Курсовой проект Экологическое моделирование

         Содержание

         Введение……………………………………………………………………4

         1 Литературный обзор……………………………………………………..6

         1.1 Моделирование в экологии и концепции устойчивого развития…...6

         1.2 Глобальное моделирование…………………………………………..11

         2  Моделирование межвидового взаимодействия типа «хищник – жертва»…………………………………………………………………………...15

         2.1. Аналитические исследования задач………………………………...15

         2.2 Численные исследования задач, фазовый портрет…………………19

         Заключение………………………………………………………………..21

         Список используемой литературы………………………………………22

         Введение

Математическое   моделирование   в экологии  сообществ  достаточно

обширная область исследования и по выбору объектов моделирования, и по набору методов, и по спектру решаемых задач. Внимание обращено на два класса методов: моделирование с помощью дифференциальных ура мнений и методы, основывающиеся па экстремальных принципах биологии.

Модели каждого из методов, безусловно, обладают своими достоинствами и недостатками.  Гак, дифференциальные или разностные уравнения позволяют описывать динамику  процессов  в режиме  реального  времени, тогда  как вариационные    методы,    как    правило,    предсказывают    лишь    конечное стационарное  состояние  сообщества.   Но   на  пути  имитаций  с  помощью уравнений возникают трудности как принципиального, так и технического характера.  Принципиальная трудность состоит в том, что не существует систематических правил вывода самих уравнений. Процедуры их составления основываются    на полуэмпирических   закономерностях,    правдоподобных рассуждениях,   аналогиях   и   искусстве  модельера.  Технические трудности связаны с высокой размерностью задач по моделированию сообществ. Для существенно   многовидовых    сообществ,    потребляющих   многочисленные ресурсы, требуется подбор сотен коэффициентов и анализ систем из десятков уравнений. (Если изучается сообщество из w групп организмов, потребляющих т ресурсов, то соответствующая система дифференциальных уравнений должна содержать, по крайней мере, w + тw + т уравнений с 2w + 4тw параметрами, требующими идентификации.) Обычные приемы снижения числа переменных -их   агрегирование  или   учет только  доминирующих   групп  организмов непригодны во многих задачах экологии. С течением времени существенную роль начинают играть редкие и малочисленные виды, которые, тем самым, следует включать в число переменных на начальных этапах моделирования. Агрегация     переменных  может     нивелировать     результаты     управления функционированием сообществ. При работе с системами из десятков и более дифференциальных уравнений оказывается, что проследить причинные связи (для отладки, исключения ошибок, интерпретаций) в системе уравнений также сложно, как и в реальной экосистеме. В конце концов, оказывается, что мы не можем узнать, чему обязаны полученными результатами: реальному положению вещей, ошибкам в исходных данных, недочетам алгоритма или еще чему-либо.[3, с.45]

В   классической  экологии   рассматриваются   взаимодействия  нескольких типов:

•    взаимодействие организма и окружающей среды;

•    взаимодействие особей внутри популяции;

•    взаимодействие между особями разных видов (между популяциями).

Математические модели в экологии используются практически с момента возникновения этой науки. И, хотя поведение организмов в живой природе гораздо труднее адекватно описать средствами математики, чем самые сложные физические процессы, модели помогают установить некоторые закономерности и общие тенденции  развития  отдельных популяций,  а также сообществ. Кажется удивительным, что люди, занимающиеся живой природой, воссоздают ее в искусственной математической форме, но есть веские причины, которые стимулируют эти занятия.

При построении моделей в математической экологии используется опыт математического моделирования механических и физических систем, однако с учетом специфических особенностей биологических систем:

•   сложности внутреннего строения каждой особи;

•    незамкнутости экологических систем;

•    огромного диапазона внешних характеристик, при которых сохраняется жизнеспособность систем.

         1 Литературный обзор

         1.1 Моделирование в экологии и концепции устойчивого развития

         Математическое моделирование в экологии.

         Первыми экосистемами, которые изучались с помощью количественных методов, были системы «хищник — жертва». Американец А. Лотка в 1925 г. и итальянец В. Вольтерра в 1926 г. создали математические модели роста отдельной популяции и динамики популяций, связанных отношениями конкуренции и хищничества. Исследование системы «хищник — жертва» показало, что типичной для популяции жертв эволюцией является увеличение рождаемости, а для популяции хищников -совершенствование способов ловли жертвы.

         В дальнейшем метод математического моделирования применялся в экологии все шире, что обусловливалось ею большими потенциальными возможностями. Моделирование дает предварительное объяснение и предсказание поведения экосистем в условиях, когда теоретический уровень исследований природной среды недостаточно высок. В этом аспекте моделирование всегда будет дополнять теоретические.

         Идеальные модели потребного будущего всегда формируются в мозгу человека. Чем крупнее планы преобразования, тем многограннее эти модели. Зависимость человека от объективных законов развития природы рождает необходимость в построении вещественных моделей поведения и потребного будущего.[3, с. 56]

         В методологической литературе принято все модели делить на две большие группы: модели-интерпретации, преобладающие в математике. и модели-описания, свойственные естественным наукам. В модели как средстве преобразования природной среды оба эти типа выступают в единстве. Идеальная модель потребного будущего формируется на основе изучения действительности и более абстрактна, чем прототип. Вещественная

модель потребного будущего, построенная на основе идеальной, может быть отнесена к моделям-интерпретациям, поскольку она конкретнее прототипа.

Масштабная модель необходима, когда хотят определить последствия человеческой деятельности в интервале времени, большем, чем продолжительность жизни одного поколения. Масштабное моделирование позволяет избежать чрезмерного риска при укрупнении масштабов человеческой деятельности- Той же цели служит натурное моделирование в естественных условиях. Оно может осуществляться для изучения какого-либо обособленного процесса, но гораздо продуктивнее комплексное исследование с участием представителей естественных, технических и гуманитарных наук, позволяющее моделировать также и связи между процессами, протекающими на данной территории. В этом случае натурная модель может быть использована для оптимизации большой по масштабу территории.

         При разработке способов преобразования природных систем, внутренний причинный механизм функционирования которых не ясен, применимы методы физического, математического и кибернетического моделирования. Для оптимизации взаимоотношений общества с природной средой необходим такой вид моделирования, который дал бы возможность учесть огромное количество взаимосвязанных переменных и позволил бы объединить данные многих дисциплин. К тому же необходимо не просто суммирование отдельных процессов, но и учет взаимодействий между ними. Осуществить это позволяет компьютерное моделирование. Оно дает количественный прогноз отдаленных последствий принятия различных альтернативных решений. Изучение поведения модели помогает найти эффективные пути к достижению оптимального результата на оригинале.

К достоинствам компьютерного моделирования по сравнению с реальным экспериментом следует отнести его относительно небольшую стоимость и возможность модификации модели с помощью минимальных усилий. Компьютер позволяет моделировать процесс во времени и включать в модель

элементы истории системы, что особенно важно для моделирования необратимых процессов. Переходить к компьютерному моделированию можно на самых ранних стадиях, и в процессе работы картина на «выходе» машины подсказывает, какие эксперименты необходимо проводить и как именно следует видоизменять модель, чтобы она становилась более адекватной прототипу.

         Если модель как средство познания используется для получения прогноза функционирования какого-либо процесса, то модель как средство преобразования необходима прежде всего для управления процессом. Прогноз, который в данном случае используется, носит характер нормативного. Соответственно моделирование такого рода может быть названо нормативным. Информация в кибернетических системах, живых организмах, популяциях и человеческом обществе не только воспринимается, но и преобразуется с формированием на ее основе нормативной модели, которая затем воплощается в действительность. Применение в качестве нормативной математической и других типов моделей существенно расширяет преобразовательные возможности человека.[3, с. 58]

         Говоря об общем значении компьютерного моделирования для решения экологической проблемы, следует отметить ускорение поиска наиболее приемлемого решения. Человечество получает возможность как бы «ускорить» свою адаптацию к природе. Руководствуясь в своей деятельности единственным, по существу, методом «проб и ошибок» (если понимать его в самом широком смысле), человечество должно опробовать многие модели, прежде чем совершить одну реальную пробу, так как с ростом технических возможностей растет ущерб от ошибки.

         Компьютерное моделирование отнюдь не отменяет прежних способов моделирования, которые широко применяются и на которых строилось и строится планирование человеческой деятельности. Оно дополняет другие виды моделирования по тем параметрам, по которым компьютер

превосходит человека: возможность быстро и логически безупречно просчитать огромное количество вариантов развития системы.

         В широком применении компьютерного моделирования для решения проблем познания и преобразования природной среды можно видеть соединение двух тенденций, характерных для современной науки, -кибернетизации и экологизации. ЭВМ в настоящее время применяют для выбора оптимальных вариантов использования различных видов ресурсов, для предсказания последствий загрязнения природной среды и т.п. Все большее распространение получают комплексные модели управления экосистемами вплоть до моделей рационального природопользования в пределах целых регионов. В частности, программа управления системой ресурсов большого водного бассейна принимает во внимание такие факторы, как урожай, собранный с орошаемой площади; количество вырабатываемой электроэнергии; ущерб, который могли бы причинить паводки и который удалось предупредить сооружением плотин; использование рек и водоемов в целях отдыха и др. Машина моделирует поведение многих переменных, подбирая такую последовательность и комбинацию процессов в системе, которая максимизирует функцию, представленную показателем экономической эффективности многоцелевой системы водных ресурсов, эксплуатируемых в течение нескольких лет.

         Намечается тенденция к тому, чтобы строить модели все более комплексные и все больших по размерам регионов. Дело в том, что критерий оптимизации системы каких-либо ресурсов зависит от стратегии использования ресурсов вообще и многих других факторов, связанных с преобразовательной деятельностью человека. Поэтому оптимальный вариант использования данного вида ресурсов может оказаться неоптимальным в рамках более общей задачи. В этой связи наиболее целесообразным выглядит моделирование не только отдельных фрагментов природной среды, но и биосферы в целом, ибо полученные при этом результаты позволяют лучше исследовать модели природных систем, расположенных на более низких

структурных уровнях. Поскольку биосфера рассматривается как единое целое, постольку и действия человека по ее познанию и преобразованию (это относится и к моделированию) должны находиться в определенном единстве.  В последние десятилетия предприняты попытки рассмотрения с помощью компьютерного моделирования состояния и тенденций глобального развития системы взаимоотношений общества с природной средой.

         1.2 Глобальное моделирование

         Первые попытки создания глобальных моделей были осуществлены Дж. Форрестером и группой Д. Медоуза на основе разработанною Дж. Форрестером метода системной динамики, позволяющего исследовать поведение сложной структуры взаимосвязанных переменных.

(месяц, год).

         Прирост биомассы организмов вида или всего сообщества за определенный период называется продукцией. Например, биомасса зерна пшеницы, полученная с гектара, является продукцией за год, или урожаем.

При специальных исследованиях, кроме перечисленных, используют и другие показатели численности организмов: индекс плотности, удельную продукцию, продуктивность» преобладание (весовой и объемный методы) и др.[3, с. 67]

         Все показателя количественного учета имеют большое теоретическое и практическое значение. Позволяя выявить биологические ресурсы отдельных биогеоценозов и биосферы в целом, они дают возможность делать кратковременные и долгосрочные прогнозы численности полезных и вредных видов, разрабатывать меры по охране и рациональному использованию природных ресурсов.

         Математические методы и биологическое моделирование- При экологическом исследовании, которое обычно проводится на определенном количестве особей, изучаются природные явления во всем их многообразии: общие закономерности, присущие макросистеме, ее реакции на изменения условии существования и др. Но каждая особь, индивидуум неодинаковы, отличны друг от друга. Кроме того, выбор особи из всей популяции носит случайный характер. И лишь применение методов математической статистики дает возможность по случайному набору различных вариантов определить достоверность тех или иных результатов (степень отклонения их

от нормы, случайны отклонения или закономерны) и получить объективное представление о всей популяции.

         Однако как только было установлено, что все биологические системы, в том числе и надорганизменные макросистемы, обладают способностью к саморегуляции, ограничиваться методами математической статистики стало невозможно. Поэтому в современной экологии широко применяются методы теории информации и кибернетики, тесно связанные с такими областями математики, как теория вероятности, математическая логика, дифференциальные и интегральные исчисления теория чисел, матричная алгебра.[9, с. 45]

         В последнее время широкое распространение получило моделирование биологических явлении, т. е. воспроизведение в искусственных системах различных процессов, происходящих в живой природе. Так, в «модельных условиях» были осуществлены многие реакции, протекающие в растении при фотосинтезе. Примером биологических моделей может служить и аппарат искусственного кровообращения, искусственная почка, искусственные легкие, протезы, управляемые биотоками мышц, и др.

         Основной задачей биологического моделирования является экспериментальная проверка гипотез относительно структуры и функции биологических систем. Модель обычно подтверждает выдвинутую гипотезу или дает возможность определить направление новых поисков.

Широко используются в различных областях биологии так называемые живые модели. Это основано на том, что различные организмы отличаются друг от друга сложностью и структуры и функции, но многие биологические процессы протекают у них, в сущности, одинаково, и поэтому изучать их удобно на более простых организмах. Они-то и становятся живыми моделями. В качестве примера живой модели можно привести зоохлореллу, которая служит для изучения обмена веществ; моделью для исследования внутриклеточных процессов являются гигантские растительные и животные клетки и т. д.

         При моделировании биологических явлений все чаще применяются аналоговые счетные устройства, с помощью которых воспроизводятся синтез и работа ферментов.

         Первыми математическими моделями простейших экологических систем хищник — жертва и эксплуататор — жертва были теоретические разработки В. Вольтерры, сделанные в 1931 г. Его работы послужили толчком для построения более сложных моделей процессов пищевых отношений популяций в биоценозах. С появлением быстродействующих электронно-вычислительных машин возникли возможности моделирования еще более сложных саморегулирующихся систем с обратной связью — популяций, биоценозов и биогеоценозов.[3, с. 56]

         На основе математического моделирования успешно изучаются микробные популяции и популяции одноклеточных водорослей, выращиваемых в культиваторах, исследуются явления внутривидовой конкуренции и различные формы межвидовых взаимоотношений. Важное место занимает попытка математического моделирования в экологических работах, направленных на использование природных ресурсов таким образом, чтобы в природе не нарушалось биологическое равновесие. Для этого важно не только знать сущность основных взаимодействий и процессов, протекающих в биогеоценозах, в биосфере в целом, но и с помощью математических методов предвидеть их в будущем. Как отмечает А. А. Ляпунов, «задачи изучения математических моделей биогеоценозов состоят в том, чтобы сопоставить кинетику явлений, подсказываемую моделью, с той, которая наблюдается в действительности, и, опираясь на это сопоставление, довести модель до достаточно хорошего согласия с действительностью. Тогда такие модели станет возможным использовать для практических прогнозов, а также для выбора рационального вмешательства человека в жизнь природы, с тем чтобы обеспечить такое использование природных ресурсов, при котором бы они должным образом самовоспроизводились».

         Таким образом, вполне очевидно, что по мере развития науки методы математического моделирования биологических систем будут все глубже проникать в различные направления экологических исследований.

         2. Моделирование межвидового взаимодействия типа «хищник – жертва»

                2.1. Аналитические исследования задач

В общем виде моделирование изменения численности популяции жертвы и эксплуататора можно описать следующей системой уравнений:

 dх₁ /dt. =с₁х₁ – а₁₁х²₁ – а₁₂х₁х₂ = Р (х₁,х₂) – жертва

 dх₂ /dt. =с₂ х₂ – а₂₂ х²₂ – а₂₁ х₁х₂ = Q(х₁,х₂) - эксплуататор

х₁(t = 0) = х₁₀

х₂(t = 0) = х₂₀

где, х₁ — численность популяции жертвы,

       х₂ — численность популяции эксплуататора;

         Выберем следующие значения параметров:

с₁ = 2,5; с₂ = 6,5; а₁₁= 4,5; а₂₂ = 9; а₁₂= 12; а₂₁ = 14,5.

Первое   слагаемое   описывает   естественный   прирост,  второе слагаемое     описывает     самоограничение     популяции     за     счёт внутривидовой    конкуренции,    последнее    слагаемое    описывает; межвидовое       взаимодействие.       Межвидовое       взаимодействие пропорционально численности видов х₁,х₂.

Рассмотрим упрощенный случай:

1) Влияние внутривидовой конкуренции мало:

а₁₁ =0, а₂₂ =0

2) между жертвой и эксплуататором прямая трофическая цепь, при этом жертва является единственной пищей для эксплуататора, тогда если , х₁ →0, то х₂ →0, тогда с₂<0

Получаем, что в правых частях остаётся только два члена, т.е. два логистических уравнения.

dх₁ /dt. =с₁х₁ –  а₁₂х₁х₂ = Р (х₁,х₂)

 dх₂ /dt. = - с₂ х₂ + а₂₁ х₁х₂ = Q(х₁,х₂)

Проведём качественный анализ системы:

I.                   Находим особые точки системы. Приравняем правые части уравнения к нулю и получим:

с₁х₁ - а₁₂х₁х₂ = 0

      - с₂ х₂ + а₂₁ х₁х₂ = 0

Вынесем в уравнениях х₁ и х₂ получим:

х₁ (с₁ - а₁₂ х₂ ) = 0

х₂ (- с₂ + а₂₁ х₁) = 0

         Таким  образом,  решая  эту  систему уравнений получим две особые точки:

х₁⁽¹⁾ = 0   х₁⁽²⁾ = с₂/ а₂₁ =6,5/14,5 = 0,45

х₂⁽¹⁾ = 0       х₂⁽²⁾ = с₁/ а₁₂ = 2,5/12= 0,21

         II. Определяем вид особых точек.

Вид особых точек определяется корнями характеристического  уравнения:

          (а + d)²

λ = (а + d)/ 2 + √   ––––    -  (аd - bc)

         4

а, b,с ,d — корни характеристического уравнения,

где а = (dP/dx₁)_x1x2,

       b = (dP/dx₂)_x1x2,

       c = (dQ/dx₁)_x1x2,

       d = (dQ/dx₂)_x1x2;

         Найдём производные для определения а, b, с, d:

а = dP/dx₁= с₁ - а₁₂ х₂,

b = dP/dx₂= - а₁₂х₁

с = dP/dx₁= а₂₁ х₂,

d = dP/dx₂= - с₁ + а₂₁ х₁.

         Исследуем каждую особую точку:

         1) для первой особой точки: а = с₁, b = 0, с = о, d = - с₂, подставим выбранные нами значения параметров, тогда а = 2,5, b = 0, с = 0, d. =-6,5.

         Найдем значения λ₁ ,λ₂ :

λ_1,2 = (2,5 – 6,5)/2 ±√ (2,5 – 6,5)²/4 + 2,5∙6,5 = -2 ± 4,5

λ₁ = 2, λ₂= - 6,5

Корни характеристического уравнения действительные числа, но     имеют      разные      знаки,      изображающая      точка     является неустойчивой, особая точка называется седло, фазовая траекторий гипербола, которая обходит особую точку.

         2) для второй особой точки:

 а = 0, b = - (а₁₂/ а₂₁)с₂, с = (а₂₁/ а₁₂) с₁,d = 0, подставим выбранные наvb значения, тогда а = 0, b = - 12/14,5≈ - 5,38, с = 14,5/12 = 3,02, d =0

         Найдем значения λ₁ ,λ₂

λ_1,2 = (0 + 0)/2±  √ (0 + 0)/4 –(0∙0-(-5,38∙3,02) = ± √-16

Корни характеристического уравнения чисто мнимые числа, т.е.  вторая  особая точка представляет собой центр, устойчиваz точка.

III. Построение Фазового портрета.

Находим уравнение главных изоклин:

Горизонтальная   изоклина   находится   приравниванием   к   нулю правую часть второго уравнения:

- с₂х₂ + а₂₁ х₁х₂ = 0

х₂(- с₂ + а₂₁ х₁) = 0

х₂ = 0,    х₁= с₂/ а₂₁ = 6,5/14,5 = 0,45 —1₂

         Вертикальная изоклина находится приравниванием к нулю правую часть первого уравнения :

с₁ х₁ - а₁₂х₁х₂ = 0

х₁ (с₁ - а₁₂х₂) = 0

х₁ = 0,    х₂ = с₁/ а₁₂= 2,5/12 = 0,21 -1₁

         2.2. Численные исследования задач, фазовый портрет

         График    1.    Увеличение    популяции   жертвы    до    15    тысяч    особей сопровождается увеличением популяции хищника, которая достигает в конце концов плотности 7,5 тысяч особей. Популяция жертвы не выдерживает такого давления со стороны популяции хищника начинает сокращается. Вследствие численность популяции жертвы достигает 0,1 тысячу особей, а в ответ, наг сокращение    численности    популяции    жертвы,    сокращается   численность  популяции хищника до 0,05 тысяч особей. Затем, когда хищника становится мало, популяция жертвы имеет возможность восстановиться. Период колебания численности - 100 лет.

         График 2. При увеличении константы хищничества (с₂) увеличивается с. роста  популяции  хищника относительно  скорости  роста популяции.  При максимальной    численности    жертвы    7,2    тысяч    особей,    максимальная численность популяции хищника достигает уровня 15,2 тысяч особей, больше почти в2 раза, нежели при меньшем коэффициенте. Вследствие популяция,: жертвы уменьшается до 0,1 тысяч особей, а по хищника- до 0,2 тысяч особей Период колебаний численности -140 лет.

         Фазовый портрет показывает как изменяется скорость изменения популяции в зависимости от численности. Малая численность – скорость увеличивается, и наоборот.

         Характеристическое уравнение имеет мнимые корни и согласно классификации такая особая точка называется центром.

         Особая точка х₍₂₎ являясь центром, показывает, что изменения численности популяции хищника и жертвы не происходит при их количестве соответственно с₂/а₂₁ и с₁/а₁₂ особей, что равняется их средней численности.

         Заключение

В данной курсовой работе мы моделировали изменения численности популяций жертвы и эксплуататора. Для этого мы рассматривали упрощенный случай, когда влияние внутривидовой конкуренции мало (а₁₁ = а₂₂ - 0) и между жертвой и эксплуататором существует прямая трофическая цепь. Для построения фазового портрета, который показывает как изменяется скорость популяции в зависимости от численности, определили вертикальную и горизонтальную изоклины (1₁ - 0,21;1₂ – 6,5/14,5). Моделирование межвидовых взаимодействий, показанные на графиках 1 и 2, показывают, что резкое увеличение численности жертвы вызывает резкое увеличение численности эксплуататора. Кроме того, сильное уменьшение популяции определенного;.; вида животных может привести к полному исчезновению этих животных.

Естественный отбор, действующий в популяции хищников, будет постоянно увеличивать эффективность поиска, ловли и поедания добычи. Но в ответ на это в популяции жертвы совершенствуются приспособления, позволяющие особям избежать поимки и уничтожения. Следовательно, в процессе эволюции взаимоотношений «хищник - жертва» жертва действует так. чтобы освободиться от взаимодействия, а хищник - так, чтобы постоянно его поддерживать.

         Таким   образом,   привлечение   компьютеров   существенно   раздвинут границы моделирования экологических процессов. С одной стороны, появилась возможность всесторонней реализации сложных математических моделей, не допускающих     аналитического     исследования,     с     другой принципиально   новые   направления,   и   прежде    всего - имитационное моделирование.

         Список используемой литературы

1.     Вронский В.А. Прикладная экология: Учебное пособие. Ростов н/Д: Феникс, 1996.

2.       Вронский В. А. Прикладная экология. Ростов н/Д, 1996.

3.     Гиляров А М. Популяционная экология. М.: Изд-во МПУ, 1990.

4.     Горелов А.А. Экология. Учебное пособие. - М.: Центр, 2002. - 240 с.

5.     Гринин А.С., Орехов Н.А., Новиков В.Н. Математическое моделирование в. экологии. Учебное пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2003. - 269 с.

6.     Дрейер О.К., Лось В.А. Экология и устойчивое развитие. М.: АВС, 1995.

7.     Кривошеий Д.А., Муравей Л.А., Роева Н.Н. и др. Под редакцией Муравья Л.А. Экология и безопасность жизнедеятельности. Учебное пособие.- -М.: ЮНИТИ - ДАНА, 2000. - 447 с.

8.      Коробкин В.И., Предельский Л.В. Экология в вопросах и ответах: Учебное пособие. Ростов н /Д: Феникс, 2002. – 384 с.

9.      Коробкин В. И., Переделъский Л. В. Экология. Ростов н/Д, 2000.

10. Радкевич В.А. Экология. Учебник. - 3-е изд., перераб. и дополнил Высшая школа, 1997. - 159 с.

11. Родионов А.И., Клушин В.Н., Торочешников Н.С. Техника защиты окружающей среды. – М.: Химия, 1989. – 512 с.

12.  Степановских А.С. Охрана окружающей среды: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. – 559 с.

13.  Степановский А.С. Общая экология. - С.-Пб.: Химия, 1997. - 240 с.

14. Степановских А.С. Общая экология: учебник для вузов. –М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 687 с.

15. Одум Ю. Экология / Пер. с англ. Т. 1-2. М.: Мир, 1986.

Краткое описание документа:

Математическое моделирование в экологии сообществ достаточно

обширная область исследования и по выбору объектов моделирования, и по набору методов, и по спектру решаемых задач. Внимание обращено на два класса методов: моделирование с помощью дифференциальных ура мнений и методы, основывающиеся па экстремальных принципах биологии.

Модели каждого из методов, безусловно, обладают своими достоинствами и недостатками. Гак, дифференциальные или разностные уравнения позволяют описывать динамику процессов в режиме реального времени, тогда как вариационные методы, как правило, предсказывают лишь конечное стационарное состояние сообщества. Но на пути имитаций с помощью уравнений возникают трудности как принципиального, так и технического характера.