Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Конспекты / Лекция по математике. Тема: "Иррациональные уравнения"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Лекция по математике. Тема: "Иррациональные уравнения"

библиотека
материалов

Приложение 1

Изучение нового материала

Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень.

  Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие приемы:

1)возведение в соответствующую степень обе части уравнения;

2) введение новой переменной;

3) сведение к системе уравнений;

4) применение свойств функций, входящих в уравнение.

 При решении иррациональных уравнений необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или нахождение ОДЗ и следующий анализ корней (при решении методом приведения к равносильной смешанной системе уравнений и неравенств необходимость в этом отпадает).

Простейшим иррациональным уравнением является уравнение вида:

                                                        hello_html_m53199717.gif,               

при решении которого важную роль играет четность или нечетность n.

         Если  n- нечетное, то данное уравнение равносильно уравнению

hello_html_m43623a99.gif.

         Если n - четное, то, так как корень считается арифметическим, необходимо учитывать ОДЗ (область допустимых значений): hello_html_5648a637.gif. Уравнение hello_html_m53199717.gif в этом случае равносильно системе:

hello_html_m24f4669b.gif.

 Пример 1. 

Решить  уравнение .

Решение Так как n=2  - четное, то обе части уравнения возводим во 2ю степень:

Ответ: 28

 Пример 2. 

Решить уравнение hello_html_m209aec04.gif.

Решение. Так как в данном примере n=3 - нечетное, то после возведения обеих частей уравнения в третью степень получим равносильное  данному  уравнение:   hello_html_2e9e523b.gif.

Ответ: hello_html_m5b5bf0e8.gif.

 Пример 3. 

Решить  уравнение hello_html_604df0f.gif.

Решение Так как n=2 - четное, то исходное уравнение равносильно системе:

hello_html_6671c466.gif

Ответ: hello_html_3c3c56a1.gif.

Уравнения вида hello_html_6b1b055a.gif, решаются следующим образом:

n – нечетное  

n - четное hello_html_60a4430f.gif или hello_html_57b14df6.gif.

  Пример 4. 

Решить уравнение:



Ответ: 0,6

Пример 5. 

Решить уравнение:  

Решение. Запишем данное уравнение в виде:    Возводя обе части в квадрат и учитывая, что  получим уравнение  2х+6=х+1, решение которого есть х = -5 – не удовлетворяет выписанному условию. Значит, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

 Если иррациональное уравнение содержит несколько радикалов. В этом случае для избавления от радикалов уравнение приходится возводить в соответствующую степень несколько раз. При этом предварительно уединяют один из радикалов так, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными. Особое внимание следует обратить на правильное нахождение ОДЗ.

 Пример 6. 

Решить уравнение hello_html_67286527.gif.

Решение. Запишем уравнение в виде: hello_html_444e1684.gif. Так как теперь обе части полученного уравнения неотрицательны, то возведем их в квадрат:

hello_html_m53d596ad.gif.

Полученное уравнение равносильно исходному. Для его решения рассмотрим систему:

hello_html_m2f7a39a9.gif

hello_html_64769945.gif.

Ответ: hello_html_m211c34a4.gif.

         Введение новой переменной в ряде случаев позволяет перейти от иррационального уравнения к рациональному уравнению.

 Пример 7. 

 Решить уравнение hello_html_14eeeb17.gif.

Решение. Возведение данного уравнения в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, что нерационально. Поэтому запишем уравнение в виде hello_html_m127fc68e.gif и введем «новую» переменную:

hello_html_5d459d78.gif, hello_html_m7000ff62.gif.

Получим hello_html_6cbfea27.gif.

Вернемся к «старым» переменнымhello_html_m14733365.gif или hello_html_m1902584a.gif. Второе из полученных уравнений решений не имеет, а решения первого есть числа hello_html_62bc97a6.gif

Ответ: hello_html_m229a8e9b.gif.

         Иногда при решении иррационального уравнения возникает необходимость ввести не одну, а несколько «новых» переменных. Такая ситуация возникает, например, при решении уравнений, содержащих радикалы разных степеней.

 Пример 8. 

Решить уравнение hello_html_m25019454.gif.

Решение. Пусть hello_html_m6e67414c.gif и hello_html_4591e92b.gif. Тогда hello_html_m5e877ce8.gif. С другой стороны hello_html_m675184d2.gif. Получаем систему

hello_html_780113c7.gif.

Решим последнее уравнение системы:

hello_html_m55fc7537.gif

hello_html_179e7b41.gif.

Получим, что hello_html_404576c0.gif, а тогда hello_html_4703b6e8.gif. По условию hello_html_5298041d.gif, следовательно исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

       При решении некоторых иррациональных уравнений нахождение области допустимых значений входящих в уравнение неизвестных может существенно облегчить решение уравнения.

 Пример 9. 

Решить уравнение hello_html_3743122f.gif.

Решение. Данное уравнение имеет весьма громоздкий вид и неясно как подойти к его решению. Поэтому найдем сначала ОДЗ:

hello_html_6ec3aa39.gif

hello_html_m59ac5c11.gif.

Получим, что область допустимых значений данного уравнения является пустым множеством и, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

При решении иррациональных уравнений бывает полезно воспользоваться монотонностью функций.

 Пример 10. 

Решить уравнение hello_html_m7d4602d.gif.

Решение. Один корень данного уравнения hello_html_m261a7401.gif легко найти подбором. Покажем, что других корней нет. Запишем уравнение в виде hello_html_m43b37ea8.gif.

         По свойству степенных функций функции hello_html_47e76ec3.gif и hello_html_m78bdc090.gif являются возрастающими на промежутке hello_html_m28d7268f.gif, где они обе определены. Поэтому их сумма hello_html_54766ade.gif на этом промежутке также возрастает, следовательно, она принимает каждое свое значение (в том числе и 6) только один раз. Поэтому других корней нет.

Ответ: hello_html_m261a7401.gif.

        




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

Лекция по математике. Тема: "Иррациональные уравнения" для студентов 1-2 курса или учащихся 10-11 классов.


Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие приемы:

1)возведение в соответствующую степень обе части уравнения;

2) введение новой переменной;

3) сведение к системе уравнений;

4) применение свойств функций, входящих в уравнение.

Примеры решения разных типов иррациональных уравнений с объяснением.

Автор
Дата добавления 24.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров333
Номер материала ДБ-051668
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх