Лекции-конспекты по Сопромату (11 класс)

Сопромат билеты.

№1 Центральное растяжение и сжатие. Метод сечений. Внутренние силы в поперечных сечениях. Правило знаков. Построение эпюр нормальных сил.

Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием) .

Понятие о внутренних силах (метод сечений). Под действием внешних нагрузок в поперечных сечениях элементов конструкций и деталей машин возникают внутренние силы упругости, характеризующие связи между молекулами и его отдельными частицами. Возникновение внутренних сил сопровождается деформацией материала. Эти силы противодействуют внешним силам и стремятся восстановить прежнюю форму тела. Одна из задач сопротивления материалов состоит в определении величин внутренних сил.

Для этого широко используется метод сечений, сущность которого заключается в следующем:

1. В рассматриваемом месте элемент сооружения или деталь условно рассекается на две части.

2. Одна из частей условно отбрасывается.

3. Оставшаяся часть уравновешивается внутренними силами упругости.

Правило знаков Растягивающие продольные усилия принято считать положительными, а сжимающие — отрицательными.

Продольная сила в любом напряженном сечении бруса определяется методом сечений: она равна алгебраической сумме проекций всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось.

Если продольная сила по всей длине бруса не постоянна, то строят эпюру «N». Эпюра – это график изменения внутреннего силового фактора по длине бруса.

Правила построения эпюр продольных сил:

1. Разбиваем брус на участки, границами которых являются сечения, где приложены внешние силы.
2. В пределах каждого участка применяют метод сечений и определяют продольную силу. При этом если внешняя сила растягивает оставленную часть стержня, т.е. направлена от сечения - продольная сила положительна; если внешняя сила сжимает оставленную часть стержня, т.е. направлена к сечению – продольная сила отрицательна.
3. Откладываем полученные значения и строим эпюру продольных сил. Если на участке не действует равномерно распределенная нагрузка, то эпюра ограничена прямой, параллельной нулевой линии.
4. Правильность построения эпюр продольных сил определяется следующим образом: в сечениях, где приложена внешняя сила, на эпюре есть «скачки», равные по величине приложенной силе.

№2 Центральное растяжение и сжатие. Удлинение стержня. Абсолютная и относительная продольная и поперечная деформации. Коэффициент Пуассона.

Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием) .

Как определить удлинение или укорочение стержня (бруса) под действием внешней нагрузки. Будем разбираться сразу на примерах.

Возьмем брус круглого и постоянного поперечного сечения, который нагружен

растягивающей силой.

При таком раскладе, очевидно, что брус удлинится на какую-то величину дельта.

Как ее найти? Вычислить удлинение можно по формуле:

В формуле есть уже знакомая вам буква N – продольная сила, l – длина недеформированного бруса, то есть до действия внешней нагрузки, E – модуль упругости и A – площадь поперечного сечения. Если проанализировать формулу, то можно сделать вывод, что, по сути, по ней площадь эпюры продольных сил делится на произведение модуля упругости и площади поперечного сечения.

Вернемся к нашему примеру. Слегка модифицируем формулу, подставив исходные данные и площадь поперечного сечения – круга.  Вот что получим:

Вот так просто можно найти удлинение или укорочения брусьев.

А что делать, если, например брус ступенчатый или на него действуют несколько внешних сил? В этом случае обязательно строится эпюра продольных сил, разбивается на кусочки, так чтобы на этих кусочках внутренняя сила была одна, вычисляются уже относительные удлинения (укорочения) по вышеприведенной формуле для этих кусочков и результат складывают.

Посмотрим эту технику на примере двухступенчатого бруса загруженного парой сил. Найдем перемещение свободного торца бруса. Как и обговаривалось ранее, сначала строим эпюру внутренних усилий:

Дальше эпюру бьем на два участка и вычисляем относительные перемещения с учетом знака продольной силы. Потом складываем эти два значения.Так как в итоге получили положительное значение, то значит, что брус удлинился, если бы получили отрицательное значение, то соответственно это значило, что он укоротился.

На практике на стержни помимо сосредоточенных сил могут действовать и распределенные нагрузки. Как быть в таком случае? Ответ нам даст эпюра продольной силы. Рассмотрим стержень, загруженный только распределенной нагрузкой, построим для него эпюру.

 

Как видно, эпюрой продольных сил от распределенной нагрузки является прямоугольной треугольник. Что есть равно половина от прямоугольника. Тогда вычисляя перемещение, выражение нужно дополнительно помножить на ½.

  

Если под действием силы P брус длиной L изменил свою продольную величину на +/- дельта l, то эта величина называется абсолютной продольной деформацией (абсолютное удлинение или укорочение). При этом наблюдается и поперечная абсолютная деформация +/- дельта b .Отношение  называется относительной продольной деформацией, а отношение  - относительной поперечной деформацией.

Коэффициент Пуассона (обозначается как или ) — величина отношения относительного поперечного сжатия к относительному продольному растяжению. Этот коэффициент зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлен образец.

Отношение  называется коэффициентом Пуассона, который характеризует упругие свойства материала.

Коэффициент Пуассона имеет значение . (для стали он равен )

№3 Напряжение и деформация при центральном растяжении закон Гука модуль упругости 1го порядка

Напряжения

N_z равномерно распределяется по площади поперечного сечения стержня, вызывая нормальные напряжения.

В наклонном сечении возникают нормальные σ_α и касательные τ_α напряжения (рис. 4.1,в).

причем

Деформации

При осевом растяжении (сжатии) наблюдаются абсолютные и относительные деформации (рис. 4.1,а):

l₁ – l = Δl - абсолютная продольная деформация (удлинение);
h₁ – h = -Δh - абсолютная поперечная деформация(сужение);

относительная продольная деформация:

относительная поперечная деформация:

Отношение

называется коэффициентом поперечной деформации(коэффициентом Пуассона).

Напряжения и деформации взаимосвязаны законом Гука

где Е - модуль упругости (модуль Юнга).

В общем случае удлинение стержня определяется по формуле

В частном случае, когда жесткость сечения ЕА = const и N_Z= F = const

При ступенчатом изменении нагрузки N_z и конфигурации сечения

В результате деформации бруса его поперечные сечения получают линейные перемещения U_(z). Так, перемещение сечения В, находящегося на расстоянии z от закрепленного конца, равно удлинению Δl_z части бруса длиной z, заключенной между неподвижным и рассматриваемым сечением.

Взаимное перемещение двух сечений В и С бруса равно удлинению части бруса, заключенной между этими сечениями

U_(B-C)=Δl_B-C        (рис.4.2)

Рис. 4.2

Перемещение точек стержневой системы (BCD) (Рис. 4.3) происходит как за счет продольных деформаций (U_СВ =  Δl_BC, U_CD = Δl_DC), так и за счет поворота деформированных стержней BC₁ и DC₂ относительно шарниров (B, D) как твердого тела по дугам С₁С₃ = δ₁ и С₂С₃ = δ₂, замененными перпендикулярами к радиусам поворота (ВС₁ и DС₂).

Отрезок СС₃ = δ_с соответствует полному перемещению узла С в результате деформации стержней ВС и DС.

Рис. 4.3

Закон Гука Связь между силой упругости и упругой деформацией тела (при малых деформациях) была экспериментально установлена современником Ньютона английским физиком Гуком. Математическое выражение закона Гука для деформации одностороннего растяжения (сжатия) имеет вид f=-kx, (2.9) где f - сила упругости; х - удлинение (деформация) тела; k - коэффициент пропорциональности, зависящий от размеров и материала тела, называемый жесткостью. Единица жесткости в СИ - ньютон на метр (Н/м). Закон Гука для одностороннего растяжения (сжатия) формулируют так: сила упругости, возникающая при деформации тела, пропорциональна удлинению этого тела.

Модуль упругости I рода (модуль Юнга)

Модуль Юнга (синонимы: модуль упругости I рода, модуль продольной упругости) – механическая характеристика материалов, определяющая их способность сопротивляться продольным деформациям. Показывает степень жесткости материала.

Назван в честь английского ученого Томаса Юнга.

Обозначается латинской прописной буквой E
Единица измерения – Паскаль [Па].

В сопротивлении материалов модуль продольной упругости участвует в расчетах на жесткость при растяжении-сжатии и изгибе, а также в расчетах на устойчивость.

Учитывая то, что практически все конструкционные материалы имеют значение E высокого порядка (как правило 10⁹ Па), его размерность часто записывают с помощью кратной приставки «гига» (гигапаскаль [ГПа])

Для всех материалов его величину можно определить в ходе эксперимента по определению модуля упругости I рода.

Приближенно значение модуля можно определить по диаграмме напряжений получаемой при испытаниях на растяжение.

Рис. 1 Начальный фрагмент диаграммы напряжений

В этом случае модуль Юнга равен отношению нормальных напряжений к соответствующим относительным деформациям, на участке диаграммы (рис. 1) до предела пропорциональности σ_пц (тангенсу угла α наклона участка пропорциональности к оси деформаций ε).

E=σ/ε=tgα

В таблице 1 приведены сравнительные значения модуля для некоторых наиболее часто используемых материалов

Таблица 1

Материал	Модуль Юнга E, [ГПа]
Сталь	200
Чугун	120
Серый чугун	110
Алюминий	70
Дюралюминий	74
Титан	120
Бронза	100
Латунь	95
Медь	110
Олово	35
Хром	300
Никель	210
Кремний	110
Свинец	18
Бетон	20
Дерево	10
Стекло	70

Модуль упругости I рода служит коэффициентом пропорциональности в формуле описывающей закон Гука:

σ=Eε

Связка модуля Юнга с геометрическими характеристиками поперечных сечений бруса показывает их жесткость:

EA – жесткость поперечного сечения при растяжении-сжатии,
где A – площадь поперечного сечения стержня;
EI – жесткость поперечного сечения при изгибе,
где I – осевой момент инерции сечения балки.

4. диаграмма растяжения малоуглеродистой стали

Диаграмма растяжения показывает зависимость удлинения образца от продольной растягивающей силы.

Ее построение является промежуточным этапом в процессе определения механических характеристик материалов (в основном металлов).

Диаграмму растяжения материалов получают экспериментально, при испытаниях образцов на растяжение.

Для этого образцы стандартных размеров закрепляют в специальных испытательных машинах (например УММ-20 или МИ-40КУ) и растягивают до их полного разрушения (разрыва). При этом специальные приборы фиксируют зависимость абсолютного удлинения образца от прикладываемой к нему продольной растягивающей нагрузки и самописец вычерчивает кривую характерную для данного материала.

На рис. 1 показана диаграмма для малоуглеродистой стали. Она построена в системе координат F-Δl, где:

F - продольная растягивающая сила, [Н];

Δl - абсолютное удлинение рабочей части образца, [мм]

Как видно из рисунка, диаграмма имеет четыре характерных участка:

I - участок пропорциональности;

II - участок текучести;

III - участок самоупрочнения;

IV - участок разрушения.

Построение диаграммы

Рассмотрим подробнее процесс построения диаграммы.

В самом начале испытания на растяжение, растягивающая сила F, а следовательно, и деформация Δl стержня равны нулю, поэтому диаграмма начинается из точки пересечения соответствующих осей (точка О).

На участке I до точки A диаграмма вычерчивается в виде прямой линии. Это говорит о том, что на данном отрезке диаграммы, деформации стержня Δl растут пропорционально увеличивающейся нагрузке F.

После прохождения точки А диаграмма резко меняет свое направление и на участке II начинающемся в точке B линия какое-то время идет практически параллельно оси Δl, то есть деформации стержня увеличиваются при практически одном и том же значении нагрузки.

В этот момент в металле образца начинают происходить необратимые изменения. Перестраивается кристаллическая решетка металла. При этом наблюдается эффект его самоупрочнения.

После повышения прочности материала образца, диаграмма снова "идет вверх" (участок III) и в точке D растягивающее усилие достигает максимального значения. В этот момент в рабочей части испытуемого образца появляется локальное утоньшение (рис. 2), так называемая "шейка", вызванное нарушениями структуры материала (образованием пустот, микротрещин и т.д.).

Вследствие утоньшения, и следовательно, уменьшения площади поперечного сечения образца, растягиваещее усилие необходимое для его растяжения уменьшается, и кривая диаграммы "идет вниз".

В точке E происходит разрыв образца. Разрывается образец конечно же в сечении, где была образована "шейка"

Работа затраченная на разрыв образца W равна площади фигуры образованной диаграммой. Ее приближенно можно вычислить по формуле:

W=0,8Fmax∙Δlmax

По диаграмме также можно определить величину упругих и остаточных деформаций в любой момент процесса испытания.

Для получения непосредственно механических характеристик металла образца диаграмму растяжения необходимо преобразовать в диаграмму напряжений.

5. Упругость материала. Механизм упругой деформации.

Упругость материала

Упругость – свойство материала деформироваться под нагрузкой и после снятия ее принимать первоначальную форму и размеры. Наибольшее напряжение, при котором еще не наблюдается пластическая (остаточная) деформация, т. е. материал продолжает сохранять упругость, называется пределом упругости. К упругим материалам относятся резина, сталь, древесина.

Упругость материалов обусловлена силами взаимодействия составляющих их атомов, которые в твердых телах при отсутствии нагрузки занимают равновесное положение. Пока вызванные нагрузкой отклонения межатомных расстояний и валентных углов (между прямыми, соединяющими данный атом с его соседями) от равновесных значений малы, они пропорциональны действующим между атомами силам подобно тому, как удлинение или сжатие пружины пропорционально приложенной силе. Поэтому материал можно представить как совокупность атомов-шариков, соединенных пружинами, ориентации которых фиксированы другими пружинами. Константы упругости этих пружин характеризуют модули упругости материала, а упругая деформация материала пропорциональна приложенному напряжению, т. е. определяется законом Гука, который является основой теории упругости и сопротивления материалов.

Механизм упругой деформации

Деформация – это изменение формы и размеров тела, деформация может вызываться воздействием внешних сил, а также другими физико-механическими процессами, которые происходят в теле. К деформациям относятся такие явления, как сдвиг, сжатие, растяжение, изгиб и кручение.

При упругой деформации атомы материала смещаются на небольшие расстояния относительно друг друга. При этом возникают межатомные силы притяжения или отталкивания, в зависимости от того сближаются или удаляются атомы. После снятия внешней нагрузки атомы материала под действием этих сил возвращаются в своё исходное, равновесное положение. В результате размеры и форма образца полностью восстанавливаются, то есть деформация оказывается обратимой.

6. Основные механические характеристики материала. Предел текучести и предел прочности.

Основные механические характеристики материала

Механическими характеристиками материалов называют свойства материалов, характеризующие их прочность и способность сопротивляться деформациям.

Многообразие материалов, используемых при изготовлении элементов конструкций, объясняется тем, что различные материалы имеют неодинаковые свойства, которые используются инженерами для решения тех или иных технологических задач.

В сопромате, исследование механических характеристик необходимо для того чтобы учитывать соответствующие свойства материалов при расчетах на прочность, жесткость и устойчивость.

Например, при расчетах на прочность используются такие характеристики материалов как предел текучести и предел прочности. Они применяются в основном для определения величины допустимых напряжений (расчетного сопротивления) в соответствующих элементах конструкций.

Предел пропорциональности устанавливает границу действия закона Гука.

Интервал напряжений, в пределах которого в элементах конструкций имеют место исключительно упругие деформации, ограничивается пределом упругости.

Модули упругости I рода (модуль Юнга) и II рода (модуль сдвига) показывают упругие свойства материалов, и характеризуют их способность сопротивляться продольным и сдвигающим деформациям соответственно.

Коэффициент Пуассона (поперечной деформации) устанавливает зависимость между продольной и поперечной деформациями различных материалов.

Механические характеристики для практически всех материалов определены экспериментально и приведены в соответствующих справочниках.

Основным экспериментом по определению характеристик материалов является испытание на растяжение.

Предел текучести и предел прочности

На рисунке 1 приведена кривая зависимости напряжения от деформации.

Рисунок 1

Описание характерных точек диаграммы.

σ_п - Наибольшее напряжение, до которого материал следует закону Гука, называется пределом пропорциональности. Предел пропорциональности зависит от условно принятой степени приближения, с которой начальный участок диаграммы можно рассматривать как прямую.

Упругие свойства материала сохраняются до напряжения, называемого пределом упругости σ_у , т.е это наибольшее напряжение, до которого материал не получает остаточных деформаций.

σ_т - предел текучести.

Под пределом текучести понимается то напряжение, при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки. В тех случаях, когда на диаграмме отсутствует явно выраженная площадка текучести, за предел текучести условно принимается величина напряжения, при котором остаточная деформация составляет 0,2%.

Отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, к его начальной площади поперечного сечения носит названиепредела прочности или временного сопротивления. Предел прочности также является условной величиной.

Единица измерения предела текучести и предела прочности - паскаль Па. Более удобно предел текучести и предел прочности измерять в мегапаскалях МПа.

7 вопрос

При испытании образцов на растяжение (сжатие) определяются такие характеристики как модуль упругости, коэффициент Пуассона, предел текучести, временное сопротивление и другие. Эти величины в дальнейшем используются при прочностных расчетах, расчетах на жесткость и устойчивость. Испытание образцов проводится на специальных гидравлических машинах, которые передают либо сжимающие усилия, либо растягивающие, при этом фиксируются механические характеристики испытываемых образцов. В частности, машина выводит график, показывающий зависимость между напряжениями и деформацией, либо между силой и удлинением (укорочением) образца. Такие график получил называние – диаграмма растяжения (сжатия).

Для испытания образцов на сжатие их выполняют в виде цилиндра с соотношением L/D=2. Для пластичных и хрупких материалов диаграммы растяжения (сжатия) несколько разнятся. Для начала рассмотрим диаграмму для пластичного материала (Рисунок 3). Примерно такую диаграмму имеют все малоуглеродистые стали (Ст2, Ст3 и т.д.)

Диаграммы сжатия образцов представляют собой зависимость силы от укорочения образца, т.е. F = F(Dh). Она позволяет оценить поведение материала образца в упругой и упруго-пластичной стадиях деформирования, определить механические характеристики материала. 

        На начальном участке ОА диаграммы между силой F и укорочением Dh, соблюдается прямая пропорциональная зависимость - выполняется закон Гука.

        В точке А диаграммы закон Гука нарушается: зависимость между силой и укорочением становится нелинейной. На диаграмме наблюдается горизонтальный участок БВ, называемый площадкой текучести. В этой стадии испытания образец пластически деформируется при постоянной силе. Деформация образца по длине рабочей части равномерная. Явление интенсивного пластического деформирования материала образца называется текучестью. Площадка текучести заканчивается и начинается участок упрочнения ВД, т.е. восходящая часть диаграммы.

        На этой стадии испытания образец из пластичного материала существенно изменяет цилиндрическую форму, становится бочкообразным несмотря на применение смазки на торцах. Его диаметр значительно увеличивается, а высота уменьшается, для его деформирования необходима всё большая сила. Образец из пластичного материала при испытани на сжатие не разрушается, поэтому испытание прекращают при достижении деформации от 30% до 40% о начальной высоты образца. Участок диаграммы сжатия от точки Д до точки, соот ветствующей прекращению испытания не используется для определения каких-либо механических характеристик материала, т.к. напряжённо-деформированное состояние в образце в этом случае неоднородное и неодноосное. 

Диаграмма сжатия хрупкого материала

        Образцы из хрупких материалов (стекло, керамика, твёрдые сплавы, высокозакалённые стали и др.) разрушаются при испытании на сжатие и обнаруживают очень маленькую пластическую деформацию.

Трещины в образце возникают под разными углами в зависимости от применения или не применения смазки. В точке А диаграммы достигается наибольшая сила, она же соответствует разрушающей силе. Возможно определение предела прочности при сжатии. Механизмы пластической деформации Металлы и сплавы в твердом состоянии имеют кристаллическое строение, и характер их деформации зависит от типа кристаллической структуры и от наличия несовершенств в этой структуре. Пластическая деформация может протекать под действием касательных напряжений и может осуществляться двумя способами. Деформация металла. Физическая природа деформации металлов. 1. Трансляционное скольжение по плоскостям (рисунок 1, позиция а). Одни слои атомов кристалла скользят по другим слоям, причем они перемещаются на дискретную величину, равную целому числу межатомных расстояний. В промежутках между полосами скольжения деформация не происходит. Твердое тело не изменяет своего кристаллического строения во время пластической деформации и расположение атомов в элементарных ячейках сохраняется. Плоскостями скольжения является кристаллографические плоскости с наиболее плотной упаковкой атомов. Это наиболее характерный вид деформации при обработке давлением. 2. Двойникование – поворот одной части кристалла в положение симметричное другой его части. Плоскостью симметрии является плоскость двойникования (рисунок 1, позиция б). Двойникование чаще возникает при пластической деформации кристаллов с объемно-центрированной и гексагональной решеткой, причем с повышением скорости деформации и понижением температуры склонность к двойникованию возрастает. Двойникование может возникать не только в результате действия внешних сил, но и в результате отжига пластически деформированного тела. Это характерно для металлов с гранецентрированной кубической решеткой (медь, латунь). Двойникованием можно достичь незначительной степени деформации.

Рисунок 1 — Схемы пластической деформации

а – скольжением; б – двойникованием

Ранее предполагали, что при скольжении одна часть кристалла сдвигается относительно другой части на целое число периодов как единое целое. Необходимое для этого напряжение получается на несколько порядков выше действительного сдвигового напряжения.

Для железа теоретическое значение сдвигового напряжения τтеор = 13300МПа, τреал = 20 МПа

В основу современной теории пластической деформации взяты следующие положения:

скольжение распространяется по плоскости сдвига последовательно, а не одновременно;

скольжение начинается от мест нарушений кристаллической решетки, которые возникают в кристалле при его нагружении.

В равновесном состоянии дислокация неподвижна. Под действием напряжения экстраплоскость смещается справа налево при незначительном перемещении атомов. Нижняя часть плоскости Р’S (SR) сместится вправо и совместится с нижним краем экстра- плоскости РQ.

QR- остаточная деформация.

При дальнейшем движении дислокация пройдет всю плоскость скольжения и выйдет на поверхность зерна. При этом верхняя часть зерна сдвинута относительно нижней на один межатомный период решетки (рисунок 2, позиция б). При каждом перемещении дислокации на один шаг необходимо разорвать связь только между двумя рядами атомов в плоскости Р’S, а не между всеми атомами, расположенными выше и ниже плоскости скольжения. Необходимое сдвиговое напряжение при этом мало, равно практически действительному.

Рисунок 2 — Схема дислокационного механизма пластической деформации

а – перемещение атомов при двихении краевой дислокации на одно межатомное расстояние; б – перемещение дислокации через весь кристалл

При продольном осевом нагружении (растяжении-сжатии) в поперечных сечениях бруса имеют место только нормальные напряжения σ. Поэтому для обеспечения прочности стержней и стержневых системдостаточно выполнение условия:

Здесь
σ_max – максимальные расчетные нормальные напряжения в стержне,
N – внутренние продольные силы (принимаются с построенных эпюр),
А – соответствующая площадь поперечного сечения бруса,
[σ] – допустимые напряжения (расчетное сопротивление) для материала стержня.

Данное условие означает что для того чтобы стерженьпри растяжении-сжатии оставался прочным, напряжения σ в его сечениях не должны превышать допустимых значений [σ].

В случаях, когда для материала стержней допустимые напряжения на растяжение [σ]_р и на сжатие [σ]_сжотличаются, при сравнении необходимо учитывать знак напряжений σ, который зависит только от знака соответствующих внутренних сил N.

Так, положительные значения напряжений σсравниваются с [σ]_р, отрицательные напряжения по модулю не должны превышать значения [σ]_сж.

9. Чистый сдвиг

Чистым сдвигом называется такой вид напряжённого состояния, при котором на двух взаимно перпендикулярных площадках действуют только касательные напряжения.

При чистом сдвиге прямоугольный элемент, выделенный в окрестности некоторой точки, испытывает только деформации сдвига, а удлинения его сторон отсутствует. Определим напряжения, действующие по любым наклонным площадкам в условиях чистого сдвига. При повороте площадки на угол  будут действовать нормальныенапряжения  и тангенциальные.

Из известных формул:

или

При чистом сдвиге главные напряжения  — сжимающие и растягивающие равны между собой и численно равны экспериментальным касательным напряжениям. Главные площадки составляют с площадками чистого сдвига угол 45⁰.

Чистый сдвиг представляет собой единственный вид напряжённого состояния, при котором отсутствует изменение объёма материала, а выделенный элемент при чистом сдвиге изменяет только форму.

Деформации могут быть угловые и линейные.

Линейная деформация характеризует изменение размеров тела. Различают абсолютную деформацию ΔL и относительную деформацию ε = ΔL/L.

Угловая деформация характеризует изменение формы тела и чаще всего называется углом сдвига.

Угол сдвига — это изменение первоначально прямого угла. γ = α + β .

Полная деформация — это сумма линейной и угловой деформации.

Если взять малый элемент тела параллелепипед, ориентированный по осям x, y, z, то соответственно возникает три линейных деформации (вдоль осей x, y, z ) ε_x,ε_y, ε_z 

x=dxΔdxy=dyΔdyz=dzΔdz

и три угловые деформации xyyzzx в трех взаимно-перпендикулярных плоскостях.

Относительные линейные и угловые деформации – величины безразмерные.

 №10 Закон парности касательных напряжений.

Формулировка закона парности касательных напряжений: касательные напряжения на любых двух взаимно перпендикулярных площадках, направленные по перпендикуляру к линии пересечения площадок, равны по величине, притом касательные напряжения либо сходятся к линии пересечения площадок, либо расходятся от нее.

Касательные напряжения на соседних, взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и противоположны по знаку.

τ_α = - τ_β

Это следует из того условия, что выделенный элемент находится в равновесии, а для этого сумма моментовкасательных напряжений должна быть равна нулю.

То есть напряжения на взаимно перпендикулярных гранях элемента уравновешивают друг друга.

Например, если напряжения на «правой» и «левой» гранях элемента положительны и равны, например 50 МПа, то соответственно на «верхней» и «нижней» площадках они также будут равны 50 МПа но уже со знаком минус.

Визуально это проверяется так: стрелки касательных напряжений на углах элемента должны либо сходиться, либо расходиться.

№11 Закон Гука при сдвиге. Модуль упругости второго рода.

Напряженное состояние, изображенное на рис. 4.4, а, представляет собой чистый сдвиг. В этом состоянии длины ребер элементарного параллелепипеда не изменяются, а изменяются лишь углы между боковыми гранями: первоначально прямые углы становятся равными 90°  (рис. 4.4, б).

Рис. 4.4

Каждая из граней параллелепипеда при деформации чистого сдвига перемещается относительно противоположной грани на величину АА, называемую абсолютным сдвигом (рис. 4.4, б). Отношение абсолютного сдвига к расстоянию между противоположными гранями называется относительным сдвигом; при малых деформациях оно равно величине угла сдвига  — изменения первоначально прямых углов между боковыми гранями параллелепипеда.

Абсолютный сдвиг выражается в мерах длины, а относительный сдвиг - в радианах. Величина у, как показывает опыт, прямо пропорциональна величине касательных напряжений. Эта зависимость между , называемая законом Гука при сдвиге, выражается в виде

или

Она справедлива при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности материала.

Коэффициент пропорциональности G в формулах (3.4) и (4.4) называется модулем сдвига, или модулем упругости второго рода.

Модуль сдвига является физической постоянной материала, характеризующей его жесткость (т. е. способность сопротивляться упругим деформациям) при сдвиге. Модуль сдвига G, как и модуль упругости Е, выражается в кгс/см2, кгс/ммг, тс/м2 и т. д.

Деформации сдвига можно определять по формуле (3.4) не только при чистом сдвиге, но и в общем случае плоского напряженного состояния — когда по боковым граням параллелепипеда действуют не только касательные, но также и нормальные напряжения. Это является следствием того, что нормальные напряжения вызывают лишь поступательные перемещения боковых граней параллелепипеда и не вызывают изменения его прямых углов.

№12 Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Построение эпюр крутящих моментов

Под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы (изгибающие моменты, нормальная и по­перечные силы) равны нулю.

Для крутящего момента, независимо от формы сечения, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент М_K направ­ленным против часовой стрелки, то момент считается положительным. При противоположном направ­лении моменту приписывается знак минус.

Рассмотрим стержень, нагруженный по концам моментами М (рис. 1.8). Если посмотреть на одну его плоскость со стороны внешней нормали, то мы увидим, что момент M_K направлен по часовой стрелке. Следовательно, М_K будет отрицательным. Тот же самый результат может быть получен, если посмот­реть из точки со стороны внешней нормали на другую его плоскость.

Рис. 1.8. Брус, нагруженный моментами.

Построение эпюр крутящих мосентов

Кручением называется такой вид деформации стержня, при котором в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент. Все остальные внутренние усилия – нормальная и поперечная силы, изгибающи й момент при кручении отсутствуют. Кручение испытывают многие детали машин и сооружений: валы двигателей и станков, оси моторных вагонов и двигателей, элементы пространственных конструкций и т.д. Как показали исследования, характер деформации скручиваемого стержня зависит от формы его поперечного сечения. Особое место среди стержней, подвергаемых кручению, принадлежит стержням с круглым поперечным сечением. Такие стержни, испытывающие кручение, называют валами.

К скручиваемому стержню в разных его сечениях может быть приложено несколько внешних моментов. Рассмотрим случай, когда все внешние моменты взаимно уравновешены и действуют в плоскостях, прерпендикулярных оси стержня (Рис.11.9,а):

(11.25)

Рис.11.9

Для определения крутящего момента в каком-либо сечении стержня воспользуемся правилом, полученном при использовании метода сечений, изложенном в теме №1. На основании этого правила главный вектор и главный момент всех внутренних сил, действующих в рассматриваемом сечении на оставшуюся часть тела, равняются соответственно главному вектору и главному моменту всех внешних сил, приложенных к отброшенной части тела.

Таким образом, чтобы определить крутящий момент , необходимо просуммировать все внешние моменты, действующие по одну сторону от рассматриваемого сечения. Слева от сеченияIII, в котором определяется крутящий момент, действуют внешние моменты и. Следовательно, крутящий момент в сеченииIII будет равен:

.

Здесь и в дальнейшем при построении эпюр крутящих моментов следует пользоваться следующим правилом знаков: если смотреть на отброшенную часть со стороны сечения, в котором определяется крутящий момент, то при вращении внешним моментом стержня по часовой стрелке его следует брать со знаком “минус”, и наоборот – при вращении внешним моментом вала против часовой стрелки его следует брать со знаком “плюс”.

Рассмотрим пример построения эпюры крутящих моментов.

Пример 11.1. Построить эпюру крутящих моментов для стержня, изображенного на рис.11.10а.

Рис.11.10

Решение:

1. Разобьем вал на участки: I, II, III, IV и V.

2. Пользуясь правилом для определения крутящих моментов, изложенным выше, находим:

; кНм;кНм;

кНм; .

Крутящие моменты на участках I, II, III опредеделялись слева, на участках IV, V - справа.

3. Откладываем полученные моменты от базисной линии и строим эпюру крутящих моментов (Рис.11.10б).

13 вопрос!!!!!!! 2. Кручение.

2.3. Деформации и перемещения при кручении валов.

Для вычисления деформаций вала при кручении воспользуемся формулой (2.7) 

           (2.17)

Деформация вала на длине z (взаимный угол сечений) равна 

           (2.18)

Если крутящий момент и величина GIp, называемая жесткостью вала при кручении, постоянны на всем участке интегрирования, то 

           (2.19)

Аналогично, для вала длиной l получим 

           (2.20)

Эта формула по своей структуре аналогична формуле для определения деформаций при растяжении - сжатии.

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания. Он равен 

           (2.21)

Для обеспечения требуемой жесткости вала необходимо, чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосходил допускаемого, т.е. 

           (2.22)

Эта формула выражает условие жесткости вала при кручении. В этой формуле  - допускаемый относительный угол закручивания в радианах на единицу длины вала.

В большинстве случаев допускаемый относительный угол закручивания задают в градусах на 1 м длины, тогда из формулы (2.22) получим: 

           (2.23)

Угол  выбирают в зависимости от назначения вала и его размеров. Для валов средних размеров в "Справочнике машиностроителя" рекомендуется принимать допускаемый угол закручивания равным 0,5 градуса на 1 метр длины.

Из условия (2.23) можно определить диаметр вала по заданной жесткости. Получаем 

           (2.24)

Напряжения в поперечном сечении при кручении

Опыты показывают, что если на поверхности бруса круглого сечения нанести прямоугольную сетку, а на торцевой поверхности нанести радиальные линии (рис.5.5), то после деформации кручение окажется что:

- все образующие поворачиваются на один и тот же угол , а прямоугольники, нанесенные на поверхности, превращаются в параллелограммы;

- торцевые сечения остаются круглыми, плоскими, расстояния между ними не меняются;

- каждое сечение поворачивается относительно другого на некоторый угол , называемый углом закручивания;

- радиальные линии на торцевой поверхности остаются прямыми.

На основании этих наблюдений можно заключить, что может быть принята гипотеза Бернулли (гипотеза плоских сечений), а в вале возникают условия чистого сдвига, в поперечных сечениях действуют только касательные напряжения, нормальные напряжения равны нулю.

Рассмотрим поперечное сечение вала, расположенное на некотором расстоянии z от торцевого, где М_к=T (рис.5.5). На элементарной площадке dF будет действовать элементарная сила , момент который относительно оси вала равен . Крутящий момент М_к, в сечении равен

Рис.5.5

Для того чтобы проинтегрировать это выражение необходимо знать закон распределения напряжений в сечении. Выделим из вала элементарное кольцо длиной dz и толщиной  (рис.5.6).

Правый торец элемента повернется относительно левого на угол , образующая СВ повернется на угол  и займет положение СВ₁. Угол  - относительный сдвиг. Из треугольника ОВВ₁ найдем:

Рис.5.6                                                           Рис.5.7

 Из треугольника СВВ₁: . Откуда, приравнивая правые части, получим

На основании закона Гука при сдвиге:

Подставим выражение (5.2) в (5.1):

Откуда

Подставим значение   в выражение (5.4) получим:

Таким образом, касательные напряжения при кручении прямо пропорциональны расстоянию от центра тяжести сечения до рассматриваемой точки и одинаковы в точках, одинаково удаленных от центра тяжести сечения (рис. 5.7). При  получим . Наибольшие напряжения возникают в точках контура сечения при :

Величина отношения полярного момента инерции к радиусу вала называется моментом сопротивления сечения при кручении или полярным моментом сопротивления

Для сплошного круглого сечения

Для кольцевого сечения

где  

Тогда максимальные касательные напряжения равны

15 вопрос!!!!Условие прочности при кручении вала круглого и кольцевого сечения

Условие прочности при кручении с учетом принятых обозначений формулируется следующим образом: максимальные касательные напряжения, возникающие в опасном сечении вала, не должны превышать допускаемых напряжений и записывается в виде

где  -  берется либо на основании опытных данных, либо (при отсутствии нужных опытных характеристик) по теориям прочности, соответствующим материалу. Например, из теорий прочности для хрупких материалов, примененных для чистого сдвига, следуют такие результаты:

- из второй теории прочности

-  из теории Мора

Из теорий прочности для пластичных материалов при чистом сдвиге получим:

- по третьей теории прочности

- по четвертой теории прочности

Как следует из закона парности касательных напряжений, одновременно с касательными напряжениями, действующими в плоскости поперечного сечения вала, имеют место касательные напряжения в продольных плоскостях. Они равны по величине парным напряжениям, но имеют противоположный знак. Таким образом, все элементы бруса при кручении находятся в состоянии чистого сдвига. Так как чистый сдвиг является частным случаем плоского напряженного состояния, при котором , то при повороте граней элемента на 45⁰ в новых площадках обнаруживаются только нормальные напряжения, равные по величине  (рис.5.8).

Рассмотрим возможные виды разрушения валов, изготовленных из различных материалов при кручении. Валы из пластичных материалов чаще всего разрушаются по сечению, перпендикулярному к оси вала, под действием касательных напряжений, действующих в этом сечении (рис.5.9,а). Валы из хрупких материалов, разрушаются по винтовой поверхности наклоненной к оси вала под углом 45⁰, т.е. по направлению действия максимальных растягивающих напряжений (рис.5.9,б). У деревянных валов первые трещины возникают по образующим цилиндра, так как древесина плохо сопротивляется действию касательных напряжений, направленных вдоль волокон (рис.5.9,в).

Рис.5.8                                               Рис.5.9

Таким образом, характер разрушения зависит от способности материала вала сопротивляться воздействию нормальных и касательных напряжений. В соответствии с этим, допускаемые касательные напряжения принимаются равным  - для хрупких материалов и   - для пластичных материалов.

Рациональная форма сечения вала

Анализируя эпюру касательных напряжений (рис.5.7) можно отметить, что наибольшие напряжения возникают на поверхности вала, в центральной части они значительно меньше и на продольной оси равны нулю. Следовательно, в сплошном валу материал, находящийся в центральной части в значительной степени недогружен, его вклад в прочность вала мал. Поэтому рациональным для валов считается кольцевое сечение.

Деформации при кручении и условие жесткости вала

Из выражения (5.5) следует, что

интегрируя которое по длине вала, получим:

Если М_к = const и  по всей длине вала, то абсолютный угол закручивания

где  - жесткость вала при кручении.

При скачкообразном изменении по длине бруса крутящего момента угол закручивания между его начальным и конечным сечениями определяется как сумма углов закручивания по участкам с постоянным M_k

Угол закручивания, приходящийся на единицу длины, называют относительным углом закручивания

Для обеспечения требуемой жесткости вала необходимо, чтобы наибольший относительный угол закручивания не превосходил допускаемого:

Эта формула выражает условие жесткости вала при кручении. Обычно принимается  на 1 м длины вала.

Расчеты на прочность и жесткость валов круглого и кольцевого сечений

При расчетах на прочность при кручении (также как и при растяжении) могут решаться три задачи:

а) проверочный расчет – проверить, выдержит ли вал приложенную нагрузку;

б) проектировочный расчет - определить размеры вала из условия его проч­ности;

в) расчет по несущей способности - определить максимально допустимый крутящий момент.

- При проверочном расчете на прочность рекомендуется следующий порядок расчета валов при кручении:

1) по схеме вала и действующим на него скручивающим моментам строят эпюру внутренних крутящих моментов по отдельным участкам;

2) выбирают материал для рассчитываемого вала и определяют для этого ма­териала допускаемое напряжение, например по формуле (5.9), ;

3) для участка вала с максимальным по модулю значением крутящего момента записывают условие прочности при кручении

- Проектировочный расчет проводится, исходя из условия прочности на основе следующего соотношения:

Для сплошного круглого сечения , отсюда можем записать вы­ражение для определения диаметра вала из условия его прочности:

Для кольцевого сечения

Определив размеры вала из условия прочности, проверяют вал на жесткость.

Условие жесткости требует, чтобы максимальный относительный угол закручивания , был меньше или в предельном случае равен допускаемому углу закручивания единицы длины вала, т.е.

Из условия прочности можно найти необходимый для обеспечения прочности полярный момент сопротивления сечения, а по нему и диаметр вала:

 но Wp = 0,2d³, поэтому

Из формулы (5.11) можно найти необходимый полярный момент инерции сечения, а по нему и диаметр вала

В этой формуле допускаемый относительный угол закручивания  должен быть выражен в радианах; если этот угол дан в градусах, то соотношение для определения I_p  будет выглядеть следующим образом:

но I_p = 0,1d ⁴ , поэтому

Из двух диаметров, рассчитанных по формулам (5.12) и (5.13), в качестве окончательного диаметра выбирается больший, который обычно округляется до целых миллиметров.

В случае расчета размеров вала кольцевого поперечного сечения при заданном соотношении внутреннего d_вн и наружного диаметров d, т.е. при заданном параметре k = d_вн /d, формулы  (5.12) и (5.13) принимают вид:

Пример 4.

Подобрать диаметр сплошного вала, передающего мощность N=450 л.с. при частоте вращения n=300 об/мин. Угол закручивания не должен превышать одного градуса на 2 метра длины вала;  МПа,  МПа.

Решение.

Крутящий момент определяем из уравнения

Диаметр вала по условию прочности определяется из уравнения

Диаметр вала по условию жесткости определяется из уравнения

Выбираем больший размер 0,112 м.

16.Геометрические характеристики поперечных сечений бруса. Статистические моменты сечения. Центральные оси. Центр тяжести.

Геометрические характеристики поперечных сечений Основным объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень (брус). Сопротивление стержня различным видам деформации зависит не только от его материала и размеров, но и от очертания оси, формы поперечных сечений и их расположения, которыми являются площадь, положение центра тяжести сечения, статические моменты и моменты инерции площади сечения. При растяжении (сжатии) – сопротивление стержня пропорционально площади поперечного сечения. Чем больше площадь поперечного сечения, тем меньше напряжения и удлинения стержня  или . Если сила приложена к стержню перпендикулярно его оси При одной и той же площади в зависимости от ориентировки поперечного сечения (рис. а) и (рис. б) стержень по разному сопротивляется действию силы. Отсюда можно сделать заключение, что площадь поперечного сечения не может характеризовать сопротивляемость стержня изгибу. Оказывается, при изучении изгиба, кручения и других случаев деформации стержня необходимо привлекать более сложные геометрические характеристики сечения. В связи с этим возникает задача об изучении некоторых геометрических свойств различных плоских фигур.

СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ СЕЧЕНИЯ

При определении положения центра тяжести сечения необходимо определять значения статических моментов этого сечения.

Рис. 4.3

Статическими моментами ппощади сечения относительно осей X и У (рис.4.3) называются определенные интегралы вида:

где F - площадь сечения; X и у - координаты элемента площади dF.

Если известно положение центра тяжести сечения (рис. 4.4). то статические моменты сечения могут быть подсчитаны по простым формулам, без взятия интегралов, а именно

где Xc и Yc - координаты центра тяжести сечения.

Из выражений (2) можно определить координаты центра тяжести сечения Xc и Yc:

Статический момент сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю.

Оси, проходящие через центр тяжести сечения -называются центральными. Центр тяжести сечения лежит на оси симметрии сечения. Если сечение имеет хотя бы две оси симметрии, то центр тяжести лежит на пересечении этих осей.

Для сложного сечения, состоящего из n простейших фигур, координаты центра тяжести сечения определяются по формулам

где Xj и Yj - координаты центров тяжести отдельных фигур сечения.

Главные оси имеют важное практическое применение. Каким свойством обладают главные оси?

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, а также равным нулю в зависимости от положения координатных осей. Рассмотрим квадрат (рис. 4.2, а).

Центробежный момент инерции квадрата () относительно осей положителен, поскольку координаты всех элементов площади положительны. При повороте осей вокруг начала координат на угол 900 (рис. 4.2 б) знак центробежного момента инерции становится отрицательным, так как в этом случае координаты x всех элементарных площадей положительны, а координаты y – отрицательны.

Можно найти положение двух взаимно перпендикулярных осей, при котором . Такие оси называются главными осями. Главные оси для квадрата изображены на (рис. 4.2, в).

Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных осей (другая ей перпендикулярна).

Главные оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения стержня, называются главными центральными осями.

Центры тяжести некоторых простейших геометрических фигур

Для определения центров тяжести тел часто встречающейся формы (треуголника, дуги окружности, сектора, сегмента) удобно использовать справочные данные.

Координаты центра тяжести некоторых однородных тел

№	Наименование фигуры	Рисунок
1	Дуга окружности: центр тяжести дуги однородной окружности находится на оси симметрии (координата уc=0). где α – половина центрального угла; R – радиус окружности.
2	Однородный круговой сектор: центр тяжести расположен на оси симметрии (координатауc=0). где α  – половина центрального угла; R – радиус окружности.
3	Сегмент: центр тяжести расположен на оси симметрии (координата уc=0). где α – половина центрального угла; R – радиус окружности.
4	Полукруг:
5	Треугольник: центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан. где x1, y1, x2, y2, x3, y3  – координаты вершин треугольника
6	Конус: центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его высоте и отстоит на расстояние 1/4 высоты от основания конуса.
7	Полусфера: центр тяжести лежит на оси симметрии.
8	Трапеция:   - площадь фигуры.
9	– площадь фигуры;
10	– площадь фигуры;

17.Осевые и центробежные моменты инерции поперечного сечения бруса.

Осевые, центробежные и полярные моменты инерции.

Осевой момент инерции фигуры - это интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Формулы осевого момента инерции произвольной фигуры относительно осей x и y:

Центробежный момент инерции фигуры - это интеграл произведений элементарных площадей на их расстояния до осей x и y:

Моменты инерции измеряются в единицах длины в четвертой степени (как правило, см4).

Понятие момента инерции поперечного сечения ввел в 1834 г. французский ученый Н. Перси.

18.Главные оси инерции и главные моменты инерции поперечного  сечения бруса

 

Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных осей (другая ей перпендикулярна).

Главные оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения стержня, называются главными центральными осями.

        Главные оси и главные моменты инерции Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае пару главных осей (в некоторых частных случаях их может быть бесчисленное множество). Для того чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, рассмотрим, как изменяется центробежный момент инерции при повороте осей на 90' . Для произвольной площадки dA, взятой в первом квадранте системы осей хОу, обе координаты, а следовательно, и их произведение положительны. В новой системе координат х,Оу„ повернутой относительно первоначальной на 90', произведение координат рассматриваемой площадки отрицательно.

    Абсолютное значение этого произведения не изменяется, т. е. ху= — х1у,. Очевидно, то же самое имеет место и для любой другой элементарной площадки. Значит, и знак суммы dAxy, представляющий собой центробежный момент инерции сечения, при повороте осей на 90' меняется на противоположный, т. е. J = = — J.

 В процессе поворота осей центробежный момент инерции изменяется непрерывно, следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю. Эти оси и являются главными.

     Хотя мы и установили, что главные оси можно провести через любую точку сечения, но практический интерес представляют только те из них, которые проходят через центр тяжести сечения — главные центральные оси. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть их просто главными осями, опуская слово «центральные».

    В общем случае сечения произвольной формы для определения положения главных осей необходимо провести специальное исследование. Здесь ограничимся рассмотрением частных случаев сечений, имеющих по меньшей мере одну ось симметрии .

Проведем через. центр тяжести сечения ось Ох, перпендикулярную оси симметрии Оу, и определим центробежный момент инерции J. Воспользуемся известным из курса математики свойством определенного интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и представим J s виде двух слагаемых: так как, для любой элементарной площадки, расположенной справа от оси симметрии, есть соответствующая слева, для которой произведение координат отличается лишь знаком.

           Таким образом, центробежный момент инерции относительно осей Ох и Оу оказался равным нулю, т. е. это главные оси. Итак, для нахождения главных осей симметричного сечения достаточно найти положение его центра тяжести. Одной из главных центральных осей является ось симметрии, вторая ось ей перпендикулярна. Конечно, приведенное доказательство остается в силе, если ось, перпендикулярная оси симметрии, проходит и не через центр тяжести сечения, т. е. ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.

       Нецентральные главные оси, как уже указывалось, интереса не представляют.

 Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называют главными центральными (или сокращенно главными) моментами инерции. Относительно одной из главных осей момент инерции максимален, относительно другой — минимален. Например, для сечения, изображенного на рис. 6.8, максимальным является момент инерции J (относительно оси Ox).

    Конечно, говоря об экстремальности главных моментов инерции, имеют в виду лишь их сравнение с другими моментами инерции, вычисленными относительно осей, проходящих через ту же точку сечения. Таким образом, то обстоятельство, что один из главных моментов инерции максимален, а другой — минимален, можно рассматривать как объяснение того, что они (н соответствующие оси) называются главными. Равенство же нулю центробежного момента инерции относительно главных осей — удобный признак для нх нахождения. Некоторые типы сечений, например круг, квадрат, правильный шестиугольник и др. (рис. 6.9), имеют бесчисленное множество главных центральных осей. Для этих сечений любая центральная ось является главной.

  Не приводя доказательства, укажем, что, в случае если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, у этого сечения любая центральная ось главная и все главные центральные моменты инерции одинаковы. 

19 вопрос

20 . Осевым моментом сечения называется отношение осевого момента инерции к максимальному расстоянию от центра тяжести сечения до наиболее удаленной точки противоположной оси.

Рассмотрим моменты инерции некоторых простых фигур.

Круг. I_ρ = I_x +I_y. Так как круг – симметричная фигура, то I_x= I_y. Следовательно, I_ρ = 2I_x. Исходя из определения полярного момента инерции и соотношения для полярного момента инерции и осевых моментов инерции в случае круга имеем:

Для кольца диаметром d и внутренним диаметром d₀

Полукруг. Главные центральные оси представляют собой ось симметрии этого полукруга и перпендикулярную ей ось. Для полукруга момент инерции в два раза меньше, чем момент инерции круга для той же самой оси. Если обозначить x₁ ось основания, то

Из соотношения, связывающего моменты инерции параллельных осей, одна из которых является центральной, и, зная значение ординаты центра тяжести полукруга y_c ≈ 0.424r можно определить моменты инерции полукруга:

Выводы:

1.      При параллельном переносе осей, если одна из осей – центральная, осевые моменты меняются на величину, равную произведению площади на квадрат расстояния между ними;

2.      Минимальный момент инерции получается относительно центральной оси;

3.      При переходе от центральных осей к нецентральным осевые моменты инерции увеличиваются, величины a²F и b²F следует прибавлять, а при переходе от осей нецентральных к центральным – вычитать.

Выводы формул для осевых моментов инерции прямоугольного и круглого поперечного сечений приведены в следующей теме.

Главные оси и главные моменты инерции

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные зна-чения, называются главными осями. Если к тому же они и цен-тральные, т.е. проходят через центр тяжести, то они называют-ся главными центральными осями. Моменты инерции относи-тельно главных осей называются главными моментами инер-ции.

Еще вариант:

МОМЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ СЕЧЕНИЯ

Осевым моментом сопротивления называется отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию от оси до наиболее удаленной точки поперечного сечения

Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения 

В качестве полюса принимается центр тяжести поперечного сечения стержня. 
Осевые моменты сопротивления для простейших сечений (I_xc и I_yc - центральные моменты инерции сечений):

3. Для круга (рис. 4.12).

4. Для полукруга (рис.4.13). 

22 вопрос

Правило знаков для изгибающих моментов связано с характером деформации балки. Так, изгибающий момент считается положительным, если балка изгибается выпуклостью вниз – растянутые волокна расположены снизу. При изгибе выпуклостью вверх, когда растянутые волокна находятся сверху, момент отрицателен.

Построение эпюры M (изгибающий момент)

Для построения эпюры М мы используем те же контрольные точки и те же участки, что и при построении эпюры Q.

Последовательно передвигаясь от начала к концу балки мы вычисляем значения моментов в контрольных точках и соединяем их в график который и будет указывать изгибающий момент в любой точке балки.

Изгибающий момент вычисляется произведением силы или центра приложения силы на плечо.

Для сосредоточенной силы мы умножаем значение нагрузки на расстояние до рассматриваемой точки.

Чтобы определить изгибающий момент от действия равномерно-распределенной нагрузки определяем расстояние до середины рассматриваемого участка равномерно-распределенной нагрузки, умножаем на длину рассматриваемого участка и на величину нагрузки. На графике эпюра М от действия равномерно-распределенной нагрузки напоминает изогнутую линию, гиперболу.

Для переменной нагрузки изгибающий момент определяем следующим образом: определяется центр приложения нагрузки (длина приложения нагрузки делится в соотношении 1/3-2/3, центр приложения нагрузки находится ближе к максимальной нагрузке), определяем длину от этой точки до рассматриваемой, умножаем на длину приложения нагрузки, и умножаем на половину от приложенной нагрузки (q).На графике эпюра М от действия переменной нагрузки также как и для равномерно-распределенной напоминает изогнутую линию, но с большим изгибом.

Приложенный момент в точке просто суммируется с вычисляемым изгибающим моментом от других нагрузок. В точке где приложен момент эпюра совершает скачок. Значение момента не умножается на расстояние, а остается неизменным по всей длине.

Правило знаков для построения эпюры M

Тут есть 2-а метода: метод которым пользуются строители и метод, которым пользуются машиностроители.

У строителей изгибающий момент считается положительным, если внешняя нагрузка приводит к растяжению верхних волокон и график откладываем вверх. Если внешняя нагрузка приводит к растяжению нижних волокон, то изгибающий момент считается отрицательным и график откладывается вверх. Т.е. график всегда откладывается в сторону растянутых волокон.

У машиностроителей все наоборот — положительное значение откладывается в сторону сжатых волокон.

Ни в том, ни в другом случае ошибки нет, просто разные методы и итоговые значения будут одинаковыми, только знаки противоположными.

23 вопрос

Рассмотрим чистый изгиб. Изгибающий момент по длине балки остается постоянным, а перерезывающая сила равна нулю. Так в средней части балки, показано на рис, возникает изгиб.

Изучим закон распределения напряжений в поперечном сечении бруса при чистом изгибе. Будем полагать, что поперечное сечение имеет хотя бы одну ось симметрии и нагрузки приложены в плоскости, проходящей через нее.

Если на боковую поверхность бруса, находящегося в условиях чистого изгиба, нанести ортогональную сетку (рис. 5.3), то линии перпендикулярные к оси бруса переместятся в плоскости, но останутся прямыми.

Рис. 5.3

Можно предполагать, что и поперечные сечения плоские до деформации останутся плоскими и после деформации, т.е. справедлива гипотеза плоских сечений Бернулли.

Образование деформаций при чистом изгибе может рассматриваться как результат поворота плоских поперечных сечений друг относительно друга (рис. 5.3). Рассмотрим два смежных сечения, отстоящих один от другого на расстоянии (рис. 5.4).

Рис. 5.4    Примем левое сечение условно за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол верхние слои удлинятся, а нижние — укоротятся. Очевидно, существует слой, в котором удлинения отсутствуют. Назовем его нейтральным слоем. Отметим его отрезком . В результате поворота сечений изменение кривизны нейтрального слоя будет следующим:

. Произвольно взятый отрезок (рис. 5.4) получим приращение длины . Так как сечения остаются плоскими,

,где — расстояние от рассматриваемого отрезка до нейтрального слоя . Положение этого слоя пока неизвестно.

Относительное удлинение слоя равно

. (5.4) Если предположить, что продольные волокна бруса не давят друг на друга, то каждое из них находится в условиях простого растяжения или сжатия.

В этом случае справедлив закон Гука

.  Подставляя из предыдущей формулы, имеем  . (5.5)

Таким образом, при чистом изгибе напряжения меняются в поперечном сечении по линейному закону.

Геометрическое место точек в сечении удовлетворяющее условию , называется нейтральной линией сечения. Нейтральная линия очевидно перпендикулярна к плоскости кривизны изогнутого бруса.

Свяжем теперь напряжения с внутренними силовыми факторами, возникающими при чистом изгибе.

Сумма элементарных сил (рис.5.5) дает нормальную силу в сечении. Но при чистом изгибе , поэтому или после подстановки имеем . Откуда — статический момент площади относительно нейтральной оси. Так как статический момент площади равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Теперь система координат может быть конкретизирована. Начало координат поместим в центр тяжести сечения. Ось направим по нормали к сечению. Ось по нейтральной линии. Ось будет лежать в плоскости изменения кривизны.

Пока мы рассматривали плоский изгиб, когда плоскость момента и кривизны совпадают.

При указанном случае момент элементарных сил относительно оси равен нулю, а относительно оси полному изгибающему моменту .

 (5.6) Второе выражение приводится к виду . Оно равно нулю в том случае, если плоскость изгибающего момента проходит через одну из главных осей. Такой изгиб называется плоским (прямым).

Из выражения (5.6) получаем зависимость кривизны бруса от изгибающего момента:

(5.7)  Возвращаясь к формуле (5.5) и, исключая из нее кривизну , получаем выражение для напряжения :

 (5.8)Максимальные напряжения при изгибе возникают в точках наиболее удаленных от нейтральной линии (рис. 5.6).

Рис. 5.6

; отношение называется моментом сопротивления сечения. Таким образом,

 (5.9)

Используя последнее выражение можно записать условие прочности при изгибе

 5.10)

Моменты сопротивления простейших сечений:

— для прямоугольного сечения со сторонами и 

— для круглого сечения

Таким образом, напряжения при изгибе обратно пропорциональны третьей степени линейных размеров сечения.

Наиболее экономичными являются сечения, для которых с наименьшей затратой материала получается наибольшая величина момента сопротивления .

Для рационально работающей на изгиб балки необходимо, по возможности, распределить площадь подальше от нейтральной оси. Так возникли стандартные двутавровые и швеллерные тонкостенные профили, показанные на ри.5.7.

24 вопрос

Условие прочности при изгибе заключается в следующем - рабочее напряжение должно быть меньше или равно допускаемому напряжению, т.е.

Условие жесткости при изгибе: рабочее линейное или угловое перемещение должно быть меньше или равно допускаемому линейному или угловому перемещению, т.е.

где [у] = (0,05 – 0,001) l [φ] = 0,001 град.

Для расчетов на прочность необходимо определить максимальные напряжения σ. Они будут в наиболее удаленных от оси Х точках того сечения, где изгибающий момент М_Х максимален (рисунок 181).

 ;  (99)  Так как Y₁ > Y₂, то напряжения σ_maxC > σ_maxp, поэтому материал должен лучше работать (сопротивляться) на сжатие, чем на растяжение – это хрупкий материал, у которого σ_вс > σ_вр. Балки из хрупких материалов должны иметь такие поперечные сечения, в которых нейтральная ось Х смещена в сторону растянутых волокон (рисунок 185, 186), т.е. большая часть балки находилась в растянутой зоне (рисунок 187).

Рисунок 185 Рисунок 186Рисунок 187

Из хрупких материалов, например, чугуна, отливают различные рамы, станины, подшипниковые подвески, работающие на изгиб. Серый чугун работает на сжатие значительно лучше, чем на растяжение.

Условие прочности для хрупких материалов выражается двумя неравенствами

  

где  ;  - допускаемые напряжения на сжатие и растяжение.

Пластичные материалы одинаково сопротивляются растяжению и сжатию

Для этих материалов нужно использовать симметричные сечения, у которых Y_max = Y₁ = Y₂, а значит σ_max = σ_max c = σ_max p.

Не все симметричные сечения одинаково рациональны. Наилучшим сечением является двутавр.

Сечения, в порядке уменьшения экономичности, приведены на рисунке 188.

Рисунок 188

Максимальные напряжения пластичных материалов

 ,

где  - осевой момент сопротивления сечения (102)

W_Х – это геометрическая характеристика прочности бруса.

Условие прочности для пластичных материалов (все величины берутся по модулю):

 (103)

25. Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии.

1. Устойчивость – свойство системы самостоятельно восстанавливать своё первоначальное положение после того, как ей было сообщено некоторое отклонение от положения равновесия.

2. Если система таким свойством не обладает, называется неустойчивой.(третья задача сопротивления материалов – расчёт на устойчивость (прочность, жёсткость – 1, 2 задачи)

3. В механике различают три состояния равновесия

А) безразличное– при малом отклонении тело остаётся в равновесии. Пример: катящееся колесо, шар. Если их остановить в любой точке, оно окажется равновесии – рис.1.

Б) неустойчивое– при малом отклонении тела из положения равновесия возникают силы, стремящиеся увеличить это отклонение. Пример: шар в верхней точке – рис.2.

В) устойчивое – при малых отклонениях тела от этого состояния возникают силы или моменты сил, стремящиеся возвратить тело в равновесие. Пример: шар в нижней точке – рис.3.

4. Потеря устойчивости– если упругое тело (конструкция) при отклонении от равновесия не возвращается к исходному положению. Явление потери устойчивости рассмотрим на примерах:

А) центрально-сжатого стержня- при некоторой продольно сжимающей силе стержень потеряет прямолинейную форму равновесия и изогнётся, иначе говоря, прямая форма равновесия становится неустойчивой.

Б) тонкостенной трубы– нагруженная внешним давлением: круговая форма становится неустойчивой и становится эллиптической, изогнувшись.

26. Устойчивость равновесия сжатых стержней. Задача Эйлера. Критическая сила. Коэффициенты приведения длины в расчетах на устойчивость.

 

Устойчивость сжатых стержней

Продольный изгиб 

При расчетах на прочность подразумевалось, что равновесие конструкции под действием внешних сил является устойчивым. Однако выход конструкции из строя может произойти  из-за того, что равновесие конструкций в силу тех или иных причин окажется неустойчивым. Во многих случаях, кроме проверки прочности, необходимо производить еще проверку устойчивости элементов конструкций.

Состояние равновесия считается устойчивым, если при любом возможном отклонении системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в первоначальное положение. 

Рассмотрим известные виды равновесия.

Неустойчивое равновесное состояние будет в том случае, когда хотя бы при одном из возможных отклонений системы от положения равновесия возникнут силы, стремящиеся удалить её от начального положения.

Состояние равновесия будет безразличным, если при разных отклонениях системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть её в начальное положение, но хотя бы при одном из возможных отклонений система продолжает оставаться в равновесии при отсутствии сил, стремящихся вернуть её в начальное положение или удалить от этого положения.

При потере устойчивости характер работы конструкции меняется, так как этот вид деформации переходит в другой, более опасный, способный привести её к разрушению при нагрузке значительно меньшей, чем это следовало из расчета на прочность. Очень существенно, что потеря устойчивости сопровождается нарастанием больших деформаций, поэтому явление это носит характер катастрофичности.

При переходе от устойчивого равновесного состояния к неустойчивому конструкция проходит через состояние безразличного равновесия. Если находящейся в этом состоянии конструкции сообщить некоторое небольшое отклонение от начального положения, то по прекращении действия причины, вызвавшей это отклонение, конструкция в исходное положение уже не вернется, но будет способна сохранить приданное ей, благодаря отклонению, новое положение.

Состояние безразличного равновесия, представляющее как бы границу между двумя основными состояниями – устойчивым и неустойчивым, называется критическим состоянием. Нагрузка, при которой конструкция сохраняет состояние безразличного равновесия, называется критической нагрузкой.

Эксперименты показывают, что обычно достаточно немного увеличить нагрузку по сравнению с её критическим значением, чтобы конструкция из-за больших деформаций потеряла свою несущую способность, вышла из строя. В строительной технике потеря устойчивости даже одним элементом конструкции вызывает перераспределение усилий во всей конструкции и нередко влечет к аварии.

Изгиб стержня,связанный с потерей устойчивости, называется продольным изгибом.

По определению Эйлера, критической силой называется сжимающая сила, требуемая для самого малого наклонения колонны.

Рис. 1

При расчете на устойчивость сжатых стержней, прежде всего, нужно уметь определять величину критической силы F_cr. Критическая сила– максимальная сжимающая нагрузкаF_кр, при которой прямолинейная форма стержня устойчива. (сила, при превышении которой происходит потеря устойчивости – критическое состояние)

Критическую силу рассматривают как предельную нагрузку. Допускаемая нагрузка должна быть, естественно, меньше критической

F_adm = F_cr/n_S, (1)

где n_S - коэффициент запаса устойчивости, величину которого принимают большей коэффициента запаса прочности п, так как учитывают дополнительные неблагоприятные факторы: начальную непрямолинейность оси стержня, возможный эксцентриситет действия сжимающей нагрузки и др. Для стальных стержней принимают n_S = 1,8 … 3; для хрупких материалов - до 5,5.

Потеря устойчивости была причиной многих аварий и катастроф; она возможна при кручении, изгибе и сложных деформациях.

Определение критической силы, задача Эйлера

Задача по определению критической силы F_cr впервые была решена Л.Эйлером в 1744 г. Рассмотрим сжатый стержень при условии, что стержень (рис. 2, а) изогнулся, т.е. сжимающая сила равна критической. Для изучения изгиба используем дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня

d²y/dx²= М_и/EI. (2)

Рис. 2

Изгиб происходит в плоскости минимальной жесткости, т.е. поперечные сечения будут поворачиваться вокруг той оси, относительно которой момент инерции I имеет минимальное значение. Изгибающий момент по абсолютной величине в любом сечении равен

М_и = F_cr?y, (3)

где у - прогиб поперечного сечения. Так как прогиб у и вторая производная от него d²y/dx² при любом направлении оси у всегда имеют противоположные знаки, уравнение (5.92) выразим как

d²y/dx² = (-F_cr?y)/(EI). (4)

....

F_cr = k²EI = (р²n²EI)/?². (7)

Чтобы стержень сохранял криволинейную форму, необходимо, чтобы сила была отлична от нуля, т.е. n ? 0. С практической точки зрения интерес представляет наименьшее значение критической силы, при действии которой происходит искривление оси стержня, потеря устойчивости. При n = 1 получаем наименьшее значение критической силы, равное

F_cr = (р²EI)/?². (8)

Используя особенности упругой линии, можно распространить полученное решение на другие случаи закрепления стержня. Так, если стержень на одном конце жестко защемлен, а на другом - свободен (рис. 2, б), то упругую линию стержня легко привести путем зеркального отображения относительно заделки к упругой линии шарнирно закрепленного стержня (рис. 2, а). Очевидно, критическая сила стержня с таким закреплением длиной ? будет равна критической силе шарнирно закрепленного стержня длиной 2?.

Общее выражение критической силы для сжатого стержня в обобщенном виде с учетом его типа крепления примет вид

F_cr = (р²EI)/(х?)² (9)

где х - коэффициент приведения длины стержня (коэффициент Ясинского), т.е. число, показывающее, во сколько раз нужно изменить длину шарнирно опертого с обоих концов стержня, чтобы критическая сила его была равна критической силе стержня с конкретными условиями закрепления. Чаще всего концы сжимаемых стержней закрепляют одним из четырех способов, показанных на рис. 3. Коэффициенты приведения длины указаны на схемах крепления. Наиболее чувствительным к потере устойчивости является крепление, представленное на рис 3, а и наименее чувствительным - на рис. 3, г. Отметим, что применение формулы (5.99) правомерно только при условии, что деформация сжатого стержня в момент потери начальной формы равновесия является упругой.

27. Критическое напряжение в расчетах на устойчивость. Радиус инерции. Предельная гибкость.

Критическая сила. Критическое напряжение

Наименьшая величина сжимающей силы, при которой первоначальная форма равновесия стержня – прямолинейная становится неустойчивой – искривленной, называется критической.

При исследовании устойчивости форм равновесия упругих  систем первые шаги были сделаны Эйлером.

В упругой стадии деформирования стержня при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности, критическая сила вычисляется по формуле Эйлера:

где I_min – минимальный момент инерции сечения стержня (обусловлено тем, что изгиб стержня происходит в плоскости с наименьшей жесткостью), однако исключения могут быть только в случаях, когда условия закрепления концов стержня различны в разных плоскостях, ℓ - геометрическая длина стержня, μ – коэффициент приведенной длины или коэффициент приведения (зависит от способов закрепления концов стержня), Значения μ приведены под соответствующей схемой  закрепления стержней 

Критическое напряжение вычисляется следующим образом

, где  гибкость стержня  ,

а  радиус инерции сечения.

Введем понятие предельной гибкости.

Величина λ_пред зависит только от вида материала: 

Если у стали 3  Е=2∙10¹¹Па, а σ_пц=200МПа, то предельная гибкость

Для дерева (сосна, ель) предельная гибкость λпред=70, для чугуна λпред=80

Таким образом, для стержней большой гибкости λ≥λ_пред критическая сила определяется по формуле Эйлера.

пределы применимости формулы Эйлера — применяется только в зоне упругих деформаций.

Краткое описание документа:

№1 Центральное растяжение и сжатие. Метод сечений. Внутренние силы в поперечных сечениях. Правило знаков. Построение эпюр нормальных сил.

Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием) .

Понятие о внутренних силах (метод сечений). Под действием внешних нагрузок в поперечных сечениях элементов конструкций и деталей машин возникают внутренние силы упругости, характеризующие связи между молекулами и его отдельными частицами. Возникновение внутренних сил сопровождается деформацией материала. Эти силы противодействуют внешним силам и стремятся восстановить прежнюю форму тела. Одна из задач сопротивления материалов состоит в определении величин внутренних сил.

Для этого широко используется метод сечений, сущность которого заключается в следующем:

1. В рассматриваемом месте элемент сооружения или деталь условно рассекается на две части.

2. Одна из частей условно отбрасывается.

3. Оставшаяся часть уравновешивается внутренними силами упругости.