Лекция на тему: "Показательная форма комплексного числа"

Лекция

Показательная форма комплексного числа.

План

1. Общий вид показательной формы.

2.Действия над комплексными числами в показательной форме

1. Общий вид показательной формы.

Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

Данное равенство называется уравнением Эйлера. 

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

1)

2)

3)   где m – целое число.

         Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

         Для комплексно – сопряженного числа получаем:

         Из этих двух уравнений получаем:

         Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

         Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

     

Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.

Пример 1. Записать в показательной форме комплексное число .

     Модуль   Находим аргумент  .

   Поскольку

Пример 2. Находим модуль  . Аргумент   (главное значение) найдём из соотношения  Итак   

Пример  3. .

Пример 4.

2. Действия над комплексными числами в показательной форме.

Из формули Эйлера      (1)

  (2) можно получить важне следствия.

     Складывая почленно равенства(1)  і (2),получим   откуда

                          (3)

Почленно вычитая из равенства  (1)  равенство  (2),получаем   откуда

                           (4)

     Равенства(3)  і (4)  также называются формулами Эйлера; они выражают тригонометрические функции действительного аргумента через показательные функции мнимого аргумента. Формулы (3) и (4) справедливы и тогда, корда  заменяется любым комплексным числом ; такая замена дает:

                     (5)                                (6)

равенства (5) и (6) принимаются за определения косинуса и синуса комплексного аргумента. Если комплексные числа записаны в показательной форме, то умножение, деление, возведение в степень производится по правилам действий со степенями. Так, для произведения и частного комплексных чисел

Для вычисления корня из комплексного числа

используется формула                       , где k принимает n значений: 0,1,2,…,n-1

Упражнения для коллективного решения

1. Выполните действия в показательной форме. Результат записать в алгебраической и тригонометрической форме:

 а);   б) ;   в) ;     г)

Вопросы для самопроверки:

1.Запишить общий вид комплексного числа в показательной форме.

2.Запишить формулы для выполнения арифметических действий с комплексными числами в показательной форме.

3.Запишить данные комплексные числа в алгебраической и тригонометрической форме: а) ;  б) ;  в)