Лекция по теме: " Свойства функции"

Лекция

Тема: «Свойства функции: четность, нечетность, монотонность, ограниченность»

Запишите конспект в тетрадь!!!

Цель: научиться определять свойства функций: монотонность, четность, нечетность, ограниченность.

Определение: Функция  называется возрастающей на некотором интервале, принадлежащим ее области определения, если для любых значений аргумента , таких что  выполняется соответствующее неравенство для значений функции: .

Например:

а)

б)

в)

Решение:

а)

Воспользуемся определением. Пусть ,  тогда . Найдем теперь значения функции в точках :

Найдем разность следовательно , значит , что означает функция  возрастает.

б)

Воспользуемся определением. Пусть ,  тогда . Найдем теперь значения функции в точках :

Найдем разность следовательно, , значит , что означает функция  возрастает.

Определение: Функция  называется убывающей на некотором интервале, принадлежащим ее области определения, если для любых значений аргумента , таких что  выполняется соответствующее неравенство для значений функции: .

Например:

в 

Воспользуемся определением. Пусть ,  тогда . Найдем теперь значения функции в точках :

Найдем разность следовательно , значит , что означает функция  убывает.

Определение: Функция называется монотонной, если она возрастает или убывает.

Определение:  Функция  называется ограниченной, если для всех ее значений выполняется неравенство  или , M – некоторое действительное число.

Например: Ограничены ли  функции:

а),

б) ,

в)

Решение:

а), графиком которой является прямой линией. Область определения этой функции есть множество всех действительных чисел, то есть , множеством значений этой функции является также множество всех действительных чисел, то есть , значит функция  является неограниченной.

б) . Найдем область определения этой функции:

Таким образом, областью определения этой функции отрезок  , то есть , множеством значений этой функции является отрезок , то есть , значит функция  является ограниченной.

в) , графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Область определения этой функции есть множество всех действительных чисел, то есть . Найдем вершину параболы ,

 , множеством значений этой функции является луч , то есть , значит функция

 является ограниченной

Определение: Функция называется четной, если для любых значений аргументов из области ее определения, выполняется равенство для значений функции: .

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Определение: Функция называется нечетной, если для любых значений аргументов из области ее определения, выполняется равенство для значений функции: .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Например: Исследовать функции на четность, нечетность:

а) ,

б) ,

в)

Решение:

а) ,

так как , то есть , значит по определению функция  четная.

б) ,

так как

, то есть , значит по определению функция  нечетная.

в) ,

так как , значит общего вида.

Выполните задания для самостоятельной работы:

Задания выполняются по вариантам, так как вы сидите на учебной дисциплине «Математика»

Вариант №1 Задание №1. Исследовать на монотонность функции: а) , б) , в) Задание №2. Ограничены ли  функции: а), б) , в) Задание №3. Исследовать по алгоритму функции на четность, нечетность: а) , б) , в)

Вариант №2 Задание №1. Исследовать на монотонность функции: а) , б) , в) Задание №2. Ограничены ли  функции: а), б) , в) Задание №3. Исследовать по алгоритму функции на четность, нечетность: а) , б) , в)

Сканы или фото конспектов и самостоятельной работы пришлите мне в сообщениях Вконтакте до 12.00.

Краткое описание документа:

Материал лекции будет полезен студентам первого курса колледжа