Лекция на тему: "Параллельность плоскостей".

Параллельность плоскостей.

Цель:

·        Дать определение параллельных плоскостей и вспомним аксиому о пересечении двух плоскостей.

План занятия

1. Определения параллельных плоскостей.

2. Теорема (Признак параллельности двух плоскостей) и доказательство.

3. Свойства параллельных плоскостей.

4. Итоги занятия.

Ход занятия

Определения параллельных плоскостей

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Обозначение: .

Иллюстрация параллельных плоскостей (Рис. 1.)

        Рис. 1.

Аксиома А3

Существуют ли параллельные плоскости?

Вспомним аксиому А3.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (Рис. 2.).

        Рис. 2.

То есть, еще остается случай, если две плоскости не имеют общей точки. Такие плоскости называются параллельными.

Теорема (Признак параллельности двух плоскостей) и доказательство

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Доказательство

Проведем в плоскости  две пересекающиеся прямые а и b в точке М, а в плоскости  пересекающиеся прямые а₁ и b₁, причем прямая а₁ параллельна прямой а, а прямая b₁ параллельна прямой b (Рис. 3.). Докажем, что плоскости  и  параллельны.

         Рис. 3.

Прямая а принадлежит плоскости , прямая а₁ принадлежит плоскости , а прямая а параллельна прямой а₁. Значит, прямая а параллельна плоскости , по признаку параллельности прямой и плоскости. Аналогично, прямая b параллельна прямой b₁ из плоскости . Значит, прямая b параллельна плоскости .

Предположим, что плоскости  и  не являются параллельными, то есть они пересекаются по некоторой прямой, назовем ее с (Рис. 4.).

           Рис. 4.

Плоскость  проходит через прямую а, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая а параллельна прямой с. Аналогично, плоскость  проходит через прямую b, параллельную плоскости , и пересекает эту плоскость по прямой с. Согласно опорному факту, прямая b параллельна прямой с. Получаем, что через одну точку М проходит две прямые, параллельные прямой с, что невозможно. Получили противоречие. Значит, предположение о том, что плоскости пересекаются, было неверным. Значит, плоскости не пересекаются, то есть параллельны, что и требовалось доказать.