Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Лекция по математике "Комплексные числа"

Лекция по математике "Комплексные числа"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

hello_html_m57e8ee8c.gifhello_html_m2b5a8f97.gifhello_html_7787dfa8.gifhello_html_m50951509.gifhello_html_m51b663a3.gifhello_html_m3093c25d.gifhello_html_m61bab46f.gifhello_html_6bfc1ccd.gifhello_html_m275cdce2.gifhello_html_7023cac8.gifКомплексные числа.


Мнимые числа – это чудо анализа, гибрид

из мира идей, двойственная сущность,

находящаяся между бытием и небытием.

Лейбниц.

Комплексным числом называется число вида Z = a+bi, где a и b – действительные числа, i – мнимая единица.

Комплексные числа необходимы для решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом, для разложения на множители многочленов вида hello_html_68fee40a.gif. Ввел в обращение комплексные числа итальянский математик Бомбелли.

В настоящее время комплексные числа применяют не только в математике: с их помощью исследуют течение воды, полет самолетов и ракет, их применяют для вычерчивания географических карт, для изучения явлений в атомах и ядрах и т.д.

Мнимой единицей i называется число, квадрат которого равен – 1.

hello_html_64bbeb86.gif


Степень числа i.

hello_html_m38268971.gif


С помощью мнимой единицы можно извлекать корни из отрицательных чисел:

hello_html_33ac70d2.gif.


Запись hello_html_3869fd97.gif называется алгебраической формой комплексного числа.


hello_html_3f3346f1.gifи hello_html_m3929b122.gif - противоположные комплексные числа.

hello_html_3f3346f1.gifи hello_html_4be69205.gif - сопряженные комплексные числа.


Действительные числа – это частный случай комплексных чисел.

Числа http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image036_0001.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image038_0001.gif, http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image040_0001.gif – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.


Изображают комплексные числа в координатной плоскости точкой (а; b) или радиус-вектором, соединяющим эту точку с началом координат.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image016_0000.gif – действительная ось
http://www.mathprofi.ru/h/kompleksnye_chisla_dlya_chainikov_clip_image019_0000.gif – мнимая ось

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/af/Complex_number_illustration.svg/220px-Complex_number_illustration.svg.png



Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, ,
, ,
, , ,


На чертеже следует поставить букву С, обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Как изобразить комплексные числа на комплексной плоскости


Действия над комплексными числами.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел выполняются по правилам действий над многочленами; при делении необходимо числитель и знаменатель дроби умножить на выражение сопряженное со знаменателем и учесть, что hello_html_2c0d6a43.gif.



Пример.

Выполнить сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел:

hello_html_m133c2e0a.gif

  1. hello_html_a06db60.gif

  2. hello_html_6fdf886.gif

  3. hello_html_125fc802.gif

hello_html_m76440598.gif

Т.к. комплексные числа геометрически представляются векторами на

плоскости, то все векторные физические величины могут быть охарактеризованы при помощи комплексных чисел. Представление векторных физических величин комплексными числами облегчает выполнение расчетов, т.к. действия над векторами, которые выполняются графически, заменяются действиями над комплексными числами, которые выполняются аналитически, что гораздо проще.

Особенно широкое применение комплексные числа получили в электротехнике при расчете электрических цепей.




Общая информация

Номер материала: ДВ-180006

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»