Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Лекция на тему "Основной принцип комбинаторики. Виды соединений"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Лекция на тему "Основной принцип комбинаторики. Виды соединений"

библиотека
материалов

Лекция: «Основной принцип комбинаторики. Виды соединений».

ПЛАН:

  1. Понятие теории вероятностей и математической статистики.

  2. Понятие комбинаторики. Основные комбинаторные формулы.

  3. Решение типовых примеров.


ВОПРОС 1. Понятие теории вероятностей и математической статистики.


Возникновение теории вероятностей связано с вопросами азартных игр. Затем она получает применение к анализу ошибок наблюдений. Как наука – возникновение теории вероятностей относится к середине XVII столетия.

Современная теория вероятностей является весьма разветвленной наукой. Она является приложением к:

  • теоретической физике (статистическая физика, квантовая теория);

  • радиоэлектронике;

  • теории случайных помех в линиях связи;

  • теории автоматического регулирования при наличии случайных помех и т.д.

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.

Под случайными явлениями понимаются явления с неопределенным исходом, происходящие при неоднократном воспроизведении определенного комплекса условий.

Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений с целью выявления статистических закономерностей. Математическая статистика опирается на теорию вероятностей.

Вывод: теория вероятностей и математическая статистика являются основой для построения количественных моделей управления экономическими системами. Примерами таких моделей служат:

  • модели теории массового обслуживания;

  • модели теории игр;

  • модели планирования и управления запасами.


ВОПРОС 2. Понятие комбинаторики. Основные комбинаторные формулы.


Комбинаторика связана с подсчетом числа комбинаций, которые можно составить из данных элементов, соблюдая те или иные условия.

К простейшим комбинациям относятся сочетания, размещения и перестановки.

Для любых натуральных n и m, таких, что hello_html_2018807c.gif, действительны следующие формулы:

  1. число размещений из n элементов по m (hello_html_195803ef.gif) находится по формуле:

hello_html_me48ff4c.gifили hello_html_m2e3fb53e.gif (для hello_html_m1aa7fc73.gif)

  1. число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n:

hello_html_m65ff827f.gif

  1. число сочетаний из n элементов по m (hello_html_195803ef.gif) находится по формуле:

hello_html_6090f365.gifили hello_html_m6ead0fd1.gif(для hello_html_m1aa7fc73.gif)hello_html_44dced9.gif


Условимся, что 0! = 1. Тогда hello_html_62eb7740.gif. Справедливо равенство: hello_html_m580af4cf.gif(для hello_html_m1aa7fc73.gif).


ВОПРОС 3. Решение типовых примеров.


Задача 1.

В соревновании участвуют 8 команд. Сколько существует вариантов распределения мест между ними?

Решение.

Этим числом служит число перестановок из 8:

hello_html_m1faf02aa.gif

Ответ: 40320 вариантов.

Задача 2.

К полуфинальному этапу турнира допущены восемь команд: 1,2,3,4,5,6,7,8. В финал (на равных основаниях) попадают лишь три из них. Сколькими способами могут определиться участники финала?

Решение.

Тройка победителей в полуфинале может быть определена следующим числом способов:

hello_html_m16a8b069.gif

Ответ: 56 способов.


Задача 3.

К полуфинальному этапу турнира допущены восемь команд: 1,2,3,4,5,6,7,8. В финале разыгрываются три медали: золотая, серебряная и бронзовая. Сколькими способами могут быть распределены медали?

Решение.

Борьба за золотую, серебряную и бронзовую медали завершается одним из

hello_html_m238e6ba3.gifспособов

Ответ: 336 способов.


Задача 4.

Составить все двузначные числа из трех цифр 3, 4, 5.

Решение.

Имеем 34, 35, 43, 45, 53, 54.

Общее количество разных чисел можно рассчитать по формуле: hello_html_m281f1030.gif.

Ответ: 6 чисел.


Задача 5.

Сколькими способами можно составить список из 8 студентов?

Решение.

По формуле hello_html_m65ff827f.gif получим:

Р8 = 8! = hello_html_3b5bfb92.gif.


Ответ: 40320 способов


Задача 6.

На сборах присутствуют 30 человек. Сколькими способами можно выбрать президиум в составе трех человек?

Решение.

Искомое число способов равняется числу комбинаций (сочетаний) из 30 элементов по 3:

hello_html_m47af65d2.gif.

Ответ: 4060 способов.


Задача 7.

На собрании членов кооператива присутствуют 20 человек. Сколькими способами из присутствующих можно выбрать:

а) правление кооператива в составе 5 человек;

б) председателя правления, его заместителя и бухгалтера?

Решение.

а) Из 20 человек нужно выбрать 5 человек. Это можно сделать следующим числом способов:

hello_html_58846d97.gif

б) Из 20 человек нужно выбрать не просто 3 человека, но и решить, кто из них на какой должности окажется. Задача сводится к построению упорядоченного трехэлементного подмножества данного 20-элементного множества. Такая задача имеет следующее число решений:

hello_html_m42162b99.gif

Ответ: 15504 способов; 6840 способов.

Задача 8.

На флагштоке 5 мест и 5 флагов: 2 красных и 3 белых. Сколько различных сигналов можно изобразить, используя все флаги одновременно?

Решение.

В данном случае предположить то или иное расположение флагов на флагштоке – это то же самое, что из пяти имеющихся мест выбрать два каких-то места для красных флагов (оставив три места для белых флагов). А это можно сделать hello_html_8d0ca9b.gifспособами. Таким образом, ответ: hello_html_m725393e9.gif

Ответ: 10 сигналов.


ПРИМЕР 6.

В дизайн кружке 12 юношей и 8 девушек. Для участия в соревнованиях из них нужно составить команду, в которую должны войти 9 юношей и 3 девушки. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Отбор юношей в команду можно осуществить hello_html_165ce3.gifспособами, а отбор девушек - hello_html_m5ada574.gif способами. Следовательно, нужную команду можно составить следующим числом способов (комбинаторный принцип умножения):

hello_html_mb2b2836.gif

Ответ: 4704 способов.

3



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 05.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров184
Номер материала ДБ-010143
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх