Инфоурок Математика КонспектыЛекция по математике. Тема: "Иррациональные уравнения"

Лекция по математике. Тема: "Иррациональные уравнения"

Скачать материал

Приложение 1

Изучение нового материала

Иррациональным называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень.

  Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие приемы:

1)возведение в соответствующую степень обе части уравнения;

2) введение новой переменной;

3) сведение к системе уравнений;

4) применение свойств функций, входящих в уравнение.

 При решении иррациональных уравнений необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное уравнение или нахождение ОДЗ и следующий анализ корней (при решении методом приведения к равносильной смешанной системе уравнений и неравенств необходимость в этом отпадает).

Простейшим иррациональным уравнением является уравнение вида:

                                                        http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image002.gif,               

при решении которого важную роль играет четность или нечетность n.

         Если  n- нечетное, то данное уравнение равносильно уравнению

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image007.gif.

         Если n - четное, то, так как корень считается арифметическим, необходимо  учитывать ОДЗ (область допустимых значений): http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image009.gif. Уравнение http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image002.gif в этом случае равносильно системе:

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image011.gif.

 Пример 1. 

Решить  уравнение .

Решение Так как n=2  - четное, то обе части уравнения возводим во 2ю степень:       

Ответ: 28

 Пример 2. 

Решить уравнение http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image013.gif.

Решение. Так как в данном примере n=3 - нечетное, то после возведения обеих частей уравнения в третью степень получим равносильное  данному  уравнение:   http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image017.gif.

Ответ: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image019.gif.

 Пример 3. 

Решить  уравнение http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image021.gif.

Решение Так как n=2 - четное, то исходное уравнение равносильно системе:

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image025.gif

Ответ: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image027.gif.

Уравнения вида http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image029.gif, решаются следующим образом:

n – нечетное   

n - четное http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image033.gif или http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image035.gif.

  Пример 4. 

Решить уравнение

Ответ: 0,6

Пример 5. 

Решить уравнение:  

Решение. Запишем данное уравнение в виде:    Возводя обе части в квадрат и учитывая, что      получим уравнение  2х+6=х+1, решение которого есть  х = -5 – не удовлетворяет выписанному условию. Значит, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений

 Если иррациональное уравнение содержит несколько радикалов. В этом случае для избавления от радикалов уравнение приходится возводить в соответствующую степень несколько раз. При этом предварительно уединяют один из радикалов так, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными. Особое внимание следует обратить на правильное нахождение ОДЗ.

 Пример 6. 

Решить уравнение http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image043.gif.

Решение. Запишем уравнение в виде: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image045.gif. Так как теперь обе части полученного уравнения неотрицательны, то возведем их в квадрат:

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image047.gif.

Полученное уравнение равносильно исходному. Для его решения рассмотрим систему:

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image049.gif

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image051.gif.

Ответ: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image053.gif.

           Введение новой переменной в ряде случаев позволяет перейти от иррационального уравнения к рациональному уравнению.

 Пример 7. 

 Решить уравнение http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image055.gif.

Решение. Возведение данного уравнения в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, что нерационально. Поэтому запишем уравнение в виде http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image057.gif и введем «новую» переменную:

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image059.gif, http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image061.gif.

Получим http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image063.gif.

Вернемся к «старым» переменнымhttp://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image065.gif или http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image067.gif. Второе из полученных уравнений решений не имеет, а решения первого есть числа http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image069.gif

Ответ: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image071.gif.

            Иногда при решении иррационального уравнения возникает необходимость    ввести не одну, а несколько «новых» переменных. Такая ситуация возникает, например, при решении уравнений, содержащих радикалы разных степеней.

 Пример 8. 

Решить уравнение http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image073.gif.

Решение. Пусть http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image075.gif и http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image077.gif. Тогда http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image079.gif. С другой стороны http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image081.gif. Получаем систему

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image083.gif.

Решим последнее уравнение системы:

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image085.gif

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image087.gif.

Получим, что http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image089.gif, а тогда http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image091.gif. По условию http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image093.gif, следовательно исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

                При решении некоторых иррациональных уравнений нахождение области допустимых значений входящих в уравнение неизвестных может существенно облегчить решение уравнения.

 Пример 9. 

Решить уравнение      http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image095.gif.

Решение. Данное уравнение имеет весьма громоздкий вид и неясно как подойти к его решению. Поэтому найдем сначала ОДЗ:

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image097.gif

http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image099.gif.

Получим, что область допустимых значений данного уравнения является пустым множеством и, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Ответ: нет решений.

При решении иррациональных уравнений бывает полезно воспользоваться монотонностью функций.

 Пример 10. 

Решить уравнение http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image101.gif.

Решение. Один корень данного уравнения http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image103.gif легко найти подбором. Покажем, что других корней нет. Запишем уравнение в виде http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image105.gif.

         По свойству степенных функций функции http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image107.gif и http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image109.gif являются возрастающими на промежутке http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image111.gif, где они обе определены. Поэтому их сумма http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image113.gif на этом промежутке также возрастает, следовательно, она принимает каждое свое значение (в том числе и 6) только один раз. Поэтому других корней нет.

Ответ: http://diffur.kemsu.ru/1/teori/ir-yr.files/image103.gif.

        

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Лекция по математике. Тема: "Иррациональные уравнения""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Интернет-маркетолог

Получите профессию

HR-менеджер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

Лекция по математике. Тема: "Иррациональные уравнения" для студентов 1-2 курса или учащихся 10-11 классов.


Для решения иррациональных уравнений обычно используются следующие приемы:

1)возведение в соответствующую степень обе части уравнения;

2) введение новой переменной;

3) сведение к системе уравнений;

4) применение свойств функций, входящих в уравнение.

Примеры решения разных типов иррациональных уравнений с объяснением.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 609 866 материалов в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 24.04.2016 6326
    • DOCX 77.3 кбайт
    • 245 скачиваний
    • Рейтинг: 4 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Иванкова Надежда Петровна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Иванкова Надежда Петровна
    Иванкова Надежда Петровна
    • На сайте: 8 лет
    • Подписчики: 1
    • Всего просмотров: 27500
    • Всего материалов: 11

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Экскурсовод

Экскурсовод (гид)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Применение математических знаний в повседневной жизни

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Развивающие математические задания для детей и взрослых

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 62 человека из 25 регионов

Курс повышения квалификации

Применение возможностей MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 35 человек из 19 регионов

Мини-курс

Психологические концепции и практики

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Психические защиты и психоаналитический взгляд на личное развитие

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Основы гештальт-терапии: история и теория

5 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 20 человек из 14 регионов