Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Лекция на тему: "Показательная форма комплексного числа"

Лекция на тему: "Показательная форма комплексного числа"



Осталось всего 2 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m4435e20d.gifhello_html_47727162.gifhello_html_m34ab01c2.gifЛекция

Показательная форма комплексного числа.

План

1. Общий вид показательной формы.

2.Действия над комплексными числами в показательной форме

1. Общий вид показательной формы.

Рассмотрим показательную функцию hello_html_m72c2ff48.gif


Можно показать, что функция w может быть записана в виде:


hello_html_mdf16cdc.gif


Данное равенство называется уравнением Эйлера.

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:


1) hello_html_4b7c2601.gif

2) hello_html_ddeeb6e.gif

3) hello_html_m44696feb.gif где m – целое число.


Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

hello_html_maf83a4f.gif

Для комплексно – сопряженного числа получаем:

hello_html_525d8a39.gif


Из этих двух уравнений получаем:


hello_html_m78d5a6ea.gif


Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

hello_html_bf43174.gif

и воспользуемся формулой Эйлера: hello_html_3b8510e1.gif


hello_html_m15360d6.gif


Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Пример 1. Записать в показательной форме комплексное число hello_html_m4c6cd73c.gif.

Модуль hello_html_2e4f23db.gifНаходим аргумент hello_html_54aac410.gif.

Поскольку hello_html_m6a2660f5.gif

Пример 2.hello_html_m70f387d5.gif Находим модуль hello_html_104d4adc.gif. Аргумент hello_html_54aac410.gif (главное значение) найдём из соотношения hello_html_67f55b2b.gifИтак hello_html_827107a.gif

Пример 3. hello_html_7b8c193b.gif.

Пример 4.hello_html_m7a10493c.gif

2. Действия над комплексными числами в показательной форме.

Из формули Эйлера hello_html_m416e9bc1.gif (1)


hello_html_m73b9b3ea.gif(2) можно получить важне следствия.

Складывая почленно равенства(1) і (2),получим hello_html_569c6a31.gif откуда

hello_html_15f969f0.gif(3)

Почленно вычитая из равенства (1) равенство (2),получаем hello_html_m1983ae70.gif откуда

hello_html_m33b812ba.gif(4)

Равенства(3) і (4) также называются формулами Эйлера; они выражают тригонометрические функции действительного аргумента hello_html_54aac410.gifчерез показательные функции мнимого аргумента. Формулы (3) и (4) справедливы и тогда, кордаhello_html_54aac410.gif заменяется любым комплексным числомhello_html_m4a2d524c.gif ; такая замена дает:

hello_html_16949bc.gif(5) hello_html_m189b49fc.gif (6)

равенства (5) и (6) принимаются за определения косинуса и синуса комплексного аргумента. Если комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление, возведение в степень производится по правилам действий со степенями. Так, для произведения и частного комплексных чиселhello_html_m29b2ce22.gif

hello_html_m6692064.gifhello_html_m57cc1755.gifhello_html_1f35e426.gifhello_html_3bfbd041.gif


hello_html_5055fb1a.gifДля вычисления корня из комплексного числа

hello_html_7df7e9a2.gifиспользуется формула , где k принимает n значений: 0,1,2,…,n-1


Упражнения для коллективного решения

1. Выполните действия в показательной форме. Результат записать в алгебраической и тригонометрической форме:

а)hello_html_48d19c12.gif; б) hello_html_735cad63.gif; в) hello_html_m1963c32d.gif; г) hello_html_46bbd4a3.gif


Вопросы для самопроверки:

1.Запишить общий вид комплексного числа в показательной форме.

2.Запишить формулы для выполнения арифметических действий с комплексными числами в показательной форме.

3.Запишить данные комплексные числа в алгебраической и тригонометрической форме: а) hello_html_1e81c422.gif; б) hello_html_7c7d4064.gif; в)hello_html_47d16aea.gif








57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 12.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров423
Номер материала ДВ-332200
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх