Лекции по технической механики

Раздел 4. Динамика

1.      Аксиомы динамики

     В динамике рассматривается движение материальных точек или тел под действием приложенных сил; устанавливается связь между приложенными силами и вызываемым ими движением. Динамика основывается на ряде вытекающих из опыта аксиом; некоторые из них были рассмотрены в статике.

     Если на точку действует неуравновешенная система сил, точка имеет некоторое ускорение. Связь между действующей на точку силой и ускорением, вызываемым этой силой, устанавливается основной аксиомой динамики, которая заключается в следу­ющем.

     Ускорение  а,   сообщаемое  материальной  точке  приложенной  к ней силой F, имеет направление силы и по значению пропорцио­нально ей (рис.  а)

                                                         m = ,                                                  (1)

 или в скалярной форме

та = F.

     Коэффициент т, входящий в основное уравнение динамики, имеет очень важное физическое значение. Он представляет собой массу  материальной   точки.

     Если решить уравнение (1) отно­сительно ускорения, получим

                                                  а = F/m,                                                  (2)

т. е. чем больше масса, тем большая сила потребуется для сообщения телу определенного значения ускорения. Таким образом, масса материальной точки является мерой ее «инертности». Из уравнения (1) находим массу

                                                   т = F/a.                                               (3)

     Если это уравнение применить к материальной точке, находящейся под действием силы тяжести G, получим

т = G/g,

где    g — ускорение     свободного     па­дения.

     Масса пропорциональна силе тяжести тела и представляет собой постоян­ную скалярную  величину, которая  всегда  положительна  и   не зависит  от   характера  движения.

     В динамике используют также аксиому независимости действия сил, устанавливающую, что при действии на материальную точку нескольких сил ускорение, получаемое точкой, будет таким же, как при действии одной силы, равной геометрической сумме этих сил (рис. б), т. е.

                                      m =₁ + ₂ +₃+ …_n= F_Σ,                           (4)

где   F_Σ =₁ + ₂ +₃ +…_n — равнодействующая   систе­мы сил, приложенных к рассматриваемой точке.

     Рассмотрим системы единиц и их взаимосвязь. В Международ­ной системе единиц (СИ) за основные единицы принимают единицу длины — метр (м), единицу времени — секунду (с) и единицу массы — килограмм (кг). Производной является единица силы. Если в формуле F = та принять т = 1 кг, а = 1 м/с², то получим единицу  силы — ньютон  (Н),   который  способен сообщить массе в 1 кг ускорение 1 м/с²,

[F] = [m](a)= кг _* м / с² = H.

     Иногда возникает необходимость перейти от единиц одной си­стемы к единицам другой системы. Сила тяжести, пропорциональ­ная 1 кг массы, выраженная в ньютонах (Н), соответственно со­ставит

G = mg = 1 кг _* 9,81 м/с² = 9,81 кг _* м / с² = 9,81 Н,

но в то же время сна составляет одну килограмм-силу.

     Итак, килограмм-сила эквивалентна 9,81 Н, т. е. 1 кгс  = 9,81 Н или 1 Н = 0,102 кгс или приближенно 1 Н = 0,1 кгс.

     На основе аксиом динамики можно решить следующие две ос­новные задачи.

     Прямая задача динамики заключается в том, чтобы по задан­ному движению материальной точки определить силы, действую­щие на нее. Для ее решения прежде всего необходимо определить ускорение точки из условий кинематики. Определив ускорение точки, нужно затем воспользоваться основным законом динамики и найти действующую силу. Если на точку действует несколько сил и неизвестны лишь некоторые из них, то для их определения приходится   использовать  аксиому  независимости действия   сил.

     Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по за­данным силам определить движение точки. Здесь также прихо­дится использовать основной закон динамики. Из этого закона ускорение определяется через действующую силу и заданную массу точки.

2.      Понятие о силах инерции. Метод кинетостатики

     Пусть на материальную точку М действует некоторая система сил F₁, F₂, F₃,  ..., F_n                    ( рис. 2). Среди сил могут быть активные силы и реакции связей.

     На основании аксиомы независимости действия сил точка М под действием этих сил получит такое же ускорение, как если бы на нее действовала лишь одна сила, равная геометрической сумме заданных сил,

             Рис. 2                  m =₁ + ₂ +₃+ …_n= F_Σ,

     где а — ускорение точки М; т — масса точки  М; F_s — равно­действующая системы сил.

     Перенесем вектор, стоящий в левой части уравнения, в пра­вую часть. После этого получим сумму векторов, равную нулю,

            -m +₁ + ₂ +₃+ …_n= 0.

     Введем обозначение - та = F_ин, тогда приведенное  уравне­ние можно представить в виде

_ин+₁ + ₂ +₃+ …_n= 0.                             (5)

     Таким образом, все силы, включая силу F_ин, должны уравновешиваться, так как силы F_ин и F_Σ  равны  между собой и направлены по одной прямой в противоположные стороны.  Сила  F_ин равная произведению массы точки на ее ускорение, но напра­вленная в сторону, противопо­ложную ускорению, называется силой инерции.

     Из последнего уравнения следует, что в каждый данный момент времени силы, приложенные к материальной точке, уравновеши­ваются силами инерции. Приведенный вывод называют началом Д'Аламбера. Он может быть применен не только к материальной точке, но и к твердому телу или к системе тел. В последнем случае он формулируется следующим образом: если ко всем действующим силам, приложенным к движущемуся телу или системе тел,, при­ложить силы инерции, то полученную систему сил можно рассматривать как находящуюся в равновесии.

     Следует подчеркнуть, что силы инерции действительно суще­ствуют, но приложены не к движущемуся телу, а к тем телам, которые вызывают ускоренное движение.

     Применение начала Д'Аламбера позволяет при решении дина­мических задач использовать уравнения равновесия. Такой прием решения задач динамики носит название метода кинетостатики.

     Рассмотрим, как определяется сила инерции материальной точки в различных случаях ее движения.

     1. Точка М массой т движется прямолинейно с ускорением (рис. 3, а, б). При прямолинейном движении направление ускорения совпадает с траекторией. Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению, и численное значение ее определяется  по формуле

Fин = та.

 

                                                     Рис. 3

     При ускоренном движении (рис. 3, а) направления ускоре­ния и скорости совпадают и сила инерции направлена в сто­рону, противоположную движению. При замедленном движении (рис. 3, б), когда ускорение направлено в сторону, обратную скорости, сила инерции действует по направлению движения.

     2. Точка М движется криволинейно и неравномерно (рис. 3, в). При этом, как известно из предыдущего, ее ускорение может быть разложено на нормальную а_n и касательную а_t

составляющие. Аналогично сила инерции точки F_ин также скла­дывается из двух составляющих: нормальной и касательной.

     Нормальная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на нормальное ускорение и направлена противопо­ложно этому ускорению

                                          Fⁿ_ин= та_п.                                         (6)

     Касательная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на касательное ускорение и направлена противоположно этому ускорению

                                          F^t_ин = ma_t.                                          (7)

     Очевидно, что полная сила инерции точки М равна геометри­ческой сумме нормальной и касательной составляющих, т. е.

                                       F_ин =Fⁿ_ин +  F^t_ин                                   (8)

     Учитывая, что касательная и нормальная составляющие взаим? но перпендикулярны, полная сила инерции

                                                                                                                                        (9)

 

3.      Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении

     Определим работу для случая, когда действующая сила посто­янна по величине и направлению, а точка ее приложения переме­щается по прямолинейной траектории. Рассмотрим материальную точку С, к которой приложена постоянная по значению и направлению сила F (рис. 4, а).  За некоторый промежуток времени t точка С переместилась в положение С₁ по прямолинейной траек­тории на расстояние s.

Рис 4

     Работа W постоянной силы F при прямолинейном движении точки ее приложения равна произведению модуля силы F на рас­стояние s и на косинус угла между направлением силы и направле­нием перемещения, т. е.

                            W = Fs cos (F, s) == Fs cos a.                                                   (10)

     Угол α между направлением силы и направлением движения может меняться в пределах от 0 до 180°. При α < 90° работа по­ложительна, при α > 90° — отрицательна, при α = 90° W = 0 (работа равна нулю).

     Если сила составляет с направлением движения острый угол, она называется движущей силой, ее работа всегда Положительна. Если угол между направлениями силы и перемещения тупой, сила оказывает сопротивление движению, совершает отрицательную работу и носит название силы сопротивления. Примерами сил сопротивления могут служить силы резания, трения, сопротивле­ния воздуха и другие, которые всегда направлены в сторону, про­тивоположную движению.

Когда α = 0, т. е. когда направление силы совпадает с направ­лением скорости, W = Fs, так как cos α = 1. Произведение F cos a есть проекция  силы F на направление движения материальной точки. Следовательно, работу силы можно определить как произведение перемещения s и проекции силы F на направление движе­ния точки.

     За единицу работы в Международной системе единиц (СИ) принят джоуль (Дж), равный работе силы в один ньютон (Н) на совпадающем  с ней   по  направлению движения  длиной  в  один метр (м): 1 Дж = 1 Н _* м = 1 кг _* м² /с². Применяется также

более крупная единица работы — килоджоуль (кДж), 1 кДж = 1000 Дж = 10³ Дж. В технической системе (МКГСС) за еди­ницу работы принят килограмм-сила метр (кгс-м).

4.      Работа силы на криволинейном перемещении

     При криволинейном движении формулой (10) пользоваться нельзя. В этом случае пользуются понятием элементарной работы на бесконечно малом участке пути ds (рис. 4, б), который можно считать прямолинейным,

dW=Fds cos (F, v)

где v — скорость точки, совпадающая по направлению с элемен­тарным  перемещением.

     Cуммируя элементарные работы на конечном отрезке   пути,   получаем   полную работу

W= ΣF ds cos{F, v).        (11) ,

    

      Используем   эту   формулу для вычисления работы силы тяжести. Пусть некоторая   точка,   сила тяжести которой G,     переместилась по криволинейной траектории из точки С₁ в точку С₂, опустившись на   высоту   Н   (рис.  5). Из   рисунка    следует,   что                         ds cos (G, v) представляет    собой проекцию  элементарного направление   силы   G, т. е.

                    ds cos (G, v) = dy.

     Формула для работы принимает вид

W = ΣGdy.

     Вынося   из-под   знака   суммы   постоянную   величину — силу тяжести

                           Рис. 5

тела G — и учитывая, что сумма элементарных перемещений вдоль оси у равна полной высоте перемещения тела Σ dy =  Н, получаем

                                               W = G Σ  dy = GH,                      (12)

т. е. работа силы тяжести равна произведению силы тяжести на вертикальное перемещение ее точки приложения. Таким обра­зом, работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой перемещается  центр тяжести тела.

5. Мощность

     Мощностью называется работа, совершаемая силой в единицу времени. Средняя мощность Р_ср силы F за время Δt на перемеще­нии Δs, с которым сила образует угол а, определяется по формуле (см. § 70)

P_ср = ΔW/Δt = FΔs cosα/Δt

     Переходя  к пределу  при  стремлении  рассматриваемого про­межутка времени к нулю, получаем истинную мощность

    

     Как было указано, F cos a является проекцией силы на на­правление движения материаль­ной точки. Обозначив F cos α через F_v,  получим

P = F_v ds/dt = F_vv

так как

ds/dt = v

     Мощность измеряется в едини­цах работы, отнесенных к единице времени. За единицу мощности принят ватт (Вт) — мощность, соответствующая работе в один джоуль в секунду,

                                                                    1 Вт =1 Дж/с = 1 Н м/с

5. Мощность

     Мощностью называется работа, совершаемая силой в единицу времени. Средняя мощность Р_ср силы F за время Δt на перемеще­нии Δs, с которым сила образует угол а, определяется по формуле (см. § 70)

P_ср = ΔW/Δt = FΔs cosα/Δt

     Переходя  к пределу  при  стремлении  рассматриваемого про­межутка времени к нулю, получаем истинную мощность

    

     Как было указано, F cos a является проекцией силы на на­правление движения материаль­ной точки. Обозначив F cos α через F_v,  получим

P = F_v ds/dt = F_vv

так как

ds/dt = v

     Мощность измеряется в едини­цах работы, отнесенных к единице времени. За единицу мощности принят ватт (Вт) — мощность, соответствующая работе в один джоуль в секунду,

                                                                    1 Вт =1 Дж/с = 1 Н м/с

6.  Работа и мощность при вращательном движении

     Часто встречаются детали машин, вращающиеся вокруг не­подвижных осей. Причиной вращательного движения является приложенный к телу вращающий момент относительно оси, ко­торый создается парой сил или силой F (рис. 137) и определяется по формуле

M = FD/2

     При повороте тела  (рис.   137)  на малый угол dφ работа совершается силой F, точка приложения которой перемещается из положения С₁ в положение С₂. Пол­ное перемещение точки приложения силы равно длине дуги радиусом R

ds= R dφ

        Так как сила F все время направлена по касательной к пере­мещению s, то совершаемая ею работа определится как произведе­ние силы  на  перемещение

dW = Fds = FRdφ = F _*  D/2 _* dy. Произведение силы на радиус определяет вращающий момент, т.   е.   F D/2 = М.   Учитывая   это,   окончательно  находим   dW = М dφ.  Интегрируя,  получим

             W = Мφ.                                      (1)

     Работа вращающего момента равна произведению момента на угол поворота.

     Определим мощность при вращательном движении

P = dW/dt = Mdφ/dt = Mω                             (2)

     Мощность при вращательном движении тела равна произведе­нию вращающего момента (момента пары) на угловую скорость.

     Подставив в выражение мощности значение угловой скорости, выраженной    через   частоту   вращения   (об/мин)    ω = πn/30 по­лучим

P = Mπn/30 = Mn/9,55

откуда

                                         M= 30P/πn = 9,55P/n                                   (3)

     При данной мощности двигателя максимальный вращающий момент, который двигатель способен развить, можно изменить путем варьирования частоты вращения. Уменьшая частоту вра­щения, увеличивают вращающий момент и, наоборот, увеличивая частоту вращения,  вращающий момент уменьшают.

7.  Понятие о трении

     При движении друг относительно друга двух соприкасающихся тел (рис. 138) по поверхности их соприкосновения возникает каса­тельная реакция, препятствующая движению. Она называется силой внешнего трения R_f и направлена в сторону, противополож­ную движению.

 

                     Рис. 138                                                                                 Рис.139

     Трение в машинах играет существенную роль. В передаточных механизмах — фрикционных, канатных, ременных и др. — пере­дача движения от ведущего звена к ведомому осуществляется тре­нием. В других случаях трение препятствует движению, погло­щая значительную часть работы движущих сил.

     В зависимости от вида относительного движения соприкаса­ющихся тел различают трение скольжения и трение качения.

     Основную зависимость для силы трения скольжения можно выразить формулой

                                                        R_f  = f F_,                                                 (4)

где f — коэффициент пропорциональности, или коэффициент тре­ния скольжения, зависящий от рода трущихся тел и физического состояния контактирующих поверхностей; F — сила нормального давления, прижимающая трущиеся поверхности друг к другу.

     Таким образом, сила трения прямо пропорциональна нормаль­ному давлению и направлена в сторону, противоположную отно­сительной скорости движения.

     Из формулы (4) находим значение коэффициента трения скольжения

f = R_f / F = R_f  / R_n

где R_n — нормальная реакция.

 

                        Рис. 140                                                                                    Рис.141

     Коэффициент трения скольжения f является безразмерной величиной.

     Обозначив суммарную реакцию сил R_n и R_f через R_Σ (рис. 139) и угол между суммарной и нормальной реакцией через ρ, находим, что коэффициент трения скольжения f является отноше­нием противолежащего катета R_f к прилежащему R_n в прямо­угольном треугольнике и определяется  как тангенс угла ρ, т.  е.

f =R_f /R_n = tgρ.                               (5)

     Угол ρ называется углом трения, следовательно, коэффициент трения скольжения численно равен тангенсу угла трения.

     Если вокруг оси, перпендикулярной к опорной плоскости, путем вращения вектора полной реакции R_Σ образовать поверхность кругового конуса (рис. 140), то получим так называемый конус трения с углом при вершине, равным двойному углу трения 2ρ

     Если воздействовать на тело силой F_Д, расположенной внутри конуса трения, то как бы ни была велика эта сила, она не сможет вывести тело из состояния равновесия. Это явление носит назва­ние самоторможения.

     Сопротивление трения качения возникает при перекатывании криволинейных  поверхностей  контактирующихся тел.

     При перекатывании цилиндра по горизонтальной опорной по­верхности (рис. 141) в зоне их контакта создаются силы реакции.

     Зти силы распределены неравномерно. Их величина больше там, где происходит смятие при перекатывании цилиндра (участок СВ)и меньше в зоне разъединения  (участок АС).  Вследствие этого  нормальная реакция R_n, являющаяся равнодействующей всех сил

реакций, смещается в сторону движения катящегося тела.

     Смещение k от линии действия силы тяжести цилиндра чис­ленно определяет коэффициент трения качения, который обоз­начается через f_K и измеряется в миллиметрах.

     Представим себе, что к цилиндру на некотором расстоянии h над плоскостью качения приложена сила F, под действием кото­рой цилиндр равномерно катится по опорной плоскости. Составим сумму моментов относительно точки С всех сил, действующих на цилиндр,

ΣМ_С(F) = 0;       Fh - R_nf_K = 0

(где f_K — коэффициент трения качения), откуда при R_n = G

 

                                                                                                                                    (6)

     Очевидно, что коэффициент трения качения f_K имеет размер­ность длины.

Пример   1. Тело массой т =50 кг передвигают по полу при помощи горизонтальной силы Q   на расстояние s = 6 м. Определить ра­боту, которую совершит сила трения, если коэф­фициент трения между поверхностью тела и полом f = 0,3 (рис. 1.63).

      Решение. Согласно закону Аммонтона — Кулона     сила     трения  R_f = fR_n, где R_n = G = mg. Сила трения направлена в сто­рону, противоположную движению, поэтому работа этой силы отрицательна:

                                                W_Tp= -Ts= - f R_n s= - 0,3 _* 50 _* 9,81 _*6= - 883 Н _* м.

                                                          Рис. 1,63

     Пример 1.47. Колесо радиусом R = 0,3м катится без скольжения по горизонтальному рельсу (рис. 1.66). Найти работу трения качения при перемещении центра колеса на расстояние                          s = 30 м,  если  вертикальная  нагрузка  на ось колеса составляет Р =100 кН. Коэффициент трения качения ко­леса по рельсу равен k = 0,005 см.

     Решение. Трение качения воз­никает из-за деформаций колеса и рельса в зоне их контакта. Нор­мальная реакция N смещается вперед по направлению движения и образует с вертикальной силой давления Р па ось колеса пару, плечо которой равно коэффициен­ту  трения   качения   k,   а   момент

M = Nk = Pk.

     Эта пара стремится повернуть колесо в направлении, противоположном его вращению. Поэтому работа трения качения будет отрицательной и определится как произве­дение постоянного момента трения на угол поворота ко­леса φ, т. е.                                                         Рис. 1.66

                                         A = - Mφ = -kPφ.

 

8.  Коэффициент полезного действия

     Создавая машину, важно не только обеспечить движение ра­бочих органов машины, удовлетворяющих заданному технологи­ческому процессу, но необходимо, чтобы машина обладала до­статочно высоким коэффициентом полезного действия (к.  п. д.).

     При наличии сил трения и сопротивления воздуха не вся за­траченная работа W₃ используется в машинах или механических устройствах. Полезная работа W_п всегда меньше затраченной, т. е. W_п < W₃ и их отношение определяет важнейшую технико-эконо­мическую характеристику — к. п. д.

η = W_n/W_s.                                    (7)

     При установившемся движении рабочих органов машины сум­ма работ всех сил, приложенных к ним, будет равна нулю, т. е.

ΣW_з = W_з  - W_п  - W_{в. с}

(где W_В.С — работа вредных сопротивлений), откуда

 

     Подставляя в формулу (7) значение W_n, получим

                                                                                                                 (8)

     Так как работа вредных сопротивлений в машине W_B.C  ни­когда не может быть равна нулю, то  W_B.C /W₃ > 0 и η < 1.

     Следовательно, для увеличения к. п. д. необходимо стремиться к уменьшению вредных сопротивлений, тогда к. п. д. будет стре­миться к единице.

9.  Закон изменения количества движения

     Количеством движения материальной точки называется вектор­ная величина, равная произведению массы точки на ее скорость,

                                        q = mv.                                                    (9)

     Вектор количества движения по направлению совпадает со скоростью. Количество движения материальной точки [можно спроектировать на координатные оси. Проекцией на ось х будет mv_x, проекцией на ось у — mv_y, проекцией на ось г — mv₂,

     Единица измерения количества движения в Международной системе единиц (СИ)

[q]= [mv] = [т] [v] = кг _* м/с.

     Импульсом постоянной силы называется вектор, равный про­изведению силы на время ее действия и имеющий направление силы

S = F(t₂ – t₁)

где    t₂   и   t₁ конечный    и    начальный    моменты    времени.

     Единица измерения импульса силы в Международной системе единиц (СИ) равна единице коли­чества движения                                

 [S] = [Ft] = [F] [t] = H_*c = кг _* м/с.

     Установим закон изменения количества движения для случая, когда точка С движется прямолинейно под действием постоянной силы (рис. 142). Согласно основному уравнению динамики, уско­рение точки при этом — постоянно, и точка движется равнопере­менно.

     Скорость точки С в произвольный момент времени определяем по формуле равнопеременного движения

v₂ = v₁ + at,

откуда                                                       а = (v₂ — v₁) / t.

     Подставим найденное значение ускорения в основной закон динамики

F = ma = m(v₂ — v₁)/t

 или

Ft = mv₂ — mv₁

     Учитывая, что произведение Ft является импульсом действу­ющей силы, окончательно имеем

S = F (t₂ — t₁)    =   mv₂ — mv₁.                        (10)

     Следовательно, алгебраическое приращение количества движения материальной точки при прямолинейном движении за время t = t₂—t₁ равно импульсу действующей силы за тот же промежуток времени.

10.  Потенциальная и кинетическая энергия

     Существуют две основные формы механической энергии: потен­циальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия, или энергия движения. Чаще всего приходится иметь дело с по­тенциальной энергией сил тяжести. Потенциальной энергией силы тяжести материальной точки или тела в механике называется способность этого тела или точки совершать работу при опуска­нии с некоторой высоты до уровня моря (до какого-то уровня). Потенциальная энергия численно равна работе силы тяжести, произведенной при перемещении с нулевого уровня до заданного по­ложения. Обозначив потенциальную энергию Е_П, получим

Е_П = GН,                                     (11)

где G — сила тяжести точки (или тела); H — высота центра тя­жести от пулевого уровня.

     Кинетическая энергия определяется способностью двиоюущегося тела (или точки) совершать работу. Для материальной точки кинетическая энергия численно равна полупроизведению ее массы на квадрат скорости, т. е. mv²/2.

     Потенциальная и кинетическая энергия также измеряются в единицах  работы:

     Всякое твердое тело или механическая система состоит из множества отдельных материальных точек. Поэтому кинетическую энергию твердого тела или какой-либо механической системы мож­но представить как сумму кинетических энергий всех точек, обра­зующих тело или систему. Обозначив кинетическую энергию тела или системы Е_K получим                                             E_K = Σ dmv²/2

где dm — элементарная масса точки; v — скорость этой точки.

11.   Кинетическая энергия тела в разных случаях его движения

     Найдем кинетическую энергию твердого тела при поступатель­ном движении (см. рис. 121). Поступательное движение тела харак­теризуется тем, что скорости движения всех его точек равны между собой и имеют одинаковое направление, т. е.

v = v_М= v_B = …= v_C

где v_c — скорость центра тяжести тела или любой другой; точки тела.

     Кинетическая энергия тела для рассматриваемого случая

E_K = Σdmv²_C /2= v²_C /2Σdm = Mv²_C /2

                                         где М — масса всего твердого тела.

     Следовательно, кинетическая энергия поступательно движуще­гося тела равна половине произведения квадрата скорости любой точки тела на массу тела.

      Найдем кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг, неподвижной оси. Если тело вращается вокруг оси у с угловой ско­ростью  (см. рис. 122 и 123, а), то скорость произвольной точки тела пропорциональна расстоянию этой точки до оси вращения

v = rω,

где r — расстояние точки от оси вращения — величина перемен­ная;

ω — угловая скорость (для всех точек тела имеет одинаковое значение).

     Подставив значение v в формулу кинетической энергии и вы-неся постоянные величины за знак суммы, получим

E_K = Σdmv²/2= Σdm(rω)² /2=ω²/2 Σdmr²

            Численное значение интеграла Σ dmr², представляющее сумму произведений массы каждой частицы на квадрат ее расстояния до оси вращения z, называется моментом инерции массы тела относительно этой оси и обозначается J_Z. Момент инерции массы тела играет очень большую роль в динамике твердого тела.

             Следовательно, кинетическая энергия тела, вращающегося во­круг неподвижной оси, равна половине произведения квадрата угло­вой скорости на момент инерции массы тела относительно оси его вращения

                                                   E_K = J_Z ω²/2

     Плоскопараллельное движение, как было показано в кинема­тике, можно разложить на два движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное вокруг полюса. Соответ­ственно и кинетическая энергия тела при плоскопараллельном дви­жении складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с некоторым полюсом и кинетической энергии вращательного движения вокруг полюса

                               Е_к = Mv²/2 + Jω²/2                                       (12)

где v — скорость поступательного движения полюса; ω — угловая скорость вращения тела, не зависящая от выбора полюса.

12.   Моменты инерции некоторых однородных тел

     Момент инерции массы любого тела  J = Σm_i r_i²                                               (13)

     Установим единицу измерения момента инерции [J] = m _* r = кг _* м².

     Приведем формулу  (без  выводов) для  вычисления  моментов инерции простейших тел относительно некоторых осей.

 

Рис. 144

     1.  Для однородного стержня относительно оси z,  перпендику­лярной к оси стержня и проходящей через его конец (рис. 144, а),

J_Z = ml²/3,

где т — масса стержня;  l — длина стержня.

     Для  однородного стержня относительно оси  г₀ (рис.   144, а), проходящей через его центр тяжести,

J_Z = ml² /12,

     2.  Для   однородного цилиндра  (рис.   144, б)

J_Z = mD²/8,

где т — масса цилиндра; D — диаметр цилиндра.

     3.  Для окружности или тонкого кольца, если пренебречь его толщиной (рис.   144, в),

J_Z = mD ²/4.

13.  Закон изменения кинетической энергии

     Пусть на материальную точку массой т действует постоянная сила F.  В этом случае точка имеет постоянное ускорение а = F/m; движение ее будет равномерно-ускоренным.

     Рассмотрим  случай,   когда  направление движения  совпадает с направлением силы F (см. рис. 142). Пусть точка под действием силы F переместится из положения С₁ в положение С₂.Если обозначить начальную и конечную скорости точки соответственно через v₁ и v₂ то ускорение движения можно определить но формуле

a = v₂-v₁/t                        (а)

где t—время движения.

     Перемещение точки приложения силы

S =(v₂+v₁)_* t /2.                            (б)

     Работа силы F, учитывая, что ее направление совпадает с пере­мещением, такова:

W = Fs = F(v₂+v₁)_* t /2

     Подставив в выражение работы значение силы F, по основному закону динамики                   F = та = т_* v₂-v₁/t                           получим

W = mas.

     В последнем уравнении заменим значение ускорения а и пере­мещения s их выражениями по (а) и (б)

     Это уравнение показывает, что изменение кинетической энергии материальной точки равно работе силы, действующей на точку.

     Для системы материальных точек, например для твердого тела, закон кинетической энергии имеет аналогичный вид

E₂ –E₁ = ΣW,                     (14)

т. е. изменение кинетической энергии системы материальных точек равно сумме работ, действующих на систему сил.

 

14.  Основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела

     Определим зависимость между приложенными к вращающе­муся телу силами и сообщаемым ему угловым ускорением е (рис.  145).

     Рассмотрим элементарную частицу тела dm и приложим к ней нормальную и касательную составляющие силы инерции. При­ложив силы инерции ко всем частицам тела, получим уравнове­шенную систему сил. Применим к этой системе уравнения равно­весия.  Алгебраическую сумму вращающихся моментов внешних

сил F₁, F₂,  ..., F_n относительно оси вращения у обозначим   My^e     Нормальные силы инерции пересекают ось вращения и не со­здают относительно нее момента. Касательные силы инерции создают моменты относительно оси вращения. Плечом касательной

силы инерции F_ин^t каждой точки является соответствующий   ра­диус r_i

     Направление суммарного момента этих сил противоположно направлению углового ускорения е и вращающего момента My^e так как касательная сила инерции любой точки направлена про­тивоположно ее касательному ускорению. Значение касательной силы инерции точек вращающего тела определяется по формуле

dF_ИН^t = dma_t = dmrε.

     Составим   уравнение   моментов   от­носительно оси вращения у:

ΣM_iy =0;             M -- ΣdF_ин^t r = 0

откуда 

ΣdF_ин^t r = M

     Подставив  значение dF_ин^t , получим

Σ dmr²ε = М.

     Вынесем значение углового ускорения е за знак суммы как величину,   одинаковую   для   всех   точек   тела,   получим

                                                                 ε Σ dmr²=М

     Множитель при ε — знакомая нам величина; это момент инер­ции тела относительно оси у

Σ dmr²=J_y

Окончательно получим                            ε J_y = M                              (15)

     Это основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела. Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил относительно оси вра­щения.

     Из уравнения (15) следует, что 

ε = M / J_у.

     Чем больше момент инерции тела, тем больший вращающий момент следует приложить для сообщения телу определенного углового ускорения ε. Поэтому момент инерции массы можно рассматривать как меру инертности твердого тела во вращательном  движении аналогично тому, как масса служит мерой инертности материальной точки или тела при поступательном движении.

 

Раздел 4. Динамика

     Динамика — это часть теоретической механики, в ко­торой рассматривается движение материальной точки или тела под действием приложенных сил и  устанавли­вается связь между приложенными силами и движением точек и тел которые они вызывают.

Аксиомы динамики

    Аксиома I (закон или принцип инерции). Система сил, приложенная к материальной точке, является уравно­вешенной, если под ее воздействием точка находится в со­стоянии относительного покоя или движется равномерно и прямолинейно.

     В случае относительного покоя или равномерного и прямолинейного движения уско­рение материальной точки равно нулю. Поэтому под дей­ствием уравновешенной системы сил или при отсутствии силовых воздействий материальная точка не испытывает ускорений и движется равномерно и прямолинейно.

     Материальная точка, которая не испытывает силовых воздействий со стороны других точек и тел, называется в механике изолированной точкой. Следовательно, ускоре­ние изолированной материальной точки всегда равно нулю. Материальная точка не может самопроизвольно изменить свою скорость. Для изменения скорости точки совершенно необходимо какое-то внешнее силовое воздействие со сто­роны другого тела. Первая аксиома динамики выражает основное свойство материального тела — неспособность сообщать самому себе ускорение.

Основной закон динамики материальной точки

     Когда на точку действует неуравновешенная система сил, точка будет двигаться или прямолинейно, или не­равномерно, т. е. будет иметь некоторое ускорение.

     Аксиома II. Ускорение, сообщаемое материальной точке приложенной к ней си­лой, имеет направление силы и по величине пропорциональ­но ей               m

 

                                                   F = та        (1)                                      a                p

где  Р - сила действия на точку, в результате чего по­является ускорение движения точки;

        a - ускорение, сообщаемое материальной точке;

        m – масса материальной точки.

       Уравнение (1) называется основным уравнением ди­намики  в  векторной  форме.  Оно также  справедливо  и в скалярной   форме

F = та.                              (1а)

      Если решить уравнение (139а) относительно ускорения, получим

а = F/m.                              (2)

     Из уравнения (2) видно, что чем больше масса, тем большая сила потребуется для сообщения телу определен­ного ускорения. Следовательно, масса характеризует «инертность», или «неподатливость», тела воздействию силы.

     Таким образом, масса материальной точки является мерой ее «инертности».

     Из уравнения (1) находим массу

т =F / a                                 (3)

     Если применить уравнение (3) к материальной точке, находящейся под действием силы тяжести G, то получим

m = G / g                         (3а)

где G — вес тела (сила тяжести);

       g — ускорение силы тяжести — величина, зависящая от широты места (меньше на экваторе и больше на полюсе); для средних широт обычно прини­мают

g = 9,81 м /сек².

     Из уравнения (3а) видно, что масса пропорциональна весу тела. Инертная масса материальной точки представ­ляет собой скалярную величину, которая всегда поло­жительна. С точки зрения теоретической механики масса точки или тела является постоянной величиной m = const, не завися­щей от движения. Масса служит более полной характе­ристикой тела, чем вес, так как вес в разных точках Земли различен, а масса всегда остается одинаковой. Физически массу можно рассматривать как количество вещества, заключенного в теле.

Аксиома независимости действия сил

     Аксиома III. Если на материальную точку действует несколько сил,  то ускорение,  получаемое точкой,  будет такое же, как и при действии одной силы, равной геометри­ческой сумме этих  сил .

ma =F₁ + F₂ +F₃+ …F_n= F_Σ,                 (4)

где   F_Σ =F₁ + F₂ +F₃ +…F_n — равнодействующая   систе­мы сил, приложенных к рассматриваемой точке.

     Рассмотрим системы единиц и их взаимосвязь. В Международ­ной системе единиц (СИ) за основные единицы принимают единицу длины — метр (м), единицу времени — секунду (с) и единицу массы — килограмм (кг). Производной является единица силы. Если в формуле F = та принять т = 1 кг, а = 1 м/с², то получим единицу  силы — ньютон  (Н),   который  способен сообщить массе в 1 кг ускорение 1 м/с²,

[F] = [m](a)= кг _* м / с² = H.

     Иногда возникает необходимость перейти от единиц одной си­стемы к единицам другой системы. Сила тяжести, пропорциональ­ная 1 кг массы, выраженная в ньютонах (Н), соответственно со­ставит

G = mg = 1 кг _* 9,81 м/с² = 9,81 кг _* м / с² = 9,81 Н,

но в то же время сна составляет одну килограмм-силу.

     Итак, килограмм-сила эквивалентна 9,81 Н, т. е. 1 кгс  = 9,81 Н или 1 Н = 0,102 кгс или приближенно 1 Н = 0,1 кгс.

Системы единиц

СИ	МКГСС (техническая)
Время – 1с	Время – 1с
Длина – 1м	Длина – 1м
Масса – 1 кг	Сила – 1 кгс (кГ)
Производные
Сила  F = ma = кг * м/с2 = Н	Масса  ют =F / a = кГ * с2/м - техническая единица массы

Аксиома взаимодействия

     Аксиома IV. Всякому действию соответствует рав­ное и противоположно направленное противодействие. Иными словами, силы, с которыми действуют друг на друга материальные точки, всегда равны по модулю и направлены по прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

F₁ = F₂    =>

F₁ = m₁a₁  ;    F₂ = m₂a₂     =>

m₁a₁ =  m₂a₂

m₁ / m₂ = a₂ / a₁

Ускорение, возникающее при взаимодействии двух тел, обратно пропорционально их массам.

Две ос­новные задачи динамики.

     Прямая задача динамики заключается в том, чтобы по задан­ному движению материальной точки определить силы, действую­щие на нее. Для ее решения прежде всего необходимо определить ускорение точки из условий кинематики. Определив ускорение точки, нужно затем воспользоваться основным законом динамики и найти действующую силу. Если на точку действует несколько сил и неизвестны лишь некоторые из них, то для их определения приходится   использовать  аксиому  независимости действия   сил.

     Обратная задача динамики заключается в том, чтобы по за­данным силам определить движение точки. Здесь также прихо­дится использовать основной закон динамики. Из этого закона ускорение определяется через действующую силу и заданную массу точки

     Пример 1. Материальная точка весом G = 100 Н движется по прямой гладкой поверхности с а = 1,5 м/с². Определить силу F вызывающее это движение.

Дано:                             N                    а                 F

G = 100 Н

а = 1,5 м/с²

___________                G

F -?                     F = та  ;  G = mg  => m = G / g   => F = G / g  _* a = 100 / 9,81 _* 1,5 = 15,3 H                       

    Пример 2. Под действием собственного веса тело падает с высоты 1500 м испытывая при этом сопротивление воздуха равное половине веса тела. Найти а) ускорение тела и скорость ч/з 5 сек после начала движения. б) ч/з сколько времени упадет тело на землю,  в) какую скорость оно будет иметь в момент касания Земли.

Дано:                                                                                  v₀ = 0

a_t = const                                                                            F = та_t =  G / g _* a_t

H = S = 1500м                         R_воз                                                F = G – R = G – 0,5G = 0,5G

R_воз = 0,5 G                                                                        0,5G = G _* a_t / g => a_t = 0,5g = 4,9м/с²

t₁ = 5с                                                   H = S                    v₁ = a_{t *} t= 4,9 _* 5 = 24,525 м/с

__________                    F      G                      S = a_{t *} t² / 2 => t = √2S / a_t = √2 _* 1500/4,9=24,73c

v₁ - ? a_t -?                                                                            v₂ = a_{t *} t₂= 4,9 _* 24,73 = 121,3м/с

v0= 0	v0 0
at = v/t [м/с2]	at = v – v0 /t [м/с2]
v =at * t[м/с]	v =v0 + at * t [м/с]
S = at * t2 / 2[м]	S =  v0 * t  + at * t2 / 2[м]
S = vср * t = v/2 * t[м]	S = vср * t = v0 + v /2 * t[м]

t₂ -?  v₂ -?

Д/з

    Пример 3. Тело массой 5 кг, движется по прямой с ускорением 2 м/с². Сила F направлена к горизонтали под углом 30⁰. Определить величину этой силы.

Дано:                                           F         F _* cos30⁰ = ma  =>  F = m _* a / cos30⁰= 5 _* 2 / 0,866 =

m = 5кг                                 30⁰                       11,547 H

a = 2м/с²

_______

F - ?

1.      Понятие о силах инерции. Метод кинетостатики

     Пусть на материальную точку М действует некоторая система сил F₁, F₂, F₃,  ..., F_n                    ( рис. 2). Среди сил могут быть активные силы и реакции связей.

     На основании аксиомы независимости действия сил точка М под действием этих сил получит такое же ускорение, как если бы на нее действовала лишь одна сила, равная геометрической сумме заданных сил,

             Рис. 2                  mа =F₁ + F₂ +F₃+ …+ F_n= F_Σ,

     где а — ускорение точки М; т — масса точки  М; F_s — равно­действующая системы сил.

     Перенесем вектор, стоящий в левой части уравнения, в пра­вую часть. После этого получим сумму векторов, равную нулю,

            -ma +F₁ + F₂ +F₃+ …+ F_n= 0.

     Введем обозначение - та = F_ин, тогда приведенное  уравне­ние можно представить в виде

F_ин+F₁ + F₂ +F₃+ …+F_n= 0.                               (5)

     Таким образом, все силы, включая силу F_ин, должны уравновешиваться, так как силы F_ин и F_Σ  равны  между собой и направлены по одной прямой в противоположные стороны.  Сила  F_ин равная произведению массы точки на ее ускорение, но напра­вленная в сторону, противопо­ложную ускорению, называется силой инерции.

     Из последнего уравнения следует, что в каждый данный момент времени силы, приложенные к материальной точке, уравновеши­ваются силами инерции. Приведенный вывод называют началом Д'Аламбера. Он может быть применен не только к материальной точке, но и к твердому телу или к системе тел. В последнем случае он формулируется следующим образом: если ко всем действующим силам, приложенным к движущемуся телу или системе тел,, при­ложить силы инерции, то полученную систему сил можно рассматривать как находящуюся в равновесии.

     Следует подчеркнуть, что силы инерции действительно суще­ствуют, но приложены не к движущемуся телу, а к тем телам, которые вызывают ускоренное движение.

     Применение начала Д'Аламбера позволяет при решении дина­мических задач использовать уравнения равновесия. Такой прием решения задач динамики носит название метода кинетостатики.

   Рассмотрим, как определяется сила инерции материальной точки в различных случаях ее движения.

     1. Точка М массой т движется прямолинейно с ускорением (рис. 3, а, б). При прямолинейном движении направление ускорения совпадает с траекторией. Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению, и численное значение ее определяется  по формуле

Fин = та = (G / g) _* a .

 

                                                     Рис. 3

     При ускоренном движении (рис. 3, а) направления ускоре­ния и скорости совпадают и сила инерции направлена в сто­рону, противоположную движению. При замедленном движении (рис. 3, б), когда ускорение направлено в сторону, обратную скорости, сила инерции действует по направлению движения.

     2. Точка М движется криволинейно и неравномерно (рис. 3, в). При этом, как известно из предыдущего, ее ускорение может быть разложено на нормальную а_n и касательную а_t

составляющие. Аналогично сила инерции точки F_ин также скла­дывается из двух составляющих: нормальной и касательной.

     Нормальная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на нормальное ускорение и направлена противопо­ложно этому ускорению

                                          Fⁿ_ин= та_п.                                         (6)

     Касательная составляющая силы инерции равна произведению массы точки на касательное ускорение и направлена противоположно этому ускорению

                                          F^t_ин = ma_t.                                          (7)

     Очевидно, что полная сила инерции точки М равна геометри­ческой сумме нормальной и касательной составляющих, т. е.

                                       F_ин =Fⁿ_ин +  F^t_ин                                   (8)

     Учитывая, что касательная и нормальная составляющие взаим но перпендикулярны, полная сила инерции

Если v = const т.е. при криволинейном равномерном движении, то a_t = 0  =>   Fⁿ_ин= та_п                                                                 Fⁿ_ин                    v = const

где а_п = v²/r

                                                                  a_n         r

3.Точка М  принадлежит телу которое вращается вокруг неподвижной оси:

 

1.      Касательное ускорение  -   a_t = r_* ε

2.      Нормальное ускорение  -  a_n = r _* ω²

3.      Полное ускорение  -  a = √ a_t² + a_n²  =

= √(rω²)²  + (rε)²

4.      Полная сила инерции  -  Fин = та =

= (G / g) _* a = (G / g)_* r_*√ε² + ω⁴

Fин = √(Fи^t)² + (F иⁿ)²

где   Fи^t = (G/g)_* r_* ε ;    F иⁿ = (G/g)_* r_* ω²

 
 

1.      Работа постоянной силы на прямолинейном перемещении

     Определим работу для случая, когда действующая сила посто­янна по величине и направлению, а точка ее приложения переме­щается по прямолинейной траектории. Рассмотрим материальную точку С, к которой приложена постоянная по значению и направлению сила F (рис. 4, а).  За некоторый промежуток времени t точка С переместилась в положение С₁ по прямолинейной траек­тории на расстояние s.

Рис 4

     Работа W постоянной силы F при прямолинейном движении точки ее приложения равна произведению модуля силы F на рас­стояние s и на косинус угла между направлением силы и направле­нием перемещения, т. е.

             W = Fs cos (F, s) == Fs cos a;  [H м ]  = [Дж]                                               (10)

     Угол α между направлением силы и направлением движения может меняться в пределах от 0 до 180°. При α < 90° работа по­ложительна, при α > 90° — отрицательна, при α = 90° W = 0 (работа равна нулю).

     Если сила составляет с направлением движения острый угол, она называется движущей силой, ее работа всегда Положительна. Если угол между направлениями силы и перемещения тупой, сила оказывает сопротивление движению, совершает отрицательную работу и носит название силы сопротивления. Примерами сил сопротивления могут служить силы резания, трения, сопротивле­ния воздуха и другие, которые всегда направлены в сторону, про­тивоположную движению.

Когда α = 0, т. е. когда направление силы совпадает с направ­лением скорости, W = Fs, так как cos α = 1. Произведение F cos a есть проекция  силы F на направление движения материальной точки. Следовательно, работу силы можно определить как произведение перемещения s и проекции силы F на направление движе­ния точки.

     За единицу работы в Международной системе единиц (СИ) принят джоуль (Дж) :                     1 Дж = 1 Н _* м. Применяется также - килоджоуль (кДж): 1 кДж = 1000 Дж = 10³ Дж.                      В технической системе (МКГСС) за еди­ницу работы принят килограмм-сила метр (кгс-м).

Так же работа измеряется в кВт _* ч; 1 кВт ч = 3600 Дж = 3,6 кДж

2.      Работа силы на криволинейном перемещении

     При криволинейном движении формулой (10) пользоваться нельзя. В этом случае пользуются понятием элементарной работы на бесконечно малом участке пути ds (рис. 4, б), который можно считать прямолинейным,

dW=Fds cos (F, v)

где v — скорость точки, совпадающая по направлению с элемен­тарным  перемещением.

     Cуммируя элементарные работы на конечном отрезке   пути,   получаем   полную работу

W= ΣF ds cos(F, v).        (11) ,

    

      Используем   эту   формулу для вычисления работы силы тяжести. Пусть некоторая   точка,   сила тяжести которой G,     переместилась по криволинейной траектории из точки С₁ в точку С₂, опустившись на   высоту   Н   (рис.  5). Из   рисунка    следует,   что                         ds cos (G, v) представляет    собой проекцию  элементарного направление   силы   G, т. е.

                    ds cos (G, v) = dy.

     Формула для работы принимает вид

W = ΣGdy.

     Вынося   из-под   знака   суммы   постоянную   величину — силу тяжести

                           Рис. 5

тела G — и учитывая, что сумма элементарных перемещений вдоль оси у равна полной высоте перемещения тела Σ dy =  Н, получаем

                                               W = G Σ  dy = GH,                      (12)

т. е. работа силы тяжести равна произведению силы тяжести на вертикальное перемещение ее точки приложения. Таким обра­зом, работа силы тяжести не зависит от траектории, по которой перемещается  центр тяжести тела. А зависит только от начального и конечного положения точки приложения силы тяжести и не зависит от вида траектории этой точки.

5. Мощность

     Мощностью называется работа, совершаемая силой в единицу времени. Средняя мощность Р_ср силы F за время Δt на перемеще­нии Δs, с которым сила образует угол а, определяется по формуле (см. § 70)

P_ср = dW/dt = Fds cosα/dt = F_* v_* cos α  [Вт]

                                         F

                                       α              v

 

     Как было указано, F cos a является проекцией силы на на­правление движения материаль­ной точки. Обозначив F cos α через F_v,  получим

P = F_v ds/dt = F_vv

так как

                                                        ds/dt = v                                      F_v           v

     Мощность измеряется в едини­цах работы, отнесенных к единице времени. За единицу мощности принят ватт (Вт) — мощность, соответствующая работе в один джоуль в секунду,

                                                                    1 Вт =1 Дж/с = 1 Н м/с

1 л.с = 736 Вт = 0,736 кВт

1 кВт = 1,36 л.с. ( 75 л.с. = 55,2 кВт)

Коэффициент полезного действия

     Создавая машину, важно не только обеспечить движение ра­бочих органов машины, удовлетворяющих заданному технологи­ческому процессу, но необходимо, чтобы машина обладала до­статочно высоким коэффициентом полезного действия (к.  п. д.).

     При наличии сил трения и сопротивления воздуха не вся за­траченная работа W₃ используется в машинах или механических устройствах. Полезная работа W_п всегда меньше затраченной, т. е. W_п < W₃ и их отношение определяет важнейшую технико-эконо­мическую характеристику — к. п. д.

η = W_n/W_з.                                    (7)

     При установившемся движении рабочих органов машины сум­ма работ всех сил, приложенных к ним, будет равна нулю, т. е.

ΣW_з = W_з  - W_п  - W_{в. с}

(где W_В.С — работа вредных сопротивлений), откуда

 

     Подставляя в формулу (7) значение W_n, получим

                                                                                                                 (8)

     Так как работа вредных сопротивлений в машине W_B.C  ни­когда не может быть равна нулю, то  W_B.C /W₃ > 0 и η < 1.

     Следовательно, для увеличения к. п. д. необходимо стремиться к уменьшению вредных сопротивлений, тогда к. п. д. будет стре­миться к единице.

Пример 1. Санки массой 20 кг скатываются с горки, угол наклона которой 30⁰ и затем проезжают по горизонтальной поверхности 15 м и останавливаются. Определить работу совершаемой силой тяжести, если длина наклонной поверхности 8 м.

Дано:                                     8 м                                                 sin a = H / l₁

G_T = 200 H                                                                                   H = l_1* sin 30⁰ = 8 _* 0.5 = 4 м

a = 30⁰                                                                                                                       W = G_{T *} H = 200 _* 4 = 800 Дж

 

l₁ = 8 м         Н        30⁰

l₂ = 15 м

_________

W - ?                                                       15 м

 Пример 2. Чтобы поднять волоком по наклонной плоскости на высоту Н = 10 м станину весом G = 500 Н, воспользовались электрической лебедкой. По касательной к барабану лебедки приложена движущая сила F = 40 Н.Длина наклонной плоскости l = 250 м.

Определить КПД наклонной плоскости.

Решение. Полезная работа, полученная при подъеме станины, определяется, как работа силы тяжести

W_п.с. = G _* H = 500 _* 10 = 5000 Дж                                                      l

Вычислим теперь работу движущей силы                                 F

W_д.с. = F _* l = 40 _* 250 = 10000 Дж                                                                                            H

                                                                                             G

КПД наклонной плоскости составит: η = W_n.с / W_д.с = 5000 / 10000 = 50%                                                                      

Пример 3. По горизонтальному пути равномерно движется поезд массой 500 т. Определить мощность, развиваемую поездом, если сопротивление движению поезда                200 Н на 1 т массы при скорости движения поезда v = 21,6 км/ч.

Дано:                                                                            f _сопр – удельное сопротивление

т = 500т              F _сопр                                        F_дв                     F _сопр   =   F_дв = f _{сопр *} т = 200 _* 500 =

v = 21,6 км/ч:3,6=6 м/с                                                               = 100000 Н = 100 кН

f_сопр = 200 Н/т                                                               Р = F_{дв *} v = 100кН _* 6 = 600 кВт

_____________

Р - ?

Пример 4. Какой мощностью эл дв необходимо поставить на лебедку, чтобы она могла поднимать  со строй материалами массу т = 1200 кг на высоту h = 20 м за t = 30 c, η=0,72

Дано:                                                                           

т = 1200 кг                   G = m g = 1200 _* 9.81 = 11772кг

h = 20 м                         W_п.с. = G _* H = 11772 _* 20 = 235440 Дж

t = 30с                           η = W_{n с} / W_{д с} => W_{д с} = W_{n с} / η = 235440 / 0,72 = 327000 Дж                                 

η=0,72                          Р_{эл дв} = W_{д с} / t = 327000 / 30 = 10900 Вт

________

Р_{эл дв} - ?

Потенциальная и кинетическая энергия

     Существуют две основные формы механической энергии: потен­циальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия, или энергия движения. Чаще всего приходится иметь дело с по­тенциальной энергией сил тяжести. Потенциальной энергией силы тяжести материальной точки или тела в механике называется способность этого тела или точки совершать работу при опуска­нии с некоторой высоты до уровня моря (до какого-то уровня). Потенциальная энергия численно равна работе силы тяжести, произведенной при перемещении с нулевого уровня до заданного по­ложения. Обозначив потенциальную энергию Е_П, получим

Е_П = GН,  [Дж]                                   (11)

где G — сила тяжести точки (или тела); H — высота центра тя­жести от пулевого уровня.

     Кинетическая энергия определяется способностью двиоюущегося тела (или точки) совершать работу. Для материальной точки кинетическая энергия численно равна полупроизведению ее массы на квадрат скорости, т. е. mv²/2.

     Потенциальная и кинетическая энергия также измеряются в единицах  работы:

     Всякое твердое тело или механическая система состоит из множества отдельных материальных точек. Поэтому кинетическую энергию твердого тела или какой-либо механической системы мож­но представить как сумму кинетических энергий всех точек, обра­зующих тело или систему. Обозначив кинетическую энергию тела или системы Е_K получим                                             E_K = Σ dmv²/2

где dm — элементарная масса точки; v — скорость этой точки.

   Кинетическая энергия тела в разных случаях его движения

     Найдем кинетическую энергию твердого тела при поступатель­ном движении (см. рис. 121). Поступательное движение тела харак­теризуется тем, что скорости движения всех его точек равны между собой и имеют одинаковое направление, т. е.

v = v_М= v_B = …= v_C

где v_c — скорость центра тяжести тела или любой другой; точки тела.

     Кинетическая энергия тела для рассматриваемого случая

E_K = Σdmv²_C /2= v²_C /2Σdm = Mv²_C /2

                                         где М — масса всего твердого тела.

     Следовательно, кинетическая энергия поступательно движуще­гося тела равна половине произведения квадрата скорости любой точки тела на массу тела.

      Найдем кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг, неподвижной оси. Если тело вращается вокруг оси у с угловой ско­ростью  (см. рис. 122 и 123, а), то скорость произвольной точки тела пропорциональна расстоянию этой точки до оси вращения

v = rω,

где r — расстояние точки от оси вращения — величина перемен­ная;

ω — угловая скорость (для всех точек тела имеет одинаковое значение).

     Подставив значение v в формулу кинетической энергии и вы-неся постоянные величины за знак суммы, получим

E_K = Σdmv²/2= Σdm(rω)² /2=ω²/2 Σdmr²

     Численное значение интеграла Σ dmr², представляющее сумму произведений массы каждой частицы на квадрат ее расстояния до оси вращения z, называется моментом инерции массы тела относительно этой оси и обозначается J_Z. Момент инерции массы тела играет очень большую роль в динамике твердого тела.

      Следовательно, кинетическая энергия тела, вращающегося во­круг неподвижной оси, равна половине произведения квадрата угло­вой скорости на момент инерции массы тела относительно оси его вращения

                                                   E_K = J_Z ω²/2

     Плоскопараллельное движение, как было показано в кинема­тике, можно разложить на два движения: поступательное вместе с некоторым полюсом и вращательное вокруг полюса. Соответ­ственно и кинетическая энергия тела при плоскопараллельном дви­жении складывается из кинетической энергии поступательного движения вместе с некоторым полюсом и кинетической энергии вращательного движения вокруг полюса

                               Е_к = Mv²/2 + Jω²/2                                       (12)

где v — скорость поступательного движения полюса; ω — угловая скорость вращения тела, не зависящая от выбора полюса.

     Пример 1. Определить потенциальную энергию осколка снаряда т = 100г в момент удара о землю при падении без начальной скорости с Н = 2000 м.

Дано:

т = 100 г = 0,1 кг             Е_П = GН

Н = 2000 м                        G = т _* g = 0.1 * 9.81 = 1 H

__________                      Е_П = GН = 1 _* 2000 = 2000 Дж

Е_П - ?

   Моменты инерции некоторых однородных тел

     Момент инерции массы любого тела  J = Σm_i r_i²                                               (13)

     Установим единицу измерения момента инерции [J] = m _* r = кг _* м².

     Приведем формулу  (без  выводов) для  вычисления  моментов инерции простейших тел относительно некоторых осей.

 

Рис. 144

     1.  Для однородного стержня относительно оси z,  перпендику­лярной к оси стержня и проходящей через его конец (рис. 144, а),

J_Z = ml²/3,[кг_*м²]

где т — масса стержня;  l — длина стержня.

     Для  однородного стержня относительно оси  г₀ (рис.   144, а), проходящей через его центр тяжести,

J_Z = ml² /12,

     2.  Для   однородного цилиндра  (рис.   144, б)

J_Z = mD²/8=тR²/2

где т — масса цилиндра; D — диаметр цилиндра.

     3.  Для окружности или тонкого кольца, если пренебречь его толщиной (рис.   144, в),

J_Z = mD ²/4=mR²

     Пример 2. Вычислить кинетическую энергию сплошного вала D = 20 см, массой 2 т, делающего 180 об/мин

Дано:

D = 20 см                                  E_K = J_Z ω²/2             

m = 2т = 2000 кг                     J_Z = тR²/2= 2000 _* 0,1²_/ 2=10 кг _* м²

n = 180 об/мин                        ω = πn / 30 = 3.14 _* 180 / 30= 18,84 рад / с

____________                         E_K = 10 * 18,84² / 2 = 1775 Дж

Е_К -?

  Закон изменения кинетической энергии

     Пусть на материальную точку массой т действует постоянная сила F.  В этом случае точка имеет постоянное ускорение а = F/m; движение ее будет равномерно-ускоренным.

     Рассмотрим  случай,   когда  направление движения  совпадает с направлением силы F (см. рис. 142). Пусть точка под действием силы F переместится из положения С₁ в положение С₂.Если обозначить начальную и конечную скорости точки соответственно через v₁ и v₂ то ускорение движения можно определить но формуле

a = v₂-v₁/t                        (а)

где t—время движения.

     Перемещение точки приложения силы

S =(v₂+v₁)_* t /2.                            (б)

     Работа силы F, учитывая, что ее направление совпадает с пере­мещением, такова:

W = Fs = F(v₂+v₁)_* t /2

     Подставив в выражение работы значение силы F, по основному закону динамики                   F = та = т_* v₂-v₁/t                           получим

W = mas.

     В последнем уравнении заменим значение ускорения а и пере­мещения s их выражениями по (а) и (б)

     Это уравнение показывает, что изменение кинетической энергии материальной точки равно работе силы, действующей на точку.

     Для системы материальных точек, например для твердого тела, закон кинетической энергии имеет аналогичный вид

E₂ –E₁ = ΣW,                     (14)

т. е. изменение кинетической энергии системы материальных точек равно сумме работ, действующих на систему сил.

Основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела

     Определим зависимость между приложенными к вращающе­муся телу силами и сообщаемым ему угловым ускорением е (рис.  145).

     Рассмотрим элементарную частицу тела dm и приложим к ней нормальную и касательную составляющие силы инерции. При­ложив силы инерции ко всем частицам тела, получим уравнове­шенную систему сил. Применим к этой системе уравнения равно­весия.  Алгебраическую сумму вращающихся моментов внешних

сил F₁, F₂,  ..., F_n относительно оси вращения у обозначим   My^e        Нормальные силы инерции пересекают ось вращения и не со­здают относительно нее момента. Касательные силы инерции создают моменты относительно оси вращения. Плечом касательной

силы инерции F_ин^t каждой точки является соответствующий   ра­диус r_i

     Направление суммарного момента этих сил противоположно направлению углового ускорения е и вращающего момента My^e так как касательная сила инерции любой точки направлена про­тивоположно ее касательному ускорению. Значение касательной силы инерции точек вращающего тела определяется по формуле

dF_ИН^t = dma_t = dmrε.

     Составим   уравнение   моментов   от­носительно оси вращения у:

ΣM_iy =0;             M - ΣdF_ин^t r = 0

откуда 

ΣdF_ин^t r = M

     Подставив  значение dF_ин^t , получим

Σ dmr²ε = М.

     Вынесем значение углового ускорения е за знак суммы как величину,   одинаковую   для   всех   точек   тела,   получим

                                                                 ε Σ dmr²=М

     Множитель при ε — знакомая нам величина; это момент инер­ции тела относительно оси у

Σ dmr²=J_y

Окончательно получим                            ε J_y = M                              (15)

     Это основное уравнение динамики для вращательного движения твердого тела. Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил относительно оси вра­щения.

     Из уравнения (15) следует, что 

ε = M / J_у.

     Чем больше момент инерции тела, тем больший вращающий момент следует приложить для сообщения телу определенного углового ускорения ε. Поэтому момент инерции массы можно рассматривать как меру инертности твердого тела во вращательном  движении аналогично тому, как масса служит мерой инертности материальной точки или тела при поступательном движении.

     Пример 1. На какую глубину проникнет в доску пуля т = 9г, если ее v = 300 м/с, а сила сопротивления доски 6 кН.                                        0 

    Дано:                                            F_{сопр *} S = m v₂² / 2 – mv₁² / 2 => S = mv₁² / 2 _* t =

т = 9г                                              = 0,009 _* 300 / 2 _* 6000 = 0,0675м = 67,5 мм           

v₁ = 300 м/с

v₂ = 0

F = 6 кН

__________

S - ?

                                      S

     Пример 2. Самолет т = 2500 кг для взлета должен иметь v = 180 км/ч, на разгон самолета тратится 20 сек. Определить среднюю силу тяги двигателя самолета.

Дано:                                               

т = 2500 кг                                         F = ma    

v = 180 км/ч : 3,6 = 50 м/с                 a = v / t = 50 / 20 = 2,5м/с²

v₀ = 0                                                  F = 2500 _* 2,5 = 6250 Н

t = 20c

__________

F - ?

     Пример 3. Определить какую силу надо приложить к телу т = 100 кг, чтобы за 5 сек его скорость увеличилась от 15 км/ч до 25 км/ч. Определить какой путь пройдет тело за это время.

Дано:                                               

т = 100 кг                               Ft = mv₂ – mv₁ => F = mv₂ – mv₁ / t = 100 _* 25 – 100 _* 15 / 5 =

v₁ = 15 км/ч : 3,6 = 4,16 м/с          = 200H    

v₂ = 25 км/ч : 3,6 = 6,94 м/с           F _* S = m v₂² / 2 – mv₁² / 2 => S = m v₂² / 2 – mv₁² / 2 _/ F=  

t = 5c                                                100 _* 25²/2 – 100 _* 15²/2 _/ 200 = 50 _* 625 – 50 _* 225 / 200 =

__________                                     = 100м

F - ?, S -?

Раздел 3. Кинематика

1.       Основные понятия

     В кинематике изучается механическое движение материаль­ных точек и твердых тел без учета причин, вызывающих эти дви­жения. Кинематику часто называют геометрией движения.

     Механическое движение происходит в пространстве и во вре­мени. Пространство, в котором происходит движение тел, рас­сматривается как трехмерное, все свойства его подчиняются си­стеме аксиом и теорем эвклидовой геометрии. Время полагают ни с чем не связанным и протекающим равномерно.

     Современное развитие физики привело к иным представлениям о пространстве и времени. Теория относительности, созданная величайшим ученым современности Эйнштейном, показала, что при скоростях, близких к скорости света (300 000 км/с), простран­ство и время зависят от скорости движения. При обычных скоро­стях указанная зависимость практически не обнаруживается и представления о пространстве и времени, установленные в класси­ческой механике, сохраняют силу.

     В общем случае различные точки твердого тела совершают разные движения. Поэтому и возникает необходимость изучить в первую очередь движение отдельных точек тела. Чтобы опреде­лить положение точки в пространстве, нужно иметь какое-то не­подвижное тело или связанную с ним систему координатных осей, которую называют системой отсчета. Движение заданного тела или точки обнаруживается только путем сравнения с систе­мой отсчета.

     В природе не существует неподвижных тел и, следовательно, не может быть абсолютно неподвижных систем отсчета. Обычно условно неподвижной системой отсчета считают систему коорди­натных осей, связанную с Землей. Рассмотрим для примера дви­жение точки в какой-то условно неподвижной системе координат xyz (рис. 115). Положение точки М в пространстве определяется тремя координатами. Эти координаты изменяются при переходе точки в другое положение. Кривая, которую описывает точка при движении в пространстве относительно выбранной системы отсчета, называется ее траекторией.

     Траектории делятся на прямолинейные (например, движение точек поршня двигателя) и криволинейные (круговые — движение точек шкива, круглой пилы; параболические — движение жидкости при истечении из отверстия в боковой стенке сосуда и др.).   Движение точки в пространстве прежде всего определяется скоростью, которая характеризует быстроту и направление дви­жения точки в данный момент времени.

     В зависимости от скорости движение точки может быть равно­мерным и неравномерным. При равномерном движении скорость постоянна по величине, при неравномерном — переменна. Изме­нение скорости во времени характеризуется ускорением. Скорость и ускорение точки являются векторными величинами.

2.       Уравнение движения точки

     В общем случае точка может двигаться по криволинейной траектории. Для изучения криволинейного движения точки необ­ходимо уметь определить ее положение в назначенной системе от­счета (системе координат) в любой момент времени.

       Уравнения, определяющие положение движущейся точки в за­висимости от времени, называются уравнениями движения. В механики применяют два  способа задания движения -  естественный и координатный.

 --  Естественный способ задания движения точки. Положение точки на заданной траек­тории в любой момент времени одно­значно определяется расстоянием  s. Значит, если кроме траектории, на которой отмечено нача­ло отсчета О,  задана зависимость

                                                         s = f(t)                                         (1)

между расстоянием s и временем t, то в любой момент времени можно точно определить положение точки на траектории. Уравнение 1 на­зывается законом движения точки по заданной траектории.

     Пусть, например, задана некоторая траектория, движение точки по которой определяется уравнением s = 0,5t²(s - м, t - с):

     в момент времени t₀ = 0 s₀ = 0, т. е. точка нахо­дится в начале отсчета О;

     в момент времени t₁ = 1с  точка находится на расстоянии s₁ = 0,5 t₁² = 0,5 _* 1² = 0,5м;

     в момент времени t₂ = 2с  точка находится на расстоянии s₂ = 0,5 t₂² = 0,5 _* 2² = 2м от начала отсчета.

 --  Координатный способ задания движения точки.   Положение движущейся в плоскости точки (рис. 116, б) можно определить, если известны ее координаты х и у относительно системы двух взаимно перпендикулярных координатных осей Ох и Оу. При движении точки ее координаты изменяются с течением времени, следовательно,  х  и   у  являются некоторыми функциями времени и определяют движение, точки:

         x = f₁(t); y = f₂(t).                                  (2)

     Такой способ задания движения точки называется координат­ным. С помощью уравнений движения   (2) можно найти траекторию точки, т. к. для каждого момента времени  t  можно вычислить координаты точки и следовательно указать ее положение

1.       Скорость точки

     Рассмотрим некоторые основные определения, важные для последующего изложения. Если точка за равные промежутки времени проходит равные отрезки пути, то ее движение назы­вается равномерным.

     Скорость равномерного движения v измеряется отношением пути s, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени

                                            v = s/t; м/с                                             (4)

1 м/с за 1 час → 3600 м/час = 3,6 км/с     т. е.

1 м/с = 3,6 км/ч

1 км/ч = 0,278 м/с

[м/с]  _*   3,6 [км/ч]   ;    [км/ч] : 3,6 [м/с] 

и нормальное ускорение также не равно нулю

 а_п = v ²/r ≠ 0

     Следовательно, полное ускорение при неравномерном криво­линейном движении складывается геометрически из касательного и нормального ускорений, т. е.

a^→ = a_t^→ + a_n^→          а = √а_t² + a_n²

     Когда значение касательного ускорения постоянно (a_t = const), движение точки называется равнопеременным. Равнопеременное движение может быть равномерно-ускоренным и равномерно-за­медленным, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается численное значение скорости. Ускорения можно определить через значения скорости в начале и в конце произвольного проме­жутка времени

а_t = v – v₀ / t

откуда

v = v₀ + a_t t,                                 

     При равномерно-ускоренном движении ускорение a_t считается положительным, а при равномерно-замедленном — отрицатель­ным.

     Перемещение точки при равнопеременном движении опреде­ляется по уравнению

      Примером равномерно-ускоренного движения может служить свободное падение тела. Ускорение свободного падения обозна­чается буквой g. Опытом установлено, что это ускорение составляет вблизи поверхности Земли в среднем 9,81 м/с².

v0= 0	v0 0
at = v/t [м/с2]	at = v – v0 /t [м/с2]
v =at * t[м/с]	v =v0 + at * t [м/с]
S = at * t2 / 2[м]	S =  v0 * t  + at * t2 / 2[м]
S = vср * t = v/2 * t[м]	S = vср * t = v0 + v /2 * t[м]

Пример 1. Ускорение движения поезда, движущегося с уменьшением скорости,                           равно 0,16 м/с². Определить время, за которое скорость поезда уменьшится с 50 до 25 км/ч

Дано: a = - 0,16 v/c²

           v₀ = 50 км/ч = 50:3,6 = 13,9м/с

           v = 25км/ч = 25 :3,6 = 6,9м/с

Определить t

Решение:                                          v =v₀ + a_{t *} t  =>

                                                          t = v – v₀ /a_t = 6,9 – 13,9 _/  - 0.16 = -7_/ -0.16 = 43 c

Пример 2. Водитель автомобиля движется со скоростью 72 км/ч увидел красный сигнал светофора начал торможение с ускорением 5 м/с², на каком пути авто остановится.

Дано: v₀ = 72 км/ч = 72:3.6 =20 м/c

           v₁ = 0

           a_t = -5м/с²

Определить S

Решение:                               a_t = v – v₀ /t  =>

t =  v – v_{0 /} a_t = 0-20_/  -5= 4c    S = v₀ + v_/ 2_* t = 20+0_/ 2 _* 4 = 40м

Пример 3. Определить с какой высоты  h нужно сбросить тяжелое тело без начальной скорости, чтобы к моменту падения на Землю скорость его достигла 49,05 м/с. Сопротивление воздуха пренебречь.

Дано: v = 49,05 м/c

           V₀ = 0

           q = 9,81м/с²

Определить S

                              

Пример 4. Камень упал в колодец. Через 4с был услышан плеск воды. Определить глубину колодца, считая, что звук распространяется мгновенно.

Дано: t = 4c

           V₀ = 0

           q = 9,81м/с²

Определить S(h)

Решение:                               S = q_* t² / 2= 9,81_* 4²_/ 2 = 78м

Пример 5. Поезд идет со скоростью 66 км/ч. На протяжении 800 м путь идет в гору, вследствие чего движение поезда становится равнозамедленным, и его скорость снижается до 50 км/ч. Определить величину ускорения (замедления) и время, затраченное на преодоление подъема.

Пример 6. Поезд отправляется со станции и движется по закруглению пути радиуса                      R = 1200м. В течении 1,5 мин поезд развивает скорость 72 км/ч. Определить путь разгона и полное ускорение поезда в конце пути.

1.       Ускорение точки

     При движении по криволинейной траектории скорость точки может изменяться и по направлению, и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением.

     Пусть точка М (рис.  а) движется по какой-то криволиней­ной траектории и за время Δt переходит из положения М в поло­жение M₁. Расстояние,  пройденное точкой,  представляет собой дугу ММ₁, ее длину обозначим Δs. В положении М точка имела скорость , в положении М₁ — скорость ₁. Геометрическую разность   скоростей   найдем,   построив    из   точки   М   вектор   ₁

     На рис. 119, а приращение скорости изображается вектором .

     Скорость точки при перемещении ее из положения М в поло­жение М₁ изменилась и по величине, и по направлению. Среднее значение ускорения, характеризующего отмеченное изменение ско­рости, можно найти, разделив вектор приращения скорости  на соответствующее время движения

_ср =

     Переходя к пределу при Δt  → 0, получим истинное ускорение точки как векторную производную от скорости

 =  =                                        8

     Найденное ускорение характеризует изменение численного зна­чения скорости и ее направления. Для удобства ускорение раскла­дывают на взаимно перпендикулярные составляющие по касатель­ной и нормали к траектории движения (рис. 119, б)

                                                = _t + _n                                                                                                        9

     Касательная составляющая _t совпадает по направлению со скоростью или противоположна ей. Она характеризует изменение

модуля скорости и соответственно определяется как производная от функции скорости

a_t = =dv/dt

     Нормальная составляющая а_п перпендикулярна к направлению скорости точки. Она определяет изменение направления вектора скорости. Численное значение нормального ускорения определяет­ся по формуле

а_п = v²/r,                                         

где r — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Составляющие a_t и а_п взаимно перпендикулярны, и поэтому значение полного ускорения определяется по формуле

a = ²_t +a ²_n

1.       Виды движения точки в зависимости от ускорения

     Рассмотрим возможные случаи движения точки и проанализи­руем выведенные выше формулы для касательного и нормального ускорений.

     Равномерное прямолинейное движение характеризуется тем, что скорость движения точки М постоянна (v = const), а ра­диус кривизны траектории ее движения равен бесконечности. В этом случае касательное ускорение равно нулю, так как модуль скорости   не  изменяется                                  (v = const),

a_t= d_v/ d_t= 0.

Нормальное ускорение также равно нулю (r = ∞)

                               а_п = v²/r = 0.

Значит, и полное ускорение движения точки равно нулю                         а^→ = 0

      Равномерное криволинейное движение характеризуется тем, что численное значение скорости постоянно (v = const), ско­рость меняется лишь по направлению. В этом случае касатель­ное ускорение равно нулю, так как v = const

 a_t= d_v/ d_t= 0.

а нормальное ускорение не равно нулю (a_n= v²/r ≠ 0), так как r — конечная величина.

Полное ускорение при равномерном криволинейном движении равно нормальному ускорению, т. е.

                                              а^→ = а^→_п

     Неравномерное прямолинейное движение характеризуется тем, что численное значение скорости движения точки  изменяется (v ≠ const), а радиус кривизны траектории движе­ния точки г равен бесконечности (r = ∞). Поэтому касательное ускорение здесь не равно нулю

 a_t= d_v/ d_t ≠ 0.

а нормальное ускорение равно нулю

а_п = v ²/r = 0 (r = ∞).

Следовательно, полное ускорение точки при неравномерном пря­молинейном движении равно касательному ускорению, т. е.

                                      а^→ = a^→_t

     Неравномерное криволинейное движение  -  характери­зуется тем, что численное значение скорости движения точки М изменяется (v ≠ const), а радиус кривизны траектории ее движе­ния — конечная величина. В этом случае касательное ускорение не равно нулю

a_t= d_v/ d_t ≠ 0.

и нормальное ускорение также не равно нулю

 а_п = v ²/r ≠ 0

     Следовательно, полное ускорение при неравномерном криво­линейном движении складывается геометрически из касательного и нормального ускорений                     a^→ = a_t^→ + a_n^→          а = √а_t² + a_n²

      Когда значение касательного ускорения постоянно (a_t = const), движение точки называется равнопеременным. Равнопеременное движение может быть равномерно-ускоренным и равномерно-за­медленным, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается численное значение скорости. Ускорения можно определить через значения скорости в начале и в конце произвольного проме­жутка времени

а_t = v – v₀ / t

откуда

v = v₀ + a_t t,                                 

     При равномерно-ускоренном движении ускорение a_t считается положительным, а при равномерно-замедленном — отрицатель­ным.

     Перемещение точки при равнопеременном движении опреде­ляется по уравнению

      Примером равномерно-ускоренного движения может служить свободное падение тела. Ускорение свободного падения обозна­чается буквой g. Опытом установлено, что это ускорение составляет вблизи поверхности Земли в среднем 9,81 м/с².

v0= 0	v0 ≠ 0
at = v/t [м/с2]	at = v – v0 /t [м/с2]
v =at * t[м/с]	v =v0 + at * t [м/с]
S = at * t2 / 2[м]	S =  v0 * t  + at * t2 / 2[м]
S = vср * t = v/2 * t[м]	S = vср * t = v0 + v /2 * t[м]

Пример 1. Ускорение движения поезда, движущегося с уменьшением скорости,                           равно 0,16 м/с². Определить время, за которое скорость поезда уменьшится с 50 до 25 км/ч

Дано: a = - 0,16 v/c²

           v₀ = 50 км/ч = 50:3,6 = 13,9м/с

           v = 25км/ч = 25 :3,6 = 6,9м/с

Определить t

Решение:                                          v =v₀ + a_{t *} t  =>

                                                          t = v – v₀ /a_t = 6,9 – 13,9 _/  - 0,16 = -7_/ -0,16 = 43 c

Пример 2. Водитель автомобиля движется со скоростью 72 км/ч увидел красный сигнал светофора начал торможение с ускорением 5 м/с², на каком пути авто остановится.

Дано: v₀ = 72 км/ч = 72:3.6 =20 м/c

           v₁ = 0

           a_t = -5м/с²

Определить S

Решение:                            a_t = v – v₀ /t  =>

                                            t =  v – v_{0 /} a_t = 0-20_/  -5= 4c    S = v₀ + v_/ 2_* t = 20+0_/ 2 _* 4 = 40м

Поступательное движение твердого тела

     Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором всякая прямая, проведенная в этом теле, остается параллельной своему начальному положению.

     Проведенная в теле прямая ВМ  во время

движения перемещается параллельно своему начальному поло­жению.

Рассмотрим перемещение тела за бесконечно малый промежуток времени dt. При этом можно считать, что точки М и В перемещают­ся по прямолинейным и параллельным траекториям. За время dt они пройдут одинаковые пути ds. Следовательно, значения скоро­сти этих точек   будут одинаковы

               v_М = v_B = v = ds / dt 

и направлены в одну сторону, т. е.

               v^→_M = v ^→_B = v^→.           

     Аналогично доказывается ра­венство ускорений точек тела при поступательном движении

                 a ^→_М  =  а ^→_B = a^→

     Следовательно, при поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые траектории и в любой момент вре­мени имеют равные по модулю и параллельно направленные ско­рости и ускорения.

     Поступательное движение тела вполне характеризуется движе­нием одной его точки, которое может быть задано координатным или естественным способом. Однако поступательное движение может совершать только твердое тело, а не отдельная точка. При­мерами поступательного движения служат движение поршня двигателя, движение вагона на прямом участке пути и т. п. По­ступательное движение может быть прямолинейным и криволи­нейным.

Вращение тела вокруг неподвижной оси

     При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси все его точки, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными. Остальные точки вращающегося тела описывают окружности во­круг неподвижной оси в плоскостях, перпендикулярных к оси, с центром на этой оси.

     Рассмотрим тело, которое вращается вокруг оси 0z. Плоскость вращающегося тела, проходящая через ось 0z и совпа­дающая в начальный момент времени с плоскостью чертежа I, займет через промежуток времени t положение II и оба отмечен­ных положения плоскости составят угол φ.

     Угол φ называется углом поворота тела. Угол поворота φ измеряется в радианах и соответствует определенному положе­нию тела. Для определения положения вращающегося тела в каждый данный момент служит уравнение,   выражающее угол пово­рота как функцию от времени

φ = f(t)

     Изменение угла поворота во времени определяется угловой скоростью. Средней угловой скоростью вращающегося тела называется отно­шение приращения угла поворота Δφ ко времени Δt, в тече­ние   которого   это   приращение произошло:               ω( амега) = Δφ/Δt

     Истинная угловая скорость вращатель­ного движения тела равна производной угло­вого перемещения по времени

ω = lim ∆φ / ∆t = dφ / dt

                                                    ∆t →0

     Угловая скорость со измеряется в ра­дианах в секунду, т. е. рад/с. Скорость при вращательном движении тела определяется• частотой вращения п, об/мин. Связь между угловой скоростью со (рад/с) и частотой вращения п (об/мин) можно установить следующим образом. За один оборот вра­щающегося тела угол поворота составит 2π рад. За п оборотов в 1 мин угол по­ворота составит 2πп.

     Соответственно угловая скорость определится путем деления угла поворота за п оборотов на 60 с

ω = 2πn / 60 = πn / 30

     Например,   частота   вращения   вала   электродвигателя    п = 1400 об/мин, тогда угловая скорость

ω = 3,14 _* 1400/30 = 150,7 рад/с

     Когда угловая скорость тела постоянна (ω = const), враще­ние — равномерно. Угол поворота в этом случае определяется

φ = ωt

     Когда угловая скорость переменна (ω≠ const), тело вращается неравно­мерно,

     Изменение угловой скорости в единицу времени определяется угловым ускорением, равным производной угловой скорости по времени,

ε (эпсилон) = dω/dt = d²φ / dt²

     Угловое ускорение измеряется в радианах, деленных на секунду в квадрате, т. е. рад/с².

     При вращении тела вокруг оси с постоянным угловым ускоре­нием (ε = const) происходит равнопеременное вращение (+ ε равноускоренное;                                                                            - ε равнозамедленное).Уравне­ния равнопеременного вращения аналогичны уравнениям равно­переменного прямолинейного движения точки, только вместо ли­нейных величин в них входят угловые величины. Выводятся эти уравнения  тем  же  путем:

φ = ω₀t + εt²/2;             ω = ω₀ + εt

где ω₀ — начальная угловая скорость (при t = 0).

     Угловое ускорение ε — величина алгебраическая: при равно­переменном ускоренном вращении его считают положительным, поэтому абсолютное значение угловой скорости будет все время возрастать. При равномерно-замедленном движении угловое уско­рение считают отрицательным, поэтому абсолютное значение уг­ловой скорости уменьшается.

ω0 = 0	ω0 ≠ 0
ε= ω/t [рад/с2]	ε = ω – ω0 /t [рад/с2]
ω =ε* t [рад/с]	ω =ω0 + ε * t [рад/с]
φ = ε* t2 / 2 [рад]	φ =  ω0 * t  + ε* t2 / 2 [рад]
φ = ω* t /2 [рад]	φ = ωср * t = (ω0 + ω) * t /2  [рад]

φ_об  = φ / 2π

 

1.       Скорости и ускорения точек вращающегося тела

     Если тело вращается вокруг оси, то его точки перемещаются по окружностям (рис. а), радиусы которых г равны расстоя­ниям точек от оси вращения.

     Рассмотрим точку М, которая за время dt прошла путь ds  = ММ₁. В данном случае путь ds можно определить как произве­дение угла поворота на радиус окружности, т. е.

                                                      ds = r _* dφ.                               10

     Линейная скорость определится как производная пути по вре­мени

v = ds/dt

     Подставив вместо ds его значение по (10), получим

v = ds/dt = d(rφ)/dt = r_* dφ/dt = rω                           11

     Подставив в формулу для линейной скорости точек тела, вра­щающегося вокруг неподвижной оси, значение частоты вращения в оборотах в минуту (об/мин), получим

v = r =

     Касательное ускорение точки вращающегося тела определяется из выражения

a_t = dv/dt = d(rω)/dt = r _* dω/dt = rε

     Нормальное ускорение точки равно отношению квадрата ско­рости к радиусу окружности

a_n = v²/r

     Подставив в выражение нормального ускорения а_п = v ² / r зна­чение скорости v = ωr, получим

a_n  = v²/r = (ωr)²/r = rω²

     Значение полного ускорения вычисляется как диагональ прямоугольника, построенного на составляющих ускорениях a_t и а_п (рис.  б).  Подставив  значения  касательного и  нормального ускорений, получим

 

     Направление вектора полного ускорения точки вращающегося тела можно определить по углу а, образованному этим вектором с радиусом

 

Пример7. Скорость точки за 15 с. возрастает от 20 км/ч до 80 км/ч. Определить какой путь пройдет точка за время разгона и каково будет ее ускорение в конце 15 – ой секунды если движение происходит по дуге  r = 50 м.

Дано:                                           v₀                                                       

t = 15 c

v₀ = 20 км/ч = 5,6 м/с

v₁ = 80 км/ч = 22,3 м/с                     R

r= 50 м

Определить S; a_t; a_n                                                       v₁

a_t = v – v₀ /t = 22,3 – 5,6 /15 = 1,12 м/с

а_п = v ²/r = 22,3² / 50 = 10 м/с²

a = ²_t +a ²_n = √1,12² + 10² = √1,25 + 100 = 10м/с²

S = (v₀ + v) _* t /2 = (5,6+22,3) _* 15 / 2= 210м

Пример 8. Автомобиль движется со скоростью v = 54 км/ч при торможении он получает замедление a_t = - 0,5 м/с². Найти какой путь он прошел от начала торможения до полной остановке и сколько времени продолжалось торможение.

Дано:

v₀ = 54км/ч = 15 м/с         v₀                                                          v₁

a_t = -0,5 м/с²

Определить S;t

a_t = v – v₀ /t =>

 t = v – v₀ / a_t = 0-15 / -0,5 = 30 c

S = (v₀ + v) _* t /2 = (15+0)_*30  / 2 = 225м

Пример 9. На пути 600 м скорость точки уменьшается с 30 до 10 м/с. Определить время этого движения, а также полное ускорение в начале и в конце движения если точка двигалась по дуге  r = 400м.

Дано:

S = 600 м                                       v₀

v₀ = 30 м/с

v₁ = 10 м/с

r = 400 м                                                  r

Определить t;a_1;a₂                                                                  v₁

S = (v₀ + v) _* t /2 =>

t = 2S / v₀ + v₁ = 2 _* 600 / 30+10 = 30c                            

a_t1 = v – v₀ /t = 10-30 / 30 = - 0,67 м/с²

а_п1 = v ₀²/r = 30²/400 = 2,25 м/с²

a₁ = ²_t1 +a ²_n1 = √ -0,67² + 2,25² = √0,45 + 5,062 = 2,35 м/с²

а_t1= а_t2= - 0,67 м/с²

а_п2 = v ₁²/r = 10²/400=0,25м/с²

a₂ = ²_t2 +a ²_n2 = √ -0,67² + 0,25² = √0,45 + 0,062 = 0,715 м/с²

Пример 10. Точка начала прямолинейное равноускоренное движение из состояния покоя и ч/з 5сек приобрела скорость 10 м/с с этого момента точка стала двигаться равномерно по окружности r = 10 м, ч/з 15 сек движение по окружности точка внезапно остановилась. Определить: 1. Путь пройденный точкой за все время движения; 2. Среднюю скорость на этом пути; 3. Ускорение точки на прямолинейном и криволинейном участке пути.

Дано:                                                           0              a_t               v₁           1

v₀ = 0                                                                                            

t₁ = 5 с                                                                                                                v₁ = v₂

v₁ = 10 м/с                                                                                              r

 r = 10 м                                                                                                             a_n

t₂ = 15 с                                                                                                        

Определить S; v; a_t1; a_n2

S₁ = v_{ср *} t₁ = v_1* t₁ / 2 = 10 _* 5 / 2 = 25м ( т. к. равномерноускоренное)

S₂ = v_{2 *} t₂ = 10 _* 15 / 2 = 150м( т.к. равномерное)

S = S₁ + S₂ = 25 + 150 = 175 м

v_ср = S / t₁ + t₂ = 175 / 20 = 8,75 м/с = 8,75 _* 3,6 = 31,5 км /ч

a_t1 = v₁ / t₁ = 10 / 2 = 2 м/с

a_n = v₂ / r = 10² / 10 = 100 / 10 = 10 м/с

Пример 11. Автомобиль, имея начальную скорость 72 км/ч проходит за 20 сек путь 600 . Найти скорость и ускорение (полное) в конце 20 сек, считая движение равнопеременным по дуге окружности радиуса r = 1200 м

Дано:                                                          

v₀ = 72 км/ч= 20 м/с                                                                   

t = 20 с

S = 600 м                                                                                              r

 r = 1200 м  

Определить  v; a

S = v₀ + v /2 _* t =>

v = 2S / t – v₀ = 2 _* 600 / 20 – 20 = 40 м/с

a_t = v – v₀ /t = 40 – 20 / 20 = 1 м/с²

а_п = v ²/r = 40² / 1200 = 1,3 м/с²

а = √а_t² + a_n² = √1² + 1,3² = 1,6 м/с²

Пример 12. Точка прошла за время 20 сек с касательным ускорением a_t = 4 м/с² путь 1400 м по дуге r = 100 м. Определить v₀ , а

Дано:                                                          

a_t = 4 м/с²                                                                                    

t = 20 с

S = 1400 м                                                                                            r

 r = 100 м  

Определить  v₀; a

S =  v_{0 *} t  + a_{t *} t² / 2      =>      v₀ = S - a_{t *} t² / 2 _/t = 1400 – 4_* 20²_/20 = 30м/с

a_t = v – v₀ /t    =>   v = a_{t *} t + v₀ = 4 _* 20 + 30 = 110 м/с²

а_п = v ²/r = 110² / 100 = 121 м/с²

 а = √а_t² + a_n² = √121² + 4² = 121,1м/с²

Пример 1. Равномерно вращающееся тело делает 10800 оборотов в час. Определить его угловую скорость.

Дано:

n = 10800 об/час = 10/800 : 60 = 180 об/мин                  ω = π _* n / 30 = 6 π рад / сек

___________

ω - ?

Пример 2. Угловая скорость равномерно вращающегося тела ω = 8 рад / сек. Определить сколько оборотов в час делает тело.

Дано:

ω = 8 рад / сек

__________                 ω = π _* n / 30 => n = 30 _* ω / π=76,4 об/мин = 60 _* 76,4 = 4585 об/ч

n - ?об/ч

Пример 3. Расстояние от Луны до Земли рано 384000 км. Найти скорость движения Луны по своей орбите, если полный оборот около Земли она совершает в 27 суток. Орбиту Луны принять за окружность, а движение считать равномерным.

Дано:                               27 суток = 27 * 24 * 3600 = 2332800 сек

r = 384000 км                 Sкруга = π D = 2π r = 2 * 3,14 * 384000000м = 2411520000 м

t = 27 суток                    v = s / t = 2411520000 / 2332800 = 1034 м / c

_________

v - ?

Пример 4.

Дано:                              

r = 149600000 км – расстояние от земли до солнца      

t = 365 дней = 365 _* 24 _* 3600 = 31536000 сек

_________

v - ? – земли вокруг солнца

Sкруга = π D = 2π r = 2 _* 3,14 _* 149600000000м

v = s / t = 29791 м / сек

Пример 5. Вал, начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, в первые 10 сек совершает 30 оборотов. Какова его угловая скорость по истечению 5 сек?

Дано:

t₁ = 10 сек                            φ_об = φ / 2π => φ = φ_{об *} 2π = 188,4 рад

φ = 30 об

t₂ = 5 сек                      φ = ω _* t / 2 => ω = 2φ / t = 2 _* 188,4 / 10 = 37,68 рад/сек(при10 сек)

ω₀ = 0

___________

ω - ?                             ω = 37,68 / 2 = 18,84 рад / сек (при 5 сек)

Пример 6. Вал, начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, делает 4800 об в первые 2 мин. Найти угловое ускорение вала.

Дано:

φ = 4800 об                φ_об = φ / 2π => φ = φ_{об *} 2π = 4800 _* 2 _* 3,14 = 30144 рад.

ω₀ = 0

t = 2 мин                     φ = ε _* t² / 2 => ε = 2φ / t² = 2 _* 30144 / 120² = 4,18 рад / сек²

__________

ε - ?

Пример 7. Колесо начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя, Через 20 мин после начала движения колесо имело угловую скорость, соответствующую 240 об / мин. Сколько оборотов сделало колесо за эти 20 мин.

Дано:

ω₀ = 0

t = 20 мин                          φ = ω _* t / 2 = 240 * 20 / 2 = 2400 об

ω = 240 об / мин

_________

φ - ?

Пример 8. Колесо, вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью ω = 4π рад/сек, было затем отключено от привода, поддерживавшего заданную рабочую скорость вра­щения. Сделав 25 оборотов, колесо вследствие трения в под­шипниках остановилось. Полагая вращение равнозамедленным, определить угловое ускорение колеса.

Дано:

ω₀ = 4π рад/с                     ε = ω – ω₀ / t = 0 - 4π / t = - 4π / t

φ = 25 об                           φ = φ_{об *} 2π = 25 * 2 * 3,14 = 157 рад

ω = 0                                  φ = ω + ω₀ / 2  * t = ω₀ * t / 2 =>  t = 2φ / ω₀ = 2 * 157 /4π = 25 сек

_________

ε - ?                                     ε = -4π / t = 4 * 3,14 / 25 = - 0,5 рад / сек²

Пример 9. При посадке самолета пропеллер вращается с угло­вой скоростью, соответствующей п = 900 об/мин. После выключения мотора пропеллер сделал до остановки 60 обо­ротов. Считая вращение пропеллера после выключения мо­тора равнозамедленным, определить, сколько времени про­шло с момента выключения мотора до остановки. Опреде­лить ускорение пропеллера.

Дано:

n = 900 об/мин                   φ_об = φ / 2π => φ = φ_{об *} 2π = 60 * 2 * 3,14 = 376,8 рад

φ = 60 об                           ω₀ = π n / 30 = 3,14 * 900 / 30 = 94,2 рад / сек

ω = 0                      φ = ω + ω₀ / 2  _* t = 0 + ω₀ * t / 2 =>  t = 2φ / ω₀ = 2 * 376,8 / 94,2 = 8 сек

_________

t - ?  ε - ?                ε = ω – ω₀ / t = 0 – ω₀ / t = 94,2 / 8 = 11,775 рад / сек²

Пример 10. Маховое колесо радиуса R = 2 м вращается равно­ускоренно из состояния покоя; через t =10 сек точки, ле­жащие на ободе, обладают линейной скоростью v = 50 м/сек. Найти скорость, нормальное и касательное ускорения точек обода колеса для момента t = 25 сек.

Дано:

r = 2 м                                 v₁ = r _* ω =>  ω = v / r = 50 / 2 = 25 рад/сек

ω₀  = 0                                 ε = ω₁ / t₁ = 25 / 10 = 2,5 рад/сек²

t_{1 =} 10 с                                ε = ω₂ / t₂ =>     ω₂ = ε * t = 2,5 * 25 = 62,5 рад / сек

v₁ = 50 м/с                          v₂ = r _* ω₂ = 2 * 62,5 = 125 м/с

t₂ = 25 с                              a_t = r * ε = 2 * 2,5 = 5 м/с²

v₂  - ?   a_n - ?  a_t - ?              a_n = v₂² / r = 125² / 2 = 7812,5 м/с²

Пример 11. Точка   пробегает   в   минуту   200   раз   окружность, диаметр которой 3 м. Вычислить ускорение точки.

Дано:                                    ω = π n / 30 = 3,14 * 200 / 30 = 20,9 рад/сек

n = 200 об/мин                     v = r * ω = 1,5 * 20,9 = 31,4 м/с

D = 3м                                  a_n = v₂² / r = 31,4² / 1,5 = 660 м/с

________

a_n - ? 

Сложное   движение   точки

     Во многих случаях движение точки приходится рас­сматривать   относительно   подвижной   системы   отсчета.

     Представим себе тело, которое движется поступательно со скоростью v_пер.

     Движение тела относитель­но неподвижной системы координат хОу называется переносным движением.

     Движение  матери­альной точки А относительно  подвижной системы координат х₁О₁у₁ представляет собой относитель­ное движение, т. е. движение по отношению к точке О₁ тела, выбранной за начало подвижной системы координат.

     Абсолютное движение точки А — это движение ее относительно неподвижной системы координат хОу, ко­торую обычно условно связывают с Землей.

     По аналогии с траекториями различают абсолютные, относительные и переносные скорости v_пер ; v_{отн ;} v_абс   и ускорения a_пер ; a_{отн ;} a_абс   

     Например, по вагону движущегося поезда переме­щается человек. Движение человека по отношению к ва­гону будет относительным, движение вагона переносным, а движение человека по отношению к фиксированной точке на Земле — абсолютным.

     Аналогично поршень автомобильного двигателя со­вершает относительное движение по отношению к авто­мобилю и абсолютное — по отношению к Земле. Движе­ние   автомобиля   в   этом   случае   является   переносным.

     Если движение точки складывается из двух или не­скольких независимых движений, то его называют слож­ным, или составным движением.

     В сложном движении у точки различают относитель­ную, переносную и абсолютную траектории.

     Встречаются случаи, когда приходится по заданным относительному и переносному движениям точки опре­делять  ее   абсолютное  движение.

     Абсолютное движение представляется как составное из переносного и относительного.    Решение указанной задачи   называют  сложением  движений.    

     Часто встречается сложение двух прямолинейных движений.

∆S_абс =  ∆S_пер +  ∆S_отн

     Скорость абсолютного движения точки в данный момент времени определяется, как геометрическая сумма переносной и относительной скорости (рис 1 а, б).

v_абс =  v_пер + v_отн

то же и для ускорения, если движение поступательное (рис 1 в).

a_абс = a_пер + a_отн

                                                                 Рис 1

    Модуль абсолютной скорости определяется из треугольника АВС  (аналогично 4 аксиоме статики), (рис 1).

v_абс = √ v²_пер + v²_отн + 2 v_{пер *} v_отн cosφ

     Рассмотрим три частных случая :

1.      φ = 0                             v_отн                v_пер                v_абс =  v_пер + v_отн

2.      φ = 180⁰                         v_отн               v_пер                v_абс =  v_пер - v_отн

3.      0 < φ < 90⁰                                                          v_абс = √ v²_пер + v²_отн + 2 v_{пер *} v_отн cosφ

 

     При φ = 90⁰            v_отн                                                                                v_абс = √ v²_пер + v²_отн

                                                 v_пер

     Пример 1. Отвесно падающий дождь оставляет на боковых стек­лах автомобиля, движущегося по горизонтальной дороге, полосы под углом 40° к вертикали ; скорость автомобиля v_пер = 72 км/ч.

Определить абсолютную скорость падения дождевых капель.

     Р е ш е н и е. Относительная скорость v_oтн дождя по отношению к автомобилю направлена под углом 40° к вертикали, переносная ско­рость v_пер горизонтальна.

По условию задачи абсолютная скорость v_абс вертикальна. Переносная скорость

v_пер = 72-1000 / 3600 = 20 м/сек.

Из прямоугольного треугольника АВС следует

АВ = СВ tg50°,

или                              v_абс  = v_пер tg 50° = 20 _* 1,19 = 23,8 м/сек.

Сложные виды деформированного состояния

Понятие о сложном деформированном состоянии

Сложное деформированное состояние возникает в тех случаях, когда элемент конструкции или машина подвергается одновре­менно нескольким простейшим деформациям-, рассмотренным выше.

Выше рассматривались заклепочные и шпоночные соединения, в которых одновременно возникает срез и смятие и соответственно действуют нормальные и касательные напряжения. В затянутых болтах также имеет место сложное деформирование, в них обна­руживается совместное действие растяжения от затяжки силой F и кручения от момента трения М_к. В связи с этим в болтах возни­кают нормальные напряжения от растяжения и касательные напряжения от кручения

                                                                                                        (1)

где А = nd²/4 — площадь сечения болта; W_p ≈ 0,2d³ — поляр­ный момент сопротивления.

Нормальные напряжения распределены по сечению равно­мерно, а касательные достигают максимальных значений у кон­тура болта. Очевидно, периферийные точки болта находятся в наиболее опасном состоянии, особенно в связи с наличием концентра­ции напряжений в нарезке.

Другим примером сложного деформирования являются валы, которые работают на изгиб и кручение. При этом в поперечном сечении вала возникают нормальные и касательные напряжения. Возникающие от изгиба нормальные напряжения достигают максимального значения в волокнах, наиболее удаленных от ней­тральной оси:

σ = M_и /W,                                   (2)

где М_и  - изгибающий момент; W ≈ 0,1d³ — осевой момент со­противления сечения.

Максимальные касательные напряжения при кручении возни­кают в точках контура поперечного сечения

τ = M_K/W_P,

где W_p ≈ 0,2d³ — полярный момент сопротивления.

Так как W_P = 2W, то

τ = M_к / (2W).                              (2а)

Следовательно, в наиболее напряженных точках вала при совместном действии изгиба и кручения возникают нормальные и касательные напряжения. Встает вопрос, какое же из этих напряжений или какая их комбинация определяют прочность вала. Ответ на этот вопрос дают так называемые теории (или гипотезы) прочности.

Понятие о теориях прочности

Испытания материалов позволяют определить опасные, или предельные, напряжения при каких-то простейших деформирован­ных состояниях.

Механические испытания материалов можно осуществлять и при сложных видах деформированного состояния, но в этом случае разрушение наступает при различных величинах силовых факторов в сечении и зависит от их соотношения. Действительно, при совместном действии изгиба и кручения вал может раз­рушиться при большом изгибающем и малом крутящем моментах или, наоборот, разрушение может произойти при малом изгиба­ющем, но большом крутящем моментах. Каждому отношению величин изгибающего и крутящего моментов соответствует опре­деленная величина напряжений, вызывающих разрушение вала. Определить опытным путем предельные или опасные напряжения для сложного напряженного состояния при всех возможных ком­бинациях силовых факторов невозможно из-за трудности поста­новки опытов и практически неограниченного объема испытаний.

Появляется необходимость найти способ составления условий прочности при сложном напряженном состоянии, пользуясь вели­чинами предельных напряжений, полученными из опытов для простого напряженного состояния, например для растяжения. Эта задача может быть решена лишь на основании некоторых предположений (гипотез) о том, какой фактор вызывает появление опасного состояния.

Даже при осевом нагружении стержня таких факторов можно указать несколько. Можно полагать, что опасное состояние воз­никает при достижении нормальными напряжениями предела текучести или предела прочности. Можно также полагать, что опасное состояние возникает, когда наибольшее относительное удлинение достигает определенного значения. Возможно и третье предположение: появление опасного состояния связано с тем, что касательные напряжения достигают определенного значения. Возникновение опасного состояния можно связать также с дости­жением определенного значения энергии, накапливаемой в мате­риале при деформации.

Для осевого растяжения или сжатия все высказанные гипо­тезы дают одинаковые результаты. Иначе обстоит дело в случае сложного напряженного состояния.

В зависимости от принятой гипотезы прочности определяют эквивалентное напряжение σ_экв, которое можно сопоставить с напряжением при осевом нагружении. В соответствии с условием прочности эквивалентное напряжение не должно превышать до­пускаемое напряжение для материала

σ_экв < [σ].                                            (3)

На основе четырех указанных выше возможных критериев опасного состояния разработано четыре теории прочности. По­дробное изложение этих теорий выходит за пределы данного учебника. Для расчета валов на совместное действие изгиба и кручения применяют третью или четвертую теорию прочности.

По третьей теории прочности эквивалентное напряжение вы­числяют по формуле        

                                                           (4)

По четвертой теории прочности формула для эквивалентного напряжения имеет несколько иной вид

                                                           (5)

В этих формулах σ и τ — нормальное и касательное напря­жения в опасной точке поперечного сечения бруса.

При действии растяжения и кручения в болтах наибольшие значения напряжений определяются по формулам (1). Подставив эти значения в выражение эквивалентного напряжения, получим условия прочности в следующем виде:

по третьей теории прочности

                                                                                                                                  (6)

по четвертой теории прочности

                                                                                                                                   (6а)

Как отмечалось выше, для валов при совместном действии изгиба и кручения наибольшие значения напряжений определяют по формуле (2) и (2а). Подставив эти значения в выражение эквивалентного напряжения, получим условия прочности в сле­дующем виде:

по третьей теории прочности

                                                                                                                                      (7)

по четвертой теории прочности

                                                                                                                                      (7а)

де W — осевой момент сопротивления сечения.

Из приведенных условий прочности для вала вытекают следу­ющие зависимости для определения требуемого момента сопро­тивления:

по третьей теории прочности

                                  = М_экв / [σ]                                 (8)

по четвертой теории прочности

                                                                               = М_экв / [σ]                              (9)

По найденному значению W и принятому виду сечения (круг или кольцо) вычисляют необходимый диаметр вала. Стоящие в числителях формул (8) и (9) выражения носят название эквивалентных моментов. Формулы для вычисления эквивалент­ных моментов имеют вид:

по третьей теории прочности

                                                                                                                             (10)

по четвертой теории прочности

                                                                                                                             (11)

                               d ≤  =

Расчетным, или опасным, сечением является то, в котором возникают максимальные изгибающий и крутящий моменты. Иногда приходится проводить расчет для нескольких сечений, так как в общем случае максимальные изгибающий и крутящий моменты возникают в различных поперечных сечениях вала.

Раздел II. Oсновы   сопротивления   материалов

 Основные   задачи   сопротивления   материалов.

    Сопротивление материалов – одно из направлений механики изучающая  тела которые под действием приложенных к ним сил изменяют свою форму и размеры т. е. деформируются.

Существуют два вида деформаций:

1.      Упругие деформации – это такие которые исчезают после снятия нагрузки т. е. балки полностью восстанавливает те формы и размеры, которые они имели до нагружения.

2.      Пластические (остаточные) деформации – это такие деформации которые полностью не исчезают. При работе механизмов появление таких деформаций вызывает нарушение нормальной работы конструкции и поэтому считаются не допустимыми.

   На основе методов сопромата выполняют расчеты машин, приборов, конструкций и т. д.

Эти расчеты служат для обеспечения надежности и долговечности проектируемых конструкций при минимальной затрате материала на их изготовление.

При расчетах могут быть выполнены три задачи:

   1  задача – это расчет элементов конструкций на прочность. Способность конструкции (или отдельного ее элемента) выдерживать заданную нагрузку не разрушаясь и без появления остаточных деформаций называют прочностью. Под нарушением прочности понимают не только разрушение в буквальном смысле слова – разрыв, излом, но и возникновение пластических деформаций.

   2  задача – это расчет элементов конструкций на жесткость. Жесткостью называют способность материала или элемента конструкции сопротивляться упругим деформациям т. е. это способность воспринимать нагрузку без существенного изменения геометрических размеров. 

   3  задача – расчет элементов конструкций на устойчивость. Способность конструкции (или отдельного элемента) сохранять первоначальную форму упругого равновесия называют устойчивостью.

Основные допущения принимаемые в сопромате:

1.           Допущение о свойствах материалов:

   а) Материал однороден – т.е. свойства любых сколь угодно малых его частиц совершенно тождественны (одинаковы).

   б) Материал полностью заполняет весь объем тела без каких либо пустот т. е. тело есть сплошная среда.

   в) Материал изотропен т. е. имеет одинаковые физика – механические свойства во всех направлениях.

    г) В известных пределах нагружения материал обладает идеальной (совершенной) упругостью, т.е. после снятия нагрузки деформации полностью исчезают.

2.          Основные допущения о характере деформации:

    а)  Перемещение точек тела при упругих деформациях весьма малы по сравнению  с размерами самого тела.                                                  F              l₁ ≈ l₀

 

                                                                         l₁

                                                                         l₀

    б)  Перемещение точек упругого тела пропорциональны силам вызывающим это перемещение.

        l                              2l                            

F                          2F

 

    в)  Результат действия группы сил не зависит от последовательности нагружения ими конструкции и равен сумме результатов действия каждой из сил в отдельности.

        F₁                 F₂          F₃                                      f = f₁ + f₂ + f₃

                 f

Метод сечения

    Способность деформироваться — одно из основных свойств всех твердых тел. Приложение внешних сил изменяет расстояние между молекулами, и тело деформируется. При этом изменяется меж­молекулярное взаимодействие и внутри тела возникают силы, которые противодействуют деформации и стремятся вернуть частицы тела в прежнее положение. Эти внутренние силы назы­вают силами упругости.

    Обнаружить возникающие в нагружен­ном теле внутренние силы можно, применив метод сечений. Суть этого метода заключается в том, что внешние силы, приложенные к отсеченной части тела, уравновешиваются внутренними силами, возникающими в плоскости сечения и заменяющими действие отброшенной части тела на остальную.

    Для   определения внутренних силовых   факторов необходимо руководствоваться   следующей   последовательностью  действий:

1.      Мысленно рассекаем брус плоскостью в произвольном сечении

2.      Одну часть бруса(любую) мысленно отбрасываем, а действия отброшенной части заменяем действием внутренних сил упругости.

3.      С помощью уравнений равновесия определяем главный вектор Rгл и главный момент  Мгл внутренних сил упругости.

При этом имеют по 3 составляющих:

 N, Qx, Qy

где  N – продольная сила;     Qx, Qy – поперечные силы

 Mx, My, Mz                                                                                          внутренние силовые  факторы

где  Mz – крутящий момент;   Mx, My – изгибающие моменты

     Шесть внутренних силовых факторов вместе с известными внешними силами на оставшейся части бруса образуют уравновешенную систему сил, для которой можно составить шесть уравнений равновесия.

  

Координатные оси всегда будем направлять следующим об­разом: ось z - вдоль оси стержня, оси х и у — вдоль главных центральных осей его поперечного сечения, а начало координат в центре тяжести сечения.

Напряжения

                                                          Внутренние силы распределены по сечению тела сплошь.

                                                          Выделим в сечении малую площадку, площадью _∆ А,

                _∆A                              допустим что на этой площадке возникает внутренняя сила R.

                                                R       Отношение внутренней силы к единицы площади сечения

                                                        называется напряжением   p = R / _∆A [Па] (Н / м²)

      Разложим вектор напряжения р на две составляющие:

σ (сигма) – нормальное напряжение ( направлена по нормали к сечению)

τ (тау)  – касательное напряжение ( лежащая в плоскости сечения).

p =√ σ² + τ²

     Напряжение, при котором происходит разрушение материала или  возникают  заметные   пластические  деформации,   называют предельным  σ _пред, τ _пред. (Эти напряжения определяют опытным путем).

      Чтобы избежать разрушения элементов сооружений или ма­шин, возникающие в них рабочие (расчетные) напряжения (σ, τ) не должны превышать допускаемых напряжений: [σ], [τ]. Допускаемые напряжения — это максимальные значения напряжений, обеспечивающие без­опасную работу материала. Допускаемые напряжения назна­чаются как некоторая часть экспериментально найденных пре­дельных напряжений, определяющих исчерпание прочности мате­риала:

[σ ] = σ _пред /[п ] ;    [τ] = τ _пред /[п ]

где [п ] — требуемый или допускаемый коэффициент запаса проч­ности, показывающий, во сколько раз допускаемое напряжение должно быть меньше предельного.

(Коэффициент запаса прочности зависит от свойств материала, характера действующих нагрузок, точности применяемого метода расчета и условий работы элемента конструкции).

σ ≤ [σ ] < σ _пред

τ ≤ [τ] < τ _пред

Глава II.  Растяжение   и  сжатие

1.      Продольные силы при растяжении и сжатии.

Построение эпюр продольных сил

      Когда к стержню приложены по концам две равные противо­положно направленные силы, действующие по его оси, стержень растянут или сжат (см. рис. 57, а, б).

      Определим внутренние силовые факторы в поперечных сече­ниях стержня, растянутого двумя равными силами F (рис. 64, а). Рассечем стержень произвольным поперечным сечением / - / и, рассматривая равновесие нижней части (рис. 64, б), найдем величину продольной силы:

ΣF_iz = 0;      N = F.

      В случае растяжения продольную силу N будем считать поло­жительной, при сжатии - отрицательной. Изменение продольной силы по длине стержня удобно представить в виде диаграммы, называемой эпюрой продольных сил.        

     Эпюра продольных сил для стержня, рассмотренного выше, построена на рис. 64, в. Она изображается прямоугольником, так как значение продольной силы одинаково во всех сечениях.

                   Рис. 64

      Однако продольная сила может изменяться по длине стержня. Это имеет место, например, в случае, когда стержень подвергается действию системы внешних сил, приложенных не только к его торцам, но и в промежуточных сечениях.

     Рассмотрим построение эпюры продольных сил на примере.

      Пример. Стержень закреплен одним концом и нагружен приложенными вдоль оси силами F₁, F₂, F_s (рис. 65, а). Построить для этого стержня эпюру продольных сил.

      Решение. В защемленном сечении возникает реакция R, которую мо­жно   определить   из   уравнения   равновесия:

ΣF_iz = 0;            R - F₃ - F₂ + F₁ = O

откуда

R = F₃+F₂ - F₁.

      Разделим стержень на участки, границы которых определяются точками приложения внешних сил. Всего таких участков три (рис. 65, а). Пользуясь методом сечений, определим продольные силы на каждом участке. Проведем се­чение на первом участке и рассмотрим правую отсеченную часть стержня (рис. 65, б):

N₁ = F₁

      Значение продольной силы в пределах первого участка не зависит от того, какую из отсеченных частей мы рассматривали. Очевидно, что целесообразнее всегда рассматривать ту часть стержня, к которой приложено меньше сил. Проводя сечения в пределах второго и третьего участков, аналогично найдем:

N₂ = F₁ - F₂;       N₃ = F₁ - F₂ - F₃.

Эпюра   продольных  сил   построена   на  рис.   65, г.

Рис. 65

     Пример. В данном примере сила F приложена не на свободном конце бруса, то величина силы N на различных участках будет разной по модулю. Разобьем брус со стороны свободного конца на участки. Границами участков   являются:

a)       Точки приложения внешних сил;

b)      Места изменения размеров поперечного сечения.

     Обозначим участки I. II; III; между свободным концом бруса (т. А) и точкой приложения силы F (т. В), местом  изменения размера поперечного сечения (т. С) и заделкой бруса (т. Д).

     В сечении I – I  N₁ = 0 т.к. на изображенную на рисунке часть I – I   не действуют внешние силы.

     В сечение II - II  N₂ = F = 30кн

     В сечении III – III  Nз = F = 30кн

     Д

                                      С           F = 30kH                           

                                               

А

                                                     В

     III - III             II - II          I - I

 

                 N₂                                                           F

N₃                                                                                  F

                                                     30kH

0                                                                                0

Пример:

N            F₂ = 18 kH                                               F₁ = 10kH

         III - III       II - II            I - I                   10 kH

0                                                  +                    0

          --

                            8 kH

Сечение I – I   N₁ = F₁=10кH          

Сечение II – II   N₂ = F₁=10кH

Сечение III – III   N₃ = F₁ – F₂ =10 – 18 = - 8kH

2.      Построение эпюр нормальных напряжений.

Гипотеза Бернулли.

      При растяжении (сжатии) бруса из однородного материала поперечные сечения, достаточно удаленные от точек приложения сил, при деформации не искривляются и остаются нормальными к оси бруса. Отсюда   следует,   что   нормальные   напряжения   σ   распределяются   по сечению равномерно:

                                                         σ = N / A  Па

      Па (Па = Н/м²).  применяют кратные единицы (кН/м², МН/м² и Н/мм²).

      Отметим, что     1 МН/м² = 1 МПа = 1 Н/мм².

      Зная величины сил N₁ ; N₂ ;  N₃   ... и площади сечении, можно определить величины нормальных напряжений σ

Пример: F = 10 kH ;   A = 100мм². Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса.

                                                                    

                                                                                   F

                           N

                                                                   10kH

                           σ

                                                                   100мПа

1.      N₁ = F = 10 kH

2.    σ =   = 10 * 10³ / 10² = 100МПа

Пример: F = 30 kH ;   A₁ = 2cм²;     A₂ = 2,5cм².Построить эпюры продольных сил N и нормальных напряжений σ.

1.                  N₁ = 0;       N₂ = F = 30 kH;      N₃ = F = 30 kH.

2.         σ_{1 =} 0;    σ₂ = N₂ / A₁ = 30*10³/2*10²=150мПа

             А₂                                                А₁              F                       σ₃ = N₃ / A₂ = 30*10³/2,5*10²=120мПа

                                                                                   По характеру эпюр продольных сил и

              III                    II               I                  нормальных напряжений можно судить о

             Эп N                            30kH                напряженности бруса по участкам и судить

                                                                           о том, какое из сечений, является самым

    Эп σ            150мПа                          опасным.

            120 мПа                                                                                        

1.      Деформация при упругом растяжении и сжатии. Закон Гука.

                   Коэффициент Пуассона.

      При растяжении стержня его первоначальная длина равна l (рис. 70), а длина после растяжения l₁ приращение Δl = l₁ - l является полным изменением длины стержня и называется удли­нением стержня. Отношение удли­нения   к    первоначальной   длине стержня ε = Δl / l называется про­дольной   деформацией;   эта   вели­чина определяет удлинение   каж­дой      единицы      первоначальной  длины стержня. Так  как величина ε равна частному от деления двух величин, каждая из которых имеет размерность длины, она выражается в отвлеченных числах или в процентах.

     Из опыта установлено, что между продольной деформацией ε и нормальным напряжением существует прямо пропорциональная зависимость, являющаяся

законом Гука -  продольная деформация прямо пропорциональна соответствующему нормаль­ному напряжению.

                                                     σ = Еε,              52

или                                                           ε = σ/Е.

где Е – модуль продольной упругости.

      Величина Е,  является одной из важнейших физических постоянных материала. Она характеризует его жесткость, т. е. способность сопротивляться   упругому   деформированию.

      Е измеряется в тех же единицах, что и напряжение σ, т. е. в Н/м² (Па), Н/мм² (МПа) — в Международной системе единиц (СИ) и в кгс/см² или в кгс/мм² — в технической си­стеме   единиц (МКГСС).

     Подставив в формулу (52) значения нормального напряжения σ = N/A и продольной деформации ε = Δl / l , получим

N/A = Е Δl / l,

откуда определим изменение длины стержня

                                      Δl = Nl / EA= σ*l / E;    н/мм² * мм/н/мм²

      Выведенное соотношение показывает, что удлинение (укороче­ние) при растяжении (сжатии) зависит от величины продольной силы N, поперечного сечения А стержня, его длины l и модуля продольной упругости Е. Произведение ЕА называется жестко­стью се- чения стержня при растяжении (сжатии).

      При растяжении и сжатии изменяются и поперечные размеры стержня. Рассмотрим растянутый стержень (см. рис. 70). Попереч­ный размер, первоначально равный α, уменьшается до α₁ Изме­нение поперечного размера будет Δα = α – α₁ а поперечная деформация ε_┴ будет равна

ε_┴ = Δα / α

     Экспериментально установлено, что отношение поперечной деформации  ε_┴ к продольной деформации ε при упругом растяже­нии (сжатии) для данного материала величина постоянная. Обо­значив абсолютное значение данного отношения  μ, получим

μ = ε_┴ / ε

     Следует учитывать, что продольная и поперечная деформации всегда противоположны по знаку. Иными словами, при растяже­нии, когда продольный размер стержня увеличивается, его попе­речный размер уменьшается, и, наоборот, при сжатии продольный размер уменьшается, а поперечный — увеличивается.

     Величина μ называется коэффициентом поперечной деформа­ции, или коэффициентом Пуассона.

     Коэффициент поперечной деформации для некоторых матери­алов имеет следующие значения:

Сталь......................     0,24—0,32

Медь     ..................... 0,31—0,35

Бронза.....................    0,32—0,35

Резина, каучук     ...... 0,47

Пример. Для стального ступенчатого бруса требуется:

1.       Построить эпюры сил и нормальных напряжений;

2.       Определить на сколько удлинится (укоротится) брус.

                                                                          Дано:

F₂     A₂            A₁               F₁                        F₁ = 24кН

                                                                               F₂ = 36кН

   0,6 м   0,2м       0,8м                                          A₁ = 200мм²

                                            24                              A₂ = 120мм²

                             +                                               E = 2 * 10⁵мПа

-12                          200                                                ______________

                 +             +           120                           Эп N,  эп  G,    ∆l

-100

N₁ = F₁ = 24 кН                                                  G₁ = N₁ / A₁ = 24 * 10³ / 200 = 120 МПа

N₂ = F₂ = 24 кН                                                     G₂ = N₁ / A₂ = 24 * 10³ / 120 = 200 МПа

N₃ = F₁ – F₂ = 24 – 36 = - 12 кН                         G₃ = N₃ / A₂ = -12 * 10³ / 120 = -100 МПа

∆l = ∆l₁ + ∆l₂ + ∆l₃ = 0,48 + 0,2 – 0,3 = 0,38 мм

∆l = N _* l / E _* A;        σ = N /A;        ∆l = σ _* l / E

∆l₁ = G_{1 *} l₁ / E = 120 _* 0,8 _* 10³ / 2 _* 10⁵ = 0,96 / 2 = 0,48 мм

∆l₂ = G_{2 *} l₂ / E = 200 _* 0,2 _* 10³ / 2 _* 10⁵ = 0,96 / 2 = 0,2 мм

∆l₃ = G_{3 *} l₃ / E = -100 _* 0,6 _* 10³ / 2 _* 10⁵ = 0,96 / 2 = - 0,3 мм

Расчеты на прочность при растяжении и сжатии

      Прочность стержня при осевом растяжении и сжатии обеспе­чена, если для каждого его поперечного сечения наибольшее рас­четное (рабочее) напряжение а не превосходит допускаемого [σ],

σ = N / A ≤ [σ],           48

где N — абсолютное значение продольной силы в сечении; А - площадь поперечного сечения;              [σ] —допускаемое напряжение при растяжении или сжатии для материала стержня.

      С помощью формулы (48) решается три вида задач (выполняется три вида расчетов).

      1. Проверка прочности (проверочный расчет). При заданных продольной силе N и площади поперечного сечения А определяют рабочее (расчетное) напряжение и сравнивают его с допускаемым непосредственно по формуле (48).

      2. Подбор сечения (про­ектный расчет). Исходя из условия (48), можно определить необходимые размеры сечения, зная продольную силу и до­пускаемое напряжение. Решив неравенство (48) относительно A, получим

A ≥ N / [σ].

      3. Определение допускаемой продольной силы. Допускаемое значение продольной силы в поперечном сечении стержня можно найти по формуле

[N] ≤  [σ] A

      Значения допускаемых напряжений для некоторых материалов приведены в табл.  1.

      Допускаемые напряжения назначаются на основе результатов механических испытаний образцов соответствующих материалов.

 Пример 14. Для заданного ступенчатого бруса, изготовленного из стали мар­ки СтЗ  построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине;   проверить   брус  на   прочность.

     Допускаемое напряжение для материала бруса согласно табл. 1 [σ] = 160 МПа.

     Решение. Разобьем брус на отдельные участки, начиная от свободного конца. Границы участков определяются точками приложения внешних сил или местами изменения размеров поперечного сечения. Всего по длине бруса будет пять участков. Проводя сечения и отбрасывая левые части стержня, можно определить продольные силы в его поперечных сечениях без вычисления опор­ных   реакций в заделке.

     Проводим сечения в пределах первого участка, из условий равновесия выра­жаем продольную силу через внешние силы, приложенные к оставленной части, N₁ = F₁ = 80kH. Аналогично для второго участка N₂ = F₂ = 80kH

     На первом и втором участках брус растянут.

     Проводим сечения на третьем и четвертом участках и находим

N₃ = N₄ = F₁ – F₂ = 80 — 120 = — 40 кН.

     На третьем и четвертом участках брус сжат.

     Наконец, для пятого участка имеем

N₅ = F₁ - F₂ + F₃ = 80 - 120 + 100 = 60 кН, т. е. на пятом участке брус   растянут.

     Эпюра продольных сил построена на рис. 69, б. Чтобы определить на­пряжения в поперечных сечениях бруса, нужно разделить числовые значения продольных сил на площади этих сечений.

     Для первого участка (площадь сечения A₁ = 2А = 1000 мм² = 10 ^-3 м²)

 σ₁ = N₁ / A₁ = 80 000/10 ^-3 = 80*10⁶  Па = 80 МПа;

     для второго   участка   (площадь  сечения  A₂ = А = 500 мм² = 0,5* 10 ^-3 м²)

σ₂ = N₂/A₂ = 80 000/(0,5.10 ^-3) = 160*10⁶ Па = 160 МПа;

     для третьего участка   (площадь  сечения А₃ = А = 500 мм² = 0,5*10 ^-3 м²)

σ₃ = N₃/A₃ = — 40 000/(0,5 • 10 ^-3) = — 80 • 10⁶  Па = — 80 МПа;

     для четвертого участка (площадь сечения A₄=1,6A = 800 мм² =  0,8*10 ^-3м²)

σ₄ = N₄/A₄ = — 40 000/(0,8 • I0 ^-3) = — 50 • 10⁶ Па = — 50 МПа;

     для пятого участка (площадь сечения А₅ = 1,6A = 800 мм² = 0,8 • 10^-3 м²)

 σ₅ = N₅/A₅ = 60 000/(0,8 • 10 ^-3) = 75*10⁶ Па = 75 МПа.

σ_max = 160МПа. т.е. рабочее напряжение равно допустимому, поэтому прочность бруса гарантирована.

Расчет на прочность при растяжении и сжатии

     Рабочее напряжение не должно превышать допустимое

G_пред ≤ [G] – условие прочности

     Исходя из условия прочности решается три вида задач:

1.      Проверка прочности (проверочный расчет).

а)  Для элементов конструкции

     σ_max = N / A ≤ [σ]

     где N — абсолютное значение продольной силы в сечении; А - площадь поперечного сечения;  [σ] —допускаемое напряжение при растяжении или сжатии для материала стержня.

               б)  Для деталей машин

               n = G_пред / G ≥ [n]

     где п – расчетный (фактический) коэффициент запаса прочности; G_пред  - расчетное напряжение; [n] – требуемый (нормативный) коэффициент запаса прочности.

     2. Подбор сечения (про­ектный расчет).

               A ≥ N / [σ]                                     d                A = πd² / 4 => d = √4A / π

                                                                                                     (табличные данные, плакат)

     3. Определение допускаемой продольной силы. Допускаемое значение продольной силы в поперечном сечении стержня можно найти по формуле

[N_max] ≤  [σ] A

      Значения допускаемых напряжений для некоторых материалов приведены в табл.

      Допускаемые напряжения назначаются на основе результатов механических испытаний образцов соответствующих материалов.

Задача. Проверить прочность ступенчатого чугунного бруса, если к – т запаса прочности [п]= 4, предел прочности на растяжение G_пчр = 150 МПа, предел прочности на сжатие G_пчс = 580 МПа,                                                                                                                       30

Дано:

[п] = 4                                     F₂ = 65кН                         F₁ = 40кН

G_пчр = 150 МПа                                                                                                                   20

G_пчс = 580 МПа

______________

п -?                                  0                                               0                N₁ = - F₁ = - 40кН        

                                                                                                           N₂ = - F₁ = - 40кН   

n = G_пред / G                                                                                       N₃ = - F₁ + F₂ = 25кН

 A₁ = πd₁² / 4 = 3,14 _* 20² / 4 = 314мм               G₁ = N₁ / A₁ = - 40 _* 10³ / 314 = - 127,38 МПа

A₂ = πd₂² / 4 = 3,14 _* 30² / 4 = 706,5мм             G₂ = N₂ / A₂ = - 40 _* 10³ / 706,5 = - 56,617МПа

A₃ = πd₂² / 4 = 3,14 _* 30² / 4 = 706,5мм             G₃ = N₃ / A₂ = 25 _* 10³ / 706,5 =  35,38МПа

n₁ = G_пред / G₁ = 580 / - 127,38 = - 4,65

n₂ = G_пред / G₂ = 150 / - 56,617 = - 2,65

n₃ = G_пред / G₃ = 150 /  35,38 =  4,24

  ИЗГИБ

1.      Основные понятия

     Изгиб – это такой вид деформации бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают изгибающие моменты (М _x, М_y) - М_из.

     В большинстве случаев одновременно с изгибающими моментами возникают и поперечные силы, такой изгиб называют поперечным. Q_x, Q_y – поперечные силы.

     Виды изгибов:

1.      Прямой поперечный изгиб (рис. 87, а) – когда внешние силы, перпендикулярные  к продольной оси балки, действуют в плоскости поперечного сечения, проходящей через ось балки М _x, Q_y.

2.      Косой изгиб (рис. 87, б) – когда силы, вы­зывающие деформацию изгиба, действуют в плоскости, проходя­щей через ось балки, но не проходящей через одну из главных центральных осей ее поперечного сечения  М _x, М_y;  Q_x, Q_y.

3.      Чистый изгиб (рис. 87, в) - когда в поперечных сечениях балки возникает только один силовой фактор — изгиба­ющий момент, а поперечная сила равна нулю М_из,

Q = 0.

 

Рис. 87

2.      Поперечные силы и изгибающие моменты в сечениях балок

     Определим внутренние силовые факторы в сечениях балки АВ , на которую действуют сосредоточенные силы F_1, F₂, F₃, перпендикулярные к ее оси. Эти силы вызывают вертикальные реакции R_A и R_B спор балки. Опорные реакции R_A и R_B могут быть определены из урав­нений равновесия, составленных для всех сил, действующих на балку. Проведем мысленно произвольное поперечное сечение С на расстоянии z от левой опоры и рассмотрим условия равновесия левой и правой отсеченных частей балки. Левая часть должна находиться в равновесии под действием внешних сил R_A, F₁, F₂ и внутренних сил, возникающих в сечении С. Пра­вая часть должна находиться в равновесии под действием внешних сил F₃, R_B и внутренних сил в проведенном сечении С.

     Для сил, действующих на левую отсеченную часть балки, составим уравнение равновесия. Уравнение проекций на вертикальную ось у:

ΣF_yi = 0.    R_A – F₁ – F₂ – Q = 0.

уравнение   моментов   относительно   точки    С:

ΣM_C = 0;   R_Az – F₁ (z – a₁) - F₂ (z - a₂) - M = 0.

 Решив  первое из этих уравнений относительно Q,  а вто­рое относительно М, получим:

Q = R_A - F₁ - F₂;

М = R_Az - F₁ (z – а₁) - F₂(z — a₂).

     Поперечная   сила   в   каком либо поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у внешних сил, действующих на балку по одну сторону от рассматриваемого сечения, а изгибающий момент — алгебраической сумме моментов сил, взятых относительно центра тяжести сечения.

Правило знаков для изгибающих моментов и по­перечных сил.

      Изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз - растянутые волокна располо­жены снизу. При изгибе выпуклостью вверх, когда растянутые волокна находятся сверху, момент отрицателен (правило тарелки).                                         

     Для поперечной силы знак также связан с характером деформации. Когда внешние силы действуют слева от сече­ния вверх, а справа — вниз, поперечная сила положитель­на. При противо­положном   действии    внешних сил, т. е. слева от сечения   вниз,   а   справа — вверх,   попереч­ная   сила   отрицательная.

3.      Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

   Пример 1.  Построим эпюры по­перечных сил и изгибающих моментов для балки с защемленным концом, нагруженной на свободном конце сосредоточенной парой сил с моментом М (рис. 92, а).

    Для балок с одним защемленным концом при построении эпюр можно не определять опорные реакции. Проведя сечения, будем рассматривать равновесие той части балки, к которой при­ложены только внешние силы. Для балки, показанной на рис. 92, а, такой частью будет левая.  В произвольном сечении балки на расстоянии z от свободного конца поперечная сила равна нулю (Q ⁼ 0), так как сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю. Изги­бающий момент в любом сечении равен внешнему моменту на свободном кон­це; он положителен, так как внешний момент слева от сечения направлен по ходу часовой стрелки и балка из­гибается выпуклостью  вниз.

     Эпюры поперечных сил и изгиба­ющих моментов построены на рис. 92, б и в. Балка в рассмотренном примере испытывает чистый изгиб, так как поперечная сила во всех ее попереч­ных сечениях

Рис. 92                         равна нулю. Эпюра мо­ментов при чистом изгибе ограничи­вается                          прямой линией, параллельной оси балки.

     Пример 2. Построим эпюры для балки с защемленным концом, нагружен­ной сосредоточенной силой на свободном конце (рис. 93, а). Здесь можно не определять опорных реакций. Проведем сечение и будем рассматривать равновесие правой части балки, к которой при­ложены внешние силы (рис. 93, а). В любом сечении балки на расстоянии г от свободного конца поперечная сила постоянна, равна силе F и положительна, так как внешняя сила стремится опустить правую часть балки. Эпюра поперечных сил (рис. 93, б) ограничивается прямой, параллельной оси балки.

     В произвольном поперечном сечении балки на расстоянии г от свободного конца изгибающий момент равен моменту внешней силы относительно центра этого сечения и отрицателен, так как эта сила изгибает балку выпуклостью вверх (стремится повернуть правую часть по часовой стрелке),

М = — Fz.

     Эпюра изгибающих моментов изображается здесь треугольни­ком (рис. 93, в). Наибольшего по абсолютной величине значения изгибающий момент достигает в сечении заделки.

Рис. 93

     Пример 3. Построим эпюры для балки с защемленным концом, к которой приложена нагрузка, равномерно распределенная по всей длине l (рис. 94, а). Пусть на единицу длины приходится нагрузка q, тогда вся нагрузка, действующая на балку, равна ql. Для этой балки также нет надобности в определении опорных реакций, если рассматривать равновесие ее левой части, к которой при­ложены только внешние силы.

     В любом поперечном сечении балки на расстоянии г от свобод­ного конца поперечная сила равна алгебраической сумме всех сил, действующих на левую часть, т. е. равнодействующей равномерно распределенной нагрузки q на участке длиной г (Q = -qz); она отрицательна, так как нагрузка направлена слева от сечения вниз.

     Эпюра поперечных сил (рис. 94, б) представляет собой тре­угольник, который можно построить, зная две его точки. При z = О имеем Q = 0; при z = l значение Q = - ql. Наибольшее по абсолютной величине значение поперечной силы в сечении защемления

                             Q_max = ql                           (82)

     В произвольном поперечном сечении, проведенном на рассто­янии z от свободного конца, изгибающий момент равен алгебра­ической сумме моментов всех сил, действующих на левую часть балки, т. е. моменту равнодействующей равномерно распределен­ной нагрузки, равной qz. Эта равнодействующая приложена на половине расстояния z, и плечо ее относительно проведенного сечения равно z/2. Изгибающий момент   в произвольном сечении                                            М = - qz (z/2) = - q z²/2.

     Так как сила qz изгибает балку выпуклостью вверх, изгиба­ющий момент отрицателен.

     Эпюра изгибающих моментов ограничена параболой (рис. 94, в). Давая различные значения абсциссе z, можно построить ее по точкам. При z = 0  M = 0, при z = l/ 2                             М = - (ql²/8),  при z = l   М = - (ql²/2).

     Наибольшего по абсолютной величине значения изгибающий момент достигает в сечении защемления

M_max = ql²/2.

Пример 4. Построим эпюры для балки (рис. 95, а), лежащей на двух опорах и нагруженной силой. Составим уравнения равновесия и найдем опорные реакции:

ΣM_B = 0;    -Fb –R_Al = 0,

ΣM_A = 0;    Fa –R_Bl = 0      откуда

R_A == Fb/l, R_B = Fa/l.

     Разделим балку на два участка: первый АС, второй СВ; их границей является точка приложения силы F. Поперечная сила в любом сечении на первом участке равна реакции R_A; она по­стоянна по всей длине участка и положительна, так как сила R_A, действующая на левую часть, направлена вверх

Q₁ = R_A = Рb/l.

     Поперечная сила в любом сечении на втором участке равна разности сил R_A и F и также постоянна по всей длине участка, но отрицательна

q₂ = R_A - F = Fb/l - F = F(b - l)/l =            - Fa/l.

     Эпюра поперечных сил показана на рис. 95, б. В сечении С, где приложена сила F, поперечная сила имеет скачок, равный значению F, и меняет знак на противоположный.

       Выражение изгибающего момента в любом сечении на участке / при изменении z в пределах от z = 0 до z = а имеет вид

М₁ = R_Az = (Fb/l) z.

     Этот момент положителен, так как сила R_A стремится повернуть левую часть вокруг сечения по часовой стрелке.

     Полученное уравнение определяет прямую линию, которую можно построить по двум точкам: при z = 0, т. е. в сечении  на левой опоре, M₁ = 0; при z = а, т. е. в сечении под силой F, М₁ = Fab/l.

     Изгибающий момент для любого поперечного сечения уча­стка II при изменении z от                z = а до z = l

М₂ = R_Az - F(z - a) = (Fb/l)z - F(z - a).

     Знаки моментов поставлены в соответствии с приведенным выше правилом.

     Изгибающий момент на участке // изменяется также по ли­нейному закону; найдем две точки этой линии. При z = а, т. е. в сечении под грузом, М₂ = Fab/l; при г = l, т. е. в сечении на правой опоре, М₂ = 0.

     Эпюра изгибающих моментов построена на рис. 95, б. Изгиба­ющий момент имеет наибольшую величину (M_max = Fab/l) в том сечений, в котором поперечная сила меняет знак

Пример 5. Построим эпюры для двухопорной балки, к которой прило­жена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q (рис. 96, а). Здесь для определения опорных реакций не нужнорешать уравнений равновесия, так как по симметрии нагружения балки сразу можно найти

Ra = R_B = ql/2.

     В произвольном поперечном сечении на расстоянии z от опоры A, рассматривая левую отсеченную часть, определяем попереч­ную силу

Q =  Ra - qz = ql/2 - qz

при z = О  Q = ql/2 при z = l/2 Q = 0; при z = l Q = ql/2.

     Эпюра Q построена на рис. 96, б.      Изгибающий момент в проведенном сечении

M = R_Az - qz (z/2) = (ql/2) z - qz²/2;

при z = 0 M = 0; при z = l/2 М = ql²/8; при z = l М = 0.

      В это уравнение z входит во второй степени, поэтому эпюра М изобразится параболой (рис. 96, в). Посередине балки при z = 1/2 поперечная сила изменяет знак, и изгибающий момент имеет наибольшее значение М_max = ql²/8.

4.      Построение эпюр поперечных сил

и изгибающих моментов по характерным точкам

     На основе примеров, разобранных в предыдущем параграфе, можно сделать выводы о взаимосвязи между нагрузкой и очерта­ниями эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Ниже эти выводы сформулированы следующим образом.

     1.  На участках, где изгибающий момент постоянен (чистый изгиб, см. рис. 90), поперечная сила равна нулю.

     2.   На участках, свободных от загружения равномерно-распре­деленной нагрузкой, поперечная сила постоянна, а изгибающий момент изменяется по линейному закону, т. е. по прямой (см. рис. 93 и 95).

     3.  На участках, загруженных равномерно-распределенной на­грузкой, поперечная сила изменяется по линейному закону, а изгибающий момент по параболе, выпуклость которой напра­влена навстречу нагрузке (см. рис. 94 и 96).

     4.  В точках приложения сосредоточенных сил на эпюре по­перечных сил имеют место скачки, равные по величине силам, а на эпюре моментов — переломы, направленные навстречу силам (см. рис. 93 и 95).

     5.  В точках приложения сосредоточенных пар сил на эпюре моментов возникают скачки, равные величинам пар (см. рис. 92).

     6.  В точках, где поперечная сила равна нулю (Q = 0), значе­ние момента принимает экстремальное значение — максимальнее или минимальное на рассматриваемом участке.

     Указанные закономерности позволяют упростить построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов (в сложнозагруженных балках) и обойтись без составления уравнений для каждого участка.

     Достаточно вычислить ординаты эпюр для характерных сече­ний и соединить их линиями в соответствии с изложенными выше правилами. Характерными являются сечения балки, где прило­жены сосредоточенные силы и моменты (включая опорные сече­ния), а также сечения, ограничивающие участки с равномерно распределенной нагрузкой.

     Для определения максимальных значений изгибающих момен­тов дополнительно подсчитываются моменты в сечениях, где поперечные силы равны нулю. Построение эпюр без составления уравнений дает особенно значительный эффект для балок, нагру­женных сложной нагрузкой, имеющих много участков нагру­жения.

 

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Билет 1

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Билет 2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Билет 3

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

            Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Билет 4

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Билет 5

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Билет 6

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Билет 7

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Билет 8

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Билет 9

------------------------- -----------------------------------------------------------------------------------------------------

 

 

 

 

 

5. Нормальные напряжения при изгибе

     Нанесем на боковую поверхность балки, испытывающей чи­стый изгиб, продольную линию 00₁ на половине высоты и ряд поперечных параллельных между собой линий. При нагружении двумя противоположно направленными парами сил, действующими в продольной плоскости симметрии (рис. 101, б), балка деформируется — изогнется выпуклостью вниз. Линии на боковой поверхности балки останутся прямыми,

           Рис. 101                                                                                                               Рис. 102

но параллельность их нарушится. Расстояния между концами этих линий на выпуклой стороне увеличатся, а на вогнутой умень­шатся. Расстояния между этими линиями на половине высоты балки останутся такими же, как до деформации. Из этого можно заключить, что при изгибе продольные волокна балки на выпук­лой стороне удлиняются, а на вогнутой укорачиваются; слой волокон, лежащих на половине высоты балки, сохраняет, искри­вившись, неизменную длину.

     Растягивающие и сжимающие напряжения в поперечных сече­ниях балки соответствуют удлинению и укорочению ее продольных волокон. Слой, длина которого не изменяется при изгибе, не испытывает напряжений и называется нейтральным слоем.

     Итак, при изгибе поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются одно относительно другого вокруг некоторых осей, лежащих в их плоскостях. Каждое поперечное сечение поворачивается вокруг линии его пересечения с нейтральным слоем. Эта линия называется нейтральной осью поперечного се­чения.

     Деформации волокон не зависят от положения волокон по ширине балки. Следовательно, нормальные напряжения, изме­няясь по высоте сечения, остаются одинаковыми по ширине балки.

     Исходя из этих гипотез, найдем величину удлинения какого-либо волокна балки при чистом изгибе. Положим, что два близких поперечных сечения балки (рис.  102) повернулись одно относительно другого на угол Δθ. Радиус кривизны нейтрального слоя балки, или ее изогнутой оси, обозначим ρ, а длину волокна, лежа­щего в нейтральном слое между рассматриваемыми сечениями - l. Координату у условимся считать положительной в сторону вы­пуклости и отрицательной в сторону вогнутости. Удлинение рассматриваемого волокна Δl = l₁ — l, а относительное удлинение (продольная деформация)

ε = Δl /l = l₁ — l  /l

     Выражая длины дуг l и l₁ через соответствующие радиусы и центральный угол Δθ, имеем:

l = ρΔθ;     1₁ = (ρ -|- у) Δθ.

Подставив эти значения, получим

ε = (ρ + у) Δθ – ρΔθ / ρΔθ = y/ρ

т. е. относительные удлинения волокон прямо пропорциональны их расстояниям у от нейтрального слоя.

     Зная относительное удлинение, можно применить закон Гука для линейной деформации и выразить нормальное напряжение

                                                         σ = Еε = Е y/ρ .                                            (84)

     Эта зависимость определяет линейный закон распределения нормальных напряжений по сечению балки (рис. 103). По ширине балки (при определенном у) напряжения постоянны. Наибольшего значения нормальные напряжения достигают в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси, причем со стороны вы­пуклости балки эти напряжения растягивающие σ_max, а со стороны вогнутости — сжимающие σ_min. В точках нейтральной оси х (при у= 0) напряжения равны нулю.

     После того как установлен закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки при чистом изгибе, можно перейти к определению напряжений в зависимости от изги­бающего момента в этом сечении. Мысленно рассечем балку не­которым поперечным сечением и выделим в нем произвольную элементарную площадку dA на расстоянии у от нейтральной оси х (рис. 103).

 

                                                                 Рис. 103

M = Σ dA * y²

     Входящий в эту формулу сумма Σ dA * y²  представляет собой осевой  момент  инерции   J_x поперечного сечения  балки  относи­тельно нейтральной оси х (§ 25).

     Вводя это обозначение, можем представить последнее выра­жение в виде

M = J_x

Или

 =                         (86)

     Величина, обратная радиусу кривизны в какой-либо точке кривой, называется ее кривизной. Следовательно, формула (86) связывает кривизну нейтрального слоя, а значит

кривизну изо­гнутой оси балки, со значением изгибающего момента М и же­сткостью сечения балки EJ_х относительно нейтральной оси.

     Жесткость сечения пропорциональна модулю упругости Е и осевому моменту инерции J_x иными словами, она определяется материалом, формой и размерами поперечного сечения,

     После подстановки полученного для 1/ ρ значения в формулу (84), произведя сокращение, определим нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения балки при чистом изгибе

σ = E  = Ey =                      (87)

     Если нейтральная ось сечения совпадает с осью симметрии, то

y_max = 0,5h,

где h — высота сечения.

     Подставив значения y_max формулу для наибольших напря­жений, получим

σ_max/min = ± = ±

     Отношение осевого момента инерции к расстоянию до наиболее удаленных от нейтральной оси волокон симметричного сечения называют осевым моментом сопротивления

W_x = J_x / 0,5h

6.  Расчеты на прочность при изгибе

     Проверку прочности и подбор сечений изгибаемых балок обычно производят исходя из следующего условия: наибольшие нормальные напряжения в поперечных сечениях не должны превосходить допускаемых напряжений [σ] на растяжение и сжа­тие, установленных нормами или опытом проектирования для материала балки.

     Для балок из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь, дерево), следует выбирать сечения, симметричные относительно нейтральной оси (прямоугольное, круглое, двутавровое), чтобы наибольшие растягивающие и сжи­мающие напряжения были равны между собой. В этом случае условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид

                                         [σ] = |М|_max / W_x ≤ [σ]                        (90)

     где W_x – осевой момент сопротивления

Для прямоугольника                      W_x = J_x / 0,5h = bh² / 6

     где      J_x  -  осевым моментом инерции сечения (называется взятая по всему сечению сумма произведений  элементарных площадок, на квадраты их расстояний до некоторой оси, лежащей в пло­скости рассматриваемого сечения. J_x = Σ dA * y²; )           

            b – ширина сечения;

            h - высота сечения.

Для круга                                        W_x = J_x / 0,5d = πd³ / 32

приближенно для. круга можно считать        W_x =0,1d³

Для кольца                                                         W_x =0,1d³_н (1-α⁴)

где α = d_в / d_н - отношение внутреннего диаметра кольца к на­ружному.

     С помощью условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно решать следующие три задачи.

     1.  Проверка прочности (проверочный расчет) производится в том случае, когда известны размеры сечения балки, наибольший изгибающий момент и допускаемое напряжение [σ]. При этом непосредственно используется условие (90).

     2.   Подбор сечения (проектный расчет) производится в том случае, когда заданы действующие на балку нагрузки, т. е. можно определить наибольший изгибающий момент | М |_max и допуска­емое напряжение  [σ].

     Решая неравенство (90) относительно W_x, получаем

W_x ≥  | М |_max / [σ].                            (95).

     По необходимому моменту сопротивления W_x, задавшись формой сечения,  подбирают его размеры.

     3.  Определение наибольшего допускаемого изгибающего мо­мента производится в том случае, когда заданы размеры сечения балки и допускаемое напряжение

[M]_max ≤ [σ]W_x                                   (96)

Пример 2.56. Проверить прочность деревянной балки, если [σ] = 100 кгс/см².

 

Нормальные напряжения при изгибе

    При изгибе продольные волокна балки на выпук­лой стороне удлиняются, а на вогнутой укорачиваются; слой волокон, лежащих на половине высоты балки, сохраняет, искри­вившись, неизменную длину.

    Нейтральный слой – это такой слой который при изгибе не изменяет своей длины и не испытывает напряжений он лишь искривляется.

    Допущения –

1.      Поперечные сечения балки при чистом изгибе, поворачиваясь вокруг своих нейтральных осей остаются плоскими и нормальными к изогнутой оси балки;

2.      Продольные волокна балки не оказывают давление друг на друга т е испытывают простое линейное растяжение (сжатие);

3.      Деформация волокон не зависят от их положения по ширине балки т е нормальные напряжения изменяются по высоте балки, а по ширине балки остаются одинаковыми в данном сечении.

     Относительное удлинение (продольная деформация)

ε = Δl /l = l₁ — l  /l

     Выражая длины дуг l и l₁ через соответствующие радиусы и центральный угол Δθ (тета), имеем:

l = ρΔθ;     1₁ = (ρ + у) Δθ.

     Подставив эти значения, получим

ε = (ρ + у) Δθ – ρΔθ / ρΔθ = y/ρ

т. е. относительные удлинения волокон прямо пропорциональны их расстояниям  у  от нейтрального слоя.

     Зная относительное удлинение, можно применить закон Гука для линейной деформации и выразить нормальное напряжение

                                                         σ = Еε = Е y/ρ .                         1                   

                            

    Элементарная нормальная сила равна           N = σ_z dА

    Ее момент относительно нейтральной оси

                 dM_x = (σ_z dА)_* y

    Суммируя эти элементарные моменты по всей площади сечения, получим

           M_x = Σ (σ_z dА)_* y

Подставляя значение σ из уравнения (1), получим

M_x = Σ (σ_z dА)_* y = Σ _* y² dА =  Σ y² dА

Учитывая что Σ y² dА = J_x - момент инерции относительно оси ox, можно записать

M_x = Е J_{x /} ρ       или        1 / ρ = M_x / Е J_x

      Жесткость сечения пропорциональна модулю упругости Е и осевому моменту инерции J_x иными словами, она определяется материалом, формой и размерами поперечного сечения,

     После подстановки полученного для 1/ ρ значения в формулу (1), произведя сокращение, определим нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения балки при чистом изгибе

σ  = Ey / ρ= EyM / EJ_x=My / J_x                     2

     Если нейтральная ось сечения совпадает с осью симметрии, то

y_max = 0,5h,

где h — высота сечения.

     Подставив значения y_max формулу для наибольших напря­жений, получим

σ_max/min = ± M 0,5h / J_x= ± M / J_x / 0,5h

     Отношение осевого момента инерции к расстоянию до наиболее удаленных от нейтральной оси волокон симметричного сечения называют осевым моментом сопротивления сечения   W_x = J_x / 0,5h                                         y

                                                   σ_max/min =М / W_x                                       b

 

Для прямоугольника                           W_x = bh² / 6   [l³]                      h                            x

W_y = hb² / 6    [l³]

                                                              J_x = bh³ / 12   [l⁴]

где    b – ширина сечения;    h - высота сечения.

 

Для круга                                            W_x = πd³ / 32  ≈ 0,1d³

J_x = J_y = πd⁴ / 64

Для кольца                                          W_x =0,1d³_н (1-α⁴)

где α = d_в / d_н - отношение внутреннего диаметра кольца к на­ружному.

 

Расчеты на прочность при изгибе

[σ] = |М|_max / W_x ≤ [σ]

     С помощью условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно решать следующие три задачи.

     1.  Проверка прочности (проверочный расчет) производится в том случае, когда известны размеры сечения балки, наибольший изгибающий момент и допускаемое напряжение [σ]. При этом непосредственно используется условие (90).

     2.   Подбор сечения (проектный расчет) производится в том случае, когда заданы действующие на балку нагрузки, т. е. можно определить наибольший изгибающий момент | М |_max и допуска­емое напряжение  [σ].

     Решая неравенство (90) относительно W_x, получаем

W_x ≥  | М |_max / [σ].                            (95).

     По необходимому моменту сопротивления W_x, задавшись формой сечения,  подбирают его размеры.

     3.  Определение наибольшего допускаемого изгибающего мо­мента производится в том случае, когда заданы размеры сечения балки и допускаемое напряжение

[M]_max ≤ [σ]W_x                                   (96)

Кручение

     Кручение – это такой вид деформации бруса, при котором в его поперечном сечении возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент, обозначаемый M_t или М_к.

     Деформация кручения возникает при нагружении бруса парами сил, плоскости действия которых перпендикулярна его продольной оси. Момент этих пар называется скручивающим моментом и обозначается М

     Экспериментально сдвиг металла , который возникает при кручении, может быть осуществлен при кручении тонкостенной трубы (рис. 79, а)

     Рассмотрим элемент abсd, вырезанный из тонкостенной трубы (рис. 79, б).

     При возникновении касательных напряжений элемент пере­кашивается.  Если считать грань ad закрепленной, то грань bс сдвинется в положение b₁ c₁. Прямые углы между гранями изме­няются на величину γ (гамма). Угол γ, представляющий собой изменение первоначально прямого угла между гранями элементарного па­раллелепипеда, называется углом сдвига.

      Касательные напряжения τ (которое возникает при кручении) и угол сдвига γ связаны прямой пропорциональностью, т. е. законом Гука

τ = Gγ.

( похожа на закон Гука пр растяжении и сжатии σ = Eε, где σ – нормальное напряжение; E – модуль продольной упругости; ε – продольная деформация)

     Входящая в эту формулу величина G называется модулем сдвига (табличные данные для каждого металла). Эта величина характеризует жесткость материала при деформации сдвига. Так как у выражается отвлеченным числом, то модуль сдвига G, как и модуль продольной упругости Е, имеет ту же единицу измерения, что и напряжение: МПа, Н/мм², кгс/см².

  (Между модулем упругости Е и модулем сдвига G существует зависимость, которую приводим без вывода;

G = E / 2(1 + μ)

где μ(мю) -  коэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуас­сона).

     Для стали μ = 0,25; G = 0,4Е = 0,4*2*10⁵ = 8*10⁴ МПа.

     Приведенные соотношения между G и Е подтверждаются опы­тами.)

1.      Основные понятия. Эпюры крутящих моментов

     На кручение обычно работают брусья круглого поперечного сечения, например валы и витки цилиндрических пружин.

      Величину крутящего момента можно вычислить по передаваемой мощности Р и частоте вращения п:                               М_к = 9,55 Р / п   [Н м]            (65)

(M = P / ω;   ω = π n / 30

Р - [Вт];  ω – [рад / сек]; n – [об / мин])

     Крутящий момент М_К. определяется при помощи метода сече­ний.

     Когда вращение от двигателя передается при помощи пере­даточного вала нескольким рабочим машинам, крутящий момент не остается постоянным по длине вала. Характер изменения кру­тящего момента по длине вала наиболее наглядно может быть пред­ставлен эпюрой крутящих моментов. Рассмотрим построение такой эпюры для вала, на котором закреплено несколько шкивов (рис. 81, а); шкив I получает вращение от двигателя, шкивы II, III и IV передают его станкам. Моменты, передаваемые каждым шкивом на вал, вычисляют по формуле (65). Направление мо­мента М₁ противоположно направлению моментов М₂, М₃ и М₄.

     При установившемся движении (равномерном вращении вала), пренебрегая трением в подшипниках, получаем из условия равновесия вала:

ΣМ_iz = 0;     - М₂ + М₁ – M₃ - М₄ = 0.

 

                                                              Рис.81

     Крутящий момент изменяется в сечениях вала, передающих внешние моменты от шкивов. Разделим вал на три участка (рис. 81, а) и определим крутящие моменты в поперечных сечениях каждого из них. Крутящий момент в любом поперечном сечении первого участка между шкивами II и I уравновешивает момент внешней пары М₂, действующий на левую отсеченную часть, т. е.

М_К1 = М₂

     Аналогично вычисляется крутящий момент в поперечных сечениях на втором участке вала между шкивами I и III

М_К2 = М₂ – M₁

     а на третьем участке между шкивами /// и IV

М_К3 = М₂ – M₁ + M₃

     Итак, крутящий момент в каком-либо поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме моментов внешних пар, дей­ствующих на вал в плоскостях, перпендикулярных оси вала, и при­ложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

М_к = ΣМ_i

(Эпюру крутящих моментов строят аналогично эпюре продольных сил, откладывая от горизонтали (рис. 81, б) ординаты, пропорциональ­ные крутящим моментам в поперечных сечениях соответству­ющих участков вала).

     Знак крутящего момента в поперечном сечении вала опреде­ляется исходя из направления внешних моментов. Крутящий мо­мент положителен, когда внешние моменты вращают отсеченную часть по часовой стрелке, если смотреть со стороны проведенного сечения.

     Положительные ординаты эпюры крутящих моментов отклады­вают вверх, отрицательные, - вниз от горизонтальной линии, называемой осью, или базой, эпюры.

 

Напряжения и деформации при кручении вала

     Выведем формулы для определения деформаций и напряжений, возникающих при кручении валов.

     При кручении попе­речные сечения сохраняют плоскую форму, а радиусы этих сече­ний, поворачиваясь, не искривляются.

     Приведенный ниже вывод базируется на этих предположениях и справедлив, соответственно, только для валов круглого и коль­цевого сечения. Рассмотрим элемент вала (рис. 85, а) длиной l, причем крайнее левое сечение этого элемента будем считать условно неподвижным, что эквивалентно определению перемеще­ний относительно этого сечения. Нетрудно показать, что рассма­триваемый элемент испытывает деформацию сдвига. Действи­тельно, любая образующая наружная АВ или внутренняя ЕС смещается при кручении и возникают перекосы, определяемые углами сдвига γ_тах для образующей AВ или γ для образующей ЕС (рис. 85, а).

     При этом радиус крайнего правого сечения ОВ пово­рачивается в положение ОВ₁ на некоторый угол φ (фи), называемый углом закручивания.

     Учитывая малость деформаций и выражая ВВ₁ и СС₁ как дуги окружностей, легко определить соотношения между углом сдвига γ_тах или γ и углом закручивания ср:

BB₁ = γ_тах l = φr;    CC₁ = γl = φρ,

        Рис.85      

                Откуда                                                                                                            

                          γ_тах  = φr / l                 66

                                                            γ  = φρ / l                     67

     Переместив r в левую часть  уравнения (66) получим:

                                                          γ_тах/r = φ/l                   68

    Подставляя значение φ/l из уравнения (68) в уравнение (67) получим:

                           γ = γ_тах ρ/r                  69

     Таким  образом,   угол  сдвига  γ в  поперечном сечении  прямо пропорционален расстоянию от оси вала ρ.

     Сдвиг отдельных элементов вала сопровождается возникнове­нием в его поперечных сечениях касательных напряжений, кото­рые могут быть определены по закону Гука для сдвига:

τ = Gγ = Gγ_max p/r    и    τ_max = Gγ_max         при ρ = r

или

τ = τmax ρ / r

      т. е. касательные напряжения в поперечном сечении меняются по длине радиуса по линейному закону.

     Сдвиг в поперечных сече­ниях при кручении происходит по направлению касательных к окружностям, поэтому направление касательного напряжения в какой-либо точке сечения перпендикулярно к соответствующему радиусу (рис. 85, б).

     Зная закон распределения касательных напряжений по попе­речному сечению бруса, можно определить их величину в зависи­мости от крутящего момента, возникающего в данном поперечном сечении.

    Если dA — площадь элементарной площадки (см. рис. 85, б), то элементарная внутренняя сила на этой площадке, расположенной на расстоянии ρ от оси бруса, равна  τ _* dA, а ее момент относительно оси бруса равен τ _* dA _* ρ.

     Сумма моментов всех элементарных внутренних касательных сил, возникающих в поперечном сечении, представляет собой крутящий момент М_К в данном сечении и определяется по всей площади формулой:

М_К = Σ τ_* dA _* ρ

     Выражая τ через τ_max     τ = τ_max ρ/r и вынося затем постоянный множитель τ_шaх/τ за знак cуммы, получаем

М_К  = Σ τ _* dA _* ρ  =  Σ τ_max ρ/r _*  dA _* ρ   =    τ_max /r = Σ dA _* ρ²

т.к.                                     Σ dA _* ρ²= J_p – (полярный момент инерции [ l⁴])

получим                             М_К = J_p* τ_max /r    =>    τ_max= М_{К *} r/ J_p  =>         69

                                                       τ = τ_max ρ / r = М_{К *} ρ/ J_p                          70

     Выведенная формула определяет касательное напряжение в лю­бой точке поперечного сечения при кручении вала круглого по­перечного сечения. Наибольшего значения достигают напряжения в поперечном сече­нии в точках у поверхности, т. е. в точках, наиболее удаленных от его оси. Поэтому в целях уменьшения металлоемкости валов их изготавливают пустотелыми т к касательное напряжение ближе к центру вала минимально.

     Формулу (69) для  τ_max можно представить  в виде

                                           τ_max= М_{К *} r/ J_p = М_К / J_p / r = М_К /W_P                  71

     Отношение J_p / r = W_p [ l³]называют полярным моментом сопро­тивления сечения. Он характеризует прочность бруса круглого сечения при кручении.

                                                J_p = πd⁴ / 32  [ l⁴]

                                                W_p = πd³ / 16 = 0,2_* d³[ l³]                        72

              d

 

     Аналогично для кольцевого сечения

                                                   

                                                    α = d_Bн / D_H

               d_вн                                         J_p = πD_н⁴ _* (1-  α⁴) / 32

               D_н                                   W_p = πD_н³ _*  (1 – α⁴)/ 16                              73

     Определим     угол     закручивания     бруса,     изображенного на рис. 85, а. Исходя из уравнений  γ_тах  = φr / l  и τ_max = G γ_max   =>  γ_max = τ_max / G находим

φ = l γ_max / r = l τ_max/ r G

     Подставляя  τ_max= М_{К *} r/ J_p окончательно получаем

                                     φ = l τ_max / r G = l_* M_{K *} r/ rG J_p = l_* M_K / G_* J_p  [рад]         74

(360⁰ = 2π рад)                    φ = _* l_* M_K / G_* J_p  [град]

Расчеты на прочность и жесткость при кручении

      Прочность при кручении бруса круглого сплошного или коль­цевого поперечного сечения определяется условием.

τ_кр  ≤ [τ_кр].                                 (75)

      Формула (75) может служить основой для трех видов расчетов.

      1.   Проверка прочности (проверочный расчет), когда известны наибольший крутящий момент и размеры поперечного сечения вала. Расчет производится непосредственно по формуле (75).

τ_max = М_{кр max} / W_p ≤ [τ_кр]

      2.   Подбор сечения (проектный расчет). Решив неравенство (75) относительно W_p, получим формулу для определения полярного момента сопротивления, а значит диаметра вала, исходя из усло­вия прочности

           W_p ≥ М_к / [τ_к].                                    (76)

      Требуемый диаметр вала при найденном значении W_p опре­деляется из формулы (72) или (73).

W_p =     М_к / [τ_к] = 0,2_* d³  =>      d =    – для круглого сечения

W_p =     М_к / [τ_к] = πD_н³ _*  (1 – α⁴)/ 16 =>     D_н =  – для кольцевого сечения

      3.   Определение допускаемого (наибольшего) крутящего момента, когда изве­стны размеры сечения вала и задано допускаемое напряжение,

               [M_K]_max = W_p  [τ_к].                                    (77)

      Допускаемое напряжение для валов из сталей марок сталь 40 и сталь 45 принимается в пределах  [τ_к] = 30 - 50МПа.

      Кроме соблюдения условия прочности при проектировании валов требуется, чтобы вал обладал достаточной жесткостью, т. е. чтобы угол закручивания не превосходил некоторой заданной величины. Так, в зубчатых передачах при значительных углах закручивания валов зубья колес перекашиваются. Следствием может быть выкрашивание поверхностей зубьев и поломка передачи, поэтому необходимая жесткость валов практически всегда должна быть обеспечена.  Обозначив через θ (тета) угол закручивания единичной длины вала, можно составить расчетную формулу для проверки вала на жесткость:

                            θ = φ/l = l_* M_K / G_* J_p  / l =  М_к/G J_p. [рад / м]                  (78)

                                        θ =    _*   M_K / G_* J_p  [град / м]                                    (79)

      В зависимости от назначения вала принимают [θ] = (0,45 -1,75) _*10 ^-2 рад/м,  что соответствует  [θ°] = (0,25 -1,0) град/м.

      С помощью формул (78) и (79) решаются три задачи, аналогич­ные задачам расчета на прочность.

      1.  Прочерка жесткости (проверочный расчет), когда заданы крутящий момент, размеры и материал вала, а также допуска­емый угол закручивания.

θ =    _*   M_K / G_* J_p  ≤ θ

      2.   Подбор сечения по условию жесткости (проектный расчет) Из неравенства (78) получим формулу для определения полярного момента инерции сечения вала, по условию жесткости

J_p ≥ М_к /G[θ]

                                                     J_p = πd⁴ / 32          => d ≥ ⁴√32 М_к  / π G [θ ]

      При найденном значении J_p диаметр вала определяют из фор­мул

для круга  -      J_p = 0,1d⁴                                                                           (38)

 для кольца  -   J_p = (πd⁴_н / 32)_* (1 – α⁴)                           (39)

      3.  Определение допускаемого крутящего момента по условию жесткости

[М_к] = G J_p [θ].

                                                  М_кр = Р / ω => [Р] = М_кр ω

    Задача 1. В поперечных сечениях стального вала возник крутящий момент в 2000 Нм, диаметр вала 65 мм. Проверить прочность вала.

Дано

М_кр = 2000 Нм                                 τ_кр = М_кр  / W_p ≤ [τ_кр]

d = 65 мм                                         W_p = 0,2_* d³ = 0,2 _* 65³ = 54,925 _* 10³

G = 0,8 * 10⁵ МПа                           τ_кр = 2000 _* 10³ / 54,925 _* 10³= 36,41 МПа  < [τ _кр]

[τ _кр] = 40 МПа                                Прочность вала обеспечена.

    Задача 2. Определить величину допустимого [ М_кр] для стального вала d = 20 мм если допустимое напряжение [τ _кр] = 100 МПа, какую мощность может передать этот вал при   n = 100 об / мин.

Дано                                              W_p = 0,2_* d³ =0,2 _* 20³ = 1600 мм³

[τ _кр] = 100 МПа                       [M_K] = W_p  [τ_к]= 100 _* 1600 = 160 _* 10³ Н мм

n = 100 об / мин                 M_K = P / ω =>[p] = M _К* ω = 160 _* 10³ _* 10,46 = 1600 _* 10³ = 1,6 кВт

d = 20 мм                                        ω = πп / 30 = 3,14 _* 100 / 30 = 10,46рад / с

G = 0,8 * 10⁵ МПа

---------------------------

[ М_кр] - ?Р - ?

    Задача 3. В поперечном сечении полого вала возник М_кр = 6000 Нм, найти диаметр вала по условию прочности и экономию веса по сравнению со сплошным валом в тех же условиях.

Дано

М_кр = 6000 Нм ;  α = 0,8;   [τ _кр] = 50 МПа        

D_Н - ?;   d_ВН - ?  А^пол - ?;  А^спл - ?

D_н  =  ³√16 М_к  / π [τ_к] (1 – α⁴) = ³√16 _* 6000 _* 10³ / 3,14 _* 50 ( 1 – 0,8⁴) = 101 мм

d_вн = а _* D_н = 0,8 _* 101 = 80,8 мм

А^пол = π D_н² / 4  -  π d_н² / 4  = π / 4 (D_н² - d_вн²) = 2882,8 мм²

d =  ³√ М_к  / 0,2[τ_к] = ³√6000 _* 10³ / 0,2 _* 50 = 85 мм²

А^спл = π d_н² / 4  =5671,6 мм²

 

Срез и смятие.

     Этот вид деформации возникает в том случае когда на элементы конструкций и детали машин действуют нагрузки перпендикулярные к их продольной оси (заклепки, штифты, болты без зазора, шпонки).

     Практические расчеты этих деталей базируются на следующих допущениях:

1.      В поперечных сечениях при срезе  (заклепки, штифты, болты без зазора, шпонки).

возникает только один внутренний силовой фактор Q – поперечная сила.

2.      Касательные напряжения в поперечных сечениях распределяются по сечению равномерно.

3.      В случае, если соединение осуществляют несколькими соединительными элементами то все они одинаково нагружены.

 

                              G_см

                              τ_ср                                   

      G_см

Условие прочности на срез:

τ_ср = Q / A_ср = [τ_ср]

где   τ_ср – рабочее (расчетное) напряжение среза;

         Q – поперечная сила (Q = F / i,   F – общая нагрузка соединения; i  – число заклепок, болтов и т. п. );

         A_ср  - площадь среза;  

       [τ_ср]- допустимое напряжение на срез, принимают [τ_ср] = (0,25…0,35) G_T(предел текучести).

     Проверочный расчет на срез обеспечивает прочность только соединительных элементов (заклепок, штифтов, шпонок) но не гарантирует надежности всего узла т. к., если толщина соединительных  элементов (δ) недостаточно то давление между стенками отверстий и соединяемыми деталями будет не достаточно большими, эти давления называются напряжениями сжатия. 

Условие прочности на смятие:

G_см = F / A_см = [G_см]

     где  G_см – расчетное напряжение на смятие; A_{см –} расчетная площадь смятия; [G_см] – допустимое напряжение на смятие.

                                      A_см = d _* δ           [G_см]=(100…120) МПа – для малоуглерод. сталей.

                            δ                                  [G_см ]= (140…170) МПа – для среднеуглерод сталей

                                                                   [G_см]= (60…70) МПа – длявысокоуглерод сталей

          d                   При различной толщине соединяемых деталей в расчетную формулу следует подставлять минимальное напряжение т. е. это напряжение возникающее в более тонком месте: G_см = G_min        δ_min

Расчет заклепочных (болтовых) соединений.

     Такие соединения являются неразъемными.

F                                                       Одно срезное соединение -  A_ср = πd² / 4

                                    F

                  d

                          δ₁           F/2

F                                                           Двух срезное - A_ср =( πd² / 4) _* 2 = πd² / 2

δ₂                                               F/2

     Расчет заклепочных соединений ведется на срез и смятие, кроме этого соединяемые элементы рассчитывают на растяжение (сжатие) с учетом ослабления их поперечного сечения отверстиями для заклепок.

                                       d = (1,5…2,5) δ                                         e = 2d

где   d - диаметр заклепок;  δ – толщина листа.                     e

                                      d_отв > (0,5…1)мм d_зак

1.      Проверочный расчет

 а) на срез    τ_ср = А / i _* К ≤ [τ_ср]

где  i – общее число заклепок в соединении;      К – число поверхностей среза заклепки.

б) на смятие  G_см = F / i d δ ≤ [G_см]    d δ – площадь смятия.       

     При односрезных соединениях в формулу вместо толщины δ надо подставлять минимальную толщину листа δ_min. У двух срезных соединениях надо подставлять меньшую из δ₁ или δ_2.    

2.      Проектный расчет

а) Определяют допускаемую силу на одну заклепку

                            [Q_ср] = (K πd² / 4) [τ_ср]      на срез

                            Q_см = d _* δ [G_см]    на смятие

б) Определяют требуемое число заклепок по меньшей из допускаемых сил

i ≥ F / [Q_min]

Предел прочности на растяжения листа имеющего заклепки определяется:  

            δ                           G = F / A_нетто ≤ [G]

                          ά                  A_нетто = δ (b – i _* d)  A_нетто - площадь чистого листа;

b                                                       i – число заклепок попадающих в одно поперечное сечение

         i = 2

Задача.   Определить необходимое количество заклепок диаметром 20 мм для соединения в нахлестку двух листов толщиной 10 и 12 мм. Если растягивающая сила 300 кН, а допустимое напряжение на срез 140 МПа, на смятие 300 МПа                     

Дано

δ₁ = 10 мм; δ₂ = 12 мм

d = 20 мм;  F = 300 кН

[τ_ср] = 140 МПа ; [σ_см] = 300 МПа

i -?

[Q_ср] = (K πd² / 4)_* [τ_ср]  = 2 _* 3,14 _* 20² _* 140 / 4 = 43960 Н

Q_см = d _* δ_{min *} [G_см]= 20 _* 10 _* 300 = 60000 H

i ≥ F / [Q_min]= 300 _* 10³ / 43960 = 6,82 = 7

Устойчивость сжатых стержней (продольный изгиб)

Устойчивость упругого равновесия. Критическая сила.

К числу задач курса сопротивления материалов помимо рассмотренных в предыдущих главах расчетов на прочность и жесткость относятся также расчеты на устойчивость, предва­рительное понятие о которых было дано в начале курса сопрамата.

Расчет на устойчивость имеет первостепенное значение для тех элементов конструкций, которые представляют собой сравнительно длинные и тонкие стержни, тонкие пластинки и оболочки.

Существуют 3 вида равновесия:

1.      Устойчивое равновесие - это когда при любом малом отклонении от положения равновесия тело возвращается в ис­ходное положение по устранении причины, вызвавшей это от­клонение. Примером может служить шарик, который положен на сферическую поверхность, как показано на рис. а.

2.      Рав­новесие называют неустойчивым, если при любом малом от­клонении от положения равновесия тело не возвращается в ис­ходное положение, а все дальше отклоняется от него. В состоянии неустойчивого равновесия находится шарик, помещенный в верхней точке сферической поверхности рис.б.

3.       При безразличном равновесии тело, будучи отклонено, остается в равновесий и в новом положении рис. в.

Рассмотрим сравнительно длинный и тонкий прямоли­нейный стержень, нагруженный центрально приложенной сжи­мающей силой (рис. 12.2 а). Если приложить к стержню попе­речную нагрузку, т. е. слегка изогнуть его, то при малых значениях сжимающей силы после снятия поперечной нагрузки стержень вернется в прямолинейное состояние. Это значит, что прямолинейная форма равновесия оси стержня устойчива. При большем значении сжимающей силы слегка изогнутый попе­речной нагрузкой стержень после ее устранения медленнее, как бы «неохотнее» возвращается в прямолинейное состояние. Но все же прямолинейная форма равновесия еще устойчива. Нако­нец, при некотором значении сжимающей силы прямолинейная форма равновесия оси стержня становится неустойчивой и воз­никает новая устойчивая форма равновесия — криволинейная. Происходит выпучивание стержня (рис. 12.2,6). Существенно, что при достижении сжимающей силой того значения (крити­ческого), при котором прямолинейная фор­ма равновесия оси стержня становится не­устойчивой, для перехода к криволинейной форме нет надобности прикладывать к стержню поперечную нагрузку и изгиб стержня происходит без видимых внешних причин.

Изгиб стержня, связанный с потерей ус­тойчивости прямолинейной формы его равно­весия, называют продольным изгибом. То наибольшее значение центрально приложенной сжимающей силы, до которого прямолинейная форма равновесия стержня устойчива, называется критическим.

Продольный изгиб опасен тем, что он наступает внезапно, мгновенно и поэтому с точки зрения практических расчетов критическая сила должна рассматриваться как разрушающая нагрузка Е_кр = Е_пред

Расчет на устойчивость должен обеспечивать работу элемента конструкции при нагрузках меньших критических

[F] ≤ F_кр / [n_y]

где [F] — допускаемое значение силы, сжимающей стержень; F_кp — критическое значение сжимающей силы для рассчитывае­мого стержня; [n_у] — заданный (требуемый) коэффициент запа­са устойчивости.

Формула Леонардо Эйлера.

                                                     F_кр = π²ЕJ_min /( μl)²                                          (1)

где Е – модуль упругости материала; l – длина стержня; J_min – минимальный момент инерции плоскости которая имеет наименьшую жесткость,  при потере устойчивости изгиб стержня происходит именно в этой плоскости; μ – коэффициент привидения длины который зависит от способов закрепления концов стержня и исходя из этого как изгибается стержень под действием силы.

а — оба конца стержня закреплены шарнирно (могут сближаться); б — нижний конец жестко защемлен, верхний — свободен; в — оба конца жестко защемлены (могут сближаться); г — нижний конец за­креплен жестко, верхний — шарнирно (могут сближаться); д — нижний конец закреплен жестко, верхний имеет «плаваю­щую» заделку (не может поворачиваться, но может смещаться перпендикулярно оси стержня).

Критическое напряжение. Пределы применимости формулы Эйлера.

σ_кр = F_кр / А

         где А – площадь сечения.

Подставляя вместо F_Kp ее значение из формулы (1), получаем

                                           σ_кр = π²ЕJ_min /[( μl)²А]                      (2)

Геометрическая характеристика сечения, называемая радиусом инерции сечения,  относительно какой либо оси равна:

i_min = √J_min / A

Подставим в формулу (2) получим:

       σ_кр = π²Еi ²_min /( μl)²

Разделив числитель и знаменатель на i ²_min, получим:

       σ_кр = π²Е /( μl / i_min)²

Отношение приведенной длины стержня к минимальному радиусу инерции его поперечного сечения называют гибкостью стержня λ(или стой­ки):

                                      (лямда) λ = μl /i_min

Используя понятие гибкости λ стержня, получаем следую­щую окончательную формулу для критического напряжения:

                                    σ_кр = π²Е / λ²                                                (3)

При выводе формулы Эйлера была использована зависи­мость между изгибающим моментом и кривизной оси стержня, полученная на основе закона Гука. Отсюда следует, что,

формула Эйлера справедлива лишь в пределах применимости закона Гука, т. е. при условии, что критическое напряжение не превышает предела пропорциональности       σр = Рр/Fo материала стержня:

σ_кр = π²Е / λ² ≤ σ_р

отсюда                               λ ≥ π√ Е / σ_р

Величину, стоящую в правой части этого неравенства, обо­значим λ_пред и назовем предельной гибкостью:

λ_пред = π√ Е / σ_р                        (4)

В отличие от гибкости стержня, представляющей собой его геометрическую характеристику, предельная гибкость зависит только от физико-механических свойств материала стержня и не зависит от его размеров. Предельная гибкость — величина по­стоянная для данного материала.

Пользуясь понятием предельной гибкости, удобно предста­вить условие применимости формулы Эйлера в виде

λ ≥ λ_пред                                                      (5)

т. е. формула Эйлера применима лишь в тех случаях, когда гиб­кость рассчитываемого стержня больше или равна предельной гибкости для материала, из которого он изготовлен.

В качестве примера вычислим значение λ_пред для угле­родистой стали 45, имеющей модуль продольной упругости Е = 2,0 _* 10⁵ МПа и предел пропорциональности σ_р =  270 МПа:

λ_пред = π√ Е / σ_р = 3,14√2,0_*10⁵/270 ≈ 85.

В случае неприменимости формулы Эйлера λ ≤ λ_пред критические на­пряжения определяются по эмпирическим формулам, соста­вленным Ф. С. Ясинским на основе опытов, проведенных рядом исследователей. Для некоторых конструкционных материалов формула Ф. С. Ясинского (ее иногда называют формулой Тетмайера —Ясинского) имеет вид

σ_кр = a – bλ                           (6)

т. е. зависимость критического напряжения от гибкости линей­на. В формуле (6) а и b — определяемые опытным путем коэффициенты, постоянные для данного материала. Коэффи­циенты а и b имеют размерность напряжения.

При некотором значении гибкости (обозначим ее λ₀) σ_кр вычисленное по формуле (6), становится равным предельно­му напряжению при сжатии, т. е. пределу текучести (σ_т или σ_0.2) для пластичных материалов или пределу прочности (σ_в) для хрупких. При гибкости, меньшей  λ₀ принимают, что кри­тическое напряжение совпадает с предельным, в частности для пластичных материалов σ_кр = σ_т. Таким образом, в зависимо­сти от гибкости сжатые стержни условно делят на три категории.

1.    Стержни большой гибкости (λ ≥ λ_пред), для которых рас­чет на устойчивость ведется по формуле Эйлера.

2.    Стержни средней гибкости (λ₀ ≤ λ < λ_пред), рассчиты­ваемые на устойчивость по эмпирической формуле Ф. С. Ясин­ского (6).

3.    Стержни малой гибкости (λ < λ₀), рассчитываемые не на устойчивость, а на прочность. Для них критическое напряжение считается постоянным: σ_кр = σ_т, или                       σ_кр = σ_0,2, или σ_кр = σ_в.

 

Разли­чают следующие виды расчетов на устойчивость.

Проверочный расчет, при котором определяется фактический к-т запаса устойчивости n_y и сравнивается с требуемым или нормативным его значением [n_y]

n_y = F_кр / F ≥ [n_y]

где F – фактическое значение сжимающей нагрузки.

Определение допускаемой нагрузки:

[F] = F_кр / [n_y]

Проектный расчет – определение требуемых размеров поперечного сечения стержня

J_min ≥ F[n_y](μl)² / (π²E)

Принятые обозначения

 

Основные   понятия   и   аксиомы статистики

Механическое движение. Равновесие

      В механике изучают законы взаимодействия и движения ма­териальных тел. Механическим движением называют происходя­щее с течением времени изменение положения тел или точек в про­странстве.

      Частным случаем движения является состояние покоя. Покой всегда имеет относительный характер, так как покоящееся тело рассматривается как неподвижное по отношению к некоторому другому телу, которое, в свою очередь, может перемещаться в пространстве. Абсолютно неподвижных тел в природе нет. Например, мы говорим, что станина машины или фундамент сооружения находится в покое. Они действительно неподвижны относительно Земли, но вместе с ней совершают сложное движение вокруг Солнца.

Материальная точка.

Абсолютно твердые и деформируемые тела

      Понятия статики вошли в науку как результат многовековой практической деятельности человека. Они подтверждены опытами и наблюдениями над явлениями природы.

      Тело можно рассматривать как материальную точку, т. е. его можно представить геометрической точкой, в которой сосредото­чена вся масса тела, в том случае, когда размеры тела не имеют значения в рассматриваемой задаче. Например, при изучении дви­жения планет и спутников их считают материальными точками, так как размеры планет и спутников пренебрежимо малы по сравнению с размерами их орбит. С другой стороны, изучая дви­жение планеты (например, Земли) вокруг оси, ее уже нельзя считать материальной точкой. Тело можно считать материальной точкой во всех случаях, когда все его точки совершают тожде­ственные движения.

      Системой называется совокупность материальных точек, движения и положения которых взаимозависимы. Из приведен­ного определения следует, что любое физическое тело можно рассматривать как систему материальных точек.

      Рассматривая равновесие тел, их считают абсолютно твердыми (или абсолютно жесткими), т. е. предполагают, что никакие внешние воздействия не вызывают изменения их размеров и формы и что расстояние между любыми двумя точками тела всегда остается неизменным.                                           В действительности все тела под влиянием силовых воздей­ствий со стороны других тел деформируются и изменяют свои размеры или форму. Но материалы, форму и размеры элементов конструкций подбирают с таким расчетом, чтобы их деформации были минимальными, поэтому такими деформациями пренебре­гают и рассматривают элементы конструкций как абсолютно твердые тела.

Сила — вектор. Система сил. Эквивалентность сил

      Абсолютно твердые тела могут вступать во взаимодействие, в результате которого изменяется характер их движения. Сила является мерой этого взаимодействия. Например, взаимодействие планет и Солнца определяется силами тяготения. Действие силы на тело определяется тремя факторами: численным значением, направлением и точкой приложения, т. е. сила является векторной величиной.                                                                                                                                                          Вектор силы изображается отрезком, на конце которого ста­вится стрелка.  Стрелка указывает направление вектора,  длина  отрезка — значение вектора, измеренное в выбранном масштабе. Вектор   в тексте   обо­значают    одной    буквой  со стрелкой наверху F, a, v, а на схемах (рис.   1, а, б) стрелки не ставятся, так как само обо­значение вектора в виде на­правленного   отрезка   доста­точно   наглядно   характери­зует его свойства. Модуль или численное значение силы в СИ измеряется в ньюто­нах (Н). Применяют также и более крупные единицы измерения: 1 килоньютон (1  кН = 10³ Н), 1  меганьютон (1  МН = 10⁶ Н). До сих пор иногда используют для измерения сил техническую систему (МКГСС), в которой в качестве единицы силы применяется килограмм-сила (кГс). Единицы силы в системах СИ и МКГСС связаны соотношением 1 кГс = 9,81 Н  10 Н или 1 Н  0,1 кГс.

Аксиомы статики

      Статика основана на аксиомах, вытекающих из опыта и при­нимаемых без доказательств. Аксиомы статики устанавливают основные свойства сил, приложенных к абсолютно твердому телу.

Первая аксиома определяет уравновешенную систему сил.                                                                                                                           Система сил, приложенная к материальной точке, является уравновешенной, если под ее воздействием точка находится в со­стоянии относительного покоя или движется равномерно и пря­молинейно.

      Рассматривая первую аксиому, нетрудно установить, что уравновешенная система сил как причина механического движе­ния  эквивалентна  нулю.

      Тело (в отличие от точки) под действием уравновешенной системы не всегда находится в покое или движется равномерно и прямолинейно. Возможен случай, когда уравновешенная система сил, а точнее уравновешенная система пар сил (см. § 14) вызывает равномерное вращение тела вокруг некоторой неподвижной оси. Следовательно, если на тело действует уравновешенная си­стема сил, то тело либо находится в состоянии относительного покоя, либо движется равномерно и прямолинейно, либо равно­мерно   вращается   вокруг   неподвижной   оси.

Вторая аксиома устанавливает условие равновесия двух сил.

Две равные по модулю или численному значению силы, (F₁ — F₂), приложенные к абсолютно твердому телу и направленные по одной прямой в противоположные стороны, взаимно уравновешиваются (рис. 2, а).

      Системой сил называют совокупность нескольких сил, прило­женных к телу, точке или системе тел и точек.

      Система сил, линии действия которых лежат в разных пло­скостях, называется пространственной. Если же линии действия рассматриваемых сил лежат в одной плоскости, система назы­вается плоской. Система сил с пересекающимися в одной точке линиями действия называется сходящейся. Сходящаяся система сил может быть как пространственной, так и плоской. Наконец, различают еще систему параллельных сил, которая аналогично сходящейся может быть пространственной или плоской.

Рис. 2

      Две системы сил эквивалентны, если взятые порознь они ока­зывают одинаковое механическое действие на тело. Из этого определения следует, что две системы сил, эквивалентные третьей, эквивалентны между собой. Любую сложную систему сил всегда можно заменить более простой эквивалентной ей системой сил. Одну силу, эквивалентную данной системе сил, называют равно­действующей этой системы. Силу, равную по модулю равнодей­ствующей и направленную по той же линии действия, но в проти­воположную сторону, называют уравновешивающей силой. Если к системе сил добавлена уравновешивающая сила, то полученная новая система находится в равновесии и, как отмечено выше, эквивалентна   нулю.

Третья аксиома служит основой для преобразования сил. Не нарушая механического состояния абсолютно твердого тела, к нему можно приложить или отбросить от него уравновешенную систему сил.

      Тело (рис. 2, б) находится в состоянии равновесия. Если к нему приложить несколько взаимно уравновешенных сил (F_t = F^/₁, F₂ = F^/₂, F₃ = F^/₃), то равновесие не нарушится. Ана­логичный эффект получится при отбрасывании этих уравновешен­ных сил.

      Системы сил, показанные на рис. 2, а, б, эквивалентны, так как они дают одинаковый эффект: под действием каждой из них тело находится в равновесии.

      Из второй аксиомы вытекает следствие, согласно которому всякую силу, действующую на абсолютно твердое тело, можно перенести вдоль линии ее действия в любую точку тела, не нару­шив при этом его механического состояния.

      Пусть на тело в точке  А действует сила (рис. 2, в). В произвольной точке В на линии действия силы   приложим две силы  и , равные по модулю  и направленные в противо­положные стороны. Состояние тела в этом случае не нарушится.  Силы  и , равные по модулю и противоположно направленные, можно отбросить. Таким образом, силу  можно заменить равной силой , перенесенной по линии   действия   из точки А в точку В (рис. 2, г).

      Векторы, которые можно переносить по линии их действия, называют скользящими. Как показано выше, сила является сколь­зящим вектором.

Четвертая аксиома определяет правило сложения двух сил. Равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, приложена  в  этой  точке   и  является   диагональю  параллелограмма, построенного на данных силах.

      Так, равнодействующая двух сил  и , приложенных к точке А  (рис. 3, о),  будет  сила F  представляющая   собой диагональ параллелограмма АСDВ, построенного на векторах заданных сил. Определение равнодействующей двух сил по правилу параллелограмма называется векторным, или геометри­ческим, сложением и выражается векторным равенством

=  +                                                                                                  (1)

      При графическом определении равнодействующей двух сил вместо правила параллелограмма можно пользоваться правилом треугольника.  Из  произвольной точки  А  (рис.  3, б)  проводим,

 

сохраняя масштаб и заданное направление, вектор первой составляющей силы  из его конца проводим вектор, параллельный и равный второй составляющей силе . Замыкающая сторона AD треугольника и будет искомой равнодействующей F_Σ. Ее можно также представить как диагональ параллелограмма   ABDC,  по­строенного на заданных силах.

      Модуль равнодействующей двух сил можно определить из треугольника ACD:

 

(2)

      На основании четвертой аксиомы одну силу F_s можно замеyять двумя составляющими силами    и . Такую замену часто производят при решении задач статики.

Пятая аксиома устанавливает, что в природе не может быть одностороннего действия силы. При взаимодействии тел вся­кому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.  

Так, если на тело В (рис. 4) действует сила   со стороны материального тела А, то на тело А действует со стороны тела В такая же по численному значению сила . Обе силы действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Действие и противодействие всегда при­ложены к различным телам, и именно поэтому они не могут урав­новешиваться.

Связи и их реакции

      Рассматриваемые в механике тела могут быть свободными и несвободными. Свободным называют тело, которое не испытывает никаких препятствий для перемещения в пространстве в любом направлении. Если же тело связано с другими телами, которые ограничивают его движение в одном или нескольких направ­лениях, то оно является несвободным. Тела, которые ограничи­вают движение рассматриваемого тела, называют связями.

     При взаимодействии между телом и его связями возникают силы, противодействующие возможным движениям тела. Эти силы действуют на тело со стороны связей и называются реак­циями   связей.

      Реакция связи всегда противоположна тому направлению, по которому связь препятствует движению тела. Существование реакций обосновывается аксиомой о действии и противодействии. Для определения реакций связей используют принцип освобождения от связей.   Не изменяя равновесия тела, каждую связь можно отбросить, заменив ее реакцией.  Определение реакций связей является одной из наиболее важных задач статики. Ниже приведены наиболее распространенные виды связей, встреча­ющиеся в задачах.

      1. Связь в виде гладкой (т. е. без трения) плоскости или поверх­ности (рис. 6, а). В этом случае реакция связи всегда направлена по нормали к опорной поверхности.

      2.   Связь в виде контакта цилиндрической или шаровой поверх­ности с плоскостью. В этом случае реакция связи направлена также по нормали к опорной поверхности (рис. 6, б).

      3.   Связь в виде шероховатой плоскости (рис. 6, в). Здесь возникают две составляющие реакции:  нормальная  R_n,   перпендикулярная  плоскости,  и  касательная R_t  лежащая в плоскости.

Касательная   реакция   R_t   называется  силой   трения   и   всегда направлена в сторону,   противоположную действительному   или возможному движению тела.

       Полная реакция R, равная геометрической сумме нормальной и касательной   составляющих             R = R_n + R_t, отклоняется от нор­мали к опорной поверхности на некоторый угол р.

 

      При взаимодействии тела с реальными связями возникают силы трения. Однако во многих случаях силы трения незначительны и вследствие этого ими часто пренебрегают.

      4. Гибкая  связь,   осуществляемая   веревкой, тросом,   цепью и т. п. (рис. 6, г). Реакции гибких связей R_A и R_B направлены вдоль связей, причем гибкая связь может работать только на растяжение.

      5.  Связь   в   виде    жесткого    прямого стержня с шарнирным закреплением концов  (рис.   6,  д).  Здесь   реакции   R₁, R₂ и R₃ всегда направлены вдоль осей стер­жней. Стержни при этом могут быть как растянутыми,  так и сжатыми.

      6.   Связь, осуществляемая ребром дву­гранного    угла   или   точечной     опорой (рис.   6,  ё).   Реакция   такой   связи   R₁  или R₂ направлена перпендикулярно по­верхности опирающегося тела.

       Пример   1.   Груз   F = 20   кН   подвешен   на тросе АВ (рис. 7, а). Определить   реакцию   троса. Решение.     Рассмотрим  равновесие груза. Действие  связи (троса) на тело заменяем его реак­цией. Так как нить препятствует перемещению груза  вниз, то реакция Fa направлена в противоположную сторону — вверх (рис 7, б). Груз находится в равновесии  под действием двух сил, направленных по одной прямой в противоположные стороны, следовательно (на основании второй аксиомы статики), эти силы равны по модулю, т. е. Fa = F = 20 кН.

      Упражнение 2

      1.  В каких связях, перечисленных ниже, реакции всегда направлены по нормали к поверхности?

А. Гладкая плоскость. Б. Гибкая связь. В. Жесткий стержень. Г. Шеро­ховатая поверхность.

      2.  К чему  приложена  реакция опоры?

А. К самой опоре. Б. К опирающемуся телу.   

ПЛОСКАЯ   СИСТЕМА   СХОДЯЩИХСЯ   СИЛ

Геометрический метод сложения сил, приложенных в одной точке

      Силы называют сходящимися, если их линии действия пересе­каются в одной точке. Различают плоскую систему сходящихся сил, когда линии действия всех данных сил лежат в одной пло­скости, и пространственную систему сходящихся сил, когда ли­нии действия сил лежат в разных плоскостях.

      На основании следствия из третьей аксиомы силу можно переносить по линии ее действия, поэтому сходящиеся силы всегда можно перенести в одну точку — в точку пересечения их линий действия. Выполнив перенос, на рис. 8, а получим четыре силы _,  приложенные к точке К. Для определения их рав­нодействующей сложим последовательно все данные силы, исполь­зуя правило треугольника (рис. 8, б).

      Находим частичные равнодействующие:

 

и, наконец, сложив все силы, определяем полную равнодейству­ющую      

  Промежуточные векторы ₁₂ и _{12 3} можно не строить, а после­довательно, в указанном выше порядке одну за другой отложить все заданные силы и начало первой соединить с концом послед­ней. Фигура OABCD (см. рис. 8, б) называется силовым много­угольником.   Замыкающая   сторона  этого   многоугольника   представляет собой равнодействующую F_Σ заданной системы сил, равную их геометрической сумме. Необходимо обратить внимание на то, что равнодействующая сила F_Σ всегда направлена от начала первого слагаемого к концу последнего слагаемого. Иными сло­вами, стрелка равнодействующей силы всегда направлена на­встречу обхода многоугольника, соответствующему последова­тельному сложению заданных сил (см.  рис. 8, б).

      Когда при построении силового многоугольника конец послед­ней  слагаемой силы совместится  с  началом первой,  равнодействующая F_Σ системы сходящихся сил окажется равной нулю. В этом случае система сходящихся сил находится в равновесии.

      Самозамыкание силового многоугольника данной системы схо­дящихся сил является геометрическим условием ее равновесия.

 

Проекция силы на ось

      Решение задач на равновесие сил с помощью построения замкнутых силовых многоугольников в большинстве случаев сопряжено с громоздкими построениями. Более общим и универсальным методом решения таких задач является переход к определению проекций заданных сил на координатные оси и оперирование с этими проекциями. Осью называют прямую ли­нию, которой приписано определенное направление. Проекция вектора на ось является скалярной величиной, которая опреде­ляется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на нее из начала и конца вектора.

      Проекция вектора считается положительной (+), если направ­ление от начала проекции к ее концу совпадает с.положительным направлением оси. Проекция вектора считается отрицательной (-), если направление от начала проекции к ее концу противоположно    положительному     направлению    оси.

      Рассмотрим    ряд   случаев   прое­цирования сил на ось:

      1. Вектор силы F (рис. 12, а) составляет с положительным напра­влением оси х острый угол а. Чтобы найти проекцию, из начала и конца вектора силы опускаем перпендикуляры на ось х; получаем

F_x = F cos a. 

                                                                                                  (4)

      Проекция вектора в данном слу­чае положительна.

      2. Сила  (рис. 12, б) составляет с положительным направле­нием оси х тупой угол а. Тогда F_x = F cos а, но так как а =  180° — β,

F_x = F  = F =  - F

т. е. F_x = - F cos β.  Проекция силы F на ось х в данном случае отрицательна..

      3. Сила F (рис. 12, в) перпендикулярна оси х. Проекция силы F на ось х равна нулю                                   F_x = F cos 90° = 0.

      Итак, проекция силы на ось координат равна произведению модуля силы на косинус угла между вектором силы и положитель­ным  направлением  оси.

      Силу, расположенную на плоскости хОу (рис. 13), можно спроектировать на две координатные оси Ох и Оу. На рисунке изображена сила  и ее проекции F_x и F_y. Ввиду того что проек­ции образуют между собой прямой угол, из прямоугольного треугольника АС В следует:

(6)

Этими формулами можно пользоваться для определения модуля и направления силы, когда известны ее проекции на координат­ные оси.

Проекция векторной суммы на ось

      Рассмотрим сходящиеся силы  3, (рис. 14, а). Геометрическая сумма, или равнодействующая, этих сил F_s опре­деляется    замыкающей    стороной     силового    многоугольника (рис. 14, б)

Опустим из вершин силового многоугольника на ось х пер­пендикуляры.

 

 Рассматривая   полученные   проекции сил непосредственно из выполненного   построения,   имеем

                                                                                                                                               (7)

или

                                                                                                                                               (7a)

где п — число слагаемых векторов. Их проекции входят в урав­нение (7а) с соответствующим знаком.

      Итак,  проекция векторной суммы или равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. В плоскости геометрическую сумму сил можно спроецировать на две координатные оси, а в простран­стве — соответственно на три.

Упражнение 4

      1.  Определить модуль и направление силы, если известны ее проекции F_x =  30 Н; F_y = 40 Н.

      2.  При каком значении угла β между силой и осью проекция силы равна

нулю?

      А. β = 0.     Б. β = 90°.      В. β = 180°.

      3.  Определить проекцию равнодействующей силы на ось у, если известны проекции каждого из слагаемых векторов: F_1y=40 H;    F_2y = 60 Н;    F₃y = —100 Н;     F_4y = —120 Н

Аналитическое определение значения и направления равнодействующей плоской системы

сходящихся сил (метод проекций)

      В системе сходящихся сил равнодействующая может быть найдена через проекции составляющих. Рассмотрим ее определение на примере системы сил  3, изображенной на рис. 15, а.

Равнодействующая этих сходящихся сил построена на рис. 15, б:

 

    Проектируя  все силы на оси Ох и Оу и используя  теорему о проекции векторной суммы                    (см. § 8), получаем:

 

      Численное значение равнодействующей силы  через ее проекции определяется  по  формуле

      Подставив в уравнение (8) значение проекций   F   и   F найдем 

      Направление  определим по косинусам углов, которые эта сила образует с координатными осями:

Уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил

      Как было показано в § 6, сходящаяся система сил находится в равновесии в случае замкнутости силового многоугольника Равнодействующая при этом равна нулю (F_Σ = 0). Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны суммам проекций составляющих сил на те же оси (см. § 9):

 

                                                                                                                                            (11)

     Значение   равнодействующей   определится   по   формуле   (9) Оба слагаемых,   стоящих  под знаком  корня,   во  всех  случаях положительны   как  величины,   возведенные в квадрат.  Поэтому F_Σ = 0 только при выполнении условий:

                                                                                                                                            (12)

      Рассматриваемая система сходящихся сил находится в равно­весии, когда алгебраические суммы проекций ее слагаемых на каж­дую из двух координатных осей равны нулю.

      Зависимости (12) называют уравнениями равновесия плоской системы сходящихся сил и используют при аналитическом реше­нии задач.

Решение задач на равновесие плоской системы сходящихся сил

      Непосредственное применение условий равновесия в геоме­трической форме дает наиболее простое решение для системы трех сходящихся сил. При наличии в системе четырех и более сил рациональнее применять аналитический метод, который является универсальным и применяется чаще всего. При аналитическом методе решение этих задач выполняется на основе уравнений равновесия     по     следующему

плану:                                                              

       первый      этап — выделяют    объект равновесия—тело или точку, где пересекаются линии действия всех сил, т. е. точку,    равновесие   которой  в данной     задаче    следует    рассмотреть;                       

      второй   этап — к   выделен­ному     объекту    равновесия     прикладывают    заданные    силы;        третий этап — выделенную точку или тело освобождают от связей,  их действие заменяют реакциями;

      четвертый этап — выбирают координатные оси и составляют уравнения  .равновесия;

пятый этап — решают уравнения равновесия; шестой этап — проверяют правильность решения.       Остановимся еще на одном важном вопросе. В задачах ста­тики часто приходится определять усилия в стержнях. Необ­ходимо установить, как действуют растягивающие и сжимающие силы в стержнях на точки крепления стержней или узлы. Когда стержень MN растянут (рис. 16, а), его реакции на точки креп­ления направлены от этих точек М и N внутрь стержня. Когда стержень сжат, его реакции направлены к точкам закрепления, т. е. наружу (рис. 16, б). Следовательно, можно сказать, что в рас­тянутом стержне реакции направлены от узлов внутрь стержня, в сжатом — к узлам наружу от стержня, по аналогии с деформи­рованной пружиной.

      Часто при решении задач трудно заранее определить направле­ние усилий в стержнях. В этих случаях удобно считать стержни растянутыми и их реакции направлять от узлов. Если решение задачи даст значение реакции со знаком минус, то в действитель­ности имеет место не растяжение, а сжатие. Таким образом, реакции растянутых стержней будут положительными, а сжатых— отрицательными.

      Пример 3. К кронштейну ABC в точке В подвешены два груза: груз G₁ = 6ОО Н непосредственно и груз G₂ = 400 Н через отводной блок D (рис. 17, а).

      Определить   усилия   в   стержнях   АВ и ВС  кронштейна.

      Решение.   В точке В пересекаются линии действия заданных сил G₁ и G₂ и искомых реакций   стержней   АВ   и   СВ,   поэтому   выделяем узел В (рис. 17, б), который в данной задаче рассматривается как объект равновесия. Прикладываем к этому узлу заданные силы ₁ направленную   вертикально, и

₂, направленную вдоль троса. При этом учитываем, что неподвижный блок D изменяет направление силы, но не влияет на ее значение. Освобождаем узел В от связей, которые осуществляются стержнями АВ и ВС. Прикладываем вместо них реакции стержней ₁ и ₂, направляем их вдоль стержня от узла, т. е. пола­гаем,  что в обоих стержнях АВ и ВС действуют растягивающие усилия.

Выбираем координатные оси х и у (при выбранном направлении осей   большинство проекций имеют знак плюс) и составляем уравнения равновесия:  

                                          

 

      Решив уравнения равновесия,  находим:

 

      Знак минус перед численным значением реакции R₂ показывает, что  стер­жень ВС не растянут,  как предполагалось,  а сжат.

Упражнение 5

      1.  Определить модуль равнодействующей системы сходящихся сил, если проекции слагаемых векторов равны: F _1X = 50 Н; F_2X = —30 Н; F_3X = 60 Н; F_4X = 70 Н;  F_1Y = —70 Н;  F_2Y = 40 Н;                        F_3Y = 80 Н;   F_4Y = —90 Н.

      2.  В каком из указанных случаев плоская система сходящихся сил уравно­вешена?

 

      3. Какая из приведенных ниже систем  уравнений равновесия справедлива для изображенной   на   рис. 18   системы   сходящихся   сил?

               

 

Рис. 18

ПАРА   СИЛ   И   МОМЕНТЫ   СИЛ

Пара сил и ее действие на тело

      Две равные и параллельные силы, направленные в противо­положные стороны и не лежащие на одной прямой, называются парой сил. Примером такой системы сил могут служить усилия, передаваемые руками шофера на рулевое колесо автомобиля. Пара сил имеет большое значение в практике. Именно поэтому свойства пары как специфической меры механического взаимо­действия тел изучаются отдельно.

      Сумма проекций сил пары на ось х и на ось у равна нулю (рис. 19, а), поэтому пара сил не имеет равнодействующей. Несмотря на это тело под действием пары сил не находится в   равновесии.

     Действие пары сил на твердое тело, как показывает опыт, состоит в том, что она стремится вращать это тело. Способность пары сил производить вращение определяется моментом пары, равным произведению силы на кратчайшее расстояние (взятое по перпендикуляру к силам) между линиями действия сил. Обо­значим момент пары М, а кратчайшее расстояние между силами а, тогда абсолютное значение момента (рис. 19, а)

М = Fa = F'a.

      Кратчайшее расстояние между линиями действия сил назы­вается плечом пары, поэтому можно сказать, что момент пары сил по абсолютному значению равен произведению одной из сил на ее плечо.

      Эффект действия пары сил полностью определяется ее момен­том. Поэтому момент пары сил можно показывать дугообразной стрелкой,  указывающей направление вращения.  Так как пара

 

Рис. 19

сил не имеет равнодействующей, ее нельзя уравновесить одной силой. Момент пары в СИ измеряется в ньютонометрах (Н*м) или в единицах, кратных ньютонометру: кН*м, МН*м и т.д.-     Момент пары сил будем считать положительным, если пара стремится повернуть тело по направлению хода часовой стрелки (рис. 19, а), и отрицательным, если пара стремится вращать тело против хода часовой стрелки (рис. 19, б). Принятое правило знаков для моментов пар условно: можно было бы принять про­тивоположное  правило.

Упражнение 6

1.  Определить,   на   каком   рисунке   изображена   пара   сил: А. Рис. 20, а. Б. Рис. 20, б. В. Рис. 20, в.         Г. Рис. 20, г.

2.  Что   определяет   эффект  действия   пары   сил?                                                                                                                  А. Произведение силы на плечо. Б. Момент пары и направление поворота.                                                                                                         3. Чем можно уравновесить  пару сил?                                                                                                                                                                      А. Одной силой. Б. Парой сил.

 

                                                                                                                                                                                      Рис. 20

Эквивалентность пар

      Две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной пары другой парой механическое состояние тела не изменяется, т. е. не изменяется движение тела или не нарушается его равновесие.

      Эффект действия пары сил на твердое тело не зависит от ее положения в плоскости. Таким образом, пару сил можно перено­сить в плоскости ее действия в любое положение.

      Рассмотрим еще одно свойство пары сил, которое является осно­вой для сложения пар.

      Не нарушая состояния тела, можно как угодно изменять мо­дули сил и плечо пары, только бы момент пары оставался неиз­менным.

      Заменим пару сил F₁ F₁^/ с плечом а (рис. 21, а) новой парой   F₂ F₂^/   с плечом b (рис. 21, б) так, чтобы момент   пары   оставался   тем же.

Момент заданной пары сил М₁ = F₁a. Момент новой пары сил М₂ = F₂b. По определению пары сил эквивалентны, т. е. произ­водят одинаковое действие,  если их моменты равны.

      Если, изменив значения сил и плечо новой пары, мы сохраним равенство их моментов  M₁ = М₂ или F₁a = F₂b, то состояние тела от такой замены не нарушится.

      Итак, вместо заданной пары F₁ F₁^/  с плечом а мы получили эквивалентную пару F₂ F₂^/  с плечом b.

Упражнение 7

1.  Зависит ли эффект действия пары сил на тело от ее положения в пло­скости?

А. Да. Б. Нет.

2.  Какие  из   приведенных   ниже  пар  эквивалентны?

А. а) сила пары 100 кН, плечо 0,5 м; б) сила пары 20 кН, плечо 2,5 м; в) сила пары 1000 кН, плечо 0,05 м. Направление всех трех пар одинаково. Б. а) М₁= -300 Н*м;   б) М₂ = 300 Н*м.

3.  Момент пары сил равен 100 Н*м, плечо пары 0,2 м. Определить значение сил пары. Как изменится значение сил пары, если плечо увеличить в два раза при сохранении численного значения момента.

Сложение и равновесие пар сил на плоскости

      Подобно силам, пары можно складывать. Пара, заменяющая собой действие данных  пар,   называется  результирующей.

      Как показано выше, действие пары сил полностью определяется ее моментом и направлением вращения. Исходя из этого сложение пар производится алгебраическим суммированием их моментов, т. е. момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

M = M₁ + M₂ + ... + M_n = i

      Это применимо к любому количеству пар, лежащих в одной плоскости. Поэтому при произвольном числе слагаемых пар, лежащих в одной плоскости или параллельных плоскостях, момент результирующей пары определится по формуле

где моменты пар, вращающие по часовой стрелке принимаются положительными, а против часовой стрелки — отрицательными. На основании приведенного правила сложения пар устанав­ливается условие равновесия системы пар, лежащих в одной пло­скости, а именно: для равновесия системы пар необходимо и доста­точно, чтобы момент результирующей пары равнялся нулю или чтобы алгебраическая сумма моментов пар равнялась нулю:

M = I = 0

 

                                                                                                                                     Рис. 22

 

Момент сил относительно точки и оси

      Момент силы относительно точки определяется произведением  модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы (рис.  23, а).

 

Рис. 23

      При закреплении тела в точке О сила F стремится поворачи­вать его вокруг этой точки. Точка О, относительно которой берется момент, называется центром момента, а длина перпенди­куляра а называется плечом силы относительно центра момента.

      Момент силы F относительно О определяется произведением силы на плечо

                                                   Mo () = Fa.                                                     (15)

      Измеряют моменты сил в ньютонометрах (Н*м) или в соответ­ствующих кратных и дольных единицах, как и моменты пар.

      Момент принято считать по­ложительным, если сила стре­мится вращать тело по часовой стрелке (рис. 23, а), а отри­цательным — против часовой стрелки (рис. 23, б). Когда линия действия силы проходит через данную точку, момент силы относительно этой точ­ки равен нулю, так как в рассматриваемом   случае   плечо а = 0 (рис. 23, в).

      Между моментом пары и моментом силы есть одно существен­ное различие. Численное значение и направление момента пары сил не зависят от положения этой пары в плоскости. Значение и направление (знак) момента силы зависят от положения точки, относительно которой определяется момент.

      Рассмотрим, как определяется момент силы относительно оси.

      Из опыта известно, что ни сила ₁  (рис. 24), линия действия которой пересекает ось Oz, ни сила F₂, параллельная оси, не смо­гут повернуть тело вокруг этой оси, т. е. не дают момента.                                        

      Пусть на тело в какой-то точке  (рис. 25) действует сила .Проведем плоскость Н, перпендикулярную оси Оz и проходящую через начало вектора силы. Разложим заданную силу F на две составляющие: ₁ расположенную в плоскости Н, и F₂, парал­лельную оси Оz.

      Составляющая ₂, параллельная оси Оz, момента относительно  этой оси не создает. Составляющая ₁ , действующая в плоскости Н, создает момент относительно оси Оz или,  что то же  самое,   относительно   точки О. Момент силы ₁  из­меряется произведением модуля самой силы на длину а перпендикуляра, опущенного из точки О на направление этой силы, т. е.

M_z () = F₁ a

     Знак момента по об­щему правилу опреде­ляется направлением вра­щения тела: плюс (+) — при движении по часовой стрелке, минус (—) — при движении против часовой стрелки. Для опре­деления знака момента наблюдатель должен непременно на­ходиться со стороны положительного направления оси. На рис. 25  момент силы относительно оси Оz положителен, так как для

наблюдателя, смотрящего со стороны положительного направле­ния оси (сверху), тело под действием заданной силы представляется вращающимся вокруг оси по ходу часовой стрелки.

 Если сила  (рис. 24) расположена в плоскости Н, перпен­дикулярной оси Оz, момент этой силы определится произведением полной ее величины на плечо / относительно точки пересечения оси О и плоскости H:

                      M_z () = F l

      Следовательно, для определения момента силы относительно оси нужно спроецировать силу на плоскость, перпендикулярную оси, и найти момент проекции силы относительно точки пере­сечения оси с этой плоскостью.

 

 

СИСТЕМА   ПРОИЗВОЛЬНО   РАСПОЛОЖЕННЫХ   СИЛ. 

Приведение силы к точке

      Рассмотрим   случай   переноса   силы   в   произвольную   точку, не лежащую на линии действия силы (рис. 28).

      Возьмем силу , приложенную в точке С. Требуется перенести эту силу параллельно самой себе в некоторую точку О. Приложим в точке О две силы ^/ и ^//,противоположно направленные, равные по значению и параллельные заданной силе , т. е. F' = F" — F.От приложения в точке О этих сил состояние тела не изменяется, так  как  они  взаимно  уравновешиваются.   Полученную систему трех сил можно рассматривать как состоящую из силы ', при­ложенной   в точке  О, и пары  сил   ^//  с моментом М = Fa.Эту пару сил   называют при­соединенной, а ее плечо а равно

плечу   силы   относительно точки О.

Таким образом, при приведении силы    к точке, не лежащей на линии действия силы, получается эквивалентная система, состоящая из силы, такой же по  модулю   и   на-

правлению, как и сила  , и присоединенной пары сил, момент которой равен моменту данной силы относительно точки приведения:

M₀ () = F a

В  качестве  примера  приведения  силы  рассмотрим действие силы  на конец С защемленного стержня  (рис. 28, б). После приведения силы  в точку О защемленного сечения обнаруживаем в нем силу _1, равную и параллельную заданной, и присоединенный  момент М,  равный   моменту  заданной   силы   относи­тельно точки приведения О,

М = М₀ = F l

 
 

      Приведение плоской системы сил к данной точке

      Описанный   метод   приведения   одной   силы   к  данной   точке можно  применить  к  какому  угодно числу  сил.  Допустим,   что в точках тела А, В, С и D (рис. 30) приложены силы F_lt F₂, F₃

 и F₄.

Требуется привести эти силы к точке О плоскости. При ведем сначала силу ₁ , приложенную в точке А. Приложим (см.§ 16) в точке О две силы ₁^/ и ₂^//,  равные порознь по  значению

заданной силе _1t параллельные ей и направленные в противоположные стороны.   В   результате   приведения   силы   ₁   получим силу ₁^/, приложенную в точке О, и пару сил ₁^/₁^// с плечом а₁.

Поступив таким же образом с силой F₂, приложенной в точке В,получим силу ₂, приложенную в точке О, и пару сил с плечом а₂

и т. д.

      Плоскую систему сил, приложенных в точках А, В, С и D,  мы заменили сходящимися силами ₁^/, ₂, ₃^/, ₄^/, приложенными в точке О, и парами сил с моментами, равными моментам задан­ных сил относительно точки О:

 

А                 F₁                     m           В       1 задача

                                  F₂                                                             F₁ = 6 kH;    F₂ = 12 kH;  m = 15 kH*м

                                                                                 ___________________________

1,5 м               2 м               1 м                                Определить реакции опор

__________________________________________________________________________________

                                                              2 задача

А                     F₂                      m        В                            F₁ = 16 kH;    F₂ = 10 kH;  m = 4 kH*м

                                                                    ____________ _________________________

      F₁                                                                                                    Определить реакции опор

2 м        1 м           2 м           1 м

__________________________________________________________________________________

                                                            3 задача                         F₁ = 25 kH;    F₂ = 20 kH;  m = 12 kH*м

                 F₁                     F₂                                              m                        -------------------------------------------

А                                                               В                                     Определить реакции опор

1 м                 2 м              1 м          1,5 м

__________________________________________________________________________________

                              F₂                                                4 задача

А                                                      m      В                     F₁ = 10 kH;    F₂ = 16 kH;  m = 4 kH*м

                                                                                            -------------------------------------------

          F₁                                                                                                                Определить реакции опор

1 м             3 м                    2 м

__________________________________________________________________________________

                                                                  5 задача

А   m      F₁                                                          B                F₁ = 20 kH;    F₂ = 14 kH;  m = 15 kH*м

                                           F₂                                                            -----------------------------------------

     2 м                  3 м                1 м                                   Определить реакции опор

     Целью данной разработки является научить учащихся определять момент силы относительной точки, приводить силу к произвольной точке (центру приведения), приводить систему сил к центру и определять величину гл. вектора R¹ и гл. момента М₀ данной системы сил. Рассмотрены также различные варианты приведения системы сил к центру на конкретных примерах.

     Учитывая, что в статике рассматривается равновесие тел и точек под действием различных систем сил, то основное внимание уделено условию равновесия плоской системы сил, даны три формы уравнений равновесия, даны рекомендации к решению задач на равновесие, рассмотрены примеры решения задач различной степени сложности с проведением проверки правильности решения.

     Заключительной частью изучения этого раздела является проведение лабораторной работы, в которую включены все выше рассмотренные вопросы.

Урок № 5

Тема: Плоская система произвольно расположенных сил.

Целью этого урока являются:

     1.  Изучить важнейший материал «Момент силы относительной точки», который является базовым при изучении в статике систем сил, а так же в разделе «Сопротивление материалов» при изучении деформации изгиба, так же этот материал необходимо знать при расчете раздела «Валы и оси» в деталях машин.

     2.  Научить учащихся производить приведение силы к данной точке и системы сил к точке.

     3.   На примерах изучить частные случаи приведения

                                                      - условие равновесия, которое изучается в разделе

«Статика».

ПАРА   СИЛ   И   МОМЕНТЫ   СИЛ

1.      Пара сил и ее действие на тело

      Две равные и параллельные силы, направленные в противо­положные стороны и не лежащие на одной прямой, называются парой сил. (Примером такой системы сил могут служить усилия, передаваемые руками шофера на рулевое колесо автомобиля.)     

      Сумма проекций сил пары на ось х и на ось у равна нулю (рис. 19, а), поэтому пара сил не имеет равнодействующей. Несмотря на это тело под действием пары сил не находится в   равновесии, она стремится вращать это тело.

     Способность пары сил производить вращение определяется моментом пары   М,

М = Fa = F'a.

      Кратчайшее расстояние между линиями действия сил назы­вается плечом пары а, поэтому можно сказать, что момент пары сил по абсолютному значению равен произведению одной из сил на ее плечо.

 

      Момент пары в СИ измеряется в ньютонометрах Н*м или в единицах, кратных ньютонометру: кН*м, МН*м и т.д.

      Момент пары сил будем считать положительным, если пара стремится повернуть тело по направлению хода часовой стрелки (рис. 19, а), и отрицательным, если пара стремится вращать тело против хода часовой стрелки (рис. 19, б).

2.      Сложение и равновесие пар сил на плоскости

      Подобно силам, пары можно складывать. Пара, заменяющая собой действие данных  пар,   называется  результирующей. Сложение пар производится алгебраическим суммированием их моментов, т. е. момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар.

M = M₁ + M₂ + ... + M_n = i

      где моменты пар, вращающие по часовой стрелке принимаются положительными, а против часовой стрелки — отрицательными.

      Для равновесия системы пар необходимо и доста­точно, чтобы момент результирующей пары равнялся нулю или чтобы алгебраическая сумма моментов пар равнялась нулю:

M = _i = 0

 

3.      Момент сил относительно точки и оси

      Момент силы относительно точки определяется произведением  модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы (рис.  23, а).

 

Рис. 23

      При закреплении тела в точке О сила F стремится поворачи­вать его вокруг этой точки. Точка О, относительно которой берется момент, называется центром момента, а длина перпенди­куляра а называется плечом силы относительно центра момента.

      Момент силы F относительно О определяется произведением силы на плечо

                                                          Mo () = Fa.                                                    

      Измеряют моменты сил в ньютонометрах (Н*м) или в соответ­ствующих кратных и дольных единицах, как и моменты пар.

      Момент принято считать по­ложительным, если сила стре­мится вращать тело по часовой стрелке (рис. 23, а), а отри­цательным — против часовой стрелки (рис. 23, б). Когда линия действия силы проходит через данную точку, момент силы относительно этой точ­ки равен нулю, так как в рассматриваемом   случае   плечо а = 0 (рис. 23, в).

      Между моментом пары и моментом силы есть одно существен­ное различие. Численное значение и направление момента пары сил не зависят от положения этой пары в плоскости. Значение и направление (знак) момента силы зависят от положения точки, относительно которой определяется момент.

СИСТЕМА   ПРОИЗВОЛЬНО   РАСПОЛОЖЕННЫХ   СИЛ. 

1.      Приведение силы к точке

      Рассмотрим   случай   переноса   силы   в   произвольную   точку, не лежащую на линии действия силы (рис. 28).

      Возьмем силу , приложенную в точке С. Требуется перенести эту силу параллельно самой себе в некоторую точку О. Приложим в точке О две силы ^/ и ^//,противоположно направленные, равные по значению и параллельные заданной силе , т. е. F' = F" — F.От приложения в точке О этих сил состояние тела не изменяется, так  как  они  взаимно  уравновешиваются.   Полученную систему трех сил можно рассматривать как состоящую из силы ', при­ложенной   в точке О, и пары  сил   ^//  с моментом                              М = Fa.  Эту пару сил   называют при­соединенной, а ее плечо а равно плечу   силы   относительно точки О.

      Таким образом, при приведении силы    к точке, не лежащей на линии действия силы, получается эквивалентная система, состоящая из силы, такой же по  модулю   и   направлению, как и сила  , и присоединенной пары сил, момент которой равен моменту данной силы относительно точки приведения:

M₀ () = F a

      В  качестве  примера  приведения  силы  рассмотрим действие силы  на конец С защемленного стержня  (рис. 28, б). После приведения силы  в точку О защемленного сечения обнаруживаем в нем силу _1, равную и параллельную заданной, и присоединенный  момент М,  равный   моменту  заданной   силы   относи­тельно точки приведения О,

М = М₀ = Fl

2.      Приведение плоской системы сил к данной точке

      Описанный   метод   приведения   одной   силы   к  данной   точке можно  применить  к  какому  угодно числу  сил.  Допустим,   что в точках тела А, В, С и D (рис. 30) приложены силы F_1, F₂, F₃ и F₄. Требуется привести эти силы к точке О плоскости. При ведем сначала силу ₁ , приложенную в точке А. Приложим (см.§ 16) в точке О две силы ₁^/ и ₂^//,  равные порознь по  значению заданной силе _1t параллельные ей и направленные в противоположные стороны.   В   результате   приведения   силы   ₁   получим силу ₁^/, приложенную в точке О, и пару сил ₁^/₁^// с плечом а₁.

      Поступив таким же образом с силой F₂, приложенной в точке В,получим силу ₂, приложенную в точке О, и пару сил с плечом а₂

и т. д.

      Плоскую систему сил, приложенных в точках  А, В, С и D,  мы заменили сходящимися силами ₁^/, ₂, ₃^/, ₄^/, приложенными в точке О, и парами сил с моментами, равными моментам задан­ных сил относительно точки О:

 

      Сходящиеся в точке силы можно заменить одной силой '_ГЛ  равной  геометрической  сумме  составляющих,

'_ГЛ  =  '₁ +  '₂ + '₃ +   '₄ =  ₁ +  ₂ + ₃ +   ₄  = _i

      Эту силу, равную геометрической сумме заданных сил, называют   главным   вектором   системы  сил   и обозначают F'_ГЛ

      На основании правила сложения пар сил их можно заменить результирующей парой, момент которой равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки О и называется главным моментом относительно точки приведения

М_ГЛ = М₁ + М₂ + М₃ + М₄  = = ₀ (_i)

      Следовательно, в общем случае плоская система сил в ре­зультате приведения к данной точке О заменяется эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы (главного вектора) и одной пары   (главного   момента).

3.      Частные случаи приведения системы сил.

       Задача. По сторонам квадрата приложены четыре равные по модулю силы. Привести их к данной точке О и определить величину главного вектора  F'_ГЛ и величину главного момента М_ГЛ

                         Дано: F₁ =F₂ = F₃ = F₄ = 100 н;   а = 0,2 м

Случай 1.

 

                     F^/_ГЛ  =

                     М_ГЛ = Σ М₀ (F_i)

1). Проектируем силы по оси координат.

F_lx = 0.   F_2x = -F₂ = -100 h.

F_3x = 0.   F_4x = -F₄ = -100 h.

Σ F_ix = -200 H

F _1y = F₁ = 100h.     F_2y = 0.     F_3yx = F₃ = -100H.     F_4y = 0.     Σ F_i = 2OO h

F^/_ГЛ  =(-200)²+200² = 141 н.

2).Определяем момент сил относительно точки О.                                            

М₀ (F₁) = 0.     М₀ (F₂) = -F₂* a = -100*0.2 = -20[н м.]

М₀ F₃ = -F₃*a = -20 нм.     М₀ (F₄) = 0

М _ГЛ =Σ M _i = - 40 [н.м]

Система сил, приведенная к главному вектору F^/_ГЛ  и главному моменту М _ГЛ: общий случай.

Случай 2.

1). Проектируем силы по оси координат

F_lx = 0.     F_2x = F₂ =100 h.

F_3x = F₃ = 100 н.     F_4x = O

Σ F_ix = 200 н.

F_ly=F₁=100H.   F_2y = 0.   F_3y = 0.

F_4y = F₄=100h.  

Σ F_iy = 200H.

F^/_ГЛ  = 200²+200²=141 h.

M₀ (F₁) = 0.     M₀ (F₂) = 0.                                            M₀ (F₃) = F₃*a = 20 н.м.

                                                           M₀ (F₄) = -20 h.m

                                                           М _ГЛ =ΣM_i= 20 - 20 = 0.

Система сил приведена к одной равнодействующей равной гл. вектору F^/_ГЛ  

Случай 3

1. Проектируем силы на оси координат

Fi_x= 0. F_2x =F₂ =100h.    F_3x = 0.   F₄ = - F₄= -100h

ΣF_ix =100 -100 = 0

F^/_ГЛ  = 0

2. Определяем момент сил относительно т. О.

M₀(F₁)=0.   M₀(F₂) =F₂ * а = 20нм.  M₀(F₃ ) =20hm.   M₀(F₄) = 0

М _ГЛ =20+20=40нм

В этом случае система сил приведена к главному моменту М _ГЛ

Случай 4

            1.  Проектируем силы на оси координат

F_1x=0;    F_2x = F₂ =100h;  F_3x = - F₃= - 100h;   F_4x=0         Σ F_ix =100 -100=0           F_ГЛ = 0

          2.   Определяем момент сил

Mo(F₁) = O.    M₀(F₂) = 0                                                              M₀(F₃) = - F₃* a= -20нм.  Mo(F₄) = F₄* а=20нм М₀ =Σ М_i = 0 т.е.

М _ГЛ =0   F^/_ГЛ  = 0

В этом случае система сил находится в равновесии (случай равновесия и рассматривается в статике).

     Можно доказать, что в общем случае, когда М _ГЛ =0 и  F^/_ГЛ  = 0, всегда  есть  точка,   относительно  которой   главный   момент  сил равен нулю.

     Рассмотрим плоскую систему сил, которая приведена к точке О,  т. е. заменена главным вектором F^/_ГЛ  ≠ 0, приложенным в точке О, и   главным  моментом М _ГЛ ≠ 0        (рис.   31).   Изобразим этот главный момент парой сил FF", модуль которых выберем равным модулю главного вектора   F'_ГЛ  т. е. F_Σ =  F"= F'_ГЛ. Одну из сил, составляющих пару   (силу F"), приложим   в центре   приведения   О, другую силу (F_Σ)   в  точке С, поло­жение которой определится из усло­вия:   М_ГЛ = ОС*F_Σ.    Следовательно

ОС = М_ГЛ / F_Σ

     Расположим пару сил F_Σ F"-  так, чтобы   сила   F"   была    направлена в  сторону,  противоположную  главному    вектору    F'_ГЛ.    В    точке О(рис 31) имеем две равные взаимно противоположные силы F _ГЛ и F", направленные по одной прямой; их можно отбросить (согласно третьей аксиоме). Следовательно, относительно точки С главный момент рассматриваемой  системы сил  равен  нулю,  и система приводится  к равнодействующей F_Σ.

4.      Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона).

5.       

     В общем случае (см. § 17) произвольная плоская система сил приводится к главному вектору F'_ГЛ и к главному моменту M_ГЛ  относительно выбранного центра приведения, причем главный момент равен алгебраической сумме моментов заданных сил относительно точки  О:

М_ГЛ = Σ М₀ (F_i)

     Было показано, что можно выбрать центр приведения (рис. 31* точка С), относительно которого главный момент системы будет равен нулю,   и  система сил  приведется   к одной  равнодействующей   F_Σ,   равной   по   модулю   главному    вектору    (F_Σ = F^/_ГЛ).Определим момент равнодействующей Р_ъ  относительно точки О.

    Учитывая, что плечо ОС силы F равно M_ГЛ /F_ГЛ , получаем

M₀(F_Σ) = F_Σ(M _ГЛ /F_ГЛ ) = M_ГЛ.

    Две величины, порознь равные третьей, равны между собой, поэтому из уравнений (а) и (б) находим

М₀(_Σ) = ₀ (_i)

     Полученное уравнение выражает теорему Вариньона: момент равнодействующей плоской системы сил относительно произ­вольно взятой точки равен алгебраической сумме моментов состав­ляющих сил относительно той же точки.

     Из теоремы Вариньона следует, что главный момент плоской системы сил относительно любой точки, лежащей на линии дей­ствия ее равнодействующей, равен нулю. Рассмотрим применение теоремы Вариньона на конкретных примерах.

Пример

     Выполните построение, необходимое для приведения сил, показанных на рис. 33, к центру приведения (точке О). Определите значение и направления главного вектора и главного момента.

5.Уравнения равновесия плоской системы сил

     Плоская система сил может быть приведена к главному век­тору и главному моменту. Поэтому условия равновесия сил на плоскости,  как показано выше,  имеют вид:

     Итак, для равновесия системы сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нулю.

     Главный вектор F'_ГЛ представляет собой геометрическую сумму всех сил, составляющих систему и перенесенных в центр приве­дения. Модуль главного вектора можно определить через проек­ции на координатные оси всех сил системы. Применив для сумм проекций всех сил на оси х и у обозначения     _ix и  _iy получим для значения  главного вектора выражение

 

                                                                                                          0

     Главный вектор равен нулю, если оба слагаемых под корнем равны   нулю,   т. е.

_ix = 0; _iy = 0

     Кроме того, для равновесия необходимо, чтобы главный мо­мент также был равен нулю, т. е.

_ГЛ (_i) = 0

 

6.      Опорные устройства балочных систем

7.       

     Очень часто в машинах и конструкциях встречаются тела удлиненной формы, называемые балками (или балочными систе­мами). Балки в основном предназначены для восприятия попереч­ных нагрузок. Балки имеют специальные опорные устройства для . сопряжения их с другими элементами и передачи на них усилий. Применяются  следующие виды опор.

     Шарнирно-подвижная опора (рис. 36, а). Такая опора допу­скает поворот вокруг оси шарнира и линейное перемещение па­раллельно опорной плоскости. В этой опоре известны точка приложения опорной реакции — центр шарнира и ее направление —

перпендикуляр к опорной плоскости. Здесь остается неизвестным числовое значение опорной реакции _{A .} Условное изображение опоры показано на рис. 36, а.

     Следует отметить, что опорная поверхность шарнирно - подвижной опоры может быть непараллельна оси балки (рис.  36, б).

     Реакция _А в этом случае не будет перпендикулярна оси балки, так как она перпендикулярна опорной поверхности.

 

     Шарнирно-неподвижная опора (рис. 36, в). Эта опора допу­скает поворот вокруг оси шарнира, но не допускает никаких ли­нейных перемещений. В данном случае известна только точка приложения   опорной   реакции — центр   шарнира;   направление и значение опорной реакции неизвестны. Обычно вместо определения значения и направления (полной) реакции _А находят ее составляющие _Аx и _Аy

     Жесткая заделка (защемление) (рис. 36, г). Такая опора не допускает ни линейных перемещений, ни поворота. Неизвестными в данном  случае  являются  не только значение и направление реакции, но и точка ее приложения. Поэтому жесткую заделку

заменяют силой реакции _А и парой сил с моментом М_A.

Для определения опорной реакции следует найти три неизвестных:  составляющие _Аx и _Аy опорной  реакции  по   осям координат и  реактивный момент М_А.

 

m                             F₁                         F₂      F₁ = 6 kH    F₂ = 20 кН    m = 12 kH*м                            

А                                             В                        -----------------------------------------

                             Определить реакции опор

                  4м                 1м          2м                               6 задача

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

         F₁                                           7 задача

А                                 m         В                 F₁ = 15 kH      F₂ = 9 kH     m = 14 kH*м

                              FF                                                         --------------------------------------

     2м            3м    F₂       2м                                        Определить реакции опор

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

                                                                                      8 задача

А            m                                         F₁             В                         F₁ = 18 kH   F₂ = 5 kH         

                                                                                                               m = 11 kH*м

F₂         1м                              2,5м                    0,5м                    -----------------------------------

                                                                                                     Определить реакции опор

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

9 задача

                                                                    m                            F₁ = 12 kH   F₂ = 4 kH

          А         F₁                         F₂                В                           m = 5 kH*м

                                                                                            -------------------------------------

                1м                  2м                   1м                                Определить реакции опор

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10 задача

                                                                    m                            F₁ = 5 kH   F₂ = 8 kH

          А                                      F₂                В                           m = 11 kH*м

                                                                                            -------------------------------------

                1м      F₁         4м                   1м                                Определить реакции опор

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

1.      Центр параллельных сил.

     Любое тело можно рассматривать как состоящее из большого числа малых частиц, на которые действуют силы тяжести. Приложенные к частицам силы тяжести параллельны и вертикальны. Следовательно, силы тяжести от­дельных частиц тела образуют систему параллельных сил. Равно­действующую этих сил называют силой тяжести (вес тела).

     Пусть в точках А и В на тело действуют параллельные силы F₁ и F₂.   Равнодействующая этих сил равна их сумме, параллельна им, направлена в ту же сторону, а ее линия действия делит прямую АВ на части, обратно пропорциональные этим силам (см.  § 18), т. е.

                       АС/ВС = F₂/F₁

     Повернем силы ₁и ₂ на произвольный угол а, т. е. изменим их направление, сохранив параллельность. При этом равнодей­ствующая останется равной их сумме, параллельной им, направ­ленной в ту же сторону, а линия ее действия опять поделит пря­мую A Б на части, обратно пропорциональные величинам задан­ных сил. На рис. 42,  точкой С обозначено пересечение линии действия равнодействующей с линией АВ. Эта точка называется центром параллельных сил, и ее положение не зависит от направ­ления слагаемых сил. Центр параллельных сил тяжести, действующих на все ча­стицы тела, называется центром тяжести тела. Центр тяжести тела не меняет своего положения при повороте тела.

2.Координаты центра параллельных сил.

     Пусть задана система параллельных сил  ₁,  ₂ ,  ₃,… n, координаты точек С₁, С₂, С₃ ... С_n приложения этих сил известны . Обозначим точку приложения равнодействующей _Σ буквой С, ее координаты обозначим х_С, у_С.и их необходимо найти. _Σ равна алгебраической сумме составляющих сил:

                               _Σ =  ₁ +   ₂ +  ₁ +… + n =  

     Так как положение центра параллельных сил не зависит от их направления, повернем все заданные силы на угол α так, чтобы они стали параллельны оси у (рис. 42, б). Равнодействующая при этом также повернется на угол α в ту же сторону.

     Применим теорему о моменте равнодействующей (теорему Вариньона)  относительно   начала   координат  (точки   О):

 

     Поворачивая по аналогии заданные силы против часовой стрелки на угол (90^р — а) так, чтобы они стали параллельны оси х, и пользуясь теоремой о моменте равнодействующей, полу­чаем формулу для другой координаты центра параллельных сил:

 

     Положение (координаты) центра пространственной системы параллельных сил определяют  по формулам:

                                                                                                                                                                                          3.

3.Центр тяжести площадей.

Статические моменты площадей.

     В задачах часто приходиться определять центры тяжести различных сечений тел сложной формы.

      Вес каждой частицы Ai для однородного плоского тела будет пропорционален площади. Обозначим γ   - массу 1м² , тогда F_i = γ* Ai. Подставив значение F_i в формулу (3)  сократив на  γ получим формулы для определения координат центра тяжести плоской фигуры в ее плоскости.

X_c = ΣF_iX_i / ΣF_i = ΣA_i X_i / ΣA_i

Y_c = ΣF_iY_i / ΣF_i = ΣA_i Y_i / ΣA_i

A_i  - площади отдельных частей фигуры.

X_i, Y_i -координаты центров тяжести этих частей.

     Сведения о координатах центра тяжести некоторых простых :

1.      Центр тяжести параллелограмма, прямоугольника и квадрата совпадает с точкой С пересечения диагоналей

2.      Центр тяжести треугольника лежит на пересечении медиан.

3.      Центр тяжести кругового сектора                                       y_c = 0,432 r (радиуса)

Полярный и осевые моменты инерции

     В дальнейшем в расчетах на прочность мы будем встречаться еще с некоторыми геометрическими характеристиками сечений. Это так называемые моменты инерции сечений. Различают поляр­ные и осевые моменты инерции. Полярным моментом инерции сечения называется взятая по всему сечению сумма произведений  площадей на квадраты их расстоя­ний до некоторой точки О сечения (рис. 49, а)

J_p = Σ dA * ρ²

 

                                                               Рис.49

      Для поперечных сечений в форме круга или кругового кольца полярный момент инерции характеризует способность сопротив­ляться кручению и используется как геометрическая характе­ристика поперечного сечения при расчетах на кручение. Поляр­ный момент инерции измеряется в единицах длины в четвертой степени (см⁴, мм⁴, м⁴-).

     Практический интерес представляет полярный момент инер­ции относительно центра тяжести сечения.

     Величина  полярного   момента   инерции   круга определяется по следующей формуле

J_p = πd⁴/32

или  приближенно  J_p = 0,1⁴.

     Полярный момент инерции кольца равен разности полярных моментов инерции двух кругов диаметрами d_н и d_в (рис. 49, б):

J_p =0.1 d_н⁴(1-α⁴)

     Осевым моментом инерции сечения называется взятая по всему сечению сумма произведений или интеграл элементарных площадок, на квадраты их расстояний до некоторой оси, лежащей в пло­скости рассматриваемого сечения. Так, относительно осей х и у (рис. 49, в) осевые моменты инерции определяются следующими выражениями:

J_x = Σ dA * y²;            J_y = Σ dA * x²

     Величина осевого момента инерции служит характеристикой способности балки сопротивляться изгибу. Осевые моменты инер­ции, так же как полярные, всегда положительны и измеряются в единицах длины в четвертой степени (см⁴, мм⁴, м⁴).

       В практических расчетах наибольший интерес представляют моменты инерции относительно так называемых главных осей, проходящих через центр тяжести сечения. В дальнейшем будем рассматривать только сечения, имеющие не менее одной оси сим­метрии.

     Относительно одной из главных центральных осей момент инерции имеет наибольшее из всех возможных значений, а отно­сительно другой — наименьшее. Ось симметрии сечения всегда является одной из главных центральных осей, а другая главная центральная ось ей перпендикулярна.

     Для прямоугольного сечения (рис. 50, а) осевой момент инер­ции  определяется  по формуле

J_x =bh³/12

     Oсевой момент инерции круглого сечения относительно центральной оси х (рис. 50, б),определяют по формуле:

J_x = J_y =J_p/2= πd⁴/64 = 0,05d⁴

     Аналогично для   кольцевого сечения  (см.   рис.  49, б)

J_x = J_y =J_p /2= 0,05d_н⁴(1 - α⁴)

где α = d_В / d_Н

 

Рис. 50

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ

2.      Центр параллельных сил.

     Любое тело можно рассматривать как состоящее из большого числа малых частиц, на которые действуют силы тяжести. Все эти силы направлены к центру Земли по радиусу. Так как размеры тел, с которыми приходится иметь дело в технике, ничтожно малы по сравнению с радиусом Земли (величина его примерно 6370 км), то можно считать, что приложенные к частицам силы тя­жести параллельны и вертикальны.

     Следовательно, силы тяжести отдельных частиц тела образуют систему параллельных сил. Равнодействующая этих сил представляет вес тела.

     Напомним одно важное свойство точки приложения равнодействующей двух  параллельных  сил.

     Пусть в точках А и В на тело (рис. 78) действуют параллельные силы С! и Р. Равнодействующая этих сил равна их сумме, параллельна им, направлена в ту же сторону, а линия ее действия делит прямую АВ на части,

обратно  пропорциональные  этим  силам,  т. е.   45- = —

ВС        О

(см. § 13).

Не изменяя точек приложения, повернем силы Р п С} на произвольный-угол а, т. е. изменим их направление, сохранив параллельность. При этом равнодействующая останется равной их сумме, параллельной им, направлен-_{я            г}                            ной  в ту  же сторону, а ли-

ния ее действия  опять поде­лит   прямую   АВ   на части, \ обратно     пропорциональные р, заданным  силам.

Таким образом, точка пе­ресечения линии действия ■8гР,*9, равнодействующей с линией Л В, соединяющей точки при­ложения составляющих сил (точка С на рис. 78), не зави­сит от их направления, а зависит только от модулей сла­гаемых параллельных сил и от положения точек их при­ложения. Эта точка называется центром параллельных"сил. Сделанный вывод справедлив также для произвольного числа  параллельных  сил.

Центр параллельных сил тяжести, действующих на все частицы тела, называется центром тяжести тела. Так как положение центра параллельных сил остается неизменным независимо от их направления, то центр тяжести тела не меняет своего положения (относительно тела) при изменении положения тела в пространстве.