Приложение
1
Изучение
нового материала
Иррациональным
называется уравнение, в котором неизвестное (переменная) содержится под знаком
корня или под знаком операции возведения в рациональную (дробную) степень.
Для
решения иррациональных уравнений обычно используются следующие приемы:
1)возведение в
соответствующую степень обе части уравнения;
2) введение новой
переменной;
3) сведение к системе
уравнений;
4) применение свойств
функций, входящих в уравнение.
При решении иррациональных уравнений
необходима проверка всех найденных корней путем их подстановки в исходное
уравнение или нахождение ОДЗ и следующий анализ корней (при решении методом
приведения к равносильной смешанной системе уравнений и неравенств
необходимость в этом отпадает).
Простейшим
иррациональным уравнением является уравнение вида:
,
при решении которого
важную роль играет четность или нечетность n.
Если
n- нечетное,
то данное уравнение равносильно уравнению
.
Если n - четное,
то, так как корень считается арифметическим, необходимо учитывать ОДЗ (область
допустимых значений): .
Уравнение в
этом случае равносильно системе:
.
Пример 1.
Решить уравнение
.
Решение. Так
как n=2 -
четное, то обе части уравнения возводим во 2ю степень:
Ответ: 28
Пример 2.
Решить уравнение .
Решение. Так
как в данном примере n=3 -
нечетное, то после возведения обеих частей уравнения в третью степень получим
равносильное данному уравнение:
.
Ответ: .
Пример 3.
Решить уравнение .
Решение. Так
как n=2 -
четное, то исходное уравнение равносильно системе:
Ответ: .
Уравнения вида ,
решаются следующим образом:
n –
нечетное
n -
четное или .
Пример 4.
Решить
уравнение:
Ответ: 0,6
Пример 5.
Решить
уравнение:
Решение. Запишем
данное уравнение в виде:
Возводя
обе части в квадрат и учитывая, что получим уравнение
2х+6=х+1, решение которого есть х =
-5 – не удовлетворяет выписанному условию.
Значит, данное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет
решений
Если
иррациональное уравнение содержит несколько радикалов. В этом случае для
избавления от радикалов уравнение приходится возводить в соответствующую
степень несколько раз. При этом предварительно уединяют один из радикалов так,
чтобы обе части уравнения стали неотрицательными. Особое внимание следует
обратить на правильное нахождение ОДЗ.
Пример 6.
Решить уравнение .
Решение. Запишем
уравнение в виде: .
Так как теперь обе части полученного уравнения неотрицательны, то возведем их в
квадрат:
.
Полученное уравнение
равносильно исходному. Для его решения рассмотрим
систему:
.
Ответ: .
Введение
новой переменной в ряде случаев позволяет перейти от иррационального уравнения
к рациональному уравнению.
Пример 7.
Решить
уравнение .
Решение. Возведение
данного уравнения в квадрат привело бы к уравнению четвертой степени, что
нерационально. Поэтому запишем уравнение в виде и
введем «новую» переменную:
, .
Получим .
Вернемся к «старым»
переменным или .
Второе из полученных уравнений решений не имеет, а решения первого есть числа
Ответ: .
Иногда
при решении иррационального уравнения возникает необходимость ввести не
одну, а несколько «новых» переменных. Такая ситуация возникает, например, при
решении уравнений, содержащих радикалы разных степеней.
Пример 8.
Решить уравнение .
Решение. Пусть и .
Тогда .
С другой стороны .
Получаем систему
.
Решим последнее
уравнение системы:
.
Получим, что ,
а тогда .
По условию ,
следовательно исходное уравнение решений не имеет.
Ответ: нет
решений.
При
решении некоторых иррациональных уравнений нахождение области допустимых
значений входящих в уравнение неизвестных может существенно облегчить решение
уравнения.
Пример 9.
Решить уравнение
.
Решение. Данное
уравнение имеет весьма громоздкий вид и неясно как подойти к его решению.
Поэтому найдем сначала ОДЗ:
.
Получим, что область
допустимых значений данного уравнения является пустым множеством и, следовательно,
данное уравнение решений не имеет.
Ответ: нет
решений.
При решении иррациональных уравнений бывает полезно
воспользоваться монотонностью функций.
Пример 10.
Решить уравнение .
Решение. Один
корень данного уравнения легко
найти подбором. Покажем, что других корней нет. Запишем уравнение в виде .
По
свойству степенных функций функции и являются
возрастающими на промежутке ,
где они обе определены. Поэтому их сумма на
этом промежутке также возрастает, следовательно, она принимает каждое свое
значение (в том числе и 6) только один раз. Поэтому других корней нет.
Ответ: .
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.