Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Лекция (вводная) по математике для студентов средних специальных учебных заведений

Лекция (вводная) по математике для студентов средних специальных учебных заведений

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_m1947ed55.gifhello_html_3b429549.gifhello_html_m45a3e5b4.gifhello_html_mc560b2f.gifhello_html_3f10e34b.gifhello_html_m547a96f6.gifhello_html_m645ce0ae.gifhello_html_m11fba1bd.gifhello_html_24e36d4.gifhello_html_102655a5.gifЛекция по теме «Введение в математику»

Математика - одна из древнейших наук человечества, занимающаяся построением количественных и пространственных моделей мира.

Математика и математический аппарат используется во всех естественных науках, а также в гуманитарных науках, которые стремятся стать точными. Все математические модели основываются на нескольких утверждениях, аксиомах, и состоят из ряда логически непротиворечивых выводов.

Некоторые науки включают в себя математику как один из подразделов, так, например в физике, есть раздел математической физики, занимающийся построением математических моделей поведения физических объектов.

Все объекты в математике являются идеальными или идеализированными, абстрагированными от большинства реальных черт. Кроме того математика занимается обобщением многих задач на более общие случаи.

Области математики

Математику можно разделить на следующие основные разделы:

Арифметика - наука работающая с числами;

Математический анализ - наука работающая с исследованием функций;

Дифференциальное и интегральное исчисление – наука, исследующая интервальные и дифференциальный функции, а также решающая дифференциальные и интегральные уравнения;

Теорию динамических систем - наука изучающую поведение эволюционирующих систем,

Теорию хаоса - науку изучающую поведение систем в состоянии хаоса, т.е. в состоянии когда минимальные изменения начальных условий приводят к кардинальным изменениям в системе.

Раздел математики, занимающийся изучением пространственных объектов, называется геометрией.

Геометрию можно разделить на следующие группы: Классическая геометрия - наука занимающаяся описанием простых пространственных структур; Тригонометрия - исследование соотношения углов и функций их описывающих;

Дифференциальная геометрия - наука использующая дифференциальное и интегральное исчисление для геометрических исследований;

Топология – наука, изучающая непрерывные среды и пространство;

Фрактология – наука, изучающая фракталы - объекты с дробной размерностью.

В качестве отдельного раздела математики, больше относящегося к
математическим алгоритмам можно выделить дискретную математику, включающую в себя математическую логику, теорию вычислимости, криптографию и теорию графов.

Высшая математика

Математический анализ (теория пределов, функций, рядов, дифференциальных уравнений, аналитическая и дифференциальная геометрия, топология и др.)

Тополо́гия (от др.-греч. τόπος — место и λόγος — слово, учение) — раздел математики, изучающий в самом общем виде явление непрерывности, в частности, свойства пространства, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях, например, связность, ориентируемость.

В отличие от геометрии, в топологии не рассматриваются метрические свойства объектов (например, расстояние между парой точек). Например, с точки зрения топологии, кружка и бублик (полноторий) неотличимы.

Весьма важными для топологии являются понятия гомеоморфизма и гомотопии. Грубо говоря, это типы деформации, происходящие без разрывов и склеиваний.

Лента Мёбиуса — поверхность с одной стороной и одним краем; пример объекта, изучаемого в топологии

В 1858 году он установил существование односторонних поверхностей и в связи с этим стал знаменит как изобретатель листа Мёбиуса (ленты Мёбиуса), простейшей неориентируемой двумерной поверхности с краем, допускающей вложение в трёхмерное Евклидово пространство. В профессиональной среде Мёбиус известен как автор большого количества первоклассных работ по геометрии, особенно проективной геометрии, анализу и теории чисел.

Семь мостов Кёнигсберга — одна из первых задач топологии, рассмотренная Эйлером

Проблема семи мостов Кёнигсберга

Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как пройти по всем мостам (через реку Преголя), не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу как теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это не удавалось, однако не удавалось и доказать, что это даже теоретически невозможно.

В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской академии наук Леонарда Эйлера, о чём он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер пишет о том, что он смог найти правило, пользуясь которым легко определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них (в случае семи мостов Кёнигсберга это невозможно).

На упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (дуги графа), а частям города — точки соединения линий (вершины графа). В ходе рассуждений Эйлер пришёл к следующему выводу:

  • Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

Граф кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины (то есть все), следовательно, невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды.

→ →




Высшая алгебра (линейная алгебра, алгебра, теория чисел, теория графов и др.)

Алгебра (от арабского «аль-джабр», «воссоединение», «связь», «завершение», часть названия трактата Китаб аль-Джебр ва-ль-Мукабаля (араб. Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala — «Полная книга вычислений путём дополнения и равновесия») Аль-Хорезми ) — раздел математики, который можно грубо охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики. Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем. В более широком смысле под алгеброй понимают раздел математики, посвящённый изучению операций над элементами множества произвольной природы, обобщающих обычные операции сложения и умножения чисел.

Алгебру можно с известной степенью точности поделить на следующие части:

элементарная алгебра — самый старый раздел алгебры, в котором изучаются алгебраические выражения и уравнения над вещественными и комплексными числами,

абстрактная алгебра, или высшая алгебра математическая наука, изучающая аксиоматически определённые алгебраические системы, такие как поля, группы и кольца.

Специфические свойства векторных пространств изучаются в линейной алгебре.

Компьютерная алгебра, занимающаяся созданием и изучением алгоритмов для символических манипуляций с математическими объектами
Слово «алгебра» также употребляется в названиях различных алгебраических систем: * алгебра над кольцом * булева алгебра * сигма-алгебра * алгебра Ли

Стохастическая математика (Теория вероятностей, математическая статистика, эконометрика, прогнозирование и др.)

Дискретная математика - совокупность математических дисциплин, изучающих свойства абстрактных дискретных объектов, т.е. свойства математических моделей объектов, процессов, зависимостей, существующих в реальном мире, которыми оперируют в различных областях знаний. Разделы: математическая логика, комбинаторная логика, теория алгоритмов, теория автоматов, теория множеств, теория искусственного интеллекта и др. Рассмотрим некоторые из них.
1) Теория автоматов.
Теория автоматов разрабатывает методы, с помощью которых можно на основе моделей логического типа изучать процессы, протекающие в самой машине во время ее работы. Для работы на компьютере информацию представляют в дискретной форме, позволяющей переводить ее в программы, понятные ЭВМ.
2) Теория искусственного интелекта.
Искусственный интеллект - одно из молодых и перспективных направлений информатики, появившееся во второй половине XX в. на базе вычислительной техники, математической логики, программирования, психологии, лингвистики и других отраслей знаний. Объектами его изучения являются межпредметные процедуры (метапроцедуры), используемые при решении задач, традиционно называемых интеллектуальными. Проникая в тайны творческой деятельности людей, искусственный интеллект создает программные и программно-аппаратные модели таких метапроцедур.

3) Теория графов.
Граф – множество вершин со связями. Это очень емкое определение. Под него подпадает множество вещей, например наши дороги – перекрестки – вершины, сами дороги – связи, Сеть Интернет это тоже огромный граф. Теория графов учит как работать с этими объектами, в этой теории множество алгоритмов позволяющих корректно и быстро обрабатывать эти структуры.




Немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус
(17.11.1790-26.9.1868)

Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 10.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров248
Номер материала ДВ-047605
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх