Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Лекция по математике "Числовая функция, ее свойства и графики".
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Лекция по математике "Числовая функция, ее свойства и графики".

библиотека
материалов

Тема: Числовые функции, их свойства и графики

Тип урока: урок-лекция.

Целевая аудитория: обучающиеся 1 курса специальностей СПО 151031, 190631.

Цели урока:

  • образовательные: систематизировать имеющиеся знания в области числовых функций и их свойств, научиться исследовать графики функций по их свойствам.

  • развивающие: формировать умения анализировать свойства функций на основе имеющихся знаний, формировать аналитическое мышление, развивать навыки по применению знаний в различных ситуациях.

  • воспитательные: формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, развивать коммуникативные умения; формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.

Формы обучения: фронтальная, индивидуальная.

Оборудование: доска, проектор, экран. (Лекция построена исходя из реальных возможностей учебного кабинета. При наличии интерактивной доски необходимо работу с графиками проводить с ее помощью).

Приложение: презентация «Свойства числовой функции».



1. Организационный этап.

Приветствие, проверка присутствия на уроке, целеполагание.

2. Изложение теоретического материала

Определение: Числовой функцией называется соответствие, которое каждому числу х из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y.

Обозначение: y = f(x),

где x – независимая переменная (аргумент), y – зависимая переменная (функция). Множество значений x называется областью определения функции (обозначается D(f)). Множество значений y называется областью значений функции (обозначается E(f)). Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами (x, f(x))

http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image002.gif

Способы задания функции.

  1. аналитический способ (с помощью математической формулы);

  2. табличный способ (с помощью таблицы);

  3. описательный способ (с помощью словесного описания);

  4. графический способ (с помощью графика).

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если

область определения функции симметрична относительно нуля

для любого х из области определения f(-x) = f(x)

http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image003.gif

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если

область определения функции симметрична относительно нуля

для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image004.gif

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image005.gif, если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image006.gif

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).

http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image011.gif

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).

http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image013.gif



Иными словами:

функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;

функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.



4. Экстремумы

Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х)http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image014.gif f(Xmax).

Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.

http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image015.gif

Хmax – точка максимума

Уmax – максимум

Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х)http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image016.gif f(Xmin).

Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.

http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image017.gif

Xmin – точка минимума

Ymin – минимум

Xmin, Хmax – точки экстремума

Ymin, Уmax – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

http://yaklass-shkola.s3-eu-west-1.amazonaws.com/goods/ymk/algebra/work3/theory/5/image018.gif

Х123 – нули функции y = f(x).

 

Нули функции

Нулём функции y=f(x) называется такое значение аргумента x0, при котором функция обращается в нуль.


Линейная функция y=kx+m

Графиком функции y=kx+m является прямая.

Свойства функции y=kx+m

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) возрастает, если k>0, убывает, если k<0;

3) не ограничена ни снизу, ни сверху;

4) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

5) функция непрерывна

6) E(f)=(−∞;+∞).

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/1d451435-300b-42a2-afe5-178b4d3b03a2/taisne1.png 

 

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/edb7d407-52ae-40b9-b052-6645501146f0/taisne2.png

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/ef957c9e-9a3d-4666-bb04-4fc30dc7e1d3/taisne3.png


Функция y=kx2,k≠0


Графиком функции y=kx2,k≠0 является парабола с вершиной в начале координат и с ветвями, направленными вверх, если k>0, и вниз, если k<0.

Свойства функции y=kx2,k≠0

Для случая k>0

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) убывает на луче (−∞;0], возрастает на луче [0;+∞);

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4) yнаим=0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=[0;+∞);

7) выпукла вниз.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/a0108f99-0935-40d5-ba94-45291c2504b1/parabola1.png 

Свойства функции y=kx2,k≠0

Для случая k<0

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) возрастает на луче (−∞;0], убывает на луче [0;+∞);

3) не ограничена снизу, ограничена сверху;

4) наименьшего значения не существует, yнаиб=0;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=(−∞;0];

7) выпукла вверх.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/0a68a9cd-21f2-442f-8b76-dd48b6f9d938/parabola2.png


Функция y=k/x

Графиком функции является гипербола.

Свойства функции y=k/x

1) D(f)=(−∞;0)(0;+∞);

2) если k>0, то функция убывает на открытом луче (−∞;0) и на открытом луче (0;+∞); если k<0, то функция возрастает на(−∞;0) и на (0;+∞);

3) не ограничена ни снизу, ни сверху;

4) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

5) функция непрерывна на открытом луче (−∞;0) и на открытом луче (0;+∞);

6) E(f)=(−∞;0)(0;+∞).

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/936fdab4-4d13-4b32-9995-3b525f8570a1/giperbola.png

 

 http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/c3efb23f-e416-4eb5-92b5-a18c6020330c/giperbola2.png


Функция y= √x

Графиком функции y=√x является ветвь параболы.

Свойства функции y=√x

1) D(f)=[0;+∞);

2) возрастает;

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4)yнаим=0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=[0;+∞);

7) выпукла вверх.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/4f6740fc-0414-40b5-b432-b26cf286a671/vetvj.png


Функция y=|x|

Графиком функции является объединение двух лучей: y=x,x≥0 и y= −x, x≤0.

Свойства функции y=|x|

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) убывает на луче (−∞;0], возрастает на луче [0;+∞);

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4) yнаим=0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=[0;+∞).

 

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/ac69d5de-b8e7-46a5-add3-f8fb8c8b8f80/galka.png


Функция y=ax2+bx+c

Графиком функции y=ax2+bx+c является парабола с вершиной в точке (x0;y0), где x0=−b/2a,y0=f(x0)=ax02+bx0+c, и с ветвями направленными вверх, если a>0, и вниз, если a<0.

Свойства функции y=ax2+bx+c

Для случая a>0

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) убывает на луче (−∞;−b/2a], возрастает на луче [−b/2a;+∞);

3) ограничена снизу, не ограничена сверху;

4) yнаим=y0, наибольшего не существует;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=[y0;+∞);

7) выпукла вниз.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/047d8816-1147-490d-9adf-dd0bdb462e23/parabola61.png

Для случая a<0

1) D(f)=(−∞;+∞);

2) возрастает на луче (−∞;−b/2a], убывает на луче [−b/2a;+∞);

3) не ограничена снизу, ограничена сверху;

4) наименьшего значения не существует, yнаиб=y0;

5) функция непрерывна;

6) E(f)=(−∞;y0];

7) выпукла вверх.

http://dxmbkxacdb7tv.cloudfront.net/4f04c9d9-c13a-462d-9c48-653095497b39/parabola62.png

 

3. Подведение итогов учебного занятия.

Контрольные вопросы:

1. Что такое числовая функция?

2. Назовите способы ее задания.

3. Назовите основные свойства числовой функции.

4. Перечислите элементарные функции, изученные на уроке.


4. Домашнее задание.

Пользуясь теоретическим материалом лекции (основными свойствами функции), выполнить следующее:

1) построить графики функций: а) y=3x2 б) y=-5/x

2) Записать их свойства, используя построенные графики.

10


Краткое описание документа:

Разработка урока-лекции по теме "Числовые функции их свойства и графики" с презентацией. Урок проводится на первом курсе технических специальностей среднего профессионального образования.

Цели урока:

·         образовательные: систематизировать имеющиеся знания в области числовых функций и их свойств, научиться исследовать графики функций по их свойствам.

·         развивающие: формировать умения анализировать свойства функций на основе имеющихся знаний, формировать аналитическое мышление, развивать навыки по применению знаний в различных ситуациях.

·         воспитательные: формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, развивать коммуникативные умения; формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.

Метод обучения: объяснительно-иллюстративный.

Формы обучения: фронтальная, индивидуальная.

 

Оборудование: доска, проектор, экран. (Лекция построена исходя из реальных возможностей учебного кабинета. При наличии интерактивной доски необходимо работу с графиками проводить с ее помощью).

Автор
Дата добавления 19.01.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров2483
Номер материала 317617
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх