Курсовая работа на тему: "Численные методы".docx

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО «Дагестанский государственный педагогический университет»

Факультет математики, физики и информатики

Кафедра МПМ и И

                                                Курсовая работа

    На тему: « Численное вычисление интегралов            

                         методом Монте – Карло»

                                                         Выполнила: Унчаева Бика Магомедовна

                                                                       студентка 3 курса ОЗО

                                                                 Проверил: Бабаев Альберт Бабаевич

                                                                                     доцент кафедры

                                         Махачкала – 2019 год

Содержание

Введение………………………………………………………………………...3

Глава 1. Метод Монте-Карло……………………………………….………...4

     §1. Историческая справка………………………...………………...........……4

    §2. Общая схема метода Монте-Карло……………………….……….….4 – 5

    §3. Оценка погрешности метода Монте-Карло………………………….6 – 8

Глава 2. Вычисление интеграла в пространстве  методом

Монте-Карло……………………...……………………………………………....9

   §1. Детерминистический метод……..………………………………………….9

   §2. Обычный метод………………….…………………………………………12

   §3.  Геометрический метод………….………………………………………...14

Глава 3. Вычисление кратных интегралов в пространстве  методом Монте-Карло.........................................................................................................16

   §1. Обычный метод……………………………………………...…………..…16

Заключение……………………………………………………..……………….18

Приложения……………………………………………...……………………...19

  1. Текст программы «Вычисление интеграла методом Монте-Карло»..…...19

2. Результат работы программы………………………………………….……21

Список литературы…………………………………………………….………22

Введение

Тема  данной курсовой работы это вычисление интегралов методом Монте-Карло. Иногда в прикладных задачах требуется найти значение интеграла, чаще всего получается, что подынтегральная функция не имеет первообразной, или известными методами невозможно или достаточно сложно найти его значение. Для этого мы обращаемся к численным методам вычисления интегралов, в которых одними из самых известных являются методы Монте-Карло.

Глава 1. Метод Монте-Карло

§1. Историческая справка

Сначала Энрико Ферми в 1930-х годах в Италии, а затем Джон фон Нейман и Станислав Улам в 1940-х в Лос-Аламосе предположили, что можно использовать связь между стохастическими процессами и дифференциальными уравнениями «в обратную сторону». Они предложили использовать стохастический подход для аппроксимации многомерных интегралов в уравнениях переноса, возникших в связи с задачей о движении нейтрона в изотропной среде. Идея была развита Уламом, который, по иронии судьбы, также как и Фокс боролся с вынужденным бездельем во время выздоровления после болезни, и, раскладывая пасьянсы, задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс «сложится». Ему в голову пришла идея, что вместо того, чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторики, можно просто поставить «эксперимент» большое число раз и, таким образом, подсчитав число удачных исходов, оценить их вероятность. Он же предложил использовать компьютеры для расчётов методом Монте-Карло. Появление первых электронных компьютеров, которые могли с большой скоростью генерировать псевдослучайные числа, резко расширило круг задач, для решения которых стохастический подход оказался более эффективным, чем другие математические методы. После этого произошёл большой прорыв и метод Монте-Карло применялся во многих задачах, однако его использование не всегда было оправдано из-за большого количества вычислений, необходимых для получения ответа с заданной точностью. Годом рождения метода Монте-Карло считается 1949 год, когда в свет выходит статья Метрополиса и Улама «Метод Монте-Карло». Название метода происходит от названия коммуны в княжестве Монако, широко известного своими многочисленными казино, поскольку именно рулетка является одним из самых широко известных генераторов случайных чисел. Станислав Улам пишет в своей автобиографии «Приключения математика», что название было предложено Николасом Метрополисом в честь его дяди, который был азартным игроком. В 1950-х годах метод использовался для расчётов при разработке водородной бомбы. Основные заслуги в развитии метода в это время принадлежат сотрудникам лабораторий ВВС США и корпорации RAND. В 1970-х годах в новой области математики — теории вычислительной сложности было показано, что существует класс задач, сложность (количество вычислений, необходимых для получения точного ответа) которых растёт с размерностью задачи экспоненциально. Иногда можно, пожертвовав точностью, найти алгоритм, сложность которого растёт медленнее, но есть большое количество задач, для которого этого нельзя сделать (например, задача определения объёма выпуклого тела в n-мерном евклидовом пространстве) и метод Монте-Карло является единственной возможностью для получения достаточно точного ответа за приемлемое время. В настоящее время основные усилия исследователей направлены на создание эффективных Монте-Карло алгоритмов различных физических, химических и социальных процессов для параллельных вычислительных систем.

§2. Общая схема метода Монте-Карло.

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а.

Практически же поступают так: производят n испытаний, в результате которых получают n возможных значений Х; вычисляют их среднее арифметическое  и принимают x в качестве оценки (приближённого значения) a^*  искомого числа a:

                                          .

Поскольку метод Монте-Карло требует проведения большого числа испытаний, его часто называют методом статистических испытаний. Теория этого метода указывает, как наиболее целесообразно выбрать случайную величину Х, как найти её возможные значения. В частности, разрабатываются способы уменьшения дисперсии используемых случайных величин, в результате чего уменьшается ошибка, допускаемая при замене искомого математического ожидания а его оценкой а^*.

§3. Оценка погрешности метода Монте-Карло.

 Пусть для получения оценки a^* математического ожидания а случайной величины Х было произведено n независимых испытаний (разыграно n возможных значений Х) и по ним была найдена выборочная средняя , которая принята в качестве искомой оценки: . Ясно, что если повторить опыт, то будут получены другие возможные значения Х, следовательно, другая средняя, а значит, и другая оценка a^*. Уже отсюда следует, что получить точную оценку математического ожидания невозможно. Естественно возникает вопрос о величине допускаемой ошибки. Ограничимся отысканием лишь верхней границы d допускаемой ошибки с заданной вероятностью (надёжностью) g: .

Интересующая нас верхняя грань ошибки d есть не что иное, как «точность оценки» математического ожидания по выборочной средней при помощи доверительных интервалов. Рассмотрим следующие три случая.

1.     Случайная величина Х распределена нормально и её среднее

     квадратичное отклонение d известно.

В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки

                                             ,   (*)

где n число испытаний (разыгранных значений Х); t – значение аргумента функции Лапласа, при котором , s - известное среднее квадратичное отклонение Х.

2.     Случайная величина Х распределена нормально, причём её среднее квадратическое отклонение s неизвестно.

В этом случае с надёжностью g верхняя граница ошибки

                                             ,    (**)

где n – число испытаний; s – «исправленное» среднее квадратическое отклонение,  находят  по таблице приложения 3.

3.     Случайная величина Х распределена по закону, отличному от нормального.

В этом случае при достаточно большом числе испытаний (n>30) с надёжностью, приближённо равной g, верхняя граница ошибки может быть вычислена по формуле (*), если среднее квадратическое отклонение s случайной величины Х известно; если же s неизвестно, то можно подставить в формулу (*) его оценку s – «исправленное» среднее квадратическое отклонение либо воспользоваться формулой (**). Заметим, что чем больше n, тем меньше различие между результатами, которые дают обе формулы. Это объясняется тем, что при  распределение Стьюдента стремится к нормальному.

 Из изложенного следует, что метод Монте-Карло тесно связан с задачами теории вероятностей, математической статистики и вычислительной математики. В связи с задачей моделирования случайных величин (в особенности равномерно распределённых) существенную роль играют также методы теории чисел.

Среди других вычислительных методов, метод Монте-Карло выделяется своей простотой и общностью. Медленная сходимость является существенным недостатком метода, однако, могут быть указаны его модификации, которые обеспечивают высокий порядок сходимости при определённых предположениях. Правда, вычислительная процедура при этом усложняется и приближается по своей сложности к другим процедурам вычислительной математики. Сходимость метода Монте-Карло является сходимостью по вероятности. Это обстоятельство вряд ли следует относить к числу его недостатков, ибо вероятностные методы в достаточной мере оправдывают себя в практических приложениях. Что же касается задач, имеющих вероятностное описание, то сходимостью по вероятности является даже в какой-то мере естественной при их исследовании.     

Глава 2. Вычисление интеграла в пространстве  методом

Монте-Карло

§1. Детерминистический метод

Пусть в пространстве   на  задана функция , причём ,  хотя бы один раз. Смысл метода состоит в аппроксимации до элементарных фигур разбиения. Разобьём  на n частей, т.е. :

,  где  - длина приращения при равномерном распределении. Рассмотрим два случая: когда элементарные фигуры – трапеции, и когда – прямоугольники.

1.     Трапеции.

где S – площадь под графиком,  – площади разбиений графика, которые аппроксимируем до трапеций.

 Пример: численно вычислить интеграл

Решение

Сначала вычислим интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Пусть n=5, то

Из полученного результата мы видим, что при разбиении на 5 частей, с точностью до  мы получаем исходный результат, что говорит об актуальной применимости детерминистического метода Монте-Карло при разбиении на трапеции.

2.     Прямоугольники.

где S – площадь под графиком,  – соответственно площади разбиений графика на прямоугольники с избытком и недостатком.

Пример: численно вычислить интеграл

Решение

Сначала вычислим интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Пусть n=5, то

Из полученного результата мы видим, что при разбиении на 5 частей, с точностью до  мы получаем исходный результат, что говорит об актуальной применимости детерминистического метода Монте-Карло при разбиении на прямоугольники.

§2. Обычный метод Монте-Карло

Пусть в пространстве   на  задана функция , причём ,  хотя бы один раз. Требуется найти площадь под графиком этой функции на заданном промежутке, то есть

Рассмотрим случайную величину p, заданную на промежутке . Очевидно, что  тоже случайная величина. Тогда запишем формулу для её математического ожидания:

случайной величины p, причём

Разобьём  на n частей, т.е. :

,  где  - длина приращения при равномерном распределении. Тогда математическое ожидание можно оценить следующим образом:

Пример: численно вычислить интеграл

Решение

Сначала вычислим интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Пусть n=5, то

Пусть n=10, то

Из полученного результата мы видим, что при увеличении разбиений в два раза, точность результата приблизилась к настоящему  на 0.205. При увеличении разбиений результат приблизится к исходному достаточно быстро, с точностью до  можно получить уже при n=50.

§3. Геометрический метод

Пусть в пространстве   на  задана функция , причём ,  хотя бы один раз и на   имеет . Разобьём  на n частей, т.е. :

,  где  - длина приращения при равномерном распределении. Поместим область, ограниченную  и осью абсцисс в прямоугольник со сторонами , где d и c – точки на оси ординат, причём  Разобьём  на k частей, т.е. :

,  где  - длина приращения при равномерном распределении. При данных разбиениях  и  получили (n+1)(k+1) точек. Рассмотрим способ нахождения площади под графиком функции  при данном распределении точек. Так как эта площадь есть какая-то часть площади прямоугольника, то скажем, что эта часть есть вероятность попадания этих точек в саму область под графиком функции  и на её границу. Пусть попавших точек будет m, где

, тогда

где  - площадь прямоугольника.

Пример: численно вычислить интеграл

Решение

Сначала вычислим интеграл с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Пусть n=3, k=2, c=0, d=4, то

 – площадь выбранного прямоугольника,

(n+1)(k+1) = 12 – общее количество точек,

Разбиение : 2, , , 4, разбиение : 0, 2, 4, тогда получаем точки

(2,0), (2,2), (2,4), (,0), (,2), (,4), (,0), (,2), (,4), (,0), (,2), (,4), из них попадают в область (2,0), (2,2), (,0), (,2), (,0), (,2), (,0), (,2) – 8 точек, тогда

Из полученного результата мы видим достаточно большую погрешность, погрешность до  достигается при достаточно большом количестве точек, например 9000, где n=100, k=900. Это показывает, что данный метод не очень удобен из-за достаточно медленной сходимости.

Глава 3. Вычисление кратных интегралов в пространстве  

методом Монте-Карло

§1.Обычный метод Монте-Карло

Пусть в пространстве  задана функция , где , причём ,  хотя бы один раз, где ,  – компактное множество,  - ограничена и сверху, и снизу. Требуется вычислить интеграл

Так как множество  – компакт, то впишем его в n-мерный параллелепипед P с осями, параллельными осям координат. Зададим его двумя вершинами – самой младшей и самой старшей координатами  и , причём . Очевидно, что объём P можно выразить следующим образом:

Доопределим подынтегральную функцию следующим образом:

тогда исходный интеграл перепишем следующим образом:

Рассмотрим n-мерный вектор, имеющий равномерное распределение в параллелепипеде P, , тогда значение подынтегральной функции от случайного вектора будет выражаться как математическое ожидание следующим образом:

случайного вектора p, причём

Разобьём параллелепипед P на векторы классом разбиений ,

Причём установим между номерами разбиений взаимно однозначное соответствие между номерами разбиений в классе разбиений.

Тогда математическое ожидание можно оценить следующим образом:

Заключение

         В данной работе рассмотрены методы численного вычисления интегралов Монте-Карло в пространствах  и . В пространстве  были рассмотрены детерминистческий, обычный и геометрический методы. Наиболее лучшая сходимость у детерминистического метода, наиболее худшая у геометрического метода. Ввиду слабой сходимости геометрического метода не актуально рассматривать его в пространстве .

Приложения

Текст программы «Вычисление интеграла методом Монте-Карло»

#include <math.h>

#include <conio.h>

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <time.h>

#include<clocale>

void main()

{

    setlocale(LC_CTYPE, "");

    srand((unsigned)time(NULL));

    printf("Функция: z=(8*x*sin(x)+7*x*y^3*cos(y)^2))/cos(x-y)^(1/2)\n");

    float Zmax=0;

    for(float x=0;x<=1;x=x+0.01)

    {

        for(float y=0;y<=1;y=y+0.01)

        {

            if(Zmax<(float)(8*x*sin(x)+7*x*pow(y,3)*pow(cos(y),2))/pow(cos(x-y),1/2))

            {

                Zmax=(float) (8*x*sin(x)+7*x*pow(y,3)*pow(cos(y),2))/pow(cos(x-y),1/2);

            }

        }

    }

    float SumINTEGR=0;//Сумма интегралов за 10 опытов

    for(int i=1;i<=10;i++)

        {

            float X,Y,Z;// Рандомные точки

            int HIT=0;// Число попаданий точек в искомый объем под поверхностью функции

            float INTEGR=0;//Значение интеграла

            for(float N=1;N<=183065;N++)

            {

                X=(float)(rand()%101)/100;

                Y=(float)(rand()%101)/100;

                Z=(float)(rand()%1001)/100;

                if(Z<=(8*X*sin(X)+7*X*pow(Y,3)*pow(cos(Y),2))/pow(cos(X-Y),1/2))

                    {

                        HIT=HIT+1;

                    }

            }

            INTEGR=(float)HIT/183065*10;

            SumINTEGR=SumINTEGR+INTEGR;

        }

    float averINTEGR=SumINTEGR/10;// Среднее значение интеграла в 10 случаях

    printf("Значение интеграла - %f\n", averINTEGR);

    printf("Z максимальное - %f",Zmax);

    getch();

}

Результат работы программы

Точное значение интеграла:

 
 - приближенное значение  найдено для целевой абсолютной погрешности 0.00001.

 Погрешность: 0.000034416630896 или 0.014749984670 %.

Список  литературы

1)    В.А. Зорич «Математический анализ», из-во МГУ, 2007г, 1447стр.

2)    Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков,  Г.М. Кобельков «Численные методы» из-во МГУ 2007г,630стр.

3)    А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин «Элементы теории функций и функционального анализа», из-во МГУ, 2007г, 530 стр.

4)    http://ru.wikipedia.org/wiki/%CC%E5%F2%EE%E4_%CC%EE%ED%F2%E5-%CA%E0%F0%EB%EE

5)    http://www.coolreferat.com/Вычисление_интегралов_методом_Монте_Карло_часть=1

6)    http://www.coolreferat.com/Вычисление_интегралов_методом_Монте_Карло_часть=2