Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Курсовая работа на тему: «Признаки сравнения числовых рядов».

Курсовая работа на тему: «Признаки сравнения числовых рядов».

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины

Таврический национальный университет

имени В.И. Вернадского



Факультет математики и информатики

Кафедра математического анализа



Курсовая работа

на тему: «Признаки сравнения числовых рядов».

Гафарова (Курдеде) Гульнара Абдуллаевна

студентка 2 курса специальности «математика»

Научный руководитель:

Муратов М.А.



















Симферополь 2012 г.

План

I.Основные понятия и теоремы.

1.Сходимость положительных рядов.

2.Теоремы сравнения.

II. Признаки сравнения числовых рядов.

1.Признак Коши.

2.Признак Даламбера.

3.Признак Раабе.

4.Признак Куммера.

5.Признак Бертрана.

6.Признак Гаусса.

7.Признак Ермакова.

8.Признак Жаме.

9.Логарифмический признак























I.Основные понятия и определения.

Пусть задана некоторая бесконечная последовательность чисел

hello_html_24bba50d.gif(1)

Составленный из этих чисел символ hello_html_517d9383.gif (2)

называется бесконечным рядом, а сами числа (1)- членом ряда.

hello_html_m22eca42.gif(3)

получаем частные суммы ряда. Конечный или бесконечный предел А частичной суммы hello_html_m7c334e56.gif ряда (2) при hello_html_m7026dd00.gif:

hello_html_296d6b2d.gifназывают суммой ряда и пишут

hello_html_m7f0ed361.gif.

Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном случае (т.е. если сумма равна hello_html_3ec9687a.gif, либо же суммы вовсе нет)- расходящимся.

Т.о, вопрос о сходимости ряда (2) по определению равносилен вопросу о существовании конечного предела для последовательности (3).

Примеры бесконечного ряда.

1). hello_html_m66fec84.gif)=hello_html_m72772e3b.gif, явно расходящийся, т.к. hello_html_3cae0d20.gif.

2). hello_html_5d1319e.gif.

hello_html_m63ddc98d.gif

при любом целом hello_html_28a3fdfb.gif .

hello_html_m79b9d935.gif

3). hello_html_m389149f9.gif

Сходимость положительных рядов.

Ряд, в котором все члены ряда неотрицательные, называют положительными. Пусть ряд hello_html_m2891ebd1.gif (4)

будет положительным, т.е. hello_html_m119a2487.gif.

Тогда очевидно

hello_html_m64a33830.gifт.е. варианта hello_html_m7c334e56.gif оказывается возрастающей. Приведем простую теорему, на которой основаны все признаки сходимости (и расходимости) положительных рядов:

Положительный ряд (4) всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной (и, следовательно, ряд- сходящимся), если частичные суммы ряда ограничены сверху, и бесконечный (а ряд расходящимся) в противном случае.

Теоремы сравнения рядов.

Сходимость или расходимость положительного ряда часто устанавливают путем сравнения его с другим рядом , заведомо сходящимся или расходящимся.

Теорема 1.Пусть даны два положительных ряда:

hello_html_m2891ebd1.gif(A)

hello_html_m5f6f4bba.gif(B)

Если хотя бы начиная с некоторого номера, выполняется неравенство: hello_html_7d8c18ba.gif, то из сходимости ряда A или из расходимости ряда А следует расходимость ряда В.

Предположим, что hello_html_m2a4c09f3.gif.Из этого вытекает еще одно простое утверждение.

Теорема 2. Если существует предел hello_html_m589328c.gif (hello_html_17cc02b3.gif), то

из сходимости ряда B, при Khello_html_m24b20ddd.gif, вытекает сходимость ряда A

из расходимости первого ряда, при hello_html_694fef89.gif, вытекает расходимость второго.

( т.е. при hello_html_m6b052c37.gif оба ряда сходятся или расходятся одновременно).

Доказательство.

Пусть ряд В сходится и hello_html_18fa1164.gif. Взяв произвольное εhello_html_m360d6129.gif, по определению предела, для любых hello_html_m7c0a5b55.gif будем иметь hello_html_m51cd4afb.gif, откуда hello_html_323f14a6.gif.

Одновременно с рядом hello_html_m702bf415.gif будет сходиться и ряд hello_html_m195c4455.gif, полученный умножением его членов на постоянное число hello_html_dd8fc19.gif (это никак не отразится на сходимости ряда). Отсюда, по теореме 1, вытекает сходимость ряда hello_html_m38caab32.gif.

Если же ряд hello_html_m702bf415.gif расходится и hello_html_694fef89.gif, то в этом случае имеет место отношение hello_html_54694056.gif имеет конечный предел; ряд А должен быть расходящимся, т.к.если бы он сходился, то сходился бы и ряд B.Теорема доказана.

Теорема 3.Если, начиная с некоторого номера hello_html_2d220f5c.gif выполняется:

hello_html_m46adccf1.gif, то

1).из сходимости ряда B вытекает сходимость A,

2).из расходимости A вытекает расходимость ряда B.

Примеры .1.hello_html_m770ce0a1.gif

При hello_html_m524d84b4.gifряд расходится,

При hello_html_7db4e636.gif ряд меньше членов сходящегося ряда hello_html_2aaba349.gifданный ряд сходится.

2.Иследовать рядhello_html_7eb56b8e.gif на сходимость.

т.к. hello_html_4cf82482.gif, а ряд hello_html_m115f145.gif сходится, следовательно, по теореме 3 данный ряд сходится.

3.hello_html_524c33d2.gif расходится (по теореме 1) т.к. hello_html_2dc4f852.gif.

4. hello_html_m29860a9.gif (bhello_html_m29f1bfca.gif сходится по теореме 2 при shello_html_m547fa93c.gif, расходится при hello_html_m1a4ce0f.gif

hello_html_13adeec8.gif

II.Признаки сравнения рядов.

Интегральный признак Коши- Маклорена .

Теорема 4. Пусть функция hello_html_mb93dfec.gif неотрицательна и не возрастает всюду на прямой hello_html_439084a3.gif, где hello_html_m6fcfd213.gif- любой фиксированный номер. Тогда числовой ряд hello_html_m1f7e8413.gif ( 5)

сходится в том и только в том случае, когда существует предел при hello_html_m7026dd00.gif последовательности hello_html_m70f62714.gif (6)

Доказательство. Пусть hello_html_m417594b3.gif- любой номер, удовлетворяющий условию hello_html_md7b0f6.gif, а hello_html_m4f3a936b.gif- любое значение аргумента сегмента hello_html_m60a9fc24.gif. Так как по условию функция hello_html_mb93dfec.gif не возрастает на указанном сегменте, то для всех hello_html_m4f3a936b.gif из указанного сегмента справедливы неравенства hello_html_m9ee4bf1.gif (7)

Функция hello_html_7977785f.gif),будучи ограниченной и монотонной, интегрируема на сегменте hello_html_m60a9fc24.gif. Более того неравенств (7) вытекает,

hello_html_369942e3.gif

или

hello_html_3a5d6e53.gif(8)

Неравенства (8) установлены для любого hello_html_md7b0f6.gif.

Запишем эти неравенства для значений hello_html_m7ebd0a3.gif

где hello_html_443248c0.gif- любой номер, превосходящий hello_html_m6fcfd213.gif:

hello_html_m6cb8f03a.gif,

hello_html_m2f701cc1.gif

…………………………………..

hello_html_m2b7c13c9.gif.

Складывая почленно записанные неравенства, получим

hello_html_25b6cee2.gif(9)

Символ hello_html_5e88fe5c.gif обозначает n-тую частичную сумму ряда (1) равную

hello_html_970bb79.gif(10).

Неравенства (10) позволяют без труда доказать теорему. На самом деле, из формулы (6) очевидно, что последовательность hello_html_m63f8fb7a.gif является неубывающей. Стало быть, для сходимости этой последовательности необходима и достаточна ее ограниченность. Для сходимости ряда (5) необходима и достаточна ограниченность последовательности hello_html_5e88fe5c.gif, согласно утверждению: « Для того чтобы ряд с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность частичных сумм ряда была ограничена». Из неравенства (10) вытекает, что последовательность hello_html_5e88fe5c.gif ограничена тогда и только тогда, когда ограничена последовательность hello_html_m63f8fb7a.gif, т.е.тогда и только тогда, когда последовательность hello_html_m63f8fb7a.gif сходится. Теорема доказана.

Пример. Исследовать сходимость ряда hello_html_m114a03d9.gif

Решение. Проведем исследование с помощью интегрального признака. Имеем hello_html_6c1f079d.gif, в этом случае hello_html_5bc42cce.gif

Если hello_html_m123e56b1.gif, то несобственный интеграл сходится,

Если hello_html_m1136a015.gif, то несобственный интеграл расходится,

И, наконец, если hello_html_m43b16ea2.gif, то несобственный интеграл расходится: hello_html_m2f30f626.gif Итак, данный ряд сходится при hello_html_m123e56b1.gif и расходится при hello_html_m5ee30186.gif.

Ответ: при hello_html_m123e56b1.gif ряд сходится, при hello_html_m5ee30186.gif ряд расходится.

Признаки сходимости характеризуется классом тех, к которым эти признаки применимы. Например, критерий сходимости Коши применим ко всем вообще численным рядам; интегральный признак Маклорена- Коши применим к рядам, в которых положительные члены монотонно убывают с увеличением их номера. Всякая попытка анализа сходимости ряда при помощи того или иного признака должна начинаться с проверки того, входит ли исследуемый ряд в сферу применимости используемого признака после чего возникает вопрос об удобстве, простоте, фактической возможности применения этого признака.

Признак Коши.

Теорема(Коши) Составим для ряда А варианту: hello_html_m257417a4.gif.Если, при достаточно больших hello_html_443248c0.gif, выполняется неравенство hello_html_m1769f8a7.gif, где q - постоянное число меньшее единицы, то ряд сходится;

Если же, начиная с некоторого номера, hello_html_m675bd2be.gif, то ряд расходится.

Действительно, неравенства hello_html_m65191a04.gif равносильны, соответственно, таким: hello_html_m1b0804fa.gif или hello_html_m56ac2da4.gif; остается применить соответствующую теорему.

Чаще всего применяют признак Коши в предельной форме.

Допустим, что варианта hello_html_m284f049a.gif имеет предел (конечный или нет):hello_html_m6af29705.gif=C. Тогда при hello_html_m79db60b2.gif ряд сходится, а при hello_html_m7ad39616.gif ряд расходится.

Перейдем к рассмотрению рядов вида hello_html_333189ad.gif, (11)

где hello_html_m2d8f2e87.gif при всех hello_html_28420cdc.gif. Ряды такого вида называют рядами с положительными членами.

Признак Даламбера.

Теорема. Рассмотрим для ряда (*) hello_html_7116b8ee.gif

Тогда

  1. При hello_html_m101c2782.gif ряд сходится, а при hello_html_m101c2782.gif – расходится;

  2. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды при hello_html_1a2474d2.gif.

Доказательство.

(i) Пусть hello_html_m101c2782.gif. Тогда в силу определения предела последовательности для данного hello_html_mccd158b.gif такого, что hello_html_5fc48abf.gif выберем число hello_html_7bb0ac99.gif такое, что hello_html_m1980aa70.gif. Заметим, что

hello_html_m722f5b84.gif. (12)

В силу первой теоремы ряд сходится, поскольку сходится ряд

hello_html_654f9fb0.gifимеет место (12).

Пусть теперь hello_html_m1314d126.gif. Рассуждая, получим неравенство

hello_html_b72e886.gif

где число hello_html_mccd158b.gif такое, что hello_html_m38d1a92b.gif. Результат получится, если сравнить ряд (11) с рядом hello_html_m444e0f3.gif.

(ii)Применим признак Даламбера к обобщенному гармоническому ряду hello_html_195664b6.gif. Однако известно, что при hello_html_m59f87f17.gif обобщенный гармонический ряд расходится, а при hello_html_m4e67a3eb.gif сходится.Теорема доказана.

И в этом случае удобнее пользоваться предельной формой признака:

Допустим, что варианта hello_html_m74e0383.gif имеет предел (конечный или нет): hello_html_7ce96c9e.gif=D. Тогда при hello_html_mfd1d479.gif ряд сходится, hello_html_mcd922dd.gif ряд расходится, при hello_html_m6c907b15.gif этот признак ничего не дает.

hello_html_m74e0383.gifназывают вариантой Даламбера.

Из существования предела для варианты hello_html_m74e0383.gifвытекает уже существование предела и для hello_html_m284f049a.gif, причем оба предела равны. Т.о, во всех случаях, когда признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении ряда, ответ может быть получен и с помощью Коши. Обратное утверждение неверно и признак Коши сильнее признака Даламбера. Однако на практике пользование признаком Даламбера обычно проще.

Признак Раабе.

В тех случаях, когда указанные простые признаки не дают ответа, приходится прибегать к более сложным признакам, основанным на сравнении испытуемого ряда уже с другими стандартными рядами, так сказать «медленнее» сходящимися или «медленнее» расходящимися, чем прогрессия.

Признак Раабе (I.L.Raabe) осуществляет сравнение данного ряда

hello_html_m2891ebd1.gif(13)

с гармоническими рядами - сходящимися:

hello_html_m304c5b0c.gif(14hello_html_m7c48e444.gif



и расходящимися: hello_html_m5aaca07f.gif (15)

именно с помощью теоремы 3. При этом приходится рассматривать варианту Раабе: hello_html_m7f849849.gif.

Признак Раабе. Если при достаточно больших n, выполняется неравенство hello_html_m6a279b53.gif где r- постоянное число, больше единицы, то ряд сходится, если же, начиная с некоторого номера, hello_html_37e9a274.gif то ряд расходится.

Итак, пусть при достаточно больших n имеем: hello_html_6f938a00.gif или hello_html_77947e80.gif Возьмем теперь любое число s между 1 и r: hello_html_3c2b3091.gif.

Т.к. по известному предельному соотношению: hello_html_m89177f3.gif то для достаточно больших n будет hello_html_1d9338e9.gif

а следовательно, и hello_html_m4cae3522.gif Это же неравенство можно переписать следующим образом: hello_html_mee4c1d1.gif.

Справа мы имеем отношение двух последовательных членов ряда hello_html_m779e817a.gif; применив теорему 3, убеждаемся в сходимости ряда hello_html_m3aa8f24e.gif.

hello_html_m2c7b9bda.gifто отсюда сразу находим, что hello_html_m4d285363.gif; применив к рядам hello_html_3fde361f.gif теорему 3, делаем вывод, что ряд hello_html_m3aa8f24e.gif расходится.

Признак Раабе тоже применяется преимущественно в предельной форме. Допустим, что hello_html_24753679.gif имеет предел: hello_html_m2bf04ea1.gif. Тогда при hello_html_24e7c39a.gif ряд сходится, при hello_html_27ef353e.gif расходится.

Сравнивая признаки Даламбера и Раабе, видим, что последний значительно сильнее первого. Если предел hello_html_5275c936.gif существует и отличен от единицы, то для hello_html_m60c8e91a.gif существует предел hello_html_17021104.gif, равный hello_html_730cadda.gif при hello_html_mfd1d479.gif и hello_html_m1e109e97.gif.

Т.о. если признак Даламбера дает ответ на вопрос о поведении данного ряда, то признак Раабе и подавно его дает. Более того, все такие случаи охватываются всеми двумя из возможных значений hello_html_17021104.gif, именно hello_html_3ec9687a.gif. Все остальные значения hello_html_17021104.gif (исключая hello_html_26891bd5.gifтакже дающие ответ на вопрос о сходимости, соответствуют, таким образом, случаям, когда признак Даламбера заведомо ответа не дает, потому что hello_html_m6c907b15.gif.

Примеры. Установить сходимость рядов

1).по признаку Коши:

a). hello_html_7ba63418.gif ряд сходится;

б).hello_html_34b2478d.gif ряд расходится;

в). hello_html_746cb621.gif hello_html_m3055f7f8.gif

Если hello_html_2c54cabd.gif, то hello_html_3cb91e09.gif и ряд расходится,

если hello_html_1b6887d6.gif, то hello_html_3a7be8e9.gif и ряд сходится.

hello_html_532f55db.gifбудет hello_html_59cb1d5e.gif и поведение зависит от значений hello_html_m4f3a936b.gif: при hello_html_3714ac9b.gif ряд сходится, при hello_html_341c5a3f.gif ряд расходится, при hello_html_m2f2eca39.gif ответа конкретного нет, нужно провести дополнительные исследования.

2). По признаку Даламбера:

а). hello_html_m7c69a743.gif, hello_html_m7bb679c9.gif ряд сходится;

б). hello_html_m69abbab9.gif hello_html_m6a81e60.gif, hello_html_m54d62a29.gif

ряд сходится при hello_html_441fc47.gif и расходится при hello_html_5b4b8214.gif (hello_html_m1c7b9ae5.gif подставляем в равенство и непосредственно в этом убеждаемся);

в).hello_html_m13b2e1bb.gif hello_html_6424c738.gif hello_html_7ea79e0a.gif,hello_html_c43c898.gif;

ряд сходится при hello_html_441fc47.gif и расходится при hello_html_54158cce.gif получается гармонический ряд, поведение которого зависит от значения hello_html_m4f3a936b.gif.

3).Приведем примеры применения признака Раабе:

а). hello_html_m3a02e63b.gif, где hello_html_m8bd08ff.gif.

Здесь признаки Коши и Даламбера не действуют. Применим признак Раабе. Легко проверить, что hello_html_52dad724.gif)=hello_html_430dbac5.gif . Нетрудно сообразить, что последняя дробь при hello_html_6297c42b.gif стремится к производной функции hello_html_m66205966.gif в точке hello_html_6f34565d.gif, т.е. стремится к hello_html_32c7d1d3.gif. В силу признака Раабе рассматриваемый ряд сходится при hello_html_m3aa1c615.gif, т.е. при hello_html_2f32a6f1.gif и расходится при hello_html_m39a930b1.gif, т.е. при hello_html_fa86820.gifПри hello_html_m340036f7.gif вопрос о сходимости ряда требует дополнительного исследования, т.к. признак Раабе «не действует».

б). hello_html_m1477dce9.gif. Признак Даламбера к этому ряду неприменим, т.к. hello_html_m76b27af6.gif. Составим варианту Раабе: hello_html_m676fddef.gif, т.к. hello_html_m5367a6c.gif, то ряд сходится;

в). hello_html_m3e9b15d5.gif

т.к. hello_html_m6b0aab9c.gif hello_html_m234904ed.gif то здесь признак Даламбера неприложим. Имеем, далее, hello_html_7c3a9cae.gif, так что hello_html_103dd061.gif. Т.о. при hello_html_441fc47.gif ряд расходится, а при hello_html_7490ae3.gif сходится; при hello_html_m1c7b9ae5.gif получается расходящийся гармонический ряд.

г).hello_html_4098c9c.gif , где hello_html_6d0b7e9f.gifположительная варианта, имеющая конечный предел hello_html_m8f522f9.gif, имеем hello_html_4cf42ab4.gif Далее hello_html_m4ca61d4c.gif; hello_html_m62c65f1d.gif Итак при hello_html_3714ac9b.gif ряд сходится, при hello_html_341c5a3f.gif ряд расходится. При hello_html_m2f2eca39.gif в общем случае ничего сказать нельзя: поведение ряда зависит от характера приближений hello_html_7b016a6e.gif

Признак Куммера.

Теперь введем один общий признак, принадлежащий Куммеру (E.E.Kummer); его скорее можно рассматривать как общую схему для получения общих признаков.

Признак Куммера. Пусть дан расходящийся ряд hello_html_m768c1722.gif (16 )

с положительными членами.

Если для ряда hello_html_204be963.gif (17)

начиная с некоторого номера hello_html_m5d79057b.gif, выполняется неравенство

hello_html_4babc786.gif, (18)

то ряд (17) сходится.

Если же, начиная с некоторого номера hello_html_m5d79057b.gif, выполняется неравенство hello_html_4282052.gif (19)

то ряд (17) сходится.

Доказательство. Пусть выполняется соотношение (18). Известно, что изменение конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость. Поэтому можно считать, что (18) имеет место для всех n, начиная с hello_html_32c4361.gif. Из (18) следует, что

hello_html_5b699cfe.gif(20)

И поэтому hello_html_51238a2a.gif значит, числа hello_html_m69bf2c03.gif образуют монотонно убывающую последовательность положительных чисел. Пусть α– ее предел.

Рассмотрим ряд hello_html_438f96f.gif (21)

n- тая частичная сумма этого ряда есть

hello_html_m50fdf8a9.gif.

Переходя к пределу при возрастании N, получим

hello_html_7ca68639.gif, то есть ряд (21) сходится. Но тогда на основании (20) по теореме 1сходится и ряд hello_html_m7cebccec.gif, и тем самым - исходный ряд.

Пусть теперь, наоборот, имеет место (19). Тогда имеет место неравенство hello_html_1892e7e9.gif

и сравнение исследуемого ряда с заведомо расходящимся рядом (16) при помощи теоремы 3дает нам его расходимость. Теорема доказана.

Подобно признакам сходимости Даламбера и Коши, признак Куммера может быть сформулирован и в предельной форме:

Если даны ряд (17) и расходящийся ряд (16), то из неравенства hello_html_7cd98e3c.gif следует сходимость ряда (17),

а из неравенства hello_html_66871645.gifего расходимость.

Подчеркнем, что описанный только что признак сходимости Куммера является общим признаком: выбирая различным образом расходящийся ряд (16), будем получать различные конкретные признаки сходимости. Неудобства непосредственного практического приложения признака сходимости Куммера связаны с зависимостью его от «эталонного» расходящегося ряда (16). Поэтому представляется целесообразно выбирать заранее некоторую серию расходящихся рядов по каждому из них составить соответствующую реализацию признака Куммера.

Признак Бертрана.

Теорема Бертрана. Пусть существует предел

hello_html_m24d501a4.gif.

Тогда при hello_html_m5d1eb9c4.gif ряд (17) сходится, а при hello_html_m5e164f68.gif- расходится.

Доказательство. Доказательство следует из теоремы Куммера. Действительно, так как hello_html_m66988889.gif то варианта Куммера hello_html_2f9b0199.gif стремится к пределу hello_html_4112cf67.gif. Остается сослаться на признак Куммера,т.е:

hello_html_60bcae81.gif.

Теорема доказана.

Признак Гаусса.

Из признаков Даламбера, Раабе и Бертрана легко может быть получен следующий признак Гаусса (C.F. Gauss).

Теорема Гаусса. Пусть для ряда (17) отношение соседних членов может быть представлено в виде hello_html_66817b7.gif (22)

где λ и μ- постоянные, а hello_html_78f808ee.gif- ограниченная величина. Тогда ряд (17) сходится, если hello_html_47f97939.gifили hello_html_16764128.gif и hello_html_m35b66db6.gif. Этот ряд расходится, если hello_html_44f18f9d.gif или hello_html_m51ffba22.gifи hello_html_m35b66db6.gif.

Доказательство. Прежде всего заметим, что hello_html_m1d9936a8.gif, так что при hello_html_m47bb519f.gif утверждение признака Гаусса превращается в утверждение признака Даламбера. Далее, при hello_html_16764128.gif и hello_html_4f10904b.gif признак Гаусса вытекает из признака Раабе. Наконец,

при hello_html_35ed0145.gif hello_html_m469465ca.gif Последний предел ввиду ограниченности величины hello_html_78f808ee.gif равен нулю, и расходимость ряда (17) следует из признака Бертрана. Теорема доказана.

Однако не всегда можно представить отношение соседних членов ряда в виде (22). Например, для ряда hello_html_m5391f1f3.gifотношение соседних членов ряда равно

hello_html_2af869cf.gif).

Или, разлагая hello_html_m37e4ef11.gif как функцию от hello_html_2e1d8409.gif в ряд Маклорена и удерживая два первых члена,

hello_html_7ad8e157.gif

где hello_html_m2b111696.gif- ограниченные числа, причем, нетрудно проверить, что все hello_html_m7949a88a.gif могут быть ограничены снизу некоторой положительной постоянной. Значит, отношение соседних членов ряда непредставимо в виде (22).

Примеры.

1).Исследовать на сходимость ряд hello_html_264b0f7a.gif

Так как hello_html_m65cee03d.gif то hello_html_742f01f8.gif поэтому ряд сходится.

2). Исследовать на сходимость ряд hello_html_333189ad.gif, если:

a).hello_html_m721e8025.gif b). hello_html_m7cabbc75.gif

Решение:

a). так как при всех hello_html_20dbb322.gif выполняются неравенства hello_html_m68e4929d.gif

, то hello_html_m680c38e8.gif, и из сходимости ряда hello_html_m115f145.gif следует сходимость ряда hello_html_m63f8fb7a.gif.

b). так как hello_html_m32f001c8.gif, то из расходимости гармонического ряда hello_html_m5339b678.gif следует расходимость ряда hello_html_m77e9d81c.gif

3). Исследовать на сходимость ряд hello_html_333189ad.gif с помощью признака Гаусса, если hello_html_5beae53c.gif.

Решение.

Заметим, что hello_html_m1accb25f.gif, где hello_html_294abfa5.gif где hello_html_131dacc0.gif Следовательно, hello_html_m11d7ac34.gif где hello_html_1b216e82.gif. Если hello_html_m3aa1c615.gif, т.е. hello_html_2f32a6f1.gif, то ряд сходится. Если же hello_html_40d10fcc.gif, то ряд расходится.

Признак Ермакова.

Примерно ту же область применения, что и интегральный признак, имеет и своеобразный признак, предложенный В.П. Ермаковым. Формулировка его не содержит понятий интегрального исчисления.

Признак Ермакова. Пусть функция hello_html_mb93dfec.gif-положительная убывающая при hello_html_5b4b8214.gif функция. Тогда, если для достаточно больших hello_html_m4f3a936b.gif (скажем, для hello_html_m7a6f7caa.gif выполняется неравенство hello_html_m8c49c37.gif

то ряд hello_html_293c020d.gif сходится,

если же hello_html_64c6bc37.gif, то ряд расходится.

Доказательство. Пусть выполняется первое неравенство. При любом hello_html_145576ff.gif

(подстановка hello_html_m4d9ead32.gif) будем иметь hello_html_m957ff70.gif=hello_html_m248df979.gif Отсюда

hello_html_5bd0dd4f.gif

так как hello_html_m4f4b8bdf.gif, (23)

в вычитаемое в последних скобках положительное. В таком случае hello_html_m58e88112.gif прибавляя к обеим частям интеграл hello_html_3610194d.gif получим hello_html_405331d0.gif,

и тем более- учитывая (23)- hello_html_2e5347c6.gif.

Так как с возрастанием hello_html_m4f3a936b.gif и интеграл возрастает, то для него существует конечный предел hello_html_m6202822.gif: hello_html_m13185d28.gif и по интегральному признаку ряд сходится.

Пусть теперь имеет место второе неравенство. Тогда hello_html_m5566886a.gif и если к обеим частям прибавить интеграл hello_html_m25575e95.gif

hello_html_m6802c2cc.gif. Определим теперь последовательность hello_html_m52bb1420.gif полагая hello_html_m3ddb3cb1.gif по доказанному hello_html_m42333024.gif Отсюда ясно,hello_html_3ffaf5e.gif, и по интегральному признаку ряд hello_html_333189ad.gif расходится. Теорема доказана.

Примеры.

1). hello_html_1873b375.gif (σhello_html_m360d6129.gif).

В этом случае hello_html_5a369463.gif и выражение hello_html_4bf056d9.gif, и при достаточно больших hello_html_m4f3a936b.gif оно становится меньшим любой правильной дроби hello_html_m483bb7fc.gif: ряд сходится.

2).hello_html_m790cb3b9.gif.

Здесь hello_html_m1c2e8466.gif, а выражение hello_html_449ceedb.gif при hello_html_m6202822.gif и при достаточно больших hello_html_m4f3a936b.gif превзойдет единицу: ряд расходится.

Заметим, сто функция hello_html_m1afe3dc2.gif, фигурирующая в признаке Ермакова, может быть заменена любой другой функцией hello_html_m285ac290.gif, монотонно возрастающей, положительной , имеющей непрерывную производную и удовлетворяющей неравенству: hello_html_4c64151e.gif, (23*)

которое заменяет (23). Таким образом, в общей форме признак Ермакова является источником для получения ряда конкретных признаков, отвечающих различному выбору функции φ(x).

Признак Жамэ

Теорема Жаме. Знакоположительный ряд hello_html_m3f803eca.gif сходится, если hello_html_46586669.gif выполняется неравенство

hello_html_m2dadc20.gif, где hello_html_487b5742.gif,

Если же hello_html_1be86884.gifпри при hello_html_46586669.gif, то ряд расходится.

Доказательство.

1. Пусть для hello_html_333189ad.gif выполняется условие

hello_html_m196acee0.gif.

Преобразуем это неравенство к виду: hello_html_mef0c4df.gif. Поскольку всегда можно найти достаточно большое hello_html_46586669.gif такое, что: hello_html_m28073a49.gif то можно перейти к выражению:

hello_html_17787657.gif.

Применим разложение функции hello_html_m46a918b6.gif в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

hello_html_m7e07e77b.gif

Вынесем первое слагаемое из-под экспоненты:

hello_html_687032c4.gif

Теперь здесь применим разложение ив ряд Маклорена для функции hello_html_m1afe3dc2.gif:



hello_html_4228414f.gif

Пренебрегая бесконечно малыми и, учитывая, что hello_html_19b1398a.gif, получаем: hello_html_m5fbe0c25.gif.

Последнее, согласно признакам сравнения, означает, что рассматриваемый ряд hello_html_333189ad.gif сходится и расходится при одновременно с рядом hello_html_777b85ef.gif, который сходится при hello_html_3cbc45c6.gif и расходится при hello_html_m682b79e4.gif.

2). Пусть для ряда hello_html_333189ad.gif выполняется условие: hello_html_m3db878d3.gif.

Преобразуем это неравенство к виду:

hello_html_730aec20.gif.

Дважды применив разложение в ряд Маклорена с остаточным членом в форме Пеано, получим:

hello_html_m46840974.gif

Т.е. согласно признаку сравнения, рассматриваемый ряд hello_html_333189ad.gif расходится , поскольку расходится ряд hello_html_m5339b678.gif . Теорема доказана.

Формулировка в предельной форме:

Если существует предел hello_html_m77cecc3f.gif, то при hello_html_9168063.gif ряд сходится, а при hello_html_a1e76c7.gif- расходится.

Логарифмический признак.

Логарифмический признак сходимости - признак сходимости числовых рядов с положительными членами. Фактически этот признак сходимости сводится к сравнению исследуемого на сходимость ряда с обобщенным гармоническим рядом (рядом Дирихле).

Теорема: Ряд hello_html_333189ad.gif сходится, если при hello_html_2d220f5c.gif выполняется неравенство:

hello_html_m6fe5c84a.gif, где hello_html_76117d54.gif

Если hello_html_m2554af66.gif, начиная с некоторого номера hello_html_443248c0.gif, то ряд расходится.

Формулировка в предельной форме. Если при неограниченном возрастании hello_html_443248c0.gif отношение hello_html_m1add7622.gif стремиться к пределу hello_html_m594e7757.gif, то ряд – сходящийся, если hello_html_6fcb8cea.gif, расходящийся, если hello_html_6cc37a4e.gif. Случай hello_html_m1c9f573c.gif остается сомнительным и требует дополнительных исследований.

Признак Даламбера и Коши основаны на сравнениях рассматриваемого ряда с рядом геометрической прогрессии, а признак Раабе – на сравнении с более медленно сходящимся рядом hello_html_m6094853b.gif (24)

Естественно, возникает вопрос о том, не существует ли такой универсальный (предельно медленно!) сходящийся ( или расходящийся) ряд, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о сходимости (или расходимости) любого наперед заданного ряда с положительными членами.

Докажем, что такого ряда не существует. Пусть заданы 2 сходящихся ряда hello_html_6114a52c.gif (25)

и hello_html_m4fabcc7a.gif; (26)

обозначим символами hello_html_m255ceb17.gif и hello_html_4884b98a.gif соответственно их n-тые остатки. Будем говорить, что ряд (26) сходится медленнее, чем ряд (25), если hello_html_395ffe75.gif. Докажем, что для каждого сходящегося ряда существует ряд, сходящийся медленнее этого ряда. В самом деле, пусть hello_html_6114a52c.gif- любой сходящийся ряд; hello_html_m255ceb17.gif- его остаток. Докажем, что ряд hello_html_m4fabcc7a.gif, где hello_html_41f48eb9.gifсходится медленнее, чем ряд (25).

В самом деле, если hello_html_1174e35e.gif-й остаток ряда (26), то

hello_html_m25567a29.gif

Докажем теперь отсутствие универсального сходящегося ряда, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о сходимости любого наперед взятого сходящегося ряда. В самом деле, если бы такой универсальный сходящийся ряд (25) существовал, то взяв для него построенный выше ряд (26), то мы получили бы, что

hello_html_m74421fc0.gif

Таким образом, из сравнения с рядом hello_html_6114a52c.gif нельзя сделать заключения о сходимости рядаhello_html_mcd83902.gif

Аналогично доказывается отсутствие универсального расходящегося ряда, сравнение с которым позволило бы сделать заключение о расходимости любого наперед взятого расходящегося ряда.



Список использованной литературы:

1.Г.М.Фихтенгольц.//Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том2//

2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г.//Основы математического анализа: В 2-х ч. Часть I// Учеб.: Для вузов-7-е издание.

3. Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В. И., Шабунин М.И.// Сборник задач по математическому анализу. Том 2.Интегралы.Ряды.//

4.Б.П.Демидович//Сборник задач по математическому анализу.//Издательство Московского университета//1997.

5. Е.Г. Агапова// Ряды. //Хабаровск// Издательство ХГТУ//2003.

6. Г.А. Свиридюк, В.Е. Федоров.// Математический анализ. Часть 1.Учебное пособие.//Челябинск 1999

7.Курс лекций по математич.анализу.Лектор С.А.Теляковский. 2курс//Московский государственный университет имени Ломоносова. Механико-математический факультет.//Москва 2004 г.















Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 23.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров673
Номер материала ДВ-477134
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх