Лекция на тему: Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.

Занятие

Тема: Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний.

Количество часов: 2 часа

Цель: повторить формулы для нахождения числа различных видов комбинаций: размещений, перестановок, сочетаний; научиться распознавать задачи на нахождение размещений, перестановок, сочетаний; решить простейшие комбинаторные задачи с помощью этих формул.

План:

1. Задача.

2. Выводы из решения задачи.

3. Решение задач с использованием данных формул.

 

Вопрос 1. Задача.

Задача.

“У вас есть 9 разных книг из серии “Занимательная математика”. Сколькими способами можно:

1) расставить их на полке;

2) подарить три из них победителям школьной олимпиады, занявшим первые три призовых места;

3) выбрать три из них для подарка своему племяннику”

Для ответа на первый вопрос задачи вспомним:

Вопросы преподавателя	Ответы обучающихся
1. Как называются различные комбинации выстраивания нескольких предметов друг за другом?	– Перестановками
2. Что называется перестановками из n элементов?	– Перестановками из n элементов называются комбинации из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком следования элементов
3. Чем отличаются друг от друга две различные перестановки?	– Порядком следования элементов
4. По какой формуле можно вычислить число всевозможных перестановок из n элементов?	–
5. Рассчитаем число всевозможных перестановок из 9 книг на полке

Для ответа на второй вопрос задачи вспомним:

Вопросы преподавателя	Ответы обучающихся
1. Как можно выбрать три книги из девяти для трех победителей?	– Произвольно, наборы из трех книг могут отличаться либо книгами, либо порядком их дарения
2. Как можно назвать наборы из 9 книг по 3 в каждом?	– Размещениями из 9 книг по 3
3. Что называется размещениями из n элементов по k элементов?	– Размещениями из n элементов по k элементов – называются комбинации из n элементов по k каждой, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком расположения элементов
4. Чем отличаются друг от друга две различные комбинации-размещения?	– Порядком следования элементов – Составом элементов
5. По какой формуле можно вычислить число всевозможных размещений из n элементов по k элементов?	–
6. Рассчитаем число всевозможных размещений из 9 книг по 3 для победителей

Для ответа на третий вопрос задачи подумаем:

Вопросы преподавателя	Ответы обучающихся
1. Важно ли для племянника в каком порядке располагаются книги в его подарочном наборе?	– Нет
2. Как можно назвать комбинации из 9 книг по 3 в каждой?	-Сочетаниями из 9 книг по 3
3. Что называется сочетаниями из n элементов по k элементов?	– Сочетаниями из n элементов по k элементов – называются комбинации из n элементов по k каждой, отличающиеся друг от друга составом
4. Чем отличаются друг от друга две различные комбинации-сочетания?	– Составом элементов
5. По какой формуле можно вычислить число всевозможных сочетаний из n элементов по k элементов?	–
6. Рассчитаем число всевозможных сочетаний из 9 книг на полке 3 для победителей

Вопрос 2. Выводы из решения задачи.

Вопросы преподавателя	Ответы обучающихся
1. В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи называются комбинаторными. Для нахождения комбинаций – размещений, перестановок и сочетаний и их числа существуют специальные способы. Назовите признаки, по которым можно отличить друг от друга эти комбинации?	– Порядок следования элементов – Состав элементов
2. Зафиксируем наличие перечисленных признаков в обобщающую таблицу:	Признаки Порядок следования элементов + – + Состав элементов – + +

Среди перечисленных ниже задач выделить те, в которых требуется найти

а)размещения;
б)перестановки;
в) сочетания.

Номера выбранных задач и способ нахождения числа комбинаций записать в таблицу:

Вопросы
Формула
№ задач

Задачи:

1.    Сколько разных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, если цифры в записи числа используются только один раз?

2.    Сколько существует четырёхзначных чисел, в записи которых участвуют лишь цифры 1, 2, 3, 4, 5, причём цифры в записи числа не повторяются?

3.    Сколькими способами можно составить четырёхцветный флаг из горизонтальных полос одинаковой ширины, имея четыре различных цвета?

4.    Сколькими способами можно выбрать шесть делегатов на конференцию из 150 человек?

5.    В полуфинале по шахматам участвуют 20 шахматистов, а в финал попадут только трое. Сколькими способами может образоваться финальная тройка?

6.    Сколькими способами можно разместить на полке 5 книг?

7.    Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы A, B, C, D, E ?

8.    На тренировке 12 баскетболистов. Сколько разных пятёрок может составить тренер?

9.    Сколько разных шестерок может составить тренер из 10 волейболистов?

10.    Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не “били” друг друга?

11.    Сколькими способами можно премировать одинаковыми призами троих человек из семи участников?

12.    Сколькими способами можно составить флаг из четырёх горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал различных цветов?

13.    В отряде 12 человек. Надо выбрать старосту и двух заместителей. Сколькими способами это можно сделать?

14.    Сколькими способами можно разместить шесть человек за столом, на котором поставлено шесть приборов?

15.    Сколько аккордов, содержащих три звука, можно взять на 12 клавишах одной октавы?

16.    Курьер должен разнести пакеты в семь различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?

17.    Сколько шестизначных чисел (без повторения цифр) можно составить из цифр: а) 1, 2, 5, 6, 7, 8? б) 0, 2, 5, 6, 7, 8?

18.    Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?

Вопрос 3. Решить предложенные выше задачи, используя соответствующие формулы.

Вопросы для самопроверки:

1. Назовите формулу для вычисления числа перестановок.

2. Назовите формулу для вычисления числа размещений.

3. Назовите формулу для вычисления числа сочетаний.

Список литературы и ссылки на Интернет-ресурсы, содержащие информацию по теме:

1. Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В.  Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни  – М.: Просвещение, 2014. – 431 с.: ил.

2. Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. организаций: углубл. уровень  – М.: Просвещение, 2014. – 415 с.: ил.  

3. Yaklass.ru (Источник).

4. Bymath.net (Источник).