Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Информатика / Конспекты / Лабораторные работы к курсу
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Информатика

Лабораторные работы к курсу

библиотека
материалов

Лабораторная работа №1

Задание: Используя, алгоритм половинного деления, найти корень уравнения hello_html_394a6a4b.gif с точностью hello_html_363d9209.gif.

Порядок выполнения работы

  1. Графически или аналитически отделить корень уравнения hello_html_394a6a4b.gif (т.е. найти отрезок hello_html_m5ddb2454.gif, на котором функция hello_html_m1a06d297.gif удовлетворяет условиям Больцано-Коши).

  2. Составить процедуру для вычисления hello_html_m1a06d297.gif.

  3. Составить программу, содержащую алгоритм половинного деления и печать результатов. (Программа должна содержать счетчик итераций).

  4. Провести вычисления по программе.

  5. Составить отчет о проделанной работе.

Пример. Найти отличный от нуля корень уравнения hello_html_m525ab795.gif, с четырьмя верными знаками после запятой.

Искомый корень легко отделяется графически. Для этого нужно преобразовать уравнение к виду hello_html_m1716ba96.gif и построить графики функций hello_html_m4df64d00.gif и hello_html_m38eea618.gif. Точки пересечения наших графиков и будут искомые решения данного уравнения. Искомый корень лежит на отрезке hello_html_m74c1e2b5.gif. Для того, чтобы найти корень с тремя верными знаками после запятой, полагаем hello_html_363d9209.gif=0.0005. В этом случае головная программа, вспомогательные функция и процедура просты и не требуют комментариев:


Function f(x: real): real;

begin

f=x*x-5*sin(x);

end;


Procedure pol_del;

begin

while b-a

c:=(b+a)/2;

y:=f(c);

writeln(c);

if y*f(a)<0 then b:=c else a:=c;

end;

end;


begin

writeln(‘Введите значения параметров a, b, eps’);

readln(a,b,eps);

pol_del;

writeln(‘корень уравнения - ’,c);

end


В результате выполнения программы был получен результат:

корень уравнения – 2.08631Е+00.



Варианты заданий

№ варианта

Задание

a

b

c

d

A

B

1

Найти наименьший положительный корень уравнения hello_html_394a6a4b.gif, где hello_html_2969f429.gif

0,6319

0,9217





2

9,4637

13,8249





3

0,9464

1,3825





4

8,5174

12,4424





5

1,8927

2,7650





6

4,4164

6,4516






7

Найти больший корень уравнения hello_html_394a6a4b.gif, гдеhello_html_m517153f5.gif

0,3049

0,3436

0,5




8

9,1464

10,3081

1,0




9

0,6098

0,6872

1,5




10

8,5366

9,6209

2,0




11

0,9146

1,0308

2,5




12

7,9268

8,9337

3,0





13

Найти наименьший положительный корень уравнения hello_html_394a6a4b.gif, где hello_html_7dc1227b.gif

0,33

2,3

0,5




14

10

7,375

7,75




15

1

2,2

1




16

6,3

5,189

5




17

1,67

2,5

1,5




18

8

6,18

6,25





19

Решить уравнение hello_html_394a6a4b.gif, где hello_html_m88749b2.gif

0,312

0,7586





20

0,893

0,52





21

0,0385

0,963





22

0,944

0,51





23

0,25

0,8





24

0,67

0,6





25

0,5

0,667





26

0,6857

0,56





27

0,982

0,503






28

Найти корень уравнения hello_html_394a6a4b.gif на отрезке hello_html_1dbec12e.gif, где hello_html_22187106.gif

0,8896

-2,813

-3,6929

11,2

1

3

29

0,107

-0,4613

-2,3738

5,44

0

4

30

1,2755

-3,601

-1,37

6,76

1

3


Лабораторная работа №2

Задание: Используя, алгоритм метода хорд, найти корень уравнения hello_html_394a6a4b.gif с точностью hello_html_363d9209.gif.

Порядок выполнения работы

  1. Графически или аналитически отделить корень уравнения hello_html_394a6a4b.gif (т.е. найти отрезок hello_html_m5ddb2454.gif, на котором функция hello_html_m1a06d297.gif удовлетворяет условиям Больцано-Коши).

  2. Оценить значения первой и второй производной.

  3. Найти наименьшее hello_html_m21e2d79e.gifи наибольшее hello_html_m40bcdaca.gif значения первой производной.

  4. Составить процедуру для вычисления hello_html_m1a06d297.gif.

  5. Составить процедуру для вычисления hello_html_m138d18f1.gif.

  6. Составить процедуру для вычисления hello_html_m3246a404.gif.

  7. Вычислить hello_html_69ba1252.gif. Если hello_html_m1f323fce.gif, то сравнение hello_html_m7c838554.gif, иначе hello_html_483524ea.gif

  8. Составить программу, содержащую метод хорд и печать результатов. (Программа должна содержать счетчик итераций, а также сведения о том, какая из точек является неподвижной).

  9. Провести вычисления по программе и сравнить с результатами половинного деления.

  10. Составить отчет о проделанной работе.

Пример. Найти отличный от нуля корень уравнения hello_html_m525ab795.gif, с четырьмя верными знаками после запятой.

Искомый корень легко отделяется графически. Для этого нужно преобразовать уравнение к виду hello_html_m1716ba96.gif и построить графики функций hello_html_m4df64d00.gif и hello_html_m38eea618.gif. Точки пересечения наших графиков и будут искомые решения данного уравнения. Искомый корень лежит на отрезке hello_html_m74c1e2b5.gif. Для того, чтобы найти корень с тремя верными знаками после запятой, полагаем hello_html_363d9209.gif=0.0005. Находим первую и вторую производные: hello_html_m31712efd.gif, hello_html_1a91a450.gif. Легко видеть, что hello_html_m31712efd.gif на hello_html_m74c1e2b5.gif положительна (так как cosx<0) и hello_html_1a91a450.gif положительна (так как sinx>0), поэтому для уточнения корней можно применять метод хорд. Наибольшее и наименьшее значения первой производной находятся решая задачу о наибольшем и наименьшем значениях функции hello_html_m31712efd.gif на отрезке hello_html_m74c1e2b5.gif. Находим критические точки этой функции: hello_html_m26aeeceb.gif. Найденные критические точки на лежат на рассматриваемом промежутке hello_html_m74c1e2b5.gif, поэтому наибольшее и наименьшее значения находятся на концах промежутка: hello_html_430a2d41.gif и hello_html_m489a1c62.gif. В этом случае головная программа, вспомогательные функция и процедура просты и не требуют комментариев:


Function f(x: real): real;

begin

f=x*x-5*sin(x);

end;



Function f1(x: real): real;

begin

f=2*x-5*cos(x);

end;


Function f2(x: real): real;

begin

f=2+5*sin(x);

end;


Procedure met_hord;

begin

eps1=m1*eps/(M1-m1);

if eps1 <=eps then eps:=eps1;

if f(a)*f2(a)>0 then begin

x:=b; N:=a;

end;

else begin

x:=a; N:=b;

end;

y:=x-f(x)*(N-x)/(f(N)-f(x));

while abs(y-x)>eps do begin

x:=y;

y:=x-f(x)*(N-x)/(f(N)-f(x));

writeln(y);

end;

end;


begin

writeln(‘Введите значения параметров a, b, eps, m1, M1’);

readln(a,b,eps, m1,M1);

met_hord;

writeln(‘корень уравнения - ’,y);

end.



Лабораторная работа №3

Метод простых итераций решения уравнения f(x)=0

Метод простых итераций решения уравнения f(x)=0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением hello_html_33d8923f.gif и построении последовательности hello_html_44289ed6.gif, сходящейся при hello_html_m54e636eb.gif к точному решению. Сформулируем достаточные условия сходимости метода простых итераций:

Теорема: Пусть функция hello_html_m180b9ed2.gif определена и дифференцируема на hello_html_m5ddb2454.gif, причем все ее значения hello_html_3fbae496.gif. Тогда, если существует число q, такое, что hello_html_4339e9b0.gif на отрезке hello_html_m5ddb2454.gif, то последовательность hello_html_44289ed6.gif (n=0, 1, 2,…)сходится к единственному на hello_html_m5ddb2454.gif решению уравнения hello_html_33d8923f.gif при любом начальном значении hello_html_73fa56c8.gif, т.е. hello_html_771fe3d0.gif. При этом, если на отрезке hello_html_m5ddb2454.gif производная hello_html_e6591ca.gif положительна, тоhello_html_22f688c5.gif, если hello_html_e6591ca.gif отрицательна, то hello_html_49cf1992.gif.

Опишем один шаг итераций. Исходя из найденного на предыдущем шаге значения xn-1, вычисляем hello_html_m58ad252c.gif. Если hello_html_m78c0feec.gif, полагают xn и выполняют очередную итерацию. Если же hello_html_m3d68bdd6.gif, то вычисления заканчивают и за приближенное значение корня принимают величину xn. Погрешность полученного результата зависит от знака производной hello_html_e6591ca.gif. При hello_html_e6591ca.gif>0 корень найден с погрешностью hello_html_356b3a3.gif, если hello_html_e6591ca.gif<0, то погрешность не превышает hello_html_363d9209.gif.

При использовании метода простых итераций основным моментом является выбор функции hello_html_m180b9ed2.gif в уравнении hello_html_33d8923f.gif, эквивалентном исходному. Для метода итераций следует подбирать функцию hello_html_m180b9ed2.gif так, чтобы hello_html_4339e9b0.gif. При этом следует помнить, что скорость сходимости последовательности hello_html_m438beb74.gif к корню с тем выше, чем меньше число q.

Пhello_html_7513db25.gifример. Найти корни уравнения hello_html_13a3a853.gif с точностью hello_html_m324384b9.gif.

Корни уравнения с1 и с2 легко отделяются графически. Они являются абсциссами точек пересечения графика y=ex с прямой у=10х. Из приведенного графика видно, что первый корень лежит на отрезке hello_html_94419c8.gif, а второй – на отрезке hello_html_2109d360.gif. Для уточнения первого корня заменим исходное уравнение эквивалентным hello_html_m1f35560d.gif, здесь hello_html_m79228f0d.gif, hello_html_7708845d.gif. На отрезке hello_html_94419c8.gifhello_html_m13bb74d0.gif, т.е.q=0,3. В качестве начального приближения выбираем х0=1. Вычисления прекращаем, когда hello_html_m6e85516c.gif. Последовательные приближения в этом случае таковы:

0,271828

0,131236

0,114024

0,112078

0,111860

0,111835

Так как hello_html_7fd831e6.gif, то принимаем с=0,111835. В этом результате все знаки верные.

Для определения второго корня представляем исходное уравнение в виде hello_html_23e29171.gif. Здесь hello_html_m3cb691e4.gif и при hello_html_m3498317.gifпроизводная hello_html_e6591ca.gif оценивается сверху: hello_html_m779ba6d7.gif, т.е. q=0,5. Если в качестве начального приближения взять х0=2, то получаем следующие последовательные приближения:

2,99573

3,39977

3,52629

3,56283

3,57314

3,57603

3,57684

3,57706

3,57713

Принимаем с=3,57713 с погрешностью 0,0001, так как hello_html_m3699dba4.gif.

Приведем часть программы, в которой реализована логика метода простых итераций:


Procedure Met_iter;

begin

p:=b-a;

while p>eps do begin

y:=g(x);

p:=abs(x-y);

x:=y;

end;

end;


begin

readln(x, q,eps);

if q>0.5 then eps:=(1-q)/q*eps;

met_iter;

writeln (x);

end.


Задание к лабораторной работе: Используя приведенную программу, найти корень уравнения f(x)=0 с заданной точностью hello_html_363d9209.gif.

Порядок выполнения лабораторной работы:

  1. Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x)=0.

  2. Преобразовать уравнение f(x)=0 к виду hello_html_33d8923f.gif так, чтобы в некоторой окрестности hello_html_m5ddb2454.gif корня с производная hello_html_e6591ca.gif удовлетворяла условию hello_html_4339e9b0.gif. При этом следует помнить, что чем меньше q, тем быстрее последовательные приближения сходятся к корню.

  3. Выбрать начальное приближение, лежащее на отрезке hello_html_m5ddb2454.gif.

  4. Составить функцию для вычисления значений hello_html_m5f85aaa4.gif.

  5. Составить главную программу, содержащую обращение к процедуре Met_iter и вывод результатов (все приближения и счетчик итераций).

  6. Сделать отчет о проделанной работе.





Варианты заданий

Найти корень уравнения f(x)=0 при заданных значениях коэффициентов.

f(x)

a

b

c

d

1

f(x)=tgax-bx

1,5773

2,3041



2

2,2082

3,2258



3

3,7855

5,5300



4

9,1483

13,3641



5

5,9937

8,7558



6

7,8864

11,5207



7

f(x)=ln(ax)-bx+c

7,622

8,59

0,5


8

6,0976

6,872

1,0


9

4,5732

5,154

1,5


10

3,9634

4,4868

2,0


11

3,0488

3,436

2,5


12

1,5244

1,718

3,0


13

f(x)=a sinbx-cx

9,33

6,977

7,25


14

7,667

5,983

6


15

6,67

5,387

5,25


16

5,67

4,794

4,5


17

4,33

4,008

3,5


18

2,67

3,044

2,25


19

f(x)=ae-bx-x

0,9737

0,5067



20

0,9286

0,5185



21

0,5458

0,5391



22

0,7593

0,5683



23

0,5909

0,6286



24

0,4474

0,6909



25

0,1667

0,8571



26

0,7308

0,5778



27

0,833

0,5455



28

f(x)=ax3+bx2+cx+d

0,1697

-0,5693

-1,6

3,73

29

1,039

-3,145

-1,94

8

30

4,6839

-14,04

-2,448

23,5


Лабораторная работа №4

Метод касательных в решении уравнения f(x)=0.

Если известно хорошее приближение решения уравнения f(x)=0, то эффективным методом уточнения является метод касательных. Метод состоит в построении последовательности hello_html_3b925819.gif, сходящейся к корню уравнения f(x)=0. Сформулируем достаточные условия сходимости метода.

Теорема. Пусть f(x) определена и дважды дифференцируема на hello_html_m5ddb2454.gif, причем hello_html_5613732.gif, а производные hello_html_m6c94dc00.gif, hello_html_2f145da3.gif, сохраняют свой знак на отрезке hello_html_m5ddb2454.gif. Тогда, исходя из начального приближения hello_html_73fa56c8.gif, удовлетворяющего неравенству hello_html_m4bb7b2cc.gif, можно построить последовательность hello_html_3b925819.gif, n=0,1,2,…, сходящуюся к единственному решению с уравнения f(x)=0.

Метод касательных допускает хорошую геометрическую интерпретацию. Если через точку с координатами hello_html_5cd5b6ab.gif, провести касательную, то абсцисса точки пересечения этой касательной с осью абсцисс и есть очередное приближение hello_html_6b541a5e.gif корня уравнения f(x)=0.

Для оценки погрешности n-го приближения корня можно воспользоваться неравенством: hello_html_m1a64d58a.gif, где М2 – наибольшее значение модуля второй производной hello_html_m5e07f24b.gif на отрезке hello_html_m5ddb2454.gif; m1 – наименьшее значение модуля первой производной hello_html_m3df032e2.gif на отрезке hello_html_m5ddb2454.gif. Таким образом, если hello_html_m72172149.gif. Последнее соотношение означает, что при хорошем начальном приближении корня после каждой итерации число верных десятичных знаков в очередном приближении удваивается, т.е. процесс сходится очень быстро. Значит, если необходимо найти корень с точностью hello_html_363d9209.gif, то итерационный процесс можно прекращать, когда

Варианты заданий

Найти корень уравнения f(x)=0.

№ варианта

Задание

a

b

c

d

1

hello_html_2969f429.gif

1,2618

1,8433



2

2,5237

3,6866



3

3,47

5,1691



4

8,8328

12,903



5

7,571

11,06



6

5,6782

8,2949



7

hello_html_m517153f5.gif

1,2195

1,3744

0,5


8

2,439

3,0924

1,0


9

3,6585

4,1232

1,5


10

4,2683

4,8104

2,0


11

5,7927

6,5284

2,5


12

7,3171

8,2402

3,0


13

hello_html_7dc1227b.gif

2,33

2,857

2


14

4

3,8125

3,25


15

5,33

4,59

4,25


16

6

4,99

4,75


17

7

5,5857

5,5


18

9,667

7,176

7,5


19

hello_html_m88749b2.gif

0,0714

0,933



20

0,3889

0,72



21

0,5476

0,6462



22

0,6304

0,6133



23

0,7

0,5882



24

0,8103

0,5224



25

0,875

0,533



26

0,9118

0,5231



27

0,9595

0,5103



28

hello_html_22187106.gif

2,113

-6,44

-3,19

15,13

29

3,94

-11,79

-1,56

18,67

30

1,203

-3,53

-1,36

7,11


Порядок выполнения лабораторной работы.

  1. Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x)=0. Убедиться, что на найденном отрезке hello_html_m5ddb2454.gif функция f(x) удовлетворяет условиям сходимости метода касательных.

  2. Выбрать начальное приближение корня x0 hello_html_m6ebaaf76.gif так, чтобы hello_html_m45ac1084.gif.

  3. Оценить снизу величину hello_html_m47f1455e.gif, оценить сверху величину hello_html_1c9c675d.gif.

  4. По заданному hello_html_363d9209.gif для условия окончания итерационного процесса выбрать hello_html_m1cbf1d22.gif.

  5. Составить процедуру для метода касательных и головную программу, содержащую обращение к процедуре и вывод результатов (корень уравнения и счетчик итераций).

  6. Сделать отчет о проделанной работе.





Лабораторная работа №5

Примерная программа для метода Гаусса:

Procedure Met_Gayssa;

begin

{прямой ход}

for k:=1 to n-1 do

for i:=1 to k+1 to n do begin

m[i]:=a[i;k]/a[k;k];

for j:=k to n do

a[i;j]:=a[i;j]-m[i]*a[k;j];

b[i]:=b[i]-m[i]b*[k];

end;

x[n]:=b[n]/a[n;n];

{обратный ход}

for i:=n-1 downto 1 do begin

h:=b[i];

for j:=i+1 to n do

h:=h-x[j]*a[i;j];

x[i]:=h/a[i;i];

ehd;

end;



Порядок выполнения лабораторной работы

  1. Усовершенствовать процедуру Met_Gayssa, чтобы на каждом этапе строки матрицы переставлялись так, чтобы на главной диагонали оказался наибольший элемент k-го столбца.

  2. Составить головную программу, содержащую обращение к Met_Gayssa и вывод результатов.

  3. Сделать отчет о проделанной работе.


Пример. Решить систему уравнений

hello_html_130276ab.gif

Вычисления по программе привели к следующим результатам:

Х1=1, Х2=2, Х3=3.

Варианты заданий

Решить систему линейных уравнений

№ варианта

Матрица коэффициентов системы

Столбец свободных членов

1

1,84

2,32

1,83

2,25

2,60

2,06

2,53

2,82

2,24

-6,09

-6,98

-5,52

2

2,58

1,32

2,09

2,93

1,55

2,25

3,13

1,58

2,34

-6,66

-3,58

-5,01

3

2,18

2,17

3,15

2,44

2,31

3,22

2,49

2,49

3,17

-4,34

-3,91

-5,27

4

1,54

3,69

2,45

1,70

3,73

2,43

1,62

3,59

2,25

-1,97

-3,74

-2,26

5

1,53

2,35

3,83

1,61

2,31

3,73

1,43

2,07

3,45

-5,13

-3,69

-5,98

6

2,36

2,51

2,59

2,37

2,40

2,41

2,13

2,10

2,06

1,48

1,92

2,16

7

3,43

4,17

4,30

3,38

4,00

4,10

3,09

3,65

3,67

5,52

6,93

7,29

8

3,88

3,00

2,67

3,78

2,79

2,37

3,45

2,39

1,96

10,41

8,36

7,62

9

3,40

2,64

4,64

3,26

2,39

4,32

2,90

1,96

3,85

13,05

10,30

17,89

10

2,53

3,95

2,78

2,36

4,11

2,43

1,93

3,66

1,94

12,66

21,97

29,75

11

2,16

3,55

4,85

1,96

3,23

4,47

1,56

2,78

3,97

13,16

21,73

29,75

12

2,69

2,73

2,93

2,47

2,39

2,52

2,07

1,92

2,02

19,37

19,43

20,80

13

3,72

4,47

4,96

3,47

4,10

4,53

3,06

3,63

4,01

30,74

36,80

40,79

14

14,35

4,04

3,14

4,39

3,65

2,69

3,67

3,17

2,17

40,15

36,82

28,10

15

4,07

2,84

4,99

3,79

2,44

4,50

3,37

1,95

3,97

40,77

27,68

49,37

16

3,19

4,43

3,40

2,89

4,02

2,92

2,47

3,53

2,40

33,91

47,21

32,92

17

2,57

4,47

4,89

2,26

4,03

4,40

1,84

3,57

3,87

28,66

50,27

55,03

18

2,83

3,00

3,72

2,50

2,55

3,21

2,08

2,07

2,68

33,28

33,59

43,43

19

3,78

4,33

4,76

3,44

3,88

4,24

3,02

3,39

3,71

46,81

53,43

58,73

20

4,59

4,83

4,06

4,24

4,36

3,53

3,82

3,88

3,01

59,54

62,33

52,11

21

4,56

3,21

4,58

4,20

2,73

4,04

3,78

2,25

3,52

61,86

42,98

61,67

22

3,75

4,18

4,43

3,39

3,70

3,88

2,97

3,22

3,36

53,38

59,28

62,62

23

2,95

5,11

4,38

2,58

4,62

3,82

2,16

4,14

3,30

44,16

46,68

65,34

24

2,93

3,47

4,78

2,55

2,98

4,22

2,14

2,50

3,70

46,41

54,78

75,81

25

3,74

4,02

4,18

3,36

3,51

3,61

2,94

3,04

3,09

63,26

67,51

70,03

26

4,07

5,30

5,11

4,28

4,79

4,54

3,87

4,32

4,03

84,43

95,45

91,69

27

4,90

3,79

4,01

4,50

3,27

3,43

4,09

2,81

2,91

94,18

71,57

75,45

28

4,25

3,86

5,40

3,81

3,34

4,82

3,43

2,87

4,30

86,07

77,12

108,97

29

3,35

5,41

3,88

2,94

4,88

3,30

2,53

4,41

2,78

70,69

115,38

81,07

30

3,05

4,14

5,63

2,64

3,61

5,03

2,23

3,14

4,52

67,17

91,43

125,40


Лабораторная работа №6

Графический метод решения задачи линейного программирования

Графический метод используется для решения задач с двумя переменными следующего вида:

hello_html_m7ff99d7.gif

Данный метод основывается на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождения среди них оптимального решения.

Область допустимых решений задачи строится как пересечение областей решений каждого из данных ограничений.

Областью решений линейного неравенства hello_html_m232484ee.gif является одна из полуплоскостей, на которые прямая hello_html_m14c36160.gif, соответствующая данному неравенству, делит координатную плоскость.

Для того чтобы определить, какая из двух полуплоскостей является областью решений, достаточно координаты какой-либо точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство: если оно удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, содержащая данную точку, если же неравенство не удовлетворяется, то областью решений является полуплоскость, не содержащая данную точку.

Областью допустимых решений задачи является общая часть полуплоскостей – областей решений всех неравенств системы ограничений.

Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения используют линии уровня и опорные прямые.

Линией уровня называется прямая, на которой целевая функция задачи принимает постоянное значение. Уравнение линии уровня в общем случае имеет вид hello_html_m6c95fa14.gif, где lconst. Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль hello_html_m363e4bf5.gif.

Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы одну общую точку с областью допустимых значений и по отношению к которой эта область находится в одной из полуплоскостей.

Область допустимых решений задачи имеет не более двух опорных прямых, на одной из которых может находиться оптимальное решение.

hello_html_m32cd27b1.gif

Зhello_html_m1a328348.gif
начение целевой функции на линиях уровня возрастают, если линии уровня перемещать в направлении их нормали, и убывают при перемещении линии уровня в противоположном направлении.

Алгоритм графического метода решения задач линейного программирования с двумя переменными:

  1. Построить область допустимых решений.

  2. Если область допустимых решений является пустым множеством, то задача не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений.

  3. Если область допустимых решений является непустым множеством, построить нормаль линии уровня hello_html_m363e4bf5.gif и одну из линий уровня, имеющую общие точки с этой областью.

  4. Линию уровня переместить до опорной прямой в задача на максимум в направлении нормали, в задаче на минимум – в противоположном направлении.


Вариант

Задача

Вариант

Задача

Вариант

Задача

1

hello_html_m5457d900.gif

11

hello_html_5a9ea133.gif

21

hello_html_m60b3f7c7.gif

2

hello_html_m75bcb044.gif

12

hello_html_m45fe18d2.gif

22

hello_html_ma0d9710.gif

3

hello_html_m63d168.gif

13

hello_html_m25856a8a.gif

23

hello_html_m139c62e.gif

4

hello_html_68e870d7.gif

14

hello_html_77b3b82a.gif

24

hello_html_192ac5d3.gif

5

hello_html_690e8b92.gif

15

hello_html_m7aca70ad.gif

25

hello_html_m5fb5ed62.gif

6

hello_html_1a0d3ce4.gif

16

hello_html_60838f8d.gif

26

hello_html_7694f6e3.gif

7

hello_html_m6aa8b876.gif

17

hello_html_1bf6d3b4.gif

27

hello_html_m36a5571.gif

8

hello_html_502dbc28.gif

18

hello_html_m68afdee9.gif

28

hello_html_m1c89be56.gif

9

hello_html_m511a2aa1.gif

19

hello_html_m5968d992.gif

29

hello_html_m6504f509.gif

10

hello_html_5c629114.gif

20

hello_html_m5a9c41c7.gif

30

hello_html_m359cbd4d.gif


Лабораторная работа №7

Интерполяционный многочлен Ньютона

Пусть функция f(x) задана на отрезке hello_html_79934160.gif таблицей значений hello_html_m68628133.gif в равноотстоящих узлах hello_html_7a9f0571.gif. Многочленом Ньютона степени n называют многочлен

hello_html_m76cbcf19.gif, (1)

где коэффициенты многочлена находятся по формулам:

hello_html_582a9c20.gif (2)

Подставим коэффициенты в (1):

hello_html_6b410a85.gif

Введем обозначение hello_html_m26bbde7d.gif, тогда hello_html_m3db67e5a.gif, hello_html_m1dc79a90.gif, …, hello_html_17fc81f8.gif.

Таким образом, интерполяционный многочлен Ньютона принимает вид:

hello_html_1e32f8fc.gif

Если n=1, то hello_html_m64dc1ef4.gif. В этом случае получаем формулу линейной интерполяции.

Если n=2, то hello_html_m328500f3.gif - формула квадратичной интерполяции.

Степень интерполяционного многочлена целесообразно брать не выше, чем порядок практически постоянных конечных разностей.

Для интерполяции по формуле Ньютона можно составить примерную программу:


Procedure Met_Nuton;

begin

writeln(‘Введите значение х, в котором нужно найти значение функции’);

readln(x);

S:=y[1];

u:=(x-x[1])/h;

A:=1;

for k:=0 to n-1 do begin A=A*(n-k)/(k+1);

S:=S+A*d[k];{d[k]=hello_html_457f6e8f.gif}

end;

end;


Порядок выполнения лабораторной работы:

  1. Составить процедуру для ввода табличных данных в массивы x[i], y[i].

  2. Составить процедуру для подсчета конечных разностей hello_html_1001faa1.gif, которые будут хранится в массиве d[i].

  3. Написать головную программу, содержащую обращение к процедуре Met_Nuton.

  4. Провести вычисления.

  5. Написать отчет о проделанной работе.


Варианты заданий


X

Значенияhello_html_m6a94262.gif

В-1

В-2

В-3

В-4

В-5

В-6

В-7

В-8

В-9

В-10

В-11

0,1

5,998

6,030

5,85

6,310

5,650

6,323

3,88

4,08

3,90

4,03

3,82

0,2

5,820

6,072

5,619

6,308

5,431

6,523

3,86

4,18

3,83

4,23

3,44

0,3

5,754

6,297

5,569

6,546

5,250

6,646

3,84

4,38

3,60

4,49

3,16

0,4

5,828

6,428

5,426

6,855

5,000

7,256

3,91

4,46

3,47

4,71

2,95

0,5

5,627

6,425

5,237

7,073

4,790

7,487

3,71

4,44

3,31

5,00

2,73

0,6

5,597

6,473

5,025

7,770

4,569

7,827

3,49

4,55

3,05

5,26

2,40

0,7

5,693

6,592

4,988

7,225

4,296

8,133

3,51

4,66

3,14

5,36

2,27

0,8

5,469

6,815

5,037

7,739

4,065

8,402

3,68

4,89

2,83

5,87

1,85

0,9

5,413

6,786

4,586

7,995

3,837

8,581

3,74

4,86

2,66

5,67

1,88

1

5,526

6,925

4,575

8,063

3,519

9,014

3,47

5,04

2,53

5,89

1,32

1,1

5,344

7,116

4,445

8,247

3,281

9,049

3,60

5,22

2,35

6,16

1,18

1,2

5,304

7,053

4,353

8,472

2,926

9,571

3,51

4,99

2,49

6,65

1,15

1,3

5,352

7,224

3,933

8,627

2,801

9,891

3,48

5,39

2,19

6,39

0,85

1,4

5,301

7,439

3,899

8,936

2,546

10,073

3,30

5,56

1,82

6,81

0,48

1,5

5,424

7,302

3,793

9,082

2,232

10,406

3,23

5,42

1,69

7,08

0,18

1,6

4,996

7,426

3,473

9,076

2,016

10,821

3,26

5,85

1,54

7,24

-0,01

1,7

5,080

7,797

3,551

9,363

1,794

11,151

3,14

5,99

1,22

7,61

-0,12

1,8

5,256

7,871

3,171

9,679

1,663

11,232

3,17

5,85

1,17

7,64

-0,60

1,9

5,090

7,929

3,330

9,846

1,375

11,655

2,96

6,01

1,04

8,03

-0,68

2,0

5,053

8,060

3,044

10,013

1,217

11,952

2,81

5,97

1,12

7,92

0,54





X

Значенияhello_html_m6a94262.gif

В-12

В-13

В-14

В-15

В-16

В-17

В-18

В-19

В-20

В-21

В-22

0,1

4,27

1,92

2,14

2,25

1,56

1,62

2,43

-0,02

0,00

-0,01

0,38

0,2

4,45

1,91

2,19

2,31

1,81

1,54

2,67

-0,28

0,23

-0,20

0,36

0,3

4,84

2,09

2,32

2,75

1,51

1,09

2,71

-0,06

0,32

-0,31

0,45

0,4

5,14

1,73

2,59

2,77

1,52

1,07

3,15

-0,00

0,24

-0,63

0,89

0,5

5,55

1,88

2,56

3,00

1,09

0,67

3,47

-0,24

0,35

-0,73

0,91

0,6

5,85

1,81

2,64

3,24

1,04

0,24

3,76

-0,11

0,52

-0,87

1,11

0,7

6,18

1,71

2,66

3,55

1,05

0,29

3,91

-0,28

0,77

-1,05

1,49

0,8

6,38

1,66

2,84

3,48

0,91

-0,07

4,46

-0,35

0,68

-1,39

1,72

0,9

6,72

1,47

3,04

3,64

0,69

-0,26

4,76

-0,47

0,92

-1,05

1,83

1

7,04

1,44

2,94

3,86

0,51

-0,56

5,15

-0,47

0,97

-1,40

1,98

1,1

7,26

1,23

3,23

4,06

0,46

-0,69

5,54

-0,52

1,08

-1,74

2,35

1,2

7,70

1,37

3,27

4,39

0,14

-0,85

5,61

-0,68

1,15

-1,88

2,82

1,3

7,78

1,30

3,31

4,67

-0,06

-1,29

5,93

-0,72

1,35

-1,79

2,76

1,4

8,33

1,22

3,13

4,93

-0,29

-1,39

6,12

-0,77

1,33

-1,99

2,90

1,5

8,62

1,38

3,49

4,95

-0,28

-1,73

6,54

-0,69

1,51

-2,22

2,90

1,6

8,78

1,35

3,56

5,06

-0,25

-1,98

6,67

-0,79

1,57

-2,46

3,25

1,7

9,06

1,14

3,66

5,49

-0,57

-2,37

7,28

-0,77

1,65

-2,75

3,42

1,8

9,56

1,00

3,79

5,57

-0,57

-2,41

7,55

-0,99

1,59

-2,72

3,37

1,9

9,71

0,96

3,96

5,89

-1,06

-2,68

7,79

-1,07

1,77

-2,87

3,83

2,0

10,14

0,93

4,08

6,00

-1,01

-2,96

8,18

-1,03

1,99

-2,84

3,90





X

Значенияhello_html_m6a94262.gif

В-23

В-24

В-25

В-26

В-27

В-28

В-29

В-30

0,1

-0,15

0,30

-2,09

-2,12

-2,30

-1,77

-2,45

-1,61

0,2

-0,42

0,50

-2,02

-2,00

-2,38

-1,60

-2,64

-1,53

0,3

-0,79

0,82

-2,13

-1,59

-2,37

-1,47

-2,69

-1,12

0,4

-0,92

1,43

-2,20

-1,61

-2,83

-1,19

-2,99

-0,98

0,5

-0,97

1,49

-2,15

-1,53

-3,02

-1,00

-3,33

-0,61

0,6

-1,48

1,85

-2,26

-1,74

-3,42

-0,97

-3,30

-0,01

0,7

-1,63

2,01

-2,17

-1,11

-3,02

-0,64

-3,73

-0,02

0,8

-1,95

2,56

-2,51

-1,10

-3,41

-0,29

-3,99

0,27

0,9

-2,23

2,72

-2,41

-1,08

-3,42

-0,17

-4,37

0,70

1

-2,55

2,85

-2,50

-0,96

-3,57

-0,11

-4,57

0,99

1,1

-2,64

3,12

-2,63

-0,89

-3,57

-0,05

-4,77

1,42

1,2

-2,85

3,75

-2,55

-0,72

-3,57

0,37

-5,17

1,57

1,3

-3,32

3,90

-2,54

-0,63

-3,81

0,60

-5,23

1,87

1,4

-3,64

4,12

-2,69

-0,67

-4,05

0,78

-5,53

1,93

1,5

-3,78

4,47

-2,89

-0,55

-4,29

1,01

-5,68

2,67

1,6

-3,84

4,68

-3,01

-0,33

-4,49

1,19

-5,85

2,92

1,7

-4,19

5,21

-2,83

-0,35

-4,50

1,46

-6,23

3,07

1,8

-4,58

5,23

-2,96

-0,07

-4,56

1,46

-6,45

3,32

1,9

-4,73

5,76

-2,92

-0,05

-4,97

1,81

-6,55

3,63

2,0

-5,00

6,11

-3,13

0,05

-5,04

2,06

-6,97

3,72


Лабораторная работа №8

Линейная регрессия

Пусть требуется исследовать зависимость y(x), причем величины y и x измеряются в одних и тех же экспериментах. Без ограничения общности можно считать, что величина x измеряется точно, в то время как измерение величины y содержит случайные погрешности. Это означает, что погрешность измерения величины x пренебрежимо мала по сравнению с погрешностью измерения величины y. Таким образом, результаты эксперимента можно рассматривать как выборочные значения случайной величины hello_html_m1502ace4.gif, зависящей от х как от параметра. Регрессией называют зависимость условного математического ожидания этой величины от х, т.е. hello_html_25193949.gif. Задача регрессионного анализа состоит в восстановлении функциональной зависимости у(х) по результатам измерений (xi;yi), i=1,2,…,n.

Аппроксимируем искомую зависимость у(х) функцией hello_html_f014742.gif. Это значит, что результаты измерений можно представить в виде hello_html_m401d9ea2.gif, где hello_html_m6d3b3544.gif- неизвестные параметры регрессии; hello_html_m6082054e.gif - случайные величины, характеризующие погрешности эксперимента.

Обычно предполагается, что hello_html_m6082054e.gif - это независимые нормально распределенные случайные величины с hello_html_m768c6028.gif и одинаковыми дисперсиями hello_html_m2c175b7.gif.

Параметры hello_html_m6d3b3544.gif следует выбирать такими, чтобы отклонение предложенной функциональной зависимости от результатов эксперимента было минимальным. Часто в качестве меры отклонения принимают величину hello_html_m785af459.gif и, следовательно, параметры hello_html_m6d3b3544.gif определяются методом наименьших квадратов.

На практике регрессионный анализ состоит из трех этапов. На первом этапе выдвигают гипотезу о виде функции hello_html_f014742.gif, на втором этапе по имеющимся данным находят оценки неизвестных параметров hello_html_m6d3b3544.gif. На третьем этапе проверяют согласие выдвинутой гипотезы с результатами измерений

Рассмотрим простейший случай линейной регрессии. Пусть выдвинута гипотеза о том, что функция f имеет вид hello_html_m2fba0215.gif. Найдем оценки параметров а и b методом наименьших квадратов. Для этого минимизируем функцию hello_html_418dc164.gif. Приравнивая нулю производные hello_html_b2b286e.gif и hello_html_aa1b3.gif, получаем

hello_html_m5b073527.gif

Проверяя согласие построенной линии регрессии с результатами эксперимента, можно руководствоваться следующими соображениями. Идея любой регрессии состоит в том, чтобы часть изменений измеряемой величины связать с изменением внешних переменных (в данном случае только одна внешняя переменная х). Не предполагая, что у зависит от х, можно было бы за меру разброса результатов эксперимента принять величину hello_html_7e16b218.gif, где hello_html_79584b0f.gif. Если прямая регрессии построена, то за меру разброса естественно принять сумму квадратов отклонений от линии регрессии, т.е. величину hello_html_eaf17ff.gif. Если hello_html_57398658.gif, то это значит, что аппроксимирующая функция выбрана неудачно, т.е. подходящую функцию регрессии следует искать не среди прямых, а, например среди парабол или кривых другого вида.


Procedure Lin_Regr;

begin

S1:=0; S2:=0; S3:=0; S4:=0;

for I=1 to n do begin

S1=s1+x[i]; {подсчет hello_html_2ea8ecf2.gif}

S2:=S2+y[i]; {подсчет hello_html_m29466871.gif}

S3:=S3+x[i]*y[i]; {подсчет hello_html_m327b59ad.gif}

S4:=S4+x[i]*x[i]; {подсчет hello_html_4f4096c2.gif}

end;

a:=(n*S3-S1*S2)/(n*S4-S2*S2);

b:=S2-a*S1;

end;


Порядок выполнения лабораторной работы

  1. Составить головную программу, содержащую описание массивов, Х и У, ввод исходных данных, обращение к процедуре Lin_Regr.

  2. Сделать анализ выбора функции регрессии, используя меру разброса результатов экспериментаhello_html_6af067c5.gif и меру отклонений результатов эксперимента от линейной регрессии hello_html_4dac12c6.gif.

  3. Провести вычисления.

  4. Сделать отчет.



Лабораторная работа №9

Вычисление определенного интеграла с помощью формул прямоугольника, трапеций, парабол.


На практике для приближенного вычисления определенного интеграла применяют три формулы:


Формула прямоугольников:

hello_html_4676f91c.gif

Формула трапеций:

hello_html_m9914878.gif

Формула парабол (формула Симпсона):

hello_html_m3e4e2477.gif

где N – количество равных отрезков на которые разбивается отрезок hello_html_m5ddb2454.gif.

Погрешности вычислений находятся следующим образом:

Формула прямоугольников:

hello_html_24e54475.gif, где hello_html_m46d75983.gif

Формула трапеций:

hello_html_6b44117.gif, где I2N – значение определенного интеграла при hello_html_m5fdd6471.gif, IN –значение определенного интеграла при hello_html_m3988558f.gif. (правило Рунге).

Формула парабол (формула Симпсона):

hello_html_1ffec60f.gif, где hello_html_49b1d236.gif

Порядок выполнения лабораторной работы

  1. Выберите четное число N для разбиения отрезка hello_html_m5ddb2454.gif.

  2. Напишите процедуру для вычисления подынтегральной функции f(x).

  3. Напишите процедуры для вычисления определенного интеграла hello_html_m72880004.gif по формулам прямоугольников, трапеций, парабол.

  4. Составьте головную программу, содержащую обращение к процедурам и вывод результатов вычислений.

  5. Сравнить полученные результаты.

  6. Сделать отчет.



Варианты заданий

варианта

Задание

варианта

Задание

1

hello_html_m29d14ae9.gif

16

hello_html_9955cf.gif

2

hello_html_6ea47e02.gif

17

hello_html_m7817d173.gif

3

hello_html_m402de3b0.gif

18

hello_html_m62bf0dc4.gif

4

hello_html_3ae06878.gif

19

hello_html_48bab25f.gif

5

hello_html_m7babb245.gif

20

hello_html_2cde644c.gif

6

hello_html_m18e678ac.gif

21

hello_html_m4397aa52.gif

7

hello_html_9955cf.gif

22

hello_html_544d664b.gif

8

hello_html_16e4af3e.gif

23

hello_html_5e18cf30.gif

9

hello_html_3eb7fdcd.gif

24

hello_html_m44143105.gif

10

hello_html_68937a5f.gif

25

hello_html_m5b58a7cd.gif

11

hello_html_m5735ecff.gif

26

hello_html_69ec97.gif

12

hello_html_2a1d55d7.gif

27

hello_html_72609b22.gif

13

hello_html_m7ed3ebcb.gif

28

hello_html_53cc767a.gif

14

hello_html_m3eb69c2c.gif

29

hello_html_2cf34864.gif

15

hello_html_78081bdc.gif

30

hello_html_59f0dcd0.gif



Краткое описание документа:

 

Перечень практических занятий

 

 

 

Тема 1.1

Элементарные функции и их графики.
Решение логарифмических уравнений.
Вычисление пределов с помощью замечательных.

Тема 1.2.

Решение систем линейных уравнений методом Крамера.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Тема 1.3.

  Вычисление производных. Производная сложной функции.

Производные высших порядков. Правило Лопиталя.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Полное исследование функции. Построение графика.

 

Литература

 

1.      Аниманов С.А. Введение в математическую экономику. – М.: Наука, 1984.

2.      Апанасов П.Т.. Орлов М.И. Сборник задач по математике. М.: Высшая школа. 1987.

3.      Афанасьева О.Н.. Бродский Я.С.. Гуткин И.И.. Павлов АЛ. Сборник задач по математике для техникумов на базе средней школы. М.: Наука. 1992.

4.      Афанасьева О.Н.. Бродский Я.С.. Павлов АЛ. Дидактические материалы по математике. М.: Высшая школа. 1991.

5.      Афанасьева О.Н.. Бродский Я.С.. Павлов АЛ. Математика для техникумов. М.: Наука. 1991.

6.      Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. М.: Высшая школа. 1990.

7.      Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Линейное программирование (теория, методы и приложения). – М.: Наука, 1969.

8.      Калинина В.Н.. Палкин В.Ф. Математическая статистика. М.: Высшая школа. 1994.

9.      Капитаненко В.В. Финансовая математика и ее приложения: Учебн.-практ. пособие для вузов. – М.: «Издательство ПРИОР», 2000.

10.  Математика для техникумов. Геометрия. Под ред.Г.Н Яковлева. -М.: Наука. 1989.

11.  Мицкевич А.А. Деловая математика в экономической теории и практике. Киров,1995.

12.  Сергиенко Л.Ю.. Самойленко П.И. Планирование учебного процесса по математике. М.: Высшая школа. 1987.

13.  Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник в 2-х ч.-М.:Финансы и статистика, 2000.

14.  Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учеб. – М.: Дело, 2000.


Автор
Дата добавления 25.01.2015
Раздел Информатика
Подраздел Конспекты
Просмотров245
Номер материала 338057
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх