Логотип Инфоурока

Получите 30₽ за публикацию своей разработки в библиотеке «Инфоурок»

Добавить материал

и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru

Инфоурок Математика Другие методич. материалыРабочая тетраьи по дисциплине "Алгебра"

Рабочая тетраьи по дисциплине "Алгебра"

Скачать материал
Скачать тест к этому уроку
библиотека
материалов

Листы рабочей тетради по дисциплине "Линейная алгебра".

Тема 1. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ.

1.1. Матрицы. Основные понятия.

Определение

матрицы

Матрицей называется система m×n чисел, расположенная в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы и обозначаются: аij, где i - номер строки, j - номер столбца.


Размерность

матрицы

Размерностью матрицы называется количество ее строк и столбцов (m×n).


1.1.1. Запишите матрицу A в общем виде размером 3×4

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.1.2. Какая матрица называется матрицей-строкой? Приведите пример.

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................... 1.1.3. Какая матрица называется матрицей-столбцом? Приведите пример.

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.1.4. Какая матрица называется квадратной? Придумайте и запишите квадратную матрицу четвертого порядка.

....................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.1.5. Запишите диагональные элементы матрицы из предыдущего примера.

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.1.6. Какая матрица называется диагональной? Придумайте и запишите диагональную матрицу третьего порядка. .............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.1.7. Приведите пример единичной матрицы. Укажите ее размер.

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.1.8. Для какого вида матриц применимо понятие "треугольная матрица"?

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.1.9. Какая матрица называется нулевой? Приведите пример.

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.1.10. Какие матрицы называются равными? Приведите пример.

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Запомнить: матрица - это таблица.


1.2. Действия над матрицами.

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций, причем некоторые из них аналогичны операциям над числами, а некоторые специфические.

1.2.1. Сформулируйте определение суммы матриц. .................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.2.2. Сложите матрицы и B=.

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.2.3. Сложите матрицы A= и B=.

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.2.4. Сформулируйте правило умножения матрицы на число.

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.2.5. Найдите произведение матрицы A= на число α =.

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Замечание. Разность двух матриц можно определить так: .


1.2.6. Какая матрица называется противоположной к матрице А?

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................


Свойства линейных операций над матрицами.

( A,B,C - матрицы одних и тех же размеров; О - нулевая матрица, (-А) - матрица, противоположная матрице А; α,β - любые действительные числа


1



Пусть А= , . Так как

, (i=1,2,...m; j=1,2,...n), то A+B=B+A.




2


(А+B)+C=A+(B+C)








3


A+O=A








4


A+(-A)=O








5


(α+β)A=αA+βA








6


α(A+B)=αA+αB








7


α(βB)=(αβ)B








Замечание: проверьте свойства линейных операций над матрицами на конкретных примерах.


1.2.7. Сформулируйте определение произведения двух матриц.

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.2.8. Найдите произведение матриц АВ, если , .

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.2.9. Найдите произведение ВА матриц из предыдущего примера.

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.2.10. Пусть ; . Найдите АВ и ВА. Сделайте вывод.

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.2.11. Найдите произведение матриц АЕ и ЕА, если .

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.2.12. Найдите произведение матриц АВ, если , .

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.2.13. Какие матрицы называются перестановочными? .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Запомнить: умножение матриц некоммутативно, т.е. в общем случае

.

Свойства операции умножения матриц.

( А,В,С - матрицы соответствующих размеров; Е - единичная матрица; О - нулевая матрица; - действительное число )


1









2









3












4


















5













6












Замечание: проверьте свойства операции умножения матриц на конкретных примерах.



Целой положительной степенью ( где m>1 ) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, каждая из которых равна А,

. Матрица имеет тот же порядок, что и матрица А.


1.2.14. Найдите , если .

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.2.15. Найдите , если .

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Замечания:

1. Операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц. По определению полагают

2. Из равенства еще не следует, что матрица А - нулевая (смотри задание 2.15).


1.2.16. Какая матрица называется транспонированной к матрице А?

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 1.2.17. Запишите матрицу транспонированную к матрице .

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Основные свойства транспонирования матриц.

( А,В - матрицы соответствующего размера; α - действительное число)


1











2













3

















4




















Матричным многочленом называется выражение, состоящее из матриц и операций над ними.

Например: ; , где А,В,С - матрицы соответствующих размеров.


1.2.18. Найдите матрицу , если

, .

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

1.2.19. Найдите матрицу , если ,

. ............................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


1.3. Задания для самоподготовки.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение матрицы, назовите элементы матрицы, найдите размер матрицы.

2. Дайте определение видам матриц: квадратная, диагональная, треугольная, нулевая, единичная, матрица-строка, матрица-столбец.

3. Какие матрицы являются равными?

4. Назовите линейные операции над матрицами.

5. Сформулируйте правило сложения матриц, правило умножения матрицы на число.

6. Что значит вычесть матрицы?

7. Чему равняется сумма матрицы с нулевой матрицей? Какое условие должно выполняться?

8. Чему равняется сумма противоположных матриц?

9. Как найти элементы матрицы С = А · В?

10. Какими свойствами обладают операции над матрицами?

11. Для всех ли операций выполняется коммутативное свойство? Почему?

12. Всегда ли произведение ненулевых матриц есть ненулевая матрица?

13. Если произведение двух матриц равняется нулевой матрице, то верно ли, что одна из них нулевая?

14. Сформулируйте правило и условия возведения матрицы в степень.

15. Транспонирование матрицы. Свойства операции транспонирования матриц.


ТЕСТ № 1

по проверке знаний по теме: «Матрицы и действия над ними»

1. Дайте определение матрицы. Запишите матрицу в общем виде размером к × р.

2. Запишите матрицу B размером 2 × 3 в общем виде.

3. Какие матрицы называются равными?

4. Придумайте матрицу D пятого порядка. Перечислите элементы главной и вспомогательной диагонали.

5. Придумайте и запишите диагональную матрицу четвёртого порядка.

6. Для какого вида матриц применимо понятие «треугольная матрица»?

7. Приведите пример единичной матрицы, укажите её размер.

8. Какая матрица называется квадратной?

9. Из какого свойства операции над матрицами следует, что общий множитель можно выносить за знак матрицы?

10. Всегда ли действует правило: матрица, умноженная на нуль, есть нулевая матрица?

11. Чему равна сумма матрицы А с нулевой матрицей?

12. Что означает: из матрицы А вычесть матрицу В?

13. Чему равна сумма противоположных матриц?

14. Как умножить матрицу M на матрицу N?

15. Каким свойством операций над матрицами не обладает произведение двух матриц?

16. Какие из свойств операций над матрицами связаны с понятием «умножить слева», «умножить справа»?

17. Возможен ли случай выполнения коммутативного свойства для умножения матриц? Если возможен, то назовите его.

18. Что следует из того, что произведение двух матриц равняется нулевой матрице?

19. Для какой матрицы можно найти её квадрат?

20. Какая операция над матрицами называется транспонированием?

21. Являются ли следующие высказывания элементарными преобразованиями матриц:

а) дописать к данной матрице нулевой столбец;

б) умножить на 3 несколько элементов второй строки матрицы;

в) заменить второй и третий столбцы матрицы на четвёртый и пятый;

г) прибавить элементы третьей строки матрицы к соответствующим элементам пятой строки матрицы?

22. Верны ли свойства операции транспонирования матриц:

а)

б) α=(α+β)(.


Оценка выполненного теста: за 20 и более верно данных ответов ставится отметка «зачёт».


Тема 2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНЫХ МАТРИЦ.

2.1. Определители второго и третьего порядков.

Каждой квадратной матрице, элементами которой являются числа, можно поставить в соответствие число, которое называется определителем матрицы.


Определителем квадратной матрицы второго порядка

называется число Δ===.


2.1.1. Вычислите определитель второго порядка .

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

называется число Δ==


Для вычисления определителей третьего порядка удобно использовать следующие правила

Правило треугольника







Правило параллелограмма


2.1.2. Вычислите определитель по правилу треугольника.

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................


2.1.3. Вычислите определитель третьего порядка из предыдущего примера по правилу параллелограмма.

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


Свойства определителей.

=;


.


Отсюда следует, что .


2



Перестановка двух строк или столбцов определителя равносильна умножению его на (-1), т.е. такая перестановка меняет знак определителя на противоположный.

; .

Покажите, что .














3

Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.

. Покажите, что .









4













Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k, равносильно умножению определителя на это число (общий множитель строки или столбца можно выносить за знак определителя).







Следствие: если все элементы некоторого столбца или некоторой строки равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

Покажите, что

.











Покажите, что .








5

Если соответствующие элементы двух столбцов или строк пропорциональны, то определитель равен нулю.

Покажите, что .















6

Если к элементам некоторого столбца (или некоторой строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (или другой строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя не изменится.


Покажите, что =.






















7

Если каждый элемент n-го столбца или n-ой строки определителя представляют собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-ом столбце или в n-ой строке имеет первые из упомянутых слагаемых, а другой вторые; элементы, стоящие на остальных местах у всех трех определителей одни и те же.








Покажите, что


.





















2.1.4. Используя свойства определителей, вычислить определитель .

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2.1.5. Используя свойства определителей, вычислить определитель .

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраического дополнения и минора.


Определение

минора

Минором какого-либо элемента определителя, называется определитель, полученный из данного, вычеркиванием той строки и того столбца которым принадлежит данный элемент.

Минор элемента обозначается .

Пусть дан определитель , тогда

.


2.1.6. Найдите миноры элементов определителя .

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


Определение

алгебраического

дополнения

Алгебраическим дополнением какого-либо элемента определителя называется его минор взятый со знаком .

Алгебраическое дополнение элемента обозначается .

2.1.7. Найдите алгебраические дополнения элементов определителя .

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................



Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения

(Теорема Лапласа).




=


(разложение определителя по элементам первой строки).












2.1.8. Вычислите определитель , пользуясь одним свойством 8.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Запомнить: определитель - это число.


2.2. Определитель n-го порядка.

Свойство 8 определителя третьего порядка допускает обобщение, которое может быть принято за определение определителя любого порядка.


Определение

определителя n-го

порядка

Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице n-го порядка можно назвать число, равное сумме парных произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.


Определители n-го порядка обладают всеми перечисленными в пункте 3 свойствами.


2.2.1. Вычислите определитель четвертого порядка , разлагая его по элементам второго столбца. ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


2.3. Обратная матрица.

2.3.1. Дайте определение обратной матрицы. .............................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

2.3.2. Сформулируйте определения вырожденной и невырожденной матриц. ..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

2.3.3. Для каких матриц существуют обратные матрицы? .......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


Квадратная матрица A, определитель которой не равен нулю, имеет единственную обратную матрицу, где

Δ - определитель матрицы A, - алгебраическое дополнение элемента матрицы A.


Алгоритм вычисления обратной матрицы.

1. Найти определитель исходной матрицы. Если , то матрица A вырожденная и обратная матрица не существует. Если , то матрица A невырожденная и обратная матрица существует.

2. Найти матрицу , транспонированную к матрице A.

3. Найти алгебраические дополнения (i=1..n, j=1..n) элементов транспонированной матрицы и составить присоединенную матрицу : .

4. Вычислить обратную матрицу по формуле .

5. Проверить правильность вычисления обратной матрицы исходя из ее определения

.

2.3.4. Вычислите матрицу, обратную для матрицы .

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2.3.5. Вычислите матрицу, обратную для матрицы .

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2.4.Ранг матрицы.

Определение

минора матрицы

Выберем в матрице А размерности k строк и k столбцов (). Таким образом образуется матрица k-го порядка, определитель которой называется минором k-го порядка матрицы А и обозначается .

Элементы матрицы называются минорами первого порядка.


Определение

ранга матрицы

Рангом матрицы А называется наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Ранг матрицы обозначается r или rg.


2.4.1. Используя определение, найдите ранг матрицы .

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

Из определения ранга матрицы получаем следующие утверждения:

1. Ранг матрицы выражается целым числом, заключенным между нулем и наименьшим из чисел , то есть .

2. Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица является нулевой.

3. Для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

Отметим свойство миноров матрицы, которым пользуются при нахождении

ранга матрицы.

Если все миноры порядка k данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка также равны нулю. Это следует например из теоремы Лапласа.

Ранг матрицы можно найти двумя методами: методом окаймляющих миноров и методом элементарных преобразований.


Метод окаймляющих миноров состоит в следующем:

1. Найти ненулевой элемент матрицы . Если такого нет, то r=0.

2. Вычислить миноры второго порядка, которые окаймляют выбранный элемент.

Если все миноры второго порядка равны нулю, то r=1. Если среди вычисленных миноров второго порядка имеется отличный от нуля, рассмотреть все миноры третьего порядка, окаймляющие какой-нибудь минор второго порядка, не равный нулю.

Продолжать так далее, пока все миноры, окаймляющие не нулевой минор k-го порядка, не будут равны нулю. В этом случае ранг матрицы равен k.


2.4.2. Методом окаймляющих миноров найти ранг матрицы А. .............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2.4.3. Какие преобразования матрицы называются элементарными? ....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

2.4.4. Какая матрица называется трапециевидной? Приведите пример.

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................


Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.

Любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно превратить в трапециевидную. Так как элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы и ранг трапециевидной матрицы равен числу ненулевых строк, то для отыскания ранга матрицы необходимо:

1. С помощью элементарных преобразований привести матрицу к трапециевидному виду.

2. Подсчитать число ненулевых строк в полученной матрице.

2.4.5. Найти с помощью элементарных преобразований ранг матрицы

.

.............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

5. Задания для самоподготовки.

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение определителя квадратной матрицы n-го порядка, определителей первого, второго, третьего порядков.

2. Сформулируйте правила вычисления определителей первого, второго, третьего порядков.

3. Дайте определение минора данного элемента определителя.

4. Дайте определение алгебраического дополнения данного элемента определителя.

5. Сформулируйте теорему Лапласа. Что значит разложить определитель по элементам строки или столбца?

6. Назвать известные способы вычисления определителей.

7. Перечислите свойства определителей квадратных матриц.

8. Какая матрица называется обратной, присоединенной, вырожденной, невырожденной?

9. Сформулируйте необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.

10. Каков порядок вычисления обратной матрицы?

11. Перечислите свойства обратной матрицы.

12. Ранг матрицы и его свойства.


ТЕСТ № 2

по проверке знаний по теме: «Определители квадратных матриц»

1. Дайте определение определителя n-го порядка и запишите его в общем виде.

2. Как может обозначаться определитель матрицы С?

3. Запишите определитель первого порядка. Чему он равен?

4. Запишите определитель второго порядка для матрицы В в общем виде и правило его вычисления буквенной формулировке.

5. Запишите определитель третьего порядка для матрицы D в общем виде и правило его вычисления буквенной формулировке.

6. Что называется минором данного элемента определителя?

7. Что называется алгебраическим дополнением данного элемента определителя?

8. Сформулируйте теорему Лапласа.

9. Запишите разложение определителя третьего порядка по элементам второй строки в общем виде.

10. Запишите правило вычисления определителя диагональной матрицы в буквенной формулировке.

11. Будет ли изменяться определитель, если матрицу транспонировать?

12. Изменится ли определитель, если поменять местами две строки или два столбца? Если изменится, то как?

13. Изменится ли определитель, если вынести за знак определителя общий множитель всех элементов определителя?

14. Чему будет равен определитель, если у него второй и четвёртый столбцы с одинаковыми элементами?

15. Будет ли определитель обращаться в ноль, если элементы всех строк пропорциональны?

16. Чему равен определитель, если у него последний столбец нулевой?

17. Как умножить определитель на –5?

18. Как можно вычислить определитель произведения трёх матриц?

19. Какая матрица называется обратной?

20. Назовите условие существования обратной матрицы.

21. Как получить присоединённую матрицу к матрице K?

22. Что надо знать, чтобы найти обратную матрицу?

23. Какие преобразования не изменяют ранг матриц?


Оценка выполненного теста: за 16 и более верно данных ответов ставится отметка «зачёт».



  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Скачать материал
Скачать тест к этому уроку
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Скачать материал
Скачать тест к этому уроку

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.