МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ Нижегородской области

Государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

"Лукояновский педагогический колледж им. А.М.Горького"

(ГБОУ СПО ЛПК)

 

 

 

 

 

 

Л Е К Ц И И

по учебной дисциплине ЕН.03. Теория вероятностей и математическая статистика

(специальность 09.02.07 Информационные системы и программирование)

 

 

 

 

 

Составитель: Базанова А.Н.,

преподаватель математических дисциплин

 

 

 

 

 

 

 

г. Лукоянов 2013 год

РАССМОТРЕНО Предметно-цикловая комиссия естественно—математических дисциплин   Протокол №___    от________

ОДОБРЕНО Экспертный совет ГБОУ СПО "Лукояновский педагогический колледж им. А.М.Горького"  Протокол №____    от________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лекция №1.

Тема: Предмет теории вероятности и математической статистики. Его основные задачи и области применения.

Цель: Сформировать основные понятия о предмете теории вероятностей и математической статистики.

Вопросы:

1.      Понятие математической статистики и теории вероятностей как науки

2.      История возникновения теории вероятностей и статистики

3.      Применение теории вероятностей и статистики в обществе

Содержание:

1.      Математическая статистика — математическая наука, изу­чающая методы обработки результатов наблюдений.

Задача математической статистики заключается в том, чтобы по выборке — подмножеству ограниченных данных — выявить с определенной степенью точности характеристики всего множе­ства — генеральной совокупности.

Методы математической статистики основываются на тесно связанной с ней теорией вероятностей.

Теория вероятностей — математическая наука, изучающая за­кономерности случайных явлений.

Под случайными понимаются такие явления, которые при мно­гократном повторении опыта протекают каждый раз по-иному. Исход таких опытов непредсказуем.

Вероятность — количественная мера неопределенности — чис­ло, которое выражает степень уверенности в наступлении того или иного события.

Предметом теории вероятностей является изучение вероятност­ных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Теория вероятностей в настоящее время — обязательный ин­струмент анализа ситуаций, включающих неопределенность. Основ­ной задачей теории вероятностей является установление матема­тических законов для исследования случайных явлений массового характера и предвидения их на основании отдельных фактов.

2.                  

С давних времен люди несерьезно относи­лись к случайностям: их природа была неизведана и потому непредсказуема

Однако еще в XVI —XVII вв. случайности стали изучать в связи с установлением закономерностей в азартных играх, а также по­требностями страхования. Так, один из крупнейших ученых того времени Б.Паскаль (1623— 1662) по просьбе азартного игрока — знатного француза де Мере — решал задачи, связанные с вероят­ностью выпадения определенных чисел при бросании игральной кости (кубика).

История свидетельствует о том, что теория вероятностей заро­дилась в Средние века в связи с анализом азартных игр.

Сохранилась переписка крупнейших ученых XVII в. Б. Паскаля и П.Ферма (1601 —1665), в которой высказано предвидение того, что за отдельными частными задачами по поиску закономернос­тей случайных событий стоит фундаментальная наука, изучаю­щая массовые случайные явления.

В процессе решения различных достаточно сложных задач, свя­занных с практическими проблемами страхования и демографии (народонаселения), были получены первые практические и тео­ретические результаты в области теории вероятностей такими уче­ными, как Д.Кардано (1501 — 1576), Б.Паскаль, А.Муавр (1667— 1754), Х.Гюйгенс (1629-1695), П.Ферма (1601-1665) и др.

Первая попытка систематизации знаний и превращения их в науку «Теория вероятностей» была осуществлена в начале XVIII в. Я.Бернулли (1654—1705) в книге «Искусство предположений», изданной в 1713 г. Дальнейшее развитие теории вероятностей было связано с проблемами развития естествознания, с военным де­лом. Такие науки, как кинетическая теория газов, теория стрель­бы и другие, поставили проблемы, решаемые вероятностными методами.

Так, выдающимся французским математиком П.Лапласом (1749—1827) были опубликованы работы «Мемуар о вероятнос­тях» (1778) и «Аналитическая теория вероятностей» (1812).

Выявление различных закономерностей, установление поряд­ка в знаниях о природе, об обществе, о человеке ограничивали сферу влияния случайности на жизнь людей. У ученых даже по­явилась надежда настолько познать мир, чтобы оградить человека от воли Случая. В представлении П.Лапласа это могло быть неко­торое воображаемое «сверхсущество», которое в полном объеме знает все прошлое и будущее о мире. В таком мире уже не останет­ся места для случайности, все будет заранее предопределено и детерминировано.

Такой строго упорядоченный мир, конечно, был бы очень удо­бен: никакие случайности не могли бы повлиять на жизнь челове­ка; все было бы предсказуемо,... но это была бы, наверное, неин­тересная, предсказуемая и скучная жизнь?

Однако знания о вероятностной природе окружающего мира, почерпнутые из естествознания, дают уверенность в том, что «сверхсущество Лапласа» останется лишь вымыслом, фантазией. Случайность никогда не будет «укрощена», так же как и никогда не будет до конца познан реальный мир.

Немецкий физик В.Гейзенберг открыл (1927) так называемый принцип неопределенности, согласно которому, зная положение электрона в пространстве в данный момент времени, невозможно точно определить направление его последующего движения.

Свободолюбивый нрав Случая, его неукротимая фантазия ос­нованы на неисчерпаемости мира и неполноте наших знаний о нем. Поэтому Случайность надо не избегать, не бояться ее, а по­знавать. Оказывается «поведение» Случайности тоже подчиняется законам. И задача таких математических дисциплин, как теория вероятностей и математическая статистика, выявить эти законо­мерности и использовать для обоснования различных теоретиче­ских выводов практических наблюдений.

Большой вклад в современную науку «Теория ошибок» внес немецкий математик К.Гаусс (1777—1855), одним из первых за­метивший закономерности в случайных явлениях и возможность с их помощью давать прогнозы, т.е. делать прогностические вы­воды.

В XIX в. теория вероятностей сформировалась как стройная ма­тематическая дисциплина благодаря работам выдающегося рус­ского математика П.Л.Чебышева (1821 — 1894), а также его уче­ников А.А.Маркова (1856—1922) и А.М.Ляпунова (1857—1918).

Свою первую работу по теории вероятностей «Опыт элемен­тарного анализа теории вероятностей» (1845) П.Л.Чебышев на­писал в 25 лет! Благодаря сформулированному и доказанному этими учеными «Закону больших чисел» (в различных формах) теория вероятностей нашла применение во многих областях че­ловеческой деятельности, в различных науках. Появилась воз­можность делать обобщенные выводы по сравнительно неболь­шим результатам, полученным в ходе экспериментов. Так, с по­мощью закона больших чисел экспериментальные данные о ве­роятности бракованных изделий в выборке десяти изделий дают возможность предсказать количество бракованных изделий во всей большой партии из 500 изделий. А знание вероятности появле­ния букв в слове дает возможность расположить определенным (хорошо известным) способом буквы алфавита на клавиатуре ЭВМ.

Полученные научные результаты теории вероятностей и мате­матической статистики были использованы для развития других наук, особенно статистической физики, генетики, теории инфор­мации и др.

3.

 Расцвет теории вероятностей и математической статистики во второй половине XX в. связан с именами отечественных уче­ных А. Н. Колмогорова, Б. В. Гнеденко, А.Я.Хинчина и др. Широ­кую известность приобрели фундаментальные работы зарубежных ученых: Г.Крамера, Дж. фон Неймана, Р.Фишера, М.Кендалла, А. Стьюарта и др. В настоящее время это одна из перспективных развивающихся областей знаний, которая служит инструментом различных исследований.

Целью любой науки является описание, объяснение и прогно­зирование явлений окружающего мира на основе тех законов, которые выявлены, сформулированы и доказаны. Благодаря на­блюдениям за окружающей действительностью (природой, обще­ством, человеком) выявляются отдельные закономерности. Уче­ные формулируют их в виде гипотез и для подтверждения своих выводов должны проводить многократные наблюдения за иссле­дуемым явлением с сохранением первоначально заданных основ­ных условий. Например, для выведения высокоурожайного сорта сельскохозяйственной культуры агроном проводит эксперимен­тальную работу в течение ряда лет на нескольких участках, имею­щих одинаковые агрохимические показатели: состав почвы, кли­матические условия, количество и качество вносимых удобрений и др. Сравнивая результаты на экспериментальных участках с кон­трольным, который отличается по некоторому параметру (напри­мер, новый способ посадки и ухода за картофелем), агроном смо­жет сделать вывод о том, подтвердилась ли гипотеза об эффектив­ности этого способа посадки и ухода за картофелем: высокая уро­жайность достигается за счет нового способа посадки.

Для проведения селекционной работы агроному важно знать, какое минимальное количество картофеля с контрольного и экс­периментальных участков необходимо сравнить, чтобы получить вывод, которому можно доверять. С другой стороны, его интере­сует, насколько надежны полученные результаты, какими крите­риями пользоваться при их сравнении.

Аналогичные проблемы возникают в различных исследованиях самых разнообразных областей знаний. Ответы на эти вопросы дает математическая статистика. «Статистика — это наука о распреде­лениях», так характеризовал эту науку «отец кибернетики», выда­ющийся американский ученый Н.Винер (1894—1964), который внес большой вклад в развитие теории вероятностей.

Методы теории вероятностей и математической статистики нашли широкое практическое применение в медицине и фарма­кологии, социологии и юриспруденции, психологии и эконо­мике. Современные научные направления, такие, как квантовая механика и статистическая теория решений, теория информа­ции и теория игр, теория очередей и теория катастроф, теория массового обслуживания и теория надежности, теория автома­тического управления и теория стрельбы, теория ошибок и об­щая теория связи, астрономия, геодезия, метеорология, — это далеко не полный список теоретических и прикладных наук, использующих методы теории вероятностей и математической статистики.

Красноречивы сами термины этих наук: «математическое ожи­дание», «надежность», «доверительные интервалы», «доверитель­ная вероятность».

Потребности естествознания способствовали развитию мате­матической статистики и теории вероятностей, так как аппарат этих наук в состоянии описать многочисленные явления природы. Благодаря этому к концу XX в. теория вероятностей и математи­ческая статистика оказались интенсивно развивающимися облас­тями математики и превратились в строго выстроенную фунда­ментальную математическую дисциплину, способную решать за­дачи современных естественных и общественных наук, экономи­ки и техники.

В основе большинства научных знаний лежит наблюдение. Для того чтобы установить общие закономерности, которым подчи­нены эти явления, необходимо за ними многократно наблюдать в одинаковых условиях. Несмотря на то что нельзя предвидеть результаты единичного наблюдения, благодаря систематизации и изучению результатов многократных наблюдений, можно пред­сказать результат серии измерений в этих наблюдениях.

Напомним, что теория вероятностей занималась построени­ем математической модели теоретического закона некоторой слу­чайной величины, установлением вероятности «сложного» со­бытия по вероятностям логически связанных с ним «простых» событий.

В отличие от теории вероятностей математическая статистика по результатам наблюдений над случайными явлениями оценива­ет их вероятность, а также на основании многократных наблюде­ний проверяет некоторые предположения относительно их веро­ятностных закономерностей.

теория вероятностей — наука, выясняющая закономерности, которые возникают при взаимо­действии большого числа случайных факторов.

 

Литература:

Спирина М.С, Спирин П.А. «Теория вероятностей и математическая статистика»— М.: Издательский центр «Академия», 2013

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лекция №2.

Тема: Упорядоченные выборки (размещения). Правило произведения. Размещения с повторениями. Размещения без повторений. Перестановки. Размещения с заданным количеством повторений каждого элемента. Неупорядоченные выборки (сочетания). Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями.

Цель:  Сформировать основные понятия комбинаторики. Дать формулы для подсчёта числа перестановок, размещений и сочетаний

Вопросы:

1.      Понятие комбинаторики;

2.      Понятие размещений, сочетаний и перестановок.

Содержание:

1.                  Комбинаторикой называется раздел математики, в котором решаются задачи на составление различных комбинаций из ко­нечного числа элементов и подсчет всех возможных таких комби­наций.

Комбинаторика имеет большое практическое применение при сортировке изделий и определении их пригодности. Комбинатор­ные методы используются в теории случайных процессов, стати­стике, математическом программировании, вычислительной ма­тематике, планировании экспериментов, а также при решении многих вопросов естествознания и техники.

Существует три основных вида задач в зависимости от поста­новки вопроса и того элемента комбинаторики, который приме­няется при их решении. Рассмотрим такие задачи.

Задача 1.1. Сколько существует способов, чтобы рассадить по четырем креслам квартет из одноименной басни И.А.Крылова?

Задача 1.2. Сколькими способами можно выбрать в группе из 30 человек одного старосту и одного физорга?

Задача 1.3. Сколькими способами можно в группе из 30 чело­век направить пять студентов для участия в пробеге?

Во всех трех задачах надо дать ответ на вопрос: «Сколькими способами?». Но в первой задаче есть существенное отличие от других: необходимо установить порядок во всем конечном мно­жестве элементов, т.е. получить упорядоченное множество.

2.

Решение задачи 1.1

Пусть М — конечное множество, состоящее из m элементов, f: M    {1, 2,…m) — функция, задающая порядок на М, т.е. правило, по которому каждому элементу множества М ставится в соответствие натуральное число от 1 до m, причем одному числу из {1, 2,   ……m) соответствует один элемент из М.

Тогда пару (M,f) назовем упорядоченным множеством, или перестановкой из m элементов.

Пример 1.1. Три отличника из 11 «А» класса — Иванов, Пет­ров и Сидорова — должны выйти к президиуму и получить гра­моты. Их можно вызвать в алфавитном порядке фамилий, т.е. Иванова — Первым, Петрова — вторым, Сидорову — третьей. Тем самым на множестве М= {Иванов, Петров, Сидорова} задана функ­ция f

f:  f(Иванов) = 1;

    f(Петров) = 2;

    f(Сидорова) = 3.

Можно было бы ввести порядок другим способом (например, по возрасту, росту, массе и др.). На этом же множестве рассмот­рим другую функцию g, джентльмены пропустили даму вперед (обычная очередь — тоже упорядоченное множество):

g:  g (Иванов) = 2;

     g (Петров) = 3;

     g (Сидорова) = 1.

Для того чтобы отличить разные упорядоченные множества, будем (для краткости) записывать их в виде кортежа: сначала первый (в соответствии с функцией/) элемент (т.е. прообраз 1), затем второй и т.д.:

(M,f) = (f^—1(1), f^—1(2), ,………….., f^—1(m—1), f^—1(m))

Тогда в примере (M,f) = (Иванов, Петров, Сидорова); (M,g) = (Сидорова, Иванов, Петров).

 Сколько на одном множестве из n элементов может быть различ­ных функций порядка?

Число тaких функций на множестве из n элементов называется числом перестановок из n элементов и обозначается Р_n.

Понятно, что оно не зависит от рода самого множества, а зависит лишь от количества Элементов n. Очевидно, что Р₁ = 1.

Пример 1.2. Перестановки из двух элементов (шаров) в виде кортежа

Имеем P₂= 2 = 1 • 2.

Чтобы найти перестановки из трех элементов, надо к каждому из Р2 вариантов перестановок добавить третий элемент (скажем, зеленый шар), который может располагаться для каждой перестановки на одном из трех мест (до, между, после). Поэтому Р3 = Р₂ * 3 = 6. Аналогично, Р4 = Р₃ * 4 = 24 и т.д., т.е. для получения числа перестановок из n элементов нужно в каждую из Р_n—1 перестановок из n - 1 элементов вставить n-й элемент на n свободных мест. Число таких вариантов равно

Р_n = n*Р_n—1 = n(n- 1)Р_n—2 = ... = n(n- 1) ... 2P₁ = n(n- 1) ... 2*1=n!

Для обозначения произведения я натуральных чисел от 1 до я используется знак факториала (!). Итак,

Р_n = n! (1.1)

Нужно запомнить, что 1! = 1 и 0!.= 1!/1 = 1 (перестановки из одного элемента — один вариант, а вариант выбора пустого мно­жества из себя также единственен! Последнее можно считать со­глашением, или определением, факториала нуля).

Теперь понятно, что для решения задачи 1.1, когда важно лишь, кто на каком кресле будет сидеть, можно пронумеровать кресла; тогда любой вариант рассаживания будет соответствовать одной перестановке. Всего таких вариантов 4! = 24.

Решение задачи 1.2

Для решения задачи 1.2 вспомним, что поскольку функции старосты и физорга различны (А — староста, В — физорг и В — староста, А — физорг), существуют различные варианты: если вы­бирать из 30 человек одного старосту, то будет 30 вариантов. Для выбора физорга остается 29 вариантов.

Поскольку каждому варианту уже выбранного старосты соот­ветствует 29 вариантов выбора физорга, то всего возможно 30 * 29 = 870 вариантов. Такое очевидное правило подсчета числа вариан­тов не зависимых между собой явлений, соответствующее числу элементов декартова произведения множеств, будем называть пра­вилом произведения.

Фактически в подмножестве m = 2 элементов установлен поря­док (функциональная значимость). Мы говорим «порядок важен», понимая под этим порядок в записи элементов этого множества, например при получении различной стипендии в кассе колледжа: {староста, физорг} или {физорг, староста}.

Размещением из n элементов по m называется упорядоченное подмножество, содержащее m элементов множества, состоящего из n элементов.

Число размещений из n элементов по m обознача­ется A_n^m (от фр. arrangement — размещение).

Таким образом, для решения задачи 1.2 нужно из множества учащихся, состоящего из 30 элементов, выбрать упорядоченное подмножество из двух элементов. Тогда решением задачи 1.2 будет являться число A₃₀².

Решение задачи 1.3

А в задаче 1.3 не важно, как побегут пять спортсменов, их роли в забеге одинаковы (предполагается, что фактор тактики отсут­ствует, например в спринте), т.е. из множества n=30 элементов выбрали подмножество из m = 5 элементов, но без установления порядка в нем: вариант, когда уже отобранные спортсмены побе­жали, — единственный.

Сочетанием из n элементов по m называется (неупорядочен­ное) подмножество, содержащее m элементов множества, состо­ящего из n элементов.

Число сочетаний из n элементов по m обо­значается C_n^m (от фр. combinaison — комбинация, сочетание).

Пример 1.3. Пусть даны n элементов, из которых m — бракован­ные. Сколькими способами их можно выбрать? Пусть число соче­таний, т.е. число неупорядоченных подмножеств, содержащих по m бракованных изделий, равно С_n^m. Если из n элементов m— бра­кованных, то в остальных n - m элементах — нет брака. Тогда каж­дому разбиению на два подмножества брак/небрак соответствуют Р_m Р_n—m вариантов упорядочивания отдельно подмножества брако­ванных и подмножества небракованных изделий.

Чтобы получить все n! способов в этом множестве, надо вос­пользоваться правилом произведения, учитывая и перестановки во множестве m элементов (m!), и перестановки во множестве n - m элементов (n - m)!, и сочетания между ними С_n^m.

Тогда по правилу произведения Р_n = Р_m Р_n—m С_n^m, откуда формула числа соче­таний примет вид:

С_n^m=   n!/m!(n—m)!

Решение задачи 1.3 примет вид С₃₀⁵ = 30!/5!25!= 142506.

В отличие от этой задачи, где не важно, как бегут все пять спортсменов в общем забеге, в задаче про выборы физорга и ста­росты важен порядок во вновь образованном подмножестве из т элементов, т. е. имеем

A_n^m =C_n^m  P_{m  =}n!/(n—m)!

Воспользовались правилом произведения, потому что и коли­чество подмножеств из n по m надо учесть, и порядок во вновь созданных множествах из m элементов. Итак,

A_n^m  = n!/(n—m)!

В формулах размещений и сочетаний удобно выполнить сокра­щение на (n-m)\ элементов. Тогда А_n^m = (n-m+1) ... (n- 1)n.

Заметим, что при m= n, А_nⁿ = Р_n = n!, т.е. перестановки есть частный случай размещений, когда подмножество из m элементов «доросло» до самого множества из n элементов.

Элементы комбинаторики можно классифицировать по их от­ношению к установленному порядку в подмножествах (рис. 1.2).

 

 

·           Во всём ли множестве необходимо найти число возможных вариантов?

·           важен ли порядок расположения отдельных элементов в ис­следуемом множестве (подмножестве)? (рис 1.3)

 

Задача 1.4. Восемь студентов обменялись рукопожатиями. Сколь­ко было рукопожатий?

Решение. В рукопожатии участвует «подмножество», состоящее из двух студентов (m = 2), тогда как все «множество» студентов составляет 8 человек (n = 8). Наглядное представление «на отрезке» соотношения подмножества и множества удобно для выбора со­единения (рис. 1.4).

Так как в процессе рукопожатия порядок не важен, выбираем формулу сочетаний

C₈^{2 =}28

Задача 1.5. Сколькими способами можно составить трехцвет­ный полосатый флаг из пяти различных по цвету отрезов материи?

Решение. Порядок важен, так как перестановка материи внутри трехцветного флага обозначает разные страны. Поэтому выбираем формулу размещений без повторений, где множество отрезов ма­терии содержит n = 5, а подмножество — т = 3 цветов:

A₅³=60

Задача 1.6. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из шести языков на любой из них?

Решение. Множество включает п = 6 языков. Поскольку перевод есть отношение между двумя языками, то т = 2, причем порядок важен, так как, например, словари англо-русский и русско-анг­лийский имеют различное применение. Поэтому выбираем разме­щения без повторений:

A₆² =30

Задача 1.7. Сколько имеется вариантов составления расписа­ния на понедельник, если предметов у студентов 9, а в понедель­ник четыре пары занятий и предметы не повторяются?

Решение, а) Для студентов порядок не важен, поэтому выбираем сочетания без повторении:

C₉⁴ =126

б) Для преподавателей порядок важен, поэтому выбираем формулу размещений без повторений:

A₉⁴= 3024.

Задача 1.8. Сколькими способами можно расставить на книж­ной полке девять книг, среди которых есть трехтомник А.С.Пуш­кина?

Решение. Так как три тома, входящие в трехтомник, должны стоять рядом, причем по возрастанию номера тома слева напра­во, рассматриваем их как один элемент данного множества, в котором имеется еще шесть элементов. Поэтому выбираем пере­становки без повторений во множестве, содержащем семь эле­ментов:

Р₇ = 7! = 5040.

Задача 1.9. Сколькими способами можно назначить в группе из 30 человек трех дежурных?

Решение, а) Если их роль в процессе дежурства одинакова, то порядок не важен, поэтому выбираем сочетания без повторений:

С₃³₀ =4060

б) Если порядок важен, т.е. во время дежурства их функцио­нальные обязанности различны, то по формуле размещений без повторений имеем: A₃³₀ = 24360.

 

Литература:

Спирина М.С, Спирин П.А. «Теория вероятностей и математическая статистика»— М.: Издательский центр «Академия», 2013, п.1.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Лекция №3

Тема 2.1. Случайные события. Классическое определение вероятности. Понятие случайного события. Совместимые и несовместимые события. Полная группа событий. Равновозможные события. Общее понятие о вероятности события как о мере возможности его наступления. Методика вычисления вероятностей событий по классической формуле определения вероятности с использованием элементов комбинаторики.

Цель: Дать понятие случайного события, совместного и несовместного события, полной группы событий. Дать классическое определение вероятности.

Вопросы:

1.      Основные виды событий;

2.      Общее понятие о вероятности события как о мере возможности его наступления;

3.      Методика вычисления вероятностей событий по классической формуле определения вероятности с использованием элементов комбинаторики.

Содержание:

1.                  Основные виды событий

Теория вероятностей, как и любая наука, методы которой используются для изучения некоторой совокупности явлений, опирается на ряд основных понятий. Одно из них – событие. Опытом или испытанием в теории вероятностей считается любая совокупность условий и воздействий, при которых происходят рассматриваемые события. При этом опытом является любое наблюдение, а событием – любой результат наблюдений.

Случайности подстерегают нас на каждом шагу. Случай поворачивается к человеку своими разными сторонами. Случайность – это прежде всего непредсказуемость, которая является результатом нашего незнания, нашей слабой осведомленности, результатом отсутствия необходимой информации.

С помощью данной работы попытаемся открыть для себя вероятностную природу окружающего нас мира, познакомимся со случайными явлениями, попробуем ориентироваться в мире случайности, используя его величество случай.

Понятие о случайном событии

Опыт, эксперимент, наблюдение явления называется испытанием. Испытаниями являются: бросание монеты, выстрел из винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенными на каждую грань числом очков - от одного до шести).

Результат, исход испытания, называется событием. Событиями являются выпадение герба или цифры, попадание в цель или промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости. Для обозначения событий используют большие буквы латинского алфавита: А,В, С и т.д.

Два события называют совместимыми, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Испытание - однократное бросание игральной кости. Событие А - появление четырех очков. Событие В - появление четного числа очков. События А и В совместимые.

Два события называют несовместимыми, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Испытание - однократное бросание монеты. Событие А - выпадение герба, событие В - выпадение цифры. Эти события несовместимы, так как появление одного из них исключает появление другого.

Несовместимость более чем двух событий означает их попарную несовместимость.

Испытание - однократное бросание игральной кости. Пусть события А₁ , А₂ , А_3, А₄ , А₅ , А₆, - соответственно выпадение одного очка, двух, трех и т.д. Эти события являются несовместимыми.

Два события А и В называются противоположными, если в данном испытании они несовместимы и одно из них обязательно происходит. Событие, противоположное событию А, обозначают через.

Испытание - бросание монеты. Событие А - выпадение герба, событие В - выпадение цифры. Эти события противоположны, так как исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них исключает появление другого, т.е.

А =  или  = В.

Событие называют достоверным, если в данном испытании оно является единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании оно заведомо не может произойти. Испытание - извлечение шара из урны, в которой все шары белые. Событие А - вынут белый шар - достоверное событие; событие В - вынут черный шар - невозможное событие.

Достоверное и невозможное события в данном испытании являются противоположными.

Событие А называют случайным, если оно объективно может наступить или не наступить в данном испытании.

Событие А₆ - выпадение шести очков при бросании игральной кости - случайное. Оно может наступить, но может и не наступить в данном испытании.

Всякое испытание влечет за собой некоторую совокупность исходов - результатов испытания, т.е. событий. Во многих случаях возможно перечислить все события, которые могут быть исходами данного испытания.

2.      Общее понятие о вероятности события как о мере возможности его наступления

При изучении случайных событий возникает необходимость количественно сравнивать возможность их появления в результате опыта. Например, при последовательном извлечении из колоды пяти карт более возможна ситуация, когда появились карты разных мастей, чем появление пяти карт одной масти; при десяти бросках монеты более возможно чередование гербов и цифр, нежели выпадение подряд десяти гербов, и т.д.

Поэтому с каждым таким событием связывают по определенному правилу некоторое число, которое тем больше, чем более возможно событие.

Это число называется вероятностью события и является вторым основным понятием теории вероятностей. определению. То, что в дальнейшем будет называться различными определениями вероятности, представляет собой способы вычисления этой величины.

Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта,

а) попарно несовместны;

б) равновозможны;

в) образуют полную группу,

то говорят, что имеет место схема случаев.

Можно считать, что случаи представляют собой все множество исходов опыта. Пусть их число равно п ( число возможных исходов), а при т из них происходит некоторое событие А (число благоприятных исходов).

3.      Методика вычисления вероятностей событий по классической формуле определения вероятности с использованием элементов комбинаторики

Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности события А

,

где m – число элементарных исходов испытания, благоприятствующих появлению события А, а n – общее число элементарных исходов испытания, если эти элементарные исходы равновозможные и образуют полную группу.

Для решения задач теории вероятности используют понятие числа сочетаний.

Числом сочетаний из n элементов по k в каждом, называют число соединений, в каждое из которых входит k элементов, взятых из данных n элементов и которые отличаются хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из n по k обычно обозначается

n! (то есть n факториал) означает произведение всех натуральных чисел от единицы до n, т.е.

Например

 

Пример: В партии из 20 деталей имеется 18 стандартных. Наудачу отобраны 5 деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 4 стандартных.

Общее число возможных элементарных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь 5 деталей из 20 деталей, то есть  (числу сочетаний из 20 элементов по 5 элементов)

Число элементарных исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (что среди 5 деталей ровно 4 стандартных) можно сосчитать следующим образом: четыре стандартных детали можно взять из 18 стандартных деталей способами; при этом оставшаяся одна деталь  должна быть нестандартной. Взять одну нестандартную деталь из   двух нестандартных можно  способами.

Итак, число благоприятствующих исходов равно

Общее число элементарных исходов

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих наступлению события к общему числу всех исходов. При этом оставшаяся одна деталь  должна быть нестандартной. Взять одну нестандартную деталь из   двух нестандартных можно  способами.

Итак, число благоприятствующих исходов равно

Общее число элементарных исходов

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих наступлению события к общему числу всех исходов.

 

 

 

 

Литература:

1.                  Григорьев С.Г., Иволгина С.В  «Математика»— М.: Издательский центр «Академия», 2011, 7.1.3

2.                  Спирина М.С, Спирин П.А. «Теория вероятностей и математическая статистика»— М.: Издательский центр «Академия», 2013, 1.4

 

Лекция №4

Тема:  Вероятности сложных событий.  Противоположное событие; вероятность противоположного события. Произведение событий. Сумма событий. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимые события. Вероятность произведения независимых событий. Вероятность суммы несовместимых событий (теорема сложения вероятностей) Вероятность суммы совместимых событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Цель:

Вопросы:

1.                  Условная вероятность;

2.                  Правила и теоремы теории вероятностей;

3.                  Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Содержание:

1.                  Условная вероятность

Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми

Пример 1. Пусть в урне находятся 2 белых и 2 черных шара. Пусть собы­тие А - вынут белый шар. Очевидно, Р(А) = 1/2. После первого испытания вынутый шар кладется обратно в урну, шары перемешиваются и снова вынимается шар. Событие В - во втором испытании вынут белый шар – также имеет вероятность Р(В) =1/2 , т.е. события А и В- независимые.

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда если произошло событие А, т.е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается Р(В) =1/4 ,если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается Р(В) =1/2 .

Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В - зависимые.

Пусть А и В - зависимые события. Условной вероятностью Р_А(В) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило.

Итак, в примере 1 Р_А(В) = 1/2.

Заметим, что если события А и В независимы, то Р_А (В )= Р(В).

2.      Правила и теоремы теории вероятностей;

Справедливы следующие теоремы:

1.                  Теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий.

2.                  Теорема умножения вероятностей независимых событий:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

3.                  Теорема умножения вероятностей зависимых событий:

Вероятность совместного появления двух событий равна  произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило.

                     

Обратите внимание на то, что теорема 2 является частным случаем теоремы 3, так как для независимых событий - вероятность события В при условии наступления события А, то есть условная вероятность, равна безусловной вероятности .

       4.  Теорема сложения вероятностей совместных событий: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

 

        

 

Теоремы верны не только  для двух событий, но и для большого числа.

 

Пример 1. Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей  0,4 , можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?

Введем обозначения событий:

Событие - ни при одном выстреле не будет промаха.

Событие - при первом выстреле не будет промаха.

Событие - при втором выстреле не будет промаха.

…

Событие - при i-м выстреле не будет промаха (i=1,2,3…n)

Интересующее нас событие состоит в совмещении событий ,…

               

, при i= 1,2,3…n

События  независимы в совокупности, поэтому применим теорему умножения независимых событий.

По условию задачи

Следовательно

И

Т.к.

И

И получим, что

Если события ,…  независимы в совокупности и их вероятности равны , …;

Пусть в результате испытания может наступить один из них, или любые два, или любые три, или так далее, или все эти события, или не одного из них, то справедлива теорема 5. Вероятность наступления события , состоящего в появлении хотя бы одного из ,… , независимых в совокупности, равна разнице между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

                       

Если все события имеют одинаковую вероятность P, то вероятность появления хотя бы одного из них

                                  ()

Пример. В электронную цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятность отказа элементов  , ,

Найти вероятность того, что тока в цепях не будет. Так как элементы включены последовательно, тока в цепи не будет, если откажет хотя бы один элемент.

Искомая вероятность

3.      Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Теорема 6. (формула полной вероятности)

Вероятность события А, которое может  наступать лишь при появлении одного из событий , образующая полную группу, равна сумме и произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А :

,

где + +…+ =1

 

Теорема 7. (Формула Байеса)

Пусть событие Ф может наступать лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) , ,.., , которые образуют полную группу событий . Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоцененные по формуле Байеса

              (i=1,2,…n)

Пример. Число грузовых автомашин проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2 .Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0.1; для легковой машины эта вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала машина. Найти вероятность того, что это грузовик. Введем обозначения событий. А- событие заключающееся в том, что машина подъехала на заправку. Сделаем 2 гипотезы. -машина легковая. -машина грузовая. Подсчитаем вероятность того, что выбранная наудачу машина будет заправляться.

.

.  .

. .

.

 Событие А произошло. Машина подъехала заправиться. Вероятность того, что это грузовая машина: .

Литература:

1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В  «Математика»— М.: Издательский центр «Академия», 2011,  7.3.1, 7.3.2, 7.3.4, 7.4.1, 7.4.2
2. Спирина М.С, Спирин П.А. «Теория вероятностей и математическая статистика»— М.: Издательский центр «Академия», 2013, 1.6, 1.8, 1.9