Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Квадрат Пирсона в задачах на смеси из двух и трех растворов (сплавов)
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Квадрат Пирсона в задачах на смеси из двух и трех растворов (сплавов)

библиотека
материалов

hello_html_m39ecbc42.gifhello_html_m39ecbc42.gifСалтыкова Руслана Алусьевна

Учитель математики МБОУ СОШ д. Новая Бура

Краснокамского района Республики Башкортостан

КВАДРАТ ПИРСОНА В ЗАДАЧАХ НА СМЕСИ И СПЛАВЫ

Цели и задачи: показать и раскрыть суть способа решения задач на сплавы и смеси, используя «квадрат Пирсона».

В работе раскрывается способ решения задач на концентрацию веществ, который предложил английский математик и статистик Карл (Чарльз) Пирсон (1857-1936).

Задачи на смеси, растворы и сплавы входят в обязательный курс школьной математики и встречаются на Едином государственном экзамене, но умеют решать их, увы, немногие. Постараемся исправить эту ситуацию и научимся решать данную разновидность задач с помощью квадрата Пирсона (или «методом креста»).

Квадрат Пирсона – это механический способ, который позволяет рационально и экономно проводить вычисления при решении задач на концентрацию, что особенно ценно на ЕГЭ и ГИА.

Применение квадрата Пирсона для смесей из двух сплавов достаточно хорошо раскрыто во многих исследовательских работах, опубликованных в различных изданиях, в том числе и в интернет-ресурсах. Но для смесей из трех и более сплавов вопрос применения данного метода остается открытым. Мало того, в некоторых исследовательских работах прямо указывается на невозможность применения «метода креста» для смесей из трех растворов. В данной работе показано, что этот способ можно применить для смесей из любого количества сплавов.

Ключевые слова: квадрат Пирсона, смеси, растворы, сплавы.

  1. Теоретическая часть.

Для начала примем некоторые допущения:

  • все получающиеся смеси и сплавы однородны;

  • для всех веществ выполняется закон сохранения массы (или объема): масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.

Определение. Процентным содержанием (концентрацией или массовой долей) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.

Сначала сформулируем и решим задачу в общем виде – составив таблицу. Допустим, имеется два раствора с концентрациями х1 % и х2 %, из которых требуется приготовить раствор с заданной концентрацией k %.

Пусть m1 – масса первого вещества, m2 – масса второго вещества, тогда при смешивании общая масса смеси будет равна m = m1 + m2.

При этом массовые доли растворенных веществ в данных растворах равны соответственно 0,01 х1 m1 и 0,01 х2 m2.

Заполним таблицу:


Процентное содержание вещества (%)

Масса вещества (кг)

Массовая доля растворенного вещества

I раствор

х1

m1

0,01 х1 m1

II раствор

х2

m2

0,01 х2 m2

Смесь

k

m = m1 + m2

0,011 m1 + х2 m2)


0,01 k m

или 0,01 k (m1 + m2)


Очевидно, что выполняется равенство:

0,01∙ k ∙ (m1 + m2) = 0,01∙ (х1m1 + х2m2),

k ∙ (m1 + m2) = х1m1 + х2m2,

или х1m1 + х2m2 = km, (1)

откуда получаем уравнение:

m1 (k – х1) + m2 (k – х2) = 0. (2)

Применим к этой ситуации другой подход. Построим квадрат и начертим обе его диагонали. Слева от квадрата рядом с его вершинами запишем одну над другой процентное содержание растворенного вещества в исходных растворах, а в его центре – процентное содержание вещества в смеси, которую нужно приготовить, и общую массу вещества. Внутри квадрата у соответствующих вершин запишем массы взятых растворов.

Теперь выполним следующие действия:

  1. Умножим выражения, стоящие внутри и снаружи квадрата, рядом с верхней, а затем и нижней вершинами. Согласно формуле (1), их сумма равна произведению чисел, стоящих в центре квадрата.

  2. Вычтем вдоль каждой диагонали квадрата процентные содержания веществ и запишем у свободного конца диагонали, умножив их на соответствующие массы исходных растворов.

Получим выражения: (kx1) m2 и (kx2) m2 .

По формуле (2) сумма этих выражений равна 0.

Таким образом, мы получили механический способ решения таких задач с помощью квадрата Пирсона.

Аналогично решается задача и для смеси из трех и более сплавов.


  1. Практическая часть.

Рассмотрим применение этого способа на конкретных примерах.

Задача 1.

В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Объем смеси равен 5 + 7 = 12 (л).

Построим квадрат Пирсона.

hello_html_m1c97b651.png

По формуле (1) имеем:

12 5 + 0 7 = 12 х,

12 х = 60,

х = 5 (%).

Ответ: концентрация получившегося вещества равна 5 %.

Задача 2.

Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Поскольку количество вещества одинаково, то массу каждого раствора можно принять равной 1 кг. Тогда масса смеси равна 1 + 1 = 2 (кг).

Как и в предыдущей задаче, применим квадрат Пирсона.

hello_html_mbfaae8d.png

Опять применим первую формулу:

15 1 + 19 1 = 2 х,

2 х = 34,

откуда х = 17 (%).

Ответ: концентрация смеси равна 17 %.

Задача 3.

Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Общий объем смеси равен 4 + 6 = 10 (л).

hello_html_6bc0b7f7.png

Составим уравнение по формуле (1):

10 х = 15 4 + 25 6,

10 х = 210,

х = 21 (%).

Ответ: концентрация смеси равна 21 %.

Задача 4.

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

Решение.

Пусть масса первого сплава равна х кг,

тогда масса второго сплава – (200 – х) кг.

hello_html_m63d572f2.png

Воспользуемся формулой (1):

10 х + 30 (200 – х) = 25 200,

10 х + 6000 – 30 х = 5000,

20 х = 1000,

х = 50 (кг) – масса первого сплава.

200 – х = 200 – 50 = 150 (кг) – масса второго сплава.

150 – 50 = 100 (кг) – разность масс второго и первого сплавов.

Ответ: на 100 кг меньше.

Задача 5.

Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

Решение.

Построим квадрат Пирсона и сложим два выражения, записанные справа от квадрата. Согласно формуле (2), эта сумма равна 0.


hello_html_7ae3b21a.png

Получаем уравнение:

20 х – 10 (х + 3) = 0,

откуда х = 3 (кг) – масса первого сплава,

тогда х + 3 = 3 + 3 = 6 (кг) – масса второго сплава.

Масса третьего сплава равна:

3 + 6 = 9 (кг).

Ответ: 9 кг.

Задача 6.

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Решение.

Пусть масса первого раствора равна х кг, а второго – y кг.

Заполним квадраты для трех растворов:

hello_html_216c4ae2.pnghello_html_bdcbc80.png

По формуле (2) составим систему линейных уравнений:

6 х – 24 y + 360 = 0,

11 х – 19 y – 90 = 0,

из которой получаем х = 54 (кг).

Ответ: 54 кг.

Задача 7.

Имеется два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй  — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?

Решение.

Пусть процентное содержание вещества в первом растворе равно х %, а во втором – y%.

При заполнении первого квадрата масса смеси равна 30 + 20 = 50 (кг), а во втором – примем массы растворов равными 1 кг, тогда общая масса смеси равна 1 + 1 = 2 (кг).

hello_html_2c42d470.pnghello_html_49edda0d.png

Составим систему уравнений:

30 х + 20 y = 3400,

х + y = 140,

откуда х = 60 (%).

Масса кислоты, содержащейся в первом сосуде, равна

60 % (от 30 кг) = 0,6 30 = 18 (кг).

Ответ: 18 кг.

Задача 8.

Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие — 15% воды. Сколько получится сухих грибов из 34 кг свежих грибов?

Решение.

Содержание воды в свежих грибах 90 %, следовательно, содержание «мякоти» равно 10 %. А в сушеных грибах содержится 100 – 15 = 85 (%) «мякоти».

В качестве второго «раствора» можно рассматривать 0 кг грибов с содержанием «мякоти» 0 %.

Тогда квадрат Пирсона выглядит так:

hello_html_6760e04a.png

Составим и решим уравнение:

85 х = 34 10 + 0,

откуда х = 4 (кг).

Ответ: 4 кг свежих грибов.

Задача 9.

Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда потребуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90% воды, а изюм содержит 5% воды?

Решение.

По аналогии с предыдущей задачей содержание «мякоти» в винограде равно 100 – 90 = 10 (%), а в изюме – (100 – 5) = 95 %.

hello_html_273c8148.png

Составим уравнение по формуле (1):

10 х = 95 20,

х = 190 (кг).

Ответ: 190 кг винограда.

Задача 10. Ну, а эта задача решается совсем просто.

Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35 % золота, а во втором – 60 %. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40 % золота?

Решение.

Построим квадрат Пирсона согласно условию задачи.

hello_html_569011d6.png

Очевидно, что сплавы надо взять в пропорции 20 : 5 = 4 : 1.

Ответ: первого сплава надо взять в 4 раза больше, чем второго.


Литература

  1. Задачи открытого банка заданий по математике. http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems?offsetStr=36&posMask=1024&showProto=true

  2. Азия, А.П. Вольпер, И.М. Квадрат Пирсона / А. П. Азия А., И. М. Вольпер// Квант. – 1973. - № 3. – С. 61. http://kvant.mccme.ru/1973/03/kvadrat_pirsona.htm














Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 05.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров3248
Номер материала ДВ-418879
Получить свидетельство о публикации

Комментарии:

1 год назад
Презентация к этому материалу загружена отдельным файлом... Она на моей странице.
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх