Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Разработка лекционного занятия для СПО по математике по теме "Матрицы" для 2 курса

Разработка лекционного занятия для СПО по математике по теме "Матрицы" для 2 курса

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

ФИНАНСЫ Лекция 1

Раздел 1. Основы линейной алгебры

Тема 1.1. Матрицы и операции над матрицами. Определители и их свойства

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики – линейной алгебры. Изучить понятие матрицы, её видов, операции над матрицами, определителей и их свойств.

Задачи:

развитие творческого профессионального мышления;

познавательная мотивация;

овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

углубление теоретической и практической подготовки;

развитие инициативы и самостоятельности студентов.


Вид занятия: Комбинированное занятие, включающее в себя ознакомление с новым материалом, применение знаний и умений на практике, закрепление изученного.

Ход занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

  • Изучить теоретический материал по теме «Матрицы. Выполнение операций над матрицами. Определители и их свойства».

  • Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

  • Ответить на контрольные вопросы.


  1. Организационный момент.

Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.

Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции.

В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные способы решения систем линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения, метод двойного сложения, графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а существуют ли какие-либо другие способы решения данных систем. Действительно, кроме методов, изучаемых в школе, существуют и другие, доступные для учащихся старших классов методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Эти методы способствуют развитию внимания, памяти. При применении этих методов встречаются новые понятия: «матрица», «определитель», «минор», «дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители, миноры, дополнения.

При решении систем линейных уравнений методом Гаусса также нужно уметь выполнять преобразования над строками матриц.

Что же такое матрица, какие действия с ними можно выполнять?


  1. Изучение нового материала.

  1. Определение матрицы.

Совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы, состоящей из hello_html_711e407c.png строк и hello_html_m13ea0af.png столбцов, называют матрицей порядка hello_html_6939ddd9.png ( hello_html_711e407c.png на hello_html_m13ea0af.png ) и обозначают символом hello_html_65cb6ed9.png . В общем виде матрица выглядит так

hello_html_7a2d3bd.png .

Числа hello_html_1ed12ae9.png называют элементами матрицы. Каждый элемент имеет два индекса: первый показывает номер строки, в которой стоит этот элемент, а второй – номер столбца. Размерность матрицы указывать не обязательно. При hello_html_m3a4a78c0.png матрицу называют матрицей-строкой, а при hello_html_m18fec4f.png - матрицей-столбцом.

Матрицу, все элементы которой, равны нулю, называют нулевой матрицей и обычно обозначают hello_html_m3c3f85f.png.

Таким образом, hello_html_71a4432c.png .

Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, т.е. hello_html_6745b25f.png, то матрицу называют квадратной hello_html_m7462c76b.png порядка и обозначают символом hello_html_m77abc978.png. В квадратной матрице hello_html_m77abc978.png элементы с одинаковыми индексами hello_html_72fb4830.png называют элементами главной диагонали, а элементы, сумма индексов которых равна hello_html_m335b9582.png hello_html_m6b2ed12b.png , элементами побочной диагонали. Во множестве квадратных матриц особую роль играет матрица

hello_html_4256525e.png .

Ее называют единичной матрицей. Все элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы – нули.

Квадратную матрицу называют треугольной, если все ее элементы, стоящие ниже или выше элементов главной диагонали, равны нулю. Например, матрицы hello_html_m2bebabd1.png и hello_html_549ed50f.png треугольные, причем матрицу hello_html_m49cde324.png называют верхнетреугольной, а матрицу hello_html_m7c6715bc.png – нижнетреугольной.

Определение. Две матрицы одинакового порядка hello_html_65cb6ed9.png и hello_html_20a31c08.png называют

равными и пишут hello_html_65cb6ed9.png = hello_html_20a31c08.png, если все элементы с одинаковыми

индексами обеих матриц совпадают.

Матрицей размером тп называется прямоугольная таблица, составленная из тп чисел и имеющая т строк и п столбцов. Числа ij, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Каждый элемент матрицы снабжен двумя индексами: первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца, в котором расположен этот элемент.

Для изображения матрицы употребляют круглые скобки и часто обозначают ее одной буквой, например,

А=(ij)= hello_html_3cc32f6d.gif (1)


Первый индекс i (i = 1, 2, …m) обозначает номер строки, второй j (j = 1, 2, …n) – столбец матрицы. Матрицу принято обозначать заглавными буквами, например А, В, С и т.д.

Горизонтальный ряд чисел называется строкой, а вертикальный – столбцом.

Определение. Если т = п, то матрица называется квадратной матрицей порядка n. Число ее строк или столбцов называется порядком матрицы.

Определение. Если же m n, то матрица называется прямоугольной матрицей.

Определение. Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковые размеры и их соответствующие элементы равны. Пусть А = (ij) размером т п, В = (ij) размером pq. A = B, если m = p, n = q и ij = ij для i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n.

Определение. Последовательность элементов квадратной матрицы с одинаковыми индексами (i = j) называется главной диагональю матрицы (11, 22, 33,…,nn)/

Определение. Если в квадратной матрице все недиагональные элементы равны нулю (ij= 0, при i = j), то матрица называется диагональной.

А = hello_html_m70265729.gif

Определение. Квадратная диагональная матрица, у которой элементы главной диагонали равны единице, называется единичной матрицей Е.

А = hello_html_m1159acf4.gif

Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нуль-матрицей.

Определение. Матрица, состоящая только из одной строки, называется матрицей-строкой.

Определение. Матрица, состоящая только из одного столбца, называется матрицей-столбцом.

Определение. Матрицу Аt называют транспонированной по отношению к матрице А ,если она получена из матрицы А заменой строк этой матрицы её столбцами, и, наоборот, столбцов строками.

Например, пусть А - матрица размеров т п:

hello_html_m25965bcf.gif

транспонированная ей матрица:

hello_html_m41032da9.gif

Можно сказать, что транспонированная матрица получается переворачиванием матрицы вокруг главной диагонали.

Переход от матрицы А к матрице Аt называют операцией транспонирования.

Перечислим свойства операции транспонирования:

    1. (At)t = A,

    2. (A + B)t = At + Bt,

    3. (A)t = At,

    4. (AB)t = BtAt.


2. Операции над матрицами.

Определение. Суммой двух матриц А = (ij) и В = (ij) одинаковых размеров т п называется матрица С того же размера, элементы которых равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. С=А + В = (ij + ij) для i = 1, 2, …, m, j = 1, 2, …, n. Ясно, что сложение матриц сводится к сложению всех пар соответствующих элементов. Для матриц разных размеров сумма не определена.

Сложение матриц подчиняется законам:

  1. А + В = В + А (переместительный закон)

  2. (А + В) + С = А + (В + С) (сочетательный закон)

  3. А + О = О + А = А.

Для любой матрицы А размеров т п существует матрица В тех же размеров такая, что А + В = В + А = О. При этом если А = (ij) и В = (ij), то ij = - ij. Матрица В называется матрицей, противоположной матрице А и обозначается – А.


Определение. Произведением матрицы А = (ij) размером т п на число называется матрица (ij) тех же размеров, которая обозначается А.

Свойства умножения матрицы на число:

1. (А) = ()А.

  1. ( + )А = А + А.

  2. (А + В) = А + В.

  3. 1А = А.


Разность двух матриц А и В одинаковых размеров определяется равенствами:

А – В = А + (- В) = А + (-1)В.

Определение. Произведением матрицы А = (ij) размеров т п на матрицу В = (ij) размеров nk называется матрица С = (сij) размеров mk, каждый элемент сij которой вычисляется по формуле

сij = i11j + i22j + … + innj , i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n. (2)

Другими словами, элемент сij равняется сумме произведений элементов строки с номером i матрицы А на соответствующие элементы столбца с номером j матрицы В. Произведение матрицы А на матрицу В обозначается АВ.

Замечание: Операция умножения двух матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов первой матрицы – сомножителя А должно равняться числу строк второй матрицы сомножителя В. Если это условие не выполнено, произведение не существует.

Для запоминания формулы (2) пользуются мнемоническим правилом: «умножение i-той строки матрицы А на j-тый столбец матрицы В».

Приведем примеры умножения матриц.

  1. Вычислить произведение АВ, где

hello_html_36cd766f.gif

Число столбцов в первой матрице совпадает с числом строк во второй матрице, поэтому произведение АВ существует. Положим С = АВ. В матрице С столько же строк, сколько в матрице А, и столько же столбцов, сколько в матрице В, т.е. матрица С размеров 23. Пусть С = (сij), тогда по формуле (2) получаем

с11 = 2(-1) + 32 = 4, с12 = 22 + 31 = 7, с13 = 20 + 3(-1) = - 3,

с21 =(-1)(-1) + 42 = 9, с22 =(-1)2 + 41 = 2, с23 = (-1)0 + 4(-1) =-4.

Записав эти числа в матрицу, получим

hello_html_m49e946ee.gif

Заметим, что произведение ВА не существует, поскольку число столбцов в матрице В не равно числу строк в матрице А.


2. hello_html_m22dd820a.gif


3. hello_html_m191cee9.gif


4. hello_html_m69c0231c.gif


5. hello_html_m7e3306e9.gif


Свойства умножения матриц:

Умножение матриц в некоторых отношениях похоже на умножение чисел, а в других отношениях отличается от умножения чисел.

  1. Для чисел  = . Для матриц из существования произведения АВ даже не следует существование произведения ВА (см. пример 1 из предыдущего пункта). Если оба произведения АВ и ВА существуют, то это могут быть матрицы разных размеров (см. примеры 4 и 5 из предыдущего пункта). Даже если матрицы АВ и ВА существуют и имеют одинаковые размеры, в общем случае АВ ВА. Например,


hello_html_m68ffd977.gifhello_html_m2dbe4bdc.gif


  1. Если для чисел  = 0, то один из сомножителей равен нулю. Но для матриц, как видно из приведенного примера, равенство АВ = О может выполняться и в случае, когда А О и В О.

  2. Умножение матриц, подобно умножению чисел, подчиняется ассоциативному закону:

(АВ)С = А(ВС).


  1. Известно, что сложение и умножение чисел связаны дистрибутивным законом. Свойство дистрибутивности умножения относительно сложения для матриц выражается двумя равенствами:


(А + В)С = АС + ВС,

А(В + С) = АВ + АС.


  1. (АВ) = (А)В = А(В).

Рассмотрим теперь операцию умножения матрицы на матрицу. Пусть имеем матрицу

 hello_html_7a2d3bd.png

 и матрицу

 hello_html_5be98258.png .

Сразу же обратим внимание на размерность матриц: число столбцов матрицы hello_html_m4b1d8dcc.png равно числу строк матрицы hello_html_147043d5.png . Это условие является необходимым для того, чтобы можно было матрицу hello_html_m4b1d8dcc.png умножить на матрицу hello_html_147043d5.png .

Будем рассматривать элементы каждой строки матрицы hello_html_m4b1d8dcc.png как координаты hello_html_39b3d907.png мерных векторов:

hello_html_7d56cf60.png ;

hello_html_m579a9159.png ;

hello_html_1e2feb24.png

…………………….

hello_html_m339752ec.png .

Аналогично элементы каждого столбца матрицы hello_html_147043d5.png также будем рассматривать как координаты hello_html_39b3d907.png мерных векторов:

hello_html_15cfb68e.png ;

hello_html_37243596.png ;

hello_html_71d4668.png ;

……………………

hello_html_57af880b.png

Произведением матрицы hello_html_65cb6ed9.png на матрицу hello_html_48517585.png назовем матрицу hello_html_m4ac4af16.png .

Как видим, элементами матрицы hello_html_m49cde324.png являются скалярные произведения векторов hello_html_37836b4c.png , где hello_html_54dd1eac.png на векторы hello_html_m749d8215.png , где hello_html_ma5a7a45.png .

Рассмотрим свойства операции умножения матриц. Из определения операции умножения матрицы hello_html_65cb6ed9.png на матрицу hello_html_48517585.png вовсе не следует, что можно умножить матрицу hello_html_48517585.png на матрицу hello_html_65cb6ed9.png . Это осуществимо только при условии, что hello_html_m6ba24575.png . В противном случае произведение hello_html_7ea8e862.png просто не существует. Следовательно, бессмысленно говорить о коммутативности операции умножения матриц. Однако имеют место свойства ассоциативности: hello_html_m4b6350a4.png и дистрибутивности: hello_html_m4df445ed.png ; hello_html_m31256126.png , которые легко проверяются.

Очевидно, что если hello_html_m4b1d8dcc.png и hello_html_147043d5.png квадратные матрицы одного порядка, то существуют произведения hello_html_m392de7ca.png и hello_html_1039fd45.png , но нельзя утверждать, что hello_html_m419030f2.png . Если же матрицы hello_html_m4b1d8dcc.png и hello_html_147043d5.png таковы, что hello_html_m419030f2.png , то их называют перестановочными.

 

Особую роль при умножении квадратных матриц играет единичная матрица hello_html_4256525e.png . Легко показать, что для любой квадратной матрицы hello_html_3cfe27ff.png имеет место равенство hello_html_m63742d6d.png , т.е во множестве квадратных матриц hello_html_m7462c76b.png порядка матрица hello_html_70912aad.png является аналогом числа 1 во множестве действительных чисел.

Пусть имеем матрицу hello_html_7a2d3bd.png . Если в ней поменять местами строки и столбцы, сохранив их порядок, то получим матрицу hello_html_48e4d5a6.png , которую называют транспонированной для hello_html_65cb6ed9.png .

Легко заметить следующие два свойства операции транспонирования матрицы:

1°. Если матрицу hello_html_m4b1d8dcc.png транспонировать дважды, то в результате получим исходную матрицу hello_html_m4b1d8dcc.png : hello_html_m6e3eb8b1.png .

2°. При транспонировании квадратной матрицы элементы главной диагонали не меняются.

Определение 4. Если квадратная матрица hello_html_m4b1d8dcc.png совпадает со своей

транспонированной матрицей hello_html_2a262a9b.png , то ее называют

симметрической.

Из определения симметрической матрицы видно, что ее элементы должны быть симметричны относительно главной диагонали. Например, матрица hello_html_6c970ba5.png является симметрической, а матрица hello_html_10cc1579.png - нет.


  1. Определители и их свойства.

Рассмотрим квадратную матрицу второго порядка hello_html_mc2b1f3e.png . Определителем этой матрицы называют число, обозначаемое hello_html_e68a498.png , или hello_html_m244621ae.png , или hello_html_481edf9f.png , полученное из элементов матрицы hello_html_m4b1d8dcc.png по следующему правилу: hello_html_m70eb9fe8.png hello_html_m581636a3.png . Например, если hello_html_m2d7bc4e6.png , то hello_html_m5149c910.png hello_html_m4ece06d.png .

Рассмотрим теперь квадратную матрицу третьего порядка hello_html_m7f90848.png . Определителем этой матрицы назовем число hello_html_mbfd090.png .

hello_html_m3e4be58b.png hello_html_m127abd68.png , или

hello_html_m1c59ff08.png (1)

Равенство (1) называют разложением определителя по элементам первой строки.

Выражения hello_html_m6b6eea67.png ; hello_html_4e1ef712.png и hello_html_m1d85cad0.png называют алгебраическими дополнениями элементов hello_html_1eaaa89d.png , hello_html_5f2cbd62.png и hello_html_5cb69de5.pngсоответственно. Таким образом, разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки может быть записано в виде: hello_html_m38d7e018.png .

Нетрудно заметить, что аналогичным образом определитель третьего порядка может быть разложен по элементам второй и третьей строк, а также по элементам первого, второго или третьего столбца.

Рассмотрим теперь квадратную матрицу hello_html_39b3d907.png го порядка hello_html_3cfe27ff.png . Определителем такой матрицы, разложенным по hello_html_175716e4.png ой строке, назовем число

hello_html_34a015e5.png , где hello_html_m5f4433a8.png - элементы hello_html_175716e4.png ой строки, а hello_html_1add3772.png - их алгебраические дополнения.

Рассмотрим основные свойства определителей.

1). При умножении всех элементов любой строки матрицы hello_html_3cfe27ff.png на некоторое число определитель исходной матрицы умножается на это число.

2). Определитель матрицы, содержащей нулевую строку, равен нулю.

3). При перестановке местами любых двух строк матрицы hello_html_3cfe27ff.png без изменения остальных строк определитель меняет знак.

4). Определитель матрицы, содержащей две одинаковые строки, равен нулю.

5). Определитель матрицы hello_html_3cfe27ff.png не изменится, если к любой строке матрицы прибавить любую другую строку, умноженную на некоторое число.

6). Определитель произведения двух квадратных матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц.

7). При транспонировании квадратной матрицы ее определитель не меняется.

Квадратную матрицу hello_html_m77abc978.png называют вырожденной

(невырожденной), если hello_html_23550613.png hello_html_1aca254.png .

Число hello_html_651485ff.png называют собственным числом матрицы hello_html_m4b1d8dcc.png , если оно является корнем уравнения hello_html_345edc61.png .


  1. Закрепление нового материала.


Пример 1: Найти сумму матриц: А = hello_html_6116c7ad.gif и В = hello_html_m96b5f4.gif.


Решение: С = А + В С = hello_html_6050a6fb.gif

Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, надо к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В.


А – В = А + (-В)


Пример 2: Найти разность матриц А – В: А = hello_html_4124cb3b.gif и В = hello_html_6c58e02e.gif.


Решение: С = А – В -В = hello_html_1e8019a4.gif С = hello_html_6011c581.gif


Пример 3: Дана матрица А =hello_html_6b616a2c.gif. Найти матрицу С = 2А.


Решение: С = 2А = hello_html_7465fe46.gif



Пример 4: Даны матрицы: А = hello_html_m32bbcf37.gif и В = hello_html_650a7a7.gif.

Найти произведение матриц А и В.

Решение: С = АВ С = hello_html_3fe602d8.gifС = hello_html_m6bdf598.gif

Задания для решения:

 

1.Вычислить произведение матриц:

hello_html_m47ed28a7.png .

Решение. Первая матрица имеет размеры 2´3, а вторая размеры 3´3, поэтому произведение существует. В результате умножения получится матрица С = (cij) размеров 2´3. Вычислим ее элементы.

 

с11 = (-2)×3 + 3×1 + 1×4 = 1, с12 = (-2)×(-1) + 3×1 + 1×6 = 11,

с13 = (-2)×2+3×0+1×8 = 4, с21 = 0×3 + 5×1 + 6×4 = 29,

с22 = 0×(-1) + 5×1 + 6×6 = 41, с23 = 0×2+5×0+6×8 = 48.

Ответ: hello_html_m52340e9e.png .

 

2.Вычислить произведение матриц:

 

hello_html_7993ce00.png .

Решение. Первая матрица имеет размеры 3´3, а вторая размеры 2´3. Число столбцов в первой матрице (3) не совпадает с числом строк во второй матрице (2), поэтому произведение не существует,

Ответ: произведение не существует.

 

3.Вычислить произведение матриц:

hello_html_m69e7a914.png .

Ответ: hello_html_408b97f4.png .

 

4.Вычислить произведение матриц:

hello_html_m1541cc4f.png .

5.Вычислить произведение матриц:

 

hello_html_c290c12.png .

6.Вычислить произведение матриц:

hello_html_m28c91895.png .

7.Вычислить произведение матриц:

hello_html_m167a259b.png .

8.Вычислить произведение матриц:

hello_html_2aceb577.png .

9.Вычислить степень матрицы:

hello_html_m325b933.png .

10. Вычислить степень матрицы:

hello_html_49f5500.png .

11. Вычислить значение многочлена f(x) = 2x+ x - 3 от матрицы hello_html_7ef955ae.png .

Указание. f(А) = + А - 3Е, где Е – единичная матрица размеров 2´2. Далее использовать определения операций умножения матриц, умножения матрицы на число и сложения матриц.

Ответ: hello_html_m4ee229df.png .

12. Вычислить значение многочлена f(x) = x- x+ x + 2 от матрицы

hello_html_m6a4e6173.png .

Ответ: hello_html_72b3304e.png .


  1. Итоги занятия.

Вопросы и задания для самооценки:
ЧТО НАЗЫВАЕТСЯ: 
- матрицей, квадратной, единичной, диагональной, транспонированной матрицей;
- обратной матрицей, рангом матрицы, базисным минором;
- определителем, минором, алгебраическим дополнением;
ПЕРЕЧИСЛИТЬ СВОЙСТВА: 
- суммы матриц, произведения матрицы на скаляр, произведения матриц;
- определителей.
ЗАПИСАТЬ ФОРМУЛЫ:
- для вычисления определителей второго и n-го порядка, для нахождения обратной матрицы.
СФОРМУЛИРОВАТЬ 
- существования и единственности обратной матрицы; теорему о базисном миноре.

  1. Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения:

1.Найти hello_html_e5d929.gif, если hello_html_ef1b81d.gif.

2.Даны матрицы hello_html_m21a049c9.gif.

Найти: а) hello_html_6f015d85.gif б) hello_html_62b54070.gif


3.Найти матрицу hello_html_m4dd5a69c.gif, если

а) hello_html_fd91c8f.gif

б) hello_html_m5dead1c3.gif


  1. Рефлексия.

Продолжи фразу

1. Я повторил …

2. Я узнал …

3. Я научился…

4. Я могу…














21


Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 09.09.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров115
Номер материала ДБ-182906
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх