Лекция на тему "Основной принцип комбинаторики. Виды соединений"

Лекция: «Основной принцип комбинаторики. Виды соединений».

ПЛАН:

1.       Понятие теории вероятностей и математической статистики.

2.       Понятие комбинаторики. Основные комбинаторные формулы.

3.       Решение типовых примеров.

ВОПРОС 1. Понятие теории вероятностей и математической статистики.

Возникновение теории вероятностей связано с вопросами азартных игр. Затем она получает применение к анализу ошибок наблюдений. Как наука – возникновение теории вероятностей относится к середине XVII столетия.

Современная теория вероятностей является весьма разветвленной наукой. Она является приложением к:

§  теоретической физике (статистическая физика, квантовая теория);

§  радиоэлектронике;

§  теории случайных помех в линиях связи;

§  теории автоматического регулирования при наличии случайных помех и т.д.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Под случайными явлениями понимаются явления с неопределенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.

Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Математическая статистика опирается на теорию вероятностей.

Вывод: теория вероятностей и математическая статистика являются основой для построения количественных моделей управления экономическими системами. Примерами таких моделей служат:

§ модели теории массового обслуживания;

§ модели теории игр;

§ модели планирования и управления запасами.

ВОПРОС 2. Понятие комбинаторики. Основные комбинаторные формулы.

Комбинаторика связана с подсчетом числа комбинаций, которые можно составить из данных элементов, соблюдая те или иные условия.

К простейшим комбинациям относятся сочетания, размещения и перестановки.

Для любых натуральных n и m, таких, что , действительны следующие формулы:

1. число размещений из n элементов по m () находится по формуле:

 или  (для )

2. число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n:

3. число сочетаний из n элементов по m () находится по формуле:

 или (для )

Условимся, что 0! = 1. Тогда . Справедливо равенство: (для ).

ВОПРОС 3. Решение типовых примеров.

Задача 1.

В соревновании участвуют 8 команд. Сколько существует вариантов распределения мест между ними?

Решение.

Этим числом служит число перестановок из 8:

Ответ: 40320 вариантов.

Задача 2.

К полуфинальному этапу турнира допущены восемь команд: 1,2,3,4,5,6,7,8. В финал (на равных основаниях) попадают лишь три из них. Сколькими способами могут определиться участники финала?

Решение.

Тройка победителей в полуфинале может быть определена следующим числом способов:

Ответ: 56 способов.

Задача 3.

К полуфинальному этапу турнира допущены восемь команд: 1,2,3,4,5,6,7,8. В финале разыгрываются три медали: золотая, серебряная и бронзовая. Сколькими способами могут быть распределены медали?

Решение.

Борьба за золотую, серебряную и бронзовую медали завершается одним из

способов

Ответ: 336 способов.

Задача 4.

Составить все двузначные числа из трех цифр 3, 4, 5.

Решение.

Имеем 34, 35, 43, 45, 53, 54.

Общее количество разных чисел можно рассчитать по формуле: .

Ответ: 6 чисел.

Задача 5.

Сколькими способами можно составить список из 8 студентов?

Решение.

По формуле  получим:

Р₈ = 8! = .

Ответ: 40320 способов

Задача 6.

На сборах присутствуют 30 человек. Сколькими способами можно выбрать президиум в составе трех человек?

Решение.

Искомое число способов равняется числу комбинаций (сочетаний) из 30 элементов по 3:

.

Ответ: 4060 способов.

Задача 7.

На собрании членов кооператива присутствуют 20 человек. Сколькими способами из присутствующих можно выбрать:

а) правление кооператива в составе 5 человек;

б) председателя правления, его заместителя и бухгалтера?

Решение.

а) Из 20 человек нужно выбрать 5 человек. Это можно сделать следующим числом способов:

б) Из 20 человек нужно выбрать не просто 3 человека, но и решить, кто из них на какой должности окажется. Задача сводится к построению упорядоченного трехэлементного подмножества данного 20-элементного множества. Такая задача имеет следующее число решений:

Ответ: 15504 способов; 6840 способов.

Задача 8.

На флагштоке 5 мест и 5 флагов: 2 красных и 3 белых. Сколько различных сигналов можно изобразить, используя все флаги одновременно?

Решение.

В данном случае предположить то или иное расположение флагов на флагштоке – это то же самое, что из пяти имеющихся мест выбрать два каких-то места для красных флагов (оставив три места для белых флагов). А это можно сделать способами. Таким образом, ответ:

Ответ: 10 сигналов.

ПРИМЕР 6.

В дизайн кружке 12 юношей и 8 девушек. Для участия в соревнованиях из них нужно составить команду, в которую должны войти 9 юношей и 3 девушки. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Отбор юношей в команду можно осуществить способами, а отбор девушек -  способами. Следовательно, нужную команду можно составить следующим числом способов (комбинаторный принцип умножения):

Ответ: 4704 способов.