ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение. 3

1.     Понятие экстремума функции. Локальный и глобальный экстремум. Точки экстремума функции.. 5

2.     Необходимые и достаточные условия существования экстремумов.. 7

3.     Алгоритм нахождения точек экстремума функции.. 13

4.     Экстремальные задачи в алгебре и геометрии.. 16

5. Экстремальные задачи в других науках.. 35

Заключение. 42

Список литературы.. 44

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Экстремальные задачи – задачи на максимум и минимум – играют большую роль в нашей жизни. С такими задачами приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Инженеры-технологи стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции; конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы его масса была наименьшей; экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными и т.д. Каждая организация сталкивается с необходимостью сделать определенную работу, затратив как можно меньше ресурсов. Здесь и приходят на помощь методы решения задач оптимизации, о которых и пойдет речь в моей работе. Существование этих задач и методы их решения являются ярчайшим примером необходимости математики в нашей жизни.

Развитие областей науки и техники существенно зависит от развития различных направлений математики. В настоящее время математика становится средством решения проблем организации производства, помогает в поиске оптимальных решений, что содействует повышению производительности труда.

Многие прикладные задачи сводятся к исследованию функции на экстремум. В частности, в экономической теории задача математического программирования часто сводится к задаче на условный экстремум. Одним из наиболее удобных способов поиска экстремума функции при наличии ограничений на ее переменные, т.е. решения задачи условной оптимизации, является метод множителей Лагранжа. Основное практическое значение метода Лагранжа заключается в том, что он позволяет перейти от условной оптимизации к безусловной.

Курс алгебры содержит разнообразный материал, однако, одним из его разделов является вопрос о нахождении экстремальных значений. Между тем знание способов решения подобного рода задач оказывается полезным при решении многих текстовых задач, т.к. может значительно облегчить их решение.

Решение задач за экстремумы имеет не только теоретический интерес.

К решению таких задач сводятся иногда задачи, связанные с практикой и повседневной деятельностью человека. Также такие уравнения иногда встречаются в физике и геометрии.

Все выше сказанное подчеркивает актуальность выбранной темы курсовой работы.

Целью исследования является систематизация и обобщение методов решения задач на экстремумы из различных предметных областей.

Объектом исследования стали методы математического анализа.

Предмет исследования – задачи на нахождение экстремальных значений величин и методы их решения.

Цель, объект и предмет исследования обусловили выбор следующих задач:

- рассмотреть понятие экстремума функции, изучить локальный и глобальный экстремум, а также точки экстремума функции;

- изучить необходимые и достаточные условия существования экстремума функции;

- охарактеризовать алгоритм нахождения точек экстремума функции;

- рассмотреть экстремальные задачи в курсе алгебре и геометрии;

- выделить особенности экстремальных экономических и производственных задач;

- рассмотреть экстремальные задачи в других науках.

Курсовая работа курсовая работа курсовая работа курсовая работа

 

 

 

 

 

1.                 ПОНЯТИЕ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ. ЛОКАЛЬНЫЙ И ГЛОБАЛЬНЫЙ ЭКСТРЕМУМ. ТОЧКИ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ

 Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

Точканазывается точкой локального максимума функции f(x), если выполняется условие:

Аналогично точка  называется точкой локального минимума функции , если выполняется условие:

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.

Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.[1]

Нахождение экстремумов функции может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её  графика.  

рис. 1

Точки экстремума - объединяющий термин для точек максимума и минимума, а значения функций в этих точках называются экстремумами  функции.

Рассмотрим график непрерывной функции. Из рисунка 1 видно, что значение функции в точкеменьше, чем значения функции в достаточно близких к ней точках, соседних с ней справа и слева. В этом случае говорят, что функция имеет в точке  минимум.

В точкезначение функции больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё. В этом случае говорят, что функция имеет в точке максимум.

Приведем строгие определения точек экстремума.

Определение 1: Функция  имеет минимум в точке , если существует такая окрестность точки x₀, что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство

Определение 2: Функция  имеет максимум в точке , если существует такая окрестность точки , что для всех  из этой окрестности выполняется неравенство

Из приведённых определений следует, что экстремум функции имеет локальный характер - это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежащими значениями. На промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо ее максимума.

Так, для функции, изображённой на рисунке 1,.

Следующая теорема позволяет ответить на вопрос, в каких точках функция может достигать  экстремума.

 

 

2.                 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМОВ

Теорема Ферма (необходимый признак экстремума). Если функция  дифференцируема в точке  и имеет в этой точке экстремум, то её производная при обращается в нуль, т.е. .

Теорема Ферма имеет простое геометрическое истолкование. Так как производная в точке  равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке, то равенство  означает, что , т. е. касательная к кривой в этой точке параллельна оси Ox.

Следствие. Дифференцируемая функция может иметь экстремум лишь в тех точках, где производная равна нулю.

Однако функция может иметь экстремум и в тех точках области определения, где производная не существует.

рис. 2

Пример 1. Функция в точке  достигает минимума, но не дифференцируема при , так как в этой точке график не имеет определённой касательной (рис. 2).Курсовая работа курсовая работа курсовая работа курсовая работа

 

рис.3

Пример 2. Функция, изображённая на рисунке 3, имеет в точке  максимум, но не дифференцируема в этой точке, так как при  касательная к кривой образует с осью Ox угол .

Замечание. Условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет.[2]

рис. 4

Пример 3. Функция , изображённая на рисунке 4, имеет производную , которая обращается в нуль при , однако в точке  функция экстремума не имеет.

Те значения аргумента, при которых функция сохраняет непрерывность, а её производная обращается в нуль или не существует, называются критическими точками (или критическими значениями аргумента).

Теорема Ферма является лишь необходимым признаком экстремума, так как не в каждой критической точке экстремум существует. Поэтому нужно располагать достаточными признаками, позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно - максимум или минимум.[3]

Первый достаточный признак экстремума. Если - критическая точка функции  и в некоторой окрестности этой точки слева и справа от неё производная имеет противоположные знаки, то  является экстремумом функции, причём: максимумом, если  при  и  при ; минимумом, если  при  и  при .

Если же вблизи точки , слева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки. В этом случае в точке экстремума нет.

Таким образом, если - критическая точка  и при переходе через  производная меняет знак, то есть точка экстремума, причём точка максимума, если производная меняет знак с плюса на минус, и точка минимума, если с минуса на плюс. В противном случае в точкеэкстремума нет.

рис. 5

Пример 4. Исследовать на экстремум функцию и построить её график.

Решение. Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой. Её производная существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками служат лишь те, в которых , т.е. , откудаи . Критические точки и разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности: . Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной на этом промежутке.

Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку, имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале , а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале, а в интервале возрастает, так как в этом интервале.

Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки  графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. рис. 5).

Второй достаточный признак экстремума. Если функция дважды дифференцируема и в точкевыполняются условияи

, то в этой точке функция имеет экстремум, причём максимум, если , и минимум, если .

Замечание 1. Если в точкеобразуются в нуль обе производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума.

Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума неприменим и тогда, когда в критической точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума.

Пример 5. Исследовать на экстремум функцию  и построить её график.

Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .

Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная функция чётная, так как . Поэтому её график симметричен относительно оси Oy и исследование можно выполнить только для интервала .

Находим производную  и критические точки функции:

1)

2)

но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.

Таким образом, заданная функция имеет две критические точки:  и . Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только точку . Для этого найдём вторую производную и определим её знак при : получим . Так как  и , то  является точкой минимума функции, при этом .

Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:

(здесь символом обозначено стремление  к нулю справа, причём остаётся положительным; аналогично  означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим

,

т.е. если то .[4]

Точек пересечения с осями график функции не имеет.

рис. 6

 

3.                 АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ ТОЧЕК ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ

Определение 3. Точкой максимума (минимума) функции  называется значение аргумента такое, что существует окрестность точки , в которой для.

Определение 4. Максимумом (минимумом) функции называется её значение в точке экстремума, т.е. величина .

Таким образом, если в задании стоит требование определить точки экстремума в ответе следует писать найденные значения , если нужно указать сами экстремумы, то нужно определить значения y в этих точках, подставив их в формулу функции[5]

Что касается наибольшего или наименьшего значения функции на заданном отрезке, то для непрерывной функции они могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах. Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка совпадает с точкой соответствующего экстремума.

Для ответа на такой вопрос следует сравнить значения функции в точках экстремума с её значениями на концах отрезка. (На практике для решения этой задачи не обязательно определять вид экстремума, достаточно вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка и сравнить их между собой.)

Рассмотрим задачи на нахождение точек экстремума функции.

Алгоритм нахождения точек экстремума.

1) Найти область определения функции.

2) Найти производную функции f '(x).

3) Найти точки, в которых f '(x) не существует.

4) Найти точки, в которых f '(x) = 0.

5) Отметить на числовой прямой область определения функции и все точки, выявленные в п. 3 и п. 4. Получатся промежутки области определения, на которых производная сохраняет постоянный знак.

6) Определить знак f '(x) для каждого промежутка. (Чаще всего это делается подстановкой "удобного" значения x из этого промежутка в полученную в п. 2 формулу для производной.)

7) Определить по знакам производной участки возрастания и убывания функции и сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума и его характере в каждой из критических точек.

Задача 6.

Найдите точку максимума функции

1) Функция представляет собой произведение линейной и показательной функций, которые определены на всей действительной оси.

2) Вычисляем производную, пользуясь правилом дифференцирования произведения и формулами для производной степенной и показательной функций.

Вычисление производной завершено, но для облегчения действий в следующих пунктах, стоит преобразовать её к наиболее компактному виду.

Итак,

3) Выражение  определено во всех точках действительной оси.

Точек, где  не существует, нет.

4) Решаем уравнение

при любых значениях x,

 при .

5) Изображаем "бесконечную" числовую ось, совпадающую в нашем случае с областью определения функции. Отмечаем на ней единственную найденную критическую точку .

6) Определяем знаки производной на получившихся двух участках оси.

При  например при , имеем

При например при, имеем

Отмечаем на оси знаком "+" участок, где  и знаком "−", где

7) На участках, где производная положительна, функция возрастает, а где производная отрицательна, функция убывает. Расставляем на рисунке соответствующие стрелочки. По стрелочкам видно, что в точке  функция переходит от возрастания к убыванию, значит это и есть искомая точка максимума.

Ответ: −6

 

 

 

 

4.      ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

Среди задач математики, с помощью которых решают проблемы оптимизации, следует выделить задачи на экстремумы и оптимумы. Эти задачи в курсе математики старшей школы встречаются чаще всего, именно они, в свою очередь, являются фундаментом рассмотрения оптимизационных задач вообще.

Из математического анализа известно, что если числовая функция непрерывна, то экстремум  на  может достигаться лишь в тех точках , в которых  или  не существует или является граничной и для множества .

Описанным способом поиска экстремума можно пользоваться, начиная с  класса во всех тех случаях, когда решение задач сводится к исследованию функции, которая вместе с её производной имеет достаточно простой вид. В большинстве практических задач зачастую вычисление производной представляет большие трудности и нередко даже неизвестно, существует ли производная в интересующих нас точках. Бывает так, что функция  задана лишь таблично или вообще трудно представить задачу в аналитическом виде. В тех случаях, когда производная всё же вычислена, решение уравнения  может также привести к серьёзным трудностям.

Важно иметь методические приёмы, способы решения экстремальных задач, не требующих вычисления производной. Это происходит, например, при решении задач на дискретную оптимизацию. Особым типом экстремальных задач являются задачи линейного программирования, которые решаются без помощи производной. Неприменима производная и при решении многих геометрических задач.

Введение экстремальных задач в обучение педагогически оправдано, так как они с достаточной полнотой закладывают в сознание учащихся понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучшими. Решая задачи указанного типа, учащиеся видят, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, с другой – большую и эффективную их применимость к решению практических, жизненных задач. Такая постановка экстремальных задач способствует расширению сферы приложений учебного материала, повышает роль этих задач в осуществлении глубокой цели математического образования школьников – обучать приложению математики в различных областях человеческой деятельности.

Экстремальные задачи могут помочь школьнику ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности. Такие задачи могут серьёзно повлиять на содержание учебного материала, на аспекты применения приложений изучаемой теории на практике. В школе на уроках математики учитель, как правило, ставит более скромную цель: воспитывать учащихся на примерах содержательных экстремальных задач, формировать у них научное мировоззрение, глубокие взгляды на процессы, происходящие как в природе, так и в общественной жизни, показывать важность математических знаний и умений решать задачи.

Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний учащихся. Через задачи они знакомятся с экстремальными свойствами изучаемых функций, рассматриваемых на непрерывном или дискретном множествах, с некоторыми свойствами неравенств. Изучая свойства той или иной геометрической фигуры, учащиеся с помощью задач приобретают знания об экстремальных свойствах этой фигуры, а также учатся применять их к решению прикладных задач. Следует отметить особую значимость постановки экстремальных задач в школьном курсе математики в воспитании исследовательской культуры учащихся. Ведь все решения таких задач предлагаются на уровне исследования математической модели и на уровне исследования реальной ситуации с использованием оптимизационных средств. Кроме того, в процессе решения большей части экстремальных задач широко и удачно используются эвристические приёмы, которые в отличие от алгоритмических могут подсказать путь решения предлагаемых задач.

Для решения экстремальных задач существуют следующие методы:

1. Метод опорной функции;

2. Метод оценки;

3. Метод перебора;

4. Метод преобразования плоскости.

Рассмотрим некоторые из перечисленных методов на конкретных примерах.

Пример 7. Масса чугунной болванки 16кг. Сколько болванок потребуется, чтобы отлить 41 деталь массой 12 кг каждая?

Решение. Первый способ. Поскольку масса одной детали 12 кг, то 41 деталь будет весить: 12*41 = 492 кг. Далее рассуждаем так: одна болванка весит 16 кг, поэтому потребуется 31 болванка (492 : 16 = 30 (12 – остаток)). Не обращая внимания на остаток, ученики делают ошибочный вывод. Вместо того, чтобы написать «31 болванка», пишут «30 болванок».

Второй способ. Пусть n — количество болванок, тогда 16n – масса болванок, 12*41 – масса деталей. Далее ученикам предстоит сравнить и оценить значение выражений, чтобы поставить соответствующий знак между ними:

 

Наименьшее число болванок равняется 31.

Если ознакомить учеников с условием задачи и при этом не задавать наводящих вопросов, то на поставленный в задаче вопрос некоторые ученики дают такой ответ: на 41 деталь нужно использовать 41 болванку, т. е. из каждой болванки изготавливают одну деталь. Чтобы исправить ошибку ученика, нужно заставить его тщательно прочитать задачу, обратить внимание на слова «отлить 41 деталь». Подобные ситуации, в которые попадают ученики при решении задач, дают учителю возможности для воспитательной работы. Он формирует у учащихся сознательное отношение к профессии, показывает, что высокий математический уровень знаний становится нужным и полезным в трудовой деятельности.

Поскольку встречаются задачи с двойным неравенством, то можно решать задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения линейного выражения ах + в, где x – переменная, m и n – целые неотрицательные числа. При нахождении наименьшего и наибольшего значения выражения ах + в, ученики должны уметь: 1) решать двойное неравенство; 2) находить то значение переменной, которое удовлетворяет требованию задачи; 3) оценивать значение выражения. При решении приходится обращаться к таким вопросам: а) Как изменяется сумма при изменении слагаемого? б) Как изменяется разность при изменении вычитаемого и уменьшаемого? в) Как изменяется произведение при изменении сомножителей?

Пример 8. Стоимость телеграммы вычисляется почтовыми работниками по следующему правилу: по 5 рублей за каждое слово и ещё 20 рублей за отправку телеграммы. Какая может быть наибольшая и наименьшая цена телеграммы, если количество слов в телеграмме определяется решением неравенства ?

Решение задачи сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения выражения 5х + 20, если и хÎN. Сначала можно предложить вычислить значение выражения при нескольких значениях переменной, взятых из промежутка . Заметим, что сумма будет наибольшая, если слагаемое  будет наибольшим, т. е. будет равно 5·40, и наименьшая, если слагаемое  будет наименьшим, т. е. будет равно 5*17. Заметим, что второе слагаемое постоянно.

Среди экстремальных задач геометрические задачи на вычисление площадей и периметров представляют большой интерес. Решение этих задач методом оценки формирует первое представление о максимальном произведении при постоянной сумме двух переменных и о минимальной сумме при постоянном произведении. Рассмотрим примеры таких задач.

Пример 9. Начертите прямоугольник, периметр которого 36 см, вычислите его площадь.

Решение этой задачи можно оформить в виде такой таблицы:

Отсюда вывод: наибольшая площадь S = 81 при а = в = 9 см. Построение прямоугольников и запись решения в виде таблицы помогает лучше видеть, как изменяется площадь прямоугольника с постоянным периметром и как изменяется периметр прямоугольника с постоянной площадью.

Остановимся на решении экстремальных задач в разделе «Натуральные числа». Здесь на первом этапе решаются самые простые задачи, где число рассматриваемых элементов невелико. Это во многом упрощает организацию работы, требует меньше времени и создаёт хорошую возможность детям увидеть особенности применения метода перебора к решению задач.

Пример 10. С помощью цифр 5, 2 и 7 напишите все трёхзначные числа, в каждом из которых все цифры различны. Среди найденных чисел найдите наибольшее и наименьшее число.

Очень часто мы встречаемся с такими фактами. Ученики решили задачу, т. е. нашли числа 527, 572, 275, 257, 752, 725 и указали наибольшее и наименьшее число. Но мала эффективность таких методических приёмов, если ученики не проявили творческого мышления, не увидели никакой новизны, не нашли самостоятельно приёмов составления перестановок, т. е. не нашли алгоритма построения перестановок, не подметили упорядочения чисел, не сделали вывод о том, в каком порядке расположены цифры в наибольшем и наименьшем числе. На первый взгляд, кажется, что это очень простая задача, но она несёт большую теоретическую нагрузку. Ученик знакомится с упорядоченными множествами, с методом перебора, перестановками, с методическими приёмами поиска экстремальной перестановки.

Пример 11. В кабинет математики к началу консультации пришли 3 ученика (А, В, С). Предварительный разговор позволил учителю выяснить, что для рассмотрения вопроса ученика А требуется 5 мин, ученика В – 2 мин, ученика С – 7 мин. после получения ответа на свой вопрос ученик уходит. Как организовать консультацию, чтобы каждый из учеников находился в кабинете как можно меньше времени? Иными словами, учитель хочет как можно меньше задержать каждого из них, т. е. минимизировать общее время, проведённое учениками в кабинете.

Для лучшего понимания задачи можно предложить ученикам записать условие задачи в виде таблицы:

Это даст возможность не только облегчить решение задачи, но и будет содействовать формированию понятия о матрице (хотя о таком понятии ничего не говорим). Решение этой задачи можно проиллюстрировать такой таблицей:

Очерёдность получения консультации	Время на выяснения вопроса (мин)	Время, затраченное каждым учеником (мин)	Суммарное время (мин)
А, В, С А, С, ВВ, С, А	5, 3, 7 5, 7,3 3, 7, 5	5; 5+3; 5+3+7 5; 5+7; 5+7+3 3; 3+7; 3+7+5	5+8+15=28 5+12+15=32 3+10+15=28
В, А, С	3, 5, 7	3; 3+5; 3+5+7	3+8+15=26
С, А, ВС, В, А	7, 5, 3 7, 3, 5	7; 7+5; 7+5+3 7; 7+3; 7+3+5	7+12+15=34 7+10+15=32

Оптимальный вариант:

Суммарное время: 3 + 8 + 15 = 26 мин.

Итак, этот приём решения имеет много общего с решением предыдущей задачи, которая была как бы подготовительной, с её помощью ученикам легче было найти приём решения данной задачи.

Последняя задача дала много интересного и полезного. Здесь появилась возможность подвести учащихся к пониманию способов построения искомых последовательностей (3, 5, 7) и (3, 8, 5). Ученикам не даются указания, как записывать рекуррентные формулы для нахождения экстремальных перестановок, последовательностей. С этим понятием знакомят учеников в 9 классе. Решение задач на экстремальные перестановки способствует приобретению учениками определённых комбинаторных навыков и знаний, более глубокому пониманию изучаемого материала.

Нахождение наибольших и наименьших значений величин методом перебора рассматривается частично при изучении тем: «Наибольший общий делитель» и «Наименьшее общее кратное». Понятие экстремума в этих темах связывается с понятием наивыгоднейших значений величин.

Решение экстремальных задач в курсе алгебры проходит в два этапа. На первом этапе рассматривается неопределенная задача, текст которой переводится на математический язык в виде неопределённого уравнения (функции), которое допускает много или бесконечно много решений.

На втором этапе по тем или иным признакам, которые заданы в явном или неявном виде, определяется, какое из решений задачи наиболее выгодно. Темы курса алгебры, в которых приходится решать экстремальные задачи и формировать методы их решения, рассматриваем следующим образом:

1) Линейная функция.

2) Системы линейных уравнений.

3) Рациональные дроби.

4) Неравенства.

5) Квадратичная функция.

6) Последовательности. Арифметическая прогрессия.

7) Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.[6]

Ознакомимся с решением экстремальных задач по теме «Линейная функция». Решение задач данной темы сводится к нахождению экстремума линейной функции , где и  – постоянные. Если эту функцию рассматривать на отрезке, то она будет иметь на нём наибольшее и наименьшее значение. При  наименьшее значение у принимает в точке , а наибольшее – в точке , при  функция  в точке  принимает наибольшее значение, а в точке  — наименьшее.

Рассмотрим одну из задач, решение которой сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения линейной функции одной переменной на некотором отрезке и покажем применение линейной функции в практике.

Задача 12. На совхозной ферме нужно провести водопровод длиной 167м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не разрезать)?

Учитывая, что количество как одних, так и других труб может изменяться, ученики предлагают количество 7-метровых труб обозначить через х, а 5-метровых – через у. Тогда 7х – длина 7-метровых труб, 5у – длина 5-метровых труб. Отсюда получаем неопределённое уравнение . Выразив, например, переменную у через переменную х, получим:

Так как х, у ÎN, то методом перебора легко найти соответствующие пары значений х и у, которые удовлетворяют уравнению 7х + 5у = 167. К ним относятся пары (1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4). Из этих решений наиболее выгодное последнее, т. е. х = 21, у = 4.

Рассмотрим более сложные экстремальные задачи, в которых нахождение наибольшего или наименьшего значения сводится к решению неравенства вида , где  – заданные числа и хÎN. Понятия «наибольшее», «наименьшее» значение в этих задачах больше всего связаны с понятием «наивыгоднейших» значений величин.

Задача 13. Предположим, что населенные пункты С, расположенные на отрезке АВ, снабжаются некоторым потребительским товаром как из пункта А, так и из пункта В. Одна тонна этого товара в А обходится в 5 тыс. руб., а в В – в 7 тыс. руб. Транспортировка 1 т груза на расстояние 1 км стоит 200 руб. расстояние между пунктами А и В равно 100 км. Нужно составить план снабжения товарами пунктов С, при котором будет допускаться минимальный расход денег.

Попробуем представить эту жизненную ситуацию в математическом описании. Пусть расстояние АС = х, тогда ВС = 100 – х. Стоимость транспортировки 1т груза из пункта А в пункт С равна (5 + 0,2х) тыс. руб. Стоимость транспортировки 1 т груза из пункта В в пункт С равна:тыс. руб, или  тыс. руб. Узнаем, на каком расстоянии стоимость транспортировки груза от пункта А будет не больше, чем от пункта В, т. е.

Итак, из пункта А нужно транспортировать товар на расстояние не больше, чем на 55 км, а из В – не больше, чем на 45 км.

Целесообразно предложить ученикам подсчитать, сколько будет стоить транспортировка 1 т груза в пункт С, который находится от А на расстоянии 20 км, 55 км, 70 км, а потом от В – на расстоянии 80 км, 45 км, 30 км. Наконец, необходимо сделать вывод и оценить важность применяемых математических методов. При решении таких задач есть возможность сделать так, чтобы каждый из учеников почувствовал себя в роли экономиста, в роли директора, бригадира, заместителя, рабочего.

Достаточно много экстремальных задач можно решать при изучении темы «Квадратный трехчлен». К исследованию квадратичной функции на экстремум сводятся многие прикладные задачи не только алгебры, но и экономики, геометрии, физики, техники. Простейшим и в то же время универсальным способом для решения экстремальных задач, связанных с квадратичной функцией, является способ выделения квадрата двучлена.[7]

Примером могут быть следующие задачи.

Задача 14. Для строительства склада заготовлен материал на наружные стены длиной 32 м и высотой 4 м. Какими должны быть размеры (в виде прямоугольного параллелепипеда), чтобы склад имел наибольший объём?

Решение задачи сводится к исследованию функции:

Задача  15. Сопротивление f дороги движению автомобиля при скорости v выражается следующими формулами:

а) на хорошем шоссе:

б) на плохом шоссе:

в) на булыжной мостовой:

г) на мягкой грунтовой дороге: .

При какой скорости сопротивление должно быть наименьшим?

Задача 16. Тело брошено вертикально вверх с высоты 25 м с начальной скоростью 4 м/с. Считая ускорение земного притяжения равным 10 м/с² и пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите, на какую максимальную высоту взлетит тело?

Как видно из приведенных примеров, решение экстремальных задач даёт возможность установить более тесную межпредметную связь алгебры, геометрии и физики. При их решении ученики приобретают не только математическую информацию, но и знания из курса физики. Решение физических задач поучительно с точки зрения математики, так как можно показать тонкости тех или иных математических приемов в действии, в их практическом приложении. В частности эти задачи помогают осознать, что функция, заданная аналитической формулой, может выражать зависимость между реальными величинами в самых различных явлениях и процессах.[8]

Метод опорных функций часто используется и при решении задач на геометрические экстремумы, если условие задачи удается формализовать, т.е. свести её к исследованию формулы. Характерной особенностью геометрических задач на нахождение экстремумов, решаемых методом опорных функций, является составление геометрических формул, непосредственно подсказанных соответствующими теоремами. Речь идет о таких теоремах и формулах, как теоремы косинусов, синусов; формулы для вычисления площадей; формулы метрических соотношений в прямоугольном треугольнике и других.

Решение геометрических задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения геометрической величины чаще всего сводится к исследованию опорных функций вида .

Но иногда решение таких задач с помощью опорной функции сводится непосредственно к использованию не одной известной геометрической формулы, а нескольких вспомогательных теорем (формул), которые в свою очередь могут потребовать новых теорем. Такое использование системы теорем (формул) требует и соответствующих логических рассуждений. Примером может быть следующая задача.[9]

Задача 17. На земельном участке, имеющем форму остроугольного треугольника АВС, надо построить дом прямоугольной формы так, чтобы он прилегал к сторонам участка. Известно, что АС = 40 м, h = ВД = 20 м. Какую наибольшую площадь участка может занять проектируемое здание?

Пусть MN = х, МК = у. Так как то

.

Итак, решение задачи сводится к исследованию опорной функции вида .

Решение: найдем полупериметр прямоугольника: . Обозначим через   длину стороны прямоугольника (любую). Тогда  – длина смежной стороны:

рис. 7

Составим функцию площади прямоугольника:

Найдем критические точки:
критическая точка.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума.
, значит, функция  достигает максимума в точке.

Таким образом  – оптимальная длина стороны прямоугольника, длина смежной стороны:; при этом максимальная площадь:

Ответ: оптимальный прямоугольник представляет собой квадрат со стороной ; при этом максимальная площадь: .

Задача 18. Найти прямоугольник наибольшего периметра, который можно вписать в полукруг данного радиуса

Решение: выполним чертёж:

рис. 8

Пусть   (как вариант, за «икс» можно обозначить   или даже . Рассмотрим прямоугольный . По теореме Пифагора:

Составим функцию периметра прямоугольника:

Найдём критические точки:

=0

Решим простейшее иррациональное уравнение:

Уравнению  удовлетворяет корень  (корень   появился в результате возведения обеих частей в квадрат и является посторонним).

Проверим выполнение достаточного условия экстремума.
Способ первый: определим знаки производной: 

Примечание: используем стандартный метод интервалов: в производную   подставляем какое-нибудь значение, лежащее левее точки, например,  и подставляем какое-нибудь значение из правого интервала – проще всего взять .
Вывод: функция  достигает максимума в точке .
Способ  второй:

, значит, функция   достигает максимума в точке  .
Таким образом, размеры оптимального прямоугольника:

При этом максимальный периметр:

Ответ: оптимальный прямоугольник имеет размеры, при этом максимальный периметр: 

Задача 19. Найти оптимальные размеры банки, которую можно вырезать из данного листа прямоугольной формы с наименьшими отходами.

Решение: составим функцию площади полной поверхности цилиндра , зависящую от его радиуса. Пусть   – радиус дна (и крышки) консервной банки:

рис. 9

Тогда площадь дна: . Столько же и площадь крышки.

По условию объём консервной банки равен  

Выразим через   площадь боковой поверхности банки:

Площадь полной поверхности банки равна сумме площадей дна, крышки и боковой поверхности:

Найдём критические точки:

 – критическая точка.

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, функция   достигает минимума в точке .

Высота оптимальной банки:

Ответ: радиус основания оптимальной банки: , её высота: 

Задача 20. Из листа картона прямоугольной формы необходимо вырезать коробку наибольшей вместимости. Найти размеры коробки. 

Решение: пусть  – сторона вырезаемых по углам квадратов (высота будущей коробки). Тогда смежные стороны дна коробки составят :

рис. 10

Составим функцию объёма коробки:

Найдём критические точки:

Решим квадратное уравнение:

 – критические точки.

Второе значение не удовлетворяет геометрическому смыслу задачи, поскольку суммарная длина отреза сверху и снизу   (ширины листа). 

Проверим выполнение достаточного условия экстремума:

, значит, функция   достигает максимума в точке .

Ответ: размеры оптимальной коробки:
  – высота (сторона вырезаемых по углам квадратов);
– длина;

 – ширина;при этом максимальный объем:.

Геометрические задачи в силу своих особенностей и возможностей допускают различные методы решения. Так, в частности, одна и та же задача может быть решена как методом преобразования плоскости, так и алгебраическими методами. Во многих геометрических экстремальных задачах решение алгебраическими средствами становится очень сложным, а методом преобразования плоскости они решаются проще.[10]

Формирование умения решать задачи на экстремумы с помощью производной – одна из важных целей изучения начал математического анализа в средней школе. Задачи этого типа имеют чёткую прикладную направленность. Действительно, в них представлены все фазы построения и использования математической модели: формализация – составление функции, описывающей условия задачи; решение формализованной задачи – поиск значений аргумента, в которых значение производной функции равно нулю или в которых она не существует (критических точек); интерпретация – анализ критических точек с учётом особенностей задачи.

Вместе с тем следует учитывать, что задачи, которые решаются с использованием производной, во многих случаях оказывается возможным решить и другими, элементарными методами. Сопоставление различных способов решения экстремальных задач, проведенное на нескольких примерах, может оказаться полезным в нескольких отношениях:

- можно сравнить единообразный характер решения задач с помощью производной с приемами, которые приходится выискивать, если производной не пользоваться;

- решение экстремальных задач элементарными методами обычно находится с большим трудом; оно включает элемент догадки и творчества. В то же время использование производной может оказаться принципиально не сложным, но связанным с достаточно большими вычислениями.

 

5. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В ДРУГИХ НАУКАХ

Понятие условие, как философская категория, выражает отношение предмета к окружающим его явлениям, без которых предмет существовать не может.

При проведении психологического анализа ряда условий, отличающихся от нормального функционирования или состояния, выделяют напряженные и экстремальные условия.

Напряженными считают условия, требующие изменения организации совместной деятельности, согласования взаимодействия членов группы в соответствии с измененными обстоятельствами, с одной стороны, и групповыми целями, мотивами, склонностями, установками, стереотипами, с другой.

Для характеристики стрессогенных ситуаций используют следующие показатели: сложные, трудные, особые, эмоциогенные, критические, аварийные, чрезвычайные, экстремальные, сверхэкстремальные, гиперстрессовые и т.п. Единой терминологии для описания рассматриваемых ситуаций не существует.[11]

В одном случае в качестве основного показателя рассматриваются объективные особенности стимуляции (сложные условия), в другом – отношение субъекта к этой стимуляции (трудные условия), в-третьих – преобладающий компонент возникшего состояния (эмоциогенные условия).

Ситуации, вызывающие особую напряженность в работе, как правило, связаны с неординарностью возникающих условий или процессов и зависят от адекватной реакции на них человека, от быстроты в принятии единственно правильного решения. Такие ситуации обязывают человека к решительным действиям, нарушающим привычный ритм жизни и создающим для всего коллектива определенные неудобства. При этом, как правило, возникают  некоторые затруднения в работе и взаимоотношениях. Стресс нарушает общую работоспособность, понижает уровень взаимодействия, однако может быть предупрежден опытом совместной деятельности, активизацией общественных мотивов групповой деятельности, дружбой во взаимоотношениях.

Напряженность ситуаций в совместной деятельности группы может меняться от резкого снижения работоспособности и организованности поведения до противоположного состояния. Заметим, что при этом могут нарушаться сложные действия, тогда как  простые действия сохраняют свою устойчивость.

Характеризуя весь процесс в целом, можно отметить ускорение и увеличение гибкости психических изменений, активизацию психики. Это указывает на неоднозначность влияния напряженных ситуаций на разные группы, их опосредованную выборочность.

Среди наиболее часто встречающихся напряженных условий выделяют  недостаток времени; местное командное соревнование; изменение участников коллективов; замена одних членов коллектива; другими;  значимость конечного результата коллективной деятельности; необычная мотивация коллектива; необходимость выбора решений задач в зависимости от результата действия; отстраненность некоторых участников от деятельности всей группы; конфликт внутри группы.

Экстремальные условия – это условия, создающие опасность для здоровья и жизни человека, который участвует в коллективной деятельности группы. Совместная деятельность в экстремальных условиях требует особых усилий, оптимальной и гибкой организации, наибольшей точности и оперативности взаимодействия, согласованности действий членов группы. В этой связи экстремальными считаются действия в районе аварии природных и техногенных катастроф, в воздухе, подводой, под землей, в космосе.[12]

Среди стрессообразующих факторов, вызванных экстремальными условиями труда, выделяются частичная социальная и сенсорная изоляция; угроза аварий или травм, стрессоры, возникающие при взаимодействии человека с механической средой (техникой); стрессы, возникающие при взаимодействии человека социально-психологической средой коллектива; экономические и бытовые стрессоры; стрессы, связанные с политической обстановкой в стране и за рубежом.

Внутренними (субъективными) факторами, характеризующими среду обитания в зависимости от индивидуальных особенностей людей, их отношения к окружающей среде и восприятия ее, являются: личные установки, степень вовлеченности в деятельность, адаптационные возможности, профессиональный опыт.

Экстремальные ситуации вызывают реакции организма и личности, находящиеся на грани патологических нарушений.

Четкой границы между напряженными и экстремальными условиями (ситуациями, обстоятельствами, обстановкой) не существует. Если экстремальные условия понимаются как крайние, необычные по трудности, сложности, то напряженные условия – как неослабевающие, требующие сосредоточения сил, внимания. Поэтому напряженность в системе может быть интерпретирована как реакция на экстремальные условия. И наоборот, экстремальность в системе может трактоваться как вынужденное напряжение ее возможностей.

На возникновение экстремальных ситуаций влияют условия деятельности, например, для специалистов МЧС России – ее содержание, структура, индивидуально-психологические особенности спасателей, их мотивация, опыт, знания и т. п. В этой связи выделяют объективные факторы экстремальных ситуаций и субъективные факторы – индивидуально-психологические особенности личности. Условия экстремальных ситуаций требуют мобилизации обычных буферных и аварийных резервов организма.

Успех в деле предупреждения и разрешения опасных ситуаций во многом зависит от того, насколько точно и своевременно будут выявлены все источники роста экстремальных ситуаций и их суммарные показатели. Для этого применяют различные методы и приемы. Например, используя факторный анализ, можно определить интегральный коэффициент напряженности (чрезвычайной ситуации).

где К — коэффициент напряженности;

 — большой объем работы (процент неудовлетворенности);

 — мало времени для восстановления (процент неудовлетворенности);

 — другие факторы;

n — количество факторов, вызывающих неудовлетворенность более чем у половины обследованных.

Так, значение К=0,7 соответствует неудовлетворенности более чем 70% от количества опрошенных, что свидетельствует об опасном уровне перегрузки специалистов работающих в опасных точках ЧС.

Диагностика уровня переутомления специалиста позволяет выявить основной комплекс социальных проблем, ранжировать их по степени обостренности, определить возможность принятия необходимых решений и выработать рекомендации по устранению возникающих проблем, усталости и профессиональных перегрузок. (рис. 11)

рис. 11. График оценки напряженности

Где — показатели напряженности;

 — критическая точка, за которой присвоевременной диагностике устранения факторов напряжённости идет спад.

Методом экспериментальной оценки напряженности можно определять и профессиональную пригодность в поисково-спасательных работах.

На эффективность деятельности спасательных подразделений в экстремальных ситуациях также влияет и мотивация. Мотивы деятельности руководителя зависят от особенностей служебных задач; объективных ситуаций, складывающихся при проведении аварийно-спасательных работ; индивидуально-психологических особенностей руководителя; характера отношений, установившихся в подразделении между руководителями различных степеней; значимости решаемых задач и т. д.

Все мотивы деятельности руководителей делятся на две большие группы: направленные на себя и направленные на деятельность. Мотивы, направленные на деятельность, являются результатом действия общественно значимых потребностей. Деятельность руководителя при выполнении служебно-оперативных задач мотивируется, в первую очередь, приказом. Но в ней всегда могут быть и другие мотивы.

Руководитель спасательного подразделения, у которого мотивы в большей степени направлены на выполнение служебной задачи, видит, прежде всего, процесс, цели и результаты деятельности, а потом уже себя в ней. Это следствие осознания ответственности, развитого чувства долга, стремления во что бы то ни стало выполнить задачу. Увлеченность делом проявляется у таких руководителей в самостоятельности, стремлении к творчеству, разумной инициативе, устойчивом интересе к самому процессу деятельности.

Если у специалиста-спасателя преобладают мотивы с направленностью на себя, а потом уже на деятельность и ее результаты, то мотивация выражает стремление к психологическому и социальному благополучию и носит личностно-престижный характер. Даже реальная угроза в осуществлении деятельности и возможный срыв ее оцениваются с личной точки зрения – как это отразится на дальнейшей деятельности, на отношении руководителей; какое поощрение или взыскание ожидает. Отличное выполнение должностных обязанностей является для таких руководителей в большей степени средством достижения личного благополучия, а не смыслом деятельности. В относительно простой обстановке эффективность деятельности руководителя с мотивами на деятельность и на себя не имеет больших различий. Однако с возрастанием трудностей в служебно-оперативных ситуациях руководители с мотивами, ориентированными на деятельность, чаще достигают успеха в решении служебно-оперативных задач по сравнению с руководителями, мотивированными на себя.[13]

Практика показывает, что руководители с мотивацией, направленной на себя, в период подготовки к выезду в район аварийно-спасательных работ прилагают значительно меньше усилий для своей подготовки и подготовки своих сотрудников к выполнению служебно-оперативных задач, чем руководители с более выраженной мотивацией на деятельность.

В классификации мотивов важна такая динамическая характеристика, как импульсивность действий. На одном полюсе этой шкалы мотивы достижения успеха (высокая импульсивность), на другом – мотивы исключения неудачи (низкая импульсивность). Сама по себе импульсивность действий не дает нравственной определенности мотивам, но она может сказываться на результатах деятельности и актуальных эмоциях. Как правило, при мотивах, направленных, прежде всего на себя, эффективность деятельности снижается, и возникают отрицательные эмоции.[14]

Таким образом, высокая импульсивность –это стремление к цели, несмотря на препятствия, зачастую связанные со значительным риском.

Низкая импульсивность – это минимизация неудачи, стремление достичь цели без риска, наверняка, чрезмерная осторожность.

Импульсивность в экстремальных ситуациях у одного и того же человека имеет устойчивый характер. Из всего выше изложенного следует, что наибольшее влияние на эффективное выполнение профессиональных задач оказывается при преобладании у руководителей мотивов, направленных на эмоции, чем при мотивах, направленных на деятельность.

Леонард Эйлер, один из величайших математиков, говорил: «В мире не происходит ничего, в чем не был виден смысл какого–нибудь максимума или минимума». Приведенные примеры подтверждают положение о том, что окружающий мир устроен по экстремальным законам, а задачи, которые мы решаем на уроках математики, являются их отражением. 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Среди различных математических задач часто встречаются задачи, в которых требуется найти наилучший вариант, кратчайший путь, наибольшее число с заданными свойствами и т. п. В математике таким проблемам соответствует целый класс задач, в которых при заданных ограничениях нужно отыскать наибольшее или наименьшее значение некоторой функции. Такого рода задачи принято называть экстремальными. Они играют важную роль в нашей жизни, помогая находить наилучшие из возможных решений, предстающих перед нами вопросов.

Большая роль отводится этому вопросу и в школьном курсе математики.

В соответствии с требованиями государственных стандартов общего образования школьник должен иметь «понятие о производной функции, физическом и геометрическом смысле производной, уметь составлять уравнение касательной к графику функции, вычислять производные основных элементарных функций, применять производные к исследованию функций и построению графиков, использовать производные при решении уравнений и неравенств, текстовых, физических и геометрических задач, нахождении наибольших и наименьших значений...»

Но, как показывает практика, не все выпускники общеобразовательных школ могут правильно решить задачи первой части ЕГЭ (7,12), которые направлены на выявление сформированности соответствующих предметных действий, умений применять понятие производной.

Несмотря на такую ситуацию, в элементарной математике имеется целый набор приемов решения подобных задач. Многие задачи решаются достаточно просто, необходимо лишь освоить механизмы их решения. Поэтому в данной курсовой работе основное внимание было уделено использованию производных при решении текстовых, физических и геометрических задач, а также применению производных для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. 

В процессе подготовки курсовой работы была изучена литература по данной теме, рассмотрены исторические задачи и их решения, проанализированы и обобщены различные подходы к решению задач на экстремум.

Считаю, что поставленные в курсовой работе задачи выполнены, цель достигнута.

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.                     Аксенова М. Энциклопедия для детей. Математика. – М.: Мир энциклопедий Аванта +, 2007.

2.                     Возняк Г. М., Гусев В. А.  Прикладные задачи на экстремумы. - М.: Просвещение, 1985.

3.                     Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе/ Сост. Е. Г. Глаголева и О.С. Ивашев — Мусатов. - М.: Просвещение, 1981г.

4.                     Егерев В.К., Зайцев В.В. и др.; Под ред. М.Сканави. – М.: Издательство Оникс, 2009.

5.                     Ильин В.А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа (часть 1) 4-е издание, 1982.

6.                     Кушниренко, В. Н. Экстремальные задачи в экономике. Решения задач. Задания контрольной работы. Часть 2 : Учебное пособие / В. Н. Кушниренко .— 2010

7.                     Макаркин В.М., Апайчева Л.А. Метод Лагранжа решения экстремальной задачи // Международный студенческий научный вестник. – 2016. – № 3-3.

8.                     Мордкович А.Г. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) для 10 класса в двух частях. М.: – Мнемозина, 2008.

9.                     Поведение и саморегуляция человека в условиях стресса / В.Л. Марищук, В.И. Евдокимов – СПб.: Издательский дом «Сентябрь», 2001.

10.                 Поведение и саморегуляция человека в условиях стресса / В.Л. Марищук, В.И. Евдокимов – СПб.: Издательский дом «Сентябрь»,

11.                 Просветов Г.И. Методы оптимизации. Задачи и решения. М.: Альфа-Пресс, 2009.

12.                 Протасов В.Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. М.: Издательство Московского центра непрерывного образования, 2005.

13.                 Психология экстремальных ситуаций: Хрестоматия / сост. А.Е. Тарас, К.В. Сельченок. – М.: АСТ, Минск: Харвест, 2001.

14.                 Родионов Е.М., Синякова С.Л. Пособие для поступающих в ВУЗы. Математика. – М.: Ориентир, 2007.

15.                 Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1), 1962.

16.                 Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1), 1962.

17.                 Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи». - М.: Просвещение - 1989г.

18.                 Шарыгин И.Ф., Голубеев В.И., Учебное пособие для 11 класса общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 1995.