Инфоурок / Математика / Конспекты / Квадратные уравнения с параметрами
Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение на курсах повышения квалификации прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40%. По окончании курсов Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Открыт приём заявок на новые курсы повышения квалификации:

- «Профилактическая работа в ОО по выявлению троллинга, моббинга и буллинга среди подростков» (108 часов)

- «Психодиагностика в образовательных организациях с учетом реализации ФГОС» (72 часа)

- «Укрепление здоровья детей дошкольного возраста как ценностный приоритет воспитательно-образовательной работы ДОО» (108 часов)

- «Профориентация школьников: психология и выбор профессии» (108 часов)

- «Видеотехнологии и мультипликация в начальной школе» (72 часа)

- «Патриотическое воспитание дошкольников в системе работы педагога дошкольной образовательной организации» (108 часов)

- «Психолого-педагогическое сопровождение детей с синдромом дефицита внимания и гиперактивности (СДВГ)» (72 часа)

- «Использование активных методов обучения в ВУЗе в условиях реализации ФГОС» (108 часов)

- «Специфика преподавания русского языка как иностранного» (108 часов)

- «Экологическое образование детей дошкольного возраста: развитие кругозора и опытно-исследовательская деятельность в рамках реализации ФГОС ДО» (108 часов)

- «Простые машины и механизмы: организация работы ДОУ с помощью образовательных конструкторов» (36 часов)

- «Федеральный государственный стандарт ООО и СОО по истории: требования к современному уроку» (72 часа)

- «Организация маркетинга в туризме» (72 часа)

Также представляем Вашему вниманию новый курс переподготовки «Организация тренерской деятельности по физической культуре и спорту» (300/600 часов, присваиваемая квалификация: Тренер-преподаватель).

Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Квадратные уравнения с параметрами

библиотека
материалов

Тема занятия «КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ»

Цели занятия:


Образовательная: углубить ранее полученные знания об уравнениях с параметрами, закрепить навыки решения уравнений;


Воспитательная: воспитывать навыки учебного труда, умение работать в группах;


Развивающая: развивать логическое мышление, формировать потребность к приобретению знаний.

Опрос:

Вспомним условия расположения корней уравнения,при условии , что оба корня положительные, отрицательные, разных знаков.


hello_html_4d981edb.gif


hello_html_6739bbc2.gifhello_html_m62335f6b.gifhello_html_6c2901c3.gif


hello_html_ba84931.gifhello_html_42be0885.gifhello_html_771e6584.gif


Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с параметрами.


ПРИМЕР 1.

Решить уравнение hello_html_m2ce986bb.gif

Решение:

1.Если hello_html_684fbccc.gif , то мы имеем линейное уравнение:

hello_html_6b275386.gif

hello_html_128ef59a.gif

2.Если hello_html_m9e9ff49.gif найдём дискриминант D квадратного уравнения :

hello_html_m7442dffb.gif

а)Если hello_html_m51b6d79a.gif, то


hello_html_7bda18b1.gif

б)Если hello_html_1acb3deb.gif т.е. hello_html_m5c9febfe.gif то hello_html_m22bd97d9.gif

в)Если hello_html_m4546acb0.gif то действительных корней нет .

Ответ: hello_html_m1a23ca25.gif если hello_html_7c4d02a.gif

hello_html_m6531a3fc.gifесли hello_html_6d7579fc.gif

hello_html_66d8386d.gifесли hello_html_m65def90b.gif

решений нет, если hello_html_m73da63c4.gif

ПРИМЕР 2.

Решить уравнение hello_html_5eeb0c29.gif

Решение:

Уравнение hello_html_1a882702.gif равносильно системе:

hello_html_mf86a311.gifhello_html_m1ae541f0.gif

Решим уравнение hello_html_m1b15b674.gif

1.Если hello_html_17959d55.gifт.е. hello_html_4a05d4be.gif имеем :

hello_html_6c70c56e.gif

Условие hello_html_3b05a06b.gif выполнено, т.к.

hello_html_m68eea52f.gif

Выясним, при каких значениях hello_html_7575936c.gifДля этого решим уравнения :

hello_html_m7a488bf0.gifи hello_html_m4e221afa.gif

Понятно, что при всех отрицательных значениях параметра hello_html_d872e6f.gif равенство в первом уравнении невозможно, при hello_html_5d113f4.gifвозведя в квадрат обе части равенства , мы получим hello_html_m7b629987.gif что невозможно.

Второе из рассматриваемых уравнений невозможно при положительных значениях hello_html_d872e6f.gif ,а при hello_html_m61431c7e.gif имеем , как и в первом случае , неверное равенство

hello_html_m223b6f73.gif

Таким образом , если hello_html_m469778e2.gif

2.Если hello_html_39ad90bb.gif то

hello_html_5e026da2.gif

Т.е. в данном случае уравнение не имеет решений.

3.Если hello_html_m2243b2b8.gif то дискриминант квадратного уравнения отрицательный и, таким образом, нет действительных корней.

Ответ: hello_html_mac8f3c3.gifесли hello_html_mf8a812e.gif

решений нет, если hello_html_3e516ba1.gif

ПРИМЕР 3.

Определить количество корней уравнения в зависимости от hello_html_d872e6f.gif:

hello_html_773dca9.gif

Решение:

Обозначим hello_html_5509e2cf.gif Тогда исходное уравнение имеет вид

hello_html_a136ae5.gifили hello_html_mb91c8fe.gif.

Количество корней зависит от знака D1 .

D1=hello_html_170f2d2e.gif

1.Если hello_html_3851e24d.gifто данное уравнение не имеет корней.

2.При hello_html_cc3de59.gif уравнение имеет единственный корень: hello_html_30240beb.gifИтак, hello_html_m11c757ab.gif

hello_html_mc638b30.gifЭто уравнение не имеет корней.

3.Если hello_html_37c241bd.gif то корни уравнения hello_html_m790ebf9.gif

Итак ,необходимо выяснить , сколько корней имеет совокупность уравнений:


hello_html_m78988ff3.gifhello_html_m440b0d29.gif

В первом уравнении дискриминант hello_html_3d4f5a96.gif отсюда следует, что оно не имеет решений при любых значениях параметра hello_html_3aaa8374.gif

Во втором уравнении

hello_html_m229f3171.gif

1)Если hello_html_m39021f1b.gif т.е. hello_html_40c644ad.gifто данное уравнение имеет один корень.

2)Если hello_html_m1250f8cb.gif т.е. hello_html_34db338e.gif

Уравнение не имеет действительных корней.

3)Если hello_html_60c3a7e4.gif т.е. hello_html_4c629d0b.gif уравнение имеет два корня .

Ответ: Два корня , если hello_html_704e506b.gif

один корень, если hello_html_21e0f5a9.gif

действительных корней нет, если hello_html_m3109bde5.gif

ПРИМЕР 4.

При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif уравнение

hello_html_479a6b40.gifимеет единственное решение?

Решение:

Данное уравнение равносильно системе :

hello_html_3d899108.gifhello_html_m53d4ecad.gif

Найдём дискриминант квадратного уравнения :

hello_html_6c0c2a4b.gif

Если hello_html_m728aff7a.gif, уравнение имеет один корень hello_html_m384abafc.gif что удовлетворяет условию

hello_html_4b132c33.gif

При hello_html_1b73839b.gif получим:

hello_html_m21751f61.gifhello_html_7d389c47.gif

Уравнение имеет одно решение , если hello_html_6f607fca.gif т. е. при hello_html_m6b165173.gif


Ответ: Уравнение имеет один корень, если hello_html_7ad50636.gif

ПРИМЕР 5.

При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif уравнение hello_html_3809cc5.gif имеет

два разных действительных корня?

Решение:

Данное биквадратное уравнение сводится к совокупности уравнений:

hello_html_m61ab3613.gif

Уравнение имеет два разных корня, если

hello_html_343990d3.gifhello_html_m35cd1849.gif

Ответ: уравнение имеет два разных корня , если hello_html_7eae9d07.gif

ПРИМЕР 6.

При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif уравнение


hello_html_7e16978.gifимеет единственное решение ?

Решение:

Данное уравнение равносильно системе :

hello_html_2e5fed23.gif


hello_html_6b9337c7.gifсистема будет иметь одно решение ,если

hello_html_1c01e58.gifт.е. при hello_html_m17421cee.gif

Ответ: уравнение имеет единственное решение при hello_html_6520f022.gif

ПРИМЕР 7.

Сколько решений имеет уравнение hello_html_468f7c25.gif в зависимости от значения параметра hello_html_d872e6f.gif ?

Решение:

Данное уравнение равносильно системе :

hello_html_174cc580.gif

При hello_html_ca42ce5.gif или hello_html_668b8d70.gif уравнение имеет два решения, в других случаях – три.

Ответ: два решения , если hello_html_m27a95b0a.gif

три решения, если hello_html_m37d94ea8.gif

ПРИМЕР 8.

При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif уравнение

hello_html_m11e90c56.gifимеет единственное решение ?

Решение:

Данное уравнение равносильно системе :

hello_html_m2b2a011b.gif

Решив квадратное уравнение , имеем :

hello_html_6ad8c482.gifhello_html_3b19b6b8.gif

Система имеет единственное решение, если hello_html_mdc9007a.gif т.е. hello_html_ab2b0d9.gif или, когда hello_html_336605f7.gif

Ответ: уравнение имеет единственное решение, если hello_html_m5099e1b7.gif

ПРИМЕР 9.

При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif уравнение hello_html_m2658591.gif

имеет единственное решение?

Решение:

1.Если hello_html_66529523.gif то мы получим линейное уравнение hello_html_659cb4fa.gif

При hello_html_77f7b8ef.gif

При hello_html_777e2159.gif решений нет .

2.При hello_html_66c33488.gif дискриминант D должен равняться нулю, т.е.

hello_html_2b7123a4.gif

Случай hello_html_777e2159.gif уже рассмотрен .

Ответ:уравнение имеет единственное решение при hello_html_b6ac307.gif

ПРИМЕР 10.

При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif сумма корней уравнения

hello_html_52d0665e.gifравна 2?

Решение:

Чтобы уравнение имело корни , hello_html_4d2b86e3.gif

По теореме Виета, hello_html_m37ac5270.gif

Таким образом, имеем систему:

hello_html_m179a8d30.gif

hello_html_m21fd4c9d.gif

hello_html_mf792f5c.gifhello_html_38231899.gif

Ответ: при hello_html_38231899.gif

ПРИМЕР 11.

При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif уравнение hello_html_m43b03738.gif

имеет два разных положительных корня ?

Решение:

Для того, чтобы квадратное уравнение имело два разных действительных корня, необходимо, чтобы дискриминант

hello_html_m6dbfad29.gif

По теореме Виета:

hello_html_m776bf93e.gif

Таким образом, имеем систему неравенств :


hello_html_3359b9bb.gifhello_html_180f4a87.gifhello_html_m4901e7d6.gifhello_html_m3e8c4255.gif

Ответ: уравнение имеет два разных положительных корня,

если hello_html_m4340d0a.gif .

ПРИМЕР 12.

При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif один корень уравнения

hello_html_65fec6c0.gifменьше, чем -2 , три других- больше -1 ?

Решение:

В условии задачи идёт речь о четырёх корнях , т.е. hello_html_69459d8e.gif Пусть hello_html_440c0d6d.gif тогда

данное уравнение примет вид

hello_html_f754fe2.gif.

Чтобы данное уравнение имело четыре действительных корня , которые удовлетворяют условию задачи , необходимо, чтобы корни уравнения относительно t удовлетворяли условиям: hello_html_m4b12154b.gif

Итак имеем систему неравенств :

hello_html_m5d5c58ed.gifгде hello_html_baa0409.gif

Ответ: при hello_html_m3100afb7.gif

ПРИМЕР 13.

При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif уравнение hello_html_36d2d452.gif имеет

единственный корень ? Найти его.

Решение:

а) hello_html_21e33b38.gif тогда hello_html_ee46389.gif

б) hello_html_24cd69d8.gif тогда hello_html_7b6a3497.gif

hello_html_2495c2e.gifhello_html_7bb56c2c.gifhello_html_1e8d9ada.gif

hello_html_m53d4ecad.gifОтвет: при hello_html_3c301e6a.gif

ПРИМЕР 14.

Определить количество целых значений параметра hello_html_m69679609.gif из промежутка hello_html_2eb8a979.gif,

при которых квадратное уравнение hello_html_100b25b0.gif имеет два разных корня.

Решение:

Для того , чтобы квадратное уравнение имело два разных корня, необходимо, чтобы hello_html_m34dbd567.gif

hello_html_6bb866e7.gif


Ответ: 4.

ПРИМЕР 15.

При каком наименьшем целом значении hello_html_m69679609.gif уравнение hello_html_5d484e08.gif

имеет четыре решения ?

Решение :

Построим в одной системе координат графики функций hello_html_1a64c2e7.gif и

hello_html_2673a7cb.gif

Видим, что при hello_html_m49934cc1.gif эти графики имеют четыре точки пересечения.

Ответ: hello_html_m26cd98ab.gif

ПРИМЕР 16.

Найдите количество целых значений hello_html_m69679609.gif , при которых сумма корней уравнения hello_html_m5a0e5aa4.gif принадлежит промежутку hello_html_b7392c7.gif.

Решение: hello_html_m5a0e5aa4.gif

hello_html_144a7b23.gifСумма корней уравнения равна hello_html_71cd4f07.gif

Итак , hello_html_m61aaa41b.gifhello_html_m666b4a87.gifhello_html_d2e6fee.gifhello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m7341668d.gif

Целые числа, которые удовлетворяют условию hello_html_m4f819e77.gif 11, 12,13, 14,15.

Ответ: пять.

ПРИМЕР 17.

Найдите количество целых значений hello_html_m69679609.gif, при которых произведение корней уравнения hello_html_m3e381425.gif принадлежит промежутку hello_html_m20951d8b.gif.

Решение:

Произведение корней уравнения равно hello_html_m4df13a3.gif

Итак, hello_html_m20ccbb55.gifhello_html_70f9c9a1.gifhello_html_60d02312.gifhello_html_m7964bc61.gif

Целые числа , которые удовлетворяют условию hello_html_m78a747f.gif это 23, 24, 25.

Ответ:три.

ПРИМЕР 18.

При каком наименьшем натуральном значении параметра hello_html_d872e6f.gifкорни уравнения hello_html_m69c7765a.gif являются рациональными числами?

Решение: hello_html_2b331d55.gif

Для того ,чтобы корни уравнения были рациональными числами, необходимо, чтобы выражение hello_html_5852ddd1.gif было полным квадратом ,т.е.

hello_html_m60bef90b.gifбудет полным квадратом при наименьшем натуральном значении

hello_html_1f3ce1d.gif

Ответ: при hello_html_1f3ce1d.gif

ПРИМЕР 19.

При каком значении параметра hello_html_d872e6f.gif квадратное уравнение

hello_html_m87b617f.gifимеет корни, равные по абсолютной величине и противоположные по значению ?

Решение:

hello_html_56ee0052.gifразделим на hello_html_1ccc7afb.gif

hello_html_m367b0af3.gif

hello_html_m24d02bc7.gifhello_html_m21acd94a.gifhello_html_1b63d10e.gifhello_html_38231899.gif

Ответ: при hello_html_38231899.gif

ПРИМЕР 20.

При каком наибольшем целом значении параметра hello_html_m69679609.gif корни уравнения

hello_html_46e63ad8.gifнаходятся по разные стороны промежутка hello_html_1b6e6e79.gif ?

Решение:

Запишем левую часть уравнения как функцию hello_html_m182ff829.gif

Нарисуем график этой функции ( схематично).

Мы видим, что корни уравнения находятся по разные стороны промежутка

hello_html_1b6e6e79.gif, если выполняются условия:

hello_html_m1fec9b66.gifhello_html_m3a1483c6.gif

hello_html_5ad61131.gifhello_html_mb7ce94c.gif


Ответ: hello_html_m63c1462c.gif

ПРИМЕР 21.

При каком значении параметра hello_html_d872e6f.gif сумма квадратов корней уравнения

hello_html_m292e11f.gifравна 12?


Решение:

По теореме Виета: hello_html_m74a9dcfc.gif По условию: hello_html_36e2f6fe.gif тогда

hello_html_m6c4fa6f8.gifhello_html_666d2602.gif

Т.е. hello_html_m77d63d17.gifhello_html_4c1608fd.gifhello_html_4185571e.gif

Ответ: hello_html_4185571e.gif

ПРИМЕР 22.

При каком значении параметра hello_html_d872e6f.gif произведение корней уравнения

hello_html_mf7706b9.gifбудет наибольшим?

Решение:

По теореме Виета произведение корней этого уравнения равняется :

hello_html_m3faed54e.gif

Сумма двух положительных чисел принимает наименьшее значение, если одно из слагаемых равно нулю. Итак , hello_html_m33daeeb0.gif

Ответ: hello_html_59b9fa29.gif

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1.Решить уравнение:

1) hello_html_m3119a993.gif

2) hello_html_m449b942d.gif

3) hello_html_2d72fe53.gif

Ответы:

1) hello_html_m2003acc5.gif если hello_html_m7143781b.gif

корней нет, если hello_html_614efa85.gifhello_html_59456815.gif если hello_html_2c2c0324.gifhello_html_m63e35d07.gif если hello_html_1f3ce1d.gif

2) hello_html_m42ad1329.gif если hello_html_m46a2855a.gif

hello_html_38cbb60.gifпри hello_html_61853ecd.gif корней нет при hello_html_ed62fdc.gif

3) hello_html_m3b9a1c65.gif если hello_html_m68a3eca8.gif корней нет, если hello_html_m420d751d.gif

2.При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif уравнение

hello_html_m3f2d0c05.gifимеет единственное решение ?

Ответ: ни при каких.

3.При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif уравнение hello_html_34c4e84e.gif

имеет два разных действительных корня?

Ответ: при hello_html_17aa0f03.gif

4.При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif уравнение hello_html_5e60cd2c.gif

имеет единственное решение ?

Ответ: при hello_html_432aad1f.gif

5.Сколько решений имеет уравнение hello_html_m563c6887.gif в зависимости от параметра hello_html_d872e6f.gif?

Ответ: два корня, если hello_html_25ffd47e.gif

три корня, если hello_html_5abb9d0d.gif

6.При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif уравнение hello_html_232d61cf.gif

имеет единственное решение?

Ответ: при hello_html_1fa8b231.gif

7.При каком значении параметра hello_html_d872e6f.gif произведение корней уравнения

hello_html_m2b0a2f57.gifравно 8?

Ответ: при hello_html_55c97613.gif

8.При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif уравнение hello_html_6450457d.gif имеет

два разных отрицательных корня ?

Ответ: при hello_html_5e53df1f.gif

9.При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif уравнение hello_html_maebe82d.gif имеет

два разных действительных отрицательных корня?

Ответ: при hello_html_2fdc577d.gif

10.При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif уравнение hello_html_68b3fd58.gif имеет корни разных знаков ?

Ответ: при hello_html_md2f566d.gif

11.При каких значениях параметра hello_html_d872e6f.gif уравнение hello_html_18a66fa5.gif имеет

корни hello_html_m489d3acb.gif такие, что hello_html_b9df90.gif и hello_html_5ec4d932.gif?

Ответ: при hello_html_m3938b3fb.gif

12.Найти все значения hello_html_d872e6f.gif, при которых один из корней уравнения

hello_html_m47817084.gifменьше чем 1, а второй – больше 1.

Ответ: hello_html_m26bee8c6.gif

13.Найти все значения hello_html_d872e6f.gif, при которых корни уравнения hello_html_1a8ccede.gif

больше, чем 1.

Ответ: hello_html_m2484cabd.gif










Краткое описание документа:

Квадратные уравнения с параметрами- это занятие для спецкурса в 10-11 классе.Рассмотрено  решение 22 примеров и приведены примеры с ответами для самостоятельного решения.

Начинается занятие с повторения условия расположения корней квадратного уравнения, если оба корня положительные, отрицательные, разных знаков. Решение таких уравнений углубляет знания учащихся об уравнениях с параметрами, воспитывает навыки учебного труда, развивает логическое мышление, формирует потребность к приобретению знаний. С решениями квадратных уравнений учащиеся знакомились на уроках алгебры, а занятия спецкурса расширяют и углубляют знания учащихся об уравнениях.

Общая информация

Номер материала: 305016

Похожие материалы