Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Технология / Конспекты / Лекции - техническая механика

Лекции - техническая механика

  • Технология

Название документа ДИНАМИКА 1.docx

Поделитесь материалом с коллегами:



Раздел 4. Динамика

  1. Аксиомы динамики

В динамике рассматривается движение материальных точек или тел под действием приложенных сил; устанавливается связь между приложенными силами и вызываемым ими движением. Динамика основывается на ряде вытекающих из опыта аксиом; некоторые из них были рассмотрены в статике.

Если на точку действует неуравновешенная система сил, точка имеет некоторое ускорение. Связь между действующей на точку силой и ускорением, вызываемым этой силой, устанавливается основной аксиомой динамики, которая заключается в следующем.

Ускорение а, сообщаемое материальной точке приложенной к ней силой F, имеет направление силы и по значению пропорционально ей (рис. а)

m = , (1)

или в скалярной формеhello_html_1e308746.png

та = F.

hello_html_1e308746.png















Коэффициент т, входящий в основное уравнение динамики, имеет очень важное физическое значение. Он представляет собой массу материальной точки.

Если решить уравнение (1) относительно ускорения, получим

а = F/m, (2)

т. е. чем больше масса, тем большая сила потребуется для сообщения телу определенного значения ускорения. Таким образом, масса материальной точки является мерой ее «инертности». Из уравнения (1) находим массу

т = F/a. (3)

Если это уравнение применить к материальной точке, находящейся под действием силы тяжести G, получим

т = G/g,

где g — ускорение свободного падения.

Масса пропорциональна силе тяжести тела и представляет собой постоянную скалярную величину, которая всегда положительна и не зависит от характера движения.

В динамике используют также аксиому независимости действия сил, устанавливающую, что при действии на материальную точку нескольких сил ускорение, получаемое точкой, будет таким же, как при действии одной силы, равной геометрической сумме этих сил (рис. б), т. е.

m =1 + 2 +3+ n= FΣ, (4)



где FΣ =1 + 2 +3 +…nравнодействующая системы сил, приложенных к рассматриваемой точке.

Рассмотрим системы единиц и их взаимосвязь. В Международной системе единиц (СИ) за основные единицы принимают единицу длины — метр (м), единицу времени — секунду (с) и единицу массы — килограмм (кг). Производной является единица силы. Если в формуле F = та принять т = 1 кг, а = 1 м/с2, то получим единицу силы — ньютон (Н), который способен сообщить массе в 1 кг ускорение 1 м/с2,

[F] = [m](a)= кг * м / с2 = H.

Иногда возникает необходимость перейти от единиц одной системы к единицам другой системы. Сила тяжести, пропорциональная 1 кг массы, выраженная в ньютонах (Н), соответственно составит

G = mg = 1 кг * 9,81 м/с2 = 9,81 кг * м / с2 = 9,81 Н,

но в то же время сна составляет одну килограмм-силу.

Итак, килограмм-сила эквивалентна 9,81 Н, т. е. 1 кгс = 9,81 Н или 1 Н = 0,102 кгс или приближенно 1 Н = 0,1 кгс.

На основе аксиом динамики можно решить следующие две основные задачи.

Прямая задача динамики заключается в том, чтобы по заданному движению материальной точки определить силы, действующие на нее. Для ее решения прежде всего необходимо определить ускорение точки из условий кинематики. Определив ускорение точки, нужно затем воспользоваться основным законом динамики и найти действующую силу. Если на точку действует несколько сил и неизвестны лишь некоторые из них, то для их определения приходится использовать аксиому независимости действия сил.

Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным силам определить движение точки. Здесь также приходится использовать основной закон динамики. Из этого закона ускорение определяется через действующую силу и заданную массу точки.

  1. Понятие о силах инерции. Метод кинетостатики

Пусть на материальную точку М действует некоторая система сил F1, F2, F3, ..., Fn ( рис. 2). Среди сил могут быть активные силы и реакции связей.hello_html_562875d6.png

На основании аксиомы независимости действия сил точка М под действием этих сил получит такое же ускорение, как если бы на нее действовала лишь одна сила, равная геометрической сумме заданных сил,

Рис. 2 m =1 + 2 +3+ n= FΣ,

где а — ускорение точки М; т — масса точки М; Fs — равнодействующая системы сил.

Перенесем вектор, стоящий в левой части уравнения, в правую часть. После этого получим сумму векторов, равную нулю,

-m +1 + 2 +3+ n= 0.

Введем обозначение - та = Fин, тогда приведенное уравнение можно представить в виде

ин+1 + 2 +3+ n= 0. (5)



Таким образом, все силы, включая силу Fин, должны уравновешиваться, так как силы Fин и FΣ равны между собой и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Сила Fин равная произведению массы точки на ее ускорение, но направленная в сторону, противоположную ускорению, называется силой инерции.

Из последнего уравнения следует, что в каждый данный момент времени силы, приложенные к материальной точке, уравновешиваются силами инерции. Приведенный вывод называют началом Д'Аламбера. Он может быть применен не только к материальной точке, но и к твердому телу или к системе тел. В последнем случае он формулируется следующим образом: если ко всем действующим силам, приложенным к движущемуся телу или системе тел,, приложить силы инерции, то полученную систему сил можно рассматривать как находящуюся в равновесии.

Следует подчеркнуть, что силы инерции действительно существуют, но приложены не к движущемуся телу, а к тем телам, которые вызывают ускоренное движение.

Применение начала Д'Аламбера позволяет при решении динамических задач использовать уравнения равновесия. Такой прием решения задач динамики носит название метода кинетостатики.

Рассмотрим, как определяется сила инерции материальной точки в различных случаях ее движения.

1. Точка М массой т движется прямолинейно с ускорением (рис. 3, а, б). При прямолинейном движении направление ускорения совпадает с траекторией. Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению, и численное значение ее определяется по формуле

Fин = та.hello_html_562875d6.png

hello_html_562875d6.png











Рис. 3

При ускоренном движении (рис. 3, а) направления ускорения и скорости совпадают и сила инерции направлена в сторону, противоположную движению. При замедленном движении (рис. 3, б), когда ускорение направлено в сторону, обратную скорости, сила инерции действует по направлению движения.

2. Точка М движется криволинейно и неравномерно (рис. 3, в). При этом, как известно из предыдущего, ее ускорение может быть разложено на нормальную аn и касательную аt

составляющие. Аналогично сила инерции точки Fин также складывается из двух составляющих: нормальной и касательной.

Нормальная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на нормальное ускорение и направлена противоположно этому ускорению

Fnин= тап. (6)

Касательная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на касательное ускорение и направлена противоположно этому ускорению

Ftин = mat. (7)

Очевидно, что полная сила инерции точки М равна геометрической сумме нормальной и касательной составляющих, т. е.

Fин =Fnин + Ftин (8)

Учитывая, что касательная и нормальная составляющие взаим? но перпендикулярны, полная сила инерцииhello_html_m547d3b53.png

(9)hello_html_4137f5e3.png























hello_html_m59f625f2.png











hello_html_m59f625f2.png





















hello_html_m59f625f2.png



























hello_html_m59f625f2.png

































hello_html_47d2473d.png





























hello_html_m2a068eda.png













hello_html_2ca20361.pnghello_html_2ca20361.png

















hello_html_m2a87ef0.png















hello_html_3901e761.png







hello_html_3901e761.pnghello_html_3901e761.png























hello_html_3901e761.png













  1. Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении

Определим работу для случая, когда действующая сила постоянна по величине и направлению, а точка ее приложения перемещается по прямолинейной траектории. Рассмотрим материальную точку С, к которой приложена постоянная по значению и направлению сила F (рис. 4, а). За некоторый промежуток времени t точка С переместилась в положение С1 по прямолинейной траектории на расстояние s.hello_html_cb8678b.png









Рис 4









Работа W постоянной силы F при прямолинейном движении точки ее приложения равна произведению модуля силы F на расстояние s и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения, т. е.

W = Fs cos (F, s) == Fs cos a. (10)

Угол α между направлением силы и направлением движения может меняться в пределах от 0 до 180°. При α < 90° работа положительна, при α > 90° — отрицательна, при α = 90° W = 0 (работа равна нулю).

Если сила составляет с направлением движения острый угол, она называется движущей силой, ее работа всегда Положительна. Если угол между направлениями силы и перемещения тупой, сила оказывает сопротивление движению, совершает отрицательную работу и носит название силы сопротивления. Примерами сил сопротивления могут служить силы резания, трения, сопротивления воздуха и другие, которые всегда направлены в сторону, противоположную движению.

Когда α = 0, т. е. когда направление силы совпадает с направлением скорости, W = Fs, так как cos α = 1. Произведение F cos a есть проекция силы F на направление движения материальной точки. Следовательно, работу силы можно определить как произведение перемещения s и проекции силы F на направление движения точки.

За единицу работы в Международной системе единиц (СИ) принят джоуль (Дж), равный работе силы в один ньютон (Н) на совпадающем с ней по направлению движения длиной в один метр (м): 1 Дж = 1 Н * м = 1 кг * м22. Применяется также

более крупная единица работы — килоджоуль (кДж), 1 кДж = 1000 Дж = 103 Дж. В технической системе (МКГСС) за единицу работы принят килограмм-сила метр (кгс-м).

  1. Работа силы на криволинейном перемещении

При криволинейном движении формулой (10) пользоваться нельзя. В этом случае пользуются понятием элементарной работы на бесконечно малом участке пути ds (рис. 4, б), который можно считать прямолинейным,

dW=Fds cos (F, v)

где v — скорость точки, совпадающая по направлению с элементарным перемещением.

Cуммируя элементарные работы на конечном отрезке пути, получаем полную работу

W= ΣF ds cos{F, v). (11) ,

hello_html_6779abf9.png

Используем эту формулу для вычисления работы силы тяжести. Пусть некоторая точка, сила тяжести которой G, переместилась по криволинейной траектории из точки С1 в точку С2, опустившись на высоту Н (рис. 5). Из рисунка следует, что ds cos (G, v) представляет собой проекцию элементарного направление силы G, т. е.

ds cos (G, v) = dy.

Формула для работы принимает вид

W = ΣGdy.

Вынося из-под знака суммы постоянную величину — силу тяжести

Рис. 5

тела G — и учитывая, что сумма элементарных перемещений вдоль оси у равна полной высоте перемещения тела Σ dy = Н, получаем

W = G Σ dy = GH, (12)

т. е. работа силы тяжести равна произведению силы тяжести на вертикальное перемещение ее точки приложения. Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой перемещается центр тяжести тела.



5. Мощность

Мощностью называется работа, совершаемая силой в единицу времени. Средняя мощность Рср силы F за время Δt на перемещении Δs, с которым сила образует угол а, определяется по формуле (см. § 70)

Pср = ΔW/Δt = FΔs cosαt

Переходя к пределу при стремлении рассматриваемого промежутка времени к нулю, получаем истинную мощность

hello_html_41c04b3.png



Как было указано, F cos a является проекцией силы на направление движения материальной точки. Обозначив F cos α через Fv, получим

P = Fv ds/dt = Fvv

так как

ds/dt = v

Мощность измеряется в единицах работы, отнесенных к единице времени. За единицу мощности принят ватт (Вт) — мощность, соответствующая работе в один джоуль в секунду,

1 Вт =1 Дж/с = 1 Н м/с

Название документа ДИНАМИКА 2.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

5. Мощность

Мощностью называется работа, совершаемая силой в единицу времени. Средняя мощность Рср силы F за время Δt на перемещении Δs, с которым сила образует угол а, определяется по формуле (см. § 70)

Pср = ΔW/Δt = FΔs cosαt

Переходя к пределу при стремлении рассматриваемого промежутка времени к нулю, получаем истинную мощность

hello_html_41c04b3.png



Как было указано, F cos a является проекцией силы на направление движения материальной точки. Обозначив F cos α через Fv, получим

P = Fv ds/dt = Fvv

так как

ds/dt = v

Мощность измеряется в единицах работы, отнесенных к единице времени. За единицу мощности принят ватт (Вт) — мощность, соответствующая работе в один джоуль в секунду,

1 Вт =1 Дж/с = 1 Н м/с

6. Работа и мощность при вращательном движении

Часто встречаются детали машин, вращающиеся вокруг неподвижных осей. Причиной вращательного движения является приложенный к телу вращающий момент относительно оси, который создается парой сил или силой F (рис. 137) и определяется по формуле

M = FD/2

При повороте тела (рис. 137) на малый угол работа совершается силой F, точка приложения которой перемещается из положения С1 в положение С2. Полное перемещение точки приложения силы равно длине дуги радиусом R

ds= R hello_html_m2f994fd2.png

Так как сила F все время направлена по касательной к перемещению s, то совершаемая ею работа определится как произведение силы на перемещение

dW = Fds = FRdφ = F * D/2 * dy. Произведение силы на радиус определяет вращающий момент, т. е. F D/2 = М. Учитывая это, окончательно находим dW = М . Интегрируя, получим

W = Мφ. (1)

Работа вращающего момента равна произведению момента на угол поворота.

Определим мощность при вращательном движении

P = dW/dt = Mdφ/dt = (2)

Мощность при вращательном движении тела равна произведению вращающего момента (момента пары) на угловую скорость.

Подставив в выражение мощности значение угловой скорости, выраженной через частоту вращения (об/мин) ω = πn/30 получим

P = Mπn/30 = Mn/9,55



откуда

M= 30P/πn = 9,55P/n (3)

При данной мощности двигателя максимальный вращающий момент, который двигатель способен развить, можно изменить путем варьирования частоты вращения. Уменьшая частоту вращения, увеличивают вращающий момент и, наоборот, увеличивая частоту вращения, вращающий момент уменьшают.hello_html_m6de77611.png















7. Понятие о трении

При движении друг относительно друга двух соприкасающихся тел (рис. 138) по поверхности их соприкосновения возникает касательная реакция, препятствующая движению. Она называется силой внешнего трения Rf и направлена в сторону, противоположную движению.

hello_html_14ec2cfe.png

















Рис. 138 Рис.139

Трение в машинах играет существенную роль. В передаточных механизмах — фрикционных, канатных, ременных и др. — передача движения от ведущего звена к ведомому осуществляется трением. В других случаях трение препятствует движению, поглощая значительную часть работы движущих сил.

В зависимости от вида относительного движения соприкасающихся тел различают трение скольжения и трение качения.

Основную зависимость для силы трения скольжения можно выразить формулой

Rf = f F, (4)

где f — коэффициент пропорциональности, или коэффициент трения скольжения, зависящий от рода трущихся тел и физического состояния контактирующих поверхностей; F — сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу.

Таким образом, сила трения прямо пропорциональна нормальному давлению и направлена в сторону, противоположную относительной скорости движения.

Из формулы (4) находим значение коэффициента трения скольжения

f = Rf / F = Rf / Rn

где Rn — нормальная реакция.

hello_html_6d691cda.png













Рис. 140 Рис.141

Коэффициент трения скольжения f является безразмерной величиной.

Обозначив суммарную реакцию сил Rn и Rf через RΣ (рис. 139) и угол между суммарной и нормальной реакцией через ρ, находим, что коэффициент трения скольжения f является отношением противолежащего катета Rf к прилежащему Rn в прямоугольном треугольнике и определяется как тангенс угла ρ, т. е.

f =Rf /Rn = tgρ. (5)

Угол ρ называется углом трения, следовательно, коэффициент трения скольжения численно равен тангенсу угла трения.

Если вокруг оси, перпендикулярной к опорной плоскости, путем вращения вектора полной реакции RΣ образовать поверхность кругового конуса (рис. 140), то получим так называемый конус трения с углом при вершине, равным двойному углу трения 2ρ

Если воздействовать на тело силой FД, расположенной внутри конуса трения, то как бы ни была велика эта сила, она не сможет вывести тело из состояния равновесия. Это явление носит название самоторможения.

Сопротивление трения качения возникает при перекатывании криволинейных поверхностей контактирующихся тел.

При перекатывании цилиндра по горизонтальной опорной поверхности (рис. 141) в зоне их контакта создаются силы реакции.

Зти силы распределены неравномерно. Их величина больше там, где происходит смятие при перекатывании цилиндра (участок СВ)и меньше в зоне разъединения (участок АС). Вследствие этого нормальная реакция Rn, являющаяся равнодействующей всех сил

реакций, смещается в сторону движения катящегося тела.


Смещение k от линии действия силы тяжести цилиндра численно определяет коэффициент трения качения, который обозначается через fK и измеряется в миллиметрах.


Представим себе, что к цилиндру на некотором расстоянии h над плоскостью качения приложена сила F, под действием которой цилиндр равномерно катится по опорной плоскости. Составим сумму моментов относительно точки С всех сил, действующих на цилиндр,

ΣМС(F) = 0; Fh - RnfK = 0

(где fK — коэффициент трения качения), откуда при Rn = G

hello_html_m686d4549.png


(6)



Очевидно, что коэффициент трения качения fK имеет размерность длины.

Пример 1. Тело массой т =50 кг передвигают по полу при помощи горизонтальной силы Q на расстояние s = 6 м. Определить работу, которую совершит сила трения, если коэффициент трения между поверхностью тела и полом f = 0,3 (рис. 1.63).

Решение. Согласно закону Аммонтона — Кулона сила трения Rf = fRn, где Rn = G = mg. Сила трения направлена в сторону, противоположную движению, поэтому работа этой силы отрицательна:hello_html_e7e8f29.png

WTp= -Ts= - f Rn s= - 0,3 * 50 * 9,81 *6= - 883 Н * м.





Рис. 1,63





Пример 1.47. Колесо радиусом R = 0,3м катится без скольжения по горизонтальному рельсу (рис. 1.66). Найти работу трения качения при перемещении центра колеса на расстояние s = 30 м, если вертикальная нагрузка на ось колеса составляет Р =100 кН. Коэффициент трения качения колеса по рельсу равен k = 0,005 см. hello_html_4bddea96.png

Решение. Трение качения возникает из-за деформаций колеса и рельса в зоне их контакта. Нормальная реакция N смещается вперед по направлению движения и образует с вертикальной силой давления Р па ось колеса пару, плечо которой равно коэффициенту трения качения k, а момент

M = Nk = Pk.

Эта пара стремится повернуть колесо в направлении, противоположном его вращению. Поэтому работа трения качения будет отрицательной и определится как произведение постоянного момента трения на угол поворота колеса φ, т. е. Рис. 1.66

A = - = -kPφ.

hello_html_m6fcce92e.png















8. Коэффициент полезного действия

Создавая машину, важно не только обеспечить движение рабочих органов машины, удовлетворяющих заданному технологическому процессу, но необходимо, чтобы машина обладала достаточно высоким коэффициентом полезного действия (к. п. д.).

При наличии сил трения и сопротивления воздуха не вся затраченная работа W3 используется в машинах или механических устройствах. Полезная работа Wп всегда меньше затраченной, т. е. Wп < W3 и их отношение определяет важнейшую технико-экономическую характеристику — к. п. д.

η = Wn/Ws. (7)

При установившемся движении рабочих органов машины сумма работ всех сил, приложенных к ним, будет равна нулю, т. е.

ΣWз = Wз - Wп - Wв. с

(где WВ.С — работа вредных сопротивлений), откуда

hello_html_m6ea2a767.png

Подставляя в формулу (7) значение Wn, получимhello_html_39ab0fce.png

(8)


Так как работа вредных сопротивлений в машине WB.C никогда не может быть равна нулю, то WB.C /W3 > 0 и η < 1.

Следовательно, для увеличения к. п. д. необходимо стремиться к уменьшению вредных сопротивлений, тогда к. п. д. будет стремиться к единице.


9. Закон изменения количества движения


Количеством движения материальной точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на ее скорость,

q = mv. (9)

Вектор количества движения по направлению совпадает со скоростью. Количество движения материальной точки [можно спроектировать на координатные оси. Проекцией на ось х будет mvx, проекцией на ось у mvy, проекцией на ось г mv2,

Единица измерения количества движения в Международной системе единиц (СИ)

[q]= [mv] = [т] [v] = кг * м/с.

Импульсом постоянной силы называется вектор, равный произведению силы на время ее действия и имеющий направление силы

S = F(t2t1)



где t2 и t1 конечный и начальный моменты времени.

Единица измерения импульса силы в Международной системе единиц (СИ) равна единице количества движения hello_html_72d5385d.png

[S] = [Ft] = [F] [t] = H*c = кг * м/с.

Установим закон изменения количества движения для случая, когда точка С движется прямолинейно под действием постоянной силы (рис. 142). Согласно основному уравнению динамики, ускорение точки при этом — постоянно, и точка движется равнопеременно.

Скорость точки С в произвольный момент времени определяем по формуле равнопеременного движения

v2 = v1 + at,

откуда а = (v2v1) / t.

Подставим найденное значение ускорения в основной закон динамики

F = ma = m(v2 — v1)/t

или

Ft = mv2 mv1



Учитывая, что произведение Ft является импульсом действующей силы, окончательно имеем

S = F (t2 t1) = mv2 mv1. (10)

Следовательно, алгебраическое приращение количества движения материальной точки при прямолинейном движении за время t = t2t1 равно импульсу действующей силы за тот же промежуток времени.hello_html_mf141fca.png



























10. Потенциальная и кинетическая энергия

Существуют две основные формы механической энергии: потенциальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия, или энергия движения. Чаще всего приходится иметь дело с потенциальной энергией сил тяжести. Потенциальной энергией силы тяжести материальной точки или тела в механике называется способность этого тела или точки совершать работу при опускании с некоторой высоты до уровня моря (до какого-то уровня). Потенциальная энергия численно равна работе силы тяжести, произведенной при перемещении с нулевого уровня до заданного положения. Обозначив потенциальную энергию ЕП, получим

ЕП = GН, (11)

где G — сила тяжести точки (или тела); H — высота центра тяжести от пулевого уровня.

Кинетическая энергия определяется способностью двиоюущегося тела (или точки) совершать работу. Для материальной точки кинетическая энергия численно равна полупроизведению ее массы на квадрат скорости, т. е. mv2/2.

Потенциальная и кинетическая энергия также измеряются в единицах работы:hello_html_m7ec1702.png



Всякое твердое тело или механическая система состоит из множества отдельных материальных точек. Поэтому кинетическую энергию твердого тела или какой-либо механической системы можно представить как сумму кинетических энергий всех точек, образующих тело или систему. Обозначив кинетическую энергию тела или системы ЕK получим EK = Σ dmv2/2

где dm — элементарная масса точки; v — скорость этой точки.

11. Кинетическая энергия тела в разных случаях его движения

Найдем кинетическую энергию твердого тела при поступательном движении (см. рис. 121). Поступательное движение тела характеризуется тем, что скорости движения всех его точек равны между собой и имеют одинаковое направление, т. е.hello_html_17e194bf.png

v = vМ= vB = …= vC

где vcскорость центра тяжести тела или любой другой; точки тела.

Кинетическая энергия тела для рассматриваемого случая

EK = Σdmv2C /2= v2C /2Σdm = Mv2C /2

где М — масса всего твердого тела.

Следовательно, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения квадрата скорости любой точки тела на массу тела.

Найдем кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг, неподвижной оси. Если тело вращается вокруг оси у с угловой скоростью (см. рис. 122 и 123, а), то скорость произвольной точки тела пропорциональна расстоянию этой точки до оси вращенияhello_html_5b95c261.png

v = ,

где r — расстояние точки от оси вращения — величина переменная;

ω — угловая скорость (для всех точек тела имеет одинаковое значение).

Подставив значение v в формулу кинетической энергии и вы-неся постоянные величины за знак суммы, получим

EK = Σdmv2/2= Σdm()2 /2=ω2/2 Σdmr2

Численное значение интеграла Σ dmr2, представляющее сумму произведений массы каждой частицы на квадрат ее расстояния до оси вращения z, называется моментом инерции массы тела относительно этой оси и обозначается JZ. Момент инерции массы тела играет очень большую роль в динамике твердого тела.

Следовательно, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения квадрата угловой скорости на момент инерции массы тела относительно оси его вращения

EK = JZ ω2/2

Плоскопараллельное движение, как было показано в кинематике, можно разложить на два движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное вокруг полюса. Соответственно и кинетическая энергия тела при плоскопараллельном движении складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с некоторым полюсом и кинетической энергии вращательного движения вокруг полюса

Ек = Mv2/2 + Jω2/2 (12)

где v — скорость поступательного движения полюса; ω — угловая скорость вращения тела, не зависящая от выбора полюса.

12. Моменты инерции некоторых однородных тел

Момент инерции массы любого тела J = Σmi ri2 (13)

Установим единицу измерения момента инерции [J] = m * r = кг * м2.

Приведем формулу (без выводов) для вычисления моментов инерции простейших тел относительно некоторых осей.



hello_html_m524e0094.png















Рис. 144

1. Для однородного стержня относительно оси z, перпендикулярной к оси стержня и проходящей через его конец (рис. 144, а),

JZ = ml2/3,

где т — масса стержня; l — длина стержня.

Для однородного стержня относительно оси г0 (рис. 144, а), проходящей через его центр тяжести,

JZ = ml2 /12,

2. Для однородного цилиндра (рис. 144, б)

JZ = mD2/8,

где т — масса цилиндра; D — диаметр цилиндра.

3. Для окружности или тонкого кольца, если пренебречь его толщиной (рис. 144, в),

JZ = mD 2/4.

13. Закон изменения кинетической энергии

Пусть на материальную точку массой т действует постоянная сила F. В этом случае точка имеет постоянное ускорение а = F/m; движение ее будет равномерно-ускоренным.hello_html_72d5385d.png

Рассмотрим случай, когда направление движения совпадает с направлением силы F (см. рис. 142). Пусть точка под действием силы F переместится из положения С1 в положение С2.Если обозначить начальную и конечную скорости точки соответственно через v1 и v2 то ускорение движения можно определить но формуле

a = v2-v1/t (а)

где t—время движения.

Перемещение точки приложения силы

S =(v2+v1)* t /2. (б)

Работа силы F, учитывая, что ее направление совпадает с перемещением, такова:

W = Fs = F(v2+v1)* t /2

Подставив в выражение работы значение силы F, по основному закону динамики F = та = т* v2-v1/t получим

W = mas.

В последнем уравнении заменим значение ускорения а и перемещения s их выражениями по (а) и (б)hello_html_f8b2f3c.png



Это уравнение показывает, что изменение кинетической энергии материальной точки равно работе силы, действующей на точку.

Для системы материальных точек, например для твердого тела, закон кинетической энергии имеет аналогичный вид

E2 E1 = ΣW, (14)

т. е. изменение кинетической энергии системы материальных точек равно сумме работ, действующих на систему сил.

hello_html_290a012a.jpg



hello_html_290a012a.jpg



















































hello_html_4bd6cf68.png







hello_html_4bd6cf68.png















































14. Основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела

Определим зависимость между приложенными к вращающемуся телу силами и сообщаемым ему угловым ускорением е (рис. 145).hello_html_m6c0e0da0.png

Рассмотрим элементарную частицу тела dm и приложим к ней нормальную и касательную составляющие силы инерции. Приложив силы инерции ко всем частицам тела, получим уравновешенную систему сил. Применим к этой системе уравнения равновесия. Алгебраическую сумму вращающихся моментов внешних

сил F1, F2, ..., Fn относительно оси вращения у обозначим Mye Нормальные силы инерции пересекают ось вращения и не создают относительно нее момента. Касательные силы инерции создают моменты относительно оси вращения. Плечом касательной

силы инерции Fинt каждой точки является соответствующий радиус ri

Направление суммарного момента этих сил противоположно направлению углового ускорения е и вращающего момента Mye так как касательная сила инерции любой точки направлена противоположно ее касательному ускорению. Значение касательной силы инерции точек вращающего тела определяется по формуле

dFИНt = dmat = dmrε.

Составим уравнение моментов относительно оси вращения у:

ΣMiy =0; M -- ΣdFинt r = 0

откуда

ΣdFинt r = M

Подставив значение dFинt , получим

Σ dmr2ε = М.

Вынесем значение углового ускорения е за знак суммы как величину, одинаковую для всех точек тела, получим

ε Σ dmr2

Множитель при ε — знакомая нам величина; это момент инерции тела относительно оси у

Σ dmr2=Jy

Окончательно получим ε Jy = M (15)



Это основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела. Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил относительно оси вращения.

Из уравнения (15) следует, что

ε = M / Jу.

Чем больше момент инерции тела, тем больший вращающий момент следует приложить для сообщения телу определенного углового ускорения ε. Поэтому момент инерции массы можно рассматривать как меру инертности твердого тела во вращательном движении аналогично тому, как масса служит мерой инертности материальной точки или тела при поступательном движении.hello_html_7eaab440.png



























hello_html_1942432a.png

























Название документа Динамика.docx

Поделитесь материалом с коллегами:



Раздел 4. Динамика



Динамика это часть теоретической механики, в которой рассматривается движение материальной точки или тела под действием приложенных сил и устанавливается связь между приложенными силами и движением точек и тел которые они вызывают.

Аксиомы динамики

Аксиома I (закон или принцип инерции). Система сил, приложенная к материальной точке, является уравновешенной, если под ее воздействием точка находится в состоянии относительного покоя или движется равномерно и прямолинейно.

В случае относительного покоя или равномерного и прямолинейного движения ускорение материальной точки равно нулю. Поэтому под действием уравновешенной системы сил или при отсутствии силовых воздействий материальная точка не испытывает ускорений и движется равномерно и прямолинейно.

Материальная точка, которая не испытывает силовых воздействий со стороны других точек и тел, называется в механике изолированной точкой. Следовательно, ускорение изолированной материальной точки всегда равно нулю. Материальная точка не может самопроизвольно изменить свою скорость. Для изменения скорости точки совершенно необходимо какое-то внешнее силовое воздействие со стороны другого тела. Первая аксиома динамики выражает основное свойство материального тела — неспособность сообщать самому себе ускорение.

Основной закон динамики материальной точки


Когда на точку действует неуравновешенная система сил, точка будет двигаться или прямолинейно, или неравномерно, т. е. будет иметь некоторое ускорение.

Аксиома II. Ускорение, сообщаемое материальной точке приложенной к ней силой, имеет направление силы и по величине пропорционально ей m



F = та (1) a p



где Р - сила действия на точку, в результате чего появляется ускорение движения точки;

a - ускорение, сообщаемое материальной точке;

m – масса материальной точки.

Уравнение (1) называется основным уравнением динамики в векторной форме. Оно также справедливо и в скалярной форме

F = та. (1а)

Если решить уравнение (139а) относительно ускорения, получим

а = F/m. (2)


Из уравнения (2) видно, что чем больше масса, тем большая сила потребуется для сообщения телу определенного ускорения. Следовательно, масса характеризует «инертность», или «неподатливость», тела воздействию силы.

Таким образом, масса материальной точки является мерой ее «инертности».

Из уравнения (1) находим массу

т =F / a (3)




Если применить уравнение (3) к материальной точке, находящейся под действием силы тяжести G, то получим

m = G / g (3а)



где Gвес тела (сила тяжести);

g — ускорение силы тяжести — величина, зависящая от широты места (меньше на экваторе и больше на полюсе); для средних широт обычно принимают

g = 9,81 м /сек2.

Из уравнения (3а) видно, что масса пропорциональна весу тела. Инертная масса материальной точки представляет собой скалярную величину, которая всегда положительна. С точки зрения теоретической механики масса точки или тела является постоянной величиной m = const, не зависящей от движения. Масса служит более полной характеристикой тела, чем вес, так как вес в разных точках Земли различен, а масса всегда остается одинаковой. Физически массу можно рассматривать как количество вещества, заключенного в теле.

Аксиома независимости действия силhello_html_1e308746.png

Аксиома III. Если на материальную точку действует несколько сил, то ускорение, получаемое точкой, будет такое же, как и при действии одной силы, равной геометрической сумме этих сил .

ma =F1 + F2 +F3+ Fn= FΣ, (4)



где FΣ =F1 + F2 +F3 +…Fnравнодействующая системы сил, приложенных к рассматриваемой точке.

Рассмотрим системы единиц и их взаимосвязь. В Международной системе единиц (СИ) за основные единицы принимают единицу длины — метр (м), единицу времени — секунду (с) и единицу массы — килограмм (кг). Производной является единица силы. Если в формуле F = та принять т = 1 кг, а = 1 м/с2, то получим единицу силы — ньютон (Н), который способен сообщить массе в 1 кг ускорение 1 м/с2,

[F] = [m](a)= кг * м / с2 = H.

Иногда возникает необходимость перейти от единиц одной системы к единицам другой системы. Сила тяжести, пропорциональная 1 кг массы, выраженная в ньютонах (Н), соответственно составит

G = mg = 1 кг * 9,81 м/с2 = 9,81 кг * м / с2 = 9,81 Н,

но в то же время сна составляет одну килограмм-силу.

Итак, килограмм-сила эквивалентна 9,81 Н, т. е. 1 кгс = 9,81 Н или 1 Н = 0,102 кгс или приближенно 1 Н = 0,1 кгс.

Системы единиц

Сила F = ma = кг * м/с2 = Н


Масса ют =F / a = кГ * с2/м - техническая единица массы







Аксиома взаимодействияhello_html_m6f52ad2b.png

Аксиома IV. Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие. Иными словами, силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю и направлены по прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

F1 = F2 =>

F1 = m1a1 ; F2 = m2a2 =>

m1a1 = m2a2

m1 / m2 = a2 / a1

Ускорение, возникающее при взаимодействии двух тел, обратно пропорционально их массам.

Две основные задачи динамики.

Прямая задача динамики заключается в том, чтобы по заданному движению материальной точки определить силы, действующие на нее. Для ее решения прежде всего необходимо определить ускорение точки из условий кинематики. Определив ускорение точки, нужно затем воспользоваться основным законом динамики и найти действующую силу. Если на точку действует несколько сил и неизвестны лишь некоторые из них, то для их определения приходится использовать аксиому независимости действия сил.

Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по заданным силам определить движение точки. Здесь также приходится использовать основной закон динамики. Из этого закона ускорение определяется через действующую силу и заданную массу точки



Пример 1. Материальная точка весом G = 100 Н движется по прямой гладкой поверхности с а = 1,5 м/с2. Определить силу F вызывающее это движение.

Дано: N а F

G = 100 Н

а = 1,5 м/с2

___________ G

F -? F = та ; G = mg => m = G / g => F = G / g * a = 100 / 9,81 * 1,5 = 15,3 H



Пример 2. Под действием собственного веса тело падает с высоты 1500 м испытывая при этом сопротивление воздуха равное половине веса тела. Найти а) ускорение тела и скорость ч/з 5 сек после начала движения. б) ч/з сколько времени упадет тело на землю, в) какую скорость оно будет иметь в момент касания Земли.

Дано: v0 = 0

at = const F = таt = G / g * at

H = S = 1500м Rвоз F = G – R = G – 0,5G = 0,5G

Rвоз = 0,5 G 0,5G = G * at / g => at = 0,5g = 4,9м/с2

t1 = 5с H = S v1 = at * t= 4,9 * 5 = 24,525 м/с

__________ F G S = at * t2 / 2 => t = 2S / at = 2 * 1500/4,9=24,73c

v1 - ? at -? v2 = at * t2= 4,9 * 24,73 = 121,3м/с

t2 -? v2 -?





Д/з

Пример 3. Тело массой 5 кг, движется по прямой с ускорением 2 м/с2. Сила F направлена к горизонтали под углом 300. Определить величину этой силы.

Дано: F F * cos300 = ma => F = m * a / cos300= 5 * 2 / 0,866 =

m = 5кг 300 11,547 H

a = 2м/с2

_______

F - ?



  1. Понятие о силах инерции. Метод кинетостатики

Пусть на материальную точку М действует некоторая система сил F1, F2, F3, ..., Fn ( рис. 2). Среди сил могут быть активные силы и реакции связей.hello_html_562875d6.png

На основании аксиомы независимости действия сил точка М под действием этих сил получит такое же ускорение, как если бы на нее действовала лишь одна сила, равная геометрической сумме заданных сил,

Рис. 2 mа =F1 + F2 +F3+ …+ Fn= FΣ,

где а — ускорение точки М; т — масса точки М; Fs — равнодействующая системы сил.

Перенесем вектор, стоящий в левой части уравнения, в правую часть. После этого получим сумму векторов, равную нулю,

-ma +F1 + F2 +F3+ …+ Fn= 0.

Введем обозначение - та = Fин, тогда приведенное уравнение можно представить в виде

Fин+F1 + F2 +F3+ …+Fn= 0. (5)



Таким образом, все силы, включая силу Fин, должны уравновешиваться, так как силы Fин и FΣ равны между собой и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Сила Fин равная произведению массы точки на ее ускорение, но направленная в сторону, противоположную ускорению, называется силой инерции.

Из последнего уравнения следует, что в каждый данный момент времени силы, приложенные к материальной точке, уравновешиваются силами инерции. Приведенный вывод называют началом Д'Аламбера. Он может быть применен не только к материальной точке, но и к твердому телу или к системе тел. В последнем случае он формулируется следующим образом: если ко всем действующим силам, приложенным к движущемуся телу или системе тел,, приложить силы инерции, то полученную систему сил можно рассматривать как находящуюся в равновесии.

Следует подчеркнуть, что силы инерции действительно существуют, но приложены не к движущемуся телу, а к тем телам, которые вызывают ускоренное движение.

Применение начала Д'Аламбера позволяет при решении динамических задач использовать уравнения равновесия. Такой прием решения задач динамики носит название метода кинетостатики.







Рассмотрим, как определяется сила инерции материальной точки в различных случаях ее движения.

1. Точка М массой т движется прямолинейно с ускорением (рис. 3, а, б). При прямолинейном движении направление ускорения совпадает с траекторией. Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению, и численное значение ее определяется по формуле

Fин = та = (G / g) * a .hello_html_562875d6.png

hello_html_562875d6.png











Рис. 3

При ускоренном движении (рис. 3, а) направления ускорения и скорости совпадают и сила инерции направлена в сторону, противоположную движению. При замедленном движении (рис. 3, б), когда ускорение направлено в сторону, обратную скорости, сила инерции действует по направлению движения.

2. Точка М движется криволинейно и неравномерно (рис. 3, в). При этом, как известно из предыдущего, ее ускорение может быть разложено на нормальную аn и касательную аt

составляющие. Аналогично сила инерции точки Fин также складывается из двух составляющих: нормальной и касательной.

Нормальная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на нормальное ускорение и направлена противоположно этому ускорению

Fnин= тап. (6)

Касательная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на касательное ускорение и направлена противоположно этому ускорению

Ftин = mat. (7)

Очевидно, что полная сила инерции точки М равна геометрической сумме нормальной и касательной составляющих, т. е.

Fин =Fnин + Ftин (8)

Учитывая, что касательная и нормальная составляющие взаим но перпендикулярны, полная сила инерцииhello_html_m547d3b53.png



Если v = const т.е. при криволинейном равномерном движении, то at = 0 => Fnин= тап Fnин v = const

где ап = v2/r

an r



3.Точка М принадлежит телу которое вращается вокруг неподвижной оси:

hello_html_m59f625f2.png

  1. Касательное ускорение - at = r* ε

  2. Нормальное ускорение - an = r * ω2

  3. Полное ускорение - a = at2 + an2 =

= √(2)2 + ()2

  1. Полная сила инерции - Fин = та =

= (G / g) * a = (G / g)* r*ε2 + ω4

Fин = √(Fиt)2 + (F иn)2

где Fиt = (G/g)* r* ε ; F иn = (G/g)* r* ω2hello_html_m59f625f2.png







hello_html_4137f5e3.png



















hello_html_m59f625f2.png











hello_html_m59f625f2.png











hello_html_47d2473d.png





















hello_html_m2a068eda.png









hello_html_2ca20361.pnghello_html_2ca20361.png















hello_html_m2a87ef0.png















hello_html_m2a87ef0.png



hello_html_3901e761.png





hello_html_3901e761.pnghello_html_3901e761.png















hello_html_3901e761.png









































  1. Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении

Определим работу для случая, когда действующая сила постоянна по величине и направлению, а точка ее приложения перемещается по прямолинейной траектории. Рассмотрим материальную точку С, к которой приложена постоянная по значению и направлению сила F (рис. 4, а). За некоторый промежуток времени t точка С переместилась в положение С1 по прямолинейной траектории на расстояние s.hello_html_cb8678b.png









Рис 4





Работа W постоянной силы F при прямолинейном движении точки ее приложения равна произведению модуля силы F на расстояние s и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения, т. е.

W = Fs cos (F, s) == Fs cos a; [H м ] = [Дж] (10)

Угол α между направлением силы и направлением движения может меняться в пределах от 0 до 180°. При α < 90° работа положительна, при α > 90° — отрицательна, при α = 90° W = 0 (работа равна нулю).

Если сила составляет с направлением движения острый угол, она называется движущей силой, ее работа всегда Положительна. Если угол между направлениями силы и перемещения тупой, сила оказывает сопротивление движению, совершает отрицательную работу и носит название силы сопротивления. Примерами сил сопротивления могут служить силы резания, трения, сопротивления воздуха и другие, которые всегда направлены в сторону, противоположную движению.

Когда α = 0, т. е. когда направление силы совпадает с направлением скорости, W = Fs, так как cos α = 1. Произведение F cos a есть проекция силы F на направление движения материальной точки. Следовательно, работу силы можно определить как произведение перемещения s и проекции силы F на направление движения точки.

За единицу работы в Международной системе единиц (СИ) принят джоуль (Дж) : 1 Дж = 1 Н * м. Применяется также - килоджоуль (кДж): 1 кДж = 1000 Дж = 103 Дж. В технической системе (МКГСС) за единицу работы принят килограмм-сила метр (кгс-м).

Так же работа измеряется в кВт * ч; 1 кВт ч = 3600 Дж = 3,6 кДж

  1. Работа силы на криволинейном перемещении

При криволинейном движении формулой (10) пользоваться нельзя. В этом случае пользуются понятием элементарной работы на бесконечно малом участке пути ds (рис. 4, б), который можно считать прямолинейным,

dW=Fds cos (F, v)

где v — скорость точки, совпадающая по направлению с элементарным перемещением.

Cуммируя элементарные работы на конечном отрезке пути, получаем полную работу

W= ΣF ds cos(F, v). (11) ,

hello_html_6779abf9.png

Используем эту формулу для вычисления работы силы тяжести. Пусть некоторая точка, сила тяжести которой G, переместилась по криволинейной траектории из точки С1 в точку С2, опустившись на высоту Н (рис. 5). Из рисунка следует, что ds cos (G, v) представляет собой проекцию элементарного направление силы G, т. е.

ds cos (G, v) = dy.

Формула для работы принимает вид

W = ΣGdy.

Вынося из-под знака суммы постоянную величину — силу тяжести

Рис. 5

тела G — и учитывая, что сумма элементарных перемещений вдоль оси у равна полной высоте перемещения тела Σ dy = Н, получаем

W = G Σ dy = GH, (12)

т. е. работа силы тяжести равна произведению силы тяжести на вертикальное перемещение ее точки приложения. Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой перемещается центр тяжести тела. А зависит только от начального и конечного положения точки приложения силы тяжести и не зависит от вида траектории этой точки.

5. Мощность

Мощностью называется работа, совершаемая силой в единицу времени. Средняя мощность Рср силы F за время Δt на перемещении Δs, с которым сила образует угол а, определяется по формуле (см. § 70)

Pср = dW/dt = Fds cosα/dt = F* v* cos α [Вт]

F

α v





Как было указано, F cos a является проекцией силы на направление движения материальной точки. Обозначив F cos α через Fv, получим

P = Fv ds/dt = Fvv

так как

ds/dt = v Fv v

Мощность измеряется в единицах работы, отнесенных к единице времени. За единицу мощности принят ватт (Вт) — мощность, соответствующая работе в один джоуль в секунду,

1 Вт =1 Дж/с = 1 Н м/с

1 л.с = 736 Вт = 0,736 кВт

1 кВт = 1,36 л.с. ( 75 л.с. = 55,2 кВт)





Коэффициент полезного действия

Создавая машину, важно не только обеспечить движение рабочих органов машины, удовлетворяющих заданному технологическому процессу, но необходимо, чтобы машина обладала достаточно высоким коэффициентом полезного действия (к. п. д.).

При наличии сил трения и сопротивления воздуха не вся затраченная работа W3 используется в машинах или механических устройствах. Полезная работа Wп всегда меньше затраченной, т. е. Wп < W3 и их отношение определяет важнейшую технико-экономическую характеристику — к. п. д.

η = Wn/Wз. (7)

При установившемся движении рабочих органов машины сумма работ всех сил, приложенных к ним, будет равна нулю, т. е.

ΣWз = Wз - Wп - Wв. с

(где WВ.С — работа вредных сопротивлений), откуда

hello_html_m6ea2a767.png

Подставляя в формулу (7) значение Wn, получимhello_html_39ab0fce.png

(8)


Так как работа вредных сопротивлений в машине WB.C никогда не может быть равна нулю, то WB.C /W3 > 0 и η < 1.

Следовательно, для увеличения к. п. д. необходимо стремиться к уменьшению вредных сопротивлений, тогда к. п. д. будет стремиться к единице.

Пример 1. Санки массой 20 кг скатываются с горки, угол наклона которой 300 и затем проезжают по горизонтальной поверхности 15 м и останавливаются. Определить работу совершаемой силой тяжести, если длина наклонной поверхности 8 м.

Дано: 8 м sin a = H / l1

GT = 200 H H = l1* sin 300 = 8 * 0.5 = 4 м

a = 300 W = GT * H = 200 * 4 = 800 Дж


l1 = 8 м Н 300

l2 = 15 м

_________

W - ? 15 м

Пример 2. Чтобы поднять волоком по наклонной плоскости на высоту Н = 10 м станину весом G = 500 Н, воспользовались электрической лебедкой. По касательной к барабану лебедки приложена движущая сила F = 40 Н.Длина наклонной плоскости l = 250 м.

Определить КПД наклонной плоскости.

Решение. Полезная работа, полученная при подъеме станины, определяется, как работа силы тяжести

Wп.с. = G * H = 500 * 10 = 5000 Дж l

Вычислим теперь работу движущей силы F

Wд.с. = F * l = 40 * 250 = 10000 Дж H

G

КПД наклонной плоскости составит: η = Wn/ Wд.с = 5000 / 10000 = 50%





Пример 3. По горизонтальному пути равномерно движется поезд массой 500 т. Определить мощность, развиваемую поездом, если сопротивление движению поезда 200 Н на 1 т массы при скорости движения поезда v = 21,6 км/ч.

Дано: f сопрудельное сопротивление

т = 500т F сопр Fдв F сопр = Fдв = f сопр * т = 200 * 500 =

v = 21,6 км/ч:3,6=6 м/с = 100000 Н = 100 кН

fсопр = 200 Н/т Р = Fдв * v = 100кН * 6 = 600 кВт

_____________

Р - ?

Пример 4. Какой мощностью эл дв необходимо поставить на лебедку, чтобы она могла поднимать со строй материалами массу т = 1200 кг на высоту h = 20 м за t = 30 c, η=0,72

Дано:

т = 1200 кг G = m g = 1200 * 9.81 = 11772кг

h = 20 м Wп.с. = G * H = 11772 * 20 = 235440 Дж

t = 30с η = Wn с / Wд с => Wд с = Wn с / η = 235440 / 0,72 = 327000 Дж

η=0,72 Рэл дв = Wд с / t = 327000 / 30 = 10900 Вт

________

Рэл дв - ?





































Потенциальная и кинетическая энергия

Существуют две основные формы механической энергии: потенциальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия, или энергия движения. Чаще всего приходится иметь дело с потенциальной энергией сил тяжести. Потенциальной энергией силы тяжести материальной точки или тела в механике называется способность этого тела или точки совершать работу при опускании с некоторой высоты до уровня моря (до какого-то уровня). Потенциальная энергия численно равна работе силы тяжести, произведенной при перемещении с нулевого уровня до заданного положения. Обозначив потенциальную энергию ЕП, получим

ЕП = GН, [Дж] (11)

где G — сила тяжести точки (или тела); H — высота центра тяжести от пулевого уровня.

Кинетическая энергия определяется способностью двиоюущегося тела (или точки) совершать работу. Для материальной точки кинетическая энергия численно равна полупроизведению ее массы на квадрат скорости, т. е. mv2/2.

Потенциальная и кинетическая энергия также измеряются в единицах работы:hello_html_m7ec1702.png



Всякое твердое тело или механическая система состоит из множества отдельных материальных точек. Поэтому кинетическую энергию твердого тела или какой-либо механической системы можно представить как сумму кинетических энергий всех точек, образующих тело или систему. Обозначив кинетическую энергию тела или системы ЕK получим EK = Σ dmv2/2

где dm — элементарная масса точки; v — скорость этой точки.

Кинетическая энергия тела в разных случаях его движения

Найдем кинетическую энергию твердого тела при поступательном движении (см. рис. 121). Поступательное движение тела характеризуется тем, что скорости движения всех его точек равны между собой и имеют одинаковое направление, т. е.hello_html_17e194bf.png

v = vМ= vB = …= vC

где vcскорость центра тяжести тела или любой другой; точки тела.

Кинетическая энергия тела для рассматриваемого случая

EK = Σdmv2C /2= v2C /2Σdm = Mv2C /2

где М — масса всего твердого тела.

Следовательно, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения квадрата скорости любой точки тела на массу тела.

Найдем кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг, неподвижной оси. Если тело вращается вокруг оси у с угловой скоростью (см. рис. 122 и 123, а), то скорость произвольной точки тела пропорциональна расстоянию этой точки до оси вращенияhello_html_5b95c261.png

v = ,

где r — расстояние точки от оси вращения — величина переменная;

ω — угловая скорость (для всех точек тела имеет одинаковое значение).

Подставив значение v в формулу кинетической энергии и вы-неся постоянные величины за знак суммы, получим

EK = Σdmv2/2= Σdm()2 /2=ω2/2 Σdmr2

Численное значение интеграла Σ dmr2, представляющее сумму произведений массы каждой частицы на квадрат ее расстояния до оси вращения z, называется моментом инерции массы тела относительно этой оси и обозначается JZ. Момент инерции массы тела играет очень большую роль в динамике твердого тела.

Следовательно, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения квадрата угловой скорости на момент инерции массы тела относительно оси его вращения

EK = JZ ω2/2

Плоскопараллельное движение, как было показано в кинематике, можно разложить на два движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное вокруг полюса. Соответственно и кинетическая энергия тела при плоскопараллельном движении складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с некоторым полюсом и кинетической энергии вращательного движения вокруг полюса

Ек = Mv2/2 + Jω2/2 (12)

где v — скорость поступательного движения полюса; ω — угловая скорость вращения тела, не зависящая от выбора полюса.

Пример 1. Определить потенциальную энергию осколка снаряда т = 100г в момент удара о землю при падении без начальной скорости с Н = 2000 м.

Дано:

т = 100 г = 0,1 кг ЕП = GН

Н = 2000 м G = т * g = 0.1 * 9.81 = 1 H

__________ ЕП = GН = 1 * 2000 = 2000 Дж

ЕП - ?



Моменты инерции некоторых однородных тел

Момент инерции массы любого тела J = Σmi ri2 (13)

Установим единицу измерения момента инерции [J] = m * r = кг * м2.

Приведем формулу (без выводов) для вычисления моментов инерции простейших тел относительно некоторых осей.



hello_html_m524e0094.png















Рис. 144

1. Для однородного стержня относительно оси z, перпендикулярной к оси стержня и проходящей через его конец (рис. 144, а),

JZ = ml2/3,[кг*м2]

где т — масса стержня; l — длина стержня.





Для однородного стержня относительно оси г0 (рис. 144, а), проходящей через его центр тяжести,

JZ = ml2 /12,

2. Для однородного цилиндра (рис. 144, б)

JZ = mD2/8=тR2/2

где т — масса цилиндра; D — диаметр цилиндра.

3. Для окружности или тонкого кольца, если пренебречь его толщиной (рис. 144, в),

JZ = mD 2/4=mR2

Пример 2. Вычислить кинетическую энергию сплошного вала D = 20 см, массой 2 т, делающего 180 об/мин

Дано:

D = 20 см EK = JZ ω2/2

m = 2т = 2000 кг JZ = тR2/2= 2000 * 0,12/ 2=10 кг * м2

n = 180 об/мин ω = πn / 30 = 3.14 * 180 / 30= 18,84 рад / с

____________ EK = 10 * 18,842 / 2 = 1775 Дж

ЕК -?







































Закон изменения кинетической энергии

Пусть на материальную точку массой т действует постоянная сила F. В этом случае точка имеет постоянное ускорение а = F/m; движение ее будет равномерно-ускоренным.

Рассмотрим случай, когда направление движения совпадает с направлением силы F (см. рис. 142). Пусть точка под действием силы F переместится из положения С1 в положение С2.Если обозначить начальную и конечную скорости точки соответственно через v1 и v2 то ускорение движения можно определить но формулеhello_html_72d5385d.png

a = v2-v1/t (а)

где t—время движения.

Перемещение точки приложения силы

S =(v2+v1)* t /2. (б)

Работа силы F, учитывая, что ее направление совпадает с перемещением, такова:

W = Fs = F(v2+v1)* t /2

Подставив в выражение работы значение силы F, по основному закону динамики F = та = т* v2-v1/t получим

W = mas.

В последнем уравнении заменим значение ускорения а и перемещения s их выражениями по (а) и (б)hello_html_f8b2f3c.png



Это уравнение показывает, что изменение кинетической энергии материальной точки равно работе силы, действующей на точку.

Для системы материальных точек, например для твердого тела, закон кинетической энергии имеет аналогичный вид

E2 E1 = ΣW, (14)

т. е. изменение кинетической энергии системы материальных точек равно сумме работ, действующих на систему сил.



Основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела

Определим зависимость между приложенными к вращающемуся телу силами и сообщаемым ему угловым ускорением е (рис. 145).hello_html_m6c0e0da0.png

Рассмотрим элементарную частицу тела dm и приложим к ней нормальную и касательную составляющие силы инерции. Приложив силы инерции ко всем частицам тела, получим уравновешенную систему сил. Применим к этой системе уравнения равновесия. Алгебраическую сумму вращающихся моментов внешних

сил F1, F2, ..., Fn относительно оси вращения у обозначим Mye Нормальные силы инерции пересекают ось вращения и не создают относительно нее момента. Касательные силы инерции создают моменты относительно оси вращения. Плечом касательной

силы инерции Fинt каждой точки является соответствующий радиус ri

Направление суммарного момента этих сил противоположно направлению углового ускорения е и вращающего момента Mye так как касательная сила инерции любой точки направлена противоположно ее касательному ускорению. Значение касательной силы инерции точек вращающего тела определяется по формуле

dFИНt = dmat = dmrε.

Составим уравнение моментов относительно оси вращения у:

ΣMiy =0; M - ΣdFинt r = 0

откуда

ΣdFинt r = M

Подставив значение dFинt , получим

Σ dmr2ε = М.

Вынесем значение углового ускорения е за знак суммы как величину, одинаковую для всех точек тела, получим

ε Σ dmr2

Множитель при ε — знакомая нам величина; это момент инерции тела относительно оси у

Σ dmr2=Jy

Окончательно получим ε Jy = M (15)



Это основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела. Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил относительно оси вращения.

Из уравнения (15) следует, что

ε = M / Jу.

Чем больше момент инерции тела, тем больший вращающий момент следует приложить для сообщения телу определенного углового ускорения ε. Поэтому момент инерции массы можно рассматривать как меру инертности твердого тела во вращательном движении аналогично тому, как масса служит мерой инертности материальной точки или тела при поступательном движении.

Пример 1. На какую глубину проникнет в доску пуля т = 9г, если ее v = 300 м/с, а сила сопротивления доски 6 кН. 0

Дано: Fсопр * S = m v22 / 2 – mv12 / 2 => S = mv12 / 2 * t =

т = 9г = 0,009 * 300 / 2 * 6000 = 0,0675м = 67,5 мм

v1 = 300 м/с

v2 = 0

F = 6 кН

__________

S - ?

S

Пример 2. Самолет т = 2500 кг для взлета должен иметь v = 180 км/ч, на разгон самолета тратится 20 сек. Определить среднюю силу тяги двигателя самолета.

Дано:

т = 2500 кг F = ma

v = 180 км/ч : 3,6 = 50 м/с a = v / t = 50 / 20 = 2,5м/с2

v0 = 0 F = 2500 * 2,5 = 6250 Н

t = 20c

__________

F - ?





Пример 3. Определить какую силу надо приложить к телу т = 100 кг, чтобы за 5 сек его скорость увеличилась от 15 км/ч до 25 км/ч. Определить какой путь пройдет тело за это время.

Дано:

т = 100 кг Ft = mv2mv1 => F = mv2mv1 / t = 100 * 25 – 100 * 15 / 5 =

v1 = 15 км/ч : 3,6 = 4,16 м/с = 200H

v2 = 25 км/ч : 3,6 = 6,94 м/с F * S = m v22 / 2 – mv12 / 2 => S = m v22 / 2 – mv12 / 2 / F=

t = 5c 100 * 252/2 – 100 * 152/2 / 200 = 50 * 625 – 50 * 225 / 200 =

__________ = 100м

F - ?, S -?



















































Название документа Кинематика.docx

Поделитесь материалом с коллегами:


Раздел 3. Кинематика


  1. Основные понятия


В кинематике изучается механическое движение материальных точек и твердых тел без учета причин, вызывающих эти движения. Кинематику часто называют геометрией движения.

Механическое движение происходит в пространстве и во времени. Пространство, в котором происходит движение тел, рассматривается как трехмерное, все свойства его подчиняются системе аксиом и теорем эвклидовой геометрии. Время полагают ни с чем не связанным и протекающим равномерно.

Современное развитие физики привело к иным представлениям о пространстве и времени. Теория относительности, созданная величайшим ученым современности Эйнштейном, показала, что при скоростях, близких к скорости света (300 000 км/с), пространство и время зависят от скорости движения. При обычных скоростях указанная зависимость практически не обнаруживается и представления о пространстве и времени, установленные в классической механике, сохраняют силу.

В общем случае различные точки твердого тела совершают разные движения. Поэтому и возникает необходимость изучить в первую очередь движение отдельных точек тела. Чтобы определить положение точки в пространстве, нужно иметь какое-то неподвижное тело или связанную с ним систему координатных осей, которую называют системой отсчета. Движение заданного тела или точки обнаруживается только путем сравнения с системой отсчета.hello_html_m28704e7a.png

В природе не существует неподвижных тел и, следовательно, не может быть абсолютно неподвижных систем отсчета. Обычно условно неподвижной системой отсчета считают систему координатных осей, связанную с Землей. Рассмотрим для примера движение точки в какой-то условно неподвижной системе координат xyz (рис. 115). Положение точки М в пространстве определяется тремя координатами. Эти координаты изменяются при переходе точки в другое положение. Кривая, которую описывает точка при движении в пространстве относительно выбранной системы отсчета, называется ее траекторией.

Траектории делятся на прямолинейные (например, движение точек поршня двигателя) и криволинейные (круговые — движение точек шкива, круглой пилы; параболические — движение жидкости при истечении из отверстия в боковой стенке сосуда и др.). Движение точки в пространстве прежде всего определяется скоростью, которая характеризует быстроту и направление движения точки в данный момент времени.

В зависимости от скорости движение точки может быть равномерным и неравномерным. При равномерном движении скорость постоянна по величине, при неравномерном — переменна. Изменение скорости во времени характеризуется ускорением. Скорость и ускорение точки являются векторными величинами.



  1. Уравнение движения точки

В общем случае точка может двигаться по криволинейной траектории. Для изучения криволинейного движения точки необходимо уметь определить ее положение в назначенной системе отсчета (системе координат) в любой момент времени.





Уравнения, определяющие положение движущейся точки в зависимости от времени, называются уравнениями движения. В механики применяют два способа задания движения - естественный и координатный.

-- Естественный способ задания движения точки. Положение точки на заданной траектории в любой момент времени однозначно определяется расстоянием s. Значит, если кроме траектории, на которой отмечено начало отсчета О, задана зависимость

s = f(t) (1)

между расстоянием s и временем t, то в любой момент времени можно точно определить положение точки на траектории. Уравнение 1 называется законом движения точки по заданной траектории.

Пусть, например, задана некоторая траектория, движение точки по которой определяется уравнением s = 0,5t2(s - м, t - с):

в момент времени t0 = 0 s0 = 0, т. е. точка находится в начале отсчета О;

в момент времени t1 = 1с точка находится на расстоянии s1 = 0,5 t12 = 0,5 * 12 = 0,5м;

в момент времени t2 = 2с точка находится на расстоянии s2 = 0,5 t22 = 0,5 * 22 = 2м от начала отсчета.

-- Координатный способ задания движения точки. Положение движущейся в плоскости точки (рис. 116, б) можно определить, если известны ее координаты х и у относительно системы двух взаимно перпендикулярных координатных осей Ох и Оу. При движении точки ее координаты изменяются с течением времени, следовательно, х и у являются некоторыми функциями времени и определяют движение, точки:hello_html_77b89507.png

x = f1(t); y = f2(t). (2)

Такой способ задания движения точки называется координатным. С помощью уравнений движения (2) можно найти траекторию точки, т. к. для каждого момента времени t можно вычислить координаты точки и следовательно указать ее положение





  1. Скорость точки

Рассмотрим некоторые основные определения, важные для последующего изложения. Если точка за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути, то ее движение называется равномерным.

Скорость равномерного движения v измеряется отношением пути s, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени

v = s/t; м/с (4)

1 м/с за 1 час → 3600 м/час = 3,6 км/с т. е.

1 м/с = 3,6 км/ч

1 км/ч = 0,278 м/с

[м/с] * 3,6 [км/ч] ; [км/ч] : 3,6 [м/с]



и нормальное ускорение также не равно нулю

ап = v 2/r ≠ 0

Следовательно, полное ускорение при неравномерном криволинейном движении складывается геометрически из касательного и нормального ускорений, т. е.

a = at + an а = √аt2 + an2

Когда значение касательного ускорения постоянно (at = const), движение точки называется равнопеременным. Равнопеременное движение может быть равномерно-ускоренным и равномерно-замедленным, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается численное значение скорости. Ускорения можно определить через значения скорости в начале и в конце произвольного промежутка времени

аt = v – v0 / t

откуда

v = v0 + at t,

При равномерно-ускоренном движении ускорение at считается положительным, а при равномерно-замедленном — отрицательным.

Перемещение точки при равнопеременном движении определяется по уравнениюhello_html_25dca4ad.png



Примером равномерно-ускоренного движения может служить свободное падение тела. Ускорение свободного падения обозначается буквой g. Опытом установлено, что это ускорение составляет вблизи поверхности Земли в среднем 9,81 м/с2.











Пример 1. Ускорение движения поезда, движущегося с уменьшением скорости, равно 0,16 м/с2. Определить время, за которое скорость поезда уменьшится с 50 до 25 км/ч

Дано: a = - 0,16 v/c2

v0 = 50 км/ч = 50:3,6 = 13,9м/с

v = 25км/ч = 25 :3,6 = 6,9м/с

Определить t

Решение: v =v0 + at * t =>

t = vv0 /at = 6,9 – 13,9 / - 0.16 = -7/ -0.16 = 43 c


Пример 2. Водитель автомобиля движется со скоростью 72 км/ч увидел красный сигнал светофора начал торможение с ускорением 5 м/с2, на каком пути авто остановится.


Дано: v0 = 72 км/ч = 72:3.6 =20 м/c

v1 = 0

at = -5м/с2

Определить S

Решение: at = vv0 /t =>

t = v – v0 / at = 0-20/ -5= 4c S = v0 + v/ 2* t = 20+0/ 2 * 4 = 40м

Пример 3. Определить с какой высоты h нужно сбросить тяжелое тело без начальной скорости, чтобы к моменту падения на Землю скорость его достигла 49,05 м/с. Сопротивление воздуха пренебречь.

Дано: v = 49,05 м/c

V0 = 0

q = 9,81м/с2

Определить S

hello_html_265baa63.png





















Пример 4. Камень упал в колодец. Через 4с был услышан плеск воды. Определить глубину колодца, считая, что звук распространяется мгновенно.

Дано: t = 4c

V0 = 0

q = 9,81м/с2

Определить S(h)

Решение: S = q* t2 / 2= 9,81* 42/ 2 = 78мhello_html_498c7d0b.png











hello_html_498c7d0b.png



hello_html_498c7d0b.png





Пример 5. Поезд идет со скоростью 66 км/ч. На протяжении 800 м путь идет в гору, вследствие чего движение поезда становится равнозамедленным, и его скорость снижается до 50 км/ч. Определить величину ускорения (замедления) и время, затраченное на преодоление подъема. hello_html_1f9952c1.png

























Пример 6. Поезд отправляется со станции и движется по закруглению пути радиуса R = 1200м. В течении 1,5 мин поезд развивает скорость 72 км/ч. Определить путь разгона и полное ускорение поезда в конце пути.hello_html_7b141011.pnghello_html_1f9952c1.png































  1. Ускорение точки



При движении по криволинейной траектории скорость точки может изменяться и по направлению, и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением.

Пусть точка М (рис. а) движется по какой-то криволинейной траектории и за время Δt переходит из положения М в положение M1. Расстояние, пройденное точкой, представляет собой дугу ММ1, ее длину обозначим Δs. В положении М точка имела скорость , в положении М1 — скорость 1. Геометрическую разность скоростей найдем, построив из точки М вектор 1

На рис. 119, а приращение скорости изображается вектором .

Скорость точки при перемещении ее из положения М в положение М1 изменилась и по величине, и по направлению. Среднее значение ускорения, характеризующего отмеченное изменение скорости, можно найти, разделив вектор приращения скорости на соответствующее время движения

ср =

Переходя к пределу при Δt → 0, получим истинное ускорение точки как векторную производную от скорости

= = 8



Найденное ускорение характеризует изменение численного значения скорости и ее направления. Для удобства ускорение раскладывают на взаимно перпендикулярные составляющие по касательной и нормали к траектории движения (рис. 119, б)

= t + n 9

Касательная составляющая t совпадает по направлению со скоростью или противоположна ей. Она характеризует изменениеhello_html_m45c64745.png















модуля скорости и соответственно определяется как производная от функции скорости


at = =dv/dt


Нормальная составляющая ап перпендикулярна к направлению скорости точки. Она определяет изменение направления вектора скорости. Численное значение нормального ускорения определяется по формуле

ап = v2/r,

где r — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Составляющие at и ап взаимно перпендикулярны, и поэтому значение полного ускорения определяется по формуле

a = 2t +a 2n

  1. Виды движения точки в зависимости от ускорения

Рассмотрим возможные случаи движения точки и проанализируем выведенные выше формулы для касательного и нормального ускорений.

Равномерное прямолинейное движение характеризуется тем, что скорость движения точки М постоянна (v = const), а радиус кривизны траектории ее движения равен бесконечности. В этом случае касательное ускорение равно нулю, так как модуль скорости не изменяется (v = const),hello_html_m11ac61af.png

at= dv/ dt= 0.



Нормальное ускорение также равно нулю (r = ∞)

ап = v2/r = 0.

Значит, и полное ускорение движения точки равно нулю а = 0

Равномерное криволинейное движение характеризуется тем, что численное значение скорости постоянно (v = const), скорость меняется лишь по направлению. В этом случае касательное ускорение равно нулю, так как v = const hello_html_m11ac61af.png

at= dv/ dt= 0.

а нормальное ускорение не равно нулю (an= v2/r0), так как r — конечная величина.

Полное ускорение при равномерном криволинейном движении равно нормальному ускорению, т. е.

а = ап

Неравномерное прямолинейное движение характеризуется тем, что численное значение скорости движения точки изменяется (vconst), а радиус кривизны траектории движения точки г равен бесконечности (r = ∞). Поэтому касательное ускорение здесь не равно нулюhello_html_m11ac61af.png

at= dv/ dt0.

а нормальное ускорение равно нулю

ап = v 2/r = 0 (r = ∞).

Следовательно, полное ускорение точки при неравномерном прямолинейном движении равно касательному ускорению, т. е.

а = at

Неравномерное криволинейное движение - характеризуется тем, что численное значение скорости движения точки М изменяется (vconst), а радиус кривизны траектории ее движения — конечная величина. В этом случае касательное ускорение не равно нулюhello_html_m11ac61af.png

at= dv/ dt0.

и нормальное ускорение также не равно нулю

ап = v 2/r ≠ 0

Следовательно, полное ускорение при неравномерном криволинейном движении складывается геометрически из касательного и нормального ускорений a = at + an а = √аt2 + an2

Когда значение касательного ускорения постоянно (at = const), движение точки называется равнопеременным. Равнопеременное движение может быть равномерно-ускоренным и равномерно-замедленным, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается численное значение скорости. Ускорения можно определить через значения скорости в начале и в конце произвольного промежутка времени

аt = v – v0 / t

откуда

v = v0 + at t,

При равномерно-ускоренном движении ускорение at считается положительным, а при равномерно-замедленном — отрицательным.

Перемещение точки при равнопеременном движении определяется по уравнениюhello_html_25dca4ad.png



Примером равномерно-ускоренного движения может служить свободное падение тела. Ускорение свободного падения обозначается буквой g. Опытом установлено, что это ускорение составляет вблизи поверхности Земли в среднем 9,81 м/с2.

v0= 0

v0 ≠ 0

at = v/t [м/с2]

at = vv0 /t [м/с2]

v =at * t[м/с]

v =v0 + at * t [м/с]

S = at * t2 / 2[м]

S = v0 * t + at * t2 / 2[м]

S = vср * t = v/2 * t[м]

S = vср * t = v0 + v /2 * t[м]

















Пример 1. Ускорение движения поезда, движущегося с уменьшением скорости, равно 0,16 м/с2. Определить время, за которое скорость поезда уменьшится с 50 до 25 км/ч

Дано: a = - 0,16 v/c2

v0 = 50 км/ч = 50:3,6 = 13,9м/с

v = 25км/ч = 25 :3,6 = 6,9м/с

Определить t

Решение: v =v0 + at * t =>

t = vv0 /at = 6,9 – 13,9 / - 0,16 = -7/ -0,16 = 43 c


Пример 2. Водитель автомобиля движется со скоростью 72 км/ч увидел красный сигнал светофора начал торможение с ускорением 5 м/с2, на каком пути авто остановится.


Дано: v0 = 72 км/ч = 72:3.6 =20 м/c

v1 = 0

at = -5м/с2

Определить S

Решение: at = vv0 /t =>

t = v – v0 / at = 0-20/ -5= 4c S = v0 + v/ 2* t = 20+0/ 2 * 4 = 40м



Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором всякая прямая, проведенная в этом теле, остается параллельной своему начальному положению.

Проведенная в теле прямая ВМ во время hello_html_28e9514d.png

движения перемещается параллельно своему начальному положению.

Рассмотрим перемещение тела за бесконечно малый промежуток времени dt. При этом можно считать, что точки М и В перемещаются по прямолинейным и параллельным траекториям. За время dt они пройдут одинаковые пути ds. Следовательно, значения скорости этих точек будут одинаковы

vМ = vB = v = ds / dt

и направлены в одну сторону, т. е.

vM = v B = v→.

Аналогично доказывается равенство ускорений точек тела при поступательном движении

a М = а B = a

Следовательно, при поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют равные по модулю и параллельно направленные скорости и ускорения.

Поступательное движение тела вполне характеризуется движением одной его точки, которое может быть задано координатным или естественным способом. Однако поступательное движение может совершать только твердое тело, а не отдельная точка. Примерами поступательного движения служат движение поршня двигателя, движение вагона на прямом участке пути и т. п. Поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным.



Вращение тела вокруг неподвижной осиhello_html_2d569dc7.png

При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси все его точки, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными. Остальные точки вращающегося тела описывают окружности вокруг неподвижной оси в плоскостях, перпендикулярных к оси, с центром на этой оси.

Рассмотрим тело, которое вращается вокруг оси 0z. Плоскость вращающегося тела, проходящая через ось 0z и совпадающая в начальный момент времени с плоскостью чертежа I, займет через промежуток времени t положение II и оба отмеченных положения плоскости составят угол φ.

Угол φ называется углом поворота тела. Угол поворота φ измеряется в радианах и соответствует определенному положению тела. Для определения положения вращающегося тела в каждый данный момент служит уравнение, выражающее угол поворота как функцию от времени

φ = f(t)

Изменение угла поворота во времени определяется угловой скоростью. Средней угловой скоростью вращающегося тела называется отношение приращения угла поворота Δφ ко времени Δt, в течение которого это приращение произошло: ω( амега) = Δφ/Δt



Истинная угловая скорость вращательного движения тела равна производной углового перемещения по времени

ω = lim ∆φ / ∆t = / dt

t →0

Угловая скорость со измеряется в радианах в секунду, т. е. рад/с. Скорость при вращательном движении тела определяетсячастотой вращения п, об/мин. Связь между угловой скоростью со (рад/с) и частотой вращения п (об/мин) можно установить следующим образом. За один оборот вращающегося тела угол поворота составит 2π рад. За п оборотов в 1 мин угол поворота составит 2πп.

Соответственно угловая скорость определится путем деления угла поворота за п оборотов на 60 с

ω = 2πn / 60 = πn / 30

Например, частота вращения вала электродвигателя п = 1400 об/мин, тогда угловая скорость

ω = 3,14 * 1400/30 = 150,7 рад/с

Когда угловая скорость тела постоянна (ω = const), вращение — равномерно. Угол поворота в этом случае определяется

φ = ωt

Когда угловая скорость переменна (ω≠ const), тело вращается неравномерно,

Изменение угловой скорости в единицу времени определяется угловым ускорением, равным производной угловой скорости по времени,

ε (эпсилон) = /dt = d2φ / dt2

Угловое ускорение измеряется в радианах, деленных на секунду в квадрате, т. е. рад/с2.

При вращении тела вокруг оси с постоянным угловым ускорением (ε = const) происходит равнопеременное вращение (+ ε равноускоренное; - ε равнозамедленное).Уравнения равнопеременного вращения аналогичны уравнениям равнопеременного прямолинейного движения точки, только вместо линейных величин в них входят угловые величины. Выводятся эти уравнения тем же путем:

φ = ω0t + εt2/2; ω = ω0 + εt

где ω0 — начальная угловая скорость (при t = 0).

Угловое ускорение ε — величина алгебраическая: при равнопеременном ускоренном вращении его считают положительным, поэтому абсолютное значение угловой скорости будет все время возрастать. При равномерно-замедленном движении угловое ускорение считают отрицательным, поэтому абсолютное значение угловой скорости уменьшается.

ω0 = 0

ω0 ≠ 0

ε= ω/t [рад/с2]

ε = ωω0 /t [рад/с2]

ω =ε* t [рад/с]

ω =ω0 + ε * t [рад/с]

φ = ε* t2 / 2 [рад]

φ = ω0 * t + ε* t2 / 2 [рад]

φ = ω* t /2 [рад]

φ = ωср * t = (ω0 + ω) * t /2 [рад]



















φоб = φ / 2π

hello_html_m5e92d31e.png











hello_html_m5e92d31e.png















  1. Скорости и ускорения точек вращающегося тела

Если тело вращается вокруг оси, то его точки перемещаются по окружностям (рис. а), радиусы которых г равны расстояниям точек от оси вращения.

Рассмотрим точку М, которая за время dt прошла путь ds = ММ1. В данном случае путь ds можно определить как произведение угла поворота на радиус окружности, т. е.

ds = r * . 10

Линейная скорость определится как производная пути по времени


v = ds/dt

Подставив вместо ds его значение по (10), получим

v = ds/dt = d(rφ)/dt = r* /dt = 11hello_html_5b95c261.png













Подставив в формулу для линейной скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, значение частоты вращения в оборотах в минуту (об/мин), получим


v = r =

Касательное ускорение точки вращающегося тела определяется из выражения


at = dv/dt = d(rω)/dt = r * dω/dt =

Нормальное ускорение точки равно отношению квадрата скорости к радиусу окружности

an = v2/r

Подставив в выражение нормального ускорения ап = v 2 / r значение скорости v = ωr, получим

an = v2/r = (ωr)2/r = 2

Значение полного ускорения вычисляется как диагональ прямоугольника, построенного на составляющих ускорениях at и ап (рис. б). Подставив значения касательного и нормального ускорений, получим

hello_html_mf1bddda.png



Направление вектора полного ускорения точки вращающегося тела можно определить по углу а, образованному этим вектором с радиусом

hello_html_6c097c21.png

hello_html_6c097c21.png










































Пример7. Скорость точки за 15 с. возрастает от 20 км/ч до 80 км/ч. Определить какой путь пройдет точка за время разгона и каково будет ее ускорение в конце 15 – ой секунды если движение происходит по дуге r = 50 м.


Дано: v0

t = 15 c

v0 = 20 км/ч = 5,6 м/с

v1 = 80 км/ч = 22,3 м/с R

r= 50 м


Определить S; at; an v1

at = vv0 /t = 22,3 – 5,6 /15 = 1,12 м/с

ап = v 2/r = 22,32 / 50 = 10 м/с2

a = 2t +a 2n = √1,122 + 102 = √1,25 + 100 = 10м/с2

S = (v0 + v) * t /2 = (5,6+22,3) * 15 / 2= 210м

Пример 8. Автомобиль движется со скоростью v = 54 км/ч при торможении он получает замедление at = - 0,5 м/с2. Найти какой путь он прошел от начала торможения до полной остановке и сколько времени продолжалось торможение.

Дано:

v0 = 54км/ч = 15 м/с v0 v1

at = -0,5 м/с2


Определить S;t

at = v – v0 /t =>

t = v – v0 / at = 0-15 / -0,5 = 30 c

S = (v0 + v) * t /2 = (15+0)*30 / 2 = 225м

Пример 9. На пути 600 м скорость точки уменьшается с 30 до 10 м/с. Определить время этого движения, а также полное ускорение в начале и в конце движения если точка двигалась по дуге r = 400м.

Дано:

S = 600 м v0

v0 = 30 м/с

v1 = 10 м/с

r = 400 м r

Определить t;a1;a2 v1

S = (v0 + v) * t /2 =>

t = 2S / v0 + v1 = 2 * 600 / 30+10 = 30c

at1 = vv0 /t = 10-30 / 30 = - 0,67 м/с2

ап1 = v 02/r = 302/400 = 2,25 м/с2

a1 = 2t1 +a 2n1 = √ -0,672 + 2,252 = √0,45 + 5,062 = 2,35 м/с2

аt1= аt2= - 0,67 м/с2

ап2 = v 12/r = 102/400=0,25м/с2

a2 = 2t2 +a 2n2 = √ -0,672 + 0,252 = √0,45 + 0,062 = 0,715 м/с2





Пример 10. Точка начала прямолинейное равноускоренное движение из состояния покоя и ч/з 5сек приобрела скорость 10 м/с с этого момента точка стала двигаться равномерно по окружности r = 10 м, ч/з 15 сек движение по окружности точка внезапно остановилась. Определить: 1. Путь пройденный точкой за все время движения; 2. Среднюю скорость на этом пути; 3. Ускорение точки на прямолинейном и криволинейном участке пути.

Дано: 0 at v1 1

v0 = 0

t1 = 5 с v1 = v2

v1 = 10 м/с r

r = 10 м an

t2 = 15 с

Определить S; v; at1; an2

S1 = vср * t1 = v1* t1 / 2 = 10 * 5 / 2 = 25м ( т. к. равномерноускоренное)

S2 = v2 * t2 = 10 * 15 / 2 = 150м( т.к. равномерное)

S = S1 + S2 = 25 + 150 = 175 м

vср = S / t1 + t2 = 175 / 20 = 8,75 м/с = 8,75 * 3,6 = 31,5 км /ч

at1 = v1 / t1 = 10 / 2 = 2 м/с

an = v2 / r = 102 / 10 = 100 / 10 = 10 м/с


Пример 11. Автомобиль, имея начальную скорость 72 км/ч проходит за 20 сек путь 600 . Найти скорость и ускорение (полное) в конце 20 сек, считая движение равнопеременным по дуге окружности радиуса r = 1200 м

Дано:

v0 = 72 км/ч= 20 м/с

t = 20 с

S = 600 м r

r = 1200 м

Определить v; a

S = v0 + v /2 * t =>

v = 2S / t – v0 = 2 * 600 / 20 – 20 = 40 м/с

at = vv0 /t = 40 – 20 / 20 = 1 м/с2

ап = v 2/r = 402 / 1200 = 1,3 м/с2

а = √аt2 + an2 = √12 + 1,32 = 1,6 м/с2



Пример 12. Точка прошла за время 20 сек с касательным ускорением at = 4 м/с2 путь 1400 м по дуге r = 100 м. Определить v0 , а


Дано:

at = 4 м/с2

t = 20 с

S = 1400 м r

r = 100 м

Определить v0; a

S = v0 * t + at * t2 / 2 => v0 = S - at * t2 / 2 /t = 1400 – 4* 202/20 = 30м/с

at = v – v0 /t => v = at * t + v0 = 4 * 20 + 30 = 110 м/с2

ап = v 2/r = 1102 / 100 = 121 м/с2

а = √аt2 + an2 = √1212 + 42 = 121,1м/с2



Пример 1. Равномерно вращающееся тело делает 10800 оборотов в час. Определить его угловую скорость.

Дано:

n = 10800 об/час = 10/800 : 60 = 180 об/мин ω = π * n / 30 = 6 π рад / сек

___________

ω - ?

Пример 2. Угловая скорость равномерно вращающегося тела ω = 8 рад / сек. Определить сколько оборотов в час делает тело.

Дано:

ω = 8 рад / сек

__________ ω = π * n / 30 => n = 30 * ω / π=76,4 об/мин = 60 * 76,4 = 4585 об/ч

n - ?об/ч


Пример 3. Расстояние от Луны до Земли рано 384000 км. Найти скорость движения Луны по своей орбите, если полный оборот около Земли она совершает в 27 суток. Орбиту Луны принять за окружность, а движение считать равномерным.

Дано: 27 суток = 27 * 24 * 3600 = 2332800 сек

r = 384000 км Sкруга = π D = 2π r = 2 * 3,14 * 384000000м = 2411520000 м

t = 27 суток v = s / t = 2411520000 / 2332800 = 1034 м / c

_________

v - ?


Пример 4.

Дано:

r = 149600000 км – расстояние от земли до солнца

t = 365 дней = 365 * 24 * 3600 = 31536000 сек

_________

v - ? – земли вокруг солнца


Sкруга = π D = 2π r = 2 * 3,14 * 149600000000м


v = s / t = 29791 м / сек


Пример 5. Вал, начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, в первые 10 сек совершает 30 оборотов. Какова его угловая скорость по истечению 5 сек?


Дано:

t1 = 10 сек φоб = φ / 2π => φ = φоб * 2π = 188,4 рад

φ = 30 об

t2 = 5 сек φ = ω * t / 2 => ω = 2φ / t = 2 * 188,4 / 10 = 37,68 рад/сек(при10 сек)

ω0 = 0

___________

ω - ? ω = 37,68 / 2 = 18,84 рад / сек (при 5 сек)



Пример 6. Вал, начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, делает 4800 об в первые 2 мин. Найти угловое ускорение вала.


Дано:

φ = 4800 об φоб = φ / 2π => φ = φоб * 2π = 4800 * 2 * 3,14 = 30144 рад.

ω0 = 0

t = 2 мин φ = ε * t2 / 2 => ε = 2φ / t2 = 2 * 30144 / 1202 = 4,18 рад / сек2

__________

ε - ?

Пример 7. Колесо начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, Через 20 мин после начала движения колесо имело угловую скорость, соответствующую 240 об / мин. Сколько оборотов сделало колесо за эти 20 мин.

Дано:

ω0 = 0

t = 20 мин φ = ω * t / 2 = 240 * 20 / 2 = 2400 об

ω = 240 об / мин

_________

φ - ?



Пример 8. Колесо, вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω = 4π рад/сек, было затем отключено от привода, поддерживавшего заданную рабочую скорость вращения. Сделав 25 оборотов, колесо вследствие трения в подшипниках остановилось. Полагая вращение равнозамедленным, определить угловое ускорение колеса.

Дано:

ω0 = 4π рад/с ε = ω – ω0 / t = 0 - 4π / t = - 4π / t

φ = 25 об φ = φоб * 2π = 25 * 2 * 3,14 = 157 рад

ω = 0 φ = ω + ω0 / 2 * t = ω0 * t / 2 => t = 2φ / ω0 = 2 * 157 /4π = 25 сек

_________

ε - ? ε = -4π / t = 4 * 3,14 / 25 = - 0,5 рад / сек2


Пример 9. При посадке самолета пропеллер вращается с угловой скоростью, соответствующей п = 900 об/мин. После выключения мотора пропеллер сделал до остановки 60 оборотов. Считая вращение пропеллера после выключения мотора равнозамедленным, определить, сколько времени прошло с момента выключения мотора до остановки. Определить ускорение пропеллера.

Дано:

n = 900 об/мин φоб = φ / 2π => φ = φоб * 2π = 60 * 2 * 3,14 = 376,8 рад

φ = 60 об ω0 = π n / 30 = 3,14 * 900 / 30 = 94,2 рад / сек

ω = 0 φ = ω + ω0 / 2 * t = 0 + ω0 * t / 2 => t = 2φ / ω0 = 2 * 376,8 / 94,2 = 8 сек

_________

t - ? ε - ? ε = ω – ω0 / t = 0 – ω0 / t = 94,2 / 8 = 11,775 рад / сек2

Пример 10. Маховое колесо радиуса R = 2 м вращается равноускоренно из состояния покоя; через t =10 сек точки, лежащие на ободе, обладают линейной скоростью v = 50 м/сек. Найти скорость, нормальное и касательное ускорения точек обода колеса для момента t = 25 сек.

Дано:

r = 2 м v1 = r * ω => ω = v / r = 50 / 2 = 25 рад/сек

ω0 = 0 ε = ω1 / t1 = 25 / 10 = 2,5 рад/сек2

t1 = 10 с ε = ω2 / t2 => ω2 = ε * t = 2,5 * 25 = 62,5 рад / сек

v1 = 50 м/с v2 = r * ω2 = 2 * 62,5 = 125 м/с

t2 = 25 с at = r * ε = 2 * 2,5 = 5 м/с2


v2 - ? an - ? at - ? an = v22 / r = 1252 / 2 = 7812,5 м/с2



Пример 11. Точка пробегает в минуту 200 раз окружность, диаметр которой 3 м. Вычислить ускорение точки.

Дано: ω = π n / 30 = 3,14 * 200 / 30 = 20,9 рад/сек

n = 200 об/мин v = r * ω = 1,5 * 20,9 = 31,4 м/с

D = 3м an = v22 / r = 31,42 / 1,5 = 660 м/с

________

an - ?

Название документа СОПРОМАТ Изгиб 1.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

ИЗГИБ

  1. Основные понятия

Изгиб – это такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты x, Мy) - Миз.

В большинстве случаев одновременно с изгибающими моментами возникают и поперечные силы, такой изгиб называют поперечным. Qx, Qy – поперечные силы.

Виды изгибов:

  1. Прямой поперечный изгиб (рис. 87, а) когда внешние силы, перпендикулярные к продольной оси балки, действуют в плоскости поперечного сечения, проходящей через ось балки М x, Qy.

  2. Косой изгиб (рис. 87, б) когда силы, вызывающие деформацию изгиба, действуют в плоскости, проходящей через ось балки, но не проходящей через одну из главных центральных осей ее поперечного сечения М x, Мy; Qx, Qy.

  3. Чистый изгиб (рис. 87, в) - когда в поперечных сечениях балки возникает только один силовой фактор — изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю Миз,

Q = 0.hello_html_132c81ab.png

hello_html_132c81ab.png











Рис. 87



  1. Поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях балок

Определим внутренние силовые факторы в сечениях балки АВ , на которую действуют сосредоточенные силы F1, F2, F3, перпендикулярные к ее оси. Эти силы вызывают вертикальные реакции RA и RB спор балки. Опорные реакции RA и RB могут быть определены из уравнений равновесия, составленных для всех сил, действующих на балку. Проведем мысленно произвольное поперечное сечение С на расстоянии z от левой опоры и рассмотрим условия равновесия левой и правой отсеченных частей балки. Левая часть должна находиться в равновесии под действием внешних сил RA, F1, F2 и внутренних сил, возникающих в сечении С. Правая часть должна находиться в равновесии под действием внешних сил F3, RB и внутренних сил в проведенном сечении С.hello_html_567356ca.png





Для сил, действующих на левую отсеченную часть балки, составим уравнение равновесия. Уравнение проекций на вертикальную ось у:

ΣFyi = 0. RA F1F2Q = 0.

уравнение моментов относительно точки С:

ΣMC = 0; RAz – F1 (z – a1) - F2 (z - a2) - M = 0.

Решив первое из этих уравнений относительно Q, а второе относительно М, получим:

Q = RA - F1 - F2;

М = RAz - F1 (z – а1) - F2(z — a2).

Поперечная сила в каком либо поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у внешних сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, а изгибающий момент алгебраической сумме моментов сил, взятых относительно центра тяжести сечения.hello_html_14ffebe8.png

Правило знаков для изгибающих моментов и поперечных сил.


Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз - растянутые волокна расположены снизу. При изгибе выпуклостью вверх, когда растянутые волокна находятся сверху, момент отрицателен (правило тарелки).

Для поперечной силы знак также связан с характером деформации. Когда внешние силы действуют слева от сечения вверх, а справа — вниз, поперечная сила положительна. При противоположном действии внешних сил, т. е. слева от сечения вниз, а справа — вверх, поперечная сила отрицательная.hello_html_m33984d88.png

  1. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Пример 1. Построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки с защемленным концом, нагруженной на свободном конце сосредоточенной парой сил с моментом М (рис. 92, а).hello_html_2f3cbbf8.png

Для балок с одним защемленным концом при построении эпюр можно не определять опорные реакции. Проведя сечения, будем рассматривать равновесие той части балки, к которой приложены только внешние силы. Для балки, показанной на рис. 92, а, такой частью будет левая. В произвольном сечении балки на расстоянии z от свободного конца поперечная сила равна нулю (Q = 0), так как сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. Изгибающий момент в любом сечении равен внешнему моменту на свободном конце; он положителен, так как внешний момент слева от сечения направлен по ходу часовой стрелки и балка изгибается выпуклостью вниз.hello_html_2f3cbbf8.png

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов построены на рис. 92, б и в. Балка в рассмотренном примере испытывает чистый изгиб, так как поперечная сила во всех ее поперечных сечениях

Рис. 92 равна нулю. Эпюра моментов при чистом изгибе ограничивается прямой линией, параллельной оси балки.









Пример 2. Построим эпюры для балки с защемленным концом, нагруженной сосредоточенной силой на свободном конце (рис. 93, а). Здесь можно не определять опорных реакций. Проведем сечение и будем рассматривать равновесие правой части балки, к которой приложены внешние силы (рис. 93, а). В любом сечении балки на расстоянии г от свободного конца поперечная сила постоянна, равна силе F и положительна, так как внешняя сила стремится опустить правую часть балки. Эпюра поперечных сил (рис. 93, б) ограничивается прямой, параллельной оси балки.hello_html_m6a837ad9.png

В произвольном поперечном сечении балки на расстоянии г от свободного конца изгибающий момент равен моменту внешней силы относительно центра этого сечения и отрицателен, так как эта сила изгибает балку выпуклостью вверх (стремится повернуть правую часть по часовой стрелке),

М = — Fz.

Эпюра изгибающих моментов изображается здесь треугольником (рис. 93, в). Наибольшего по абсолютной величине значения изгибающий момент достигает в сечении заделки.

Рис. 93


Пример 3. Построим эпюры для балки с защемленным концом, к которой приложена нагрузка, равномерно распределенная по всей длине l (рис. 94, а). Пусть на единицу длины приходится нагрузка q, тогда вся нагрузка, действующая на балку, равна ql. Для этой балки также нет надобности в определении опорных реакций, если рассматривать равновесие ее левой части, к которой приложены только внешние силы.hello_html_78213d7b.png

В любом поперечном сечении балки на расстоянии г от свободного конца поперечная сила равна алгебраической сумме всех сил, действующих на левую часть, т. е. равнодействующей равномерно распределенной нагрузки q на участке длиной г (Q = -qz); она отрицательна, так как нагрузка направлена слева от сечения вниз.

Эпюра поперечных сил (рис. 94, б) представляет собой треугольник, который можно построить, зная две его точки. При z = О имеем Q = 0; при z = l значение Q = - ql. Наибольшее по абсолютной величине значение поперечной силы в сечении защемления

Qmax = ql (82)

В произвольном поперечном сечении, проведенном на расстоянии z от свободного конца, изгибающий момент равен алгебраической сумме моментов всех сил, действующих на левую часть балки, т. е. моменту равнодействующей равномерно распределенной нагрузки, равной qz. Эта равнодействующая приложена на половине расстояния z, и плечо ее относительно проведенного сечения равно z/2. Изгибающий момент в произвольном сечении М = - qz (z/2) = - q z2/2.

Так как сила qz изгибает балку выпуклостью вверх, изгибающий момент отрицателен.

Эпюра изгибающих моментов ограничена параболой (рис. 94, в). Давая различные значения абсциссе z, можно построить ее по точкам. При z = 0 M = 0, при z = l/ 2 М = - (ql2/8), при z = l М = - (ql2/2).

Наибольшего по абсолютной величине значения изгибающий момент достигает в сечении защемления

Mmax = ql2/2.

Пример 4. Построим эпюры для балки (рис. 95, а), лежащей на двух опорах и нагруженной силой. Составим уравнения равновесия и найдем опорные реакции:hello_html_m1b59fe8c.png

ΣMB = 0; -Fb RAl = 0,

ΣMA = 0; Fa RBl = 0 откуда

RA == Fb/l, RB = Fa/l.

Разделим балку на два участка: первый АС, второй СВ; их границей является точка приложения силы F. Поперечная сила в любом сечении на первом участке равна реакции RA; она постоянна по всей длине участка и положительна, так как сила RA, действующая на левую часть, направлена вверх

Q1 = RA = Рb/l.

Поперечная сила в любом сечении на втором участке равна разности сил RA и F и также постоянна по всей длине участка, но отрицательна

q2 = RA - F = Fb/l - F = F(b - l)/l = - Fa/l.

Эпюра поперечных сил показана на рис. 95, б. В сечении С, где приложена сила F, поперечная сила имеет скачок, равный значению F, и меняет знак на противоположный.

Выражение изгибающего момента в любом сечении на участке / при изменении z в пределах от z = 0 до z = а имеет вид

М1 = RAz = (Fb/l) z.

Этот момент положителен, так как сила RA стремится повернуть левую часть вокруг сечения по часовой стрелке.

Полученное уравнение определяет прямую линию, которую можно построить по двум точкам: при z = 0, т. е. в сечении на левой опоре, M1 = 0; при z = а, т. е. в сечении под силой F, М1 = Fab/l.

Изгибающий момент для любого поперечного сечения участка II при изменении z от z = а до z = l

М2 = RAz - F(z - a) = (Fb/l)z - F(z - a).

Знаки моментов поставлены в соответствии с приведенным выше правилом.

Изгибающий момент на участке // изменяется также по линейному закону; найдем две точки этой линии. При z = а, т. е. в сечении под грузом, М2 = Fab/l; при г = l, т. е. в сечении на правой опоре, М2 = 0.

Эпюра изгибающих моментов построена на рис. 95, б. Изгибающий момент имеет наибольшую величину (Mmax = Fab/l) в том сечений, в котором поперечная сила меняет знак















Пример 5. Построим эпюры для двухопорной балки, к которой приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q (рис. 96, а). Здесь для определения опорных реакций не нужнорешать уравнений равновесия, так как по симметрии нагружения балки сразу можно найтиhello_html_5fd66fa0.png

Ra = RB = ql/2.

В произвольном поперечном сечении на расстоянии z от опоры A, рассматривая левую отсеченную часть, определяем поперечную силу

Q = Ra - qz = ql/2 - qz


при z = О Q = ql/2 при z = l/2 Q = 0; при z = l Q = ql/2.

Эпюра Q построена на рис. 96, б. Изгибающий момент в проведенном сечении

M = RAz - qz (z/2) = (ql/2) z - qz2/2;


при z = 0 M = 0; при z = l/2 М = ql2/8; при z = l М = 0.

В это уравнение z входит во второй степени, поэтому эпюра М изобразится параболой (рис. 96, в). Посередине балки при z = 1/2 поперечная сила изменяет знак, и изгибающий момент имеет наибольшее значение Мmax = ql2/8.

  1. Построение эпюр поперечных сил

и изгибающих моментов по характерным точкам

На основе примеров, разобранных в предыдущем параграфе, можно сделать выводы о взаимосвязи между нагрузкой и очертаниями эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Ниже эти выводы сформулированы следующим образом.

1. На участках, где изгибающий момент постоянен (чистый изгиб, см. рис. 90), поперечная сила равна нулю.

2. На участках, свободных от загружения равномерно-распределенной нагрузкой, поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону, т. е. по прямой (см. рис. 93 и 95).

3. На участках, загруженных равномерно-распределенной нагрузкой, поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент по параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке (см. рис. 94 и 96).

4. В точках приложения сосредоточенных сил на эпюре поперечных сил имеют место скачки, равные по величине силам, а на эпюре моментов — переломы, направленные навстречу силам (см. рис. 93 и 95).

5. В точках приложения сосредоточенных пар сил на эпюре моментов возникают скачки, равные величинам пар (см. рис. 92).

6. В точках, где поперечная сила равна нулю (Q = 0), значение момента принимает экстремальное значение — максимальнее или минимальное на рассматриваемом участке.

Указанные закономерности позволяют упростить построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов (в сложнозагруженных балках) и обойтись без составления уравнений для каждого участка.

Достаточно вычислить ординаты эпюр для характерных сечений и соединить их линиями в соответствии с изложенными выше правилами. Характерными являются сечения балки, где приложены сосредоточенные силы и моменты (включая опорные сечения), а также сечения, ограничивающие участки с равномерно распределенной нагрузкой.

Для определения максимальных значений изгибающих моментов дополнительно подсчитываются моменты в сечениях, где поперечные силы равны нулю. Построение эпюр без составления уравнений дает особенно значительный эффект для балок, нагруженных сложной нагрузкой, имеющих много участков нагружения.

hello_html_1f8736a5.png













hello_html_m5cbde69b.png







hello_html_m5cbde69b.png











hello_html_m5cbde69b.png



























hello_html_m5cbde69b.png





hello_html_m4b9124be.png













hello_html_m4b9124be.png









































Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментовhello_html_m604c2c73.png

Билет 1







---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментовhello_html_m604c2c73.png

Билет 2

hello_html_m5ff5f08a.png

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------hello_html_13f9efd5.png

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментовhello_html_13f9efd5.pnghello_html_m604c2c73.png

Билет 3







---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------hello_html_m6bf0a49f.png

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментовhello_html_m604c2c73.png

Билет 4







---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------











Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Билет 5

hello_html_29763f30.png





--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------hello_html_13a23f34.png

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Билет 6







----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Билет 7

hello_html_m783204c3.png



---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Билет 8

hello_html_5c099bb9.png







-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------









Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментовhello_html_m5bbcdb6.png

Билет 9





------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------

Название документа СОПРОМАТ Изгиб 2.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m604c2c73.png































































hello_html_m5ff5f08a.png















































hello_html_13f9efd5.png















hello_html_13f9efd5.png











































hello_html_m6bf0a49f.png



















hello_html_m6bf0a49f.png















































hello_html_29763f30.png















hello_html_29763f30.png









































hello_html_mf94da8e.png









hello_html_mf94da8e.png











hello_html_mf94da8e.png





























































hello_html_13a23f34.png





























































hello_html_m783204c3.pnghello_html_3fb4dd72.png











hello_html_3fb4dd72.png































































hello_html_5c099bb9.png





























































hello_html_m5bbcdb6.png











































hello_html_5f3ec9ae.png



















hello_html_5f3ec9ae.png

































































5. Нормальные напряжения при изгибе

Нанесем на боковую поверхность балки, испытывающей чистый изгиб, продольную линию 001 на половине высоты и ряд поперечных параллельных между собой линий. При нагружении двумя противоположно направленными парами сил, действующими в продольной плоскости симметрии (рис. 101, б), балка деформируется — изогнется выпуклостью вниз. Линии на боковой поверхности балки останутся прямыми,hello_html_5ad4704d.png























Рис. 101 Рис. 102

но параллельность их нарушится. Расстояния между концами этих линий на выпуклой стороне увеличатся, а на вогнутой уменьшатся. Расстояния между этими линиями на половине высоты балки останутся такими же, как до деформации. Из этого можно заключить, что при изгибе продольные волокна балки на выпуклой стороне удлиняются, а на вогнутой укорачиваются; слой волокон, лежащих на половине высоты балки, сохраняет, искривившись, неизменную длину.

Растягивающие и сжимающие напряжения в поперечных сечениях балки соответствуют удлинению и укорочению ее продольных волокон. Слой, длина которого не изменяется при изгибе, не испытывает напряжений и называется нейтральным слоем.

Итак, при изгибе поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются одно относительно другого вокруг некоторых осей, лежащих в их плоскостях. Каждое поперечное сечение поворачивается вокруг линии его пересечения с нейтральным слоем. Эта линия называется нейтральной осью поперечного сечения.

Деформации волокон не зависят от положения волокон по ширине балки. Следовательно, нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются одинаковыми по ширине балки.

Исходя из этих гипотез, найдем величину удлинения какого-либо волокна балки при чистом изгибе. Положим, что два близких поперечных сечения балки (рис. 102) повернулись одно относительно другого на угол Δθ. Радиус кривизны нейтрального слоя балки, или ее изогнутой оси, обозначим ρ, а длину волокна, лежащего в нейтральном слое между рассматриваемыми сечениями - l. Координату у условимся считать положительной в сторону выпуклости и отрицательной в сторону вогнутости. Удлинение рассматриваемого волокна Δl = l1 l, а относительное удлинение (продольная деформация)

ε = Δl /l = l1 l /l

Выражая длины дуг l и l1 через соответствующие радиусы и центральный угол Δθ, имеем:

l = ρΔθ; 11 = (ρ -|- у) Δθ.

Подставив эти значения, получим

ε = (ρ + у) Δθ – ρΔθ / ρΔθ = y

т. е. относительные удлинения волокон прямо пропорциональны их расстояниям у от нейтрального слоя.

Зная относительное удлинение, можно применить закон Гука для линейной деформации и выразить нормальное напряжение

σ = Еε = Е y . (84)

Эта зависимость определяет линейный закон распределения нормальных напряжений по сечению балки (рис. 103). По ширине балки (при определенном у) напряжения постоянны. Наибольшего значения нормальные напряжения достигают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси, причем со стороны выпуклости балки эти напряжения растягивающие σmax, а со стороны вогнутости — сжимающие σmin. В точках нейтральной оси х (при у= 0) напряжения равны нулю.

После того как установлен закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки при чистом изгибе, можно перейти к определению напряжений в зависимости от изгибающего момента в этом сечении. Мысленно рассечем балку некоторым поперечным сечением и выделим в нем произвольную элементарную площадку dA на расстоянии у от нейтральной оси х (рис. 103).

hello_html_6a159ad1.png





















Рис. 103

M = Σ dA * y2

Входящий в эту формулу сумма Σ dA * y2 представляет собой осевой момент инерции Jx поперечного сечения балки относительно нейтральной оси х (§ 25).

Вводя это обозначение, можем представить последнее выражение в виде

M = Jx

Или

= (86)

Величина, обратная радиусу кривизны в какой-либо точке кривой, называется ее кривизной. Следовательно, формула (86) связывает кривизну нейтрального слоя, а значит



кривизну изогнутой оси балки, со значением изгибающего момента М и жесткостью сечения балки EJх относительно нейтральной оси.

Жесткость сечения пропорциональна модулю упругости Е и осевому моменту инерции Jx иными словами, она определяется материалом, формой и размерами поперечного сечения,

После подстановки полученного для 1/ ρ значения в формулу (84), произведя сокращение, определим нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения балки при чистом изгибе

σ = E = Ey = (87)

Если нейтральная ось сечения совпадает с осью симметрии, то

ymax = 0,5h,

где h — высота сечения.

Подставив значения ymax формулу для наибольших напряжений, получим

σmax/min = ± = ±

Отношение осевого момента инерции к расстоянию до наиболее удаленных от нейтральной оси волокон симметричного сечения называют осевым моментом сопротивления

Wx = Jx / 0,5h

6. Расчеты на прочность при изгибе

Проверку прочности и подбор сечений изгибаемых балок обычно производят исходя из следующего условия: наибольшие нормальные напряжения в поперечных сечениях не должны превосходить допускаемых напряжений [σ] на растяжение и сжатие, установленных нормами или опытом проектирования для материала балки.

Для балок из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь, дерево), следует выбирать сечения, симметричные относительно нейтральной оси (прямоугольное, круглое, двутавровое), чтобы наибольшие растягивающие и сжимающие напряжения были равны между собой. В этом случае условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид

[σ] = |М|max / Wx ≤ [σ] (90)

где Wxосевой момент сопротивления

Для прямоугольника Wx = Jx / 0,5h = bh2 / 6

где Jx - осевым моментом инерции сечения (называется взятая по всему сечению сумма произведений элементарных площадок, на квадраты их расстояний до некоторой оси, лежащей в плоскости рассматриваемого сечения. Jx = Σ dA * y2; )

b – ширина сечения;

h - высота сечения.


Для круга Wx = Jx / 0,5d = πd3 / 32


приближенно для. круга можно считать Wx =0,1d3

Для кольца Wx =0,1d3н (1-α4)



где α = dв / dн - отношение внутреннего диаметра кольца к наружному.


С помощью условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно решать следующие три задачи.

1. Проверка прочности (проверочный расчет) производится в том случае, когда известны размеры сечения балки, наибольший изгибающий момент и допускаемое напряжение [σ]. При этом непосредственно используется условие (90).

2. Подбор сечения (проектный расчет) производится в том случае, когда заданы действующие на балку нагрузки, т. е. можно определить наибольший изгибающий момент | М |max и допускаемое напряжение [σ].

Решая неравенство (90) относительно Wx, получаем

Wx | М |max / [σ]. (95).

По необходимому моменту сопротивления Wx, задавшись формой сечения, подбирают его размеры.

3. Определение наибольшего допускаемого изгибающего момента производится в том случае, когда заданы размеры сечения балки и допускаемое напряжение

[M]max ≤ [σ]Wx (96)
















































Пример 2.56. Проверить прочность деревянной балки, если [σ] = 100 кгс/см2.

hello_html_124f6a0a.png

hello_html_45dc717b.pnghello_html_124f6a0a.png













hello_html_m288b7d11.pnghello_html_3a38315e.png



hello_html_m308fab45.png







































hello_html_7d8b1bbf.png























hello_html_m5c397fc9.png



hello_html_2bc6df12.png









hello_html_2bc6df12.png













hello_html_2bc6df12.png













Нормальные напряжения при изгибе

hello_html_5ad4704d.png



При изгибе продольные волокна балки на выпуклой стороне удлиняются, а на вогнутой укорачиваются; слой волокон, лежащих на половине высоты балки, сохраняет, искривившись, неизменную длину.

Нейтральный слой – это такой слой который при изгибе не изменяет своей длины и не испытывает напряжений он лишь искривляется.

Допущения –

  1. Поперечные сечения балки при чистом изгибе, поворачиваясь вокруг своих нейтральных осей остаются плоскими и нормальными к изогнутой оси балки;

  2. Продольные волокна балки не оказывают давление друг на друга т е испытывают простое линейное растяжение (сжатие);

  3. Деформация волокон не зависят от их положения по ширине балки т е нормальные напряжения изменяются по высоте балки, а по ширине балки остаются одинаковыми в данном сечении.

hello_html_5ad4704d.png

Относительное удлинение (продольная деформация)

ε = Δl /l = l1 l /l

Выражая длины дуг l и l1 через соответствующие радиусы и центральный угол Δθ (тета), имеем:

l = ρΔθ; 11 = (ρ + у) Δθ.

Подставив эти значения, получим

ε = (ρ + у) Δθ – ρΔθ / ρΔθ = y

т. е. относительные удлинения волокон прямо пропорциональны их расстояниям у