Инфоурок › Математика ›Конспекты›Лекции по алгебре и геометрии

Лекции по алгебре и геометрии

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

lec-AiG.pdf

Выбранный для просмотра документ lec-AiG.pdf

Алгебра и геометрия

Агеев Дмитрий Владимирович

6 апреля 2015 г.

Содержание

1 Введение 8

1.1 Принцип математической индукции . . . . . . 8

1.2 Комбинаторика . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Системы линейных уравнений. Матрицы 12

2.1 Система линейных уравнений. Однородная си-

стема линейных уравнений. Неоднородная си-

стема линейных уравнений . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Матрица размера m×n. Квадратная матрица

порядка n. Диагональная матрица. Единичная

матрица порядка n. Нулевая матрица размера

m × n. Вектор-строка. Вектор-столбец. Равен-

ство матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Сложение матриц одинакового размера. Умно-

жение матрицы на число. Линейная комбина-

ция матриц одного размера. Транспонирова-

ние матрицы. Произведение матриц. Свойства

операций над матрицами . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Определение решения системы линейных урав-

нений. Совместность системы линейных урав-

нений. Определенность системы линейных урав-

нений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.5 Эквивалентность систем линейных уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли. Критерий опре-

деленности системы линейных уравнений . . . 16

3 Определители. Обратная матрица 19

3.1 Определитель квадратной матрицы . . . . . . 19

3.2 Свойства определителя . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Миноры и алгебраические дополнения. Разло-

жение определителя по строке . . . . . . . . . . 22

3.4 Вырожденные и невырожденные матрицы. Об-

ратная матрица, условия ее существования. Вы-

числение обратной матрицы . . . . . . . . . . . 23

3.5 Формулы Крамера . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Линейная зависимость. Ранг матрицы. ФСР 27

4.1 Система строк (столбцов) . . . . . . . . . . . . 27 4.2 Линейная зависимость. Базис системы строк.

Теорема о базисах. Ранг системы строк . . . . 28

4.3 Теорема о базисном миноре . . . . . . . . . . . 29

4.4 Однородная система линейных уравнений. Свой-

ства решений однородных систем. Фундамен-

тальная система решений . . . . . . . . . . . . 30

5 Аналитическая геометрия 32

5.1 Понятие вектора (1) . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.2 Действия над векторами (1) . . . . . . . . . . . 33

5.3 Линейная зависимость системы векторов и ее

геометрическй смысл. Система координат (1) . 34

5.4 Скалярное произведение векторов (2) . . . . . 37

5.5 Векторное произведение векторов (2) . . . . . 38

5.6 Смешанное произведение векторов (2) . . . . . 41

5.7 Преобразование координат при замене базиса

в АСК (3) (Читается в курсе Геометрия и то-

пология) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.8 Уравнение прямой на плоскости (4) . . . . . . 45

5.9 Взаимное расположение прямых на плоскости

(4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.10 Расстояние от точки до прямой на плоскости (4) 48

5.11 Угол между прямыми на плоскости (4) . . . . 48

5.12 Уравнения плоскости в пространстве (5) . . . . 49

5.13 Расстояние от точки до плоскости в простран-

стве (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.14 Взаимное расположение плоскостей в простран-

стве (5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.15 Уравнение прямой в пространстве (6) . . . . . 51

5.16 Взаимное расположение прямых в простран-

стве, прямой и плоскости (6) . . . . . . . . . . . 52

5.17 Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между скрещивающимися пря-

мыми (6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6 Комплексные числа 54

6.1 Комплексное число. Алгебраическая форма комплексного числа. Комплексная плоскость . . . 54

6.2 Тригонометрическая форма комплексного числа 55

6.3 Формула Муавра. Извлечение корней n-ой сте-

пени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7 Многочлены 57

7.1 Определение многочлена . . . . . . . . . . . . . 57

7.2 Деление многочленов . . . . . . . . . . . . . . . 58

7.3 Неприводимые многочлены . . . . . . . . . . . 61

7.4 Корни многочлена . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.5 Теорема Безу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

7.6 Схема Горнера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

7.7 Основная теорема алгебры. Каноническое разложение многочлена . . . . . . . . . . . . . . . 66

7.8 Многочлены с вещественными коэффициентами 68

8 Векторные пространства 69

8.1 Векторное пространство. Примеры векторных пространств: пространство геометрических векторов, арифметическое пространство Rⁿ,пространство квадратных матриц, пространство многочленов 69

8.2 Линейная зависимость векторов . . . . . . . . . 71

8.3 Базис векторного пространства. Размерность векторного пространства. Координаты вектора 72

8.4 Переход к новому базису. Матрица перехода к новому базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису . . . . . . . 73

8.5 Подпространство векторного пространства. Способы задания подпространств. Линейная обо-

лочка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 8.6 Сумма подпространств.

Пересечение подпространств . . . . . . . . . . . 76

8.7 Изоморфизм векторных пространств . . . . . . 77

9 Линейные операторы 78

9.1 Линейный оператор. Примеры линейных опе-

раторов: оператор проектирования, оператор

отражения, нулевой оператор, единичный опе-

ратор. Свойства линейного оператора . . . . . 78

9.2 Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . 79

9.3 Сумма и произведение линейных операторов,

умножение их на числа, обратный оператор;

их матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

9.4 Собственные значения и собственные векторы

линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . 83

9.5 Инвариантные подпространства относительно

линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . 84

9.6 Диагонализируемость линейного оператора . . 85

10 Евклидовы пространства 86

10.1 Скалярное произведение векторов. Неравенство

Коши - Буняковского. Евклидово пространство.

Длина вектора в евклидовом пространстве. Рас-

стояние между двумя векторами в евклидовом

пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10.2 Ортогональные векторы. Ортогональный ба-

зис векторного пространства. Ортонормирован-

ный базис векторного пространства . . . . . . 87

10.3 Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Мат-

рица Грама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

10.4 Ортогональное дополнение. Геометрия евкли-

довых пространств . . . . . . . . . . . . . . . . 89

10.4.1 Изоморфизм евклидовых пространств . 89

10.4.2 Ортогональные матрицы, их определи-

тель,

ортогональные линейные операторы и

их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

10.5 Сопряженные операторы . . . . . . . . . . . . . 91

10.6 Симметрические операторы . . . . . . . . . . . 92

11 Кривые второго поряка 95

11.1 Эллипс, гипербола, парабола, их канонические

уравнения и свойства . . . . . . . . . . . . . . . 95

11.1.1 Эллипс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

11.1.2 Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

11.1.3 Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11.2 Общее уравнение линии второго порядка на плоскости. Преобразование общего уравнения. Классификация линий второго порядка на плос-

кости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Список литературы

[1] Курош А. Г. Курс высшей алгебры, 1968.

[2] Кострикин А. И., Введение в алгебру, 2004.

[3] Аналитическая геометрия, конспект лекций Троицкого Е. В., 2000.

[4] Петин В. А., Линейная алгебра, Кемерово, 2005.

[5] Александров П. С., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, 1979.

[6] Беклемишев Д. В., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, 1998.

1 Введение

1.1 Принцип математической индукции

Пусть имеется утверждение M(n) для каждого n ∈ N = {1,2,...}. Если M(1) верно и из предположения, что утверждение M(n) истинно следует, что M(n+1) также верно, то M(n) верно для любых n ∈ N. Проверка истинности M(1) называется базой индукции. Вывод M(n) ⇒ M(n+1) индуктивным переходом.

Пример (Бином Ньютона (Биномиальная формула)).

где биномиальный коэффициент ,

n! = n(n − 1)...2 · 1 (n-факториал).

Доказательство. 1. База индукции: n = 1: (a+b)¹= a+b — верно. 2. Индуктивный переход. Пусть формула справедлива для n. Тогда

abn + bn+1.

. Что и дока-

зывает формулу бинома Ньютона при n + 1.

Неполная метематическаяиндукция:

Пример 1. Числа Ферма: F_n= 2²ⁿ+ 1, n = 0,1,2,....

Ферма полагал, что всечисла такого вида пнростые. При n =

0,...,4 F_nпростые, но для F₅Эйлер нашел разложение: F₅= 4.294.967.297 = 641 · 6.700.417.

Пример. Многочлен предложенный Эйлером: n²−n+41 дает простые числа при n = 1,...,40, но при n = 41 значение многочлена — составное число.

1.2 Комбинаторика

Комбинаторный принцип умножения. Пусть задана последовательность событий E₁,...,E_mтаких, что событие E₁осуществляется n₁способом, и если события E₁,...,E_k₋₁осуществились, то событие E_kможет осуществится n_kспособами. Тогда существует n₁·...·n_mспособов осуществления всей последовательности событий.

Пример. Пусть из n элементов необходимо выбрать r с учетом их порядка (например выбрать губернатора и его заместителя). Существует n способ выбрать первый элемент, n−2 способа выбрать второй... Наконец, n−r+1 способ выбрать r-й элемент. Следовательно, существует n(n−1)...(n− выбрать r элементов из n.

Число называется числом перестановок из n по r.

Пусть необходимо k элементов из n без учета порядка, например выбрать подмножество мощности k из множества мощности n. С учетом порядка имеется P(n,k) варианта выбора. Поскольку для каждого из найденного варианта имеется k! вариантов, содержащих те же элементы, то без учета порядка таких вариантов будет:

Число называется числом сочетаний из n по k.

Например, сколькими способами можно выбрать из 10 человек комитет состоящий из трех?

Решение: Поскольку порядок людей в комитете не важен,

Пусть A = {a₁,...,a_n}, B = {b₁,...,b_n}, тогда множество A × B = {(a_i,b_j)|a_i∈ A,b_j∈ B} называется декартовым проризведением множеств А и В. Из комбинаторного принципа умноженияследует, что мощность |A × B| = |A| · |B|

Комбинаторный принцип сложения. Пусть S₁,...,S_m— попарно непересекающиеся множества, |S_i| = n_i(i = 1,...,m). Тогда число вариантов выбора одного элемента из S₁или S₂или ... или S_mравно n₁+...+n_m. Если пересечение множеств S и T не пусто, то число элементов, которое можно выбрать из S или T равно |S| + |T| − |S ∩ T|.

Пример 1. Сколько существует целых чисел между 0 и 1000, содержащих ровно одну цифру 6?

Решение. Пусть S_i(i = 1,2,3) — множество чисел, содержащих цифру 6 на i-м месте, тогда |S₁| = 1 · 9 · 9 = 81, |S₂| = 9·1·9 = 81, |S₃| = 9·9·1 = 81. Поскольку S_iпопарно не пересекаются, то получаем 81 + 81 + 81 = 243 числа.

Пример 2. Найти количество натуральных чисел, меньших 1001, которые делятся на 3 или на 5.

Решение. Пусть S_i(i = 3,5) множества таких чисел. То-

Отсюда получаем, что количество таких чисел равно 333 + 200 − 66 = 467.

2 Системы линейных уравнений. Матрицы

2.1 Система линейных уравнений. Однородная система линейных уравнений. Неоднородная система линейных уравнений

В данной главе изучаются системы линейных уравнений (СЛУ). Пусть задана СЛУ из m линейных уравнений с n неизвестными:

 a11x1 + ... + a1nxn = b1



··· . (1)

 am1x1 + ... + amnxn = b1

Число a_ijстоит в i-м уравнении при j-й неизвестной x_j. Число b_iназывается свободным членом i-го уравнения. СЛУ (1) называется однородной, если b_i= 0 для i = 1,...,m и неоднородной в противном случае.

2.2 Матрица размера m×n. Квадратная матрица порядка n. Диагональная матрица. Единичная матрица порядка n. Нулевая матрица размера m×n. Вектор-строка. Вектор-столбец. Равенство матриц

Коэффициенты при неизвестных составляют прямоуголь-

ную таблицу

, (2)

называемую матрицей размера m×n (m×n-матрицей) или квадратной матрицей порядка n при m = n, обозначают (a_ij), а n называют порядком матрицы. Число a_ijназывается коэффициентом матрицы, стоящим в i-й строке и j-м столбце.

Если в квадратной матрице (a_ij) коэфициенты a_ij= 0 при i 6= j, то такую матрицу называют диагональной, пишут diag(a₁₁,...,a_nn). Диагональная матрица в которой a_ii= 1 для всех i = 1,...,n называется единичной. Если в квадратной матрице a_ij= a_jiдля всех i,j = 1,...,n, то ее называют симметрической; если же a_ij= −a_jiдля всех i,j = 1,...,n, то антисимметрической. В квадратной матрице последовательность a₁₁,a₂₂,...,a_nnназывается главной диагональю, a_1n,a_2(n−1),...,a_n₁— побочной. Если все элементы квадратной матрицы, стоящие ниже главной диагонали равны нулю (a_ij= 0 (i > j)), то ее называют верхней треугольной; если же все элементы, стоящие выше главной диагонали равны нулю (a_ij= 0 (i < j)) — нижней треугольной.

Прямоугольная матрица в которой все a_ij= 0 называется нулевой.

Пусть A — m × n-матрица тогда упорядоченный набор

(a_i₁,...,a_in)

(i = 1,...,n) назовем i-й строкой (вектором-строкой) матрицы A. Упорядоченный набор (a_1j,...,a_nj) (i = 1,...,n) назовем j-м столбцом (вектором-столбцом) матрицы A.

Две матрицы считаются равными, если равны их соответствующие коэфициенты.

2.3 Сложение матриц одинакового размера. Умножение матрицы на число. Линейная комбинация матриц одного размера. Транспонирование матрицы. Произведение матриц. Свойства операций над матрицами

Пусть A = (a_ij),B = (b_ij) — две m×n-матрицы. Суммой матриц A,B назовем матрицу C = A+B = (c_ij) = (a_ij+b_ij). Пусть α,β — любые числа, произведением матрицы А на число α назовем матрицу αA = (αa_ij). Линейной комбинацией матриц А и В назовем матрицу αA + βB. Преобразование матрицы A в матрицу A^Tсостоящую из элементов b_ij= a_ji(i,j = 1,...,n) называется транспонированием матрицы A, сама матрица A^Tесть транспонированная матрица А. Заметим, что i-я строка матрицы A является i-м столбцом матрицы A^T. Очевидно, что (A^T)^T= A, (A+B)^T= A^T+B^T, (λA)^T= λA^T.

Свойства операций над матрицами:

(i) A + B = B + A (коммутативность сложения);

(ii) (A+B)+C = A+(B+C) (ассоциативность сложения);

(iii) O + A = A, где O — нулевая m × n-матрица;

(iv) Для всякой матрицы A такая матрица −A, что A +

(−A) = O;

(v) (α + β)A = αA + βA (дистрибутивность);

(vi) α(A + B) = αA + αB (дистрибутивность);

(vii) α(βA) = (αβ)A (ассоциативность);

(viii) 1 · A = A (унитарность).

Произведением m × s-матрицы -матрицу

(b_ki) называется m × n-матрица (c_ij), где c_ij= ^Pa_ikb_kj,

k=1

1 6 i 6 m, 1 6 j 6 n. То есть элемент c_ijесть сумма произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B.

Свойства умножения матриц:

(i) умножение матриц ассоциативно; (ii) умножение матриц некоммутативно; (iii) (AB)^T= B^TA^T.

2.4 Определение решения системы линейных уравнений. Совместность системы линейных уравнений. Определенность системы линейных уравнений

Если каждое уравнение системы (1) обращается в тождество, после замены неизвестных x_iчислами x⁰_i, то упорядоченный набор из n чисел называется решением СЛУ (1). СЛУ, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Если СЛУ имеет решения, то ее называют совместной; в частности определенной, если решение единстенно и неопределенной, если решений более одного.

2.5 Эквивалентность систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий определенности системы линейных уравнений

Две СЛУ называются эквивалентными, если они или несовместны или совместны и обладают одними и теми же решениями.

Элементарные преобразования СЛУ:

(i) перестановка уравнений местами; (ii) умножение уравнения на ненулевое число;

(iii) сложение уравнений.

Если одна СЛУ получается из другой СЛУ путем применения конечной последовательности элементарных преобразований, то они эквивалентны.

Обратное не верно, например .

Матрицу (2) назовем основной матрицей СЛУ (1), а матрицу

 a11



am1

...

a1n amn

(3)

— расширенной матрицей СЛУ (1).

Введенным выше элементрарным преобразованиям СЛУ соответствуют аналогичные поеобразования строк матрицы A данной СЛУ.

Любую m × n-матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатому виду

...

... a0_rs...

...

a0₁n a0₂n a0_rn

b0₁ ^b02 

... ^_, b0r  b0r+1 

(3)

где a⁰_rs6= 0.

Число ненулевых строк матрицы A, после приведения ее к ступенчатому виду не зависит от примененных элементарных преобразований и называется рангом матрицы, пишут rankA.

Следовательно корректно следующее определение: неизвестные x₁,...,x_rназовем главными, а остальные, если таковые имеются, — свободными.

Теорема Кронекера-Капелли. СЛУ совместна тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы совпадает с рангом расширенной матрицы.

Совместная СЛУ является определенной тогда и только тогда, когда ранг ее основной матрицы равен числу неизвестных.

Метод решения СЛУ путем приведения ее к ступенчатому виду называют методом Гаусса.

3 Определители. Обратная матрица

Аннотация

Существенным недостатком решения СЛУ методом Гаусса является то, что он не дает возможности сформулировать условия совместности или определенности СЛУ при помощи коэффициентов и свободных членов этой системы. Более того, даже в случае определенности СЛУ этот метод не позволяет найти аналитическое решение системы (через формулы).

3.1 Определитель квадратной матрицы

Рассмотрим систему из двух линейных уравнений:

Применяя к ней метод Гаусса и предполагая, что a₁₁a₂₂− a₁₂a₂₁6= 0, получим .

Обозначив, за

пререпишем решения в виде.

Эти формулы приводят к идее определителя матрицы.

Пусть A,B — непустые множества. Отображение f : A → B называется инъективным (инъекцией), если из f(a) = f(a⁰) следует a = a⁰. Отображение f : A → B называется отображением на, или сюръективным (сюръекцией), если для каждого b ∈ B существует некоторое a ∈ A такое, что f(a) = b. Если отображение является одновременно и инъективным, сюръективным, назывеется взаимнооднозначным соответствием или биекцией. Если f : A → A биекция, то f называется перестановкой множества A. Если |A| = n, то f называют перестановкой степени n. Множество перестановок степени n обозначим S_n. В наглядной форме произ-

изображают в виде таблицы

Пара (i,j) ∈ Ω = {1,...,n} называется инверсией относительно перестановки π ∈ S_n, если i < j, но π(i) > π(j). Если k — число инверсий π, число то signπ = (−1)^k, называется знаком перестановки π. Перестановка π ∈ S_nназывается четной, если signπ = 1 и нечетной, если signπ = −1. Таким образом, дело сводится к подсчету в нижней строке перестановки количества чисел j, больших i, но стоящих перед i, для i = 1,...,n − 1.

Рассмотрим еще один способ нахождения знака перестановки. Перестановка вида

называется циклом длины k и обозначается (iπ(i)...π^k⁻¹(i)). Всякую перестановку можно разбить на произведение независимых циклов длины > 1. Это разложение единственно, с точностью до порядка следования циклов.

Цикл длины два называется транспозицией. Поскольку (12...k − 1,k) = (1k)(1,k − 1)...(12), то всякую перестановку можно записать в виде произведения транспозиций. Если π ∈ S_nи π = τ₁...τ_k— произвольное разложение π в произведение транспозиций, то число (−1)^kне зависит от способа разложения и равно signπ.

Поскольку любая транспозиция нечетна, то имеем предложение. Пусть π ∈ S_nразложена в произведение независимых циклов и s — число независимых циклов плюс число символов оставляемых на месте, тогда signπ = (−1)^d, где d = n − s — декремент перестановки. Очевидно, что декремент равен числу действительно перемещаемых символов.

Определителем квадратной матрицы A = (a_ij) порядка n назовем число

(1)

3.2 Свойства определителя

Из определения определителя вытекают следующие свойства.

(i) Определитель не меняется при транспонировании. А значит, всякое утверждение о строках определителя справедливо и для его столбцов.

(ii) Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

(iii) При перестановки двух строк определитель только лишь меняет знак.

(iv) Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

(v) Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k. Другими словами, общий множитель всех элементов некоторой строки определителя можно вынести за знак определителя.

(vi) Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

(vii) Если все элементы i-й строки определителя n-го порядка представлены в виде суммы двух слагаемых a_ij= b_ij+c_ij, j = 1,...,n, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, — такие же, как и в заданном определителе, а i-я строка водном из слагаемых состоит из элементов b_ij, в другом — из элементов c_ij.

(viii) Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответственные элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

3.3 Миноры и алгебраические дополнения.

Разложение определителя по строке

Аннотация

Определители больших порядков, применяя непосредственно определение, т. е. каждый раз выписывать непосредственно все n! членов, вычислять затруднительно. Существуют более простые методы вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков.

Определитель матрицы, получающейся из A = (a_ij) вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, обозначается M_ijи называется минором матрицы A, соответствующим элементу a_ij. Величина A_ij= (−1)ⁱ^+jM_ijназывается алгебраическим дополнением элемсента a_ij.

Из свойств определителя вытекает следующая формула (разложение определителя по элементам i-й строки):

3.4 Вырожденные и невырожденные матрицы. Обратная матрица, условия ее существования. Вычисление обратной матрицы

Теорема 1. Пусть A,B ∈ M_n, тогда det(AB) = detA · detB.

Квадратная матрица A = (a_ij) называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной в противном случае.

Из теоремы 1 следует, что произведение матриц, хотя бы одна из которых вырожденная, будет вырожденной матрицей. Произведение любых невырожденных матриц само будет невырожденной матрицей.

Для матрицы A ∈ M_nможно попробовать найти такую матрицу A⁰∈ M_n, что AA⁰= E = A⁰A. Поскольку из AA⁰= E = A⁰⁰A следует, что A⁰= A⁰⁰, то матрица A⁰, если она существует, то она единственна. Ее называют матрицей, обратной к A и обозначают A⁻¹. В этом случае матрицу A называют обратимой.

Матрица A = (a_ij) обратима тогда и только тогда, когда она невырожденна.

Доказательство. В самом деле, в силу det(AA⁻¹) = detA · detA⁻¹= detE = 1 необходимость очевидна, докажем достаточность. Матрица

составленная из алгебраических дополнений к элементам a_ijназывается присоединенной матрицей к матрице A. Обозначив за d = detA имеем AA^∗= A^∗A = diag(d,...,d). Положив

получим AA⁻¹= A⁻¹A = E.

Другой способ вычисления обратной матрицы состоит в рассмотрении расширенной матрицы (A|E) и приведения ее при помощи элементарных преобразований либо к виду (E|A⁰), что и будет означать невырожденность матрицы A и в правой части получим A⁰= A⁻¹. Либо процесс оборвется, возможно раньше, приведением A к ступенчатому виду и вычислением ранга A, что означает вырожденность матрицы A.

3.5 Формулы Крамера

Рассмотрим СЛУ в которой число неизвестных равно числу уравнений:

 a11x1 + ... + a1nxn = b1



··· . (2)

 an1x1 + ... + annxn = b1

Определитель основной матрицы этой системы будем называть определителем системы. Покажем, что если ∆ 6= 0, то СЛУ (2) определена.

Доказательство. Перепишем СЛУ (2) в матричном виде AX = B:

 a11



an1

...

a1n ann

Поскольку основная матрица системы невырождена, то

Отсюда— единственное решение СЛУ (2).

Перепишем полученное решение в виде

x_i= d_i/d, где.

Полученные формулы называются формулами Крамера.

4 Линейная зависимость. Ранг матрицы. ФСР

Аннотация

Для построения общей теории СЛУ необходимо использование пространства строк.

4.1 Система строк (столбцов)

Пусть n ∈ N, упорядоченная система n чисел x = (x₁,...,x_n) называется строкой длины n (n-мерным вектором).

Определим сумму двух строк a = (a₁,...,a_n) и b = (b₁,...,b_n) как строку a+b = (a₁+b₁,...,a_n+b_n), а произведение скаляра α на строку a как строку αa = (αa₁,...,αa_n).

Множество строк длины n с заданными операциями сложения строк и умножения строки на скаляр обозначается через Rⁿ.

Свойства операций над строками: пусть a,b,c — произвольные строки, α,β — произвольные действительные числа, тогда:

(i) a + b = b + a (правило параллелограмма);

(ii) a + (b + c) = (a + b) + c (правило четырехугольника);

(iii) a + 0 = a (существовантие нулевого вектора);

(iv) a + (−1)a = 0 (существование обратного вектора, обозначается −a);

(v) (αβ)a = α(βa) (ассоциативность);

(vi) (α + β)a = αa + βa (дистрибутивность);

(vii) α(a + b) = αa + αb (дистрибутивность); (viii) 1a = a (унитарность).

4.2 Линейная зависимость. Базис системы строк. Теорема о базисах. Ранг системы строк

Линейной комбинацией строк a₁,...,a_kс коэффициентами α₁,...,α_k∈ R называется строка вида α₁a₁+ ... + α_ka_k. Если все α_i,i = 1,...,k равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной. Строки a₁,...,a_kназываются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю. В противном случае вектора называются линейно независимыми.

Под системой строк будем понимать упорядоченный набор строк.

Множество линейных комбинаций {α₁a₁+...+α_ka_k|α₁,...,α_k∈ R} назовем линейной оболочкой системы строк a₁,...,a_k, пишут ha₁,...,a_ki.

Свойства линейно зависимых систем строк.

(i) Система, состоящая из одной строки линейно зависима тогда и только тогда, когда эта строка нулевая.

(ii) Если система строк содержит нулевую строку или пропорциональные строки, то эта система линейно зависима.

(iii) Если система строк линейно независима, то и всякая ее подсистема линейно независима.

(iv) Система строк линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы одна строка линейно выражается через остальные строки этой системы.

Линейно независимая подсистема a_s₁,...,a_stсистемы строк a₁,...,a_kназывается базисом этой системы, если через нее линейно выражается любой вектор системы.

Теорема о базисах: Любые два базиса какой-либо системы строк a₁,...,a_kсостоят из одинакового числа строк, это число называют рангом системы строк a₁,...,a_k, пишут rank(a₁,...,a_k). Если rank(a₁,...,a_k) = r, то число r называют так же размерностью линейной оболочки ha₁,...,a_ki, пишут dimha₁,...,a_ki = r.

4.3 Теорема о базисном миноре

Ранг матрицы равен рангу системы строк этой матрицы.

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы равен рангу этой матрицы.

Следствие. Ранг системы строк матрицы A равен рангу системы столбцов этой матрицы.

Что бы неайти ранг матрицы не обязательно вычислять все ее миноры.

Минор M⁰называется окаймляющим для минора M, если M получается из M⁰вычеркиванием одной крайней строки (первой или последней) и одного крайнего столбца.

Теорема (метод окаймляющих миноров (теорема о базисном миноре)): если для A уже найден минор M 6= 0 порядка r, то требуеся вычислить только миноры порядка r + 1, окаймляющие минор M. Если все они равну нулю, то rankA = r. В этом случае минор M называется базисным.

Заметим, что элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

4.4 Однородная система линейных уравнений. Свойства решений однородных систем. Фундаментальная система решений

Пусть AX = 0 — однородная СЛУ, A — матрица порядка n. Если — решения, то любая их линейная комбинация будет решением. В самом деле:

. Поэтому линейную оболочку V_A= hX ∈ Rⁿ|AX = 0i называют пространством решений однородной СЛУ AX = 0.

Пусть s = dimV_A, r = rankA, тогда r + s = n.

Любой базис пространства решений однородной СЛУ называется фундаментальной системой решений. Его, например, можно найти в виде

5 Аналитическая геометрия

Аннотация

Глава дополнительно включает в себя темы по предмету Геометрия и алгебра¨ ¨. В скобках отмечены темы по практике по книге ”Сборник задач”, В. Н. Черненко, Кемерово, 2004.

5.1 Понятие вектора (1)

Понятия прямой E1, полоскости E2, пространства E3, расстояния между точками и угла между прямыми примем без определения, следуя наглядно-геометрическим представлениям. Связанным (закрепленным) вектором (направленным отрезком) назовем упорядоченную пару точек. Если A,B — произвольные точки, то связанный вектор (A,B) обознача-

−−→ −→

ется AB. Вектор AA назовем нулевым и обозначим 0_A. Нулевой вектор полагают параллельным любому вектору.

Длина закрепленного вектора — расстояние между его

концами: −−→

|AB| = ρ(A,B). Закрепленные векторы равны, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине, равенство векторов a,b обозначим a = b.

Равенство является отношением эвивалентности, то есть для любых векторов a,b,c выполняются условия:

(i) a = a (рефлексивность);

(ii) из a = b следует b = a (симметричность);

(iii) из a = b и b = c следует a = c (транзитивность).

Таким образом, каждый связанный вектор определяет соответствующий класс эквивалентности, который назовем вектором (свободным вектором).

5.2 Действия над векторами (1)

Сложение векторов по правилу треугольника.

Умножение вектора на вещественное число по правилу: если b = λa, то

(i) b коллинеарен a;

(ii) |b| = |λ||a|;

(iii) если a 6= 0 и λ 6= 0, то b сонаправлен с a, если λ > 0 и противонаправлен, если λ < 0.

Эти операции корректно определены на множестве свободных векторов, то есть сумма двух векторов и произведение вектора на число существуют и единственны.

Свойства линейных операций: пусть a,b,c — произвольные векторы, α,β — произвольные действительные числа, тогда:

(i) a + b = b + a (правило параллелограмма);

(ii) a + (b + c) = (a + b) + c (правило четырехугольника);

(iii) a + 0 = a (существовантие нулевого вектора);

(iv) a + (−1)a = 0 (существование обратного вектора, обозначается −a);

(v) (αβ)a = α(βa) (ассоциативность);

(vi) (α + β)a = αa + βa (дистрибутивность);

(vii) α(a + b) = αa + αb (дистрибутивность);

(viii) 1a = a (унитарность).

Свойства доказываются из геометрических соображений.

5.3 Линейная зависимость системы векторов и ее геометрическй смысл. Система координат (1)

Векторы a₁,...,a_kназываются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулю. В противном случае векторы называются линейно независимыми.

Геометрический смысл линейной зависимости.

(i) Любые два коллинеарных вектора линейно зависимы, и наоборот, два линейно зависимых вектора коллинеарны.

(ii) Любые три компланарных вектора линейно зависимы, и наоборот, три линейно зависимых вектора компланарны.

(iii) Всякие четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство. (i) По определению операции умножения вектора на число.

(ii) Пусть a,b,c — линейно зависимы, тогда αa+βb+γc = 0, где, например, γ 6= 0. Отсюда, а это значит, что все три вектора лежат в одной плоскости, следовательно, по определению, они компланарны.

Обратно, пусть a,b,c компланарны, если a,b коллинеарны, то a,b и следовательно a,b,c линейно зависимы. Если a,b не коллинеарны, то "достроив параллелограмм"вектор c = αa + βb.

(iii) Рассмотрим четыре различных вектора a,b,c,d, если три из них компланарны, то все они линейно зависимы. Если таких троек среди них нет, то, например, пары a,b и c,d неколлинеарны, а следовательно определяют две пересекающиеся плоскости. Тогда напавляющий вектор прямой пересечения плоскостей f = αa + βb = γc + δd.

Если один из коэффициентов равен нулю,скажем α, то

, значит b,c,d — компланарны, что противоречит предположению.

Таким образом, αa + βb − γc − δd = 0 — нетривиальная линейная комбинация. Следовательно векторы a,b,c,d линейно зависимы.

Базисом на прямой (соотв., на плоскости, в пространстве) называется упорядоченный набор из 1 (соотв., 2, 3) линейно независимых векторов.

Всякий вектор пространства (соотв., плоскости, прямой) однозначно представляется в виде линейной комбинации векторов данного базиса.

Координатами вектора a относительно базиса e₁,e₂,e₃называются такие числа α₁,α₂,α₃, что a = α₁a₁+α₂a₂+α₃a₃. Пишут a = (α₁,α₂,α₃).

Координаты суммы векторов равны сумме координат. Координаты вектора λa равны (λα₁,λα₂,λα₃), для любого λ ∈ R.

В самом деле, пусть a = (α₁,α₂,α₃), b = (β₁,β₂,β₃). Тогда a+b = α1e1 +α2e2 +α3e3 +β1e1 +β2e2 +β3e3 = (α1 +β1)e1 + (α₂+β₂)e₂+(α₃+β₃)e₃. Значит a+b = (α₁+β₁,α₂+β₂,α₃+β₃). λa = λ(α₁e₁+ α₂e₂+ α₃e₃) = λα₁e₁+ λα₂e₂+ λα₃e₃или λa = (λα₁,λα₂,λα₃). Что и требовалось доказать.

Аффинная система координат (АСК) в пространстве задается выбором репера — произвольной точки O и базиса e₁,e₂,e₃. Пишут Oe₁e₂e₃.

Координаты точки X относительно АСК Oe₁e₂e₃опре-

−−→

деляются как координаты вектора OX в базисе e₁,e₂,e₃.

Пусть X = (x₁,x₂,x₃), Y = (y₁,y₂,y₃) — координаты двух точек относительно АСК Oe₁e₂e₃. Тогда координаты векто-

−−→ ра XY относитьельно базиса e₁,e₂,e₃равны (y₁− x₁,y₂− x₂,y₃− x₃).

Базис называется ортогональным, если векторы e₁,e₂,e₃попарно перепендикулярны. При этом, если они единичной длины, то базис называется ортонормированным (декартовым). АСК называется декартовой (ДСК) (прямоугольной), если соответствующий базис ортонормирован.

5.4 Скалярное произведение векторов (2)

Угол между векторами определим как угол между направлениями прямых, которым сонаправлены данные векторы. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется вещественное число, равное произведению длин этх векторов на косинус угла между ними: (a,b) = |a||b|cos(a,b_c). Если хотя бы один из векторов нулевой, то положим (a,b) =

Скалярное произведение обладает следующими свойствами, определяющими его однозначно:

(i) (a,b) = (b,a) (симметричность);

(ii) (λa + b,c) = λ(a,c) + (b,c) (линейность по первому аргументу);

(iii) (a,a) > 0 для любого a 6= 0.

Вычисление скалярного произведения в координатах. Пусть в некотором декартовом базисе e₁,e₂,e₃вектор a = (a₁,a₂,a₃), тогда a_i= (a,e_i),i = 1,2,3.

В самом деле, координаты вектора могут быть найдены путем проекций на оси базисных векторов:

. Что и требова-

лось доказать.

Следствие: если e₁,e₂,e₃— пороизвольный декартов базис, то скалярное произведение

— символ Кронеккера.

В произвольном декартовом базисе e₁,e₂,e₃скалярное произведение имеет вид (a,b) = a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃, где a =

(a₁,a₂,a₃),b = (b₁,b₂,b₃).

Действительно,

(a,b) = (a₁e₁+ a₂e₂+ a₃e₃,b₁e₁+ b₂e₂+ b₃e₃) =

= ^Pa_ib_j(e_i,e_j) = a₁b₁+ a₂b₂+ a₃b₃. Что и требовалось

i,j=1

доказать.

Вычисление длин и углов в координатах. В декартовой системе координат и при ненулевых a,b выполнено

5.5 Векторное произведение векторов (2)

Ориентация тройки векторов. Любые два ортонормированных базиса либо совмещаются друг с другом с помощью движения, с точностью до порядка векторов, либо нет. Таким образом, все упорядоченные отогнормированные базисы распадаются на два класса. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правоорентированной (правой), если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против движеня часовой стрелки. Иначе тройка называется левоорентированной.

Определение векторного произведения. Пусть даны вектора a и b. Вектор c называется векторным произведением векторов a и b, обозначается [a,b], если он удовлетворяет следующим условиям:

(i) |c| = |a||b|sinϕ, где ϕ — угол между a и b;

(ii) вектор c ортогонален векторам a и b;

(iii) если a и b не коллинеарны, то векторы a,b,c образуют правую тройку векторов.

Из первого пункта следует, что векторное произведение коллинеарных векторов, а также если хотя бы один из векторов нулевой, является нулевым вектором.

Свойства векторного произведения. Векторное произведение обладает следующими свойствами:

(i) Длина векторного произведения неколлинеарных векторов a,b равна площади параллелограмма построенного на векторах a,b.

(ii) антикоммутативность: [a,b] = −[b,a] для любых векторов a,b;

(iii) линейность: [λa + b,c] = λ[a,c] + [b,c], для любых векторов a,b,c b любого числа λ.

Доказательство.

(i) Площадь параллелограмма равна произведению длин его основания и высоты. Если a — основание, то высота равна произведению |b|sinϕ, где ϕ — угол между a и b. Отсюда площадь параллелограмма равна |a||b|sinϕ, то есть |[a,b]|. (ii) Пусть a и b не коллинеарны. Длина векторного произведения не зависит от порядка множителей. Из п.2 следует, что [a,b] и [b,a] коллинеарны. Поскольку a,b,[a,b] образуют правую тройку, а b,a,[b,a] левую, то векторы b,a,−[b,a] снова образуют правую тройку. Если a и b коллинеарны, то [a,b] = 0, [b,a] = 0, отсюда [a,b] = −[b,a] = 0.

Вычисление векторного произведения в координатах. Пусть e₁,e₂,e₃— правый ортонормированный базис, α_iи β_i(i = 1,2,3) — координаты векторов соответственно a и b в этом базисе. Тогда

[a,b] = (α₂β₃− α₃β₂)e₁+ (α₃β₁− α₁β₃)e₂+ (α₁β₂− α₂β₁)e₃.

Доказательство. Заметим, что [e₁,e₂] = e₃, [e₁,e₃] = −e₂,

[e₂,e₃] = e₁. Отсюда

[a,b] = (α₁e₁+ α₂e₂+ α₃e₃,β₁e₁+ β₂e₂+ β₃e₃) =

= α₁β₁[e₁,e₁]+α₁β₂[e₁,e₂]+α₁β₃[e₁,e₃]+α₂β₁[e₂,e₁]+α₂β₂[e₂,e₂]+ α₂β₃[e₂,e₃] + α₃β₁[e₃,e₁] + α₃β₂[e₃,e₂] + α₃β₃[e₃,e₃] = = α1β10+α1β2e3−α1β3e2−α2β1e3+α2β20+α2β3e1+α3β1e2− α3β2e1 + α3β30 =

= (α₂β₃−α₃β₂)e₁+(α₃β₁−α₁β₃)e₂+(α₁β₂−α₂β₁)e₃. Что и требовалось доказать.

Заметим, что выражение для векторного произведения можно записать с помощью определителя:

5.6 Смешанное произведение векторов (2)

Определение смешанного произведения. Скалярное произведение

(a,[b,c]) называется смешанным произведением векторов a,b,c и обозначается (a,b,c).

Свойства смешанного произведения. Смешанное произведение векторов обладает следующими свойствами:

(i) абсолютное значение смешанного произведения некомпланарных векторов a,b,c равно объему параллелепипеда, построенного на сомножителях.

(ii) (a,b,c) > 0, если тройка a,b,c правая; (a,b,c) < 0, если тройка a,b,c левая.

(iii) (a,b,c) = 0 тогда и только тогда, когда a,b,c компланарны.

(iv) (a,b,c) = (c,a,b) = (b,c,a) = −(b,a,c) = −(c,b,a) =

−(a,c,b).

(v) смешанное произведение линейно по каждому аргументу.

Доказательство.

(i) Объем параллелограмма V равен произведению площади основания |[b,c]| на высоту |a|cosψ, где ψ — угол между векторами a и [b,c]. Поэтому V = |[b,c]||a|cosψ = |(a,[b,c])| =

|(a,b,c)|.

(ii) По определению (a,b,c) = (a,[b,c]) = |a||[b,c]|cosψ, где ψ — угол между векторами a и [b,c]. Таким образом, знак смешанного произведения совпадает со знаком cosψ. И если тройка a,b,c правая, то вектор a направлен в ту же сторону от плоскости векторов b и c, что и вектор [b,c], значит 0 < поэтому cosψ > 0. Аналогично доказывается второй

случай.

(iii) Пусть (a,b,c) = |a||[b,c]|cosψ = 0, тогда воможен один из трех случаев:

1. |a| = 0, тогда тройка a,b,c компланарна по определению;

2. |[b,c]| = 0, тогда векторы b,c коллинеарны, следовательно a,b,c компланарны.

3. cosψ = 0, тогда вектор a лежит в одной плоскости с векторами b и c, следовательно тройка a,b,c компланарна.

Обратно: если векторы компланарны, то имеет место один из вышеперечисленных случаев, а значит (a,b,c) = 0.

(iv)Данное утверждение получаем, сравнивая ориентации троек векторов.

(v) Пусть λ произвольный скаляр, тогда

1. (λa + d,b,c) = (λa + d,[b,c]) = λ(a,[b,c]) + (d,[b,c]) = λ(a,b,c) + (d,b,c);

2. (a,λb+d,c) = (a,[λb+d,c]) = (a,λ[b,c]+[d,c]) = λ(a,[b,c])+ (a,[d,c]) = λ(a,b,c) + (a,d,c).

Утверждения доказаны.

Вычисление смешанного произведения в координатах. Пусть

(α₁,α₂,α₃), (β₁,β₂,β₃), (γ₁,γ₂,γ₃) — координаты векторов a,b,c в произвольном базисе e₁,e₂,e₃. Тогда

(a,b,c) = (α1β2γ3+α2β3γ1+α3β1γ2−α3β2γ1−α2β1γ3−α1β3γ2)(e1,e2,e3).

В самом деле,

[b,c] = [β₁e₁+ β₂e₂+ β₃e₃,γ₁e₁+ γ₂e₂+ γ₃e₃] =

= (β₁γ₂−β₂γ₁)[e₁,e₂]+(β₁γ₃−β₃γ₁)[e₁,e₃]+(β₂γ₃−β₃γ₂)[e₂,e₃]. Домножим полученное равенство скалярно на вектор a:

(a,[b,c]) = (α₁e₁+ α₂e₂+ α₃e₃,(β₁γ₂− β₂γ₁)[e₁,e₂] + (β₁γ₃− β₃γ₁)[e₁,e₃] + (β₂γ₃− β₃γ₂)[e₂,e₃]) =

= (α1β2γ3−α1β3γ2−α2β1γ3+α2β3γ1+α3β1γ2−α3β2γ1)(e1,e2,e3). Что и требовалось доказать.

Заметим, что выражение для смешанного произведения можно записать с помощью определителя:

В частности, в ортонормированном базисе .

5.7 Преобразование координат при замене базиса в АСК (3) (Читается в курсе Геометрия и топология)

Пусть даны две АСК, тогда разложим

векторы второго базиса по первому:

Матрица

называется матрицей перехода от базиса e₁,e₂,e₃к базису

Координаты точки M в АСК связаны

соотношениями

где T_ee0 — матрица перехода от базиса e₁,e₂,e₃к базису

(x,y,z) — координаты точки M в Oe₁e₂e₃,

(x⁰,y⁰,z⁰) — координаты точки,

(x₀,y₀,z₀) — координаты O⁰в Oe₁e₂e₃.

Доказательство. OM = OO⁰+ O⁰M,

OO O M 0 0 0 0 0 0

y⁰a₃₂+z⁰a₃₃)e₃, отсюда получаем доказываемые отношения.

Следствие. Координаты вектора в базисах связаны соотношениями

5.8 Уравнение прямой на плоскости (4)

Определение общих и параметрических уравнений подмножества в En,n = 2,3. Алгебраической кривой (линией) n-го порядка называется множество точек, которое в заданной АСК описывается алгебраическим уравнением nго порядка F(x,y) = 0 для кривых в E2 и F(x,y,z) = 0 для кривых в E3. Эти уравнения называют общими уравнениями кривых.

Парараметрическим уравнением кривой называется си-

стема или r¯ = ¯r(t), где t ∈ R — параметр.

Общее, каноническое и параметрические уравнения прямой. Пусть задана некоторая АСК, определим прямую l на плоскости точкой

M₀= (x₀,y₀) (начальная) на прямой и ненулевым вектором a¯ = (a₁,a₂), параллельным ей. Такой вектор называют направляющим. Если точка

M = (x,y) лежит на прямой l, то вектор a¯ параллелен вектору M₀M, то есть . Полученное уравнение называют каноническим уравнением прямой. Каноническое уравнение прямой допускает ноль в знаменателе, поскольку его следует рассматривать как запись уравнения

Положим в каноническом уравнении прямой

и . Тогда . Полученное уравнение называют параметрическим уравнением прямой.

Из канонического уравнения имеем:

a₂(x−x₀) = a₁(y−y₀) ⇔ Ax+By+C = 0 — общее уравнение прямой на плоскости, где A = a₂, B = −a₁, C = −a₂x₀+ a1y0.

Итак, всякая прямая на плоскости в АСК задается уравнением первого порядка. Обратно, всякое уравнение первого порядка задает прямую. Дейстрвительно, рассмотрим уравнение Ax + By + C = 0. Пусть, например, A 6= 0. Возьмем в качестве начальной точки (−^C_A,0), а в качестве направляющего вектора выберем (−B,A). Тогда исходное уравнение равносильно каноническому.

Вектор (α,β) параллелен прямой Ax + By + C = 0 если и только если Aα + Bβ = 0.

Пусть задана ДСК, тогда вектор n¯ = (A,B) перпендикулярен прямой l : Ax + By + C = 0.

Доказательство. Пусть M₀= (x₀,y₀) — точка лежащая на прямой l и n = (A,B) — ненулевой вектор, перпендикулярный прямой l. Тогда точка M = (x,y) лежит на l если и только если вектор M₀M ортогонален n. То есть, если A(x − x₀) + B(y − y₀) = 0 или Ax + By + C = 0, где C = −Ax₀− By₀.

Обратно, пусть дано линейное уравнение Ax+By+C = 0,

A²+ B²6= 0. Пусть для определенности A 6= 0, тогда x =

, а значит геометрическое место точек кривой заданной уравнением не пусто. Пусть точка M₀= (x₀,y₀) принадлежит кривой, тогда Ax₀+By₀+C = 0. Вычитая последнее уравнение из Ax+By+C = 0 получим A(x−x₀)+B(y−y₀) = 0. Это условие представляет собой условие ортогональности вектора n = (A,B) и вектора M₀M, где

M = (x,y). Следовательно, если точка M принадлежит геометрическому образу уравнения Ax+By +C = 0, то вектор n ортогонален вектору M₀M, то есть точка M лежит на прямой, проходящей через точку M₀перпендикулярно вектору

Вектор n = (a,b) называется нормальным вектором прямой l : Ax + By + C = 0.

5.9 Взаимное расположение прямых на плос-

кости (4)

Пусть некоторой АСК заданы две прямые своими общими уравнениями l₁: A₁x+B₁y+C₁= 0 и l₂: A₂x+B₂y+C₂=

0. Тогда прямые l₁,l₂пересекаются (в одной точке), если

, и параллельны (в т. ч. могут совпадать),

если .

Уравнения A₁x + B₁y + C₁= 0 и A₂x + B₂y + C₂= 0 в некоторой АСК задают одну и ту же прямую тогда и только тогда, когда они пропорциональны, т. е. существует такое λ 6= 0, что A₁= λA₂, B₁= λB₂, C₁= λC₂.

5.10 Расстояние от точки до прямой на плоскости (4)

Расстояние от точки P = (x₀,y₀) до прямой l заданной в ДСК уравнением Ax + By + C = 0 равно ρ(P,l) =

Доказательство. Пусть P₁= (x₁,y₁) — произвольная точка на прямой. Тогда

5.11 Угол между прямыми на плоскости (4)

Углом между двумя прямыми на плоскости назовем угол между любым направляющими векторами этих прямых. Очевидно, что определение дает нам два угла, в сумме дающих

π.

Если в некоторой ДСК прямые заданы своими общими уравнениями l₁: A₁x + B₁y + C₁= 0 и l₂: A₂x + B₂y + C₂= 0 и φ — острый (прямой) угол между этими прямыми, то

Равенство A₁A₂+B₁B₂= 0 выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых l₁,l₂.

5.12 Уравнения плоскости в пространстве (5)

Пусть задана некоторая АСК, плоскость π и два линейно независимых вектора a и b, параллельных плоскости π. Поскольку любой вектор плоскости однозначно представляется в виде их линейной комбинации, то взяв произвольную точку M плоскости π с радиус-вектором r¯₀, получим параметические уравнения плоскости: r¯ = ¯r₀+ua¯+v^¯b, где u и v — параметры. Отсюда r¯−r¯₀= ua¯+v^¯b, что означает, что векторы r¯ − r¯₀,a,¯ ^¯b линейно зависимы. Переходя к аффинным

координатам получим уравнения: и

Полагая,

D = −Ax₀− By₀− Cz₀, преобразуем уравнение к общему уравнению плоскости в пространстве Ax+By+Cz+D = 0.

Поскольку a,¯ ^¯b неколлинеарны, то A²+ B²+ C²6= 0.

Обратно, рассмотрим произвольное уравнение первого порядка

Ax + By + Cz + D = 0. Пусть для определенности A 6= 0, тогда уравнение равносильно уравнению плоскости, проходящей через точку с направляющими векто-

5.13 Расстояние от точки до плоскости в пространстве (5)

Пусть в некоторой ДСК задана плоскость π : Ax + By + Cz + D = 0, тогда вектор n = (A,B,C) перпендикулярен плоскости π. Расстояние от произвольной точки P = (x₀,y₀,z₀) до плоскости π равно.

5.14 Взаимное расположение плоскостей в пространстве (5)

В АСК вектор (α,β,γ) параллелен плоскости Ax + By + Cz + D = 0 тогда и только тогда, когда Aα + Bβ + Cγ = 0.

Плоскости π₁и π₂, заданные в некоторой АСК уравнениями

A₁x+B₁y+C₁z+D₁= 0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂= 0 параллельны тогда и только тогда, когда. Эти плоскости совпадают тогда и только тогда, когда .

5.15 Уравнение прямой в пространстве (6)

Пусть l — прямая пространстве, r¯₀— радиус-вектор началтной точки прямой, a¯ — направляющий вектор прямой, тогда радиус вектор точки M₀на прямой запишется в виде r¯ = ¯r₀+ ta¯. Пусть в некоторой АСК M₀= (x₀,y₀,z₀), a¯ = (a₁,a₂,a₃), тогда получим параметрические уравнения прямой l

Исключая параметр t придем к каноническим уравнениям прямой l

Поскольку a¯ 6= 0, то пусть для определенности a₁6= 0, тогда канонические уравнения равносильны системе

то есть прямую в пространстве можно задать как пересечение двух плоскостей.

Обратно, если векторы (A₁,B₁,C₁) и (A₂,B₂,C₂) неколлинеарны, то система

определяет прямую с направляющим вектором

5.16 Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости (6)

Угол между прямыми с параметрическими уравнениями r¯ = ¯r₁+ ¯a₁t и r¯ = ¯r₂+ ¯a₂t:

Угол между прямой r¯ = ¯r + ¯at и плоскостью Ax + By + Cz + D = 0:

5.17 Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми (6)

Расстояние между скрещивающимися прямыми с параметрическими уравнениями r¯ = ¯r₁+ ¯a₁t и r¯ = ¯r₂+ ¯a₂t. Построим параллелепипед со сторонами r¯₁− r¯₂, a¯₁и a¯₂. Тогда искомое расстояние — высота этого параллелепипеда:

Расстояние от точки с радиус-вектором r¯₁до прямой заданной параметрическим уравнением r¯ = ¯r₀+ ¯at. Построим параллелограмм со сторонами r¯₁−r¯₀и a¯. Тогда искомое расстояние — высота этого параллелограмма:

6 Комплексные числа

6.1 Комплексное число. Алгебраическая форма комплексного числа. Комплексная плоскость

Комплексное число есть элемент алгебраического расширения C поля действительных чисел R, получаемого алгебраическим присоединением к полю R корня i многочлена x²+ 1. Получающееся таким путем поле C называется полем комплексных чисел.

Моделью такого расширения служит плоскость R²:

• в качестве элементов (комплексных чисел) z ∈ C принимаются векторы (x,y) ∈ R²;

• суммой z = (x,y) и z⁰= (x⁰,y⁰) называют комплексное число z + z⁰= (x + x⁰,y + y⁰);

• произведением z = (x,y) и z⁰= (x⁰,y⁰) называют комплексное число zz⁰= (x,y)(x⁰,y⁰) = (xx⁰− yy⁰,xy⁰+ x⁰y);

• нулевой элемент (0,0) совпадает с началом координат, комплексное число (1,0) есть единица поля C .

Действительные числа x ∈ R при этом соответствуют векторам (x,0) плоскости R².

Заметим, что элемент i = (0,1) (мнимая единица) является решением уравнения x²+ 1 = 0, поскольку

i²= (0,1)(0,1) = (0 · 0 − 1 · 1,0 · 1 + 0 · 1) = (−1,0) и

(−1,0) + (1,0) = (0,0).

Это представление элементов поля C равносильно алгебраической форме комплексного числа: z = (x,y) = x+iy, где x,y ∈ R и i²= −1. Действительные числа x отождествляются при этом с числами x+i0. Умножение и сложение при этом содится к действию с многочленами.

Плоскость R², точки которой отождествленны с элементами поля C называется комплексной. При этом ось абцисс называется вещественной, ось ординат — мнимой.

Комплексные числа z = x + iy и z¯ = x − iy называются

сопряженными. Заметим, что z¯¯ = z, z + z⁰= ¯z + z¯⁰и zz⁰= z¯z¯⁰.

Если z = x + iy, то вещественные числа Re(z) = x и Im(z) = y называются соответственно вещественной и мнимой частью комплексного числа z.

6.2 Тригонометрическая форма комплексного числа

Пусть z = x + iy ∈ C , тогда неотрицательное число

|z| = ^px²+ y²∈ R назовем модулем комплексного числа z. Угол между вектором z и положительным направлением вещественной оси называется аргументом комплексного числа z, пишут arg(z) (−π < arg(z) 6 π).

Применяя полярные координаты на комплексной плоскости C , т. е. радиус-вектор r = |z| и полярный угол φ = arg(z) получают тригонометрическую форму комплексного числа: z = r(cosφ + isinφ).

6 z

r r ϕ -

Q 1 −ϕ x

Qs _z¯

6.3 Формула Муавра. Извлечение корней nой степени

Если z,z⁰∈ C, то |zz⁰| = |z||z⁰|, arg(zz⁰) = argz + argz⁰, аналогично , arg.

Из первых двух формул вытекает формула Муавра:

[r(cosφ + isinφ)]ⁿ= rⁿ((cosnφ + isinnφ)

справедливая для всех n ∈ Z.

Следствие. Извлечение корня n-й степени из комплексного числа z = |z|(cosφ + isinφ) всегда возможно. Все n значений корня n-й степени из z расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в нуле и радиуса ^pⁿ|z|:

7 Многочлены

7.1 Определение многочлена

Многочлен от одной переменной (или неизвестной) x с коэффициентами a₀,a₁,... из поля F — это выражение f = a₀+ a₁x + a₂x²+ ··· = ^Xa_jx^j,

в котором имеется лишь конечное число ненулевых коэффициентов. Если a_n6= 0 и a_j= 0 при j > n, то число n называется степенью многочлена f и обозначается deg(f); при этом a_nназывают старшим коэффициентом f.

Многочлен степени n обычно записывают в виде f = a₀+ a₁x + a₂x²+ ··· + a_nxⁿ,

отбрасывая члены с нулевыми коэффициентами (вместо f также пишут f(x), если требуется явно указать переменную). Многочлены f = ^Pa_jx_jи g = ^Pb_jx_jсчитаются равными в том и только в том случае, когда a_j= b_jдля всех j.

Многочлены нулевой степени имеют вид f = a₀, где a₀6= 0. Многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю, называется нулевым многочленом и обозначается тем же символом 0, что и нулевой элемент поля. Данное выше определение степени не имеет смысла для нулевого многочлена, однако, удобно считать, что deg(0) = −∞ < 0. Многочлены степени 6 0 (т.е. многочлены нулевой степени и 0) называют константами и отождествляют с соответствующими элементами поля F.

7.2 Деление многочленов

Обозначим через F[x] множество всех многочленов с коэффициентами из поля F. На этом множестве имеются естественные операции сложения и умножения: сумма и произведение многочленов f = ^Pa_jx^jи g = ^Pb_jx^jопределяются равенствами

f + g = (a₀+ b₀) + (a₁+ b₁)x + ··· = ^X(a_j+ b_j)x^j, (1) fg = a₀b₀+ (a₀b₁+ a₁b₀)x + (a₀b₂+ a₁b₁+ a₂b₀)x²+ ···

= ^X( ^Xa_kb_l)x^j. (2)

j k+l=j

Таким образом, сложение многочленов сводится к сложению коэффициентов при одинаковых степенях переменной x, а умножение выполняется почленно (с приведением подобных).

Множество F[x] с операциями сложения и умножения, определяемыми формулами (1) и (2) назовем кольцом многочленов от одной переменной над полем F.

Для любых многочленов f,g ∈ F[x] выполняются соотношения deg(f + g) 6 max(deg(f),deg(g)), (3)

deg(fg) = deg(f) + deg(g). (4)

В кольце F[x] нет делителей нуля: если fg = 0, то f = 0 или g = 0.

Арифметика в кольцах многочленов аналогична арифметике целых чисел. Для многочленов f,g ∈ F[x] вводится понятие делимости: g делит f (или f делится на g), если существует такой многочлен h ∈ F[x], что f = gh (обозначение: g|f). Чтобы исключить тривиальные случаи, это определение будет далее применяться только к ненулевым многочленам.

Теорема

(1) Если g|f₁и g|f₂, то g|(f₁± f₂).

(2) Если h|g и g|f, то h|f.

(3) g|f ⇐⇒ vg|vf для любого v.

(4) g|f и f|g ⇐⇒ g = αf для некоторой ненулевой константы α ∈ K.

Теорема (деление с остатком). Для любых многочленов f,g ∈ K[x] существуют однозначно определенные многочлены q,r ∈ K[x] (частное и остаток от деления f на g), удовлетворяющие условиям

f = gq + r, deg(r) < deg(g).

Доказательство этой теоремы и практическое вычисление частного и остатка сводятся к применению обычного алгоритма деления “уголком”.

Замечание. Остаток r равен нулю тогда и только тогда, когда g|f. Так как подразумевается, что g 6= 0, то deg(g) > 0, и при r = 0 выполняется требуемое условие: deg(r) = −∞ < deg(g).

Наибольшим общим делителем ненулевых многочленов f,g ∈ K[x] называется многочлен d = d(f,g) ∈ K[x], для которого выполняются следующие условия:

(а) d|f и d|g.

(б) Если h|f и h|g, то h|d.

(в) Старший коэффициент многочлена d равен 1.

Из утверждения (4) теоремы 3 вытекает, что эти условия определяют многочлен d однозначно. Как и в кольце целых чисел, для вычисления наибольшего общего делителя многочленов применяется алгоритм Евклида. Пусть, например, deg(g) < deg(f). Выполняя несколько раз деление с остатком, получаем цепочку равенств:

f = gq + r, g = rq₁+ r₁, r = r₁q₂+ r₂,

...

rn−2 = rn−1qn + rn, rn−1 = rnqn+1,

где n < deg(g), поскольку

deg(g) > deg(r) > ··· > deg(r_n) > 0.

Пусть a — старший коэффициент r_n; тогда a⁻¹r_n= d(f,g) — наибольший общий делитель многочленов f и g.

Запишем r_nв виде r_n= r_n₋₂− r_n₋₁q_n. В свою очередь, r_n₋₁выражается через два предыдущих остатка, и т.д. Таким образом, можно выразить r_n(а, значит, и d(f,g)) через многочлены f и g:

Теорема 5. Для любых двух ненулевых многочленов f,g ∈ F[x] существуют такие многочлены u,v ∈ F[x], что

uf + vg = d(f,g).

7.3 Неприводимые многочлены

Многочлен f ∈ F[x] степени n > 0 называется неприводимым над полем F[x], если он не является произведением многочленов из F[x] степени < n. Это означает, что f делится только на многочлены вида α и αf, где 0 6= α ∈ K. Роль неприводимых многочленов в кольце F[x] аналогична роли простых чисел в кольце Z. Подчеркнем, что константы (т.е. обратимые элементы кольца многочленов) не считаются неприводимыми, так же, как обратимый элемент 1 ∈ Z не считается простым числом.

Каждый многочлен степени 1 неприводим (над любым полем). Существование неприводимых многочленов большей степени уже зависит от свойств поля коэффициентов. Например, можно показать, что над полем рациональных чисел существуют неприводимые многочлены любой степени n > 0. Если L — расширение поля F, то F[x] — подкольцо в L[x] и всякий многочлен из K[x] можно рассматривать как многочлен над полем L. При этом многочлен f ∈ F[x], неприводимый над полем F, может быть приводимым над L (если же f неприводим над L, то, конечно, он неприводим и над F).

Примеры.

1. Многочлен f = x²− 2 ∈ Q[x] неприводим над полем рациональных чисел, но в√ √ R[x] он имеет разложение f =

(x − 2)(x + 2).

2. Многочлен x²+ 1 неприводим над полем действительных чисел, но x²+ 1 = (x − i)(x + i) над C.

Лемма 1. Пусть p,f ∈ K[x]. Если многочлен p неприводим над K и не делит f, то d(p,f) = 1.

Лемма 2. Пусть p,f₁,...,f_m∈ K[x]. Если p неприводим над K и p|(f₁···f_m), то p|f_jдля некоторого j.

В кольце многочленов выполняется теорема о разложении на неприводимые множители, аналогичная основной теореме арифметике целых чисел.

Теорема. Любой многочлен положительной степени f ∈ K[x] является произведением неприводимых многочленов. Разложение f на неприводимые множители единственно в следующем смысле: если

f = p₁···p_m= q₁···q_n,

где все p_jи q_jнеприводимы, то m = n и при подходящей нумерации выполняются равенства q_j= α_jp_jдля некоторых ненулевых констант α_j∈ K.

7.4 Корни многочлена

Значением многочлена f = a₀+ a₁x + ··· + a_nxⁿ∈ F[x] при x = α называется элемент f(α) ∈ F, определяемый равенством f(α) = a₀+ a₁α + ··· + a_nαⁿ.

Если f = a₀— константа, то f(α) = a₀для любого α.

Элемент α ∈ F называется корнем многочлена f ∈ F[x], если f(α) = 0. Подчеркнем, что многочлен f с коэффициентами из поля F может не иметь корней в этом поле, но иметь их в некотором расширении L ⊃ F. Например, у многочлена x²+1 нет действительных корней, но есть два комплексных корня — i и −i. С другой стороны, любой многочлен первой степени a₀+a₁x ∈ K[x] имеет единственный корень.

7.5 Теорема Безу

Теорема (Безу). Элемент α ∈ L является корнем многочлена f тогда и только тогда, когда f делится на многочлен x − α в кольце L[x].

Заметим, что f(x₀) по теореме Безу равно остатку от деления f(x) на x − x₀.

Следствие. Если многочлен f неприводим над полем K и deg(f) > 1, то он не имеет корней в этом поле.

Для многочленов степени 2 и 3 отсутствие корней в поле K равносильно неприводимости над этим полем. Для многочленов большей степени это не так: например, приводимый над Q многочлен x⁴− 4 не имеет рациональных корней.

Пусть α ∈ L — корень многочлена f. По теореме Безу f делится на x−α в кольце L[x], т.е. неприводимый многочлен x − α входит в разложение f над полем L. Если он повторяется в этом разложении k раз, то число k > 1 называется кратностью корня α. Другими словами, кратность корня α многочлена f — это наибольшее натуральное число k, для которого f делится на (x − α)^k. Тогда f = (x − α)^kq, где q ∈ L[x] и q(α) 6= 0.

Теорема 2. Сумма кратностей корней многочлена не превосходит его степени. В частности, многочлен степени n имеет не более n корней в любом поле.

Теорема вытекает из того, что степень f равна сумме степеней множителей в разложении

f = (x − α₁)^k¹···(x − α_m)^k^mq,

где α₁,...,α_m— различные корни f в поле L с кратностями k₁,...,k_m.

Производной многочлена f = a₀+ a₁x + ···a_nxⁿназывается многочлен

f⁰= a₁+ 2a₂x + ··· + na_nxⁿ⁻¹.

Отображение f 7→ f⁰называется дифференцированием. Лемма.

(1) (f + g)⁰= f⁰+ g⁰.

(2) (αf)⁰= αf⁰.

(3) (fg)⁰= f⁰g + fg⁰.

Данное выше определение производной не использует предельного перехода и применимо к многочленам над любым полем. Тем не менее, специфические свойства поля могут порождать неожиданные эффекты. Например, дифференцируя многочлен f = x²над полем вычетов по модулю 2, получаем f⁰= 2x = 0, поскольку 2 = 0 в Z₂. Чтобы избежать подобных сюрпризов, в следующей теореме мы рассматриваем многочлены над некоторым числовым полем K ⊂ C. В этом случае дифференцирование дает удобный метод вычисления кратности корня.

Теорема 3. Корни кратности k > 1 многочлена f являются корнями кратности k − 1 для его производной (и наоборот).

Изучение комплексных корней дает новую информацию о многочленах с действительными коэффициентами. Пусть α — комплексный корень многочлена f ∈ R[x]. Применяя к обеим частям равенства f(α) = 0 операцию комплексного сопряжения, получаем f(¯α) = 0. Отсюда индукцией по кратности корня выводится:

7.6 Схема Горнера

Пусть f(x) = a_nxⁿ+ a_n₋₁xⁿ⁻¹+ ... + a₁x + a₀и a ^∈F — некоторый элемент, тогда f(x) = (x − a)g(x) + r, где g(x) = b_n₋₁xⁿ⁻¹+ ... + b₁x + b₀— неполное частное, r — остаток.

Найдем коэффициенты b₀,...,b_n₋₁:

a_nxⁿ+ a_n−₁xⁿ⁻¹+ ... + a₁x + a₀= (x − a)(b_n−₁xⁿ⁻¹+ ... + b₁x + b₀) + r, приравнивая соответствующие коэффициенты получаем a_n= b_n−₁,a_n−₁= b_n−₂− ab_n−₁,..., a₁= b₀− ab₁,a₀= r − ab₀, отсюда b_n−₁= a_n, b_n−₂= a_n−₁+ab_n−₁,..., b₀= a₁+ab₁, r = a₀+ab₀.

	a_n	an−1	...	a₁	a₀
a	bn−1	bn−2	...	b₀	r

При вычислениях применяют таблицу.

Такой способ деления многочленов с остатком называют Схемой Горнера.

7.7 Основная теорема алгебры. Каноническое разложение многочлена

Поле F называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен положительной степени с коэффициентами из K имеет хотя бы один корень в этом поле. В этом случае для любого многочлена f ∈ F[x] степени n со старшим коэффициентом a существует единственное разложение

f = a(x − α₁)^k¹···(x − α_m)^k^m, (1)

где α₁,...,α_m∈ K — различные корни f с кратностями k₁,...,k_mи

k₁+ ··· + k_m= n. Данное разложение называется каноническим.

Простые примеры показывают, что поля рациональных и действительных чисел не являются алгебраически замкнутыми. Открытие алгебраической замкнутости поля комплексных чисел было одним из величайших достижений математики XVIII века; этот факт, ввиду его важности, часто называют основной теоремой алгебры.

Теорема 4. (Гаусс 1779) Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.

Из этой теоремы и формулы (1) вытекает

Следствие. Любой многочлен положительной степени над полем комплексных чисел можно разложить на линейные множители. Неприводимыми над C являются только многочлены степени 1.

Многочлен f ∈ C[x] степени n со старшим коэффициентом 1 можно записать в виде

f = xⁿ+ a₁xⁿ⁻¹+ ··· + a_n.

Разложим его на линейные множители:

f = (x − α₁)···(x − α_n),

где α₁,...,α_n— список комплексных корней f, в котором каждый корень кратности k повторяется k раз. Сравнивая коэффициенты при xⁿ^−kв этих двух выражениях для f, получаем формулу Виета:

a_k= (−1)^k^Xα_i₁···α_i_k(k = 1,...,n),

i₁<···<i_k

или, подробнее,

a₁= −(α₁+ ··· + α_n), a₂= α₁α₂+ ··· + α_n−₁α_n,

...

a_n= (−1)ⁿα₁···α_n.

7.8 Многочлены с вещественными коэффициентами

Теорема. Если α — комплексный корень кратности k многочлена f с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число α¯ является корнем f той же кратности.

Таким образом, комплексные корни f, не лежащие в R, группируются в пары сопряженных. Поскольку квадратный трехчлен (x−α)(x−α¯) имеет действительные коэффициенты, выполняется следующая

Теорема. В кольце R[x] любой многочлен положительной степени можно разложить на линейные и квадратичные множители. Кроме многочленов степени 1, неприводимыми над R являются только многочлены степени 2, не имеющие действительных корней.

Следующая теорема позволяет путем конечного перебора найти все рациональные корни любого многочлена с целыми коэффициентами:

Теорема. Если — рациональный корень многочлена f = a₀+a₁x+···+a_nxⁿс целыми коэффициентами, где p и q взаимно просты, то p|a₀и q|a_n. В частности, если a_n= 1, то α — целое число.

8 Векторные пространства

Пусть P — произвольное поле. Векторным (линейным) пространством над полем P называется множество V , элементы которого называются векторами, если на V задана алгебраическая операция V × V → V называемая сложением векторов и внешний закон композиции P ×V → V называемый умножением вектора на скаляр; причем для любых векторов a,b,c ∈ V и любых чисел (скаляров) α,β ∈ P выполняются следующие аксиомы (условия):

(i) a + b = b + a (коммутативность сложения);

(ii) (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения);

(iii) Существует вектор ¯0 ∈ V , такой, что ¯0 + a = a для любого a ∈ V (существование нулевого вектора);

(iv) Для любого a ∈ V найдется −a ∈ V , такой, что a +

(−a) = ¯0;

(v) (α + β)a = αa + βa (дистрибутивность);

(vi) α(a + b) = αa + αb (дистрибутивность);

(vii) α(βa) = (αβ)a (ассоциативность); (viii) 1 · a = a (унитарность).

Простейшие следствия из аксиом:

(i) Нулевой вектор единственный;

(ii) Для всякого вектора a противоположный ему вектор −a единственный.

Примеры векторных пространств:

(i) Fⁿ= {(a₁,a₂,...,a_n)|a_i∈ F} — пространство строк. В частности Rⁿ(арифметическое векторное пространство).

(ii) Множество свободных геометрических векторов (направленных отрезков), складываемых по правилу параллелограмма и умножаемых на действительные числа обычным образом.

(iii) Множество F[n] всех многочленов степени не выше n с коэффициентами из произвольного поля F относительно обычных операций сложения многочленов и умножения их на числа.

(iv) Пусть M_n(F) — множество всех (n × n)-матриц с элементами из произвольного поля F. Определяя сложение матриц и умножение их на числа стандартным образом, получим векторное пространство над полем F.

Пример 1. В векторном пространстве V над полем C определим новое умножение векторов на комплексные числа по правилу α ◦ x = αx. Доказать, что относительно операций + и ◦ V является векторным пространством. Найти его размерность.

Пример 2. Пусть Cⁿ— множество всех строк (a₁,...,a_n) длины n, a_i∈ C. Если b ∈ C, то положим b ◦ (a₁,...,a_n) = (ba¯₁,...,ba¯_n). Является ли Cⁿотносительно операций + и ◦ векторным пространством?

8.2 Линейная зависимость векторов

Пусть дана система векторов

a₁,...,a_k∈ V, (1)

и набор чисел

α₁,...,α_k∈ P, (2)

тогда вектор α₁a₁+...+α_ka_kназывается линейной комбинацией векторов системы (1), а числа (2) — коэффициентами этой линейной комбинации. Если все коэффициенты линейной комбинации — нули, то линейная комбинация называется тривиальной. Если какой-либо вектор равен линейной комбинации векторов системы (1),то говорят, что он линейно выражается через эту систему.

Система векторов называется линейно независимой, если только тривиальная комбинация этих векторов равна нулю, и называется линейно зависимой в противном случае.

Простейшие следствия из определения:

(i) Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

(ii) Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

(iii) Критерий линейной зависимости: система из более чем одного векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов этой системы линейно выражается через остальные.

(iv) Если система векторов a₁,...,a_s, линейно зависима, а ее подсистема a₁,...,a_sлинейно независима, то вектор выражается единственным образом через эту подсистему.

8.3 Базис векторного пространства. Размерность векторного пространства. Координаты вектора

Система векторов a₁,...,a_nвекторного пространства V называется максимальной линейно независимой системой, если для любого вектора x ∈ V система a₁,...,a_n,x линейно зависима. Векторное пространство V называется конечномерным, если в нем существует, по крайней мере одна, конечная максимальная линейно независимая система векторов.

Базисом конечномерного векторного пространства V называется упорядоченная максимальная линейно независимая система векторов. Любой вектор разлагается по базису и притом единственным образом. Коэффициенты разложения вектора по базису называются координатами вектора в этом базисе. Координаты произведения числа на вектор равны произведениям соответствующих координат вектора на это число. Координаты суммы векторов равны суммам соответствующих координат векторов.

Поскольку всякий базис состоит из одинакового числа векторов, то справедливо определение: число векторов в базисе конечномерного пространства называется его размерностью. Если размерность пространства V равна n, то или пишут dimV = n, или векторное пространство обозначают

V_n.

Говорят, что система векторов a₁,...,a_kпорождает векторное пространство V, если любой вектор из V является линейной комбинацией векторов этой системы. В этом случае пишут V = ha₁,...,a_ki, а саму систему a₁,...,a_kназывают порождающей системой (системой образующих). Любая конечная порождающая система векторов векторного пространства содержит базис. Всякую линейно независимую систему векторов можно дополнить до базиса.

8.4 Переход к новому базису. Матрица перехода к новому базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису

Пусть a₁,...,a_nи b₁,...,b_n— два базиса векторного пространства V над полем P и

 b1 = α11a1 + ... + α1nan



... (3)

 bn = αn1a1 + ... + αnnan

Матрица называется матрицей пе-

рехода от базиса a₁,...,a_nк базису b₁,...,b_n. Если положить a = (a₁,...,a_n), b = (b₁,...,b_n), то (3) перепишется в виде b = aT_ab.

Свойства матриц перехода:

(i) Матрица перехода от одного базиса к другому — невырожденная.

(ii) Каждая невырожденная матрица порядка n может служить матрицей перехода от одного базиса к другому.

Пусть— координаты вектора x в базисе a₁,...,a_n, положим , тогда x = a[x]_a. Аналогично, ес-

, то x = b[x]_b. Отсюда x = a[x]_a=

b[x]_b= aT_ab[x]_b, следовательно, в силу независимого выбора базисных векторов, [x]_a= T_ab[x]_b.

Пример 3. Пусть векторы a₁,...,a_nи x заданы своими координатами в некотором базисе. Доказать, что a₁,...,a_n— также базис пространства и найти координаты вектора x в этом базисе:

a₁= (1,1,1),a₂= (1,1,2),a₃= (1,2,3),x = (6,9,14). (Решить по определению координат и используя матрицу пере-

хода.)

8.5 Подпространство векторного пространства. Способы задания подпространств. Линейная оболочка

Пусть дано векторное пространство V над полем P. Подпространством векторного пространства V называется подмножество W ⊆ V , которое само является векторным пространством относительно заданных в V операций сложения векторов и умножения их на скаляры. Чтобы непустое подмножество W векторного пространства V было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы для любых векторов a,b ∈ W и любого скаляра α ∈ F выполнялись условия:

(i) a + b ∈ W;

(ii) αa ∈ W.

Тривиальными примерами любого векторного пространства V могут служить подмножества W = {0} и W = V , называемые несобственными подпространствами.

Основными способами задания подпространств являютя ФСР и линейная оболочка. Линейной оболочкой системы векторов a₁,...,a_kназывается множество L всех линейных комбинаций этих векторов. Линейная оболочка системы векторов является векторным подпространством. Говорят так же, что подпространство L натянуто на векторы a₁,...,a_k. Каждое подпространство может быть задано системой образующих. Множество W всех решений однородной системы линейных уравнений ранга r = n − m является m-мерным подпространством пространства V . Верно и обратное: Любое m-мерное подпространство W n-мерного векторного пространства V может быть задано системой линейных однородных уравнений ранга n − m.

8.6 Сумма подпространств.

Пересечение подпространств

Пусть U и W — подпространства векторного пространства V над полем P. Пересечением подпространств U и W

называется множество

U ∩ W = {x ∈ V |x ∈ U ∧ x ∈ W}. Суммой подпространств U и W называется множество U + W = {x + y|x ∈ U ∧ y ∈

W}. Сумма и пересечение подпространств являются подпространствами.

Сумма U+W подпространств U и W называется прямой, если

U ∩ W = {0}, обозначается U ⊕ W. Сумма двух подпространств U и W является прямой тогда и только тогда, когда любой вектор z этой суммы единственным образом представим в виде z = x + y, где x ∈ U, y ∈ W.

Формула Грассмана: dim(U + W) = dimU + dimW − dim(U ∩ W). И как следствие dim(U ⊕ W) = dimU + dimW.

8.7 Изоморфизм векторных пространств

Пусть даны векторные пространства V и V ⁰над одним и тем же полем P. Изоморфизмом векторных пространств V и V ⁰называется биекция φ : V → V ⁰, такая, что для любых векторов a,b ∈ V и любого числа α ∈ P

(i) φ(a + b) = φ(a) + φ(b),

(ii) φ(αa) = αφ(a).

Если существует изоморфизм пространств V и V ⁰, то эти пространства называются изоморфными.

Свойства изоморфизмов векторных пространств:

(i) Если φ — изоморфизм, то и φ⁻¹— изоморфизм.

(ii) Образом нулевого вектора при изоморфизме является нулевой вектор.

(iii) Образом противоположного вектора при изоморфизме является противоположный образ этого вектора.

(iv) Если φ и ψ — изоморфизмы векторных пространств, то их композиция φ ◦ ψ так же является изоморфизмом.

(v) При изоморфизме образы линейно независимой системы векторов образуют линейно независимую систему.

Все n-мерные векторные пространства над одним и тем же полем P изоморфны между собой. В частности, все они изоморфны пространству строк над полем P.

9 Линейные операторы

9.1 Линейный оператор. Примеры линейных операторов: оператор проектирования, оператор отражения, нулевой оператор, единичный оператор. Свойства линейного оператора

Пусть V — векторное пространство над полем P. Линейным оператором (линейным преобразованием) векторного пространства V называется отображение φ : V → V , такое, что для любых векторов x,y ∈ V и скаляра α ∈ P выполняются условия линейности:

(i) φ(x + y) = φx + φy,

(ii) φ(αx) = αφx.

Простейшие следствия из определения (свойства линейных операторов):

(i) φ¯0 = ¯0,

(ii) φ(−x) = −φx.

Образ линейного оператора φ : V → V — это подпространство

Im(φ) = φ(V ) = {y ∈ V |φ(x) = y для некоторого x ∈ V } ⊆ V . Ядром φ называется подпространство ker(φ) = φ⁻¹(¯0) = {v ∈ V |φ(v) = ¯0} ⊆ V . Размерности образа и ядра φ называются соответственно рангом и дефектом линейного оператора φ и обозначаются rank(φ) и d(φ).

Предложение: dimKerφ + dimImφ = dimV . Примеры линейных операторов:

(i) нулевой оператор: O(x) = ¯0∀x ∈ V ,

(ii) тождественный (единичный) оператор: e(x) = x∀x ∈ V .

(iii) Пусть линейный оператор p : V → V удовлетворяет условию p²= p (где p²= p ◦ p), и пусть A = p(V ), B = ker(p). Легко проверить, что V = A⊕B и любой вектор x ∈ V имеет разложение x = a + b, где a = p(x) ∈ A и b = x − p(x) ∈ B. Отображение p : V → V называется проекцией V на A параллельно подпространству B.

(iv) Гомотетия h_λ: V → V с коэффициентом λ ∈ P определяется формулой h_λ(x) = λx.

Пример 4. Какие из следующих отображений являются линейными операторами. Для линейных операторов найти ядро и образ:

а) x 7→ a (a ∈ V ); б) x 7→ x + a (a ∈ V ); в) x 7→ αx (α ∈ P).

9.2 Матрица линейного оператора

Пусть V — векторного пространство размерности n.

Пусть a₁,...,a_n— базис V и b₁,...b_n— некоторая упорядоченная система векторов, тогда существует единственный линейный оператор φ : V → V , который базис a₁,...,a_nотображает в данную упорядоченную систему векторов b₁,...b_n. Данное предложение позволяет при данном базисе задавать линейный оператор системой из n векторов, являющихся образами базисных векторов.

Пусть a₁,...,a_n— базис векторного пространства V , φ — линейный оператор векторного пространства V и

. Тогда матрица

называется матрицей линейного оператора φ в базисе a₁,...,a_n. Очевидно, что задание матрицы [φ]_aв данном базисе определяет линейный оператор φ единственным образом.

Пример 5. Найти матрицу линейного оператора (x₁,x₂,x₃) 7→ (x₁,x₁+2x₂,x₂+3x₃) пространства R³в базисе из единичных векторов.

...

αn1 



αnn

Положим φa = (φa₁,...,φa_n), тогда

a[φ]_a. Пусть y = φx, тогда a[y]_a= φ(a[x]_a). Поскольку φ(a[x]_a) = φ(x₁a₁+ ... + x_na_n) = x₁φa₁+...+x_nφa_n= (φa)[x]_a, то a[y]_a= (φa)[x]_a= a[φ]_a[x]_a, учитывая единственность разложения векторов по базису a₁,...,a_nполучаем, что [y]_a= [φ]_a[x]_a.

Пример 6. Преобразование φ задается в базисе e₁,e₂,e₃

матрицей . Вектор x своими коорди-

натами в базисе e: x = (5,1,−2). Найти координаты φx в исходном базисе.

Пусть a₁,...,a_nи b₁,...,b_n— базисы векторного простран-

ства V , φ — линейный оператор векторного пространства V .

 b1 = α11a1 + ... + α1nan



Поскольку b = aT_abи система ...

 bn = αn1a1 + ... + αnnan

 φb1 = α11φa1 + ... + α1nφan



равносильна ... , то φb = (φa)T_ab.

 φb_n= α_n₁φa₁+ ... + α_nnφa_n

Отсюда b[φ]_b= a[φ]_aT_abили aT_ab[φ]_b= a[φ]_aT_ab, значит T_ab[φ]_b= [φ]_aT_abпоскольку T_abневырождена, то [φ]_b= T_ab⁻¹[φ]_aT_ab.

Из последней формулы следует, что ранг матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. Ранг линейного оператора равен рангу его матрицы в любом базисе.

Пример 7. Пусть , где a₁= (1,2), a₂=

(2,3); найти [φ]_b, где b₁= (3,1), b₂= (4,2).

9.3 Сумма и произведение линейных операторов, умножение их на числа, обратный оператор; их матрицы

Пусть V — векторное пространство размерности n, над полем P, обозначим L(V ) — множество всех линейных операторов пространства V .

Суммой двух линейных операторов φ и ψ называется отображение

φ + ψ ∈ L(V ), такой, что (φ + ψ)x = φx + ψx∀x ∈ V . Сумма линейных операторов является линейным оператором.

Свойства сложения линейных операторов:

(i) (φ + ψ) + χ = φ + (ψ + χ)∀φ,ψ,χ ∈ L(V ),

(ii) φ + ψ = ψ + φ∀φ,ψ ∈ L(V ), (iii) ∃O ∈ L(V )|O + φ = φ∀φ ∈ L(V ),

(iv) ∀φ ∈ L(V )∃(−φ) ∈ L(V )|(−φ) + φ = O.

Произведением скаляра γ ∈ P на линейный оператор φ называется отображение γφ, определенное равенством (γφ)x = γ(φx). Произведение числа на линейный оператор является линейным оператором.

Свойства произведения линейного оператора на скаляр:

(i) (α + β)φ = αφ + βφ∀α,β ∈ P,φ ∈ L(V ),

(ii) α(φ + ψ) = αφ + αφ∀α ∈ P,φ,ψ ∈ L(V ),

(iii) α(βφ) = (αβ)φ∀α,β ∈ P,φ ∈ L(V ),

(iv) 1φ = φ.

Произведением двух линейных операторов φ и ψ называется отображение φψ, определенное формулой (φψ) = φ(ψ). Произведение линейных операторов является линейным оператором.

Свойства произведения линейных операторов:

(i) φ(ψχ) = (φψ)χ∀φ,ψ,χ ∈ L(V ),

(ii) (φ + ψ)χ = φχ + ψχ∀φ,ψ,χ ∈ L(V ),

(iii) φ(ψ + χ) = φψ + φχ∀φ,ψ,χ ∈ L(V ),

(iv) α(φψ) = (αφ)ψ = φ(αψ)∀α ∈ P,φ,ψ ∈ L(V ).

Линейный оператор ψ называется обратным к φ, если φψ = ψφ = e, в этом случае говорят, что линейный оператор φ обратим или оператор φ невырожден.

Пусть e₁,...,e_n— базис V , [φ]_e= (a_ij), [ψ]_e= (b_ij), α,β ∈ P, тогда [αφ+βψ]_e= (αa_ij+βb_ij) и [φψ]_e= [φ]_e[ψ]_e. Оператор φ обратим, если и только если det[φ]_e6= 0. Если φ обратим, то [φ−1]e = [φ]−e 1.

Пример 8. Пусть ,

найти [2ϕ + φψ⁻¹]_e.

9.4 Собственные значения и собственные век-

торы линейного оператора

Характеристическим многочленом квадратной матрицы называется многочлен f(λ) = |A − λE|. Поскольку характеристический многочлен матрицы линейного оператора в любом базисе имеет один и тот же вид, то характеристическим многочленом линейного оператора φ назовем характеристический многочлен f_φ(λ) = |[φ]_a− λE| его матрицы [φ]_aв некотором базисе a₁,...,a_nпространства V .

Пусть φ — линейный оператор векторного пространства V над полем P, тогда подпространство U ⊆ V называется инвариантным относительно φ, если φU = {φx|x ∈ U} ⊆ U.

Собственным вектором линейного оператора φ называется ненулевой вектор x, такой, что φx = λx для некоторого λ ∈ P, причем число λ называют собственным значением линейного оператора и говорят, что вектор x соответствует собственному значению λ оператора φ.

Множество V_λ= {x ∈ V |φx = λx} является векторным подпространством пространства V . Подпространство V_λназывается собственным подпространством, соответствующем числу λ ∈ P. Размерность dimV_λназывается геометрической кратностью собственного значения λ.

Собственные векторы, относящиеся к попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Чтобы число λ ∈ P являлось собственным значением линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы это число являлось корнем его характеристического многочлена.

9.5 Инвариантные подпространства относи-

тельно линейного оператора

Примеры инвариантных подпространств:

(i) несобственные подпространства {¯0}, V ;

(ii) Imφ, Kerφ;

(iii) V_λ, где λ — собственное значение линейного оператора

φ.

Сумма и пересечение двух инвариантных подпространств есть инвариантное подпространство.

9.6 Диагонализируемость линейного оператора

Множество корней характеристического многочленом линейного оператора φ называется спектром линейного оператора φ. Элемент спектра называется простым, если ему отвечает геометрическая кратность 1. Спектр называется простым, если все его элементы являются простыми корнями. Линейный оператор φ n-мерного пространства V называется диагонализируемым, если существует базис a₁,...,a_n, относительно которого матрица оператора принимает диаго-

нальный вид .

Линейный оператор с простым спектром диагонализируем.

Для диагонализируемости оператора [φ] необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

(i) все корни характеристического многочлена f_φ(λ) лежат в P.

(ii) геометрическая кратность каждого собственного значения λ совпадает с его алгебраической кратностью.

10 Евклидовы пространства

10.1 Скалярное произведение векторов. Неравенство Коши - Буняковского. Евклидово пространство. Длина вектора в евклидовом пространстве. Расстояние между двумя векторами в евклидовом пространстве

Евклидовым пространством называется пара (E,(∗,∗)), где E — векторное пространство над полем действительных чисел, (∗,∗) : V ²→ R, такая функция, что выполняются следующие условия, называемые аксиомами скалярного произведения:

(i) (x,y) = (y,x)∀x,y ∈ E;

(ii) (αx + βy,z) = α(x,z) + β(y,z)∀α,β ∈ R,x,y,z ∈ E;

(iii) (x,x) > 0∀x 6= 0.

Если dimV = n, то евклидово пространство обозначакют

E_n.

Примеры евклидовых пространств:

(i) арифметическое векторное пространство Rⁿ, где скалярное произведение задается по правилу:

(x,y) = x₁y₁+ ... + x_ny_n∀x,y ∈ Rⁿ;

(ii) в множестве свободных геометрических векторов (направленных отрезков) введем скалярную функцию от двух векторных аргументов формулой (x,y) = |x||y|cos∠(x,y).

Пример 1. Проверить, что правило (x,y) = 2x₁y₁+5x₂y₂задает скалярное произведение на R².

Длиной (нормой) вектора x называется число |x| = ^p(x,x). Расстоянием между двумя векторами x,y ∈ E назовем число |x − y|.

В евклидовом пространстве справедливо неравенство Коши-

Буняковского

(x,y)²6 (x,x)(y,y)

Следствия из неравенства Коши-Буняковского:

(i) |x + y| 6 |x| + |y| (неравенство треугольника);

(ii) (x,y)²= (x,x)(y,y) ⇔ y = αx, для некоторого α ∈ R.

Углом между ненулевыми векторами х и у называется угол α ∈ [0,π], определяемый формулой .

10.2 Ортогональные векторы. Ортогональный базис векторного пространства. Ортонормированный базис векторного пространства

Векторы x и y называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Если вектор x ортогонален вектору y, то пишут x⊥y. Заметим, что нулевой вектор ортогонален любому. Система векторов x₁,...,x_sназывается ортогональной, если все ее векторы попарно ортогональны. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима. Базис e₁,...,e_nевклидова пространства называется ортонормированным, если скалярное произведение

(e_i,e_j) = δ_ij.

Для ортогональной системы векторов x₁,...,x_sсправедливо равенство (”обобщенная теорема Пифагора”):

|x₁+ ... + x_n|²= |x₁|²+ ... + |x_n|².

10.3 Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Матрица Грама

Пусть x₁,...,x_s— базис линейной оболочки L = hx₁,...,x_si. Тогда в L существует ортогональная система векторов y₁,...,y_s, являющаяся базисом L. Действительно, применим метод ортогонализации Грама-Шмидта. Положим y₁= x₁. Полагая, что векторы y₁,...,y_kуже построены, вектор y_k₊₁будем искать в виде. По условию

(y_i,y_j) = 0, для i 6= j, домножая левую и правую части предыдущего равенства скалярно на y_i, найдем коэффициенты. Если k + 1 = s, то ортогональный базис построен.

Вектор x называется нормированным или единичным, если его длина равна единице. Переход от вектора x к единичному вектору называется нормированием вектора х. Базис a₁,...,a_nортонормирован, если и только если для любых векторов x = x₁a₁+ ... + x_na_nи y = y₁a₁+ ... + y_na_nскалярное произведение вычисляется по формуле (x,y) = x₁y₁+ ... + x_ny_n.

Пусть e₁,...,e_n— произвольный базис пространства E_n, тогда матрица

называется матрицей Грама базиса e₁,...,e_n.

Заметим, что матрица Грама симметрическая. Базис ортонормирован если и только если матрица Грама единичная.

10.4 Ортогональное дополнение. Геометрия евклидовых пространств

Подпространство L₁называется ортогональным подпространству L₂, если ∀x ∈ L₁и ∀y ∈ L₂имеем (x,y) = 0. Ортогональным дополнением подпространства L называется множество L^⊥всех векторов, ортогональных L. Очевидно, что L^⊥является подпространством и E = L⊕L^⊥для любого подпространства евклидова пространства E.

Пример 2. Найти ортогональную проекцию y и ортогональную составляющую z вектора x = (5,2,−2,2) на линейное пространство L, натянутое на векторы a₁= (2,1,1,−1),a₂=

(1,1,3,0).

10.4.1 Изоморфизм евклидовых пространств

Пусть над полем действительных чисел R заданы два евклидовых пространства E и E⁰. Изоморфизм евклидовых пространств — это такой изоморфизм векторных пространств, который сохраняет скалярное произведение, то есть выполнено условие: (f(a),f(b)) = (a,b). Евклидовы пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые размерности.

10.4.2 Ортогональные матрицы, их определитель, ортогональные линейные операторы и их свойства

Матрица Q с элементами из действительных чисел называется ортогональной, если Q^TQ = E, где — единичная матрица. Свойства ортогональной матрицы:

(i) матрица Q ортогональна тогда и только тогда, когда QT = Q−1;

(ii) матрица Q^Tортогональна;

(iii) определитель |Q| = ±1;

(iv) матрица Q⁻¹ортогональна;

(v) произведение ортогональных матриц является ортогональной матрицей.

Матрица перехода от ортонормированного базиса к ортонормированному ортогональна.

Линейный оператор φ евклидова пространства E называется ортогональным, если для любых векторов x,y ∈ E выполнено условие (φx,φy) = (x,y).

Следствия из определения:

(i) если φ — ортогональный оператор, то образы всех векторов любого ортонормированного базиса образуют ортонормированный базис;

(ii) матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе ортогональна;

(iii) произведение ортогональных операторов является ортогональным оператором;

Линейный оператор ортогонален тогда и только тогда, когда длина любого вектора равна длине его образа. Если линейный оператор отображает хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный, то оператор ортогональный. Если матрица линейного оператора ортогональна хотя бы в одном ортонормированном базисе, то оператор ортогонален.

10.5 Сопряженные операторы

Пусть в евклидовом пространстве E задан линейный оператор φ. Отображение φ^∗: E → E называется сопряженным линейному оператору φ : E → E, если для любых векторов x,y ∈ E выполнено (φx,y) = (x,φ^∗y). Если φ — линейный оператор, а φ^∗— сопряженное отображение, то отображение φ^∗определяется единственным образом и является линейным оператором.

В любом ортонормированном базисе a₁,...,a_nматрица [φ^∗]_aлинейного оператора φ^∗совпадает с транспонированной матрицей [φ]_aоператора φ, то есть . Если матрица линейного оператора φ^∗хотя бы в одном ортонормированном базисе совпадает с транспонированной матрицей линейного оператора φ, то оператор φ^∗сопряжен с φ.

Операция перехода к сопряженному преобразованию обладает следующими свойствами:

(i) (φ^∗)^∗= φ;

(ii) (αφ)^∗= αφ^∗;

(iii) (φ + ψ)^∗= φ^∗+ ψ^∗;

(iv) (φψ)^∗= ψ^∗φ^∗.

Заметим, что ортогональный оператор φ есть такой оператор, для которого φ^∗= φ⁻¹.

10.6 Симметрические операторы

Линейный оператор φ евклидова пространства E называется симметрическим, если φ = φ^∗. Иначе, оператор φ называется симметрическим, если для любых векторов x,y ∈ E выполнено условие: (φx,y) = (x,φy).

Симметрический оператор обладает следующими свойствами:

(i) сумма симметрических линейных операторов и произведение симметрического оператора на число являются симметрическими операторами;

(ii) матрица симметрического линейного оператора в любом ортонормированном базисе симметрична;

(iii) если матрица линейного оператора симметрична хотя бы в одном ортонормированном базисе, то оператор — симметричен.

Собственные векторы симметрического линейного оператора, относящиеся к различным собственным значениям, ортогональны.

Линейный оператор φ евклидова пространства называется кососимметрическим, если φ^∗= −φ. Иными словами, оператор φ является кососимметрическим в том и только в том случае, когда для любых векторов (φx,y) = −(x,φy). По аналогии со свойствами симметрического оператора, легко показать, что сумма кососимметрических операторов и произведение на число кососимметрического оператора являются кососимметрическими операторами, что матрица кососимметрического оператора в любом ортонормированном базисе кососимметрична и что если матрица линейного оператора кососимметрична хотя бы в одном ортонормированном базисе, то оператор кососимметричен.

Пусть L(E) — множество все линейных операторов евклидова пространства, S(E) — множество всех симметрических, а C(E) — множество кососимметрических операторов евклидова пространства. Из свойств симметрических и кососимметрических операторов следует, что S(E) и C(E) являются подпространствами L(E). Выполнено отношение: L(E) = S(E) ⊕ C(E).

Все корни характеристического многочлена действительной симметрической матрицы действительны.

Линейный оператор симметричен тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис, составленный из собственных векторов этого линейного оператора.

11 Кривые второго поряка

11.1 Эллипс, гипербола, парабола, их кано-

нические уравнения и свойства

11.1.1 Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек M на плоскости, сумма растояний которых до двух данных точек F₁и F₂равна заданному числу: |F₁M| + |F₂M| = 2a. Точки F₁и F₂называются фокусами эллипса, числа |F₁M|,|F₂M| называют фокальными радиусами точки М, |F₁F₂| = 2c — фокальным расстоянием эллипса. Предполагается, что a > c > 0: в случае a = c получаем отрезок, а в случае c = 0 — окружность.

Из определения эллипса следует, что он семмитричен относительно прямой, которая перпендикулярна отрезку F₁F₂и делит его пополам. А также эллипс симметричен относительно прямой, проходящей через его фокусы. Эти прямые называются осями эллипса, точка пересечения осей является центром симметрии элипса и называется центром эллипса; а точки пересечения эллипса с осями симметрии — вершинами эллипса.

Выведем уравнение эллипса. Рассмотрим ДСК, в которой фокусы F₁и F₂расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, такую систему координат называют канонической. Тогда F₁и F₂имеют координаты (−c,0) и (c,0), соответственно. Пусть M = (x,y) —

произвольная точка эллипса, тогда |F₁M| = ^p(x + c)²+ y², |F₂M| = ^p(x − c)²+ y². По определению эллипса |F₁X| +

|F₂X| = 2a или

^p(x + c)²+ y²+ ^p(x − c)²+ y²= 2a. Перенеся второй корень вправо и возведя обе части уравнения в квадрат будем иметь

a^p(x + c)²+ y²= a²+ xc. Возведя обе части в квадрат и полагая a²− c²= b²> 0 имеем x²b²+ y²a²= a²b²или

. (1)

Обратно, если координаты произвольной точки M = (x,y) удовлетворяют уравнению (1), то она принадлежит эллипсу. Итак, уравнение (1) является уравнением эллипса, его называют каноническим уравнением эллипса.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение его фокального расстояния к большей полуоси:. Так как

a > c, то . Поскольку , то среди эллипсов с одинаковой большой полуосью, но разными эксцентриситетами более продолговатым является тот, у которого эксцентриситет больше.

Прямые d₁,d₂, параллельные малой оси эллипса и отстоящие от нее на расстоянии, называются директрисами эллипса. В канонической системе координат директрисы задаются уравнениями:.

Расстояние p от директрисы до ближайшего к ней фокуса называют фокальным параметром эллипса.

Свойства эллипса. Эллипс обладает следующими свойствами:

(i) Для любой точки M = (x,y) на эллипсе выполнены равенства

(ii) Фокальный параметр.

(iii) Для того чтобы точка лежала на эллипсе необходимо и достаточно, чтобы отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету эллипса.

(iv) Оптическое свойство эллипса: фокальные радиусы составляют с касательной к эллипсу в точке касания равные углы. В физической интерпретации: если в одном из фокусов поместить источник света, то луч, выходящий из этого фокуса пойдет по второму фокальному радиусу. Таким образом, все лучи, выходящии из первого фокуса, сконцентрируются во втором.

11.1.2 Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек M на плоскости, модуль разности расстояний которых до двух данных точек F₁и F₂равен заданному числу: ||F₁M|−|F₂M|| = 2a. Точки F₁и F₂называются фокусами гиперболы, число |F₁F₂| = 2c — фокальным расстоянием, а числа |F₁M|,|F₂M|

— фокальными радиусами точки М. Предполагается, что

c > a > 0: в случае a = c получаем два противонаправленных луча, выходящих из фокусов.

Выведем уравнение гиперболы. Рассмотрим ДСК (каноническая), в которой фокусы F₁и F₂расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Тогда F₁и F₂имеют координаты (−c,0) и (c,0), соответственно. Пусть M = (x,y) — произвольная точка гиперболы, тогда |F₁M| = ^p(x + c)²+ y², |F₂M| = ^p(x − c)²+ y². По определению гиперболы ||F₁X| − |F₂X|| = 2a или

|^p(x − c)²+ y²+^p(x + c)²+ y²| = 2a. Полагая c²−a²= b², получим

. (2)

Обратно, если координаты произвольной точки M = (x,y) удовлетворяют уравнению (2), то она принадлежит гиперболе. Итак, уравнение (2) является уравнением гиперболы, его называют каноническим уравнением гиперболы.

Гипербола симметрична относительно осей координат и начала координат. Начало координат является центром гиперболы, заданной уравнением (2). Ось симметрии, проходящая через фокусы гиперболы называется первой или фокальной осью симметрии. Перпендикулярная ей ось называется второй или мнимой осью. Фокальная ось пересекает гиперболу в точках, называемые вершинами гиперболы. Прямые, заданные уравнениями называются ассимптотами гиперболы.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение ее фокального расстояния к действительной оси. Для гиперболы (2) он равен. Так как.

Прямые d₁,d₂, параллельные мнимой оси гиперболы и отстоящие от нее на расстоянии, называются директрисами гиперболы. В канонической системе координат директрисы задаются уравнениями:.

Расстояние p от директрисы до ближайшего к ней фокуса называют фокальным параметром гиперболы. Отметим, что

Оптическое свойство гиперболы: направляющий вектор касательной в точке M гиперболы параллелен биссектрисе угла F₁MF₂. Другими словами, лучи, вышедшие из обного фокуса, после отражения от ближайшей ветви гиперболы распостраняются так, будто вышли из другого фокуса.

11.1.3 Парабола

Параболой называется геометрическое место точек M на плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом параболы, и прямой d, называемой директрисой. Предполагается, что F 6∈ d. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром и обозначается через p.

Найдем уравнение параболы в ДСК. Пусть O — середина отрезка FD, где D — ортогональная проекция точки F на прямую d. Тогда. Пусть M

— произвольная точка параболы, тогда расстояния FM =

. Из определения следует,

что FM = ρ(M,d) или y²= 2px — каноническое уравнение параболы. Верно и обратное, всякая точка в ДСК удовлетворяющая уравнению y²= 2px принадлежит параболе. Свойства параболы.

(i) Все точки параболы лежат в полуплоскости, определяемой неравенством x > 0.

(ii) Парабола симметрична относительно оси OF, где O — точка перечечения этой оси с параболой, называемая вершиной параболы.

(iii) По определению полагают эксцентриситет параболы

(iv) В любой точке M параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом MF и осью абцисс одинаковые углы (оптическое свойство эллипса). Другими словами, если в фокус параболы поместить источник света, то все лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы.

11.2 Общее уравнение линии второго порядка на плоскости. Преобразование общего уравнения. Классификация линий второго порядка на плоскости

Кривые второго порядка в некоторай АСК на плоскости уравнением второй степени F(x,y) = 0, где

F(x,y) = a₁₁x²+ 2a₁₂xy + a₂₂y²+ 2a₁x + 2a₂y + a₀.

При пререходе к другой АСК уравнение второй степени переходит в уравнение второй степени.

Квадрикой будем называть класс эквивалентных уравнений второй степени относительно умножения на некоторый ненулевой множитель.

Для любой квадрики существует ДСК, в которой она имеет один из следующих видов (называемых каноническими уравнениями квадрики):

— эллипс;

— мнимый эллипс;

— пара пересекающихся мни-

мых прямых;

— гипербола;

— пара пересекающихся пря-

мых;

(vi) y²= 2px, (p > 0) — парабола;

(vii) y²− a²= 0, (a > 0) — пара параллельных прямых;

(viii) y²+ a²= 0, (a > 0) — пара мнгимых параллельных прямых;

(ix) y²= 0 — пара совпадающих прямых;

Пример. Исследуем кривую второго порядка, заданную уравнением 9x²+ 4y²− 18x + 16y − 11 = 0.

Решение. Выделяя полные квадраты по обоим переменным, получаем . Следовательно, после

параллельного переноса системы координат

получим уравнение , которое задает эллипс с полуосями a = 2,b = 3. Так как a < b, то фокусы лежат на√ √

вертикальной оси симметрии. Поэтому c = b²− a²= 5, а эксцентриситет. Цент эллипса находится в точке O⁰с координатами (−1,2). Заметим, что полученное уравнение эллипса не является каноническим, для перехода в каноническую систему координат требуется дополнительный поворот O⁰x⁰y⁰на угол 90^◦.

Пример. Исследуем кривую второго порядка, заданную уравнением 4x²− 9y²− 24x + 18y − 9 = 0.

Решение. Выделяя полные квадраты по обоим переменным, получаем .

В канонических координатах уравнение имеет вид

Оно задает гиперболу с центром в точке O⁰= (3,1), действительной полуосью a = 3, мнимой полуосью b = 2. При этом

Скачать материал

Скачать материал "Лекции по алгебре и геометрии"

Как учитель может зарабатывать на Инфоуроке?

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 656 315 материалов в базе

Найти материалы

Скачать материал

Другие материалы

docx

Самостоятельная работа по геометрии на тему "Параллельность прямых в пространстве" (10 кл)

Рейтинг: 1 из 5

16.10.2016
7710
285

pptx

Презентация по математике на тему "Точка"(1 класс)

16.10.2016
1284
23

docx

Разработка урока на тему: "Функция у=k/x и ее график"

16.10.2016
545
0

docx

Разработка урока на тему: "Медиана как статистическая характеристика"

16.10.2016
923
0

docx

Разработка урока на тему: "Противоположные числа. Модуль числа."

16.10.2016
692
2

docx

Итоговый тест за курс основной школы

16.10.2016
764
0

docx

Решение линейных и квадратных неравенств

16.10.2016
963
9

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Скачать материал
- 16.10.2016 539
- ZIP 551.1 кбайт
- Оцените материал:
Настоящий материал опубликован пользователем Агеев Дмитрий Владимирович. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Автор материала

Агеев Дмитрий Владимирович
- На сайте: 7 лет и 6 месяцев
- Подписчики: 0
- Всего просмотров: 3972
- Всего материалов: 6

Ваша скидка на курсы

40%

Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу

Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Бухгалтер

500/1000 ч.

Сейчас обучается 22 человека из 16 регионов

Курс повышения квалификации

Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения

36/72 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.

Подать заявку О курсе

Сейчас обучается 85 человек из 35 регионов
Этот курс уже прошли 1 415 человек

Курс повышения квалификации

Методические и практические аспекты развития пространственного мышления школьников на уроках математики

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.

Подать заявку О курсе

Сейчас обучается 44 человека из 27 регионов
Этот курс уже прошли 124 человека

Курс повышения квалификации

Мастерство мышления: развитие SoftSkills и математической логики

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.

Подать заявку О курсе

Сейчас обучается 23 человека из 11 регионов

Мини-курс

Реклама для роста бизнеса: эффективные стратегии и инструменты

6 ч.

780 руб. 390 руб.

Сейчас обучается 37 человек из 20 регионов

Мини-курс

Психологическое консультирование семей: от неблагополучия к гармонии

4 ч.

780 руб. 390 руб.

Сейчас обучается 28 человек из 19 регионов
Этот курс уже прошли 18 человек

Мини-курс

Разделение имущества при банкротстве: правовые аспекты и мировое соглашение

4 ч.

780 руб. 390 руб.

Найдите подходящий для Вас курс

Методист-разработчик онлайн-курсов

Лекции по алгебре и геометрии

Выберите документ из архива для просмотра:

Содержание

Список литературы

1 Введение

1.1 Принцип математической индукции

1.2 Комбинаторика

2 Системы линейных уравнений. Матрицы

2.1 Система линейных уравнений. Однородная система линейных уравнений. Неоднородная система линейных уравнений

2.4 Определение решения системы линейных уравнений. Совместность системы линейных уравнений. Определенность системы линейных уравнений

2.5 Эквивалентность систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Критерий определенности системы линейных уравнений

3 Определители. Обратная матрица

3.1 Определитель квадратной матрицы

3.2 Свойства определителя

3.5 Формулы Крамера

4 Линейная зависимость. Ранг матрицы. ФСР

4.1 Система строк (столбцов)

4.2 Линейная зависимость. Базис системы строк. Теорема о базисах. Ранг системы строк

4.3 Теорема о базисном миноре

4.4 Однородная система линейных уравнений. Свойства решений однородных систем. Фундаментальная система решений

5 Аналитическая геометрия

5.1 Понятие вектора (1)

5.2 Действия над векторами (1)

5.3 Линейная зависимость системы векторов и ее геометрическй смысл. Система координат (1)

5.4 Скалярное произведение векторов (2)

5.5 Векторное произведение векторов (2)

5.6 Смешанное произведение векторов (2)

5.7 Преобразование координат при замене базиса в АСК (3) (Читается в курсе Геометрия и топология)

5.8 Уравнение прямой на плоскости (4)

кости (4)

5.10 Расстояние от точки до прямой на плоскости (4)

5.11 Угол между прямыми на плоскости (4)

5.12 Уравнения плоскости в пространстве (5)

5.13 Расстояние от точки до плоскости в пространстве (5)

5.14 Взаимное расположение плоскостей в пространстве (5)

5.15 Уравнение прямой в пространстве (6)

5.16 Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости (6)

5.17 Расстояние от точки до прямой в пространстве. Расстояние между скрещивающимися прямыми (6)

6 Комплексные числа

6.2 Тригонометрическая форма комплексного числа

6.3 Формула Муавра. Извлечение корней nой степени

7 Многочлены

7.1 Определение многочлена

7.2 Деление многочленов

7.3 Неприводимые многочлены

7.4 Корни многочлена

7.5 Теорема Безу

7.6 Схема Горнера

7.7 Основная теорема алгебры. Каноническое разложение многочлена

7.8 Многочлены с вещественными коэффициентами

8 Векторные пространства

8.2 Линейная зависимость векторов

8.3 Базис векторного пространства. Размерность векторного пространства. Координаты вектора

8.4 Переход к новому базису. Матрица перехода к новому базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису

8.5 Подпространство векторного пространства. Способы задания подпространств. Линейная оболочка

Пересечение подпространств

8.7 Изоморфизм векторных пространств

9 Линейные операторы

9.2 Матрица линейного оператора

9.3 Сумма и произведение линейных операторов, умножение их на числа, обратный оператор; их матрицы

торы линейного оператора

тельно линейного оператора

9.6 Диагонализируемость линейного оператора

10 Евклидовы пространства

10.2 Ортогональные векторы. Ортогональный базис векторного пространства. Ортонормированный базис векторного пространства

10.3 Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. Матрица Грама

10.4 Ортогональное дополнение. Геометрия евклидовых пространств

10.5 Сопряженные операторы

10.6 Симметрические операторы

11 Кривые второго поряка

нические уравнения и свойства

11.2 Общее уравнение линии второго порядка на плоскости. Преобразование общего уравнения. Классификация линий второго порядка на плоскости

Методические разработки к Вашему уроку:

Медиатор

Бухгалтер

HR-менеджер

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы: