Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Лекция по теме "Основные понятия тригонометрии" для студентов средних специальных учебных заведений

Лекция по теме "Основные понятия тригонометрии" для студентов средних специальных учебных заведений



Осталось всего 2 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Основные понятия тригонометрии

В геометрии угол определяется как часть плоскости, ограниченная двумя лучами. При таком определении получаются углы от 0° до 180°. Однако угол можно рассматривать и как меру поворота. Возьмем на координатной плоскости окружность радиуса R с центром O в начале координат. Пусть одна сторона угла α с вершиной в начале координат O идёт по оси абсцисс, а сам угол положительный, то есть, по определению, отложен по направлению против часовой стрелки от положительного направления оси абсцисс. Из геометрии известно, что отношение длины дуги l, на которую опирается этот угол, к радиусу R этой окружности не зависит от самого радиуса. Поэтому это отношение может быть выбрано характеристикой и мерой данного угла:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551592106-1.gif

Такая мера называется радианной мерой угла и используется наравне с угловой. Говорят, что угол равен определённому числу радиан. Ясно, что угол в один радиан опирается на длину дуги окружности, равную её радиусу. В самом деле: http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551592121-2.gifОбозначение радиана – «рад». Так как длина всей окружности радиуса R равна 2πR, то всей окружности соответствует угол


http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551592137-3.gif


Можно написать следующие формулы перехода от градусного измерения к радианному:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551592168-7.gif

и от радианного измерения к градусному:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551592184-8.gif

Обозначение «рад» при записи часто опускают и вместо, например, 180° = π рад пишут просто 180° = π.

Пользуясь этими формулами, легко получить следующую таблицу перевода некоторых наиболее часто встречающихся углов из градусной меры в радианную и обратно.

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Формулы приведения

Прежде всего, получим формулы, по которым тригонометрические функции углов вида http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595356-1.gifможно выражать через тригонометрические функции угла α. Эти формулы называются формулами приведения

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/chapter2/section4/paragraph2/images/020402_1.gif1

Рисунок 2.4.2.1

Отложим от положительного направления оси абсцисс угол α (см. рис. 2.4.2.1). Отразим точку A, отвечающую этому углу, относительно прямой y = x. Пусть она при отражении перейдёт в точку B. Так как координатные оси тоже симметричны относительно прямой y = x, то угол между осью ординат и радиус-вектором http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595387-2.gifравен α.

Несложно сообразить, что угол между положительным направлением оси абсцисс и радиус-вектором http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595387-3.gifравен http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595403-4.gifПусть координаты радиус-вектора http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595434-5.gifбудут (xy), а координаты радиус-вектора http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595434-6.gifбудут (x'y'). Так как при отражении относительно прямой y = x ось абсцисс переходит в ось ординат, то абсцисса радиус-вектора http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595465-7.gifстанет ординатой радиус-вектора http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595465-8.gifи наоборот. Следовательно, x = y'y = x'. Но координаты x и y можно найти с помощью угла α: x = cos α, y = sin α. Аналогичные формулы связывают координаты радиус-вектора http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595512-9.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595528-10.gif

Так как x = y' и y = x', то получаем:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595543-11.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595543-12.gif

Рассмотрим радиус-вектор http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595559-13.gifугол между которым и осью абсцисс равен –α. Очевидно, что координаты этого радиус-вектора равны (x; –y). Но абсцисса и ордината этого вектора есть синус и косинус угла –α. Следовательно,

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595590-14.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595606-15.gif

Отсюда легко получить, что

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595637-16.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595637-17.gif

Последние равенства означают, что функции синус, тангенс и котангенс − нечётные, а функция косинус − чётная.

Заменим в формулах http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595715-18.gifи http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595731-19.gifугол α на –α. Имеем

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595746-20.gif

Итак, доказано, что

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595746-21.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595746-22.gif

Выполним следующие преобразования:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595746-23.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595746-24.gif

Итак,

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595762-25.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595793-26.gif

Аналогично доказываются формулы:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595793-27.gif


http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595824-28.gif

Из последних формул следует, что

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595856-29.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595871-30.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595871-31.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595871-32.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595887-33.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595887-34.gif

Учтём теперь, что

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595918-35.gif   http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595918-36.gif

Тогда из вышеприведённых формул следует:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595918-37.gif   http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595934-38.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595949-39.gif  http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595965-40.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595981-41.gif  http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595981-42.gif

Запишем все формулы приведения в виде таблицы.

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595981-43.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551595981-44.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596012-45.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596012-46.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596012-47.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596059-48.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596074-49.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596074-50.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596074-51.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596074-52.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596074-53.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596090-54.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596090-55.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596090-56.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596106-57.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596121-58.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596168-59.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596184-60.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596184-61.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596199-62.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596215-63.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596215-64.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596231-65.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596231-66.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596246-67.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596262-68.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596262-69.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596262-70.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596278-71.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596309-72.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596324-73.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596324-74.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596324-75.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596340-76.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596340-77.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596356-78.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596356-79.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596387-80.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596403-81.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596403-82.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596403-83.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596403-84.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596403-85.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596418-86.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596434-87.gif


Таблица 2.4.2.1

Пример 1

Упростите выражение:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596449-88.gif

Решение

Имеем:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596465-89.gif

Ответ: 2 cos x.


Основные формулы

Обратимся снова к тригонометрической окружности.

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/chapter2/section4/paragraph2/images/020402_2.gif2

Рисунок 2.4.2.2

Пусть точка A является концом радиус-вектора, отвечающего углу α. Пусть также OA = 1. Построим прямоугольный треугольник AOC. Применяя к этому треугольнику теорему Пифагора, получаем:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596481-90.gif

Но OA = 1,  OC = cos α,  CA = sin α. Значит, непосредственным следствием теоремы Пифагора является равенство



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/design/images/def_pt.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596481-91.gif

Это равенство называется основным тригонометрическим тождеством.

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/design/images/def_pt.gif

Отсюда следует, что

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596481-92.gif  http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596481-93.gif

Знак + или − выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α.

Разделим основное тригонометрическое тождество на http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596496-94.gifПолучим:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596496-95.gif

Разделим основное тригонометрическое тождество на http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596512-96.gifПолучим:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596528-97.gif

Из определений тангенса и котангенса http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596528-98.gifследует:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596528-99.gif

Пример 2

Найдите sin x  и  cos x, если http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596528-100.gifи http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596528-101.gif

Так как то sin x < 0 и cos x < 0. Имеем:







Пример 3

Упростить выражение:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596543-106.gif


Формулы сложения

3


http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596684-118.gif




http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596699-120.gif




http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596731-122.gif




http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596731-124.gif




http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596731-126.gif http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596778-132.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596746-129.gif http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596778-135.gif





Пример 4

Упростите выражения:

1) http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596824-137.gif

2) http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596824-138.gif


Формулы кратного аргумента

Итак, нами получены все формулы сложения для тригонометрических функций. Получим из них прямые следствия, положив в них во всех α = β.

sin 2α = 2 sin α cos α;



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596887-143.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596949-144.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596949-145.gif

Эти формулы называются формулами двойного угла.

Воспользуется теперь второй из этих формул и основным тригонометрическим тождеством. Получим:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596949-146.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596965-147.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596965-148.gif

Если же теперь воспользоваться формулой разности квадратов, то получится

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596981-149.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596981-150.gif

Если в формулах сложения положить, например, β = 2α, то получим формулы кратного аргумента.

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551596996-151.gif



http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597012-152.gif

Совершенно аналогично получается формула

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597012-153.gif

Полученные формулы называются формулами кратного аргумента. Аналогично можно получить формулы синуса и косинуса 4α, 5α и т. д.

Пример 5

Вычислите tg x, если http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597028-154.gif



Пример 6

Упростите выражение http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597106-163.gif


Формулы понижения степени

Из формулы косинуса двойного угла

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597168-179.gif

следуют формулы понижения степени:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597184-180.gif
http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597215-181.gif


Формулы половинного аргумента

Если в последних формулах заменить α на http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597215-182.gifто получатся формулы половинного аргумента:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597215-183.gif
http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597215-184.gif
http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597215-185.gif
http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597215-186.gif

Можно получить немного другие формулы половинного аргумента для тангенса и котангенса. А именно:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597231-187.gif
http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597231-188.gif

Совершенно аналогично получается формула

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597231-189.gif


Преобразование произведения в сумму

Запишем теперь две формулы сложения:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597246-190.gif
http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597246-191.gif

Сложим их:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597262-192.gif

Вычтем их:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597278-193.gif

Если рассмотреть две другие формулы сложения:

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597293-194.gif
http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597309-195.gif

и сложить их, то получится

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597324-196.gif

Три полученные формулы называются формулами преобразования произведения в сумму.


Преобразование суммы в произведение

Перепишем первую из полученных формул преобразования произведения в сумму в виде

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597324-197.gif

Сделаем замену переменных: x = α – β, y = α + β. Из этой замены следует, что http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597324-198.gifи http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597324-199.gifи последняя формула имеет вид

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597340-200.gif

Совершенно аналогично получаются другие формулы преобразования суммы в произведение.

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597387-201.gif
http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597418-202.gif
http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597418-203.gif

Пример 7

Упростите выражения

1) http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597434-204.gif

2) http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597621-205.gif

Имеем:

1) http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597731-206.gifhttp://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597746-207.gif

2) http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597824-208.gif

http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597840-209.gif

Ответ. 1) http://old.college.ru/mathematics/courses/algebra/content/javagifs/63261551597856-210.gif2) 1.







57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 10.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров209
Номер материала ДВ-047621
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх