Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Лекции по математике по теме: "Вычисление пределов."

Лекции по математике по теме: "Вычисление пределов."

Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:





Лекции

по дисциплине

Математика

для специальности

«Экономика и бухгалтерский учет по отраслям»





Руководитель: преподаватель Серкова Н.А.



Тема 1. Теория пределов функций


Лекция 1. Определение предела. Теоремы о пределах

Совокупность значений некоторых величин, как правило, лишенных физического содержания, представляет собой некоторые числовые множества. Будем обозначать множества большими буквами латинского алфавита: А,В,..,Х,У. Элементы этих множеств будем обозначать малыми буквами, а тот факт, что какой-то элемент принадлежит некоторому множеству, будем обозначать символом  (принадлежит): х  Х,у  Y. Кроме того, мы будем использовать символы  (любой) и  (существует).

 Если каждому элементу хХ поставлен в соответствие единственный элемент у=f(х)  У, где Х и Y -данные числовые множества, то у называется функцией от х, определенной на множестве Х.

 Этот факт записывают так: у=f(х). Х называют множеством определения функции, а множество Y – множеством ее значений.

 Можно сказать, что функция f осуществляет отображение множества Х в Y.

 Eсли любой элемент у  Y является значением функции f, тo говорят, что функция f отображает множество Х на множество hello_html_m4600f436.gif 

 

 Пример 1. Функция f(х) = sin х отображает интервал Х = (0,2) на отрезок [-1,1].

 Действительно, изобразим у = sin х в интервале (0,2). Очевидно, что каждое число из отрезка [-1,1] оси ОY является значением функции у = sin х.

Пусть между элементами множеств X и Y функция y=f(x) устанавливает взаимно однозначное соответствие, то есть xX соответствует один и только один его образ y =f(x)  Y и обратно, для  y  Y найдется единственный прообраз x  X такой, что f(x) = y. Тогда функция x =f--1(y), где  Y, устанавливающая соответствие между элементами множеств Y и X, называется обратной для функции y = f(x).

 Иначе: обратная функция f -1 является отображением множества Y на множество X.

 Окрестностью О (а) точки а называется любой интервал    , окружающий эту точку, из которого, как правило, удалена сама точка а.

hello_html_4f1fd8e9.jpg

 Под окрестностью О() символа бесконечность понимается внешность любого отрезка ,, то есть О () = (-, (,+ ).

 б-окрестностью точки а называется интервал (аба+б), не содержащий точку а, то есть О (а, б) = (а- б, а (а, а + б).

hello_html_m2475dcc4.jpg

 Пусть функция f(x) определена на множестве X, кроме быть может точки а. Точку а мы будем называть предельной точкой множества X, если в любой б -окрестности точки а содержится бесконечно много точек xX, то есть О (а  для  О(а).

 Число А называется пределом функции f(x) в точке а (или при xа), если для любого   0 существует число б ( 0 такое, что для любого x  X, удовлетворяющего условию 0  x – а  б,следует неравенство f (x) – A .

 Учитывая, что все x, удовлетворяющие условию 0  xа б, находятся в б-окрестности точки а, можно несколько иначе сформулировать определение предела.

 Говорят, что число А является пределом функции f(x) при xа, если для   0 существует б-окрестность точки а О (а,б) = x 0 x-aб,где б =б (), такая, что для  x  O (а, б) выполняется неравенство f(x) – A  .

 При этом пишут: hello_html_mdafff7d.gif

Утверждение hello_html_mb9c06f4.gif эквивалентно следующему:

f(x) – A   при x   ∆, где ∆ = ∆() зависит от  и по смыслу определения является достаточно большим положительным числом.

 Множество всех точек x, для которых x  ∆, очевидно является симметричной окрестностью символа .

Пример 2. Доказать, что hello_html_m25b122af.gif (2х +1) = 7.

Решение. Возьмем произвольное число hello_html_m27618eb7.gif> 0. Покажем, что можно найти такую hello_html_985d1fb.gif – окрестность точки х = 3, что для всех точек х  0 (3,) будет выполняться соотношение |(2х+1)-7| < .hello_html_m27618eb7.gif

 Преобразуем неравенство |(2х+1)-7| <  так, чтобы из него получить hello_html_682c2e4d.gif. Имеем

hello_html_m27618eb7.gifhello_html_m252eaa08.gif <=> |2х – 6| <  <=> 2|х – 3| <  <=> |х – 3| < hello_html_4877d34b.gif. Ясно, что, взяв hello_html_m21ae5952.gif мы получим требуемое соотношение:

х – 3 < =>(2х + 1) – 7 <.

 Сформулируем некоторые свойства пределов.

Теорема. Если функция f(х) = с постоянна в некоторой окрестности точки а, то hello_html_2b88de12.gif

Теорема. Если f(х) имеет предел при хhello_html_63093a56.gifа, то этот предел единствен.

 Функция f(х) называется ограниченной на данном множестве Х, если существует такое положительное число М, что |f(х)|  М при всех х Х.

 Если такое число М не существует, то функция f(х) называется неограниченной.

Пример 3. Функция у = sin х ограничена на всей числовой оси, так как hello_html_m2e372198.gif. Функция hello_html_6113b845.gif не ограничена на множестве, содержащем точку х = 0.

Лемма. Если функция f(х) имеет предел А при хhello_html_63093a56.gifа, то она ограничена в некоторой окрестности точки х = а.

Доказательство. Выберем  = 1, что возможно, так как  – любое положительное число. Имеем hello_html_658acdbb.gif 1 при x  0 (а, б), что следует из определения предела функции. Рассмотрим hello_html_m233c8331.gif. Очевидно: f(x) = f(x) – A + A   f(x) – A + A. Но для  O (а, б) имеем f(x) – A   1 и тогда f(x) < 1 +A для O(а, б), где М = 1 +A.

Замечание. Обратное утверждение неверно: ограниченная функция может не иметь предела.

Например, функция f(x) = sinhello_html_49560cd9.gif ограничена при 0 x  + , но не имеет предела при x  0.

 Теорема. Пусть существует hello_html_5a9b5a7d.gif и пусть М < f(x) < N в некоторой окрестности точки x = a. Тогда М  А  N.

 Положительная функция не может иметь отрицательного предела.

Односторонние пределы

Любой интервал (а), правым концом которого является точка а, называется левой окрестностью точки а.

 Аналогично любой интервал (a), левым концом которого является точка а, называется ее правой окрестностью.

 Символически запись hello_html_4c4ee29f.gifозначает, что х стремится к а справа, оставаясь большим а, то есть при х > аhello_html_m7955c783.gif означает, что х стремится к а слева, то естьпри х < а.

hello_html_2a4f06ae.gifбудем называть левосторонним пределом функции при hello_html_3a82559.gifслева, hello_html_12a7c217.gif-это правосторонний предел функции.

 Теорема. Функция у = f(х) имеет hello_html_15e4690d.gifhello_html_m27618eb7.gif в том и только в том случае, когда существуют и равны друг другу ее hello_html_m724c9121.gif и hello_html_6ca0dd1a.gifTогда hello_html_m1e384e1e.gif = hello_html_12982c44.gif = hello_html_m5e31fa62.gif 


Теоремы о пределах

Теорема 1. Если в точке а существуют пределы функций f(x) и g(x), то в этой точке существует и предел суммы f(x)g(x),причём hello_html_m1357a1b9.gif.

Теорема 2. Если в точке а существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует и предел произведения f(x)g(х), причем hello_html_m3e8bf042.gif.

 Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

 Действительно, hello_html_m5f4903d5.gif

 Следствие 2. hello_html_66ae242c.gif

 Теорема 3. Если в точке а существуют пределы функций f(х) и g (x) и при этом hello_html_m4f696bf4.gif, то существует и предел частного hello_html_1f919088.gif, причем hello_html_22dd1b91.gif.

 Теорема 4. Если функция f (x) имеет предел в точке а, отличный от нуля, то функция hello_html_m680af773.gif также имеет в этой точке предел, причем hello_html_m39aef048.gif.

 Докажем для примера, что hello_html_m6b85d1e7.gif.

 Пусть hello_html_1516ccd9.gifhello_html_m680c4f9b.gif.

 Так как hello_html_23ad54dc.gif, то f(x) = A + (x), где (x)  0 при x  a, а так как hello_html_m680c4f9b.gif, то g(x) = В + (x), где (x)  0 при x  a.

 Тогда f (x g(x) = A + (x)  В + (x) = (А  В) + ((x (x)), где (x (x)  0 при x  a как алгебраическая сумма бесконечно малых (xи (x).

 Таким образом, функция f (x g(x) отличается от числа А  В на бесконечно малую и, следовательно, это число является пределом суммы функций f(x) и g(x), то есть имеем hello_html_6651d8ea.gif.

 Отметим, что при вычислении пределов сформулированные выше теоремы о пределах, как правило, не "работают", а попытка их применения приводит в итоге к неопределенности того или иного вида. Например,

 hello_html_m125127f7.gifhello_html_4c86b0c2.gifhello_html_m3bbe9bba.gif,

 hello_html_3ebffc9.gifhello_html_m45936c22.gif.

 Рассмотрим на примерах основные приёмы раскрытия неопределенностей.

 Заметим, что необходимо выяснить, что именно эту неопределённость "вносит", и постараться избавиться от выражения, вносящего неопределённость.

 Пример 4. Найти hello_html_cb347a3.gif

 Решение. Числитель и знаменатель дроби hello_html_m680372ef.gif при х  2 стремятся к нулю, то есть теорема о пределе частного неприменима, так как знаменатель дроби стремится к нулю. То, что получилось при подстановке х = 2 в числитель и знаменатель неопределённое выражение hello_html_5716a7a9.gif, указывает на тот факт, что числитель и знаменатель дроби одновременно при х hello_html_63093a56.gif 2 являются бесконечно малыми. И происходит это из-за того, что х hello_html_63093a56.gif 2 (или х – 2 hello_html_63093a56.gif 0). Мы преобразуем дробь так, чтобы х – 2 из дроби исчезло. Очевидно, что hello_html_m680372ef.gif=hello_html_m2735c21.gif, а так как х лишь стремится к двум, но х  2, то дробь можно сократить на х – 2 под знаком предельного перехода.

 Имеем hello_html_3d12a0c9.gif

 Пример 5. Найти hello_html_7896458a.gif.

 Решение. Здесь х – 7  0, поэтому преобразуем выражение так, чтобы сократить его на х -7. Для этого умножим и разделим дробь на hello_html_5eca4fbf.gif. Тогда hello_html_7ef3aeca.gif и мы имеем hello_html_m2bbf636e.gif

Пример 6. Найти пределы: hello_html_m4c26cb0d.gifhello_html_m72450907.gifhello_html_m29542f9c.gif

 Решение. Так как во всех случаях неопределенность hello_html_5f940bc9.gifполучается из-за того.что х hello_html_63093a56.gif , следует раскрывать неопределенность, деля дроби на х в той или иной степени, тем самым избавляясь от выражения, вносящего неопределенность. Итак,

hello_html_2f1aa02e.gif

hello_html_36adf6bf.gif.

 Следующие пределы найдем уже не так подробно.

hello_html_m68fa7b19.gif;

hello_html_2d2d493f.gifhello_html_m27618eb7.gif





























Лекция 2. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Функция hello_html_m5e739238.gif(х) называется бесконечно малой при ха, если hello_html_4dd5ab6b.gif Ясно, что тогда (x)   для x  O (а, б) и   > 0.

 Функция f(х) называется бесконечно большой при hello_html_m6ca79074.gifеслиhello_html_394f1cb9.gif. Это равносильно тому, что каким бы ни было число М > 0, найдется такая окрестность О (а, б), что для всех x  O (а, бhello_html_m233c8331.gif M.

 Лемма. Если f(х)hello_html_63093a56.gif при хhello_html_63093a56.gifа, то hello_html_m680af773.gifhello_html_63093a56.gif0 при ха. Если  (x 0 при x a, то hello_html_m67d864cf.gif  при x  a и  (x 0.

 Действительно, пусть f(x)  , то есть является бесконечно большой. Тогда f(x)  М для x  O (а, б). hello_html_77c6339e.gif для x  O (а, б), то есть hello_html_6f25ea3d.gif для x  O (а, б), это означает, что hello_html_266a8983.gif, так как hello_html_m2d4226a8.gifможно взять в качестве  > 0. hello_html_m27618eb7.gif

Аналогично доказывается вторая часть утверждения.

 Пример 3. Функция f(x) = x2 является бесконечно малой при x0, а hello_html_m27618eb7.gifhello_html_m27618eb7.gif g (x) = hello_html_md467e03.gifбесконечно большой (при x  0).

 Рассмотрим основные теоремы о бесконечно малых.

 Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при x  а функций есть функция бесконечно малая при x  а.

 Доказательство. Для простоты ограничимся двумя функциями:

(x)  0, (x)  0 при x  a.

 Пусть   0 – произвольное число. Тогда числоhello_html_4877d34b.gifтоже произвольное положительное число. Из условий: (x) 0, (x0 при x  a следует, что для числа hello_html_4877d34b.gif существуют б-окрестности точки а O1 (а, б) и О2 (а, б) такие, что hello_html_67c7dda2.gifhello_html_4877d34b.gif для x  O1 (а, б), а (x)  hello_html_4877d34b.gif для x  O2 (а, б). В О (а, б) = О1 (а, бО2 (а, б) будут одновременно выполнены оба последних неравенства.

 Таким образом, (x(х)  (x) + (x)  hello_html_mcd15cdc.gif для x  O (а, б), что и означает, что hello_html_64ae9605.gif, то есть (x) + (x) – бесконечно малая при x  a.

 Теорема 2. Произведение конечного числа бесконечно малых при  a функций есть бесконечно малая при x  a функция.

 Теорема 3. Произведение бесконечно малой при xa функции на функцию, ограниченную при x  a, есть бесконечно малая при x  a.

 Следствие. Целая положительная степень (x)n бесконечно малой при  a функции (x) есть бесконечно малая при x  a.

 Две бесконечно малые при хhello_html_63093a56.gifа функции (х) и (х) называются бесконечно малыми одинакового порядка, еслиhello_html_47631cc6.gifk, где 0 и конечно.

 Например, функции у = х+1 и у = хз+1 при хhello_html_63093a56.gif-1 являются бесконечно малыми одинакового порядка, так как hello_html_m525b344a.gif.

 Две бесконечно малые при хhello_html_63093a56.gifа функции (х) и (х) называются эквивалентными при хhello_html_63093a56.gifа, если hello_html_3f0b6d22.gif, то есть  (x)  (x) при x  a.

 Бесконечно малая при хhello_html_63093a56.gifа функция (х) называется функцией более высокого порядка по сравнению с функцией (х) при хhello_html_63093a56.gifа, если hello_html_7f6c2e78.gif.

 В этом случае пишут (х) = о ((х)).

 Так, функция y = х3 является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с y=х при хhello_html_63093a56.gif0, так как hello_html_m57bdb8df.gif.

 Замечание. Если hello_html_23ad54dc.gif, то в силу определения предела функции получаем: f(x)-A< при x O(а, б), что означает, что f(x) – A является бесконечно малой при x a. Тогда, полагая f(x)-A=(x), имеем f(x) = A + (x), где (x)  0 при x  a.

 Таким образом, имеем:

 hello_html_m4248dea6.gif A <=> f(x) = A + (x), где (x) hello_html_63093a56.gif0 при x  a.

 Лемма. Если hello_html_761e1622.gif, то в некоторой окрестности О(а) точки знак функции f(x) (xX) совпадает со знаком числа А.















































Лекция 3. Два замечательных предела

Теорема. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, выраженной в радианах, равен единице, то есть

 hello_html_b601e58.gif.

 Этот предел называют первым замечательным пределом. С его помощью вычисляют пределы выражений, содержащих тригонометрические функции.

 Пример 1. Вычислить hello_html_m2e92f815.gif

 Решение. Преобразуем данное выражение: hello_html_m59afdc3e.gifhello_html_14c14158.gifhello_html_m5ae29248.gif

 Пример 2. Найти hello_html_6f6a5754.gif

 Решение. Для того чтобы воспользоваться первым замечательным пределом, перейдем к новой переменной hello_html_343279d7.gif которая при hello_html_m5464e0fe.gif стремится к нулю. Тогда имеем hello_html_632558b1.gifhello_html_7aba1684.gifhello_html_298401cd.gifhello_html_m176d92c1.gifhello_html_520e4040.gifhello_html_m4eea1ed1.gifhello_html_2b4f17f5.gif

 При вычислении пределов вида hello_html_43ec84f8.gif, где hello_html_m27b65d04.gif hello_html_m39f1dee6.gif используется второй замечательный предел: hello_html_m583b294e.gif или hello_html_m31dc37f4.gif или hello_html_48f06a19.gifhello_html_m2590a7a5.gif

 Пример 3. Найти hello_html_m61e82868.gif

 Решение. Полагая hello_html_4f48788e.gif, получим: hello_html_md803433.gif и hello_html_m16380f6a.gifhello_html_72de1629.gifhello_html_m35d88f03.gif

 Пример 4. Найти hello_html_m5ba9bcd9.gif

 Решение. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предельного перехода.

hello_html_7d70e1f7.gifhello_html_569fc0d9.gifhello_html_m22fc4894.gifhello_html_5de891a1.gifhello_html_29edee1.gif

 Так как hello_html_77f859fa.gif, а hello_html_m1c6994c8.gif, то hello_html_mb8bbf4c.gif.

 Замечание. Показательная функция hello_html_m5db834d2.gifc основанием hello_html_m712c0ead.gif играет большую роль в математике и ее приложениях. Логарифмы с основанием hello_html_m712c0ead.gif называют натуральными логарифмами и обозначают символом hello_html_m2e258a22.gif.

 В заключение приведем еще несколько замечательных пределов:

1)       hello_html_5de5d83.gifhello_html_m3710dd95.gifhello_html_4041e016.gif так как hello_html_m65f32aa6.gif. Окончательно,hello_html_m29dab4c1.gif;

2)       hello_html_76bb0236.gif

3)       hello_html_m1ff95d22.gif

=hello_html_47a2f1af.gif

4)       hello_html_320a02f0.gif

 Пример 5. Найти hello_html_m41a65189.gif.

 Решение. Для решения воспользуемся формулой hello_html_73dd6d34.gif.

Преобразуем:

hello_html_m41a65189.gifhello_html_m1a612589.gifhello_html_m203412be.gif




































Тема 2. Дифференциальное исчисление


Лекция 1. Понятие производной. Правила вычисления производных



 Пусть дана функция f(x). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0 и новое х. Разности х = х-х0 и  = f(x)-f(x0) = y-y0 называются соответственно приращением аргумента и приращением функции в точке х0. Очевидно, что х = х0+х, у = у0+у, у = f(x0+x)-f(x0). В дальнейшем будем считать значение х0 фиксированным, а х – переменным. При этом х и у являются переменными величинами.

Производной функции у f(x) в точке х0 называется hello_html_m222772c7.gif если этот предел существует. Производная обозначается у'(x0) или f'(x0). Таким образом, hello_html_m7597e135.gif.

Пусть Х {х}-множество всех таких х, для которых существует y'(х). Очевидно, что hello_html_5a43ead1.gif(х) является функцией, определенной на множестве Х.

Нахождение производной функции называется дифференцированием этой функции. Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая в каждой точке интервала (a, b), называется дифференцируемой на интервале (a, b).

Из курса средней школы известен геометрический смысл производной. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, тогда угловой коэффициент касательной к графику функции, проведенной в точке (х0, f(х0)) равен у'(х0).

Из курса средней школы известен также физический смысл производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону = f(t), где – время, S – путь, проходимый точкой за время t. Тогда скорость точки в момент времени t равна: = S'(t).

Теорема (о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть аргумент х получает в точке х0 приращение х  0. Ему соответствует некоторое приращение функции у. Вычислим предел:

hello_html_m27618eb7.gifhello_html_7ce4b0a3.gif

а это и означает непрерывность функции в точке х0.

Заметим, что обратная теорема неверна: существуют непрерывные функции, которые в некоторых точках не дифференцируемы. Примерами могут служить функции у = х и hello_html_m5beed3ea.gif в точке х = 0. В обоих случаях hello_html_5a43ead1.gif(0) не существует.

hello_html_m37199a5a.gif

Заметим, что график у х в точке х = 0 не имеет касательной, а график hello_html_m5beed3ea.gif в точке х=0 имеет вертикальную касательную – ось Оу.

Можно показать, что для того, чтобы функция у = f(x) была дифференцируемой в точке х0, необходимо и достаточно, чтобы ее график имел невертикальную касательную в точке (х0, f(х0)).


Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы:

1.      С' = 0, где С – константа.

2.      n) ' = nxn-1, где n – натуральное число

3.      (ax)'= axlna, где а>0, a  1. В частности, (ех)' = ех

4.      hello_html_mf6fb636.gif, где а>0, a  1. В частности, hello_html_2a257665.gif

5.      (sinx)' = cosx

6.      (cosx)' = -sinx

В курсе средней школы установлены основные правила дифференцирования.

Пусть = u(x) и = v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, uv, hello_html_m2f1c1961.gif. Последнее при условии, что v(x)  0. Причем

(u+v)= u'+v'

(uv)' = u'v+uv'

hello_html_m3bf64500.gif


Следствием последних трех соотношений являются следующие два: (сu)= cu', где с – константа, и (u-v)= u'-v'

Используя правило нахождения производной частного, легко получаются формулы: hello_html_7c803d1.gif и hello_html_m15c3341f.gif, которые выполняются для любого х, при котором существует tgи cos 0 или существует ctgx и sinx0







































Лекция 2. Производная сложной функции

Пусть = f(u) и = (x). Тогда функция = f((x)) называется сложной функцией от х.

Теорема 1. Если функция u=(x) имеет производную u'x в точке х, а функция = f(u) имеет производную у'u в соответствующей точке u, то сложная функция = f((x)) в точке х имеет производную у'xпричем у'= у'u u'x.

Доказательство. Дадим х приращение Δх. Тогда u и у получат соответственно приращения Δu и Δу. Будем считать, что Δu при Δх0 не принимает значений, равных нулю. Тогда hello_html_m6fe3b3c4.gif. Так как функция = (x) дифференцируема, а следовательно, непрерывна, то Δu0 при Δх0. Поэтому hello_html_ma9f7838.gif. Тогда hello_html_51b88f37.gif. Это означает, что у'= у'u u'x.

Заметим, что теорема верна и в случае, когда при Δх0 Δu принимает значения, равные нулю.

Примеры. Найти производную функции.

1.      у = lnarctgx

 hello_html_m38917e2a.gif.

2. y = cos3(x2)

y' = 3cos2(x2)(-sin(x2))2x = -6xsin(x2)cos2(x2)

3. hello_html_291ac1b2.gif

hello_html_35b7c0d6.gif.

Таблица формул дифференцирования

В таблице приняты обозначения: с, n – любые действительные числа; а – любое положительное действительное число, кроме единицы. u= u(x) – функция, дифференцируемая в точке х, = f (u) – функция, дифференцируемая в соответствующей точке u. Таблица составлена на основании формул дифференцирования основных элементарных функций и теоремы о производной сложной функции.

 

1.(с)' = 0

 

 

8. hello_html_m5014c01e.gif,

2. (un)= nun-1u'

 

 

9. hello_html_m4cf8004a.gif

3(au) = aulnau'

10. hello_html_m5941ee26.gif

 

3а. (eu= euu'

 

 

11. hello_html_283de54b.gif

4. hello_html_531fcbb4.gif

 

hello_html_m186f90d3.gif

 

4аhello_html_699de85c.gif

13. (chu)= shuu'

5(sinu)' = cosuu'

14. hello_html_m206fb6bb.gif

6.(cosu)= -sinu'

15. hello_html_m2d9435a5.gif

7. hello_html_4ed6bf0c.gif 

16. hello_html_7e89384d.gif




Лекция 3. Касательная. Вторая производная и производные высших порядков

Предположим, что функция = f(x) дифференцируема в некотором интервале (а, в). Тогда ее производная f'(x) в этом интервале является функцией х. Пусть эта функция также имеет производную в (а, в). Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции f(x)и обозначается y'' или f''(x).

Таким образом, f''(x) = (f'(x)) '. При этом f'(x) называется первой производной или производной первого порядка функции f(x).

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и так далее порядков. Вообще, производной n –го порядка функции = f(x) в точке х называется первая производная производной (n-1)-го порядка функции f(x) при условии, что в точке х существуют все производные от первого до n –го порядков. Обозначение: y(n) или f(n)(x). Таким образом, f(n)(x) = ( f(n-1)(x)) '.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

 

Примеры.

1.                 Найти у''' для функции y = cos2x.

y' = 2cosx(-sinx) = -sin2x

y'' = -2cos2x

y''' = 4sin2x

2.                 Найти y(n) для функции y = e3x, y' = 3e3x, y'' = 32e3x, y''' = 33e3x,…, y(n) = 3ne3x

Механический смысл второй производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону = f(t), где t-время, f(t) – путь, пройденный за время t. Из физики известно, что при этом ускорение точки в момент времени t равно производной скорости по t. Таким образом, ускорение w(t) = v'(t) = S''(t) равно второй производной пути по времени.




































Лекция 4. Применение производных к исследованию функций


п. 1. Интервалы монотонности. Экстремумы

Функция у = f (х) называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке, если для любых значений x2>x1 этого промежутка выполняется условие f(x2) > f(x1)(f (x2) < f (x1)).

Функция у = f(х) имеет максимум (минимум) в точке x0, если существует такая окрестность точки x0, что для всех x, принадлежащих этой окрестности, выполняется условие f(х) < f(х0)      (f (х) > f(х0), х¹ х0.

Максимумы и минимумы функции называются ее экстремумами.

Интервал, на котором функция возрастает или убывает, называется интервалом монотонности функции.

Теорема 1. (необходимое условие монотонности функции). Если дифференцируемая в интервале (а, b) функция у = f (х) возрастает (убывает) на этом интервале, то ее производная в каждой точке (а, b) hello_html_m6c7abfc0.gifhello_html_7a4fa202.gif.

Доказательство. Пусть у = f (х) – дифференцируема и возрастает на (а, b). Пусть точки х и х+hello_html_m120caa96.gifх принадлежат (а, b). Если hello_html_m5b68335a.gif>0, то f(x+hello_html_m5b68335a.gif) > f(x); если hello_html_m5b68335a.gif<0, то f (x+ hello_html_m5b68335a.gif) < f(x). В обоих случаях hello_html_m74f43a12.gif> 0. Переходя к пределу в последнем неравенстве при hello_html_m5b68335a.gifhello_html_10d3dad.gif0 и учитывая, что функция дифференцируема, получаем hello_html_4a15c6a8.gifhello_html_248d8281.gif.

Аналогично доказывается теорема в случае убывающей функции. Рекомендуем сделать это самостоятельно.

Теорема 2. (достаточное условие монотонности функции). Если непрерывная на отрезке [а, b] функция у = f(х) в каждой точке интервала (а, b) имеет положительную (отрицательную) производную, то эта функция возрастает (убывает) на отрезке [а, b].

Доказательство. Пусть hello_html_m76274084.gif>0 для всех хΠ(а,b). Рассмотрим два произвольных значения x2 > x1, принадлежащих [а, b]. По формуле Лагранжа hello_html_43f946df.gif х1<с < х2.hello_html_5f972a03.gif(с) > 0 и х2 – х1 > 0, поэтому hello_html_m276c9f07.gif>0, откуда hello_html_m7dc39385.gif>hello_html_3304c598.gif, то есть функция f(х) возрастает на отрезке [а, b]. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 3. (необходимый признак существования экстремума функции). Если дифференцируемая в точке c функция у = f(х) имеет в этой точке экстремум, то hello_html_m522cc7ce.gif.

Доказательство. Пусть, например, функция у = f(х) имеет в точке c максимум. Это означает, что существует такая проколотая окрестность точки c, что для всех точек x этой окрестности выполняется f(x) < f(c), то есть f (c) – наибольшее значение функции в этой окрестности. Тогда по теореме Ферма hello_html_m522cc7ce.gif.

Аналогично доказывается случай минимума в точке c.

Замечание. Функция может иметь экстремум в точке, в которой ее производная не существует. Например, функция hello_html_m40bd9a14.gif имеет минимум в точке x = 0, хотя hello_html_m59afbf97.gifне существует. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции. Однако не во всех критических точках функция имеет экстремум. Например, функция у = x3 не имеет экстремумов, хотя ее производная hello_html_17ac1e8c.gif= 0.

Теорема 4. (достаточный признак существования экстремума). Если непрерывная функция у = f(x) имеет производную hello_html_m76274084.gifво всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку С (за исключением, может быть, самой этой точки), и если производная hello_html_m76274084.gif при переходе аргумента слева направо через критическую точку С меняет знак с плюса на минус, то функция в точке С имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.

Доказательство. Пусть c – критическая точка и пусть, например, при переходе аргумента через точку c hello_html_m76274084.gif меняет знак с плюса на минус. Это означает, что на некотором интервале (c–e; c) функция возрастает, а на интервале (c; c+e) – убывает (при e >0). Следовательно, в точкеhello_html_m27618eb7.gif сфункция имеет максимум. Аналогично доказывается случай минимума.

Замечание. Если производная hello_html_m76274084.gif не меняет знака при переходе аргумента через критическую точку, то функция в этой точке не имеет экстремума.


п.2. Выпуклость и вогнутость графика функции



Точки перегиба

График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым (вогнутым) в интервале (а,b), если он расположен ниже (выше) любой своей касательной на этом интервале.

hello_html_51d53975.gif

Точка графика непрерывной функции, отделяющая ее выпуклую часть отвогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема 5. (достаточный признак выпуклости и вогнутости). Пусть функция у = f(x) имеет вторую производную hello_html_69ecc331.gif(x) во всех точках интервала (а, b). Если во всех точках этого интервала hello_html_m47efd7e4.gif< 0, то график в (а, b) выпуклый; если же hello_html_m47efd7e4.gif> 0 – вогнутый.

Доказательство. Допустим для определенности, чтоhello_html_m47efd7e4.gif< 0 и докажем, что график выпуклый. Возьмем на графике функции произвольную точку М0 с абсциссой х0 (а, b) и проведем через точку М0 касательную. Для доказательства теоремы нужно показать, что для одной и той же абсциссы xордината кривой меньше ординаты касательной. Это будет означать, что график функции находится ниже касательной. Уравнение касательной в точке М0 имеет вид У – f (х0) = f (х0).(х-х0). Здесь через У обозначена ордината касательной, соответствующая абсциссе x.

hello_html_26adca36.gif

Разность ординат графика и касательной при одной и той же абсциссе x равна

hello_html_m31f3e1a2.gifили

hello_html_5728cabc.gif

Применяя к разности f(х) -f(х0) формулу Лагранжа, получаем

hello_html_1eaf4237.gif где c заключено между х и х0.

К разности hello_html_m6f54dc1c.gifтоже применим формулу Лагранжа, получим

hello_html_m69a564e9.gif, где c1 заключено между х0 и c, а, следовательно, между х0 и х. По условию hello_html_69ecc331.gif(x)< 0 в интервале (а; b),значит hello_html_69ecc331.gif(c1)< 0. Разности х- х0 и c – х0 одного знака, так как c заключено между х0 и х, значит (х- х0)(c – х0)> 0.

Поэтому у – У < 0 или у <У. Мы доказали, что для любой точки x интервала (а, b) ордината касательной больше ординаты графика, то есть график выпуклый. Аналогично доказывается, что при hello_html_m47efd7e4.gif> 0 график вогнутый.

Теорема 6. (достаточный признак существования точки перегиба). Если вторая производная hello_html_m47efd7e4.gif непрерывной функции меняет знак при переходе аргумента через точку х0, то точка (х0; f(х0)) является точкой перегиба графика функции.

Доказательство. Пусть, например, hello_html_69ecc331.gif(х)< 0 в интервале (х0-; х0) и hello_html_m3a0b511a.gif> 0 в интервале (х0; х0+), где  – положительное число. В этом случае график функции в интервале (х0–ε; х0) выпуклый, а в интервале (х0; х0) – вогнутый. Следовательно, точка (х0; f(х0)) по определению является точкой перегиба.

Теорема 7. (необходимое условие существования точки перегиба). Пусть функция y = f(x) имеет в интервале (a, b) непрерывную вторую производную f''(x) и пусть точка х0hello_html_1aead140.gif(a, b) является абсциссой точки перегиба графика данной функции. Тогда f''(x0) = 0.

Доказательство. Предположим противное: f''(x0)hello_html_m2eaca989.gif0, например, для определенности f''(x0)>0. Тогда в силу непрерывности f''(x0)>0 в некоторой окрестности точки х0. Следовательно, в этой окрестности график вогнутый, но это противоречит тому, что х0 – абсцисса точки перегиба. Противоречие доказывает теорему.

Замечание. Могут встретиться случаи, когда в точке х0 вторая производная непрерывной функции не существует, однако точка является абсциссой точки перегиба. Например, для функции у = hello_html_m7699b72f.gif у'' = 10/(9hello_html_3ac9d4ba.gif) у''(0) не существует. Очевидно, что у''<0 при хhello_html_1aead140.gif(-∞;0) и у''>0 при хhello_html_1aead140.gif(0;+∞), то есть точка (0; 0) является точкой перегиба.

Точки, в которых вторая производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками функции второго порядка. Как мы отметили, не все такие точки являются абсциссами точек перегиба.




























Лекция 4. Исследование функций

Исследование функции удобно проводить по следующему плану.

1. Область определения функции.

2. Точки пересечения графика функции с осями координат.

3. Четность, нечетность функции.

4. Исследование функции на непрерывность. Вертикальные асимптоты.

5. Невертикальные асимптоты.

6. Интервалы монотонности. Экстремумы.

7. Интервалы выпуклости, вогнутости. Точки перегиба.

8. Дополнительные точки, hello_html_77d113c5.gif(по мере необходимости).

9. Построение графика.

Подчеркнем, что пункт 8 не является необходимым.его выполняют, если необходимо уточнить график.

 

Пример 1. Исследовать функцию hello_html_37a64980.gifи построить ее график.

1. Область определения (hello_html_m701b56a3.gif).

2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0, тогда hello_html_m5b639c8d.gif и hello_html_me9de8ad.gif. Итак, (0;0) иhello_html_m661f7d3d.gif – точки пересечение графика с осями координат.

3. у() = hello_html_m69040a07.gif – функция не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция непрерывна во всей области определения. Вертикальных асимптот нет.

5. Невертикальные асимптоты

Найдем k и b, если они существуют. hello_html_21585879.gif hello_html_79bbad71.gifпоэтому при hello_html_m5b1905d6.gifневертикальной асимптоты не существует. Аналогично можно показать, что и при hello_html_m5ed7eba2.gifневертикальных асимптот не существует.

6. Вычислим hello_html_6fd60095.gif Найдем критические точки: hello_html_7da9d950.gif hello_html_m5b066517.gifhello_html_53525b2e.gifх = 1 – критическая точка. Кроме того, y' не существует при х = 0 – тоже критическая точка. Нанесем критические точки на числовую прямую и определим знаки производной в образовавшихся интервалах.

hello_html_42065850.gif

Таким образом, на интервалах (-hello_html_3ea74963.gifи (1;+hello_html_m5a7fe39a.gif функция возрастает, на интервале (0;1) убывает.

уmax = f(0) = 0, ymin = f(1)= -1.

7. Вычислим

hello_html_m6df96e6c.gif

у'' не обращается в нуль ни при каком значении х и у'' не существует при х=0. х=0 – критическая точка второго порядка. Нанесем критическую точку на числовую прямую и определим знаки второй производной в образовавшихся интервалах.

hello_html_m3a83d541.gif

Таким образом, на интервалах (hello_html_m44614eb1.gif и hello_html_782706f7.gif график функции вогнутый, точек перегиба нет.

8. Заметим, что hello_html_73d8bd02.gif, то есть в точке (0;0) график имеет вертикальную касательную.

hello_html_7a57d74f.gif

Пример 2. Исследовать функцию = x-2arctg x и построить ее график.

1. Область определения (hello_html_m158e1699.gif.

2. Пусть х = 0, тогда у = 0-2arctg 0.

Пусть y = 0, тогда х-2arctg x = 0; х = 2arctg x – решить такое уравнение точнo не удается.

Найдена точка (0;0) пересечения с осями координат.

3. hello_html_m64c113c.gif функция нечетная.

4. Функция непрерывна во всей области определения. Вертикальных асимптот нет.

5. Невертикальные асимптоты.

= kx+b

hello_html_4828fb28.gif

hello_html_m5970f9c3.gif

hello_html_m69b4025c.gif – асимптота при hello_html_m5b1905d6.gif.

Выясним, есть ли асимптоты при hello_html_m5ed7eba2.gif

hello_html_4831bb30.gif.

hello_html_237eb307.gif

hello_html_m6e22b89a.gif – асимптота при hello_html_m1aa1d687.gif

6. y'hello_html_m553ad744.gif

hello_html_157b5849.gif и х = 1 – критические точки. Нанесем критические точки на числовую прямую и определим знаки производной в образовавшихся интервалах.

hello_html_m116a4e4.gif

На интервалах hello_html_2ffe856d.gif функция возрастает, на интервале

(-1;1)– убывает.

hello_html_3d6769cb.gif

hello_html_2f000788.gif

7. hello_html_73d371b5.gif y'' = 0; 4х = 0; х = 0 – критическая точка второго порядка. Нанесем ее на числовую прямую и определим знаки второй производной в образовавшихся интервалах.

hello_html_3305377b.gif

На интервале (hello_html_m44614eb1.gif график выпуклый, на интервале hello_html_12fe4233.gif – вогнутый.

х = 0 – абсцисса точки перегиба.

8. hello_html_614d0298.gif.

hello_html_m231dac2b.gif

Пример 3. Исследовать функцию hello_html_m7ae5a80c.gif и построить ее график.

1. Область определения hello_html_2941e20d.gif так как при hello_html_m39611561.gif и х=2 в знаменателе получается нуль.

2. Пусть х=0, тогда у=0.

Пусть у=0, тогда hello_html_m6ebfc428.gif

(0;0) – точка пересечения графика с осями координат.

3. hello_html_78ef828b.gif=hello_html_2504f149.gif – функция нечетная.

4. Функция имеет разрывы в точках х = -2 и х = 2, так как значения f(-2) и f(2) не определены. hello_html_63eb8645.gif hello_html_16400bd9.gifhello_html_m4bb6082e.gif hello_html_22f3a98d.gif Это означает, что в точках hello_html_m39611561.gif и х = 2 функция имеет разрывы II рода и прямые hello_html_m39611561.gif и х = 2 являются вертикальными асимптотами.

5. Найдем невертикальные асимптоты.

hello_html_mb7fd769.gif hello_html_m40e0bef7.gif следовательно, прямая у=0 является горизонтальной асимптотой при hello_html_m5b1905d6.gif и hello_html_m5ed7eba2.gif.

6.        Вычислим hello_html_3bc9aee.gif при всех значениях х, принадлежащих области определения функции. Точки hello_html_m39611561.gif и х = 2 – критические, так как в них производная не существует.

hello_html_30632e8a.gif

На интервалах hello_html_7ae38281.gif функция убывает. Экстремумов нет.

7.      Вычислим hello_html_34778d1e.gifhello_html_m27618eb7.gifhello_html_mb81cd1.gif

y'' = 0hello_html_m70088f45.gifhello_html_m69096dda.gif

х = 0hello_html_22637.gif х = 2 – критические точки второго порядка.

hello_html_12c3e4fa.gif

На интервалах hello_html_m598e6a89.gif и (0;2) график функции выпуклый, а на интервалах (-2;0) и hello_html_7f1e9200.gif – вогнутый; х = 0 – абсцисса точки перегиба.

 

hello_html_21963874.gif














































Тема 3. Интегральное исчисление


Лекция 1. Первообразнаяи интеграл. Основные методы интегрирования

Основная задача дифференциального исчисления состоит в нахождении дифференциала данной функции или ее производной. Многочисленные вопросы науки и техники приводят к постановке обратной задачи: для данной функции hello_html_mb01e1e2.gif найти такую функцию hello_html_30857d11.gif, производная которой равнялась бы hello_html_mb01e1e2.gif.

Функция hello_html_30857d11.gif называется первообрàзной для функции hello_html_mb01e1e2.gif на данном промежутке, если для всех x из этого промежутка hello_html_m43f51fa6.gif или, что то же самое, hello_html_4d212112.gif

Естественно, возникает вопрос: для всякой ли функции существует первообразная? Ответ на него для достаточно широкого класса функций дает следующая теорема.

Любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную.

Очевидно, первообразная для данной функции определяется не однозначно. Так, для функции hello_html_535f3269.gif первообразной является не только hello_html_4a88cb0d.gif но и hello_html_m37947097.gif и hello_html_37545104.gif, и вообще hello_html_m140fea1b.gif

ТеоремаЕсли функция hello_html_30857d11.gif является первообразной для функции hello_html_mb01e1e2.gif на отрезке hello_html_7893c4b0.gif то всякая другая первообразная для hello_html_mb01e1e2.gif отличается от hello_html_30857d11.gif на постоянное слагаемое, то есть может быть представлена в виде hello_html_m3d2ed418.gif где C–постоянная.

Доказательство. По определению первообразной hello_html_m52aac6c.gif тогда hello_html_mc38e1ca.gif, то есть при любом C=const функция hello_html_m295e0cd1.gif также является первообразной для hello_html_mb01e1e2.gif. Покажем, что первообразных другого вида нет. Если hello_html_m42e77776.gif–любая другая первообразная функции hello_html_m4e761fa5.gif то hello_html_m5bcf459c.gif тогда hello_html_34529cfb.gif для любого hello_html_m1f2e6720.gif а это значит, что hello_html_m79ea52e1.gif то есть hello_html_m5f0aa8b9.gif

Из теоремы следует, что выражение hello_html_m69c921b5.gif где hello_html_30857d11.gif–некоторая первообразная функции hello_html_m4e761fa5.gif а C–произвольная постоянная, охватывает совокупность всех первообразных функции hello_html_mb01e1e2.gif.

Если hello_html_30857d11.gif–одна из первообразных функции hello_html_m4e761fa5.gif то выражение hello_html_m69c921b5.gif где C–произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции hello_html_mb01e1e2.gif обозначается hello_html_m6fcc5ebf.gif

Таким образом, hello_html_m20a32860.gif

hello_html_mb01e1e2.gif называется подынтегральной функциейhello_html_18257487.gif– подынтегральным выражениемx–переменной интегрирования, символ hello_html_m1ab2a076.gif–знаком неопределенного интеграла.

Процесс нахождения неопределенного интеграла называется интегрированием функции.

Геометрически неопределенный интеграл hello_html_24c69a5c.gif представляет собой семейство «параллельных» кривых.

 

Свойства неопределенного интеграла

1.hello_html_27b5a454.gifhello_html_3734599c.gif–производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, а его дифференциал–подынтегральному выражению.

Доказательство. Из определения первообразной:

hello_html_m72eb5311.gif

2.hello_html_e1b6ba3.gif– неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого.

Доказательство. Из определения первообразной следует, что функция hello_html_69b84c37.gif является первообразной для функции hello_html_32e4ebce.gif следовательно, hello_html_m4c87d7ad.gifявляется неопределенным интегралом от hello_html_7b9ab6fb.gif.

Например, hello_html_1d5078ff.gif

3.hello_html_5c7bbddc.gif–неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций.

Доказательство. Достаточно показать, что совпадают производные левой и правой частей равенства.

hello_html_m1de2a15b.gifпо свойству 1;

hello_html_m125dc980.gif.hello_html_m27618eb7.gif

4.hello_html_777e4983.gif, где k=const–постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла.

Доказывается аналогично свойству 3.

Из свойств 1 и 2 следует, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными действиями.

Таблица основных неопределенных интегралов

1.

hello_html_466d1bcb.gif

11.

hello_html_b9c3851.gif

2.

hello_html_m47458f2d.gif

12.

hello_html_m1efa5e4f.gif

3.

hello_html_m346c68e4.gif

13.

hello_html_m73928601.gif

4.

hello_html_511f26ce.gif

14.

hello_html_m19fc7347.gif

5.

hello_html_4b8ee58e.gif

15.

hello_html_369cd4a0.gif

6.

hello_html_bad560c.gif

16.

hello_html_1b64e636.gif

7.

hello_html_7f8b28d7.gif

17.

hello_html_1bec2bc.gif

8.

hello_html_m54bef052.gif

18.

hello_html_36676ba8.gif

9.

hello_html_m190662d5.gif

19.

hello_html_53bd0635.gif

10.

hello_html_45febbd1.gif

20.

hello_html_m5bc10329.gif

 

Справедливость этих формул проверяется непосредственно: дифференцированием убеждаемся, что правые части равенств являются первообразными для соответствующих подынтегральных функций.

Например, для формулы 3: при x>0 hello_html_m2ca39ac6.gif и

hello_html_4618ee10.gif

при x<0 hello_html_7a1d309c.gif и hello_html_m251bebb7.gif.








Основные методы интегрирования

1.Метод разложения, или непосредственное интегрирование–основан на применении свойств 3, 4 неопределенного интеграла.

Пример 1.

hello_html_m5cb7188b.gif

Пример 2.

hello_html_m7886a9c6.gif

2.Метод замены переменной–основан на использовании формулы

(1)

где z–новая переменная, связанная с x соотношением hello_html_m70dc55d8.gifhello_html_m288bac38.gifнепрерывная монотонная функция, имеющая непрерывную производную. Справедливость этой формулы следует из того, что равны дифференциалы ее левой и правой частей (проверьте).

Пример.

hello_html_m236a7bd3.gif=[пустьhello_html_6248d117.gif, тогда hello_html_m2ce0a6fb.gifhello_html_247e4ce9.gif]=

=hello_html_m3187bf6a.gif=hello_html_m6d0d139f.gif.

На основании свойств дифференциала можно записать:

hello_html_6bd8d639.gif, где kc–константы.

Покажем на примерах применение этого соотношения.

Пример 1.

hello_html_50b0eaaa.gif

Пример 2.

hello_html_6c061487.gif

Пример 3.

hello_html_17cd510d.gif

Пример 4.

hello_html_m6b861289.gif

Переобозначив переменные, формулу (1) можно записать в виде

(2)

где hello_html_29f0799b.gifновая переменная.

Заметим, что hello_html_m54c9bee8.gif. Это преобразование называется подведением под знак дифференциала. В частности,

hello_html_m6c9f509c.gif

hello_html_3bb4686a.gif

hello_html_7599e394.gif

hello_html_m14c1560b.gif

hello_html_23d42d4.gif

hello_html_m7841048d.gif

hello_html_45c71046.gif

hello_html_m35ece11b.gif

hello_html_5d69672b.gif

Пример 1.

hello_html_230d50ae.gif

Пример 2.

hello_html_m20978005.gif

 

 

 

Пример 3.

hello_html_51fae341.gif

Пример 4.

hello_html_m24b4845b.gif

3.Метод интегрирования по частям.

Если hello_html_3dc85ed0.gif и hello_html_658defc4.gif–функции, имеющие непрерывные производные, то hello_html_18e2d0e3.gif, тогда hello_html_m34677241.gif; проинтегрировав это равенство и учитывая свойство 2 неопределенного интеграла, получим формулу интегрирования по частям:

hello_html_4541a9b8.gif

Иногда эту формулу приходится применять последовательно несколько раз.

Отметим три типа интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям.

hello_html_1db2faf2.gif где hello_html_m5d398f0c.gif–многочлен, hello_html_d7743f1.gif В этих интегралах полагают hello_html_m52aff187.gif.

hello_html_2d0a3768.gif 

hello_html_m7e42fac1.gif где hello_html_m5d398f0c.gif–многочлен. В этих интегралах за u принимают функцию, являющуюся множителем при hello_html_m5d398f0c.gif.

hello_html_m58f577e2.gif где mn–числа. Эти интегралы вычисляются двукратным интегрированием по частям.

Пример 1

hello_html_m581f8bbd.gif

 

 

 

 

Пример 2.

hello_html_mce938e5.gif

Пример 3.

hello_html_4fdf73cf.gif

Таким образом, получили: hello_html_265c4704.gif перенесем последнее слагаемое в левую часть:

hello_html_mb7fee1.gif






































Лекция 2. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение вида hello_html_35cbffec.gif, где hello_html_573b454b.gif,hello_html_m77c87f2f.gif–многочлены степеней n и m соответственно.

Если hello_html_4d91cd13.gif, рациональная дробь называется правильной, в противном случае hello_html_4b9b4954.gifнеправильной.

Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель.

Например, hello_html_m18749549.gif–неправильная рациональная дробь. Выполним деление:

 


hello_html_4af2776c.gif

hello_html_7bebcb84.gif

 

hello_html_m4fbb934e.gif

hello_html_7d8660ac.gif

 


hello_html_1a30e6c5.gif

 

 

hello_html_m7d89c74.gif

 

 


hello_html_m430af9a8.gif

 

 


hello_html_m34d62d4.gif

 

 

hello_html_m2bcc7c7e.gif

остаток

Таким образом, неправильную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции (многочлена) и правильной дроби:

hello_html_15206f48.gif.

Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов:

hello_html_m28596054.gif

hello_html_6cb07154.gif

hello_html_m6d9f9eb3.gif,

где A, B, Ca, p, qчислаhello_html_74ac5aee.gif

Покажем на примерах, как интегрируются дроби каждого типа.

Дробь 1–го типа:hello_html_m57befa34.gif

Дробь 2–го типа:

hello_html_m2a6afc23.gif

Дробь 3–го типа:hello_html_m5e453346.gif=[выделим в знаменателе полный квадрат и введем новую переменную:hello_html_3d9b44cf.gifhello_html_3b0a8c45.gif hello_html_m584f84c6.gif hello_html_2ebb91ea.gifhello_html_m28c0db1c.gif]=hello_html_m3d2230bd.gif=[разобьем интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых вычислим подведением под знак дифференциала, второй–табличный]= hello_html_3f407446.gifhello_html_674aa803.gif

Дроби 4–го типа интегрируются с помощью специальной рекуррентной формулы, которую мы рассматривать не будем.

Если правильная дробь не является простейшей, ее представляют в виде суммы простейших дробей.(См Гл.I, §2, 30)

Пример. hello_html_md04eccb.gif.

Подынтегральная функция–правильная рациональная дробь. Представим ее в виде суммы простейших дробей, учитывая, что hello_html_mdaeec9.gif

hello_html_5308603e.gif

приведем к общему знаменателю сумму дробей, стоящих в правой части:

hello_html_34ed7bb5.gif

приравняем числители дробей:

hello_html_6bfcf1a3.gif 

при hello_html_6453690e.gif получим:hello_html_6e89cfc1.gif

при hello_html_3e84db0c.gif получим: hello_html_m7815e4b2.gif

приравняем коэффициенты при hello_html_m6bbbcf5d.gif

hello_html_m6dc20f56.gif

приравняем свободные члены:

hello_html_6428dd36.gif

Тогда hello_html_9572027.gif

Вычислим последний интеграл, введя новую переменную: hello_html_9b1b7e3.gif hello_html_m1556002c.gif hello_html_m56b592ff.gif

hello_html_69de62e7.gif 

Следовательно,hello_html_292e487b.gif












Лекция 3. Определенный интеграл


  1. Задача о площади криволинейной трапеции

Пусть hello_html_6d4aef.gif – непрерывная положительная функция, заданная на отрезке hello_html_bef853c.gif. Фигура, ограниченная кривой hello_html_ma92e761.gif прямыми x=a и x=b и осью ОХ, называется криволинейной трапецией (рис.1).

Поставим перед собой задачу вычислить площадь криволинейной трапеции. Для этого разобьем отрезок hello_html_bef853c.gif произвольным образом на n частей. Абсциссы точек деления обозначим hello_html_2c8e87bd.gif. Получим n малых отрезков hello_html_m2d0a4fc4.gif Обозначим их длины соответственно hello_html_75c75455.gif hello_html_m4672ee28.gifhello_html_4e336311.gif

Проведя через точки деления прямые, параллельные оси OY, мы разобьем криволинейную трапецию на n малых криволинейных трапеций. Площадь всей криволинейной трапеции S равна сумме площадей всех малых криволинейных трапеций (рис.2):

hello_html_m27f45137.gif или hello_html_m73fc0924.gifhello_html_m45eb5fd0.gif

Но вычислить площади малых криволинейных трапеций не проще, чем площадь большой. Поэтому поступим следующим образом. В каждом из отрезков hello_html_m4d479897.gif выберем произвольную точку hello_html_35e32370.gif и каждую малую криволинейную трапецию заменим прямоугольником с тем же основанием hello_html_m4d479897.gif и высотой, равной hello_html_7bc3cd88.gif. Получим hello_html_3b8e8d6.gif – площадь каждой малой криволинейной трапеции приближенно равна площади прямоугольника, а площадь всей криволинейной трапеции приближенно равна площади получившейся ступенчатой фигуры: hello_html_m5855178c.gif

Очевидно, чем меньше длины отрезков hello_html_m3932aab1.gif, тем меньше погрешность этого приближенного равенства, поэтому естественно за точное значение площади криволинейной трапеции принять предел площадей ступенчатых фигур при условии, что наибольшая из длин отрезков разбиения стремится к нулю (следовательно, число отрезков разбиения n стремится к бесконечности):

(1)


  1. Определение определенного интеграла

К нахождению предела сумм, аналогичных сумме (1), приводит целый ряд задач естествознания. Поэтому вполне естественно изучить этот процесс независимо от конкретного содержания задачи.

Пусть на отрезке hello_html_bef853c.gif задана функция hello_html_6d4aef.gif. Выполним следующие действия.

1.С помощью точек деления hello_html_7f0d5d2a.gif разобьем отрезок hello_html_bef853c.gif на n “малых” отрезков hello_html_2c448998.gif где hello_html_1ffcc32a.gif.

2.В каждом из малых отрезков hello_html_3a368f10.gif hello_html_m16f2a95a.gif выберем произвольную точку hello_html_52069620.gif hello_html_m52522ddc.gif и умножим значение функции hello_html_mb01e1e2.gif в точке hello_html_m49a71ede.gif на длину hello_html_b70d6bb.gif соответствующего отрезка: hello_html_2e24a3a6.gif

3.Составим сумму hello_html_m5057a291.gif всех таких произведений: hello_html_5bbdb97f.gif или

(2)

Сумма вида (2) называется интегральной суммой для функции hello_html_mb01e1e2.gif на отрезке hello_html_bef853c.gif.

4.Наибольшую из длин малых отрезков обозначим λ hello_html_6d5e6e04.gif и назовем ее шагом разбиения. Пусть число отрезков разбиения неограниченно растет hello_html_mbe0f403.gif и hello_html_m17ce16b4.gif. Если при этом интегральная сумма hello_html_7bf016f2.gif имеет конечный предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка hello_html_bef853c.gif на малые отрезки, ни от выбора точек hello_html_m18264c28.gif в каждом из них, то этот предел называется определенным интегралом от функции hello_html_mb01e1e2.gif на отрезке hello_html_bef853c.gif и обозначается hello_html_69d00f1.gif

Таким образом, hello_html_m3978afaa.gif

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрированияhello_html_mb01e1e2.gif – подынтегральной функцией– переменной интегрированияhello_html_bef853c.gif – отрезком интегрирования (или областью интегрирования).

Функцияhello_html_m4e761fa5.gif для которой на отрезке hello_html_bef853c.gif существует определен-ный интеграл hello_html_mca56864.gif называется интегрируемой на этом отрезке.

Имеет место теорема существования определенного интеграла.

Всякая непрерывная на отрезке hello_html_m7241cbb2.gif функция интегрируема на этом отрезке.

Возвращаясь к §1, отметим факт, выражающий геометрический смысл определенного интеграла: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой hello_html_m301486e.gif прямыми hello_html_7e62c7a.gif и hello_html_31b56a9b.gif и осью OX.                               hello_html_m1dc16d3c.gif

Замечания.

1.Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования: hello_html_m5629ab02.gif и т.д.

2.Будем полагать по определению: hello_html_m1d3405b.gif 

3.При введении понятия определенного интеграла мы полагали hello_html_m1eb3f8fc.gif. В случае hello_html_7b48cd6d.gif примем по определению: hello_html_213ff464.gif

  1. Свойства определенного интеграла

1.hello_html_m4f61375a.gifhello_html_397893a1.gif

2.hello_html_4d1a475c.gif

где k=const.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Если отрезок интегрирования hello_html_bef853c.gif разбит на две части hello_html_m41ebda51.gif и hello_html_7af6125.gif то hello_html_7e5de253.gif – свойство аддитивности.

 

Геометрически это значит, что площадь криволинейной трапеции с основанием hello_html_bef853c.gif равна сумме площадей криволинейных трапеций с основаниями hello_html_m41ebda51.gif и hello_html_5b1f8df1.gif (рис.3).hello_html_5b8fa135.gif

4.Если на отрезке hello_html_bef853c.gif hello_html_3cb6cda.gif то hello_html_1d47b6d.gif 

5.Если на отрезке hello_html_bef853c.gif hello_html_692fac55.gif то

hello_html_703b9afe.gif

Геометрически это значит, что криволинейная трапеция, ограниченная кривой hello_html_m7956f757.gif имеет большую площадь, чем криволинейная трапеция, ограниченная кривой hello_html_109e817b.gif (рис.4).

6.Теорема о среднем значении.

Если hello_html_mb01e1e2.gif непрерывна на hello_html_m343a0fcc.gif то существует такая точкаhello_html_m1c697751.gif что

(3)

Геометрически: криволинейная трапеция равновелика прямоугольнику с тем же основанием hello_html_bef853c.gif и высотой, равной hello_html_m19d605ee.gif (рис.5).hello_html_m6dac7a22.gif

hello_html_m477fba1e.gifЗначение функции в точке ξ, определяемое равенством (3), называется средним значением функции hello_html_6d4aef.gif на отрезке hello_html_bef853c.gifhello_html_m21fa1b9c.gif.

 

  1. Формула Ньютона–Лейбница

Теорема. Если hello_html_30857d11.gif – какая–либо первообразная для непрерывной функции hello_html_mb01e1e2.gif, тоhello_html_21ab42e0.gif

Доказательство. Пусть hello_html_30857d11.gif–некоторая первообразная функции hello_html_mb01e1e2.gif. Но hello_html_m373de616.gif – также первообразная дляhello_html_mb01e1e2.gif, а любые две первообразные данной функции отличаются на постоянную, то есть можно записать:

(4)

Это равенство справедливо для любых hello_html_m62e1e579.gif. Положим hello_html_7e62c7a.gifhello_html_md3ae561.gif Но hello_html_m2fd4f143.gif, поэтому hello_html_m2b3f8c3a.gif,hello_html_50fb2d20.gif. Полагая в (4) x=b и подставляя значение C, получим hello_html_7613dd82.gif Переобозначив переменную интегрирования hello_html_m62e1e579.gif, получим формулу Ньютона – Лейбницаhello_html_23a9b983.gif

При вычислении определенных интегралов будем записывать:

hello_html_7bd4d6f3.gif

Пример1.hello_html_m7b301eed.gif (геометрически это площадь фигуры, ограниченной одной полуволной синусоиды и отрезком hello_html_m5806be20.gif оси Ox).

Пример2. hello_html_5da4994d.gif

  1. Замена переменной в определенном интеграле

Теорема. Пусть дан интеграл hello_html_m25d014ff.gif, где hello_html_mb01e1e2.gif непрерывна на hello_html_bef853c.gif. Введем новую переменную hello_html_m2025daf4.gif, связанную с hello_html_m62e1e579.gif равенством hello_html_69972fcb.gif. Если

1) hello_html_m11376440.gif

2) hello_html_25bddb8c.gif и hello_html_34739d14.gif непрерывны на hello_html_12418e08.gif,

3) при изменении z от α до β значения hello_html_25bddb8c.gif не выходят за пределы отрезка hello_html_m6b8a87a5.gif то

(5)

Доказательство. Пусть hello_html_30857d11.gif–первообразная для функцииhello_html_mb01e1e2.gif, то есть hello_html_m38bfd0aa.gif. Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

(I)

Покажем, что функция hello_html_m6a7168af.gif является первообразной для функции hello_html_m4eea2eb2.gifhello_html_m4634585f.gif=[по правилу дифференцирования сложной функции] =hello_html_1403c949.gif Тогда по формуле Ньютона–Лейбница

(II)

Сравнивая равенства (I) и (II), убеждаемся в справедливости формулы (5).

Пример.

hello_html_7b14fa60.gif

при x=0 hello_html_m721d3ff8.gif при x=lnhello_html_5a6120c0.gif

hello_html_m5849d412.gif=hello_html_m3563b2a8.gifhello_html_m5f7d29ae.gifhello_html_m27618eb7.gif

 

  1. Приложения определенного интеграла

Приведем без вывода основные формулы и примеры геометрических приложений определенного интеграла.

1.Вычисление площади в декартовых координатах.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой hello_html_6d4aef.gif (hello_html_3cb6cda.gif непрерывна), прямыми x=ax=b и осью Ox (рис.6) равна

 

(6)

Площадь фигуры, ограниченной кривой hello_html_6d4aef.gif (hello_html_m1429c97e.gif непрерывна), прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.7) равна

(7)

Площадь фигуры, ограниченной двумя непрерывными кривыми hello_html_m4f846aca.gif и hello_html_45046efc.gif hello_html_5e01f7d3.gif и прямыми x=a и x=b hello_html_m60dfffb4.gif (рис.8) равна

 

(8)

 

Площадь фигуры, ограниченной кривыми hello_html_6d4aef.gif и hello_html_109e817b.gif (hello_html_mb01e1e2.gif и hello_html_62fb1b8d.gif неотрицательны и непрерывны), пересекающимися в точке с абсциссой x=b, прямыми x=a, x=c и осью Ox (Рис.9), равнаhello_html_m50c23d98.gif

 

(9)

 

В случае параметрического задания кривой hello_html_m7c970d47.gif площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми x=a, x=b и осью Ox (рис.6) равна

(10)

где hello_html_m6d5d736.gif и hello_html_m755e222e.gif определяются из уравненийhello_html_m4b791ac4.gif на отрезке hello_html_m7d74c443.gif

Пример1. Найти площадь, ограниченную линиямиhello_html_m543273a0.gif и hello_html_72c5384.gif.

Решение. Одна из линий–парабола, другая–прямая (рис.10). Найдем их точки пересечения. hello_html_m4175a47e.gifhello_html_26cebb16.gif

Тогда по формуле (8)

hello_html_2869543d.gif

 






 

 

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды hello_html_m279cdeaa.gifhello_html_7cc83b67.gif и отрезком оси Ox (рис. 11).

Решение. Точкам O и A соответствуют значения параметра hello_html_m7068314a.gifи hello_html_m56723566.gif, поэтомуhello_html_1be713a5.gif

 

 

 hello_html_m1eb94249.gif

 

hello_html_622019e3.gifhello_html_m6159c9c9.gifhello_html_1316f153.gifhello_html_m2ddeef37.gif













































Лекция 4. Решение простейших дифференциальных уравнений.


1. Основные понятия

Дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде hello_html_m2b8a4e17.gif. Мы будем рассматривать уравнения второго порядка, которые можно разрешить относительно производной второго порядка, то есть записать в виде

hello_html_71524c94.gif.

Для этих уравнений имеет место теорема существования и единственности решения.

Теорема. Если в уравнении hello_html_71524c94.gif функция hello_html_mcb0f8f8.gif и ее частные производные по аргументам y и hello_html_5a43ead1.gif непрерывны в некоторой области, содержащей hello_html_60b9c6a7.gif, то существует и притом единственное решение hello_html_m7aa34fdb.gif уравнения, удовлетворяющее условиям hello_html_m13f99c8d.gif и hello_html_m43f9e95.gif.

Эти условия называются начальными условиями. Геометрический смысл этих условий состоит в том, что через заданную точку плоскости hello_html_61c7dfba.gif с заданным тангенсом угла наклона касательной hello_html_8e1d44d.gif проходит единственная интегральная кривая. Ясно, что если мы будем задавать различные значения hello_html_8e1d44d.gif, то при постоянных hello_html_m22d74dc4.gif и hello_html_m7607833d.gif мы получим бесчисленное множество интегральных кривых с различными углами наклона касательных и проходящих через заданную точку.

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция hello_html_50b285a4.gif, зависящая от двух произвольных постоянных, которая при любых значениях hello_html_m517d4ffe.gif и hello_html_m302b8c1d.gif является решением дифференциального уравнения.

Уравнение hello_html_m89eb73.gif, определяющее общее решение, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Если в общее решение подставить конкретные значения hello_html_m517d4ffe.gif и hello_html_m302b8c1d.gif, то получится частное решение дифференциального уравнения. График частного решения называют интегральной кривой данного дифференциального уравнения.

Рассмотрим методы решения некоторых уравнений второго порядка.

 

2. Уравнения, допускающие понижение порядка

а) Рассмотрим простейшее уравнение второго порядка hello_html_m2be23fb2.gif. Общее решение такого уравнения получается путем двукратного интегрирования:

hello_html_7f953f8c.gif

hello_html_m6b8f2593.gif,

где hello_html_m517d4ffe.gif и hello_html_m302b8c1d.gif–произвольные постоянные, а неопределенные интегралы трактуются как первообразные соответствующих функций.

Пример 7. Решить уравнение hello_html_m79006e56.gif.

Решение. Интегрируя первый раз, получаем hello_html_556cfe22.gif. Общее решение данного уравнения получаем, интегрируя второй раз: hello_html_53bb90b9.gif.

б) Рассмотрим уравнение hello_html_71c32698.gif, явно не содержащее искомую функцию y. Положим hello_html_m7d11159b.gif. Тогда hello_html_6e4fd96e.gif и уравнение примет вид hello_html_48b3d3de.gif.

Решаем теперь это уравнение первого порядка относительно p, а затем заменяем p на hello_html_5a43ead1.gif и решаем последнее уравнение относительно неизвестной функции y.



Пример 8. Решить уравнение hello_html_mea46165.gif.


Решение. Положим hello_html_5afa6f69.gif и подставим hello_html_5a43ead1.gif и hello_html_24c6e836.gif в данное уравнение. Получим hello_html_m6b48568f.gif. Разделим переменные. Тогда hello_html_m4c8d57b5.gif. Интегрируя, получим hello_html_3d2122f9.gif hello_html_m3b354fe0.gif и hello_html_m7364a560.gif. Заменим теперь p на hello_html_5a43ead1.gif. Имеем hello_html_c30239c.gif и hello_html_55a853ec.gif

в) Пусть hello_html_m3494ab4c.gif. Это уравнение явно не содержит переменную x. Подстановкой hello_html_47db926e.gif это уравнение приводят к уравнению первого порядка: hello_html_35867b06.gif.

Далее получившееся уравнение первого порядка решают относительно вспомогательной функции p, а затем, заменяя p на hello_html_5a43ead1.gif, получают уравнение первого порядка относительно функции y, из которого ее и находят.

Пример 9. Решить уравнение hello_html_48ef0978.gif.

Решение. Положим hello_html_m2d2d509e.gif, подставим в уравнение эти выражения производных и получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции p:

hello_html_m39d2663a.gif. Отсюда hello_html_17f58b70.gif. Это уравнение имеет решение hello_html_50128e95.gif или hello_html_d6aca60.gif, а hello_html_m8236c58.gif, а так же решения, удовлетворяющие уравнению hello_html_m47141fc2.gif.

Разделим переменные в этом уравнении:

hello_html_313d6ff9.gifОткуда hello_html_m1db9919e.gif. Полагая hello_html_m1bb50373.gif, получим дифференциальное уравнение hello_html_2fb103cf.gif.

Снова разделим переменные: hello_html_4b9c5fea.gif.

Интегрируя, получим: hello_html_m235a1ae1.gifhello_html_328e9370.gif или hello_html_m6f8546be.gif. Решение уравнения p=0, то есть y=C, входит в этот общий интеграл при hello_html_m1a638c6a.gif, так как в таком случае hello_html_8f83bf7.gif и y является постоянным.

Таким образом, получили общий интеграл дифференциального уравнения hello_html_27c23688.gif, где hello_html_m517d4ffe.gif и hello_html_m302b8c1d.gifпроизвольные постоянные.





















Тема 4. Теория вероятностей и математическая статистика

Лекция 1. Случайные события и их вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей

В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результат каждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можно исследовать закономерности, возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, напри-мер, точно сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб или цифра — но при большом количестве бросков число выпадений герба приближается к по-ловине количества бросков; нельзя заранее предсказать результат одного выстрела из дан-ного орудия по данной цели, но при большом числе выстрелов частота попадания прибли-жается к некоторому постоянному числу. Исследование вероятностных закономерностей массовых однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.

Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное событие. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

а) достоверное событие — событие, которое всегда происходит при проведении опыта;

б) невозможное событие — событие, которое в результате опыта произойти не может;

в) случайное событие — событие, которое может либо произойти, либо не произойти. Например, при броске игральной кости достоверным событием является выпадение числа очков, не превышающего 6, невозможным — выпадение 10 очков, а случайным — выпадение 3 очков.

Определение 1.4. События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти одновременно) события называются несовместными.

Примеры: совместными событиями являются попадания двух стрелков в примере 1 и появление карты пиковой масти и дамы в примере 4; несовместными — события А1 — А6 в примере 2.

Замечание 1. Если изобразить графически области исходов опыта, благоприятных несовместным событиям, то они не будут иметь общих точек.

Замечание 2. Из определения несовместных событий следует, что их произведение является невозможным событием.

Определение 1.5. Говорят, что события А1, А2,…,Ап образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы.

Замечание. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовмест-ны, то в результате опыта произойдет одно и только одно из них. Такие события называют элементарными событиями.

Пример. В примере 2 события А1 — А6 (выпадение одного, двух,…, шести очков при одном броске игральной кости) образуют полную группу несовместных событий.

Определение 1.6. События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое.

Примеры: выпадение любого числа очков при броске игральной кости, появление любой карты при случайном извлечении из колоды, выпадение герба или цифры при броске монеты и т.п.

Классическое определение вероятности.

При изучении случайных событий возникает необходимость количественно сравнивать возможность их появления в результате опыта. Например, при последовательном извлечении из колоды пяти карт более возможна ситуация, когда появились карты разных мастей, чем появление пяти карт одной масти; при десяти бросках монеты более возможно чередование гербов и цифр, нежели выпадение подряд десяти гербов, и т.д. Поэтому с каждым таким событием связывают по определенному правилу некоторое число, которое тем больше, чем более возможно событие. Это число называется вероятностью события и является вторым основным понятием теории вероятностей.

Отметим, что само понятие вероятности, как и понятие случайного события, является аксиоматическим и поэтому не поддается строгому определению. То, что в дальнейшем будет называться различными определениями вероятности, представляет собой способы вычисления этой величины.

Определение 1.7. Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта,

а) попарно несовместны;

б) равновозможны;

в) образуют полную группу,

то говорят, что имеет место схема случаев.

Можно считать, что случаи представляют собой все множество исходов опыта. Пусть их число равно п ( число возможных исходов), а при т из них происходит некоторое событие А (число благоприятных исходов).

Определение 1.8. Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов:

Свойства вероятности.

Из определения 1.8 вытекают следующие свойства вероятности:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно,

Р(А) = 1.

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.

Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благопри-ятным, поэтому т = 0 и р(А) = 0.

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при всех, следовательно,  0 < m < n, и из (1.1) следует, что 0 < p(A) < 1.

Пример. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.

Решение. Будем считать элементарными событиями, или исходами опыта, извлечение из урны каждого из имеющихся в ней шаров. Очевидно, что эти события удовлетворяют всем условиям, позволяющим считать их схемой случаев. Следовательно, число возможных исходов равно 10, а число исходов, благоприятных событию А (появлению белого шара) — 6 (таково количество белых шаров в урне). Значит,

Теорема сложения вероятностей.

Теорема 2.1 (теорема сложения).  Вероятность р(А + В) суммы событий А и В равна

Р (А + В ) = р (А) + р (В) — р (АВ). (2.2)

Следствие 1. Теорему 2.1 можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С

Р(А + В + С) = р(А) + р(В) + р(С) — р(АВ) — р(АС) — р(ВС) + р(АВС) (2.3)

и т.д.

Следствие 2. Если события А и В несовместны, то тАВ = 0, и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Р(А + В) = р(А) + р(В). (2.4)

Определение 2.1.  Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать .

Замечание. Таким образом,  заключается в том, что событие А не произошло.

Теорема 2.2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1:

р(А) + р() = 1. (2.5)

Замечание. В ряде задач проще искать не вероятность заданного события, а вероятность события, противоположного ему, а затем найти требуемую вероятность по формуле (2.5).

Теорема умножения вероятностей.

Определение 2.2. Назовем условной вероятностью р(В/А) события В вероятность события В при условии, что событие А произошло.

Замечание. Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда осуществление события А изменяет вероятность события В.

Примеры:

1)      пусть событие А — извлечение из колоды в 32 карты туза, а событие В — то, что и вторая вынутая из колоды карта окажется тузом. Тогда, если после первого раза карта была возвращена в колоду, то вероятность вынуть вторично туз не меняется:  Если же первая карта в колоду не возвращается, то осуществление события А приводит к тому, что в колоде осталась 31 карта, из которых только 3 туза. Поэтому

2)      если событие А — попадание в самолет противника при первом выстреле из орудия, а В — при втором, то первое попадание уменьшает маневренность самолета, поэтому р(В/А) увеличится по сравнению с р(А).

Теорема 2.3 (теорема умножения). Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

р (АВ) = р (А) · р (В/А). (2.6)

Доказательство.

Воспользуемся обозначениями теоремы 2.1. Тогда для вычисления р(В/А) множеством возможных исходов нужно считатьА (так как А произошло), а множеством благоприятных исходов — те, при которых произошли и А, и В ( АВ ). Следовательно,

 

 откуда следует утверждение теоремы.

Пример. Для поражения цели необходимо попасть в нее дважды. Вероятность первого попадания равна 0,2, затем она не меняется при промахах, но после первого попадания увеличивается вдвое. Найти вероятность того, что цель будет поражена первыми двумя выстрелами.

Решение. Пусть событие А — попадание при первом выстреле, а событие В — попадание при втором. Тогда р (А) = 0,2, р (В/А) = 0,4, р (АВ) = 0,2·0,4 = 0,08.

Следствие.  Если подобным образом вычислить вероятность события ВА, совпадающего с событием АВ, то получим, что р(ВА) = р (В) · р (А/В). Следовательно,

р (А) · р (В/А) = р (В) · р (А/В). (2.7)

Определение 2.3. Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности В, то есть р (В/А) = р (В).

Замечание. Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Действительно, из (2.7) следует при этом, что р (А) · р (В) =р (В) · р (А/В), откуда р (А/В) = р (А). Значит, свойство независимости событий взаимно.

Теорема умножения для независимых событий имеет вид:

р (АВ) = р (А) · р (В) , (2.8)

то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероят-ностей.

При решении задач теоремы сложения и умножения обычно применяются вместе.

Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятности следующих событий:

 А — хотя бы одно попадание при двух выстрелах;

 В — ровно одно попадание при двух выстрелах;

 С — два попадания;

 D — ни одного попадания.

Решение. Пусть событие Н1 — попадание первого стрелка, Н2 — попадание второго. Тогда

А = Н1 + Н2, В =Н1 События Н1 и Н2 совместны и независимы, поэтому теорема сложения применяется в общем виде, а теорема умножения — в виде (2.8). Следовательно, р(С) = 0,6·0,7 = 0,42, р(А) = 0,6 + 0,7 — 0,42 = 0,88,

р(B) = 0,6·0,3 + 0,7·0,4 = 0,46 (так как события  и  несовместны),

р(D) = 0,4·0,3 = 0,12. Заметим, что события А и D являются противоположными, поэтому

р(А) = 1 — р(D).

Вероятность появления хотя бы одного события.

Теорема 2.4. Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий

А1, А2,…, Ап равна

р (А) = 1 — q1q2…qn , (2.9)

где qi — вероятность события , противоположного событию Аi .

Пример. Сколько нужно произвести бросков монеты, чтобы с вероятностью не менее 0,9 выпал хотя бы один герб?

Решение. Вероятность выпадения герба при одном броске равна вероятности противопо-ложного события (выпадения цифры) и равна 0,5. Тогда вероятность выпадения хотя бы одного герба при п выстрелах равна 1- (0,5)п . Тогда из решения неравенства 1- (0,5)п > 0,9

следует, что п > log210 ≥ 4.















































Лекция 2.Формула полной вероятности и формула Байеса.

Определение 3.1. Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событий Н1, Н2,…, Нп, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события Н1, Н2,…, Нп  называются гипотезами.

Теорема 3.1. Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н1, Н2,…, Нп, равна:

(3.1)

где p(Hi) — вероятность i- й гипотезы, а p(A/Hi) — вероятность события А при условии реализации этой гипотезы. Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности.

Доказательство.

Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН1, АН2,…, АНп. Тогда из теорем сложения и умножения следует, что

что и требовалось доказать.

Пример 1. Издательство разослало рекламные материалы на новый учебник по теории вероятностей, которые получили 80% профессоров, читающих этот курс в различных учебных заведениях. Отобрали эту книгу и приняли ее для преподавания 30% профессоров, получивших рекламные материалы и 10% не получивших их. Чему равна вероятность того, что случайно выбранный профессор вуза принял этот учебник для преподавания?

Решение. Пусть А – событие, что учебник одобрен и принят к преподаванию. Гипотеза Н1 – профессор получил рекламные материалы, гипотеза Н2 – профессор не получил рекламные материалы.

Р(Н1)=0,8 , РН1(А)=0,3

Р(Н2)=0,2, РН2(А)=0,1.

Р(А) = 0,8∙0,3 + 0,2∙0,1=0,24 + 0,02 = 0,26.

Формула Байеса (теорема гипотез).

Пусть событие А может произойти лишь при условии появления одной из гипотез Н1, Н2,…, Нn. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса:

.

Пример 1. Для участия в соревнованиях выделено из первой группы четыре студента, из второй – шесть, из третьей – пять студентов. Вероятности попадания для студента каждой группы в сборную колледжа соответственно равны 0,5; 0,4 и 0,3. Наудачу выбранный участник соревнований попал в сборную (событие А произошло). К какой из этих трех групп он вероятнее всего принадлежит?

Решение.

Вероятнее всего, что попал в сборную колледжа студент из второй группы (наибольшая вероятность равна ).



Лекция 3. Случайные величины. Закон распределения, основные характеристики распределения случайных величин

Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется и более удобное понятие случайной величины.

Определение 4.1. Случайной величиной называется величина, принимающая в результате опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно.

Будем обозначать случайные величины заглавными буквами латинского алфавита (Х, Y,Z,…), а их возможные значения — соответствующими малыми буквами (xi, yi,…).

Примеры: число очков, выпавших при броске игральной кости; число появлений герба при 10 бросках монеты; число выстрелов до первого попадания в цель; расстояние от центра мишени до пробоины при попадании.

Можно заметить, что множество возможных значений для перечисленных случайных величин имеет разный вид: для первых двух величин оно конечно ( соответственно 6 и 11 значений), для третьей величины множество значений бесконечно и представляет собой множество натуральных чисел, а для четвертой — все точки отрезка, длина которого равна радиусу мишени. Таким образом, для первых трех величин множество значений из отдельных (дискретных), изолированных друг от друга значений, а для четвертой оно представляет собой непрерывную область. По этому показателю случайные величины подразделяются на две группы: дискретные и непрерывные.

Определение 4.2. Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.

Определение 4.3.  Случайная величина называется непрерывной, если множество ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный промежуток.

Дискретные случайные величины.

Для задания дискретной случайной величины нужно знать ее возможные значения и вероятности, с которыми принимаются эти значения. Соответствие между ними называется законом распределения случайной величины. Он может иметь вид таблицы, формулы или графика.

Таблица, в которой перечислены возможные значения дискретной случайной величины и соответствующие им вероятности, называется рядом распределения:

xi

x1

x2

xn

pi

p1

p2

pn

Заметим, что событие, заключающееся в том, что случайная величина примет одно из своих возможных значений, является достоверным, поэтому

Пример. . Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попадания при одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить ряд распределения случайной величины Х — числа попаданий после двух выстрелов.

Решение. Очевидно, что Х может принимать три значения: 0, 1 и 2. Их вероятности найдены в примере, рассмотренном в лекции 3. Следовательно, ряд распределения имеет вид:

хi

0

1

2

pi

0,12

0,46

0,42

Графически закон распределения дискретной случайной величины можно представить в виде многоугольника распределения — ломаной, соединяющей точки плоскости с координатами (xi, pi).

x1 x2 x3 x4 x5

 

Функция распределения.

Определение 4.4. Функцией распределения F(x) случайной величины Х называется вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х:

F (x) = p (X < x). (4.1)

Свойства функции распределения.

1)      0 ≤ F(x) ≤ 1. Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность, она может принимать только те значения, которые принимает вероятность.

2)      Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x2) ≥ F(x1) при х2 > x1. Это следует из того, что F(x2) = p(X < x2) = p(X < x1) + p(x1 ≤ X < x2) ≥ F(x1).

3)       В частности, если все возможные значения Х лежат на интервале [a, b], то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b. Действительно, X < a — событие невозможное, а X < b — достоверное.

4)      Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b], равна разности значений функции распределения на концах интервала:

p ( a < X < b ) = F(b) — F(a).

Справедливость этого утверждения следует из определения функции распределения (см. свойство 2).

Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собой сумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.
























Тема 5. Основы теории комплексных чисел


Комплексным числом z называется число вида hello_html_m4129f69d.gif, где hello_html_mbc2763a.gif, а x и y–вещественные числа. Число x называется действительной частью, y–мнимой частью комплексного числа z. Это записывают следующим образом: hello_html_m501e9acb.gifhello_html_3711347e.gif.

Если x=0, то число z называют чисто мнимым; если hello_html_270aa033.gif, то получается вещественное число hello_html_m5c475602.gif. Два комплексных числа hello_html_m31439631.gif и hello_html_48fd18f.gif называются сопряженными.

Два комплексных числа hello_html_m6ced4cd0.gif и hello_html_m16e25256.gif равны друг другу, если hello_html_m608b029d.gif и hello_html_m6f30d411.gif; комплексное число z считается равным нулю, если hello_html_m5e49c8c.gif.

Всякое комплексное число можно изобразить на плоскости, т.к. каждому z соответствует упорядоченная пара вещественных чиселhello_html_m29a461be.gif:hello_html_27ccf61f.gif

Число z=0 ставится в соответствие началу координатной плоскости. Такую плоскость мы в дальнейшем будем называть комплексной плоскостью, ось абсцисс–действительной, а ось ординат–мнимой осью комплексной плоскости.

Число hello_html_25f42676.gif называется модулем комплексного числа hello_html_m31439631.gif и обозначается hello_html_m236a8383.gif или hello_html_m27936d2f.gif.

Отметим, что hello_html_m31439631.gif называют алгебраической формой записи комплексного числа.

































Лекция 2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

1.Сумма двух комплексных чисел hello_html_m6ced4cd0.gif и hello_html_m16e25256.gif определяется согласно формуле hello_html_m5383311c.gif.

2.Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число hello_html_m64f4fdd1.gif, если hello_html_2709656e.gif, является разностью комплексных чисел z1 и z2. Тогда hello_html_6aa5bfdd.gif.

hello_html_m27618eb7.gif3.Произведение двух комплексных чисел hello_html_m6ced4cd0.gif и hello_html_m16e25256.gif определяется по формуле hello_html_mc13f392.gif hello_html_m25183d48.gifhello_html_5a3756d0.gif.В частностиhello_html_40bce973.gif =hello_html_m71bd5dbd.gif. Можно получить формулы умножения комплексных чисел в показательной и тригонометрической формах. Имеем hello_html_m35828e6.gif.

4.Деление комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению, то есть число hello_html_6928531a.gif называется частным от деления z1 на z2, если hello_html_m7135ac01.gif. Тогда hello_html_58914111.gif

hello_html_m685179bb.gif Окончательно hello_html_569e7815.gif.


































Лекция 3. Тригонометрическая форма комплексного числа


Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами hello_html_bab336.gif, где r–расстояние точки от начала координат, а φ–угол, который составляет радиус–вектор этой точки с положительным направлением оси Ox. Положительным направлением изменения угла φ считается направление против часовой стрелки. Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат: hello_html_m44c6d444.gif,hello_html_4d5a6be1.gif, получим тригонометрическую форму записи комплексного числа

(1)

где hello_html_m1b798a97.gif, φ–аргумент комплексного числа, который находят из формул ,  или в силу того, что hello_html_m27da7.gifhello_html_m63c06d6f.gif. Заметим, что при выборе значений φ из последнего уравнения необходимо учитывать знаки x и y.

Пример1. Записать в тригонометрической форме комплексное число hello_html_m76428108.gif.

Решение. Найдем модуль и аргумент комплексного числа: hello_html_m1b3cb4f5.gif. Угол φ найдем из соотношений , . Тогда получим hello_html_m232b5f82.png. Очевидно


точка hello_html_m76428108.gif находится во второй четверти: hello_html_m58eea041.gif.

Подставляя в формулу (1) найденные r и φ, имеем hello_html_m3c69de6.gif.

Замечание. Аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2π. Тогда через hello_html_m7e0f98d1.gif обозначают значение аргумента, заключенное в пределах hello_html_m5dec0e36.gif. Тогда hello_html_5008be14.gif.

Используя известную формулу Эйлера hello_html_m7499dfd6.gif, получаем показательную форму записи комплексного числа. Имеем

 



Действия над комплексными числами в тригонометрической форме


hello_html_m65b06526.gifhello_html_m65b06526.gif

hello_html_m13e178d7.gifhello_html_m13e178d7.gif





Лекция 4. Действия над комплексными числами в показательной форме


.

Возведение в целую положительную степень комплексного числа лучше производить, если число записано в показательной или тригонометрической формах.

Действительно, если hello_html_25ebe382.gifто 


Эта формула  называется формулой Муавра.

6.Извлечение корня n–й степени из комплексного числа определяется как операция, обратная возведению в степень n, hello_html_m31e0d34.gif то есть комплексное число hello_html_m78fcc9c0.gif называется корнем n–й степени из комплексного числа z, если hello_html_55ab3605.gif. Из этого определения следует, что hello_html_m2ee82a55.gif, a hello_html_m52deedab.gifhello_html_6f54b9ed.gif a hello_html_m7b4f74f8.gif, что следует из формулы Муавра, записанной для числа hello_html_16bcac15.gif.

Как было отмечено выше, аргумент комплексного числа определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2π. Поэтому hello_html_6d7d2129.gif, а аргумент числа z1, зависящий от k, обозначим φk и будем вычислять по формуле hello_html_m6dbcef46.gif. Ясно, что существует n комплексных чисел, n–я степень которых равна числу z. Эти числа имеют один и тот же модуль, равный hello_html_27a3c40.gif, а аргументы этих чисел получаются при hello_html_5173369b.gif. Таким образом, в тригонометрической форме корень n–й степени вычисляют по формуле:

 hello_html_m68815e95.gifhello_html_5173369b.gif, а в показательной–по формуле hello_html_41ac6ec4.gif.      

Пример 2. Возвести число hello_html_m7435db2f.gif в пятую степень.

Решение. Получим тригонометрическую форму записи числа z. hello_html_4e9e9ae6.gif. Отсюда hello_html_2e5a851c.gif, а hello_html_3bdc9873.gif. Тогда по формуле Муавра получим: hello_html_m2b1c1a81.gif

hello_html_m72eb9d1c.gif.

Пример 3. Найти все значения hello_html_m4a3da012.gif.

Решение. r=2, а φ найдем из уравнений hello_html_m733491ce.gif. Эта точка hello_html_m339cef3d.gif находится в четвертой четверти, то есть hello_html_m1fd750f6.gif. Тогда hello_html_m5fb4c5ba.gif, значения корня находим из выражения hello_html_24dd4c96.gif.

При hello_html_5e7d487b.gif имеем

hello_html_m4435095c.gif.

При hello_html_59da5991.gif имеем еще одно значение корня

hello_html_m39c789a4.gifhello_html_619ac4f1.gif

Можно найти значения корня из числа z, представив число в показательной форме. Т.к. r=2, a hello_html_m1fd750f6.gif, то hello_html_2d5240ad.gif, a hello_html_48859822.gif. Тогда при k=0 имеем hello_html_m429a3ece.gif. При k=1 имеем hello_html_m3d51fc0e.gif hello_html_3c869c96.gif








































Тема 6. Основы дискретной математики


Лекция 1 . Основные логические операции


Математическая логика – разновидность формальной логики, т.е. науки, которая изучает умозаключения с точки зрения их формального строения.

Определение. Высказыванием называется предложение, к которому возможно применить понятия истинно или ложно.

В математической логике не рассматривается сам смысл высказываний, определяется только его истинность или ложность, что принято обозначать соответственно И или Л.

Понятно, что истинные и ложные высказывания образуют соответствующие множества. С помощью простых высказываний можно составлять более сложные, соединяя простые высказывания союзами “и”, “или”.

Таким образом, операции с высказываниями можно описывать с помощью некоторого математического аппарата.

Вводятся следующие логические операции (связки) над высказываниями

  1. Отрицание. Отрицанием (логическим “не”) высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно.

Обозначается Р или .


Соответствие между высказываниями определяется таблицами истинности. В нашем случае эта таблица имеет вид:


P

Р

И

Л

Л

И

2) Конъюнкция. Конъюнкцией (логическим “и”) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания.

Обозначается P&Q или РQ.


P

Q

P&Q

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

Л


3) Дизъюнкция. Дизъюнкцией (логическим “или”) двух высказываний P и Q называется высказывание, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Обозначается PQ.


P

Q

PQ

И

И

И

И

Л

И

Л

И

И

Л

Л

Л


4) Импликация. Импликацией (логическим следованием) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда высказывание Р истинно, а Q – ложно.

Обозначается PQ (или РQ). Высказывание Р называется посылкой импликации, а высказывание Q – следствием.




P

Q

PQ

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

И

Л

Л

И


5) Эквиваленция. Эквиваленцией (логической равносильностью) двух высказываний P и Q называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинности высказываний совпадают.

Обозначается РQ или РQ.


P

Q

PQ

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

И


С помощью этих основных таблиц истинности можно составлять таблицы истинности сложных формул.

Замечание. В дальнейшем мы познакомимся с принципиально иной, более широкой трактовкой тех понятий, которые мы определили в данной лекции. Мы будем их рассматривать уже не как операции над высказываниями, но как некоторые функции. Поясним на следующем примере. Запись можно рассматривать как обозначение бинарной операции умножения переменных и , а, с другой стороны, так же обозначается функция двух переменных .


Пример 1. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы и .


Составим таблицы истинности для каждой формулы:


p

r


(pr)


И

И

Л

И

И

И

Л

Л

Л

И

Л

И

И

Л

Л

Л

Л

И

Л

Л


p

r





И

И

Л

Л

Л

И

И

Л

Л

И

И

И

Л

И

И

Л

И

И

Л

Л

И

И

И

И


Данные формулы не являются эквивалентными.



Пример 2. С помощью таблиц истинности проверить, являются ли эквивалентными формулы и .



Составим таблицы истинности для заданных формул.


p

q

r

pq

(pq)r

И

И

И

И

И

И

И

Л

И

И

И

Л

И

Л

И

И

Л

Л

Л

Л

Л

И

И

Л

И

Л

И

Л

Л

Л

Л

Л

И

И

И

Л

Л

Л

И

И



p

q

r

pq

qp

(pq)(qp)

(pq)(qp)r

И

И

И

И

И

И

И

И

И

Л

И

И

И

И

И

Л

И

Л

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

И

И

Л

И

И

И

Л

И

И

Л

И

Л

И

Л

И

И

Л

Л

И

И

И

И

И

Л

Л

Л

И

И

И

И


Из составленных таблиц видно, что данные формулы не равносильны.



Основные равносильности.


Для любых формул А, В и С справедливы следующие равносильности:


A & B B& A; A & A A; A & (B & C) (A & B) & C;


A B B A; A AA; A (B C) (A B) C;


A (B & C) (A B) & (A C); A & (B C) (A & B) (A & C);


A & (A B) A; A (A & B) A; A A; (A & B) A B;


A (A & B) (A &B); A (A B) & (A B);


































Лекция 2. Построение совершенной дизъюнктивной нормальной формы


Введём обозначения: . Пусть параметр, равный 0 или 1. Тогда , если , и , если .

Теорема 8.1. Всякая логическая функция может быть представлена в следующем виде:

,

где , а дизъюнкция берётся по всем наборам значений переменных .

Равенство (1) называется разложением по переменным. Формула (1) достаточно громоздка на вид, однако её несложно использовать при небольших значениях и . Например, при значениях , разложение (1) имеет вид:


.

Практический смысл такого разложения очевиден: оно позволяет заменять функцию нескольких переменных суперпозицией конечного числа функций с меньшим количеством переменных. Особенно важен частный случай , когда разложение производится по всем переменным. При этом все переменные в правой части равенства (1) получают фиксированные значения, и функции в конъюнкциях правой части становятся равными 0 или 1, что даёт:

,

где дизъюнкция берётся по всем наборам , на которых . Такое разложение называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) функции . СДНФ содержит ровно только конъюнкций, сколько единиц в таблице функции ; каждому единичному набору соответствует дизъюнкция всех переменных, в которых взято с отрицанием, если и без отрицания, если . Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между таблицей функции и её СДНФ. Следовательно, для каждой логической функции СДНФ является единственной (с точностью до порядка переменных и конъюнкций).

Пример 1. Составить СДНФ для функции, заданной таблицей:





0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

0

Поскольку данная таблица (уже встречавшаяся ранее) содержит три единичных набора, СДНФ будет конъюнкцией трёх дизъюнкций. В свою очередь, каждая дизъюнкция включает три переменных – по числу их в функции .

Получим: .

Напомним, что, подобно знаку умножения, знак дизъюнкции в логических формулах часто опускают. Тогда полученное выражение примет более компактный вид:

.

Единственная функция, которая не имеет СДНФ – это константа .

Формулы, содержащие кроме переменных и скобок, только знаки дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, будем называть булевыми формулами.

Теорема. Всякая логическая функция может быть представлена булевой функцией, то есть как суперпозиция дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.


















































Тема 7. Основы линейной алгебры


Лекция 1. Матрицы и действия над ними



Определение. Матрицей размера hello_html_m78cf9ec8.gif называется прямоугольная таблица из чисел hello_html_2cd1a703.gif

hello_html_3f59764e.gif,

состоящая из m строк и n столбцов.

Матрица размера mm называется квадратной.

Две матрицы считаются равными, если равны их размеры и равны элементы, стоящие на одинаковых местах.

Определение. Суммой hello_html_2fb1eb22.gif матриц hello_html_mf129a93.gif размера hello_html_m78cf9ec8.gif называется матрица hello_html_4fcf4dee.gif того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответственных элементов матриц A и B:

hello_html_m61fe83db.gif

Произведением hello_html_a55d9e6.gif матрицы hello_html_m61688648.gif на число  называется матрица hello_html_m5a31696f.gif, получающаяся из матрицы A умножением всех её элементов на hello_html_mdb82cf0.gif

Пример 1. Вычислить hello_html_32a0608b.gif, если

hello_html_1115e9b0.gif.

Решение. Находим hello_html_3cc7021.gif и hello_html_63a0c0da.gif, умножая элементы матрицы A на число 3, а элементы матрицы B – на 2. Имеем

hello_html_ed85c2f.gif

Складывая теперь элементы матриц hello_html_3cc7021.gif и hello_html_63a0c0da.gif, стоящие на одинаковых местах, получим

hello_html_40cca9c1.gif.

Определение. Произведением матрицы hello_html_m61688648.gif размера hello_html_m78cf9ec8.gif на матрицу hello_html_m5a31696f.gif размера hello_html_5bfd319d.gif называется матрица hello_html_4fcf4dee.gif размера hello_html_m6e303782.gif, элемент которой hello_html_m242c0315.gif, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы hello_html_m2d8f4f11.gif и соответствующих элементов j-го столбца матрицы B:

hello_html_58974220.gif

Так как в произведении матриц строки и столбцы не равноправны, то hello_html_2da06cdb.gif.

Пример 2. Вычислить произведение матриц

hello_html_6b29a7f6.gif и hello_html_m6c432746.gif.

Решение. Согласно определению произведение матриц получаем так: умножаем элементы первой строки матрицы A на соответствующие элементы первого столбца матрицы B, произведения складываем и ставим в первую строку и первый столбец матрицы-произведения. Умножаем далее элементы первой строки матрицы A на элементы второго столбца матрицы B, произведения складываем и ставим в первую строку и второй столбец матрицы-произведения и т.д.

hello_html_13f076de.gif

hello_html_37cfa412.gif

Пример 3. Вычислить hello_html_58113143.gif и hello_html_31b73d76.gif, если

hello_html_m7649825c.gif.

Решение.

hello_html_m5ff1a432.gif

Перемножим теперь матрицы в другом порядке.

 

hello_html_m432f5644.gif

Естественно, мы получили разные результаты.

Матрицу, все элементы которой равны нулю, мы будем называть нулевой.

Матрицу hello_html_6c6758b4.gif называют единичной.

Если матрицы A и E – квадратные одного размера матрицы, то

hello_html_m38769451.gif.

Действительно, возьмём, например,

hello_html_ma71d132.gif.Умножим A на E справа.

hello_html_m2421db3c.gif

Пример 4. Пусть hello_html_m627ca69c.gif. Найти значение многочлена hello_html_m1916c041.gif

Решение. Подставим вместо x под знак многочлена матрицу A.

Тогдаhello_html_m74dd0542.gif, где hello_html_14c69f49.gif, а вместо числа 4 мы ввели матрицу hello_html_6a05b793.gif, так как складывать можно только матрицы одинакового размера, но не матрицу с числом.

Вычислим hello_html_63cd680e.gif. Имеем

hello_html_m7c74d515.gif.

Далее hello_html_m69c708b0.gif,

hello_html_m6ed38bd0.gif.

hello_html_m6955eee6.gif























































Лекция 2. Определители и их вычисление

  1. Определители второго порядка

Определение. Выражение

hello_html_m746f83ac.gif называется определителем 2-го порядка.

Числа hello_html_m5fc44c7a.gif – это элементы определителя. Определитель 2-го порядка имеет две строки и два столбца. Индексы, стоящие внизу соответствующего элемента, означают номер строки и номер столбца определителя, на пересечении которых стоит указанный элемент. Например, элемент hello_html_m3e855cc7.gif стоит в первой строке и втором столбце определителя.

Элементы hello_html_720150ef.gifназывают элементами главной диагонали определителя, а другие два элемента – соответственно элементами побочной диагонали.

Пример 1. Вычислим определитель

hello_html_m7cdf386a.gif.

  1. Определители 3-го порядка

Определение. Выражение

hello_html_m7093faa4.gif(1.1)

называется определителем 3-го порядка.

Пример 2. Вычислить определитель:

hello_html_m1f471417.gif.

Решение. По определению получим:

hello_html_m38018227.gif

Если в формуле (1.1) раскрыть определители 2-го порядка и собрать слагаемые с одинаковыми знаками, то имеем:

hello_html_5cf5f33b.gif       (1.2)

Элементы со знаком плюс и со знаком минус выбираются из определителя, как показано на рисунке:

hello_html_m1072759c.gif

 

Этот способ вычисления определителя 3-го порядка называется правилом треугольника.

Пример 3. Вычислить определитель:

hello_html_c908b6d.gif по правилу треугольника.

Решение. Перемножим элементы главной диагонали определителя, затем – элементы, лежащие на параллелях к этой диагонали, и элементы из противоположного угла определителя согласно правилу треугольника. Элементы, входящие в формулу (1.2) со знаком минус строим аналогично, но относительно побочной диагонали.

hello_html_m1da935.gif 

Замечание. Если применить правило треугольника к определителю треугольного вида

hello_html_m4a6f5cd9.gif,

то этот определитель будет равен произведению элементов главной диагонали, то есть hello_html_m63ec36af.gif.

Определение. Минором элемента определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, получающийся из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.

Минор элемента hello_html_35723ec7.gif, стоящего на пересечении i-й строки и j-го столбца определителя, обозначают Мij.

Например, для определителя

hello_html_m27618eb7.gifhello_html_m40a1e6d9.gif                                                     (1.3)

миноры:hello_html_56ffe925.gif

Определение. Алгебраическим дополнением элемента определителя 3-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с четной суммой номеров, и со знаком минус, если элемент стоит на пересечении строки и столбца с нечетной суммой номеров.

Алгебраическое дополнение элемента hello_html_m1e5557d.gifобозначают hello_html_m61ef10e6.gif. Согласно определению:

hello_html_m52952c05.gif

Для определителя 3-го порядка знаки алгебраических дополнений определяются по таблице:

+

-

+

-

+

-

+

-

+

Например, алгебраическое дополнение элемента hello_html_270b4ee8.gifопределителя (1.3) равно минору этого элемента, взятому со знаком минус:

hello_html_m4301a59c.gif.

Из определения определителя 3-го порядка вытекает, что

hello_html_71680310.gif.

Теорема разложения. Определитель 3-го порядка равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда определителя на их алгебраические дополнения (под рядом понимается строка или столбец).

Таким образом, имеет место шесть разложений:

hello_html_38941b9c.gif                             (1.4)

Можно доказать, что сумма произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения элементов параллельного ряда равна нулю.

Пример 4. Вычислить определитель

hello_html_m5d47e8ed.gif,

разлагая его по элементам второй строки.

Решение. Согласно теореме разложения имеем:

hello_html_22af2c46.gif.


Лекция 3.Свойства определителей. Миноры

Формулируя свойства, мы не будем указывать порядок определителя, так как эти свойства справедливы для определителей любого порядка, но доказательства свойств проведём для определителей 3-го порядка.

1.Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами, то есть

hello_html_m4ec5d554.gif.                            (1.5)

Действительно, разложим определитель слева по элементам первой строки, а определитель справа по элементам первого столбца. Тогда в обоих случаях согласно теореме разложения получим hello_html_m71d6d3e3.gif, что и доказывает неизменность определителя.

Замечание. Определитель в правой части формулы (1.5) называют транспонированным по отношению к определителю в левой части этой формулы.

2.Если переставить две строки (столбца) определителя, то он изменит знак.

Пусть в определителе

hello_html_6dd6a95b.gif,

например, переставлены первая и вторая строки. Тогда получим определитель

hello_html_480b22a1.gif.

 

Разложим определитель hello_html_m853b91b.gif по элементам второй строки с учётом знаков, приписываемых алгебраическим дополнениям:

+

-

+

-

+

-

+

-

+

Так как знаки миноров элементов второй строки противоположны знакам миноров элементов первой строки, то

hello_html_m6ab904c3.gif.

Следствие. Если две строки (столбца) определителя равны, то определитель равен нулю.

В самом деле, если в определителе

hello_html_5faf6b06.gif.

переставить первую и вторую строки с одинаковыми элементами, то с одной стороны определитель не изменится, а с другой стороны – он поменяет знак, то есть hello_html_m7bbc9c8b.gif, откуда hello_html_m53317e42.gif.

3.Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя.

Пусть дан определитель

hello_html_m5176de.gif.

Разложим его по элементам первой строки. Тогда он будет равен:

hello_html_m789501db.gif

Следствие 1. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то такой определитель равен нулю.

Следствие 2. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны элементам параллельного ряда, то определитель равен нулю.

Пусть, например, элементы первой и второй строк определителя пропорциональны. Тогда имеем

hello_html_m576c2e4f.gif.

4.Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель можно представить в виде суммы двух определителей, у которых все ряды, кроме данного, прежние, а в данном ряду в первом определителе стоят первые, а во втором – вторые слагаемые.

Допустим, что элементы первой строки определителя являются суммами двух слагаемых. Тогда имеем:

hello_html_743fbb0.gif

hello_html_m1266f307.gif,

так как в первых скобках записано разложение по первой строке определителя с элементами hello_html_m4d1ba32d.gif, а во вторых – разложение определителя с элементами hello_html_6912c85c.gif.

5.Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда определителя прибавить или отнять элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число, то есть составить линейную комбинацию строк или столбцов.

Для доказательства этого рассмотрим определитель

hello_html_35889cff.gif.

Составим определитель, полученный изданного прибавлением к элементам его первой строки элементов второй строки, умноженных на число K.

hello_html_m2e0937ea.gif

hello_html_m5dd8e2bf.gif

по свойству 4. Далее по свойству 3 и следствию 2 к нему получим

hello_html_m6a533613.gif

Пример 5. Вычислить определитель

hello_html_m49231cdf.gif, используя свойства определителей.

Решение. hello_html_d5c705e.gif

hello_html_7e1864c2.gifhello_html_63a3b3ab.gif, так как у первого определителя, стоящего в скобках, первая и последняя строки равны, а у второго – вторая и последняя строки пропорциональны.

Пример 6. Решить уравнение

hello_html_m12a11d11.gif.

Решение. Снова преобразуем определитель, используя свойство 4.

hello_html_4b40d4e.gifhello_html_m600afe82.gif

Равенство нулю исходного определителя справедливо при любых значениях x, так как у первого определителя две строки равны, а у второго- пропорциональны.

Таким образом, hello_html_2fbe65d3.gif.




































Лекция 4. Различные способы вычисления обратной матрицы

Будем называть определителем квадратной матрицы

hello_html_mc1729e3.gif определитель, составленный из элементов этой матрицы:

hello_html_1d3b36d.gif.

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если её определитель отличен от нуля, и вырожденной (особенной), если определитель её равен нулю.

Без доказательства примем, что

hello_html_7378bd12.gif, то есть определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц.

Теорема. Если А – невырожденная матрица, то существует и притом единственная матрица А-1 такая, что

hello_html_mc768496.gif.

Пусть дана невырожденная матрица

hello_html_m2e35c10a.gif с определителем hello_html_3d6480ef.gifhello_html_63d2dced.gif.

Рассмотрим матрицу

hello_html_m4c6056db.gif,

составленную из алгебраических дополнений к элементам матрицы А и называемую присоединенной к матрице А. Отметим, что алгебраические дополнения к элементам квадратной матрицы находят так же, как к элементам ее определителя. В присоединенной матрице алгебраические дополнения элементов строки стоят в столбце с таким же номером.

Найдем произведение АА*.

hello_html_m6cde91a5.gif

hello_html_m23770c.gifhello_html_m25030214.gif

так как согласно теореме разложения сумма парных произведений элементов строки на соответствующие им алгебраические дополнения равна определителю, а сумма парных произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.

Рассуждая таким же образом, можно показать, что и

hello_html_60a7b49f.gif

Определитель матрицы АА* и А*А равен ΔΔ* с одной стороны, а с другой стороны он равен

hello_html_m3c39ede1.gif

Тогда имеем ΔΔ*=Δ3. Откуда ввиду Δ≠0 получим Δ*= Δ2.

Если теперь все элементы присоединенной матрицы разделить на Δ, то есть рассмотреть матрицу

hello_html_7b708c86.gif то очевидно

hello_html_m76c0c865.gif

а, значит, hello_html_4ea97879.gif и соответственно

hello_html_m64b2b898.gif

Таким образом, hello_html_4d4a35a3.gif по определению:

hello_html_3ed028b6.gif.                    (1.9)

Пример 1. Найти матрицу, обратную для матрицы

hello_html_7afeb24a.gif

Решение. Вычислим определитель матрицы

hello_html_6f63662b.gif

Далее найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

hello_html_43b4bcbb.gif

По формуле (1.9) имеем

hello_html_dee9b62.gif

В заключение перечислим свойства операций над матрицами:

1)       А+В = В+А;

2)       А+(В+С) = (А+В)+С;

3)       (α+β)А = αА+βА, где α и β – числа;

α(А+В) = αА+ αВ; (αβ)А = α(βА);

4)       А(ВС) = (АВ)С; А(В+С) = АВ+АС;

5)       А+0 = А;

6)       АЕ = ЕА = А.



Лекция 5. Решение систем линейных уравнений в матричной форме


Введем матрицу системы

hello_html_1f4fa693.gif

и матрицы hello_html_m36cfa224.gif и hello_html_6881b2fe.gif. Пусть hello_html_69a8a420.gif.

Представим систему (1.10) в виде матричного уравнения АХ=В. Это легко проверить, перемножив матрицы А и Х.

Действительно,

hello_html_m464a0883.gif

hello_html_1a83a971.gif

Решим теперь матричное уравнение А·Х=В. Умножим обе части уравнения на матрицу А-1 слева. Тогда А-1·А·Х = А-1·В, а так как

А-1·А=Е, то имеем Е·Х=А-1·В и, наконец,

Х = А-1·В                                                         (1.1)

Пример 1. Матричным методом решить систему уравнений

hello_html_m52e73917.gif

Решение. Вычислим определитель матрицы А.

hello_html_7ae47bc6.gif

то есть матрица А невырожденная. Построим обратную матрицу А-1. Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

hello_html_6e7abd4f.gif

Следовательно,

hello_html_m13904a51.gif.

Находим теперь решение системы по формуле (1.12).

hello_html_25c6beaa.gifhello_html_m573c10ab.gif то есть x = 3, y = 1, z = -1.























































Лекция 6. Решение систем линейных уравнений методом Крамера



Пусть задана система n линейных уравнений с n неизвестными

hello_html_1af72103.gif                           (1.2)

Составим из коэффициентов при неизвестных определитель и назовем его определителем системы:

hello_html_m6dde5284.gif

Совокупность значений неизвестных xi=ai, i =1, 2, …, n, при подстановке которых уравнения системы обращаются в равенства, назовем решением системы.

 

hello_html_383c13d6.gif

Таким образом, из системы (1.2) получено уравнение hello_html_m1e53d365.gif 

и hello_html_6f0095d7.gif

Домножая теперь уравнения системы (1.1) на алгебраические дополнения элементов второго, третьего и т.д. и, наконец, n-го столбцов поочередно и складывая эти уравнения, получим

hello_html_70d4f173.gif …hello_html_m1b19aa6d.gif

Таким образом, имеем окончательно hello_html_m15d9e79e.gifhello_html_m70c4ac17.gif,…,hello_html_m8d1eca8.gif

Замечание. Правило Крамера при n>3 не имеет практического применения из-за громоздкости вычислений.

Пример 1. Решить систему уравнений по правилу Крамера:

hello_html_m1d6da89a.gif

Решение. вычислим определитель системы:

hello_html_m42334799.gif то есть система совместна.

 

Найдем далее вспомогательные определители:

 

hello_html_357ab428.gif hello_html_m1f1f0bb9.gif hello_html_41e2c100.gif

Тогда х1=30, х2=20, х3=-60.








Лекция 7. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Пусть требуется решить систему АХ=В. Над строками расширенной матрицы произведем элементарные преобразования, приводящие ее к виду, когда ниже элементов а11, а22, …, аrr будут стоять нули. Этот вид матрицы будем называть трапециевидным.

Отметим, что все преобразования, приводимые над строками расширенной матрицы, проводятся над соответствующими уравнениями данной системы, а, как известно, в таком случае получают равносильную данной систему уравнений.

Итак, преобразуем матрицу

hello_html_636073f3.gif

 

к виду hello_html_m6115c99a.gif.                                                (1.1)

Матрица (1.17) является расширенной матрицей укороченной системы

hello_html_27c09ae5.gif                (1.2)

Система (1.2) эквивалентна исходной системе.

Если хотя бы одно из чисел hello_html_mad7d772.gif отлично от нуля, то система (1.2) несовместна и вместе с ней несовместна исходная система.

Если же hello_html_d34571a.gif, то из укороченной системы получаем базисные неизвестные, перенеся в правые части укороченных уравнений свободные неизвестные.

 

Пример 1. Решить систему

hello_html_m62f55ee2.gif

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и произведем элементарные преобразования:

hello_html_m472e2710.gif.

Умножим первую строку полученной матрицы на -2 и прибавим ко второй, затем – к третьей строке, а потом из последней строки вычтем первую.

Тогда имеем

hello_html_3b2c4d71.gif

hello_html_m229cb7aa.gif

 

Умножим третью строку на –6 и прибавим ее к последней:

hello_html_50d65bea.gif

 

Полученная матрица является расширенной матрицей системы

hello_html_me1165cf.gif

Эта система совместна, так как hello_html_m40f19d72.gif Очевидно, решение системы единственно, так как ранг матрицы равен числу неизвестных.

Решим систему. Из последнего уравнения х4=-1. Поставляя х4 в следующее уравнение, получим х3=1. Далее, подставляя х3 и х4 во второе уравнение, получим х2=0 и, наконец, х1=-2. Итак, х1= -2, х2=0, х3=1,х4=-1.

Пример 19. Исследовать совместность системы

hello_html_m459c3f4a.gif

Решение. Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы системы

hello_html_1fecb15f.gif

Первую строку матрицы умножим на –1 и прибавим ее к остальным строкам. Получим

hello_html_56302419.gif

Вторую строку полученной матрицы сложим с третьей строкой, а затем, умножив ее на 2, сложим с последней:

hello_html_m44e41aee.gif

Ранг матрицы системы равен двум, а ранг расширенной – трем. Следовательно, система несовместна.

Пример 2. Исследовать совместность и найти общее решение системы

hello_html_4a2af071.gif

Решение. Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы системы

hello_html_m152e43d5.gif

Умножив первую строку матрицы на –3, сложим ее со второй и третьей строками, а, умножив на –2, сложим ее с четвертой строкой.

Тогда имеем

hello_html_70e2e6bc.gif

Сложим теперь вторую строку этой матрицы с третьей и вычтем ее из четвертой:

hello_html_939bb5d.gif

Так как расширенная матрица системы hello_html_m204e333c.gif и матрица системы А содержат три ненулевых строки, то hello_html_76779d2f.gif Система совместна и, так как ранг матрицы hello_html_5dbdd787.gif меньше числа неизвестных системы, то система имеет множество решений.

Выберем в качестве базисного минора

hello_html_12d1b809.gif Тогда неизвестные х2, х3, х4 – базисные, а х1 и х5 – свободные. Укороченная система имеет вид

hello_html_m44c7c895.gif

Положим х1=с1, х5=с2. Тогда система примет вид

hello_html_m589798e5.gif

Так как х4=0, то из второго уравнения этой системы х3=3-4с2.

Подставляя х4 и х3 в первое уравнение, получим

hello_html_m65077e14.gif

Следовательно, общее решение исходной системы имеет вид

hello_html_m332ebda0.gif


Однородные системы

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

hello_html_m27618eb7.gifhello_html_m116337ea.gif                                              (1.3)

Такая система всегда совместна, так как этой системе удовлетворяют значения х1=х2=…=хn=0. Это решение системы называют тривиальным.

Теорема. Для того чтобы однородная система линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа неизвестных n.

Доказательство. По теореме Кронекера-Капелли, если r=n, то система имеет единственное решение. А так как система (1.3) имеет всегда тривиальное решение, то в этом случае оно и единственно, то есть при r=n система имеет лишь тривиальное решение.

При r<n система является неопределенной, то есть имеет бесчисленное множество решений, в том числе и нетривиальное.

Замечание. Если m=n, то есть число уравнений совпадает с числом неизвестных, матрица системы является квадратной. условие r

Пример 21. Решить систему