществлять у мотивированных школьников в рамках внеклассной учебноисследовательской и проектной деятельности.

Численное дифференцирование необходимо использовать тогда, когда функция, подлежащая дифференцированию, представляет собой результаты проведения экспериментов или наблюдений и не может быть найдена в явном виде как аналитическая зависимость y = f(x). Например, актуальная для городских служб управления движением задача о средней скорости движения общественного автотранспорта по улицам города (в зависимости от времени и локации) фактически может быть решена лишь численно путем наблюдения за фактическими перемещениями некоторого количества машин разных маршрутов с определением скорости v(t) путем численного дифференцирования временной зависимости пройденного пути s(t): v = Δs/Δt. Полученная зависимость v(t) позволит правильно выбрать

количество машин на городских маршрутах, оптимизировать их количество, оптимизировать работу светофоров в течение дня, улучшить схемы движения транспорта по городу и проч.

В качестве еще одного примера приведем весьма актуальную для аэрокосмических и др. приложений задачу определения объемного коэффициента теплового расширения (ОКТР) β(T) тел в широком диапазоне температур T. Методы прямого измерения КТР с помощью дилатометров обычно охватывают область низких и средних температур. В области же высоких температур по ослаблению интенсивности проходящего через образец пучка γ-квантов, созданного радиоактивным источником γизлучения, может быть непосредственно определена плотность тела ρ(T), а КТР определяется затем путем численного дифференцирования как β(T) = (1/ρ)(dρ/dT).

С учетом сказанного, укажем объект и предмет исследования, сформулируем цель и задачи исследования.

Объект исследования: Освоение элементов прикладной и численной математики в основной общей школе.

Предмет исследования: Численное дифференцирование таблично заданных функций и его приложения.

Цель исследования: Освоить методы численного дифференцирования таблично заданных функций при решении практикоориентированных задач в рамках учебно-исследовательской и проектной деятельности наиболее подготовленных и мотивированных школьников 7-9 классов основной общей школы.

Задачи исследования:

1)      Провести литературный обзор существующих методов численного дифференцирования таблично (не аналитически) заданных функций и особенностей современной реализации этих методов.

2)      Выбрать наиболее оптимальные, с точки зрения возможности применения в школьной образовательной практике, методы численного дифференцирования таблично заданных функций, и разработать реализацию данных методов в среде MS Excel.

3)      Провести численные эксперименты для определения устойчивости методов численного дифференцирования к случайным погрешностям значений таблично заданных функций.

4)      Провести выборочную апробацию избранных методов численного дифференцирования для решения практикоориентированных задач (на примере определения объемного коэффициента теплового расширения β(T) свинца по табличным данным по температурной зависимости его молярного объема V(T) от T = 0 вплоть до точки плавления металла). Предварительно провести литературный поиск данных экспериментов по измерению молярного объема V(T) свинца.

Глава 1. Численные методы дифференцирования

1.1. Понятие численного дифференцирования

В «Численных методах» А.В. Зенкова понятие численные методы раскрывается следующим образом: «численные методы (вычислительные методы, методы вычислений) – раздел вычислительной математики, изучающий приближенные способы решения типовых математических задач, которые либо не решаются, либо трудно решаются точными аналитическими методами» [10, c. 4].

При задании функции аналитически, производную функции можно найти с помощью таблиц производных – как композицию простейших функций. Существуют, однако, достаточно много ситуаций, когда функцию невозможно представить в явном виде – например, когда функция – это результат некого исследования, или опроса, и задана в виде таблицы (т.е. «неизвестна явная связь между аргументом х и значением у, и невозможно записать эту связь в виде некоторой зависимости у = f(x)» [22, c. 31]). При

данном способе задания функции также существуют способы найти производную, однако расчеты будут неизбежно содержать погрешность, так как функция f(x) точно не известна. 

В «Введении в численные методы» А.А. Самарского говорится, что «численные методы дают приближённое решение задачи. Это значит, что вместо точного решения u (функции или функционала) некоторой задачи мы находим решение y другой задачи, близкое в некотором смысле к искомому». [20, с. 16].

К методам численного дифференцирования таблично заданной функции относятся: дифференцирование интерполяционных формул (Ньютона, Лагранжа, Бесселя и т.д.), графическое дифференцирование, разностные методы. Говоря о разностных методах, которые и рассматриваются в данной работе (в силу своей относительной простоты), важно отметить, что построение формулы зависит от количества используемых узлов. Так можно построить формулу для двух, трех, четырех и более узлов. 

Решение многих практикориентированных задач невозможно без применения численных методов, поскольку математические модели реальных процессов или явлений оказываются слишком сложными для получения аналитического решения (что предпочтительно) [3, 4, 8, 10, 12– 14, 16–20, 22, 23].

1.2. Двухточечные методы 

В данной работе будем использовать методы численного дифференцирования, применяемые для равноотстоящих узлов (хотя  существуют методы дифференцирования и для неравноотстоящих узлов), по причине их большей универсальности и относительной простоты применения, что более приемлемо для школьников. В данной работе будем рассматривать только получение первой производной таблично заданной функции f(x), что наиболее востребовано на практике. Вторая производная, если необходимо, может быть вычислена как производная первой производной таблично заданной функции.

Производной функции y = f(x) называется предел отношения приращения функции ∆yк приращению аргумента ∆x при стремлении ∆x к нулю:

                                           y,          ∆y = f (x + ∆x) – f (x).                     (1)

Чем меньше приращение аргумента, тем точнее численное значение производной (при прочих равных условиях).

Производная аналитически заданной функции легко вычисляется с помощью таблицы производных, но когда функция задана таблицей, аналитическое дифференцирование невозможно. Тогда прибегают к выр.

(1). Далее фиксируют шаг ∆x, равный некоторому малому конечному числу и получают приближённое равенство [3, c. 364]:

y.                                                       (2). 

Формула (2) называется аппроксимацией (приближением) производной с помощью отношений конечных разностей [3, c. 366].

Предположим, что функция f(х) дифференцируема в окрестности точки х достаточное количество раз. Используя классическое определение производной, f′(x) = , получаем две простейшие приближенные

формулы численного дифференцирования:

                                                                (метод 1)

                                                              (метод 2)

где h – малый параметр (шаг дифференцирования).

Эти формулы называются двухточечными формулами численного дифференцирования с правой (разность вперед) и левой разностными производными (разность назад). 

Оценка погрешностей данных формул производится по следующей формуле [3, стр. 365]:

,

где

,

и где либо 𝜉 – точка, принадлежащая промежутку , либо 𝜉 – точка, принадлежащая промежутку . Выбор

формулы зависит от того, по каким краям отрезков, при разбиении, удобно принимать значения 𝑓(𝑥_𝑖). 

 В двухточечном методе используются значения функции в двух узлах. Формула «разность вперед» может быть использована в начале таблицы, а формула «разность назад», – в конце таблицы. Данные формулы применимы и в других узлах (а не только в начальном и конечном), но для вычисления производных в них существуют более точные методы.

1.3. Трехточечный метод

Рассмотрим еще один метод численного дифференцирования, когда берутся значения таблично заданной функции на трех точках сетки [3, 4, 8, 10, 18, 20]. 

Метод 3 (шаг в обе стороны) 

 

При этом всегда существует такое с = с(х) ∈ [a; b], что 

y Е_усеч(f, h), 

где индекс «усеч» указывает на ошибку усечения. Член Е_усеч(f, h) называется ошибкой усечения [18, стр.347]:

Е_усеч

          Рис.     1     отражает     смысл     описанных     методов      численного

дифференцирования. Значение тангенса угла , образованного касательной к графику y(x) и осью абсцисс, показывает точное значение производной – это вытекает из геометрического смысла производной. Тангенсы углов ₁,

₂, ₃ соответствуют приближенным значениям производных, определенными методами 1, 2, 3.

 

Рис. 1 Геометрическая интерпретация двух- и трёхточечных методов численного дифференцирования.

Формулу для метода 3 также называют центральной разностной производной.

Для оценки погрешности в производной, найденной по методу 3, используют следующую формулу [3, стр.366]:  

,

где

.

«Центральная разность» может быть использована для вычисления производной в точке, слева и справа от которой есть узлы с фиксированным шагом. Соответственно данный метод можно использовать во второй и предпоследней точке таблицы. Для центральных точек есть более точный метод.

1.4. Пятиточечный метод

Формула для вычисления производной по пяти точкам (два шага назад и два шага вперед) [3, cтр.367]:

.

При этом всегда существует такое с = с(х) ∈ [a; b], что 

y Е_усеч(f, h), 

где 

Е_усеч.

Для оценки погрешности в производной, найденной по пятиточечному методу, можно использовать следующую формулу:  

,

где

.

          Y

           𝛼    

                                                         x-2h       x-h         x          x+h        x+2h                        X

Рис. 2 Геометрическая интерпретация пятиточечного метода численного дифференцирования

Рис. 2 отражает смысл пятиточечного метода численного дифференцирования. Тангенс угла ₄ соответствует приближенному значению производной, определенной методом по пяти точкам. В практической части настоящей работы убедимся, что данный метод – наиболее точный из приведенных выше.

Назначение многоточечных методов заключается в том, чтобы повысить точность численного дифференцирования в данной точке, нивелируя, насколько возможно, колебания функции, обусловленные её случайными экспериментальными погрешностями.

Погрешность аппроксимации (ошибка усечения) с уменьшением шага h, как правило, также уменьшается. Но существуют и другие источники погрешности, такие как неточные значения y_i в узлах и погрешности, получившиеся при округлении результатов вычисления. Погрешности, обусловленные указанными источниками, наоборот возрастают при уменьшении шага. Поэтому «суммарная погрешность численного дифференцирования может убывать при уменьшении шага лишь до некоторого предельного значения, после чего дальнейшее уменьшение шага не повысит точности результатов» [22]. Потерю точности можно минимизировать с помощью процедуры регуляризации. Один из способов – это предварительное сглаживание табличных значений функции (данный способ будет описан и применен ниже).

 Чтобы получить аппроксимацию производных n-го порядка точности, необходимо использовать значения функции в n+1 узле. Поэтому при росте порядка точности растет количество используемых в формуле узлов.

 Как будет видно из результатов практической части работы, погрешность численного дифференцирования быстро возрастает с ростом случайных погрешностей дифференцируемой таблично заданной функции даже при использовании многоточечных формул дифференцирования. Поэтому перед процедурой собственно численного дифференцирования нередко приходится прибегать к процедуре численного сглаживания таблично заданной функции, а также к интерполяционным процедурам для получения равноотстоящих по аргументу значений функции f(x_i). Краткое описание этих процедур приведено в следующем параграфе.  

1.5 Методы численного сглаживания и интерполяции функции. 

Значения функции в таблице, полученной в результате вычислений или измерений, как правило, содержат случайные ошибки. Процедура численного сглаживания позволяет «сгладить» значения исходной функции в узлах сетки. Предварительное сглаживание позволяет существенно уменьшить случайные ошибки при выполнении численного дифференцирования таблично заданной функции.

Пусть получена таблица значений функции f(t) в равноотстоящих узлах t₀, t₁, … . Для сглаживания данной функции строится аппроксимирующая функция F(t). Как правило, в качестве F(t) выбирается среднеквадратичное наилучшее приближение функции f(t). Например, если функция F(t) строится по пяти соседним значениям исходной функции f(t) с помощью полиномов P_j,4(t) (j = 0, 1, 2, 3, 4), то сглаженные значения F(t_j) =

F_j для пятерки узлов t_j, j = 0, 1, 2, 3, 4, возможно найти с помощью формул

[1]:

F),

F,

F,

F),

F.

 Для проведения вышеуказанной процедуры необходимо, чтобы узлы были равноотстоящие. Но обычно в ходе эксперимента расстояние между полученными узлами может быть не одинаковым. Тогда сначала следует прибегнуть к процедуре интерполяции, которая дает возможность получить промежуточные значения, а затем провести сглаживание функции уже для равноотстоящих узлов. 

                Пусть получена таблица экспериментальных данных функции y(x)

(табл. 1):

Таблица 1 Вид таблицы экспериментальных данных

x0	x1	x2	…	xn-1	xn
y0	y1	y2	…	yn-1	yn

Чтобы получить какое-либо промежуточное значение аргумента x_i, не совпадающее ни с одним из значений в табл. 1, но при этом принадлежащее интервалу [x₀, …, x_n], применяется тот или иной метод интерполяции функции [1, 4, 8, 10, 13, 20].

Простейший и часто используемый вид интерполяции – это линейная интерполяция. Она состоит в том, что заданные точки с координатами x_i, y_i (i = 0, 1, 2, ..., n) соединяются прямолинейными отрезками, а функцию y(x) можно приближенно представить в виде ломаной. Уравнения каждого отрезка ломаной всегда разные. В частности, для i-го интервала уравнение прямой, проходящей через точки (x_i, y_i) и (x_i+1, y_i+1), можно записать в виде

.

Отсюда y = a_i x + b_i, x_i ≤ x ≤ x_i+1.

                                                         a_i ,            b_i = y_i – a_i x_i.                                     (3)

С помощью формул (3) находят приближенное значение функции в точке из интервала [x₀, …, x_n].  

Глава 2. Реализация численных методов

2.1. Модельная функция (реализация методов в среде EXCEL)

Для демонстрации методов численного дифференцирования будем использовать двух-, трёх- и пятиточечные методы. Для проведения модельных расчетов используем пакет MS Excel, который не требует

дополнительной установки и присутствует, как правило, на каждом ПК.

Согласно [17] погрешность метода аппроксимации функции f(x) можно оценивать по величине среднеквадратичного (стандартного) отклонения (СКО) расчетных значений функции f_расч(x_i) от точных f_точн(x_i) в каждой табличной точке x_i, – когда точные значения f_точн(x_i) известны (при проведении модельных численных экспериментов). СКО является мерой рассеяния расчетных значений функции и определяется выражением: 

S ,                                (4)

где n – число «расчетных» узлов x_i. Чем меньше СКО S, тем качественнее приближение.

В качестве модельной функции выберем функцию y = sin x на промежутке 0 ≤ x ≤ 3,1 ~𝜋 с шагом h = 0,1 (всего 32 значения). Вычислим её

точную производную (для сравнения со значениями, полученными численным дифференцированием разными методами). Как известно, точное значение производной y′(х) = cos x. 

 В табл. 2  для модельной функции y = sin x проведем вычисление ее производной, точное и используя 2-х, 3-х и 5-ти точечные методы численного дифференцирования, – в узлах x_i (i = 0; 0,1; 0,2; …; 3; 3,1). 

В столбце D вычислим точное значение производной. Для этого введем в ячейку D2 команду =COS(B2) и скопируем данную формулу до ячейки D33 (включительно).

В столбце Е вычислим производную численным методом по двум точкам. Для этого введем в ячейку E2 команду =(C3-C2)/0,1, соответствующую формуле правой разности, и скопируем её до Е17 (включительно), таким образом получив значения производных в шестнадцати первых узлах. В Е18 вставим команду =(C18-C17)/0,1, соответствующую формуле левой разности, и скопируем её до Е33, получив при этом значения производных в остальных шестнадцати узлах.

В столбwе F вычислим производную численным методом по трем точкам. Для этого введем в ячейку F3 команду =(C4–C2)*(2*0,1) и скопируем данную формулу до F32.

В столбце G вычислим производную численным методом по пяти точкам. Для этого введем в ячейку I4 команду = (C2 – 8*C3 + 8*C5 – C6)/(12*0,1) и скопируем данную формулу до I31.

Таблица 2

Сравнение численных методов дифференцирования функции y = sin x. Столбец A – порядковый номер; столбец B – значения xi; столбец С – значение yi = sin(xi), столбец D – точное значение производной yi′ = cos(xi) в узле xi; столбец E – значение производной, вычисленное по двум точкам; столбец F – значение производной, вычисленное по трем точкам; столбец G – значение производной, вычисленное по пяти точкам.

A	B	C	D	E	F	G
№ п/п	xi	yi = sin(xi)	yi′ = cos(xi)	2-х точечн.	3-х точечн.	5-ти точечн.
1	0	0	1	0,998
2	0,1	0,100	0,995	0,988	0,993
3	0,2	0,199	0,980	0,969	0,978	0,980
4	0,3	0,296	0,955	0,939	0,954	0,955
5	0,4	0,389	0,921	0,900	0,920	0,921
6	0,5	0,479	0,878	0,852	0,876	0,878
7	0,6	0,565	0,825	0,796	0,824	0,825
8	0,7	0,644	0,765	0,731	0,764	0,765

Продолжение таблицы 2

9	0,8	0,717	0,697	0,660	0,696	0,697
10	0,9	0,783	0,622	0,581	0,621	0,622
11	1	0,841	0,540	0,497	0,539	0,540
12	1,1	0,891	0,454	0,408	0,453	0,454
13	1,2	0,932	0,362	0,315	0,362	0,362
14	1,3	0,964	0,267	0,219	0,267	0,267
15	1,4	0,985	0,170	0,120	0,170	0,170
16	1,5	0,997	0,071	0,021	0,071	0,071
17	1,6	1,000	-0,029	0,021	-0,029	-0,029
18	1,7	0,992	-0,129	-0,079	-0,129	-0,129
19	1,8	0,974	-0,227	-0,178	-0,227	-0,227
20	1,9	0,946	-0,323	-0,275	-0,323	-0,323
21	2	0,909	-0,416	-0,370	-0,415	-0,416
22	2,1	0,863	-0,505	-0,461	-0,504	-0,505
23	2,2	0,808	-0,589	-0,547	-0,588	-0,588
24	2,3	0,746	-0,666	-0,628	-0,665	-0,666
25	2,4	0,675	-0,737	-0,702	-0,736	-0,737
26	2,5	0,598	-0,801	-0,770	-0,800	-0,801
27	2,6	0,516	-0,857	-0,830	-0,855	-0,857
28	2,7	0,427	-0,904	-0,881	-0,903	-0,904
29	2,8	0,335	-0,942	-0,924	-0,941	-0,942
30	2,9	0,239	-0,971	-0,957	-0,969	-0,971
31	3	0,141	-0,990	-0,981	-0,988
32	3,1	0,042	-0,999	-0,995
СКО				22,832103	0,73103	0,00008103

Среднее СКО для двухточечного метода составило 22,83210³, но не превосходило 35,34510³. Среднее СКО для трехточечного метода составило 0,7310³, но не превосходило 1,17210³. Среднее СКО для трехточечного метода составило 0,0000810³, но не превосходило 0,0023110³. Далее и будем использовать пятиточечный метод.  

Покажем, как изменяется значение производной при искусственно введённой погрешности. Добавим с помощью случайной функции СЛЧИС()

MS Excel к каждому точному значению y_i(x_i) возмущение

δy_i = 0,04*(2*СЛЧИС()-1).                                     (5)

Очевидно, в каждом узле x_i погрешности δy_i принимают случайные значения из промежутка [–0,04; +0,04]. Результат вычислений возмущенных значений функции y_i + δy_i представлен в столбце D табл. 3. В столбце Е показано вычисление производной (численным методом дифференцирования по пяти точкам) функции y_i + δy_i с искусственно введенной погрешностью. В столбце F вычислены сглаженные значения возмущенной функции из столбца Е с помощью формул, представленных в п. 1.5. В столбце G вычислена производная возмущенной и затем сглаженной функции. Наконец, столбец Н показывает для сравнения точное значение производной y_i′ = cos(x_i). 

Таблица 3

Значения модельной функции y = sin x с искусственно введенной случайной ошибкой и ее производная (5-ти точечная схема численного дифференцирования). Столбец A – номер по порядку; столбец B – значения xi; столбец C – точные значения функции yi = sin(xi); столбец D – возмущенные значения yi = sin(xi) + δyi функции со случайной ошибкой δyi; столбец E – производная функции yi = sin(xi) + δyi с введенной ошибкой (до сглаживания); столбец F – сглаженная возмущенная функция yi = sin(xi) + δyi; столбец G – производная возмущенной и сглаженной функции yi = sin(xi) + δyi; столбец H – точное значение производной модельной функции yi′ = cos(xi).

A	B	C	D	E	F	G	H
№ п/п	xi	yi = sin(xi)	yi + δyi	пр-я ф-ции  yi + δyi	yi + δyi сглаж.	пр-я сглаж. ф-ции  yi + δyi.	yi′ = cos(xi)
1	0	0	0,003	-	-	-	1,000
2	0,1	0,100	0,129	-	-	-	0,995
3	0,2	0,199	0,177	0,969	0,207	0,938	0,980
4	0,3	0,296	0,324	1,171	0,301	1,054	0,957
5	0,4	0,389	0,400	0,884	0,414	1,033	0,921
6	0,5	0,479	0,508	0,987	0,503	0,822	0,878
7	0,6	0,565	0,588	0,618	0,583	0,791	0,825
8	0,7	0,644	0,644	0,837	0,661	0,740	0,765
9	0,8	0,717	0,747	0,681	0,729	0,616	0,697
10	0,9	0,783	0,776	0,317	0,784	0,476	0,622
11	1	0,841	0,827	0,669	0,831	0,646	0,540
12	1,1	0,891	0,904	0,808	0,908	0,612	0,454
13	1,2	0,932	0,968	0,068	0,945	0,233	0,362
14	1,3	0,964	0,935	0,074	0,962	0,183	0,267

Продолжение таблицы 3

15	1,4	0,985	0,993	0,522	0,984	0,216	0,170
16	1,5	0,997	1,015	-0,154	1,002	0,093	0,071
17	1,6	1,000	0,981	0,048	1,004	0,063	-0,029
18	1,7	0,992	1,024	0,249	1,013	-0,008	-0,129
19	1,8	0,974	1,007	-0,601	0,995	-0,369	-0,227
20	1,9	0,946	0,924	-0,549	0,943	-0,548	-0,323
21	2	0,909	0,902	-0,343	0,892	-0,524	-0,416
22	2,1	0,863	0,843	-0,740	0,839	-0,525	-0,505
23	2,2	0,808	0,770	-0,388	0,787	-0,472	-0,589
24	2,3	0,746	0,756	-0,434	0,740	-0,590	-0,666
25	2,4	0,675	0,671	-1,043	0,668	-0,775	-0,737
26	2,5	0,598	0,572	-0,559	0,593	-0,640	-0,801
27	2,6	0,516	0,550	-0,458	0,536	-0,667	-0,857
28	2,7	0,427	0,459	-1,275	0,451	-1,028	-0,904
29	2,8	0,335	0,317	-1,114	0,335	-1,182	-0,942
30	2,9	0,239	0,238	-0,968	0,223	-1,057	-0,971
31	3	0,141	0,119	-		-	-0,990
32	3,1	0,042	0,037	-		-	-0,999
СКО				0,104		0,073

Среднее СКО для производной функции с введенной случайной погрешностью составило 0,104, но не превзошло 0,216. Среднее СКО для производной функции с введенной погрешностью, сглаженной составило 0,073, но не превзошло 0,17.

По данным табл. 3 построим график производной функции y(x) = sin(x). На этом же графике построим график производной возмущенной функции y_i + δy_i (до сглаживания функции) и производной возмущенной функции y_i + δy_i (после сглаживания функции). Графики представлены на рис. 2. Там же показаны отклонения расчетных значений производной возмущенной функции (до и после сглаживания) от точных значений производной y_i′ = cos(x_i).

 Рис. 3. График производной y′ = cos x, график производной y′ = cos x c ошибкой и y′ = cos x c ошибкой (сглаженные значения), графики разностных зависимостей: а) y′ (= cos x) – y′ (с ошибкой без сглаживания); б) y′ (= cos x) – y′ (с ошибкой и со сглаживанием).  

По данным табл. 3 и рис. 3 видим, что погрешность численного дифференцирования быстро возрастает с ростом случайных погрешностей дифференцируемой таблично заданной функции.

Как видно по графику (рис. 3) и табл. 3, вычислять производную таблично заданной функции со случайными погрешностями следует после ее тщательного сглаживания. 

Как было указано в п. 1.4, для проведения процедуры сглаживания необходимо, чтобы узлы были равноотстоящие. Для демонстрации возможностей метода линейной интерполяции (с целью получения равноотстоящих узлов) введем возмущение δx_i в значения x_i. Далее с помощью формул (3) п. 1.5 вычислим коэффициенты a и b, и далее – y_i(x_i).

Результат в табл. 4.

В столбец С введем возмущение для x_i из столбца B с помощью команды B2 + (0,2*(2*СЛЧИС()-1)). Т.е. в каждом узле x_i погрешности δx_i принимают случайные значения из промежутка [–0,2; +0,2].

В столбце D вычислим y_i от x_i с возмущением. В столбце E вычислим коэффициент a с помощью команды (D4–D2)/(C4-C2), копируя формулу до строки 32. В столбце F вычислим коэффициент b с помощью команды D2– E3*C2, копируя формулу до строки 33. В столбце G вычислим y_i для х_i из столбца B c помощью команды E3*B3 + F3, копируя до строки 32. В строке 1 линейная интерполяция не применима, т.к. отсутствует предыдущий узел; в строке 33 линейная интерполяция также неприменима ввиду отсутствия последующего узла. Таким образом, мы получили приближенные значения y_i для шага h = 0,1.

Таблица 4

Приведение таблично заданной функции с неравноотстоящими узлами xi + δxi к таблице с равноотстоящими узлами xi путем линейной интерполяции. Столбец A – номер по порядку; столбец B – значения xi; столбец C – значение xi + δxi; столбец D – значение yi = sin(xi + δxi); столбец E – коэффициент a (выр. (3)); столбец F – коэффициент b (выр. (3)); столбец G – yi_{, интерп} = sin(xi) c применением линейной интерполяции. Столбец H – точные значения функции yi = sin(xi). Последняя строка -  среднее СКО между yi_{, интерп} = sin(xi) и y_i = sin(x_i). 

A	B	C	D	E	F	G	H
№ п/п	xi	xi + δxi	yi = sin(xi + δxi)	a	b	y(xi) интерп.	yi′ = cos(xi)
1	0	-0,150	-0,150	-	-	-	-
2	0,1	0,006	0,006	0,989	-0,001	0,098	0,100
3	0,2	0,290	0,286	0,995	0,000	0,199	0,199
4	0,3	0,179	0,178	0,932	0,016	0,295	0,296
5	0,4	0,444	0,429	0,935	0,011	0,385	0,389
6	0,5	0,519	0,496	0,885	0,037	0,479	0,479
7	0,6	0,525	0,501	0,766	0,099	0,558	0,565
8	0,7	0,866	0,762	0,721	0,122	0,627	0,644
9	0,8	0,987	0,834	0,648	0,201	0,719	0,717
10	0,9	0,866	0,762	0,503	0,338	0,791	0,783
11	1	1,100	0,891	0,534	0,299	0,833	0,841
12	1,1	1,144	0,910	0,398	0,453	0,891	0,891

Продолжение таблицы 4

13	1,2	1,222	0,940	0,339	0,522	0,929	0,932
14	1,3	1,304	0,965	0,183	0,716	0,954	0,964
15	1,4	1,551	1,000	0,175	0,736	0,981	0,985
16	1,5	1,485	0,996	-0,072	1,111	1,003	0,997
17	1,6	1,735	0,987	0,002	0,994	0,997	1,000
18	1,7	1,653	0,997	-0,251	1,423	0,995	0,992
19	1,8	1,916	0,941	-0,254	1,416	0,959	0,974
20	1,9	2,005	0,907	-0,288	1,493	0,946	0,946
21	2	1,811	0,971	-0,393	1,696	0,909	0,909
22	2,1	1,946	0,931	-0,479	1,839	0,833	0,863
23	2,2	2,343	0,716	-0,437	1,781	0,819	0,808
24	2,3	2,102	0,862	-0,763	2,503	0,749	0,746
25	2,4	2,537	0,568	-0,600	2,123	0,683	0,675
26	2,5	2,330	0,726	-0,848	2,720	0,600	0,598
27	2,6	2,631	0,489	-0,753	2,479	0,522	0,516
28	2,7	2,520	0,583	-0,920	2,909	0,425	0,427
29	2,8	2,856	0,282	-0,884	2,809	0,335	0,335
30	2,9	2,801	0,334	-0,957	3,016	0,240	0,239
31	3	2,842	0,295	-0,986	3,095	0,138	0,141
32	3,1	3,292	-0,150	-	-	-	-
СКО						0,004

Среднее СКО между y_{i, интерп} = sin(x_i) и y_i = sin(x_i), равное 0,004, но не превосходящее 0,021, позволяет сделать вывод об эффективности применения метода линейной интерполяции (на примере рассматриваемой функции).

2.2. Задача о нахождении КОТР

Обратимся к реальной задаче вычисления коэффициента теплового расширения по данным измерений молярного объема V(T).

По данным измерений разных авторов [5, 9, 11, 21, 24–34] получена температурная зависимость молярного объема свинца (Pb) V(T). Вычислить коэффициент объемного теплового расширения (КОТР) β(T) по формуле . По данным измерений был построен график (рис. 4) (также с использованием MS Excel) температурной зависимости молярного объёма свинца (температура плавления T_m = 600,61 К). 

Рис. 4 Температурная зависимость молярного объема V(T) свинца. Символы – литературные данные: 1 – [26]; 2 – [27]; 3 – [28]; 4 – [29]; 5 – [30]; 6 – [31]; 7 – [33]; 8 – [32]; 9 – [34]; 10 – [24]; 11 – [9]; 12 – [11]; 13 – [25]; 14 – [21]; Сплошная линия – сглаживающий тренд Vtrend(T).

Очевидно явное несоответствие данных работы [26] и общего тренда V(T) для Pb, поэтому источник [26] исключен из рассмотрения при дальнейших вычислениях. Данные V(T) из [26] оставлены на рис. 4 лишь для сравнения. Прочие данные приняты во внимание при расчетах.

Скомпонуем остальные источники в одну таблицу, где в первой колонке представлены значения x_i, а во второй – соответствующие им значения y_i. С помощью команды «сортировать по возрастанию», выделив при этом весь список, получим следующую таблицу (табл. 5).

Таблица 5

Упорядоченные первичные данные измерений молярного объема V(T) свинца в твердом состоянии [5, 9, 11, 21, 24–34].

T, K

V, cm3mol-1

T, K

V, cm3 mol-1

T, K

V, cm3mol-1

T, K

V, cm3mol-1

Продолжение таблицы 5 

0,01	17,87098	127,95	18,00794	255,73	18,19801	386	18,40427
0,01	17,878	129,65	18,00437	255,75	18,19214	386	18,40427
5	17,87098	133,62	18,01608	260	18,20347	390	18,41143
5	17,87098	134,15	18,00991	260,65	18,19886	395	18,41749
5	17,878	138,15	18,01821	264,15	18,20557	400	18,41749
10	17,87152	140	18,02422	268,65	18,21228	400	18,423
16,873	17,87476	140,77	18,0264	269,86	18,21988	400	18,43017
20	17,8753	143,65	18,02487	273	18,22425	400	18,43397
20,96	17,87692	147,03	18,03563	273,15	18,219	400	18,438
24,91	17,87962	148,15	18,03154	273,15	18,233	401	18,42906
25	17,87854	151,84	18,04269	277,35	18,22572	409	18,4456
25	17,886	152,55	18,03822	278,32	18,23301	412	18,44615
28,59	17,88286	154,68	18,0465	280	18,2352	415	18,44285
30	17,88286	158,15	18,04489	282,05	18,23244	417	18,44229
32,04	17,88556	160	18,05302	285,35	18,23916	419	18,45939
35,3	17,88881	162,62	18,05846	290,15	18,24588	426	18,4627
38,98	17,89259	162,95	18,05128	292,12	18,25436	427	18,47264
40	17,89313	164,24	18,06063	293	18,256	429	18,47098
43,5	17,89745	170,15	18,06218	293	18,256	433	18,48368
48,89	17,9034	173,413	18,07423	293	18,256	437	18,47816
50	17,90448	174,15	18,06819	293	18,256	441	18,49915
50	17,90394	175,15	18,07165	293	18,256	451	18,51407
50	17,911	180	18,08239	293	18,27149	452	18,50744
55,32	17,91043	180,65	18,07812	293	18,25218	458	18,5207
60	17,91638	184,895	18,0911	293,15	18,28599	460	18,53564
61,091	17,91746	185,15	18,08476	293,15	18,264	466	18,54228
68,14	17,92611	189,95	18,09166	294,35	18,25261	478	18,55445
70	17,92882	193,65	18,09818	296	18,26467	480	18,56553
76,05	17,93694	195	18,10684	298	18,2731	490	18,58437
80	17,94181	197,52	18,11016	298	18,27358	491	18,5755
82,817	17,9456	197,95	18,10537	298	18,27358	494	18,57993
83,67	17,94668	200	18,11234	298,15	18,25934	499	18,58603
85,15	17,94493	200	18,11343	298,15	18,27793	500	18,60266
90	17,95535	200	18,12768	298,15	18,27954	500	18,60765
90,62	17,95643	200	18,121	298,15	18,272	500	18,5877
92,15	17,95219	203,45	18,11172	300	18,26696	500	18,615
92,47	17,95914	207,15	18,11841	300	18,27954	511	18,62541
95,65	17,95759	211,15	18,12461	312	18,28778	514	18,61598
99,87	17,96889	213,157	18,13305	313	18,28833	523	18,63096
100	17,96835	215,12	18,13632	313	18,27149	525	18,65707
100	17,96943	216,15	18,13181	321	18,30095	532	18,64873
100	17,97676	220	18,14232	323	18,30204	534	18,66929
100	17,977	220,65	18,13851	329	18,31302	545	18,67652
100,15	17,96491	222,1	18,14668	338	18,32729	551	18,68375
102,78	17,97323	225,05	18,1452	339	18,32015	555	18,7099

Продолжение таблицы 5

104,65	17,97164	229,55	18,1519	341	18,33004	559	18,70211
109,65	17,97739	234,07	18,16469	347	18,33992	572	18,73552
109,99	17,98298	234,15	18,15861	349	18,35806	574	18,75169
115,02	17,99003	238,55	18,16531	355	18,35586	592	18,78739
115,65	17,98434	240	18,17288	360	18,36026	600	18,80247
120	17,996	243,15	18,17201	361	18,36521	600	18,74401
120,15	17,99138	247,35	18,17872	368	18,3685	600	18,81
120,88	17,99817	247,9	18,18599	368	18,37565	600,6	18,811
123,65	17,99817	252,15	18,18543	378	18,39051	600,652	18,7457

Далее формируем новый список x_i c шагом 10 К. При совпадении значения температуры из разных источников, для указания соответствующего объема, находим среднее арифметическое значение данных объема с помощью команды СРЗНАЧ. 

При этом замечаем, что в списке присутствуют не все значения T, кратные 10 К. Для их получения воспользуемся процедурой линейной интерполяции, описанной выше. Результат представлен в табл. 6, при этом узлы, полученные с помощью линейной интерполяции, выделены цветом.

Таблица 6

Равноотстоящие по температуре (с шагом h = 10 K) данные измерений молярного объема V(T) для Pb

T, K	V, cm3mol-1	T, K	V, cm3mol-1	T, K	V, cm3mol-1	T, K	V, cm3 mol-1
10	17,87152	160	18,05302	310	18,28775	460	18,53564
20	17,87538	170	18,06771	320	18,30225	470	18,55058
30	17,88286	180	18,08239	330	18,31675	480	18,56553
40	17,89313	190	18,10050	340	18,33125	490	18,58437
50	17,90647	200	18,11861	350	18,34576	500	18,60325
60	17,91638	210	18,13047	360	18,36026	510	18,62148
70	17,92882	220	18,14232	370	18,37732	520	18,63970
80	17,94181	230	18,15760	380	18,39437	530	18,65793
90	17,95535	240	18,17288	390	18,41143	540	18,67615
100	17,97289	250	18,18818	400	18,42853	550	18,69437
110	17,98444	260	18,20347	410	18,44638	560	18,71260
120	17,99600	270	18,21933	420	18,46423	570	18,73082
130	18,01011	280	18,23520	430	18,48208	580	18,74905
140	18,02422	290	18,25422	440	18,49993	590	18,76727

Продолжение таблицы 6

150

18,03862

300

18,27325

450

18,51779

600

18,78549

Следующий шаг – это сглаживание первичных равноотстоящих данных V(T) (процедура описана выше). Результат представлен в табл. 7. 

Таблица 7 Сглаженные данные V(T) для Pb

T, K	V, cm3mol-1	T, K	V, cm3mol-1	T, K	V, cm3mol-1	T, K	V, cm3mol-1
10	17,87155	160	18,05291	310	18,28805	460	18,53490
20	17,87527	170	18,06743	320	18,30245	470	18,55052
30	17,88303	180	18,08333	330	18,31674	480	18,56645
40	17,89353	190	18,10070	340	18,33114	490	18,58416
50	17,90534	200	18,11708	350	18,34560	500	18,60295
60	17,91694	210	18,13066	360	18,36076	510	18,62154
70	17,92869	220	18,14327	370	18,37716	520	18,63973
80	17,94176	230	18,15735	380	18,39423	530	18,65792
90	17,95648	240	18,17271	390	18,41141	540	18,67615
100	17,97134	250	18,18819	400	18,42867	550	18,69437
110	17,98448	260	18,20344	410	18,44633	560	18,71260
120	17,99678	270	18,21907	420	18,46420	570	18,73082
130	18,00990	280	18,23599	430	18,48207	580	18,74905
140	18,02415	290	18,25431	440	18,50006	590	18,76727
150	18,03863	300	18,27222	450	18,51799	600	18,78549

Далее, пользуясь численным методом дифференцирования по пяти точкам и применяя результат в формуле для вычисления ОКТР, получаем следующие данные (табл. 8). При этом для шагов 10 K воспользуемся формулой правой разности, 20 К и 590 К – формулой центральной разности, 600 К – формулой левой разности. Важно отметить, что расчеты температурной производной проведены через каждые 10 К, но в таблице 8, из соображений компактности выше 300 К шаг по температуре увеличен до 50 К.

Таблица 8

Значения ОКТР β(T) для Pb, полученные численным дифференцированием температурной зависимости молярного объема V(T).

T, K	dV(T)/dT	ОКТР	T, K	dV(T)/dT	ОКТР	T, K	dV(T)/dT	ОКТР
10	0,00037	20,754	130	0,00136	75,686	250	0,00154	84,544
20	0,00057	32,143	140	0,00144	79,744	260	0,00154	84,580
30	0,00094	52,473	150	0,00144	79,654	270	0,00163	89,519
40	0,00113	63,095	160	0,00144	79,519	280	0,00177	97,175
50	0,00117	65,587	170	0,00153	84,623	290	0,00182	99,558
60	0,00117	65,259	180	0,00168	92,655	300	0,00169	92,662
70	0,00124	69,284	190	0,00169	93,325	350	0,00148	80,764
80	0,00140	77,897	200	0,00150	82,694	400	0,00175	94,792
90	0,00148	82,522	210	0,00131	72,154	450	0,00174	93,804
100	0,00140	78,030	220	0,00132	72,886	500	0,00188	100,855
110	0,00127	70,828	230	0,00146	80,617	550	0,00182	97,500
120	0,00126	70,248	240	0,00155	85,067	600	0,00182	97,011

Ниже в табл. 9 представлены значения ОКТР, полученные в данной работе и ОКТР из источника [5].

Таблица 9 Сравнение расчетных значений ОКТР β(T) для Pb с данными работы [5]

T, K	ОКТР	ОКТР [5]	T, K	ОКТР	ОКТР [5]	T, K	ОКТР	ОКТР [5]
10	20,75	8,57	130	75,69	78,25	250	84,54	84,39
20	32,14	33,30	140	79,74	78,82	260	84,58	84,86
30	52,47	50,07	150	79,65	79,44	270	89,52	85,45
40	63,10	60,02	160	79,52	80,03	280	97,17	85,95
50	65,59	65,80	170	84,62	80,63	290	99,56	86,35
60	65,26	69,31	180	92,65	81,22	300	92,66	86,94
70	69,28	71,74	190	93,33	81,61	350	80,76	88,59
80	77,90	73,78	200	82,69	82,01	400	94,79	90,94
90	82,52	75,23	210	72,15	82,44	450	93,80	94,28
100	78,03	76,48	220	72,89	82,98	500	100,85	98,95
110	70,83	77,07	230	80,62	83,43	550	97,50	103,90
120	70,25	77,59	240	85,07	83,90	600	97,01	109,66

На основе табл. 9 построим графики температурной зависимости ОКТР свинца (рис. 5), а также покажем разностную диаграмму ошибки δβ(T) = β(T) – β_[5](T).

Рис. 5. Температурная зависимость ОКТР β(T) = (1/V)(dV/dT) свинца. Символы – результат численного дифференцирования зависимости Vtrend(T); сплошная линия – справочные значения βtrend(T) из обзорной работы [5]; символы со сплошной линией – разностная диаграмма ошибки δβ(T) = β(T) – β[5](T)  

Заключение  

Проведенные исследования показали, что использование численных методов для занятий в 7–9 классах основной общей школы позволит на доступном уровне познакомить школьников с численными методами анализа на концептуальном, логическом, математическом и алгоритмическом уровнях. Это, в свою очередь, позволит им при продолжении обучения на более высоких ступенях образования анализировать социально-экономические проблемы и процессы с применением методов системного анализа и математического моделирования.

Численные методы – это увлекательное и чрезвычайно важное направление современной математики, связанное с вычислениями на компьютере и решением сложных задач. Рассмотрение элементов вычислительной математики на занятиях со школьниками принесет несомненную пользу для дальнейшей подготовки инженерных кадров и позволит дать представление о методике обработки экспериментальных данных, методике решения инженерных задач, структуризации, алгоритмизации и решении задачи на ПК.

В данной работе был проведён сравнительный анализ методов нахождения производной функции, установлены в каких случаях и какие ошибки в результатах (по сравнению с результатами, полученными аналитическими методами) дают данные методы. Эти результаты были продемонстрированы на численных примерах.

Проведенный анализ простейших методов численного дифференцирования позволяет утверждать, что эти методы, вполне доступны для понимания школьниками 7–9 классов, если не углубляться в математическую теорию вычислительных методов и пользоваться ими в готовом виде для решения содержательных практических задач. Впрочем, элементы теоретических основ численных методов могут быть представлены наиболее подготовленным и увлеченным обучающимся. Реализация численных методов в среде EXCEL показала, что это так же доступно для школьников, и может быть использовано в рамках дополнительных (факультативных) занятий.

Задачи курсовой работы решены, цель достигнута.

Литература

1.                  Абалкин В.К., Аксенов Е.П., Гребеников Е.А., Демин В.Г., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике / Под ред. Г.Н. Дубошина. – М.: Наука, 1976. – 864 с.

2.                  Аксенова О.В., Бодряков В.Ю. Проблемы качества математической подготовки будущих учителей информатики в контексте фундаментализации современного образования // Педагогическое образование в России. 2016. № 7. С. 125-130.

3.                  Амосов       А.А., Дубинский Ю.А.,          Копченова Н.В.

Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. шк., 1994. – 544 с.: ил.

4.                  Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых знаний, 2000. 624 с.

5.                  Бодряков В.Ю., Быков А.А. Особенность корреляционной зависимости объемного коэффициента теплового расширения свинца от его теплоемкости // Электронное научное издание «Актуальные инновационные исследования: наука и практика». 2014. № 2. 9 с. 

6.                  Бодряков В.Ю., Воронина Л.В. Проблемы качества математического образования в педагогическом вузе и пути их решения // Педагогическое образование в России. 2018. № 2. С. 15-27.

7.                  Бодряков В.Ю., Фомина Н.Г. О качестве математической подготовки учащихся в комплексе "школа-вуз": взгляд с позиций работника высшего педагогического образования // Математика в школе. 2010. № 2. С. 56-61.

8.                  Волков Е. А. Численные методы. М.: Наука, 1982. 256 с.

9.                  Дриц М.Е., Будберг П.Б., Бурханов Г.С., Дриц А.М., Пановко В.М.. Свойства элементов. Справ. изд. Под ред. М.Е. Дрица. М.:

Металлургия, 1985. – 672 с.

10.             Зенков        А.В.   Численные методы:      Учебное      пособие.     –

Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2016. – 124 с.  

11.             Зиновьев В.Е. Теплофизические свойства металлов при высоких температурах. Справ. изд., М.: Металлургия, 1989, 384 С.

12.             Катаева Л.Ю., Масленников Д.А., Лощилова Н.А., Белоцерковская И.Е., Галина Н.В., Федосеева Т.А., Ильичева М.Н. Численные методы решения прикладных задач: учеб. пособие /Л.Ю. Катаева и [др.]; Нижегород. гос. техн. ун-т им. Р.Е. Алексеева. – Нижний Новгород, 2014. – 283 с.

13.             Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и математическое обеспечение: Пер. с англ. – М.: Мир, 1998. – 575 с., ил. 

14.             Киреев В.И. Численные методы в примерах и задачах: Учеб.пособие/В.И.Киреев, А.В.Пантелеев. – 3-е изд. стер.  – М.: Высш.шк., 2008. – 480 с.: ил.

15.             Кузовкова А.А., Мамалыга Р.Ф., Бодряков В.Ю. Формирование познавательного интереса к математике у обучающихся в классах гуманитарно-эстетической направленности // Математика в школе. 2018. № 2. С. 35–42.

16.             Мастяева И.Н., Семенихина О.Н.. Численные методы: Учебное пособие/ Московский государственный университет экономики, статистики и информатики.-М., 2001.- 71 с.

17.             Мышенков В.И., Мышенков Е.В. Численные методы. Часть первая: Учебное пособие для студентов специальности 01.01.07. – М.:

МГУЛ, 2001. – 120 с.: ил.

18.             Мэтьюз Джон Г., Финг Куртис Д. Численные методы.

Использование MATLAB, 3-е издание.: Пер. с англ. – М.: Издательский дом

«Вильямс», 2001. – 720 с.: ил. – Парат. тит. англ.

19.             Пирумов У.Г. Численные методы: теория и практика: Учебное пособие для бакалавров / У.Г. Пирумов, В.Ю. Гидаспов, И.Э. Иванов. - М.: Юрайт, 2012. - 421 c.

20.             Самарский А. А. Введение в численные методы. Учебное пособие для вузов. 3-е изд., стер. — СПб.: Издательство «Лань», 2005. — 288 с: ил.

21.             Станкус С.В., Хайрулин Р.А.. Плотность сплавов системы олово–свинец в твердом и жидком состояниях // ТВТ. 2006. Т. 44. Вып. 3. С. 393–400.

22.             Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов: Учебное пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. – 304 с.

23.             Шахов Ю.Н., Деза Е.И. Численные методы. – М.: МПГУ, 2009 г.

– 141 с.

24.             Францевич И.Н., Воронов Ф.Ф., Бакута С.А.. Упругие

постоянные и модули упругости металлов и неметаллов. Справ. Изд., Киев: Наукова Думка, 1982, 287 с.

25.             Физические величины. Справ. изд. Под ред. Григорьева И.С.,

Мейлихова Е.З. М.: Энергоатомиздат, 1991, 1232 с.

26.             A.R. Stokes and A.J.C. Wilson. The thermal expansion of lead from

0° C to 320° C // Proc. Phys. Soc. 1941. V. 53. N. 6. P. 658-662.

27.             F.C. Nix and D. MacNair. The Thermal Expansion of Pure Metals. II: Molybdenum, Palladium, Silver, Tantalum, Tungsten, Platinum, and Lead // Phys. Rev. 1942. V.61. Issue 1-2. P.74–78.

28.             Harold P. Klug. A redetermination of the lattice constant of lead // J. Am. Chem. Soc. 1946. V. 68. Issue 8. P. 1493–1494.

29.             J.van Duijn, J. van Galen. Influence of vacancies on the thermal expansion of lead near the melting point // Physica. 1957. V. 23. Issues 6–10. P.

622–624.

30.             R. Feder and A.S. Nowick. Use of thermal expansion measurements to detect lattice vacancies near the melting point of pure lead and aluminum // Phys. Rev. 1958. V. 109. Issue 6. P. 1959–1963.

31.             Robert J. Corruccini and John J. Gnievek. Thermal expansion of technical solids at low temperatures. A compilation from the literature.// National Bureau of Standards Monograph NBS-29. Washington: US Government Printing Office, 1961. 22 p.

32.             R. A. Miller and D. E. Schuele. The Pressure Derivatives of the Elastic Constants of Lead // J. Phys. Chem. Solids. 1969. V. 30. N. 3. P. 589–600.

33.             Thor Rubin, H.L. Johnston, Howard W. Altman. The thermal expansion of lead // J. Phys. Chem. 1962. V.66. N.2. P.266-268.

34.             Touloukian Y.S., Kirby R.K., Taylor R.E., Desai P.D. Thermophysical Properties of Matter. V. 12. Thermal Expansion. Metallic Elements and Alloys. NY–Washington: IFI/Plenum. 1975, 1442 p.