Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Лекция по математике на тему «Основные методы интегрирования»

Лекция по математике на тему «Основные методы интегрирования»


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Лекция «Основные методы интегрирования»

План:

1. Непосредственное интегрирование

2. Метод подстановки

3. Интегрирование по частям


  1. Непосредственное интегрирование. Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы простейших интегралов и основных свойств неопределенных интегралов называется непосредственным интегрированием.

Пример.

hello_html_m306d0273.gif

  1. Метод подстановки. Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, то есть перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть функция x=(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х µ множество значений этой функции, на котором определена функция f(x). Тогда, если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

hello_html_39006389.gif

Эта формула называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле.

Пример1.

hello_html_m76302f33.gif

Пример2.

hello_html_1ff97cf3.gif


Пример3.

hello_html_70143e71.gif


  1. Интегрирование по частям. Метод интегрирования по частям основан на применении формулы дифференцирования произведения двух функций.

Теорема 2. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция u(x)v(x) имеет первообразную на этом промежутке. Тогда на промежутке Х функция u(x)v(x) также имеет первообразную и справедлива формула

hello_html_344672de.gif

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле. Метод интегрирования по частям рекомендуется использовать для нахождения интегралов от функции hello_html_2029114d.gif

hello_html_m5910eb64.gifи т. д., где n, k – целые положительные постоянные, hello_html_3b55c3ad.gif а также отыскание некоторых интегралов от функций, содержащих обратные тригонометрические и логарифмические функции. В качестве функции u(x) принимается функция которая дифференцированием упрощается или трансцендентные функции ln x, arctg x, arcsin x.

Пример 1.

hello_html_m20d6fbc3.gif

Пример 2.

hello_html_365e624a.gif

hello_html_m6688a7e8.gif

Пример 3.

hello_html_38274841.gifhello_html_38274841.gifх2 ехdх = u = х2 du = 2хdх = х2 ех - 2∫ хехdх =

dv = ехdх v = ∫ ехdх = ех


=hello_html_38274841.gifhello_html_38274841.gifu = х du = dх = х2 е2 – 2(хех - ∫ ехdх) = х2 ех – 2хех +

dv = ехdх v =∫ ехdх = ех


+ 2 ех + с = е22 – 2х + 2) + с

Пример 4.

hello_html_38274841.gifhello_html_38274841.gifх cosdх = u = х du = dх =

dv = cosdх v = ∫ cosdх = ½ sin

=

х

sin 2х - ∫

1

sin dх =

х

sin 2х +

1

сos 2х + с

Основная литература

  1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. 2 тома, М., «Высшая школа». 1980.

  2. Зорич В.А. Математический анализ. 2 тома, М., «Наука». 1980.

  3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. 2 тома. М., «Наука». 1980.

  4. Никольский С.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 2 тома. М., «Наука».

  5. Темиргалиев Н.Т. Математикалық анализ. 3 тома. Алматы, 1977.

  6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. 3 тома. М., «Наука», 1980.

  7. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М., Астрель АСТ, 2002.

  8. Рудин У. Основы математического анализа. М., «Мир». 1986.


Автор
Дата добавления 23.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров430
Номер материала ДВ-090917
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх