181626
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 6.900 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.500 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ 50%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаДругие методич. материалыЛекция на тему:"Тригонометрическая форма комплексного числа"

Лекция на тему:"Тригонометрическая форма комплексного числа"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Лекция

Тригонометрическая форма комплексного числа

План


1.Геометрическое изображение комплексных чисел.

2.Тригонометрическая запись комплексных чисел.

3.Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

Геометрическое изображение комплексных чисел.

а) Комплексные числа изображают точками плоскости по следующему правилу: a + bi = M (a; b) (рис.1).

hello_html_40fb3fbb.png

Рисунок 1

б) Комплексное число можно изобразить вектором, который имеет начало в точке О и конец в данной точке (рис.2).

hello_html_m2bc9f0c7.png

Рисунок 2

Пример 7. Постройте точки, изображающие комплексные числа: 1; - i; - 1 + i; 2 – 3i (рис.3).

hello_html_2cd922dd.png

Рисунок 3


Тригонометрическая запись комплексных чисел.

Комплексное число z = a + bi можно задать с помощью радиус – вектора hello_html_23d53036.gif с координатами (a; b) (рис.4).


Рисунок 4hello_html_64ee9730.png

Определение. Длина вектора hello_html_296e7316.gif, изображающего комплексное число z, называется модулем этого числа и обозначается hello_html_593886a2.gif или r.

Для любого комплексного числа z его модуль r = | z | определяется однозначно по формуле hello_html_10817bf.gif.

Определение. Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором hello_html_296e7316.gif, изображающим комплексное число, называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Аrg z или φ.

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен. Аргумент комплексного числа z ≠ 0 – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πк (к = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z + 2πк, где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (-π; π], то есть -π < arg z ≤ π (иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0; 2π)).

a = r · cos φ, b = r · sin φ.

Следовательно, комплексное число z = a + bi можно записать в виде: z = r · cos φ + i r · sin φ или z = r · (cos φ + i sin φ).

Такая запись комплексного числа называется тригонометрической формой комплексного числа.

Пример 8. Представить в тригонометрической форме комплексное число 1– i.

a = 1, b = -1.

hello_html_11dbad85.gif

hello_html_22d786eb.gif

φ = hello_html_m72b5fb8d.gif.

1 – i = hello_html_14c18e45.gif(cos hello_html_2d08cbf2.gif + i sin hello_html_2d08cbf2.gif).

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.

1) Умножение.

Пусть два числа заданы и в алгебраической и в тригонометрической формах: z1 = a1 + b1i = r1 (cos φ1 + i sin φ1),

z2 = a2 + b2i = r2 (cos φ2 + i sin φ2).

На основании исходного определения правила умножения и формулы косинуса и синуса суммы получаем:

zz2 = r1 · r2 (cos (φ1 + φ2) + i sin (φ1 + φ2)); r1 · r2>0.

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме обладает следующими свойствами:

1º. Коммутативность: z1z2 = z2z1

2º. Ассоциативность: (z1z2) z3 = z1 (z2 z3).

Пример 9. Найти произведение комплексных чисел

z1 = 2cos 50º + 2 i sin 50º, z2 = cos 40º + i sin 40º.

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

z1 = 2 · (cos 50º + i sin 50º), z2 = 1· (cos 40º + i sin 40º). Тогда

z1 · z2 = 1· 2 · (cos (50º + 40º) + i sin (50º + 40º)) = 2(cos 90º + i sin 90º) = = 2(0 + i) = 2i.


2) Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.

Деление в поле комплексных чисел на числа, отличные от нуля, всегда выполнимо. Если числа z1 и z2 заданы в тригонометрической форме z1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1), z2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2), причем z1 ≠ 0, то комплексное число hello_html_1d0b87f9.gif является частным чисел z1 и z2 (то есть z1y = z2).

Пример 10. Найти частное комплексных чисел z1 = 2cos50º + 2i sin50º, z2 = cos40º + i sin40º.

Решение. Тригонометрические формы этих чисел имеют вид:

z1 = 2 · (cos50º + i sin50º), z2 = 1· (cos40º + i sin40º).

Тогда hello_html_m4581606.gif(cos (50º - 40º) + i sin (50º - 40º)) = 2(cos10º + i sin10º).


3) Возведение в степень.

Определение. n – ой степенью комплексного числа z называется комплексное число, получающееся в результате умножения числа z самого на себя n раз.

hello_html_m7eb4b48f.gif

Число z называется основанием степени, а натуральное число n – показателем степени.

Возвести комплексное число в n – ую степень можно по формуле: z n = (r n) [cos () + i sin ()].

Эту формулу при r =1 часто называют формулой Муавра:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N.

Пример 11. Вычислите (1 + i)100.

Запишем комплексное число 1 + i в тригонометрической форме.

a = 1, b = 1.

hello_html_m6ee61205.gif.

cos φ = hello_html_3d480ff9.gif, sin φ = hello_html_4c1ffa4c.gif, φ = hello_html_m4ff46362.gif.

(1+i)100 = [hello_html_m4ac281a.gif(coshello_html_m4ff46362.gif + i sinhello_html_m4ff46362.gif)]100= (hello_html_m25f31adc.gif)100 (coshello_html_m4ff46362.gif·100 + i sinhello_html_m4ff46362.gif·100) = = 250(cos 25π + i sin 25π) = 250(cos π + i sin π) = - 250.


4) Извлечение квадратного корня из комплексного числа.

При извлечении квадратного корня из комплексного числа a + bi имеем два случая:

если b > о, то hello_html_m16eec39f.gif;

если b < о, то hello_html_562b2187.gif.

Так как из комплексного числа всегда можно извлечь квадратный корень, то любое квадратное уравнение всегда будет иметь решения во множестве комплексных чисел. Решения квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 можно найти по известной формуле:

hello_html_1abf41f1.gif.

Пример 12. Вычислите hello_html_m55eace05.gif.

Так как b < о, то воспользуемся формулой

hello_html_21c3336d.gif

hello_html_m3d60ac68.gifhello_html_4744940b.gifhello_html_m3a1079ec.gif.

hello_html_m122ca7dc.gif= hello_html_m3a32d74f.gif,

hello_html_m122ca7dc.gif= hello_html_m7fbde6e.gif.

Упражнения

1.Записать в тригонометрической форме число hello_html_5efe0dbb.gifhello_html_3061739c.gif

Т.к.hello_html_72826083.gifто hello_html_3cb5539c.gif нужно взять равнымhello_html_a85178f.gif.Значит,

hello_html_m4915d451.gif

2. Записать в тригонометрической форме число - 1 – і.

hello_html_2312c4b.gifhello_html_m1936ee85.gifТогда

hello_html_m625cbc64.gif

3. Записать в тригонометрической форме число 1.Имеем hello_html_8602409.gif hello_html_m9044b7a.gif, илиhello_html_m1bb487ed.gif

4.Выполнить действия

1)hello_html_27a30a35.gif

5. Представить следующие комплексные числа в тригонометрическом виде:

1) 1, 1, i, i;

2) z = 3 3i;

3) hello_html_33171ce5.gif.

6. Даны числа

hello_html_m1263c41c.gif.

Вычислить: 1) hello_html_5db291a1.gif; 2) hello_html_m459faa51.gif; 3) hello_html_m2ae038ef.gif; 4) hello_html_m6eeb9ddd.gif.



Вопросы для самопроверки:

1.Дать определение модуля комплексного числа. Каков его геометрический смысл?

2. Комплексное число умножили на 2. изменился модуль этого числа?

3. Почему равны модули чисел: i; -i; 1; 1; 0?

4. Что такое аргумент комплексного числа?

5. Как определить главное значение аргумента числа z = a + bi?

6. Могут ли аргументом комплексного числа быть одновременно углы а и -а?

7. Найти геометрическое место точек плоскости, изображают комплексные числа с одинаковыми модулями.

8.Как размещаются на плоскости точки, изображающие комплексные числа с одинаковыми аргументами?

9. Как представить комплексное число вида а + bi в тригонометрической форме? Как найти модуль и аргумент этого числа?

10. Как перейти от тригонометрической формы комплексного числа в алгебраической?

11. Вывести правила умножения и деления комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.

12. По какому правилу выполняют действие возведения в степень комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме?




Общая информация

Номер материала: ДВ-332178

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.