Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Лекция на тему:"Тригонометрическая форма комплексного числа"
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 216 курсов со скидкой 40%

Лекция на тему:"Тригонометрическая форма комплексного числа"

библиотека
материалов

Лекция

Тригонометрическая форма комплексного числа

План


1.Геометрическое изображение комплексных чисел.

2.Тригонометрическая запись комплексных чисел.

3.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b) (рис.1).

hello_html_40fb3fbb.png

Рисунок 1

б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).

hello_html_m2bc9f0c7.png

Рисунок 2

Пример 7. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; - i; - 1 + i; 2 – 3i (рис.3).

hello_html_2cd922dd.png

Рисунок 3


Тригонометрическая запись комплексных чисел.

Комплексное число z = a + bi можно задать с помощью радиус – вектора hello_html_23d53036.gif с координатами (a; b) (рис.4).


Рисунок 4hello_html_64ee9730.png

Определение. Длина вектора hello_html_296e7316.gif, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается hello_html_593886a2.gif или r.

Для любого комплексного числа z его модуль r = | z | определяется однозначно по формуле hello_html_10817bf.gif.

Определение. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором hello_html_296e7316.gif, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Аrg z или φ.

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк, где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π], то есть -π < arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0; 2π)).

a = r · cos φ, b = r · sin φ.

Следовательно, комплексное число z = a + bi можно записать в виде: z = r · cos φ + i r · sin φ или z = r · (cos φ + i sin φ).

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа.

Пример 8. Представить в тригонометрической форме комплексное число 1– i.

a = 1, b = -1.

hello_html_11dbad85.gif

hello_html_22d786eb.gif

φ = hello_html_m72b5fb8d.gif.

1 – i = hello_html_14c18e45.gif(cos hello_html_2d08cbf2.gif + i sin hello_html_2d08cbf2.gif).

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

1) Умножение.

Пусть два числа заданы и в алгебраической и в тригонометрической формах: z1 = a1 + b1i = r1 (cos φ1 + i sin φ1),

z2 = a2 + b2i = r2 (cos φ2 + i sin φ2).

На основании исходного определения правила умножения и формулы косинуса и синуса суммы получаем:

zz2 = r1 · r2 (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)); r1 · r2>0.

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1

2º. Ассоциативность: (z1z2) z3 = z1 (z2 z3).

Пример 9. Найти произведение комплексных чисел

z1 = 2cos 50º + 2 i sin 50º, z2 = cos 40º + i sin 40º.

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

z1 = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z2 = 1· (cos 40º + i sin 40º). Тогда

z1 · z2 = 1· 2 · (cos (50º + 40º) + i sin (50º + 40º)) = 2(cos 90º + i sin 90º) = = 2(0 + i) = 2i.


2) Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

Деление в поле комплексных чисел на числа, отличные от нуля, всегда выполнимо. Если числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме z1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2), причем z1 ≠ 0, то комплексное число hello_html_1d0b87f9.gif является частным чисел z1 и z2 (то есть z1y = z2).

Пример 10. Найти частное комплексных чисел z1 = 2cos50º + 2i sin50º, z2 = cos40º + i sin40º.

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

z1 = 2 · (cos50º + i sin50º), z2 = 1· (cos40º + i sin40º).

Тогда hello_html_m4581606.gif(cos (50º - 40º) + i sin (50º - 40º)) = 2(cos10º + i sin10º).


3) Возведение в степень.

Определение. n – ой степенью комплексного числа z называется комплексное число, получающееся в результате умножения числа z самого на себя n раз.

hello_html_m7eb4b48f.gif

Число z называется основанием степени, а натуральное число n – показателем степени.

Возвести комплексное число в n – ую степень можно по формуле: z n = (r n) [cos () + i sin ()].

Эту формулу при r =1 часто называют формулой Муавра:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N.

Пример 11. Вычислите (1 + i)100.

Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.

a = 1, b = 1.

hello_html_m6ee61205.gif.

cos φ = hello_html_3d480ff9.gif, sin φ = hello_html_4c1ffa4c.gif, φ = hello_html_m4ff46362.gif.

(1+i)100 = [hello_html_m4ac281a.gif(coshello_html_m4ff46362.gif + i sinhello_html_m4ff46362.gif)]100= (hello_html_m25f31adc.gif)100 (coshello_html_m4ff46362.gif·100 + i sinhello_html_m4ff46362.gif·100) = = 250(cos 25π + i sin 25π) = 250(cos π + i sin π) = - 250.


4) Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:

если b > о, то hello_html_m16eec39f.gif;

если b < о, то hello_html_562b2187.gif.

Так как из комплексного числа всегда можно извлечь квадратный корень, то любое квадратное уравнение всегда будет иметь решения во множестве комплексных чисел. Решения квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 можно найти по известной формуле:

hello_html_1abf41f1.gif.

Пример 12. Вычислите hello_html_m55eace05.gif.

Так как b < о, то воспользуемся формулой

hello_html_21c3336d.gif

hello_html_m3d60ac68.gifhello_html_4744940b.gifhello_html_m3a1079ec.gif.

hello_html_m122ca7dc.gif= hello_html_m3a32d74f.gif,

hello_html_m122ca7dc.gif= hello_html_m7fbde6e.gif.

Упражнения

1.Записать в тригонометрической форме число hello_html_5efe0dbb.gifhello_html_3061739c.gif

Т.к.hello_html_72826083.gifто hello_html_3cb5539c.gif нужно взять равнымhello_html_a85178f.gif.Значит,

hello_html_m4915d451.gif

2. Записать в тригонометрической форме число - 1 – і.

hello_html_2312c4b.gifhello_html_m1936ee85.gifТогда

hello_html_m625cbc64.gif

3. Записать в тригонометрической форме число 1.Имеем hello_html_8602409.gif hello_html_m9044b7a.gif, илиhello_html_m1bb487ed.gif

4.Выполнить действия

1)hello_html_27a30a35.gif

5. Представить следующие комплексные числа в тригонометрическом виде:

1) 1, 1, i, i;

2) z = 3 3i;

3) hello_html_33171ce5.gif.

6. Даны числа

hello_html_m1263c41c.gif.

Вычислить: 1) hello_html_5db291a1.gif; 2) hello_html_m459faa51.gif; 3) hello_html_m2ae038ef.gif; 4) hello_html_m6eeb9ddd.gif.



Вопросы для самопроверки:

1.Дать определение модуля комплексного числа. Каков его геометрический смысл?

2. Комплексное число умножили на 2. изменился модуль этого числа?

3. Почему равны модули чисел: i; -i; 1; 1; 0?

4. Что такое аргумент комплексного числа?

5. Как определить главное значение аргумента числа z = a + bi?

6. Могут ли аргументом комплексного числа быть одновременно углы а и -а?

7. Найти геометрическое место точек плоскости, изображают комплексные числа с одинаковыми модулями.

8.Как размещаются на плоскости точки, изображающие комплексные числа с одинаковыми аргументами?

9. Как представить комплексное число вида а + bi в тригонометрической форме? Как найти модуль и аргумент этого числа?

10. Как перейти от тригонометрической формы комплексного числа в алгебраической?

11. Вывести правила умножения и деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

12. По какому правилу выполняют действие возведения в степень комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме?




Общая информация

Номер материала: ДВ-332178

Похожие материалы