Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Лекции по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика"

Лекции по дисциплине "Теория вероятностей и математическая статистика"

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема 31-32: «Математическое ожидание и его свойства»

Цель: рассмотреть числовые характеристики дискретной случайной величины, вывести формулы и обозначения, учить решать задачи.



Функция распределения случайной дискретной величины позволяет наиболее полно охарактеризовать рассматриваемую случайную величину. Однако при решении многих задач проще указать числовые характеристики случайной величины, чем соответствующий закон распределения. К важнейшим числовым характеристикам случайной величины относятся: мода, медиана, математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение.

  1. Модой ДСВ называется такое значение дискретной случайной величины, вероятность которого наибольшая.

Обозначается: Мо(х)

Значение случайной величины, вероятность которой минимальная. Называется антимодой.

Пример 1. Закон распределения СВ задан таблицей



х

2

3

4

5

6

7

8

9

10

р

hello_html_435e96cc.gif

hello_html_643073c.gif

hello_html_266d0209.gif

hello_html_m7387db24.gif

hello_html_m53a9de17.gif

hello_html_m16b44fe7.gif

hello_html_m53a9de17.gif

hello_html_m7387db24.gif

hello_html_266d0209.gif



Наибольшая вероятность р = hello_html_m16b44fe7.gif , следовательно мода Мо(х) = 7, антимода равна 2.

Пример 2. При подбрасывании одного игрального кубика составить ряд выпадения граней

х

1

2

3

4

5

6

р

hello_html_m11f0fb5b.gif

hello_html_m11f0fb5b.gif

hello_html_m11f0fb5b.gif

hello_html_m11f0fb5b.gif

hello_html_m11f0fb5b.gif

hello_html_m11f0fb5b.gif

Мода не может быть указана, так как вероятность выпадения каждой грани одинакова.

Пример 3. По наблюдениям метрологов, среднесуточная температура в первой половине февраля имела следующий ряд распределения: -18, -15, -18, -18, -15, -12. -12. -5, -10, -7, -12, -18, -20,-15, -12. Составить закон распределения ДСВ – среднесуточной температуры и найти моду.

Решение: Составим закон распределения ДСВ - среднесуточной температуры, ранжируя ее значения в порядке возрастания:



х

-20

-18

-15

-12

-10

-7

-5

р

hello_html_m3c416faa.gif

hello_html_c982246.gif

hello_html_m45a8710a.gif

hello_html_c982246.gif

hello_html_m3c416faa.gif

hello_html_m3c416faa.gif

hello_html_m3c416faa.gif

В данном случае наибольшую вероятность р = hello_html_c982246.gif имеют два значения ДСВ: х=-18 и х=-12. Значит мода ДСВ х равна Мо(х)=-12 и Мо(х)=-18.

Моду как характеристику ДСВ часто используют в социологических исследованиях, например при определении рейтинга популярности того или иного политического деятеля или певца. При этом в качестве ДСВ выступает число голосов, отданных, например, за любимого певца при социологическом опросе .

  1. Медианой ДСВ называется среднее по положению в пространстве событий значение ДСВ.

Обозначается Ме(х)

Пример: Учет производительности труда станочников цеха №3 за смену задан рядом распределений:

Номер по списку

1

2

3

4

5

6

7

8

производительность

52

52

53

54

56

57

57

57

Найти моду и медиану ДСВ х.

Решение: мода Мо(х) = 57 (самая «модная» производительность труда)

т.к. число столбиков четное то медиану вычисляем как среднее арифметическое ДСВ Ме(х)= hello_html_9f1b605.gif

Для нахождения медианы ранжирование ряда распределения является обязательным условием.

Одна из самых важных характеристик ДСВ – математическое ожидание.

  1. Математическим ожиданием ДСВ называется сумма произведений значений случайной величины на их вероятности.

Обозначается М(Х).

Не любая ДСВ может имеет математическое ожидание.

Свойства математического ожидания.

  1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной М(С)=С=const

  2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(kX)=kМ(Х), k-const;

  3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: М(х + у)=М(х) +М(у);

  4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: М(ху)=М(х)М(у).

Математическое ожидание можно найти всегда, если задан закон распределения ДСВ.

Задача 1. Найти математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин Х и У, если известны их законы распределения.

х

3

5

7

р

0.3

0,5

0.2



у

1

2

3

4

р

0.3

0,1

0,25

0,35

М(х) = 3*0,3 + 5*0,5 + 7*0,2 =4,8

М(у) = 1*0,3 +2*0,1 + 3*0,25 + 4*0,35 = 2,65

М(ху)=М(х)М(у)=4,8*2,65=12,72.

Ответ: 12,72

Задача 2. Из 100 лотерейных билетов в тридцати выигрыш составляет 100 тыс. р., в десяти – 200 тыс. р., в пяти – 300 тыс.р., в одном -1 млн.р. Найти числовые характеристики выигрыша.

Решение: СВ х –выигрыш – принимает значения х1=0, х2=100 тыс.р, х3=200 тыс.р., х4=300 тыс.р., х5=1 млн.р.

Вычислим вероятности р1=hello_html_702ab1c6.gif=0.54; р2 = hello_html_m7f9b645c.gif =0.3; р3 =hello_html_m5f9181d0.gif =0,1; р4 =hello_html_19095a76.gif =0,05;

Р5 =hello_html_6ba62c03.gif =0,01. Составим закон распределения этой ДСВ

х

0

100тыс.

200 тыс.

300 тыс.

1 млн.

р

0,54

0,30

0,10

0,05

0,01

Мо(х) = 0 ( т. К. наибольшая вероятность 0,54 )

Ме(х) =200 тыс.

М(х) = 0*0,54 + 100 тыс.р.*0,3 + 200 тыс.р.*0,1 +300 тыс.р.*0,05 + 1 млн.р*0,01=75 тыс.р.

Задача 3. Найти математическое ожидание случайной величины у = 5х + 9, если известно, что М(х) =2,5

Решение: зная свойства математического ожидания, имеем:

М(у) = М(5х +9) = М(5х) +М(9) = 5М(х) +9 = 5*2,5 +9 =7,5 +9=16,5.

Решить самостоятельно:

  1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, имеющей следующее распределение:

А)

х

2

3

7

р

0.6

0.3

0,1



Б)

х

-3

-2

1

р

0,2

0.4

0,4



В)

х

-4

0

1

р

0,5

0,4

0,1



  1. Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х1=4 с вероятностью р1=0,5; х2=6 с вероятностью р2=0,3 и х3 с вероятностью р3. Найти х3 и р3, зная, что М(х) = 8.

  2. Дискретная случайная величина имеет следующий закон распределения:

х

Х1

4

7

р

0,3

0,5

Р3

Математическое ожидание равно 3. Найти х1 и р3. Построить многоугольник распределения.

  1. Найти математическое ожидание величины Z, если:

А) Z = 3х +4 у; М(х)=2; М(у)=6;

Б) Z = 12х +3у; М(х)=0; М(у)=4.













































Тема 33-34: «Дисперсия. Среднеквадратическое отклонение»

Цель: дать определения, ввести обозначение дисперсии и среднеквадратического отклонения, учить вычислять эти величины.





Математического ожидания недостаточно для описания случайной величины. Для более полной характеристики случайной величины надо оценивать рассеивание ее возможных значений. Для характеристики рассеивания случайной величины и предназначена дисперсия.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения ее возможных значений от ее среднего значения.

Обозначается: Д(х).

Д(х)= М((х – М(х))2) или

Д(х) = М(х2) – М2(х).

Дисперсия числа появлений в n независимых испытаниях ( с одинаковой вероятностью появления р события в каждом испытании и вероятности не появления q) вычисляется по формуле Д(х) = npq.

Пример1. Найти Д(х) случайной величины, заданной следующим законом распределения:

х

3

4

6

7

р

0.2

0,25

0,35

0,2

Решение: вычислим М(х) = 3*0,2 +4*0,25 + 6*0,35 + 7*0,2 = 5,1

Составим закон распределения случайной величины х2

Х2

32=9

16

36

49

р

0,2

0,25

0.35

0,2

М(х2) = 9*0,2 + 16*0,25 + 36*0,35 +49*0,2 = 28,2

Д(х) = М(х2) – М2(х) = 28,2 – 5,12 = 28,2 – 26,01 = 2,19

Ответ: Д(х) =2,19

Пример 2. Найти дисперсию ДСВ х – числа отказов элемента некоторого устройства в десяти независимых опытах, если вероятность отказа элемента в каждом опыте равна 0,9.

Решение: по условию n = 10; q =0.9 ; p = 0.1

D(x) = nqp = 10*0,9*0,1 = 0,9

Ответ: Д(х) = 0,9



Свойства дисперсии.

  1. Д(х) hello_html_m6d1256d7.gif 0 дисперсия любой случайной величины есть величина неотрицательная.

  2. Дисперсия постоянной величины С равна 0. Д(С) =0.

  3. Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат. Д(Сх) = С2Д(х).

  4. Дисперсия не меняется от смещения случайной величины Д(х – С)=Д(х).

  5. Дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин Д( х1 + х2 + х3 +…+ хn) = Д(х1)+Д(х2)+Д(х3)+ … +Д(хn)

Т.к. дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, то это очень неудобно для наглядного представления степени рассеивания случайной величины Х. Чтобы устранить этот недостаток, вводится показатель степени рассеивания случайной величины Х, имеющий с ней одинаковую размерность. Этот показатель называется среднеквадратическим отклонением и обозначается σ.

квадратный из дисперсии этой ДСВ.

σ=hello_html_7dcef999.gif

Пример 3. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение, если ДСВ задана законом распределения.

х

4

5

10

р

0,2

0,3

0,5

Решение: Д(х) = М(х2) – М2(Х) ; М(х) = 4*0,2 + 5*0,3 + 10*0,5 =7,3

Составим таблицу для х2

х

16

25

100

р

0,2

0,3

0,5

М(х2) = 16*0,2 + 25*0,3 + 100*0,5 = 60,7

Д(х) = 60,7 – 7,32 =7,41; σ = hello_html_5daf5d1c.gif =2,72



Ответ: 7,41; 2,72

Пример 4. Составить закон распределения ДСВ х, принимающей значения х1 =1, х2 =3, Х3=4, если известно, что М(х) = 2,3; Д(х) =1,21.



х

1

3

4

р

Р1

Р2

Р3



Х2

1

9

16

р

Р1

Р2

Р3



Составим систему трех уравнений с тремя неизвестными

Р1 + 3р2 + 4р3 =2,3;

Р1 +9р2 + 16р3 = 1,21 +2,32;

Р1 + р2 + р3 = 1

Решим систему и найдем р1 =0,4; р2 =0,5; р3 =0,1

Решить задачи самостоятельно:

  1. Найти М(х2) дискретной случайной величины, заданной законом распределения:

А)

х

-4

6

10

р

0,2

0,3

0,5

Б)

х

0,2

0,5

0,6

р

0,1

0,5

0,4

  1. Дан перечень возможных значений дискретной значений величины: х1 = -1, х2 =0, х3 =1, а также известны М(х) = 0,1 и М(х2) =0,9. Найти вероятности р1, р2. Р3.

  2. Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины, имеющей следующее распределение:

А)

х

-5

2

3

4

р

0,4

0,3

0.1

0,2

Б)

х

4

5

10

р

0,2

0,3

0,5

В)

х

-2

4

5

р

0,3

0,1

0,6

  1. Дискретная случайная величина имеет только два возможных значения х1 и х2, причем х1hello_html_m7c48e444.gifх2. Вероятность того, что Х принимает значение х1, равно 0,6.

Найти закон распределения величины Х, если М(х) = 1,4; Д(х) = 0,24.

















Тема: Характеристики непрерывной случайной величины.



Основные числовые характеристики: мода, медиана, математическое ожидание, дисперсия.

  1. Модой НСВ Х называется такое ее значение, при котором плотность вероятности максимальная. Случайная вероятность может иметь несколько мод.

С геометрической точки зрения мода – значение аргумента Х, при котором график функции плотности распределения принимает максимальное значение.

( находят моду через производную. Надо исследовать функцию на интервале и найти точки максимума функции и сравнить их со значением f(x) на границах интервала).

  1. Медианой НСВ Х называют такое ее значение µ, для которого равновероятно что случайная величина Х больше или меньше µ.

Р(хhello_html_m7c48e444.gifµ) = р(хhello_html_m7c48e444.gifµ) = 0,5

Т.е. медиана есть корень алгебраического уравнения F(x) = 0,5 или

Интегрального уравнения



hello_html_m75a056b8.gif

C геометрической точки зрения медиана делит площадь под графиком функции плотности вероятности на две равные части.

  1. Математическим ожиданием НСВ называется интеграл



М(Х) = hello_html_m7fbc7747.gif в том случае если он существует.

С геометрической точки зрения математическое ожидание случайной величины равно абсциссе центра тяжести площади, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс.

В случае, когда кривая распределения симметрична относительно прямой

X = m математическое ожидание совпадает с этой абсциссой, и математическое ожидание, мода и медиана равны между собой.

М(х) =Мо=Ме=µ.

  1. Дисперсию НСВ х находят по формуле D(x) = hello_html_72ec678.gif или



D(x)hello_html_m5a1f3ce0.gif



Примеры:





Тема: «Теорема сложения совместных событий»

Пусть в некотором испытании рассматриваются два совместных случайных А и В, вероятности которых известны ли могут быть найдены.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т. е. р(А + В) = р(А) + р(В) – р(АВ)

Эту формулу можно применить и для двух несовместных событий т. к. р(АВ) = 0.

Если А и В независимые р(а + В) = р(А) + р(В) – р(А)*р(В)

Если А и В зависимые р(А + В) = р(А) + р(В) – р(А)* ра(в).

Пример 1: Два футболиста делают независимо друг от друга по одному удару по воротам. Вероятность попадания первого футболиста равна 0,8; второго – 0,9. Найти вероятность того, что произойдет хотя бы одно попадание.

Решение: событие А- попадание первым футболистом

Событие В – попадание вторым футболистом

А + В – произойдет хотя бы одно попадание.

По теореме р(А + В) = 0.8 + 0, 9 – 0,8*0,9 =

Ответ:

Эту задачу можно решить другим способом:

Р(hello_html_m5a614bfc.gif) = 1 – р(А) = 1 – 0,8 =0,2

Р(hello_html_56b26bc1.gif) = 1 – р(В) = 1 – 0,9 = 0,1

Р(А + В) = 1 – 0,2*0,1 =

Ответ:

Существует более общая формула для нахождения вероятности суммы трех и большего числа совместных событий. А, В, С – события, тогда

Р(А + В +С) = р(А) +р(В) + р(С) – р(АВ) – р (АС) – р(ВС) + р(АВС), но решать задачу таким образом очень сложно, легче решать через противоположные события.

Пример 2: Каждый из четырех стрелков независимо друг от друга производит по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания равны: 0,7; 0,6; 0,8; 0,4. Определить вероятность того, что произойдет хотя бы одно попадание.

Решение: пусть события А1 –попадет первый стрелок, А2 – второй стрелок, А3 – третий стрелок, А4 – четвертый стрелок.

Для событий А1234 противоположными являются события hello_html_m5a614bfc.gif1 hello_html_m5a614bfc.gif2hello_html_m5a614bfc.gif3hello_html_m5a614bfc.gif4 – все промахнутся.

Р(hello_html_m5a614bfc.gif1) = 1 – р(А1) = 1 – 0,7 = 0.3

Р(hello_html_m5a614bfc.gif2) = 1 – р(А2) = 1 – 0,6 = 0,4

Р(hello_html_m5a614bfc.gif3) = 1 – р(А3) = 1 – 0,8 = 0,2

Р(hello_html_m5a614bfc.gif4) 1 – р(А4) = 1 – 0,4 = 0,6

Р(А123 + А4) = 1 – 0,3*0,4*0,2*0,6 =

Ответ:

Таким способом решаются задачи в которых есть слова «хотя бы».

Решить задачи самостоятельно:

  1. Стрелок производит один выстрел в мишень, состоящую из центрального круга и двух концентрических колец. Вероятность попадания в круг и кольца соответственно равны 0,1; 0,3; 0,4. Определить вероятность попадания в мишень.

  2. В двух группах имеется по 25 студентов; в первой – 5 отличников. Во второй -8. Из каждой группы выбирается по одному студенту. Какова вероятность того, что они отличники?

  3. Вероятности вынуть белый шар из двух ящиков равны соответственно 0,8; 0,6. Из обоих ящиков вынимается по одному шару. Какова вероятность того, что хотя бы один из вынутых шаров белый?

  4. В двух коробках лежат по 20 одинаковых по форме карточек. Из них в первой – 5 карточек зеленого цвета, во второй -10. Наугад выбирают из каждой коробки по одной карточке. Какова вероятность того, что хотя бы одна карточка будет не зеленого цвета?

  5. Из колоды в 32 карты наугад выбирают 4 карты. Найдите вероятность того, что среди отобранных карт окажется хотя бы один туз.

  6. На стеллаже в библиотеке стоят 15 учебников, причем 5 из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найдите вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников будет в переплете.



















Тема: « Формула полной вероятности. Формула Байеса».

Чтобы вывести формулу полной вероятности рассмотрим задачу:

Задача 1. В трех одинаковых ящиках находятся: в первом – 3 белых и 2 черных шара; во втором – 6 белых и 4 черных шара; в третьем – 2 белых и 3 черных. Из случайно выбранного ящика наугад вынимают шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

Решение: А – вынутый белый шар.

В1 – шар вынут из первого ящика;

В2 –шар вынут из второго ящика;

В3 – шар вынут из третьего ящика.

Р(В1) =р(В2) =р(В3) = hello_html_7f8f9891.gif Событие А должно произойти с одним из событий В1, В2 или В3.

Р(А) = р(В1В1(А) + р(В2) рВ2(А) + р(В3) рВ3(А);

Рв1(А) =hello_html_3b88a430.gif; рв2(А) = hello_html_547f9a7a.gif; рв3(А) = hello_html_2ee8300a.gif

Р(А) = hello_html_313a95d8.gif

Ответ: при решении этой задачи была использована формула полной вероятности.

Теорема: (формула полной вероятности)

Пусть В1, В2, … Вn – полная группа событий для некоторого испытания, и событие А может произойти вместе с одним из событий полной группы. Тогда справедлива формула:

Р(А) = р(В1) рв1(А) + р(В2) рв2р(А) + … + р(Вn) рвnр(А), В1, В2, … Вn -называются гипотезами.

Решить задачу: Для приема зачета преподаватель приготовил 50 задач: 20 по дифференциальному и 30 по интегральному исчислению. Для получения зачета студент должен должен решить первую попавшуюся ему задачу. Какова вероятность для студента получить зачет, если он знает решение 18 задач по дифференциальному и 15 по интегральному исчислению.

Решение: А – студент сдаст зачет; В1 – попадет задача по дифференциальному исчислению; В2 – по интегральному исчислению.

Р(В1) = hello_html_3e20c752.gif = 0,4 р(В2) = hello_html_4b355634.gif = 0,6; рв1(А) = hello_html_3f127712.gif = 0,9; рв2(А) = hello_html_md8777a6.gif = 0,5;

Р(А) = 0,4hello_html_468cfb1e.gif

Ответ: 0,66

Решим задачу 1. С измененным условием: Предположим, что шар вынут и известно, что он оказался белым, т. е. событие А произошло. Какова вероятность того, что шар был вынут из первого ящика?

Р(В1) – это вероятность события вычисленная до испытания;

Рв1(А) – вероятность события В1 вычисленная при условии, что событие А уже произошло.

Для решения задачи использовали формулу:

Рвi(А ) = hello_html_m1e83eb4b.gif; i = 1, 2, … , n. Формула Байеса. ( применяется, когда известно, что событие А уже произошло).

Решить задачу: Из имеющихся на складе кинескопов 30 % изготовлены на заводе №1, остальные на заводе №2. Вероятность того, что кинескоп, изготовленный на заводе №1 не выйдет из строя в течении гарантийного срока службы, равна 0.9, для кинескопов с завода №2 эта вероятность равна 0,8. Случайным образом для поверки со склада выбирают кинескоп, который выдержал гарантийный срок. Определить вероятность того, что его изготовили на заводе №2.

Решение: А – кинескоп выдержавший гарантийный срок;

В1 – завод №1; В2 – завод №2;

р(В1) = 0,3; р(В2) = 0,7; рв1(А) = 0,9; рв2(А) = 0,8.

Р(А) = 0,3hello_html_m5ccadb12.gif

Рв2(А) = hello_html_3304e0a5.gif = hello_html_m25914fec.gif ( если надо найти рв1(А) = 1 – 0,67 = 0,33)

Ответ: 0,67

Решить задачи самостоятельно:

  1. Имеется два набора открыток. В первом наборе имеется 13 стандартных и 2 не стандартных по размеру открытки; во втором – 8 стандартных и 2 нестандартных открытки. Определить вероятность того, что взятая наудачу открытка (из случайно выбранного набора ) стандартная.

  2. В магазин поступили две партии костюмов. В первой партии – 20 синих и 15 черных, во второй -15 синих и 10 черных. Первая партия изготовлена заводом №1, вторая -заводом №2. Покупатель купил синий костюм. Определить вероятность того, что костюм изготовлен заводом №2.

  3. Представитель фирмы при приеме двух партий некоторой продукции для контроля случайным образом выбирает по одному изделию из каждой партии. Вероятность выбора бракованного изделия из первой партии равна 0,1; из второй – 0,05. Найдите вероятность того, что: а) оба выбранных изделия будут без брака; б) хотя бы одно выбранное изделие без брака.

Схема Бернулли. Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа в схеме Бернулли.

На практике часто приходится иметь дело с многократным повторением одного и того же испытания по возможности в одних и тех же условиях. Например, 10 выстрелов по мишени при неизменных условиях стрельбы – это десятикратное повторение одного испытания – выстрела по мишени.

Допустим, что выполняется n независимых одинаковых испытаний. Испытания независимы в том смысле, что результаты одних испытаний не влияют на результаты других.

Одинаковые независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если в каждом испытании возможны только два исхода («успех» и «неудача») и вероятности каждого из этих исходов постоянны.

Введем обозначения: р – вероятность «успеха», появления события А.

q – вероятность «неудачи», непоявление события А, тогда р + q = 1.

Пусть проводят n испытаний в которых событие А встречается m раз, и не встречается (nm), то искомую вероятность можно вычислить по формуле Бернулли:

Рn(А = m) = hello_html_m5fea65fd.gif

Пример: Монету подбрасывают 6 раз. Какова вероятность того, что герб выпадет только два раза?

Решение: n = 6; m = 2; p = hello_html_6eec8aff.gif ( только два исхода орел и решка)

q = 1 – p = 1 – 0.5 = 0.5 p6(A = 2) = hello_html_54c04e29.gif

Ответ: hello_html_17b809f4.gif

Решить самостоятельно: Вероятность попадания в цель для стрелка равна 0,6. Какова вероятность из 10 выстрелов попасть ровно 4 раза. (ответ: 0,11)

Чем больше число n в задачах тем сложнее ее вычислить. Это обстоятельство было отмечено еще в 18 веке математиками занимающимися демографическими проблемами. Возникла необходимость получения приближенной формулы для нахождения соответственно вероятности. Эта задача была успешно решена для частного случая при р = 0,5 в 1730 году английским математиком Абрахамом де Муавром и обобщена в1783 году французским математиком Пьером Лапласом.

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний равна Р и отлична от нуля и единицы, а число испытаний велико, то вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит ровно m раз, приближенно равна значению функции

Рn (А = m) hello_html_m110b25fb.gif , где hello_html_m1ed14ce3.gif- находим в таблице П2 учебник Спирина стр.265-267.

Пример: Вероятность того, что сошедшая с конвейра деталь окажется бракованной, равна 0,1. Найти вероятность того, что 600 деталей, сошедших с конвеера, 87 деталей будут бракованными.

Решение: р = 0,1, n = 600 m = 87

q = 1 – 0.1 = 0.9 P600(A =87) hello_html_2b353426.gif hello_html_m40e913c1.gif

Ответ: 0,000068

Решить самостоятельно: Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле 0,7. Найти вероятность того, что при 20 выстрелах стрелок поразит мишень 15 раз.

Теорема Пуассона: Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний Бернулли достаточно велико, то вероятность того, что в этих n испытаниях событие А наступит ровно m раз, приближенно равна:

Рn(А = m) =hello_html_526f0b1e.gif формула Пуассона.

Пример: Завод отправил в магазин 5000 исправных телевизоров. Вероятность того, что во время пути произойдет повреждение телевизора, равна 0,0002. Какова вероятность того, что во время пути произойдет повреждение у трех телевизоров.

Решение: n = 5000 m = 3 p = 0.0002 λ = 5000 hello_html_m779def79.gif

Р5000(А =3) = hello_html_5caeb6af.gif

Ответ: 0,062

Интегральная теорема Лапласа.

Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Событие А наступит не менее m1 раз и не более m2 раз, приближенна равна:

Рn(m1hello_html_468047d5.gif

Пример: Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна 0,1. Найти вероятность того, что среди случайно отобранных 500 деталей проверку не пройдут от 70 до 100 деталей.

Решение: n = 500 m1=70 m2=100 p = 0.1

q =1 – p = 1 – 0.1 = 0.9

P500(hello_html_m4f28a043.gif ( Ф(7,45) и Ф(2,98) находят в таблице стр. 267 Спирина)

Ответ: 0,0013

Решить самостоятельно: Производится 600 выстрелов. Вероятность промаха при одном выстреле равна 0,015. Найти вероятность того, что число промахов будет не меньше 7 и не больше 9.





Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

Автор
Дата добавления 07.11.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров672
Номер материала ДВ-133066
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх