Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Лекция по математике тема: "Сумма и разность синусов (косинусов).Формулы приведения"

Лекция по математике тема: "Сумма и разность синусов (косинусов).Формулы приведения"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Лекция

Тема: Сумма и разность синусов (косинусов).Формулы приведения

План

1.Формулы суммы и разности синусов (косинусов).

2.Примеры решения упражнений

3. Формулы приведения

4.Примеры применения формул приведения



Формулы суммы и разности синусов (косинусов).

Рассмотрим формулы, позволяющие превратить сумму и разницу синусов (косинусов) в произведение. Запишем формулы сложения для синуса:

hello_html_m55c66cde.gif(1)

hello_html_m509f9f8.gif(2)

Складывая почленно левые и правые части этих равенств, получим:

hello_html_627bbc95.gif+hello_html_m7d50df3d.gif=hello_html_m4e5b92dc.gif (3) Введём обозначения: x+y=hello_html_m17c0599a.gif, x-y=hello_html_m7e91be2b.gif

Получим hello_html_m3d734bfd.gif;hello_html_6d801c82.gif.Обозначим, hello_html_m17c0599a.gifиhello_html_m7e91be2b.gifмогут принимать любые значения. Тогда равенство (3) можно переписать так:

hello_html_2b2865ac.gif

Это тождество называют формулой суммы синусов.

Вычтем почленно от равенства (1) равенство (2): hello_html_627bbc95.gif-hello_html_m7d50df3d.gif=hello_html_m4e5b92dc.gif .

Если воспользоваться ранее введёнными обозначениями, получим равенство, которое называют формулой разности синусов: hello_html_m249ef43.gif

hello_html_m249ef43.gif

Запишем формулы сложения для косинуса:

hello_html_5f2aa0da.gif

hello_html_m3ab9fe4d.gifСкладывая и отнимая почленно эти равенства, получаем: hello_html_m5dabe6c5.gif (4)

hello_html_4d0cad58.gif(5)

Введём обозначения x+y=hello_html_m17c0599a.gif, x-y=hello_html_m7e91be2b.gif, получаем формулы суммы и разности косинусов:

hello_html_m4f20be9d.gif

hello_html_m719f5ffe.gif


Примеры решения упражнений

Пример. Преобразуйте в произведение: 1) hello_html_m1f73c686.gif; 2) hello_html_m425d460e.gif; 3)hello_html_m538832ca.gif;

4) hello_html_13bd1788.gif; 5)hello_html_m5ec9f16.gif.

Решение:1) hello_html_m1f73c686.gif=hello_html_m35f881a5.gif.

2) hello_html_77bbc816.gif.

3) hello_html_m538832ca.gif=hello_html_c5e75ec.gif=hello_html_1a7b8fbe.gif.

4) hello_html_13bd1788.gif=hello_html_m31f20ae.gif=hello_html_m31f20ae.gif=hello_html_7944dcd7.gif=hello_html_md35cfdf.gif.

5) hello_html_m5ec9f16.gif=hello_html_m4bf3cd13.gif.

Формулы приведения

Из всех существующих способов задания формул приведения оптимальным является следующая таблица:



hello_html_m21858766.gif

hello_html_m37bbb38f.gif

hello_html_605b5e99.gif

hello_html_48b34c01.gif

hello_html_2c621658.gif

hello_html_7603fce3.gif

hello_html_487cc433.gif

hello_html_m604e4678.gif

hello_html_9ee11e4.gif

hello_html_m4225eefc.gif

hello_html_m4225eefc.gif

-hello_html_9ee11e4.gif

hello_html_9ee11e4.gif

-hello_html_m4225eefc.gif

-hello_html_m4225eefc.gif

hello_html_9ee11e4.gif

-hello_html_9ee11e4.gif

hello_html_m4225eefc.gif

-hello_html_9ee11e4.gif

hello_html_9ee11e4.gif

-hello_html_m4225eefc.gif

-hello_html_m4225eefc.gif

hello_html_9ee11e4.gif

-hello_html_9ee11e4.gif

hello_html_m4225eefc.gif

hello_html_m4225eefc.gif

hello_html_m4620b696.gif

-hello_html_m21da61d0.gif

hello_html_m21da61d0.gif

hello_html_m4620b696.gif

-hello_html_m4620b696.gif

-hello_html_m21da61d0.gif

hello_html_m21da61d0.gif

hello_html_m4620b696.gif

-hello_html_m4620b696.gif

hello_html_m21da61d0.gif

-hello_html_m4620b696.gif

hello_html_m4620b696.gif

hello_html_m21da61d0.gif

-hello_html_m21da61d0.gif

-hello_html_m4620b696.gif

hello_html_m4620b696.gif

hello_html_m21da61d0.gif

-hello_html_m21da61d0.gif

Напомним, что hello_html_m57ecba6b.gif hello_html_m2e038361.gif hello_html_19a5f777.gif hello_html_5d683a39.gif

К наиболее распространенным случаям применения формул относят перевод тригонометрических функций углов:hello_html_m19d0fce1.gif hello_html_4edb117c.gif; hello_html_m7ff9e4f5.gif; hello_html_m2af6e28.gif к тригонометрическим функциям угла hello_html_4a268dde.gif.

1)  если в формуле содержатся углы 180° и 360° (π и 2π), то наименование функции не изменяется;

если же в формуле  содержатся  углы  90° и 270° (π/2 и /2), то наименование функции меняется на сходное (синус на косинус, тангенс на котангенс.);

2)  чтобы определить знак в правой части формулы (+ или—), достаточно, считая угол  φ острым, определить знак  выражения, стоящего в левой части формулы.



Примеры применения формул приведения

Пример 1. Упростите выражения:

hello_html_2b8e5945.gif

hello_html_m131467d6.gif

hello_html_m13aa64c2.gif

hello_html_md2b9685.gif

hello_html_32804f0d.gif

hello_html_m7a8d6035.gif


С помощью формул приведения нахождение значений тригонометрических функций любого угла можно свести к нахождению значений тригонометрических функций угла от 0 до hello_html_m498e0693.gif.

Пример 2. Приведите угол к промежутку hello_html_777de234.gif и найдите его значение:

hello_html_m356af68f.gif

hello_html_7dde1d9e.gif

hello_html_m58a57ceb.gif


Упражнения для закрепления материала

1.Преобразовать в произведение: 1)cos50º+ cos20º; 2) cos2hello_html_m17c0599a.gif -cos4hello_html_m17c0599a.gif;

3)sinhello_html_m7e91be2b.gif+ sin4hello_html_m7e91be2b.gif;4) sin5º- sin

5) coshello_html_m763b1910.gif +coshello_html_2c86c26.gif; 6) sin(х+hello_html_m17c0599a.gif)+ sin(х-hello_html_m17c0599a.gif); 7) cos(hello_html_m17c0599a.gif-hello_html_m7e91be2b.gif) –cos(hello_html_m17c0599a.gif+hello_html_m7e91be2b.gif).

2.Упростить выражение: 1) hello_html_m431bae53.gif; 2)hello_html_44886d21.gif; 3)hello_html_41134375.gif.

3. Преобразовать в произведение: 1)hello_html_m101b70b7.gif; 2)hello_html_m48067a65.gif; 3)hello_html_57a6951b.gif.

4) hello_html_62801526.gif; 5)hello_html_m61a9d2c0.gif; 6)1-hello_html_57bbe364.gif.

4.Доказать тождество: 1)hello_html_m4727c210.gif;

2)hello_html_b1f2ab8.gif;

3)hello_html_ddf0f5d.gif;4)hello_html_12770427.gif;

5)hello_html_7b168cf0.gif.

5. Приведите к тригонометрической функции угла hello_html_1588b5fd.gif.


hello_html_m58626fa.gifhello_html_72c4d1d1.gifhello_html_a46f004.gifhello_html_m195cc243.gif

hello_html_6d8cf69b.gifhello_html_5504d7e7.gifhello_html_m5a7033fc.gifhello_html_m7a06f764.gif

6. Приведите к тригонометрической функции угла hello_html_m43a44a53.gif hello_html_m22d15839.gif hello_html_2a472d71.gif hello_html_mac0f41.gif hello_html_m2be71d7.gif

7. Преобразуйте выражение:


hello_html_m4352131e.gif

hello_html_m4bddbb2b.gif

hello_html_1fb6ac09.gifhello_html_m27ec1009.gif

hello_html_m24c26f76.gifhello_html_m7adde8ba.gif



Контрольные вопросы

1. Запишите формулу: 1) суммы синусов; 2) разности синусов; 3) суммы косинусов;4) разности косинусов.

2. Сформулируйте правила, которыми можно руководствоваться при применении формул приведения.

Литература

1.Ш.А.Алимов, стр.156-161.

2.А.Г.Мерзляк, стр.211-214.

3..О.Н.Афанасьєва, стор.98-99





Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 26.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров646
Номер материала ДВ-290370
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх