Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Курсовая работа: "Метод координат и его применение"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Курсовая работа: "Метод координат и его применение"

библиотека
материалов









Метод координат и его применение

Курсовая работа


















Содержание

Введение 3

- Исследовать использование «метода координат» при решении геометрических задач; 5

- установить какой из методов решения лучше; 5

- освоить координатный метод решения задач. 5

2.Метод координат на плоскости 6

2.3. Полярная система координат на плоскости 13

3.Метод координат в пространстве 14

3.1. Декартова прямоугольная система координат в пространстве 14

3.2. Цилиндрическая система координат в пространстве 16

3.3. Сферическая система координат 18

Сферическая система координат определяется так: 19

Заключение 32

Список литературы 33

Приложение 1. Задачи, решаемые методом координат с решениями. 35

Введение

Метод координат имеет применение во многих областях современной человеческой деятельности, он лежит в основе таких наук, как механика, геодезия, астрономия.

Первоначально идея координат зародилась в древности в связи с потребностями астрономии, географии, живописи. Так, на стене одной из древнеегипетских погребальных камер была обнаружена квадратная сетка (палетка), которой пользовались для увеличения изображений. Древнегреческий астроном Клавдий Птолемей применил географические координаты для определения местонахождения мореплавателя. Идеей координат пользовались в середине века для определения положения светил на небе, для определения места на поверхности Земли. Прямоугольной сеткой пользовались художники эпохи Возрождения. Применять координаты в математике впервые стали Ферма и Декарт. В 1637 году вышла книга Декарта «Рассуждения о методе», в которой наряду с общими философскими рассуждениями о материи значительное место уделяется универсальной математике. В разделе этой книги «Геометрия» Декарт предложил новый метод - метод координат, который позволил переходить от точки к паре чисел, от линии к уравнению, от геометрии к алгебре. Главное достижение Декарта - построение аналитической геометрии, в которой геометрические задачи переводились на язык алгебры при помощи метода координат. Но у Декарта в точном виде еще не было того, что сегодня называется декартовой системой координат. Декарт начал с того, что перевел на алгебраический язык задачи на построение циркулем и линейкой, и при этом многие трудные геометрические задачи становятся почти тривиальными.

Немалой заслугой Декарта было введение удобных обозначений, сохранившихся до наших дней: латинских букв x, y, z - для неизвестных; a, b, c - для коэффициентов, x2, y5, a7- для степеней.

Основное новшество Декарта - введение переменных величин как координатных отрезков переменной длины, характеризующих положение точек на плоскости и своими концами описывающих при движении различные кривые.

Идея геометрии Декарта состоит в том, что геометрический объект задается уравнением, связывающим переменные величины. По свойствам уравнения судят о свойствах геометрического объекта.

Декарт считается одним из основателей новой математики. Его имя сохранили термины: «декартовы координаты», «декартов лист», «правило знаков Декарта», «метод неопределенных коэффициентов Декарта».

Развитие идей Декарта впоследствии привело к появлению новой ветви математики - аналитической геометрии. В ней точка определяется системой чисел (ее координат), и, следовательно, геометрические факты записываются в виде соотношений между координатами.

Основные понятия в аналитической геометрии взяты из обычной, но записываются языком алгебры, становящейся вследствие этого средством исследования геометрических форм.

Характерной особенностью метода координат является определение геометрических фигур уравнениями, что позволяет производить геометрические исследования и решать геометрические задачи средствами алгебры.

Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры — единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Можно сказать, что аналитическая геометрия занимает такое же положение по отношению к элементарной геометрии, какое алгебра занимает относительно арифметики. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат. Следует, однако, предостеречь читателя от пренебрежительного отношения к приёмам элементарной геометрии, так как в отдельных случаях они позволяют находить изящные решения, более простые, чем получаемые методом координат.

Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

Таким образом, метод координат имеет важное практическое значение и следовательно цель данной работы заключается в следующем: изучить основы «метода координат» и его применение.

Задачи данной работы:

- Исследовать использование «метода координат» при решении геометрических задач;

- установить какой из методов решения лучше;

- освоить координатный метод решения задач.

  1. Сущность метода координат

Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач.

Метод координат – это универсальный метод. Он обеспечивает тесную связь между алгеброй и геометрией, которые, соединяясь, дают «богатые плоды», какие они не могли бы дать, оставаясь разделенными.

В некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан, правда, с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. И только достаточный опыт позволяет выбирать систему координат наиболее целесообразно.

  1. Метод координат на плоскости


2.1. Аффинная система координат на плоскости.

Определение. Аффинная система координат (или аффинным репером) на плоскости называется упорядоченная тройка точек этой плоскости не лежащих на одной прямой: R={О, Е1, Е2}.

Рассмотрим тогда векторы: е1= ОЕ1 и е2 = ОЕ2 (рис. 1). Поскольку точки О, Е1, Е2, не лежат на одной прямой, поэтому векторы е1и е2 не коллинеарны, следовательно, они образуют базис совокупности V2 всех векторов плоскости. Таким образом, мы приходим к упорядоченной тройке R={О, е1, е2}, состоящей из точки О и двух неколлинеарных векторов е1и е2.

Оhello_html_m2bc4162a.gifбратно если дана упорядоченная тройка R={О, е1, е2}, состоящая из точки О и двух неколлинеарных векторов е1и е2, то от неё легко перейти к тройке R={О, Е1, Е2}, отложив векторы е1и е2 от точки О и взяв соответственно концы этих векторов Е1 и Е2: е1= ОЕ1 и е2 = ОЕ2. Ясно, что точки О, Е1, Е2, не будут лежать на одной прямой, так как векторы е1и е2 не коллинеарны.

Таким образом, мы приходим к выводу, что задание на плоскости системы координат как упорядоченной тройки точек R={О, Е1, Е2}, не лежащих на одной прямой, равносильно заданию её как упорядоченной тройки R={О, е1, е2}, состоящей из точки О и двух неколлинеарных векторов е1и е2. В результате в геометрическую картину, составленную из точек, вводятся векторы.

Первая точка О в системе координат R называется началом системы координат, а векторы е1 и е2 – её базисными или координатными векторами. Прямая ОЕ1 с направляющим вектором е1 называется координатной осью Ох, или осью абсцисс, а прямая ОЕ2 с направляющим вектором е2 называется координатной осью Оу, или осью ординат.

Пусть на плоскости задана система координат R={О, е1, е2} и произвольная точка М. Вектор ОМ = rм называется радиус-вектором точки М относительно точки О (или системы координат R).

Определение. Координатами точки М в системе координат R={О, е1, е2} называются координаты её радиус-вектора ОМ в базисе е1, е2, то есть коэффициенты х, у в его разложении в линейную комбинацию векторов базиса: М(х, у)R ОМ = хе1+ уе2.

Итак, понятие координат точки тесно связывается с понятием координат вектора, а понятие системы координат для точек – с понятием базиса векторов. «Привязывая» векторный базис к фиксированной точке плоскости (началу координат), мы приходим к системе координат для точек. Если тот же векторный базис «привязать» к другому началу, мы получим другую систему координат для точек.

Векторы а и в коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.

Каждой точке М плоскости поставим в соответствие вектор ОМ. Координаты вектора ОМ называются координатами точки М в данной аффинной системе координат. При этом если ОМ = (х, у), то пишут: М (х, у).

Пусть прямые, проведенные через точку М параллельно осям координат, пересекают оси координат соответственно в точках М1 и М2 (рис. 2).

Тогда имеем ОМ = ОМ1 + ОМ2.

С другой стороны, ОМ = хе1+ уе2.

Следовательно, х =ОМ1 / е, у = ОМ2 / е2.

Точки Е1 и Е2имеют координаты: Е1 (1; 0), Е2 (0;1).

Если на плоскости даны две точки А (х1, у1) и В (х2, у2), то координаты вектора АВ вычисляются так:

АВ = ОВ - ОА = (х2 - х1, у2 - у1).

Пусть точка С делит отрезок АВ в данном отношении: hello_html_m353c02ad.gif

Тhello_html_m78a7b492.gifогда hello_html_m350745f4.gif. Из правил действии над векторами в координатах следует, что координаты точки С определяются формулами:

hello_html_m5875b553.gif, hello_html_m2428b604.gif

В частности, если С – середина отрезка АВ, то

hello_html_m469df085.gif, hello_html_m1beb60d9.gif


Рассмотрим различные способы задания прямой на плоскости.

Пусть требуется написать уравнение прямой l, заданной в некоторой аффинной системе координат точкой М11, у1) и ненулевым вектором hello_html_599aaf37.gif, параллельным прямой l (рис. 2).

Вектор а будет называться направляющим вектором прямой l .

Пусть М (х, у) – произвольная точка прямой l . Тогда, согласно условию, векторы hello_html_35eddbd9.gif и а коллинеарны тогда и только тогда, когда выполняется равенство hello_html_m4b85187a.gif, или

ОМ = ОМ1 + tа,

где t – некоторое число (параметр). Это соотношение в координатах запишется так:

hello_html_m5ca662fc.gif

Полученные уравнения называют параметрическими уравнениями прямой.

При hello_html_m5913338d.gif и hello_html_1b2f403f.gif эти уравнения равносильны следующему уравнению первой степени:

hello_html_m3a2e4027.png

Если прямая задана двумя различными точками: А 1, у1) и В (х2, у2), то вектор АВ = (х2 - х1, у2 - у1) является направляющим вектором прямой l. Следовательно, при х1hello_html_542e4a10.pngх2 и у1hello_html_542e4a10.pngу2 получаем уравнение

hello_html_618f42f.gif,

которое называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

Вhello_html_m1741a4e9.png частности, если прямая l проходит через точки А (а, 0) и В (0, b), отличные от начала координат, то уравнение прямой принимает вид

hello_html_m6a18ccc.gif






Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках.

Исключая из параметрических уравнений прямой параметр t. При hello_html_m5913338d.gif получим уравнение:

у- у1 = k (х- х1),

где hello_html_15b26cd5.gif. Число k называют угловым коэффициентом прямой. В частном случае, при х1 = 0 и у1 = b, уравнение принимает вид

hello_html_cb0e4aa.png

Если же hello_html_m5c2c45bf.gif, то прямая l параллельна оси Оy, а её уравнение запишется так:

х = х1.

Таким образом, всякую прямую на плоскости можно задать уравнение первой степени Ах + Ву + С = 0, где хотя бы одно из чисел А и В отлично от нуля. Верно и обратное предложение: всякое уравнение первой степени Ах + Ву + С = 0 есть уравнение некоторой прямой в аффинной системе координат на плоскости.

При hello_html_mba91cb1.gif уравнение Ах + Ву + С = 0 приводится к виду у = kх + b, где

hello_html_69a5ec7f.gif, hello_html_4bfa7f4f.gif

Если же В = 0 и hello_html_53c5a75e.gif, то оно принимает вид х = а, где hello_html_e1721fa.gif.


2.2. Декартова система координат на плоскости. Прямая и окружность.

Определение. Декартовой (или ортонормированной, или прямоугольной) системой координат на плоскости называется такая аффинная система координат, базисные векторы которой ортонормированны, то есть имеют единичные длины и ортогональны (перпендикулярны). Обозначение R = {O, i, j}; так что |i| = |j| = 1, i перпендикулярен j.

Пhello_html_m84af9a3.gifри решении задач, в которых существенную роль играет понятие расстояния между двумя точками, применяется, декартова или прямоугольная система координат.

Пусть даны две точки: А 1, у1) и В (х2, у2). Тогда, как известно,

hello_html_m3aae2d66.png.

Пользуясь формулой, запишем уравнение окружности с центром в точке С (a, b) и радиусом r:

hello_html_m7d5dc51e.png.

Вышеизложенная теория прямой справедлива и для прямоугольной системы координат. В частности, при решении задач пользуются уравнением прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку А 1, у1):

hello_html_m4cb3ad5b.png.

Отсюда следует, что угловой коэффициент прямой, заданной двумя точками А 1, у1) и В (х2, у2), вычисляется по формуле

hello_html_179a88cb.png

Уhello_html_5192c21c.gifгловой коэффициент в прямоугольной системе координат имеет следующий геометрический смысл: hello_html_m773353f3.gif, где hello_html_2e28ff68.gif – величина угла от оси абсцисс до прямой l.

Пусть прямые l1 и l2 заданы своими уравнениями с угловыми коэффициентами: у = k1х + b1 и у = k2х + b2.

Если l1 || l2, то hello_html_2e60b2.gif, поэтому k1 = k2, и обратно, т.е. условие k1 = k2 выражает признак параллельности прямых l1 и l2.

Введем формулу для вычисления угла hello_html_6f95504e.gif между пересекающимися прямыми l1 и l2 (рис. 5).

Так как hello_html_5c37a666.gif и hello_html_5f013639.gif, hello_html_m3098f7fe.gif, то

hello_html_5ef1e2dc.png

или

hello_html_m17c76873.png

Полученную формулу для вычисления угла от прямой l1 до прямой l2 можно записать и так:

hello_html_6048105e.png

Отсюда следует, что hello_html_m5c8a0afd.gif тогда и только тогда, когда k1k2 = - 1, т.е. условие k1k2 = - 1 выражает признак перпендикулярности прямых l1 и l2.

Приступая к решению геометрической задачи, следует рационально выбрать систему координат, присоединить её к данной фигуре наиболее естественным образом. Желательно, чтобы данные точки располагались на осях координат, тогда среди координат будут нули. Это позволит упростить вычисления.

2.3. Полярная система координат на плоскости

Уhello_html_2e1d3fe1.pngравнения многих кривых удобно задавать не в декартовой системе, а в других системах координат. Координатами называются числа, при помощи которых можно определить положение точки. Например, положение точки на поверхности земного шара определяются ее географическими координатами – шириной и долготой. Одной из важных систем координат на плоскости является полярная система координат.

Полярная система координат задается точкой О и лучом ОА с началом в этой точке. Точка О называется полюсом, ось ОА – полярной осью. Полярными координатами точки М называются ее расстояние r от полюса и угол hello_html_m5984cac.png, который направленный отрезок ОМ образует с полярной осью.

Координата r называется полярным радиусом, а координата hello_html_m5984cac.png – полярным углом точки М. При этом употребляют запись М(r, hello_html_m5984cac.png) . Из определения полярных координат следует, что rhello_html_m6a934b57.png0. Координата hello_html_m5984cac.png определяется неоднозначно, так как координатам (r, hello_html_m5984cac.png) и (r, hello_html_m7a819f03.png), соответствует одна и та же точка. Если наложить на hello_html_m5984cac.png условие 0hello_html_189fda86.pnghello_html_348b10b7.png или hello_html_m253ac87f.png, то координата hello_html_m5984cac.png становится однозначной. При hello_html_75346247.png  точка hello_html_m25eaa0a5.png совпадает с полюсом, а координата hello_html_m5984cac.png не определена. Кривые могут задаваться уравнениями в полярных координатах так же, как они задаются уравнениями в декартовых координатах.1

3.Метод координат в пространстве

3.1. Декартова прямоугольная система координат в пространстве

Координаты точек и векторов.

Декартова прямоугольная система координат в пространстве задается тремя попарно перпендикулярными осями координат с общим началом:

Ох – ось абсцисс, Оу – ось ординат, Оz – ось аппликат.

Плоскости Оху, Оуz, Ozx называются плоскостями координат. Система координат Охуz называется правой, если для наблюдателя, стоящего на плоскости Оху и расположенного так, что ось Оz направлена от ног к голове, кратчайший поворот, совмещающий положительное направление оси Ох с положительным направлением оси Оу, происходит против часовой стрелки. Если же такой поворот происходит по часовой стрелке, то система называется левой. Названия "правая система" и "левая система" объясняются тем, что оси координат правой системы направлены как большой, указательный, средний палец правой руки, расположенные попарно перпендикулярно друг другу, а оси левой системы – как пальцы левой руки.2

Радиус-вектором точки М относительно декартовой прямоугольной системы координат Охуz называется вектор hello_html_m5900cb4a.png. Координатами точки М относительно декартовой прямоугольной системы координат называются проекции ее радиус-вектора на оси координат:

х=Прх hello_html_5c608cd4.png,    у=Пру hello_html_5c608cd4.png,    z=Прz hello_html_5c608cd4.png, т.е. скалярные величины направленных отрезков hello_html_e728750.png на осях Ох, Оу, Оz:

х=(ОР)х, у=(ОQ)y, z=(OR)z,

где P, Q, R – проекции точки М на оси Ох, Оу, Оz соответственно. При этом пишут hello_html_m2b536ac5.png

Существует определения координат вектора.

Определение. Координатами вектора hello_html_1a979bcc.png относительно декартовой прямоугольной системы координат Охуz называются его проекции на оси координат: ах=Прхhello_html_1a979bcc.png, ау=Пруhello_html_1a979bcc.png, аz=Прzhello_html_1a979bcc.png. При этом употребляется запись hello_html_1a979bcc.png=( аху, аz).

Координаты вектора равны разностям между координатами его конца и начала: если hello_html_m26e1b4fd.png , то

hello_html_33a6232f.png, hello_html_1107c03b.png, hello_html_44742c0c.pngвыражение координат вектора через координаты его начала и конца. Действительно, hello_html_203f6e29.png. Следовательно,

hello_html_m286f4fcc.png.

Аналогичным образом можно найти выражения для hello_html_m4b4222eb.png, hello_html_3d589d55.png.

3.2. Цилиндрическая система координат в пространстве3

Цилиндрические координаты — трехмерный аналог полярных, в котором точка P представляется трехкомпонентным кортежем (r,θ,h). В терминах декартовой системы координат,

  • hello_html_397b1d1a.png(радиус) — расстояние от оси z к точке P,

  • hello_html_49f9a822.png(азимут или долгота) — угол между положительной («плюсовой») частью оси x и прямой линии, мысленно проведённой от полюса до точки P, спроектирован на xy-плоскость

  • h (высота) — расстояние (с учетом знака) от xy-плоскости до точки P.

Цилиндрические координаты полезны для изучения систем, симметричных вокруг некой оси. Например, длинный цилиндр в декартовых координатах имеет уравнение 2x + 2y = 2c, тогда как в цилиндрических оно выглядит как r = с

Пример: Найти центр тяжести однородного тела, ограниченного сферой hello_html_m3ff3011f.gif и параболой hello_html_2f68c37c.gif.

Вhello_html_10624fae.gifоспользуемся формулами hello_html_m2ca5276b.gif, hello_html_8027b67.gif, hello_html_6d2dcbe0.gif,

где ρ – плотность тела в точке (x,y,z), а m – масса тела:hello_html_5043752f.gif. в которых положим ρ=1. Тело симметрично, центр тяжести лежит на оси Oz, поэтому hello_html_122ec832.gif и необходимо найти аппликату центра тяжести тела, т.е. hello_html_5d2fe402.gif. Т.к. тело симметричное, то в цилиндрической системе координат определяющие неравенства запишем в виде (рассмотрим первую четверть координатной системы.):

(V1): hello_html_m72b9ce98.gif, hello_html_m377c0fef.gif, hello_html_22e4f484.gif, а интеграл в виде hello_html_30aadce9.gif

hello_html_m5dbe340b.gifСледовательно, hello_html_18158f02.gif. Таким образом, центр тяжести данного тела находится в точке hello_html_7538c3c4.gif.

Замечание. Неравенства, определяющие область V1 получены следующим образом. Уравнение hello_html_4426b625.gif определяется пересечением параболоида hello_html_2f68c37c.gif и сферы hello_html_m3ff3011f.gif. Откуда, hello_html_m50bc7599.gif, z=1 и в цилиндрической системе координат hello_html_m1cba7663.gif. Следовательно, hello_html_m377c0fef.gif; функции hello_html_754acc95.gif, hello_html_m1057e1c4.gif; а hello_html_22e4f484.gif.

Необходимо отметить, что при решении данной задачи не было необходимости выполнять чертеж. Достаточно записать неравенства, определяющие область V.


hello_html_mc6bd4c1.png3.3. Сферическая система координат


Сферическая система координат определяется так4:

Для любой точки А, с прямоугольными координатами (x ; у, z) не совпадающий с началом координат, проводится радиус- вектор ОА, затем проецируется на плоскость xOy, тогда ОА1 =пр(хоу)ОА = угол отсчитывается от оси Ох, а угол в плоскости ZOA от оси Оz. Тогда три параметра ( , , ) образуют сферическую систему координат.

Величину называют сферическим радиусом, - широтой, - долготой. Для 0 широта и долгота неопределенна.

При =90 сферическая система координат вырождается в полярную.

Если полюс и полярная ось совпадают соответственно с началом O и осью Ox прямоугольной системы координат, то при условии, что для измерения , x, y, z использованы равные единицы масштаба, декартовы и сферические координаты связаны соотношениями.

hello_html_5dc5b8db.gif.

Стереографической проекцией называется проекция сферы из одного полюса (скажем южного) на касательную плоскость к другому полюсу (северному). Стереографическая проекция является взаимно однозначным отображением сферы с выколотой точкой на плоскость. С ее помощью можно получать плоское изображение сферы (например, земной поверхности или « небесной сферы»), и поэтому ею с давних времен пользуются астрономы и картографы.

Иhello_html_6a3804ff.pngзобретение стереографической проекции обычно приписывают греческому астроному Гиппарху, жившему 160-125 гг. до н. э.; впоследствии, ее использовали навигаторы, кристаллографы, геологи и всесторонне изучали математики. Стереографическая проекция лежит в основе работы астролябии.

Первое свойство сферической проекции - оно сохраняет углы между линиями. Рассмотрим, например, пересечение линий Г1 и Г2 на сфере. Угол ( Г1, Г2) измеряется углом между большими окружностями сферы, касающимися кривых Г1, Г2 в точке их пересечения или углом между касательными к этим окружностям прямыми. Пусть Г1 и Г2 перешли при проекции в 12 . Нужно доказать равенство. 1 2) = ( g1 ; g2).

Не нарушая общности, можно предположить, что Г1 проходит через полюсы сферы. Тогда нужно доказать равенство углов UPW и UPW.

Для этого рассмотрим плоскость = (МSV), параллельную и проходящую через полюс S, и плоскость (MPV), касающуюся сферы в точке Р. Эти плоскости пересекаются по прямой МV и значит, они симметричны относительно плоскости МОV. Отсюда следует равенство углов UPW и TSR. Но из параллельности плоскостей и сразу следует UPW =TSR, откуда UPW=UPW.

hello_html_868b7f.pngВторое свойство стереографической проекции: окружности на сфере переходят в прямые или окружности на плоскости .

Сразу видно, что окружность на сфере, проходящая через полюс S, отображается на прямую. Покажем, что все другие окружности на сфере стереографическая проекция переводит в окружности на . Для этого вспомним, что плоская кривая, составляющая прямые углы со всевозможными лучами, исходящими из одной точки, является окружностью.

Пусть окружность l проектируется на кривую l’, Pl и P’ - образ Р. Пусть Q - точка пересечения перпендикуляра к плоскости окружности l , проходящего через ее центр I, и касательной QP к сфере в точке P. Пусть Q’ - точка пересечения SQ с . Ясно, что QP l; значит, по первому свойству, QP l’ и в силу замечания из предыдущего абзаца это значит, что l’ - окружность.

Третье свойство стереографической проекции: при вращении сферы относительно оси, проходящей через точки S и N, стереографическая проекция произвольной точки P на сфере будет вращаться около (SN). Другими словами, параллели сферы проектируются в концентрические окружности плоскости , и проекция вращающейся по параллели точки станет вращаться по такой окружности.

Четвертое свойство стереографической проекции; если Р’ - проекция точки Р, то |SP| |SP’| = d2 , где d/2 - радиус сферы. Доказательство легко получить из подобия прямоугольных треугольников SPN и SPN.

Сhello_html_m48a88fcc.pngтереографическая проекция и её свойства лежат в основе конструкции и принципа действия астролябии. Название этого прибора означает «схватывают звезды». Схватывание это состоит в измерении координат интересующего нас светила. Сам прибор - сложная металлическая конструкция; он состоит из «паука», вращающегося по криволинейной координатной сетке - «паутине».

Пример. Найти объем, ограниченный поверхностями hello_html_m70149e6.gif, hello_html_m78433f1c.gif, hello_html_m2d2cb2a3.gif, где α<β.

Область изменения переменных характеризуется неравенствами: hello_html_m2be8e330.gif, hello_html_m60909e43.gif.

Решение: Введем сферические координаты по формулам: hello_html_3b4b30a5.gif, hello_html_7026b106.gif, hello_html_64bcb3c7.gif.

При этом якобиан удобно вычислить по формуле J=J1J2, где J1 –якобиан преобразования hello_html_5f5040c6.gif, hello_html_m5a2adae3.gif, z=z, равный ρ (J1= ρ), а J2 - якобиан преобразования hello_html_50cd1320.gif, hello_html_3b259489.gif, φ=φ, равный r. Таким образом, hello_html_m7728332f.gif.

Область новых переменных характеризуется следующими неравенствами: hello_html_5a7c4198.gif, hello_html_214b3c60.gif.

Так как z>0, то и cos θ>0, поэтому окончательно имеем неравенства: hello_html_5a7c4198.gif, hello_html_196db637.gif.

Таким образом, при любых данных r и θ переменное φ может иметь любые значения от 0 до 2π, переменное r может при данном θ изменяться от 0 до 2acosφ, а угол θ может изменятся от α до β. Итак, объем вычисляем по формуле:

hello_html_m6b6dceaa.gif


4. Уравнения геометрических мест точек


4.1. Определение геометрического места точек

Геометрическое место точек – это множество всех точек, удовлетворяющих определённым заданным условиям.

Пример 1. Срединный перпендикуляр любого отрезка есть геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от концов этого отрезка. Пусть PO AB и AO = OB:

Тогда, расстояния от любой точки P, лежащей на срединном перпендикуляре PO, до концов A и B отрезка AB одинаковы и равны d. Таким образом, каждая точка срединного перпендикуляра отрезка обладает следующим свойством: она равноудалена от концов отрезка.

Пример2. Окружность - это геометрическое место точек (т.е. множество всех точек), равноудалённых от её центра (одна из этих точек – А).

Тогда отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо её точкой, называется радиусом и обозначается r или R. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом. Часть окружности AmB, называется дугой. Прямая PQ, проходящая через точки M и N окружности, называется секущей, а её отрезок MN, лежащий внутри окружности - хордой. Хорда, проходящая через центр круга например, BC называется диаметром и обозначается d или D. Диаметр – это наибольшая хорда, равная двум радиусам (d = 2r). Предположим, дана точка А (7; 3; 5); эта запись означает, что точка А определяется координатами х = 7, у = 3, z = 5. Если масштаб для построения чертежа задан или выбран, то откладывают на оси х от некоторой точки О отрезок ОАХ, равный 7 единицам, и на перпендикуляре к этой оси, проведенном из точки Ах, отрезки АХА' = 3 ед. и АХА" = 5 ед. Получаем проекции А' и А". Для построения достаточно взять только ось х. Принимая оси проекций за оси координат, можно найти координаты точки по данным ее проекциям. Например, отрезок ОАХ - выражает абсциссу точки А, отрезок АХА' - ее ординату, отрезок АХА" - аппликату. Если задается лишь абсцисса, то этому соответствует плоскость, параллельная плоскости, определяемой осями у и z. Действительно, такая плоскость является геометрическим местом точек, у которых абсциссы равны заданной величине. Если задаются две координаты, то этим определяется прямая, параллельная соответствующей координатной оси.

Например, имея заданными абсциссу и ординату, получаем прямую, параллельную оси z (это прямая АВ). Она является линией пересечения двух плоскостей _ и _, где _ - геометрическое место точек с равными ординатами. Прямая АВ служит геометрическим местом точек, у которых равны между собой абсциссы и равны между собой ординаты. Если задаются все три координаты, то этим определяется точка. Точка К, полученная в пересечении трех плоскостей, из которых _ есть геометрическое место точек по заданной абсциссе, _ - по заданной ординате и _ - по заданной аппликате. Точка может находиться в любом из восьми октантов. Следовательно, нужно знать не только расстояние данной точки от той или иной плоскости координат, но и направление, по которому надо это расстояние отложить; для этого координаты точек выражают относительными числами.


4.2. Определение уравнения геометрического места точек

Уравнением линии называется уравнение с переменными x и y, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и только они.

Входящие в уравнение линии переменные x и y называются текущими координатами, а буквенные постоянные - параметрами.

Чтобы составить уравнение линии как геометрического места точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:

1) взять произвольную (текущую) точку M(x, y) линии;
2) записать равенством общее свойство всех точек M линии;
3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через текущие координаты точки M(x, y) и через данные в задаче.

В прямоугольных координатах уравнение прямой на плоскости задается в одном из следующих видов:

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b, (1)

где k - угловой коэффициент прямой, т. е. тангенс того угла, который прямая образует с положительным направлением оси Ox, причем этот угол отсчитывается от оси Ox к прямой против часовой стрелки, b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат. При b = 0 уравнение (1) имеет вид y = kx и соответствующая ему прямая проходит через начало координат.

Уравнением (1) может быть определена любая прямая на плоскости, не перпендикулярная оси Ox.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом разрешено относительно текущей координаты y.

2. Общее уравнение прямой

Ax + By + C = 0. (2)

Частные случаи общего уравнения прямой:

а) Если C = 0, уравнение (2) будет иметь вид

Ax + By = 0,

и прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат, так как координаты начала координат x = 0, y = 0 удовлетворяют этому уравнению.

б) Если в общем уравнении прямой (2) B = 0, то уравнение примет вид

Ax + С = 0, или hello_html_3389950d.jpghello_html_3f73aa8f.jpghello_html_7499ac88.jpg.

Уравнение не содержит переменной y, а определяемая этим уравнением прямая параллельна оси Oy.

в) Если в общем уравнении прямой (2) A = 0, то это уравнение примет вид

By + С = 0, или hello_html_582f2bef.jpghello_html_3f73aa8f.jpghello_html_m5c168881.jpg;

уравнение не содержит переменной x, а определяемая им прямая параллельна оси Ox.

Следует запомнить: если прямая параллельна какой-нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.

г) При C = 0 и A = 0 уравнение (2) принимает вид By = 0, или y = 0.

Это уравнение оси Ox.

д) При C = 0 и B = 0 уравнение (2) запишется в виде Ax = 0 или x = 0.

Это уравнение оси Oy.

3. Уравнение прямой в отрезках на осях

hello_html_1dffb1cf.jpghello_html_11284f0f.jpghello_html_mc36c67f.jpghello_html_2d7af342.jpghello_html_38b7f307.jpg(3)

где a - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Ox; b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.

Каждый из этих отрезков отложен от начала координат.

Особенности этого уравнения такие: в левой части уравнения между дробями сосит знак плюс, величины a и b могут быть как положительными, так и отрицательными, правая часть уравнения равна единице.

4. Нормальное уравнение прямой

hello_html_m73d2bc68.jpghello_html_48e6f35c.jpghello_html_m3420ecc7.jpghello_html_3b85ac1b.jpghello_html_189153de.jpghello_html_m32e96c08.jpg(4)

Здесь p - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, измеренная в единицах масштаба, а hello_html_m7f630561.jpg- угол, который этот перпендикуляр образует с положительным направлением оси Ox. Отсчитывается этот угол от оси Ox против часовой стрелки. Для приведения общего уравнения прямой (2) к нормальному виду обе его части надо умножить на нормирующий множитель:

hello_html_2537d02e.jpghello_html_70cabd9.jpghello_html_7de0afe1.jpghello_html_m60388392.jpghello_html_m3fd47fb5.jpg(5)

причем перед дробью следует выбрать знак, противоположный знаку свободного члена C в общем уравнении прямой (2).

Особенности нормального уравнения прямой: сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах равна единице, свободный член отрицателен, а правая его часть равна нулю.


5. Построение прямой по ее уравнению

Прямая вполне определена, если известны две принадлежащие ей точки. Для того чтобы построить прямую по ее уравнению, надо, пользуясь этим уравнением, найти координаты двух ее точек. Твердо следует помнить, что если точка принадлежит прямой, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой.

При практическом построении прямой по ее уравнению наиболее точный график получится тогда, когда координаты взятых для ее построения двух точек - целые числа.

Если прямая определена общим уравнением Ax + By + C = 0 и hello_html_4ef862a4.jpghello_html_22c9ebe7.jpg, то для ее построения проще всего определить точки пересечения прямой с координатными осями.

Укажем, как определить координаты точек пересечения прямой с координатными осями. Координаты точки пересечения прямой с осью Ox находят из следующих соображений: ординаты всех точек, расположенных на оси Ox, равны нулю. В уравнении прямой полагают, что y равно нулю, и из полученного уравнения находят x. Найденное значение x и есть абсцисса точки пересечения прямой с осью Ox. Если окажется, что x = a, то координаты точки пересечения прямой с осью Ox будут (a, 0).

Чтобы определить координаты точки пересечения прямой с осью Oy, рассуждают так: абсциссы всех точек, расположенных на оси Oy, равны нулю. Взяв в уравнении прямой x равным нулю, из полученного уравнения определяют y. Найденное значение y и будет ординатой пересечения прямой с осью Oy. Если окажется, например, что y = b, то точка пересечения прямой с осью Oy имеет координаты (0, b).

Пример 1. Прямая 2x + y - 6 = 0 пересекает ось Ox в точке (3, 0). Действительно, взяв в этом уравнении y = 0, получим для определения x уравнение 2x - 6 = 0, откуда x = 3.

Чтобы определить точку пересечения этой прямой с осью Oy, положим в уравнении прямой x = 0. Получим уравнение y - 6 = 0, из которого следует, что y = 6. Таким образом, прямая пересекает координатные оси в точках (3, 0) и (0, 6).

Если же в общем уравнении прямой C = 0, то прямая, определяемая этим уравнением, проходит через начало координат. Таким образом, уже известна одна ее точка, и для построения прямой остается только найти еще одну ее точку. Абсциссу x этой точки задают произвольно, а ординату y находят из уравнения прямой.

Пример 2. Прямая 2x - 4y = 0 проходит через начало координат. Вторую точку прямой определим, взяв, например, x = 2. Тогда для определения y получаем уравнение 2*2 - 4y = 0; 4y = 4; y = 1. Итак, прямая 2x - 4y = 0 проходит через точки (0, 0) и (2, 1).

Если прямая задана уравнением y = kx + b с угловым коэффициентом, то из этого уравнения уже известна величина отрезка b, отсекаемого прямой на оси ординат, и для построения прямой остается определить координаты еще только одной точки, принадлежащей этой прямой. Если в уравнении y = kx + b hello_html_4c6354e6.jpghello_html_9b53023.jpghello_html_m74c93339.jpghello_html_5681e7f.jpg, то легче всего определить координаты точки пересечения прямой с осью Ox. Выше было указано, как это сделать.

Если же в уравнении y = kx + b b = 0, то прямая проходит через начало координат, и тем самым уже известна одна принадлежащая ей точка. Чтобы найти еще одну точку, следует дать x любое значение и определить из уравнения прямой значение y, соответствующее этому значению x.


5. Применение и значение метода координат


Мысль о возможности систематического применения метода координат в научных исследованиях зародилась несколько тысяч лет тому назад. Известно, например, что астрономы древнего мира, используя специальные системы координат на воображаемой небесной сфере, определяли положение наиболее ярких звёзд, составляли карты звёздного неба, вели отличавшиеся большой точностью наблюдения за перемещением Солнца, Луны и планет относительно неподвижных звёзд. В более позднюю эпоху широко развилось использование системы географических координат для составления карт земной поверхности и определения местонахождения корабля в открытом море. Однако до XVII века применение метода координат имело односторонний характер: им пользовались, по сути, только для указания положения определённого объекта — неподвижного (гора, мыс) или движущегося (корабль, планета).

Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов. Благодаря универсальности подхода к решению различных задач, метод аналитической геометрии стал основным методом геометрических исследований и широко применяется в других областях точного естествознания – механике, физике.

Сферическая система координат широко применяется в астрономии, в частности при расчетах траектории движения спутников и других объектов. Пример ее использования астролябия.

Стереографическая проекция является взаимно однозначным отображением сферы с выколотой точкой на плоскость. С ее помощью можно получать плоское изображение сферы (например, земной поверхности или « небесной сферы»), и поэтому ею с давних времен пользуются астрономы и картографы.

Изобретение стереографической проекции обычно приписывают греческому астроному Гиппарху, жившему 160-125 гг. до н. э.; впоследствии, ее использовали навигаторы, кристаллографы, геологи и всесторонне изучали математики. Стереографическая проекция лежит в основе работы астролябии.

Полярная система координат двумерная и поэтому может применяться только в тех случаях, когда местонахождение точки определяется на плоскости, или для случая однородности свойств системы в третьем измерении, например, при рассмотрении течения в круглой трубе. Лучшим контекстом применения полярных координат являются случаи, тесно связанные с направлением и расстоянием от некоторого центра. Например, в приведённых выше примерах видно, что простых уравнений в полярных координатах достаточно для определения таких кривых как спираль Архимеда, уравнения которых в прямоугольной системе координат гораздо сложнее. Кроме того, многие физических системы — такие, которые содержат тела, движущиеся вокруг центра, либо явления, распространяющиеся из некоторого центра — гораздо проще моделировать в полярных координатах. Причиной создания полярной системы координат было исследование орбитального и движения по кругу.

Полярную систему координат часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации, для навигации применяют несколько изменённую версию полярных координат. hello_html_658ebd41.png

Системы с радиальной симметрией очень хорошо подходят для описания в радиальных координатах, где полюс системы координат совпадает с центром симметрии. В качестве примера можно привести уравнение тока грунтовых вод в случае радиально симметричных колодцев. Системы с центральными силами также подходят для моделирования в полярных координатах. К таким системам относятся гравитационные поля, подчиняющиеся закону обратно-квадратичной зависимости, так и системы с точечными источниками энергии, такие как радиоантенны.

Фронт мощности звуковой волны промышленного громкоговорителя показан в сферических полярных координатах при шести частотах. Трёхмерное моделирование звука динамиков может использоваться для прогнозирования их эффективности. Необходимо сделать несколько диаграмм в hello_html_306e2685.pngполярных координатах для широкого диапазона частот, поскольку фронт существенно меняется в зависимости от частоты звука. Полярные диаграммы помогают увидеть, что многие громкоговорители с понижением частоты звука теряют направленность.

В инженерной деятельности при изучении свойств геометрических объектов используют прямоугольную систему координат, отличающуюся от декартовой системы координат, применяемой в математике, направлением осей.







Заключение

Трудно переоценить значение декартовой системе координат в развитии математики и её приложений. Огромное количество задач, требовавших для решения геометрической интуиции, специфических методов получило решение, состоящее в аккуратном проведении алгебраических выкладок. Метод координат лежит в основе расчетов сложных физических процессов, траектории движения космических и наземных объектов и т.д.

Сферическая и полярная системы координат иногда бывают удобней прямоугольной декартовой, особенно в задачах, связанных с окружностями или дугами кривых. Метод координат позволяет быстро и красиво решать сложные геометрические задачи, он имеет ряд преимуществ по сравнению с векторным методом, даёт наглядное представление на координатной плоскости и в пространстве сложных зависимостей, выраженных формулами, уравнениями. Графики функций позволяют описать свойства этих функций. Многие линии, фигуры можно описать в координатах. Векторный и координатный методы тесно связаны друг с другом. Выбор зависит от условия задачи, поставленного вопроса. Нельзя сказать, что какой-то из методов решения лучше или проще для целой серии задач. Выбор системы координат для конкретных задач более конкретен.

При практическом применении понятия координат координаты предмета, рассматриваемого условно как точка, могут быть определены лишь приближённо. Задание координат предмета означает, что точка, определяемая этими координатами, либо является одной из точек этого предмета либо достаточно близка к нему.

В результате исследования можно сделать вывод, что метод координат (и математика в целом) развивается исходя из практических нужд. В том числе метод координат играет огромную роль не только в геометрии, алгебре, математическом анализе, но и в таких направлениях как физика, динамика, география, астрономия, механика и многие др.

Список литературы


  1. Моденов П.С., Аналитическая геометрия, М., 1969.

  2. Атанасян Л.С., Геометрия, часть 1, М., Просвещение, 1967.

  3. Атанасян Л.С., Геометрия, часть 1, Учебное пособие для студентов математических факультетов педагогических институтов, М., Просвещение, 1973.

  4. Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике, М., 1972.

  5. Понтрягин Л.С., Метод координат. М., Наука, 1977.

  6. Ефимов Н.В., Краткий курс аналитической геометрии, 9 изд., М., Наука, 2003.

  7. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия, М., ФИЗМАТЛИТ, 2003.

  8. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. и др., Геометрия, М., Просвещение, 1986.

  9. Погорелов А.В., Аналитическая геометрия, 4 изд., М., Наука, 2004.

  10. Постников М.М., Аналитическая геометрия, М., Техника, 2004.

  11. Энциклопедия элементарной математики. Геометрия, том 4

  12. Атанасян Л.С., Сборник задач по геометрии, часть 1, М., 1973.

  13. Базылев В.Т. и др., Сборник задач по геометрии, М., 1980.

  14. Прасолов В.В., Задачи по стереометрии, М., 1989.

  15. Прасолов В.В., Задачи по планиметрии, часть 2, М., 1986.

  16. Интернет ресурс: http://matschool2005.narod.ru/Lessons/Lesson8.htm



Приложение 1. Задачи, решаемые методом координат с решениями.

Задача 1. Даны уравнения одной из сторон ромба х-3у + 10 = 0 и одной из его

диагоналей х + 4у - 4 = 0; диагонали ромба пересекаются в точке (0; 1). Найти уравнение остальных сторон ромба.

hello_html_m15bf8273.gifhello_html_m1bd08e73.gif

hello_html_m4330860d.gif

Решение:

Найдем т. пересечения hello_html_m614a6cee.gif и hello_html_70e4936a.gif:hello_html_m6746ce11.gif

hello_html_33fed9a4.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_1108255e.gif=> hello_html_m6a0f0b2.gif A(-4;2)

Т.к P – середина отрезка AC, то

hello_html_73fe5512.gif

hello_html_m3fc7c2b1.gif=> C(4;0). Через точку C направим прямую, параллельную hello_html_m614a6cee.gif (т.е. найдем hello_html_68a0f399.gif). hello_html_m1803c2e9.gifhello_html_m1059e0ea.gif => hello_html_m23918db6.gif hello_html_32f65e8e.gif По свойству ромба:hello_html_m4594abe7.gif => hello_html_74d7a045.gif; hello_html_726eeda8.gif => hello_html_m6d08088a.gif

hello_html_m13725fc1.gifhello_html_6f527054.gif; hello_html_m11a576c6.gif; hello_html_28468247.gif; hello_html_mdd4ee4c.gif => hello_html_24a5367b.gif

hello_html_m8269d5.gifhello_html_m1297c99f.gif; По формуле прямой, проходящей через две точки, найдем hello_html_39642c4f.gif

hello_html_m2c16ba59.gif; hello_html_7439e634.gif



Задача 2. Даны координаты вершин треугольника АВС. Найти длины медианы, высоты, биссектрисы, проведенных из вершины А. Вычислить внутренний угол при вершине В.

А (8;0), В(-4; –5); С(-8;-2).


Решение:


1) hello_html_m51b72c2d.gif={-12; -5}, |hello_html_m51b72c2d.gif|=13

hello_html_559f64b2.gif= {-4; 3}, |hello_html_559f64b2.gif|=5

hello_html_158f52e5.gif= {-16; -2}, |hello_html_158f52e5.gif|=hello_html_b384f94.gif=hello_html_7fc36de4.gif


A

hello_html_1a6fb91c.gifhello_html_m6a39ef2a.gifhello_html_m13058816.gifhello_html_m7787ac37.gifhello_html_m33c5bc4a.gif

y









x


hello_html_m258c9189.gif

C


L

M

hello_html_4380c11d.gif


H

B




2) hello_html_m23f90858.gif=0.5(hello_html_m51b72c2d.gif+hello_html_158f52e5.gif)=0.5{-12-16;-5-2}={-28;-7}

|hello_html_m23f90858.gif| = hello_html_6d3c4875.gif


x +4

=

y + 5

-4

3

3) Имеем уравнение прямой ВС:


3x + 4y + 32 = 0.

|hello_html_5d4384ec.gif| = ρ(A, BC) =

|38+40+32|

=hello_html_67722bb.gif

hello_html_154e0af0.gif




4) Найдем уравнение прямой AL:

hello_html_62c591f2.gif; hello_html_3bdccf7a.gif;

hello_html_33b8d849.gif

Значит,

hello_html_m13400503.gif.

Тогда, hello_html_2e30a925.gif или hello_html_m10dd041c.gif


Найдем точку L – точку пересечения прямых AL и BC:

hello_html_md20d2e3.gif; hello_html_m70fd887d.gif

Тогда hello_html_35dd434c.gif

и hello_html_m17c24a77.gif.

Итак, hello_html_1346975d.gif

и

hello_html_m39dcd712.gif

5) hello_html_387eadc1.gif


hello_html_2ff7a09c.gif

Ответ: hello_html_m52ae91cf.gif; hello_html_67722bb.gif;hello_html_m743708ab.gif; hello_html_m255ba430.gif


Задача 3. Найти точки пересечения кривой второго порядка hello_html_368a497d.gif с пря­мой (а):

hello_html_485537a6.gif

Решаем систему: hello_html_m5e2db9c1.gif; hello_html_m294b43d7.gif;

Подставляем в первое уравнение и получаем: hello_html_23835ba9.gif

hello_html_2cdb667b.gifD<0 => нет точек пересечения


Ответ: нет точек пересечений


Задача 4. Полюс полярной системы координат совпадает с началом де­картовых прямоугольных координат, а полярная ось направлена по биссек­трисе первого координатного угла. Даны полярные координаты точек hello_html_28d13e7f.gif. Определить декартовы прямоугольные координаты этих точек.

hello_html_m27dcf193.gif

M(xM; yM), где

xM1Cos (φ1+π/4) = Cos(25π/12) = Cos(π/12),

yM=ρ1Sin1+π/4) = Sin(25π/12) = Sin(π/12).


N(xN; yN), где

xN2Cos (φ2+π/4) = 2Cos(π +π/4) =-2Cos(π/4)=hello_html_70c1550e.gif,

yN=ρ2Sin2+π/4) = 2Sin(π +π/2) = -2Sin(π/4)= hello_html_70c1550e.gif.


Ответ:hello_html_m4a98ddf9.gif

Задача 5. Для векторов hello_html_m3cf92d09.gif, задан­ных в ортонормированном базисе hello_html_m626d8d11.gif найдите:

  1. направляющие косинусы вектора hello_html_35cf20d8.gif;

  2. площадь параллелограмма, построенного на векторах hello_html_35cf20d8.gif и hello_html_45ea60c1.gif, имею­щих общее начало;

  3. объем пирамиды, построенной на векторах hello_html_35cf20d8.gif,hello_html_m720df1b6.gif и hello_html_45ea60c1.gif, имеющих об­щее начало.

hello_html_5b9538ea.gif

1) hello_html_317c0026.gif; hello_html_61c5eae7.gif; hello_html_m78ba56a7.gif

2) hello_html_m3a0403e3.gif; hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_mb623b34.gif; hello_html_md1557ad.gif

3) hello_html_m21d9a5eb.gif


hello_html_m48827df2.gif


Ответ: hello_html_82a9439.gif; hello_html_4362375b.gif; hello_html_11b34e8a.gif;hello_html_7c378acd.gif; 82.






Задача 6. С помощью преобразования поворота прямоугольной декартовой системы привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка

29x2 + 144xy + 71y2 – 40x + 30y – 50 = 0.

Написать формулы преобразования и изобразить данную кривую на чертеже.

Решение:

При повороте системы координат на угол φ наблюдается следующая зависимость между старыми и новыми координатами:

hello_html_85962e4.gif

hello_html_m3c732152.gif.

Тогда общее уравнение кривой второго порядка

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

преобразуется следующим образом:

hello_html_m555e0028.gifhello_html_m3e3eb20e.gifhello_html_797efcb8.gif+

hello_html_32149b27.gif+hello_html_5d502c92.gifhello_html_6d6507f2.gif

Раскроем скобки. Получим

hello_html_3d8e7b12.gif

или

hello_html_73ce7f7.gif, где

hello_html_595abf7d.gif

hello_html_53b5cc4b.gif

hello_html_m73fce10f.gif

hello_html_md869c1b.gif

hello_html_1aeff45c.gif.


Для того, чтобы избавиться от перекрестного члена необходимо повернуть систему координат на такой угол φ, чтобы hello_html_m5162dd.gif, т.е.

hello_html_m1ab4fd60.gif

hello_html_md7d100c.gif

hello_html_3b888423.gif

Найдем hello_html_5f113c85.gif:

hello_html_m642d67c0.gifгде hello_html_35ea2151.gif.




Тогда

hello_html_m3a2ef50f.gif

и

hello_html_27211095.gif; hello_html_5cb8c8ab.gif.


Имеем: hello_html_3a8e86e8.gif

hello_html_m30842a7d.gif

hello_html_1fa00ec1.gif

hello_html_m359f82e2.gif

hello_html_m5dc29d8a.gif.


Получили: hello_html_1d227ede.gif

hello_html_m6f698044.gif

hello_html_6f01c7f1.gif

hello_html_54a562ec.gif, где hello_html_3314c7a6.gif.

Канонический вид уравнения заданной кривой: hello_html_1b1269c7.gif

Это гипербола с вершинами в точках hello_html_789ff6e1.gif и hello_html_m7eed3a80.gif; асимптотами hello_html_7a280f4d.gif и фокусами hello_html_179d376c.gifиhello_html_21766b19.gif


Ответ: hello_html_1b1269c7.gif


Задача 7. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую на плоскости:

hello_html_m1817db97.png.






Решение:

Имеем:    a11 = 4,  a22 = 9,  a12 = 0,  a1 = −16,  a2 = 9,  a0 = 37. Тогда

hello_html_m48cc4337.png, то есть уравнение задает кривую эллиптического типа. Так как hello_html_m141368a6.png, то выделяем "полный квадрат":

hello_html_m5fba0d08.png      hello_html_m40e58fff.png;

hello_html_43e3389d.png;

hello_html_m39f175fa.png      hello_html_6a550a18.png;

hello_html_45e7910.png               hello_html_m6caf7db8.png.

Сделаем замену:

hello_html_7000415b.png.

В системе координат hello_html_m45a13df8.pngуравнение имеет вид:

hello_html_5674eeca.png.


Таким образом, данное уравнение определяет эллипс с полуосями hello_html_4517b230.pngи hello_html_m423ff9d8.png, с центром в точке hello_html_m37b59dff.png. Строим чертеж .

hello_html_58ea4131.png

hello_html_4cdc3d97.png

Задача 8.

Решение:

hello_html_63e41f25.png


Ответ:hello_html_478a7804.gif


hello_html_m3dae1c90.png

Задача 9.

hello_html_m3dae1c90.png



hello_html_m3dae1c90.png

Ответ: hello_html_m644dd8e8.gif


Задача 10. Привести уравнение кривой к каноническому виду и построить кривую на плоскости:

hello_html_m58849efe.png.

(1)

Решение:

Имеем:    a11 = 9,  a12 = −6,  a22 = 0,  a1 = −21,  a2 = 6,  a0 = 81. Тогда

hello_html_m2e7950d1.png

то есть уравнение (1) задает кривую гиперболического типа. Далее находим:

hello_html_2f58f595.png

Найдем собственные значения:

hello_html_m3d6a5f33.png.

Тогда угол поворота равен hello_html_4a467e9c.png

Далее найдем координаты α, β нового центра О1 системы координат hello_html_2a3a89ad.png.

hello_html_2172889f.png.

Уравнение (1) в системе hello_html_m45a13df8.pngпримет вид:

hello_html_165f3e0e.png       hello_html_m4b862759.png

hello_html_m5162dfd9.png hello_html_m59a225d4.png.

(2)

Уравнение (2) задает гиперболу, у которой hello_html_mf82ae3c.pngи hello_html_m6c4e252.png, фокусы гиперболы лежат на оси О1х1.

Строим гиперболу на плоскости hello_html_7c412c95.pngпо плану :

поворачиваем ось hello_html_m3cec910b.pngна угол hello_html_m5760a08.pngпротив часовой стрелки, для этого строим прямую hello_html_me3ccbd5.png(так как hello_html_5da57c7c.png); в результате получаем систему координат hello_html_m215bc11a.png;

на плоскости hello_html_7c412c95.pngотмечаем точку hello_html_4c19aa44.png, через эту точку проводим две прямые, параллельные осям hello_html_ca9b722.pngи hello_html_m7a30763d.png; получаем систему координат hello_html_2a3a89ad.png;

в системе hello_html_d25855e.pngстроим гиперболу, согласно уравнению (2).

hello_html_m59405c84.png


Задача 11. Уравнение прямой x + 3y - 4 = 0 привести к нормальному виду.

Решение.

Нормирующий множитель определяется по формуле

hello_html_m48a3bfce.jpghello_html_m142132f4.jpghello_html_m1d31f3d8.jpghello_html_m686a8760.jpg

Здесь A = 1; B = 3. Перед корнем надо выбрать знак, противоположный знаку свободного члена в заданном уравнении, т. е. знак плюс. Тогда нормирующий множитель

hello_html_m2cd5b1a7.jpghello_html_m142132f4.jpghello_html_m6af00567.jpghello_html_462096b9.jpghello_html_m36718098.jpghello_html_m142132f4.jpghello_html_m588fe68d.jpg

после умножения обеих частей уравнения на N уравнение примет вид

hello_html_55f299b.jpghello_html_47c95a4e.jpghello_html_7ca2f976.jpghello_html_696ae3ae.jpghello_html_3c1ff812.jpghello_html_3d6a407f.jpg

Задача 12. Общее уравнение прямой 4x - 3y + 12 = 0 представить в виде: 1) с угловым коэффициентом; 2) в отрезках на осях и 3) в нормальном виде. Построить эту прямую.

Решение.

1) Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид y = kx + b. Чтобы заданное уравнение преобразовать к этому виду, разрешим его относительно y: 3y = 4x + 12, hello_html_342f2019.jpghello_html_2ed9bc1c.jpghello_html_m604826dd.jpghello_html_m4f2d5375.jpg.

Сравнивая с уравнением y = kx + b, видим, что здесь угловой коэффициент прямой hello_html_m3b8c5091.jpghello_html_m24c3e644.jpg, а величина отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат, b = 4 (если уравнение прямой дано в общем виде Ax + By + C = 0, то ее угловой коэффициент легко получить, если разделить коэффициент при x на коэффициент при y и взять полученное частное с обратным знаком hello_html_6549065a.jpghello_html_38036950.jpghello_html_m3d04feed.jpg).

2) В отрезках на осях уравнение прямой имеет вид

hello_html_5d8633bd.jpghello_html_644625a2.jpghello_html_6013f900.jpghello_html_m3a92d35.jpghello_html_m5bfa447e.jpg(1)

Чтобы определить величины отрезков, отсекаемых заданной прямой 4x - 3y + 12 = 0, поступим так: в уравнении прямой положим y = 0. Получаем 4x + 12 = 0, а x = -3. Значит, наша прямая пересекает ось Ox в точке с координатами (-3, 0) и в уравнении (1) величина отрезка a = -3.

Полагая в нашем уравнении x = 0, определим ординату точки пересечения прямой с осью ординат. Будем иметь

-3y + 12 = 0; y = 4.

Точка пересечения прямой с осью ординат имеет координаты (0, 4), и в уравнении (1) величина отрезка b = 4.

Таким образом, наше уравнение в отрезках на осях будет иметь вид

hello_html_m2c0431e0.jpghello_html_m2b5b968d.jpghello_html_m20438db2.jpghello_html_m4b77a549.jpghello_html_d472027.jpg

3) Чтобы привести уравнение к нормальному виду, обе его части следует умножить на нормирующий множитель hello_html_1f57510b.jpghello_html_3813004f.jpghello_html_1782f539.jpghello_html_1891c0e9.jpg, выбрав перед корнем знак, противоположный знаку свободного члена в общем уравнении прямой. В нашем случае свободный член в общем уравнении прямой равен +12, а поэтому перед корнем в нормирующем множителе должен быть выбран противоположный знак, т. е. знак минус, и так как A = 4, B = -3, то hello_html_7f56649d.jpghello_html_784b6d01.jpghello_html_5b0d3d2b.jpghello_html_m357453bd.jpghello_html_m64ea8064.jpghello_html_m15b781d5.jpghello_html_m6fd095d1.jpg.

Умножая на hello_html_2ebb15c0.jpgобе части уравнения 4x - 3y + 12 = 0, приведем его к нормальному виду

hello_html_46e9b144.jpghello_html_m7cacfc99.jpghello_html_1874fcee.jpghello_html_6bf93767.jpghello_html_501e3e76.jpghello_html_m6be413ed.jpghello_html_m4ff5b09f.jpg

Запомнить: В нормальном уравнении прямой сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах должна быть равна единице, а свободный член должен быть отрицательным. Эти два требования в полученном нами последнем уравнении, как легко проверить, выполнены. В пункте 2 решения мы получили уравнение прямой в отрезках на осях: a = -3, b = 4. Зная эти отрезки, мы легко построим нашу прямую (см. рисунок).

hello_html_m38e11848.jpg

Задача 13. Найти длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую 3x - 6y + 5 = 0, а также координаты основания этого перпендикуляра.


Решение.

Приведем данное уравнение к нормальному виду:

hello_html_m2cd5b1a7.jpghello_html_m142132f4.jpghello_html_7e0a6efe.jpghello_html_m4a0c9ad3.jpghello_html_m36718098.jpghello_html_m766f5602.jpghello_html_m5e6262c7.jpghello_html_5a1a0d1f.jpghello_html_m4f0fe5ae.jpg

После умножения на нормирующий множитель уравнение примет вид

hello_html_445892fc.jpghello_html_m21a40189.jpghello_html_m62f5c8.jpghello_html_608e074a.jpghello_html_75502df8.jpghello_html_m3312d9a2.jpg

Из сравнения с hello_html_m16af2dcc.jpghello_html_ma49a3e5.jpghello_html_m48885cfd.jpghello_html_2dbe9dc3.jpghello_html_m2d3159aa.jpghello_html_m2063cb0b.jpghello_html_m1863e111.jpgзаключаем, что hello_html_m3c401bb5.jpghello_html_48815c0c.jpg.

Для определения координат основания этого перпендикуляра из рисунка

hello_html_m739f0578.jpg

получим формулы

hello_html_m3fa17c68.jpghello_html_m737c87e6.jpghello_html_m4e4e9a08.jpg

hello_html_5875a083.jpghello_html_43c110ec.jpghello_html_3b85ac1b.jpg

(эти формулы верны при любом расположении прямой относительно координатных осей).

как видно из уравнения hello_html_277442f9.jpghello_html_26c56447.jpghello_html_fa81e43.jpghello_html_7d4a63ca.jpghello_html_3055d7b7.jpghello_html_3682979e.jpghello_html_m281c2c24.jpghello_html_39fa26fd.jpghello_html_3f8e4694.jpghello_html_m34b2a2b5.jpghello_html_5ed28a2a.jpghello_html_m7ebb6379.jpghello_html_m7ebe7af2.jpghello_html_m147e8498.jpghello_html_4f001fd2.jpgи искомые координаты основания перпендикуляра равны

hello_html_mb2f9d44.jpghello_html_33500393.jpghello_html_m74603aa7.jpghello_html_m444dd6a9.jpghello_html_m7ffb17e2.jpg


Задача14.Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек.

Решение.

Возьмем прямоугольную систему координат, и пусть две данные точки B и C лежат на оси абсцисс и имеют координаты (x1, 0) и (x2, 0) (см. рисунок). Пусть точка A принадлежит искомому геометрическому месту. Обозначим ее координаты через x и y: A(x, y).

hello_html_m451515f9.jpg

На основании формулы для определения расстояния между двумя точками hello_html_1f1fd862.jpghello_html_3eb06335.jpghello_html_m6dfecd3c.jpghello_html_m3ee8fb43.jpg, значит, так как по условию AB = AC, можем написать, что hello_html_m8c672e5.jpghello_html_mca2096e.jpg. Это и есть уравнение искомого геометрического места.

Возводя в квадрат обе части искомого равенства, будем иметь

(x - x1)2 + y2 = (x - x2)2 + y2.

После очевидных упрощений получим 2x(x2 - x1) = (x2 - x1)(x2 + x1); сокращая на hello_html_21c606a9.jpghello_html_m2ffa446b.jpghello_html_m56863915.jpg, имеем 2x = x1 + x2, или hello_html_331f789a.jpghello_html_m41b0292.jpg.

Это уравнение прямой, перпендикулярной оси Ox и проходящей через середину отрезка BC.

Итак, искомым геометрическим местом является прямая, перпендикулярная к отрезку BC, соединяющему данные точки, и проходящая через его середину.

Замечание. При решении задачи нам пришлось уничтожить радикалы в уравнении искомого геометрического места

hello_html_98f8a45.jpghello_html_18f4e1df.jpghello_html_23667a79.jpg     (1)

в результате чего было получено уравнение

hello_html_9471f39.jpghello_html_m66395e78.jpg     (2)

Из алгебры известно, что возведение обеих частей уравнения в квадрат может привести к уравнению, которое не равносильно (не эквивалентно) исходному. Это значит, что уравнение, полученное от возведения в квадрат обеих частей исходного уравнения, может иметь решения, не удовлетворяющие исходному уравнению, т. е. иметь так называемые "посторонние" корни. Поэтому всегда в тех случаях, когда обе части уравнения приходится возводить в квадрат, следует ставить вопрос об эквивалентности полученного и исходного уравнений.

В интересующем нас случае вопрос ставится так: не содержит ли линия (2) точек, которых нет на линии (1), т. е. таких, координаты которых не удовлетворяют уравнению (1) и таким образом не удовлетворяют исходному условию AB = AC.

Чтобы убедиться в том, что линия (2) не содержит точек, которых нет в линии (1), надо показать, что уравнение (2) может быть преобразовано в уравнение (1).

Произведя в обратном порядке операции, с помощью которых было получено уравнение (2), мы придем к уравнению (x - x1)2 + y2 = (x - x2)2 + y2, откуда следует, что

hello_html_mee6bea5.jpghello_html_m59909e5c.jpghello_html_3990a0cb.jpg     (3)

т. е. что hello_html_m68cab111.jpghello_html_38b1efea.jpg; отсюда видно, что или AB - AC = 0, или AB + AC = 0.

Но AB > 0 и AC > 0, а следовательно, hello_html_3d41dd57.jpghello_html_9b77cf8.jpg, так как сумма двух положительных величин не может быть равна нулю, а потому остается только одно равенство AB - AC = 0, т. е. AB = AC, и знак минус перед правой частью уравнения (3) должен быть отброшен. Поскольку из уравнения (1) получается уравнение (2) и обратно - из уравнения (2) следует уравнение (1), то эти уравнения равносильны (эквивалентны). Таким образом, поставленный вопрос решен: линия (2) не содержит таких точек, которых нет на линии (1).

Задача 15. Найти уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек A и B есть величина постоянная, равная a2. Длину AB считать равной 2a.

Решение.

Проведем вывод уравнения в прямоугольных координатах. Направим ось Ox по прямой, соединяющей A и B, как обычно, вправо, начало координат поместим в середине отрезка AB, ось Oy направим вверх по перпендикуляру к оси Ox. Длина отрезка AB по условию равна 2a (AB = 2a); тогда точки A и B будут иметь координаты: A(-a, 0); B(a, 0). Пусть точка M принадлежит кривой. Ее координаты обозначим через x и y (см. рисунок).

hello_html_4d493c51.jpg

Из условия задачи AM * BM = a2. По формуле расстояния между двумя точками

hello_html_52c44917.jpghello_html_m7395eb1d.jpghello_html_1ca7e8a3.jpghello_html_5a7f9dfc.jpg

Значит, hello_html_m2522afb4.jpghello_html_140637ff.jpghello_html_m5f95cad2.jpg

Возведем обе части этого уравнения в квадрат:

[(x + a)2 + y2][(x - a)2 + y2] = a4,

Или [(x2 + y2 + a2) + 2ax][(x2 + y2 + a2) - 2ax] = a4;

(x2 + y2 + a2)2 - 4a2x2 = a4.

Упрощая, получаем (x2 + y2)2 = 2a2(x2 - y2).

Это и есть искомое уравнение.

Задача 16. В правильной треугольной призме hello_html_62ae56a6.png, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми hello_html_m234081b1.pngи hello_html_m7f1b9f04.png:

hello_html_mb38d3d7.jpgКак мы помним из геометрического метода решения этой задачи, расстояние между прямыми hello_html_m234081b1.pngи hello_html_m7f1b9f04.pngесть расстояние от точки hello_html_m5e647884.pngдо плоскости hello_html_4198d48c.png:

hello_html_555afbd7.jpg

Решение:

Рассстояние hello_html_5703606a.pngот точки hello_html_m18fb18b4.pngдо плоскости hello_html_fc0a0f8.pngвычисляется по такой формуле:

hello_html_2d32919a.png

Поместим нашу призму в систему координат. Если мы решаем задачу с кубом или прямоугольным параллелепипедом, то выбор системы координат очевиден: мы помещаем начало координат в одну из вершин куба, а оси направляем вдоль ребер. В случае призмы это не столь очевидно.

Нам надо выбрать систему координат таким образом, чтобы координаты точки hello_html_1da33dd4.pngи точек hello_html_m2709eda0.png, hello_html_24f874f3.pngи hello_html_m7e8e6090.png, задающих плоскость hello_html_4198d48c.pngвычислялись наиболее простым способом и содержали как можно больше нулей. Поэтому удобно выбрать систему координат вот таким образом:

hello_html_4bef0cc8.jpgЗапишем координаты нужных нам точек:

hello_html_m4ba4e8e.png

hello_html_m7012e4c1.png

hello_html_1531889c.png

hello_html_d3cc61f.png

Чтобы найти коэффициенты hello_html_m2b797832.png, hello_html_538a1ce2.png, hello_html_m46922573.pngи hello_html_m3715b3ce.pngв уравнении hello_html_fc0a0f8.pngплоскости hello_html_4198d48c.png, примем коэффициент hello_html_m6b4526b2.png, и подставим координаты точек hello_html_m2709eda0.png, hello_html_24f874f3.pngи hello_html_m7e8e6090.pngв уравнение плоскости. Получим систему уравнений:

hello_html_m1e9a8e8f.png

hello_html_m153c7b63.png

Отсюда:

hello_html_m526362c4.png,

hello_html_7e3ca09e.png,

hello_html_m79d18a8.png

Подставим значения коэффициентов и координаты точки hello_html_d3cc61f.pngв формулу для расстояния. Получим:

hello_html_3d714b8c.pnghello_html_m28282388.png

Ответ: hello_html_m5973f77.png



Задача 17. В единичном кубе hello_html_m40a8891c.pngнайдите расстояние от точки hello_html_m1c5027e7.pngдо плоскости hello_html_1ec0a78.png.

hello_html_5b7fd380.jpgРешение:


Рассстояние hello_html_5703606a.pngот точки hello_html_m18fb18b4.pngдо плоскости hello_html_fc0a0f8.pngвычисляется по такой формуле:

hello_html_2d32919a.png

Чтобы воспользоваться этой формулой, поместим куб в систему координат:

hello_html_4b872a73.jpgВ задаче роль точки hello_html_m18fb18b4.pngиграет точка hello_html_78590c4c.png. То есть hello_html_m46a6bc04.png, hello_html_2f79250.png, hello_html_m380f4341.png

Теперь задача найти коэффициенты hello_html_m2b797832.png, hello_html_538a1ce2.png, hello_html_m46922573.pngи hello_html_m3715b3ce.pngв уравнении hello_html_fc0a0f8.pngплоскости hello_html_51fc0096.png.

Плоскость hello_html_51fc0096.pngопределяется тремя точками hello_html_m3eadbeb9.png, hello_html_m287bb9c0.pngи hello_html_7b7d998c.png. Если координаты точек подставим в уравнение плоскости hello_html_fc0a0f8.png, то получим верное равенство.

Коэффициент hello_html_m3715b3ce.pngв уравнении плоскости можно принять равным 1.

Чтобы найти коэффициенты hello_html_m2b797832.png, hello_html_538a1ce2.pngи hello_html_m46922573.png, подставим координаты точек hello_html_m3eadbeb9.png, hello_html_m287bb9c0.pngи hello_html_7b7d998c.pngв уравнение плоскости hello_html_fc0a0f8.png. Получим систему уравнений:

hello_html_6386962e.png

hello_html_m42867b4c.png

Отсюда: hello_html_m31d6e1b5.png, hello_html_71bd82eb.png, hello_html_m79d18a8.png

Подставим координаты точки hello_html_78590c4c.pngи значения коэффициентов в формулу для расстояния:

hello_html_6e8d22e8.png

Ответ: hello_html_m733a02bb.png


2 Энциклопедия элементарной математики. Геометрия, том 4.


3 Выгодский М.Я., Справочник по высшей математике, М., 1972.


4 Понтрягин Л.С., Метод координат. М., Наука, 1977.


Краткое описание документа:

Содержание

Введение. 3

1. Сущность метода координат………………………………………………….6

2. Метод координат на плоскости. 6

2.1. Аффинная система координат на плоскост……….6

2.2. Декартова система координат на плоскости. 11

2.3. Полярная система координат на плоскости. 13

3.Метод координат в пространстве. 14

3.1. Декартова прямоугольная система координат в пространстве. 14

3.2. Цилиндрическая система координат в пространстве. 15

3.3. Сферическая    система   координат. 17

4. Уравнения геометрических мест точек…………..22

4.1. Определение геометрического места точек………22

4.2. Определение уравнения геометрического места точек.23

5. Применение и значение метода координат………28

Заключение. 31

Литература. 32

Приложение 1 33

 

Автор
Дата добавления 24.02.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров2442
Номер материала 407797
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх