Лекция на тему:"Тригонометрическая форма комплексного числа"

Лекция

Тригонометрическая форма комплексного числа

План

1.Геометрическое изображение комплексных чисел.

2.Тригонометрическая запись комплексных чисел.

3.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу:   a + bi = M (a; b) (рис.1).

Рисунок 1

б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).

Рисунок 2

Пример 7. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; - i; - 1 + i; 2 – 3i (рис.3).

Рисунок 3

Тригонометрическая запись комплексных чисел.

Комплексное  число  z = a + bi   можно  задать  с  помощью  радиус – вектора   с  координатами  (a; b) (рис.4). 

Рисунок 4

Определение. Длина вектора , изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается  или r.

Для любого комплексного числа z его модуль  r = | z | определяется  однозначно  по  формуле  . 

Определение. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором , изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Аrg z или φ.

Аргумент  комплексного  числа  z = 0   не  определен. Аргумент  комплексного  числа z ≠ 0 – величина  многозначная  и  определяется  с  точностью  до  слагаемого  2πк  (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …):  Arg z = arg z + 2πк,  где arg z – главное  значение  аргумента,  заключенное  в  промежутке (-π; π],  то  есть -π < arg z ≤ π (иногда  в  качестве  главного  значения  аргумента  берут  величину,  принадлежащую  промежутку  [0; 2π)).

a = r · cos φ, b = r · sin φ.

Следовательно,  комплексное  число  z = a + bi  можно  записать  в  виде: z = r · cos φ + i r · sin φ или  z = r · (cos φ + i sin φ).

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа.

Пример 8. Представить в тригонометрической форме комплексное число 1– i.

a = 1, b = -1.

φ = .

1 – i = (cos  + i sin ).

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

1) Умножение.

Пусть  два  числа  заданы  и  в  алгебраической и  в  тригонометрической  формах: z₁ = a₁ + b₁i = r₁ (cos φ₁ + i sin φ₁),

  z₂ = a₂ + b₂i = r₂ (cos φ₂ + i sin φ₂).

На  основании  исходного  определения  правила  умножения  и  формулы  косинуса  и  синуса  суммы  получаем:

z_1· z₂ = r_{1 ·} r₂ (cos (φ₁ + φ₂) + i sin (φ₁ + φ₂)); r_{1 ·} r₂>0.

Умножение  комплексных  чисел  в  тригонометрической  форме  обладает  следующими  свойствами:

1º. Коммутативность:  z₁z₂ = z₂z₁

2º. Ассоциативность: (z₁z₂) z₃ = z₁ (z₂ z₃).

Пример 9. Найти произведение комплексных чисел

z₁ = 2cos 50º + 2 i sin 50º, z₂ = cos 40º + i sin 40º.

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

z₁ = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z₂ = 1· (cos 40º + i sin 40º). Тогда

z₁ · z₂ = 1· 2 · (cos (50º + 40º) + i sin (50º + 40º)) = 2(cos 90º + i sin 90º) = = 2(0 + i) = 2i.

2) Деление  комплексных  чисел  в  тригонометрической  форме.

Деление  в  поле  комплексных  чисел  на  числа, отличные  от  нуля,  всегда  выполнимо.  Если  числа  z₁  и z₂   заданы в  тригонометрической  форме  z₁ = r₁ (cos φ₁ + i sin φ₁),  z₂ = r₂ (cos φ₂ + i sin φ₂), причем z₁ ≠ 0,  то  комплексное  число    является частным чисел z₁ и z₂ (то есть z₁y = z₂).

Пример 10. Найти частное комплексных чисел  z₁ = 2cos50º + 2i sin50º, z₂ = cos40º + i sin40º.

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

             z₁ = 2 · (cos50º + i sin50º), z₂ = 1· (cos40º + i sin40º).

Тогда (cos (50º - 40º) + i sin (50º - 40º)) = 2(cos10º + i sin10º).

3) Возведение в степень.

Определение. n – ой степенью  комплексного  числа  z называется комплексное число, получающееся в результате умножения числа z самого  на  себя  n раз.

Число  z  называется  основанием  степени,  а  натуральное  число n – показателем  степени. 

Возвести комплексное число в n – ую степень можно по формуле: z ⁿ = (r ⁿ) [cos (nφ) + i sin (nφ)].

Эту формулу  при  r =1  часто  называют  формулой  Муавра:

(cos φ + i sin φ) ⁿ = cos (nφ) + i sin (nφ), n Î N.    

Пример 11. Вычислите (1 + i)¹⁰⁰.

Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.

a = 1, b = 1.

.

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i)¹⁰⁰ = [(cos + i sin)]¹⁰⁰= ()¹⁰⁰ (cos·100 + i sin·100) =               = 2⁵⁰(cos 25π  + i sin 25π) =  2⁵⁰(cos π  + i sin π) = - 2⁵⁰.

4) Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:

если b > о, то ;

если b < о, то .

Так как из комплексного числа всегда можно извлечь квадратный корень, то любое квадратное уравнение всегда будет иметь решения во множестве комплексных чисел. Решения квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 можно найти по известной формуле:

.

Пример 12. Вычислите .

Так как b < о, то воспользуемся формулой

.

 = ,

 = .

Упражнения

1.Записать в тригонометрической форме число

     Т.к.то  нужно взять равным.Значит,

  2.  Записать в тригонометрической форме число - 1 – і.

  Тогда

   3.  Записать в тригонометрической форме число 1.Имеем     , или

   4.Выполнить действия

1)

5. Представить следующие комплексные числа в тригонометрическом виде:

1) 1,  -1,   i,   -i;

2)  z = 3 - 3i;

3)  .

6. Даны числа

.

Вычислить:  1) ;   2) ;   3) ;   4) .

Вопросы для самопроверки:

1.Дать определение модуля комплексного числа. Каков его геометрический смысл?

2. Комплексное число умножили на 2. изменился модуль этого числа?

3. Почему равны модули чисел: i; -i; 1; 1; 0?

4. Что такое аргумент комплексного числа?

5. Как определить главное значение аргумента числа z = a + bi?

6. Могут ли аргументом комплексного числа быть одновременно углы а и -а?

7. Найти геометрическое место точек плоскости, изображают комплексные числа с одинаковыми модулями.

8.Как размещаются на плоскости точки, изображающие комплексные числа с одинаковыми аргументами?

9. Как представить комплексное число вида а + bi в тригонометрической форме? Как найти модуль и аргумент этого числа?

10. Как перейти от тригонометрической формы комплексного числа в алгебраической?

11. Вывести правила умножения и деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

12. По какому правилу выполняют действие возведения в степень комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме?