Курсовая работа по математике и информатике на тему «Булева алгебра»
Инфоурок Информатика Научные работыКурсовая работа по математике и информатике на тему «Булева алгебра»

Курсовая работа по математике и информатике на тему «Булева алгебра»

Скачать материал

Содержание

Введение.................................................................................................................3

I. Основные понятия..............................................................................................4

1.1 Операции над логическими высказываниями...................................4

1.2  Выражение одних булевых функций через другие........................12

1.3. Основные законы логики высказываний...........................................13

II. Разработка факультативного курса по теме  "Булева алгебра" для учащихся 9 классов средней школы....................................................................14

2.1 Цели и задачи факультативного курса...............................................14

2.2 Содержание факультативного курса..................................................15

2.3 Примерный перечень вопросов к зачёту...........................................16

2.4 Примерный перечень тем сообщений................................................16

Список литературы................................................................................................18

Заключение.............................................................................................................19

Список литературы................................................................................................20

Приложение............................................................................................................21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Алгебра логики (булева алгебра) - раздел математики, изучающий методы оперирования логическими (булевыми) переменными, принимающими только два значения - истина и ложь. Данное понятие ввел английский математик Джордж Буль в своей книге «Исследование законов мышления».

Целью данной курсовой работы является изучение булевой алгебры и разработка факультативного курса "Булева алгебра" для учащихся 9-х классов средней школы.

Задачами данной курсовой работы являются:

- изучение основных  понятий,  связанных с булевой алгеброй;

- разработка факультативного курса по заданной теме;

- ознакомление учащихся с существованием логических выражений. Актуальность данной курсовой работы заключается в том, что булева алгебра является одним из фундаментальных объектов современной математики. Точно также, как действительные числа являются математической формализацией количества, булева алгебра является формализацией меры истинности. Булева алгебра исследуется и применяется во многих областях математики и информатики, в алгебре и математической логике, в функциональном анализе, кибернетике и др. Поэтому рассмотрение данной курсовой работы является весьма важным. 

Предметом исследования является процесс изучения данной темы в старших классах средней общеобразовательной школы.

Объектом исследования курсовой работы является булева алгебра.

 

 

 

 

I. Основные понятия

 

1.1 Операции над логическими высказываниями

 

Алгебра логики – это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними[1].

Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.

Так, например, предложение «9 – нечетное число» следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение «Берлин – столица Франции» тоже высказывание, так как оно ложное.

Разумеется, не всякое предложение является логическим высказыванием. Высказываниями не являются, например, предложения «ученица восьмого класса» и «литература – неинтересный предмет». Первое предложение ничего не утверждает об ученике, а второе использует слишком неопределенное понятие «интересный предмет». Вопросительные и восклицательные предложения тоже не являются высказываниями, так как говорить об их истинности или ложности нет смысла[10].

Речевая практика привела к установлению некоторых требований, которые предъявляются  к высказываниям. Они были определенны еще Аристотелем и признанны сейчас как основные законы формальной логики.

1. Закон тождества: каждый из предметов, о которых идет речь, все время должен оставаться самим собой. Это требование совершенно необходимо, так как в противном случае изменчивость предмета привела бы к тому, что уже в ходе самого рассуждения истинные высказывания становились бы ложными, вследствие чего из этих высказываний нельзя было бы извлечь никакой надежной информации.

2. Закон противоречия: одно и то же нельзя одновременно и утверждать, и отрицать. Это требование тоже совершенно необходимо. В самом деле: если в высказывании что-то одновременно и утверждается, и отрицается, то это высказывание по существу никакой информации не несет.

3. Закон исключенного третьего: каждое высказывание непременно должно быть либо истинным, либо ложным. Это требование основано на убеждении, что относительно любого осмысленного высказывания всегда может быть установлено, истинно оно или ложно. А значит, что третьего не дано[2].

Предложения типа «в городе В более миллиарда жителей», «у ребенка карие глаза» не являются высказываниями, так как для выяснения их истинности или ложности нужны дополнительные сведения, о каком конкретно городе или ребенке идет речь. Такие предложения называются высказывательными формами.

Высказывательная форма – это повествовательное предложение, которое прямо или косвенно содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием, когда все переменные замещаются своими значениями[4].

Алгебра логики рассматривает любое высказывание только с одной точки зрения - является ли оно истинным или ложным. Часто сложно установить истинность высказывания. Так, например, высказывание «площадь поверхности Атлантического океана равна 98 млн км2» в разных ситуациях ситуации можно посчитать по - разному: в одной - ложным, а в другой – истинным. Ложным – так как указанное значение неточное и вообще не является постоянным. Истинным – когда оно рассматривается как некоторое приближение, приемлемое на практике[7].

Употребляемые в обычной речи слова и словосочетания «не», «и», «или», «если ..., то», «тогда и только тогда» и др. позволяют из уже заданных высказываний строить новые высказывания. Такие слова и словосочетания называются логическими связками[6].

Высказывания, образованные из других высказываний с помощью логических связок, называются составными. Высказывания, не являющиеся составными, называются элементарными[10].

Так, например, из элементарных высказываний «Иванова – психолог», «Иванова – теннисистка» при помощи связки «и» можно получить составное высказывание «Иванова – психолог и теннисистка», которое будет пониматься  как «Иванова - психолог, хорошо играющая в теннис».

При помощи связки «или» из таких же высказываний можно получить составное высказывание «Иванова - психолог или теннисистка», которое будет пониматься в алгебре логики как «Иванова или психолог, или теннисистка, или и психолог и теннисистка одновременно».

Истинность или ложность получаемых таким образом составных высказываний напрямую зависит от истинности или ложности элементарных высказываний[7].

Чтобы обращаться к логическим высказываниям, им дают имена. Пусть A - это высказывание «Иванова – психолог», а  B –высказывание «Иванова – теннисистка»  Тогда составное высказывание «Иванова – и психолог, и теннисистка» кратко записывают как A и B. Здесь «и» – логическая связка,  A, B – логические переменные, которые могут принимать только два значения – «истина» или «ложь», будем обозначать их соответственно «1» и «0».

Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями (булева функция) и имеет свое название и обозначение[8].

Булевы функции:

1) Конъюнкция (лат. conjunctio – соединение) или логическое умножение  – операция, выражаемая связкой «и»  – обозначается точкой ·, знаками ˄ , &. Будем обозначать ее знаком ˄ .

 Высказывание истинно, когда оба высказывания истинны. Высказывание  ложно, когда:  

1) A истинно, B ложно;

2) A ложно, B истинно;

3) A ложно и B ложно.

 

Таблица 1.

A

B

 0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

 


Таблица 2.

A

B

"Иванова - психолог"

"Иванова - врач"

"Иванова - психолог и врач"

 

2) Дизъюнкция (лат. disjunctio – разделение) или логическое сложение – операция, выражаемая связкой «или» – обозначается знаком ˅ или плюсом (). Будем обозначать ее ˅.

Высказывание  ложно, когда оба высказывания ложны. Высказывание истинно, когда хоть одно из них истинно.

Таблица 3.

A

B

 0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

 

 

 

 

 

 

Таблица 4.

A

B

"Иванова - психолог"

"Иванова - врач"

"Иванова - или только психолог, или только врач, или и психолог и врач одновременно"

 

3) Отрицание (отрицание – то, что отрицает собой что-нибудь) – операция, выражаемая словом «не» – обозначается знаком ˥ , ¬ или чертой над высказыванием (). Будем обозначать его чертой над высказыванием.

Высказывание  истинно тогда, когда высказывание A ложно. И высказывание A ложно тогда, когда высказывание  истинно.

 

Таблица 5.                               Таблица 6.

A

1

  0

0

  1

A

"Иванова - психолог"

"Иванова не психолог"


4) Исключающая дизъюнкция – операция, выражаемая «либо …, либо …» – обозначается .

 

Таблица 7.

A

A

AB

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

0

 

 

 

Таблица 8.

A

B

AB

«Иванова– психолог»

«Иванова–теннисистка»

«Иванова только психолог или только теннисистка»

 

5) Импликация (лат. implico – тесно связаны) – операция, выражаемая связками «если …, то …», «из … следует …», «… влечет …» – обозначается знаком .

Высказывание  ложно, когда  А истинно, В ложно.

Высказывание  истинно, когда:

1) A истинно и B истинно;

2) A ложно и B истинно;

3) A ложно и B ложно.

 

Таблица 9.

А

В

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

 

Таблица 10.

А

В

«Иванова – стоматолог»

«Иванова – врач»

«если Иванова – стоматолог, то она врач»

 

6) Эквиваленция или двойная импликация – операция, выражаемая связками «… тогда и только тогда, когда …», «… необходимо и достаточно …», «… равносильно …» – обозначается знаком ,  или . Будем обозначать ее .

Высказывание   истинно, когда значения А и В совпадают и ложно, когда:

1) А истинно, В ложно;

2) А ложно, В истинно.

 

Таблица 11.

А

В

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

 

Таблица 12.

А

В

«Петров– стоматолог»

«Петров – врач»

«Петров – стоматолог тогда и только тогда, когда он врач»

 

7) Штрих Шеффера – операция, выражаемая «неверно, что …, или неверно, что …» – обозначается .

Высказывание  ложно, когда А и В истинны, и истинно, когда:

1) А истинно, В ложно;

2) А ложно, В истинно;

3) А и В ложны.

 

 

 

 

Таблица 13.

А

В

1

1

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

 

Таблица 14.

А

В

«Иванова – психолог»

«Иванова –теннисистка»

«Неверно, что Иванова – психолог, или неверно, что Иванова -теннисистка»

 

8) Стрелка Пирса – операция, выражаемая «неверно, что …, и неверно, что …» – обозначается .

Высказывание  истинно, когда А и В ложны, и ложно, когда:

1) А и В истинны;

2) А истинно, В ложно;

3) А ложно, В истинно.

 

Таблица 15.

А

В

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

 

 

 

Таблица 16.

А

В

           

«Иванова –психолог»

«Иванова -теннисистка»

«Неверно, что Иванова – психолог, и неверно, что Иванова – теннисистка»

 

 

1.2  Выражение одних булевых функций через другие

 

·               Импликация может выражаться через дизъюнкцию и отрицание:

·               Эквиваленция может быть выражена через отрицание, дизъюнкцию и конъюнкцию:

·               Штрих Шеффера можно выразить через отрицание и дизъюнкцию:

·               Стрелка Пирса может выражаться через отрицание и конъюнкцию:

Для удобства используется только четыре булевых функции: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию и импликацию. Порядок их выполнения таков:

1) Отрицание

2) Конъюнкция

3) Дизъюнкция

4) Импликация

 

 

 

 

1.3. Основные законы логики высказываний

 

В первой главе «Алгебра логики и логические высказывания» приведены три основных закона формальной логики, сформулированные еще Аристотелем. Но есть еще несколько важных законов:

Закон двойного отрицания: Если неверно, что неверно А, то А истинно .

Закон тройного отрицания: Если неверно, что неверно, что неверно А, то А ложно.

Закон контрапозиции: Если из А следует В и неверно, что В, то неверно, что  [9].

 

Таблица 17.

 

Основные законы

Для ИЛИ

(дизъюнкция)

Для И

(конъюнкция)

Переместительный

Сочетательный

Распределительный

Правила де Моргана

Идемпотенции

Поглощения

Склеивания

 

 

Операция переменной с ее

Инверсией

Операция с константами

;

;

Двойного отрицания

 

 

II. Разработка факультативного курса по теме  "Булева алгебра" для учащихся 9 классов средней школы.

 

2.1. Цели и задачи факультативного курса.

 

В этом разделе рассматриваются:

- Учебно - методический план факультативного курса.

- Задачи, которые  могут быть использованы  в школе на уроках математики.

Целями  факультативного курса являются:

- ознакомление учащихся с основными понятиями булевой алгебры.

- рассмотрение основных операций над логическими высказываниями

- ознакомление с  некоторыми законами логики высказываний

В качестве задач факультативного курса выступают:

- формирование  представлений о  булевой алгебре;

- применение методов   решения различных практических задач;

- углубление знаний в области математики  учащихся 9-х классов;

- развитие  воображения, абстрактного мышления.

Факультативный курс позволит расширить кругозор учащихся в какой либо дисциплине. С помощью данного факультативного курса учащиеся смогут узнать об основных  понятиях булевой алгебры, разобрать, что такое логические высказывания  и рассмотреть их основные операции. Проведение факультативного курса будет способствовать формированию у учащихся навыков построения математических моделей, развитию математического типа мышления. Само решение логических задач является простым, но действенным средством для того, чтобы развить абстрактное мышление учащихся, развить их математические способности.

 

 

 

2.2. Содержание факультативного курса

 

Тематический план факультативного курса "Булева алгебра"

№ Раздела

 

Наименование раздела факультатива

Количество часов

 

 

Теоретические занятия

Практические занятия

Всего

1.

 Вводное занятие. Знакомство с булевой алгеброй.

1

1

2

2.

Основные понятия

алгебры логики.

2

2

4

3.

Логические выражения

и логические

операции.

4

4

8

4.

Промежуточный  контроль знаний.

1

1

2

5.

Составление таблиц

истинности по

логической формуле.

2

4

6

6.

Законы булевой

алгебры.

3

3

6

7.

Упрощение логических

выражений.

 

2

2

8.

Решение логических задач.

 

4

4

9.

Итоговая контрольная работа.

 

1

1

10.

Зачет.

 

 

 

Всего за полугодие:

13

22

35

 

В результате учащиеся будут ознакомлены с основными понятиями булевой алгебры, у них будут сформированы навыки  решения логических задач.

2.3 Примерный перечень вопросов к зачёту

 

1) Понятие булевой алгебры.

2) Кто ввел понятие "Булева алгебра".

3) Что такое логическое высказывание?

4) Привести примеры логических высказываний.

5) Описать три основных закона формальной логики.

6) Кто определил три основных закона формальной логики?

7) Что такое высказывательная форма?

8) Какие существуют булевы функции?

9) Что такое конъюнкция или логическое умножение?

10) Что такое дизъюнкция или логическое сложение?

11) Что такое отрицание?

12) Что такое исключающая дизъюнкция?

13) Что такое импликация?

14) Что такое эквиваленция или двойная импликация?

15) Что такое штрих Шеффера?

16) Что такое стрелка Пирса?

17) Привести примеры для всех булевых функций.

18) Привести примеры выражение одних булевых функций через другие.

19) Назвать основные законы логики высказываний.

20) Привести примеры на каждый закон логики высказываний.

 

2.4 Примерный перечень тем сообщений

 

1) Биография Джорджа Буля.

2) Возникновение алгебры логики.

3) Основные булевы функции.

4) Логические высказывания.

5) Преобразование выражений, состоящих из булевых функций.

6) Основные законы логики высказываний.

7) Применение булевой алгебры в вычислительной технике и информатике.

8) Связь булевой алгебры с различными областями математики и информатики.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы:

 

1) Аксенова М., Энциклопедия для детей: математика, Т.11. В. Володин, М.Аксенова. – М.: Аванта Плюс – 2005. – 688с.

2) Асеев Г.Г., Абрамов О.М., Ситников Д.Э. Дискретная математика: Учебное пособие. - Ростов н/Д: «Феникс», Харьков: «Торсинг», 2010. - 144 с.

3) Балк М.Б., Балк Г.Д. Математический факультатив - вчера, сегодня, завтра // Математика в школе. - 2009. - №3. - с.14.

4) Шауцукова Л.З., "Информатика: Учеб. пособие для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений" – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2004. – 416с.

5) http://window.edu.ru

6) http://studentbank.ru

 

Размещено на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

В данной курсовой  работе были изучены основные понятия булевой алгебры, свойства логических высказываний.

Приведены наглядные примеры и разработан факультативный курс «Булева алгебра».

При всей своей простоте булева алгебра весьма содержательна. Мы находим в ней немало трудных и глубоких проблем, многие из которых ещё не решены. Эти проблемы весьма разнообразны, они соприкасаются с логикой и теорией множеств, с теорией вероятностей и анализом. Такое обилие точек соприкосновения со смежными математическими дисциплинами роднит теорию булевых алгебр с функциональным анализом, к которому она близка и по своему общему математическому стилю.

Данная логическая система оказывается наиболее близкой к школьной алгебре. Даже правила подстановки сильно напоминают аналогичные правила для школьных тождеств и уравнений. Исторически булева алгебра была попыткой описать законы человеческого мышления через действия и формулы, подобные тем, что есть в арифметике. Эта попытка в какой-то мере достигла успеха. Но, конечно, булева алгебра не способна целиком смоделировать человеческое мышление или даже один его широкий аспект, связанный с логическими рассуждениями.

Тем не менее, эта часть математической логики на данный момент, по-видимому, наиболее разработана. Булева алгебра с некоторых пор уже не абстрактная теория, а находит применение на уровне инженерных технологий, служит основой для подавляющего большинства компьютерных систем.

 

 

 

 

Список литературы:

 

1) Гусева А.И., Тихомирова А.Н. "Дискретная математика для информатиков и экономистов: Учебное пособие". – М.: НИЯУ МИФИ, 2010. –  280 с.;

2) Ерусалимский Я. М. "Дискретная математика: Теория, задачи, приложения: учеб. пособие"-10-е изд. — М.: Вузовская книга, 2009. — 288 с.

3) Жоль К.К. "Логика: Учеб. пособие для вузов". - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2012. - 399 с.

4) Зарипова Э.Р., Кокотчикова М.Г., Севастьянов Л.А. "Лекции по дискретной математике: Учеб. пособие. Математическая логика". – М.: Изд-во РУДН, 2011. – 79 с.;

5) Кислов А. Г., Ольховиков Г. К., Уколов С. Ю., "Логика высказываний: язык, алгебра, исчисления: учебн. пособие" - Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2012. - 116 с.

6) Павлов С.А. "Логика с операторами истинности и ложности". - М., 2004. - 144 с.

7) Судоплатов С. В. "Дискретная математика : учебник" - 4-е изд. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2012. - 280 с. (Серия «Учебники НГТУ»)                        

8) Хаггарти Р. "Дискретная математика для программистов". Издание 2-е, исправленное, Москва: Техносфера, 2012. - 400 с.                           

9) http://knowledge.allbest.ru

10) http://window.edu.ru

 

 

 

 

 

 

Приложения

Приложение А.

Задача 1.Три друга пришли на посмотреть на скачки лошадей. Они начали спорить о результатах предстоящего этапа скачек.

— Вот посмотришь, Данат не финиширует первым, — сказал Илья. Первым придет Алтун.

— Да нет же, победителем станет, как всегда, Данат, —громко сказал Олег. — А об Парадизе и говорить не стоит, он не будет первым.

Ярослав, к которому обратился Олег, был возмущен этим и сказал:

—Алтуну не видать первого места, а вот Парадиз скачет по самой удачной дорожке.

По завершении этапа скачек оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

Решение

Для начала введем обозначения для логических высказываний:

D - выиграет Данат; P - выиграет Алтун; A - выиграет Парадиз.

Реплика Ярослава " Парадиз скачет по самой удачной дорожке." не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот конь, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.

Зафиксируем высказывания каждого друга:

Илья: , Олег:  , Ярослав: .

Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего были неверны, запишем и упростим истинное высказывание

Высказывание  истинно только при D=1, А=0, P=0.

Ответ: Победителем скачек стал Данат.

Приложение Б.

Задача 1.

Лена, Галя  и Таня изучают различные иностранные языки: японский, немецкий и французский. На вопрос, какой язык изучает каждая из них, одна ответила: "Лена изучает японский, Галя не изучает японский, а Таня не изучает французский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждая из девушек?

Решение.

Даны 3 утверждения:

1.     Лена изучает японский;

2.     Галя не изучает японский;

3.     Таня не изучает французский.

Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как девушки изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно.

Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает японский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе - ложными. Следовательно, Лена не изучает японский, его изучает Галя.

Ответ: Лена изучает японский язык, Таня - немецкий, Лена - французский.

Задача 2.

Записать следующее высказывание в виде логического выражения: «Если я плохо подготовлюсь по литературе, химии и биологии, то я получу двойки или тройки».

Решение: выделим в составном высказывании простые и обозначим их логическими переменными:

А –плохо подготовлюсь по литературе;

В –плохо подготовлюсь по химии;

С –плохо подготовлюсь по биологии;

D – получу двойки;

Е – получу тройки.

Тогда составное высказывание будет записано следующим образом:

 

 

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Пожаловаться на материал
Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Проверен экспертом

Общая информация

Скачать материал

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.