Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Логические задачи для 5 класса

Логические задачи для 5 класса



Осталось всего 2 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Название документа pril13.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: «Задачи на перевозки»

Цель: отработать навыки решения задач на перевозки с помощью интерактивного модуля.

1.Решение задач по теме.

Переправы без условий. Переправляющиеся находятся на одном берегу.

Переправы без условий. Переправляющиеся находятся на разных берегах.

Переправы с условиями. Условия на вместимость лодки.

Переправы с условиями. Затрудненные переправы. Возможно наличие острова.

Рассматривается разное количество героев, участвующих в переправе, и различная вместимость лодки.

1. Паромщик многие годы зарабатывал на жизнь тем, что перевозил через реку людей, их скарб и животных. Платы он большой не взимал, поэтому люди охотно пользовались его услугами, но за всю жизнь так и не удалось ему скопить денег на новый большой паром. На его маленьком паромчике хватало место только для самого паромщика и ещё чего-нибудь одного. Однажды ему надо было переправить через реку волка, козу и капусту. Но вот неудача волка с козой без присмотра оставлять нельзя, козу с капустой тоже. Объясните паромщику как в целости и сохранности переправить через реку капусту животных?

Ответ: Сначала переправить на другой берег козу, оставив волка с капустой. За тем перевезти капусту, а козу вернуть назад. Оставив козу и переправив волка на берег, где лежит капуста, паромщик может спокойно вернуться и переправить волка.

2. Волк и волчонок, медведь и медвежонок, лис и лисёнок решили переправиться с левого берега реки на правый берег. У них была лодка, в которую помещались любые двое из них. Как им переправиться на другой берег, если нельзя оставлять детёнышей с чужими папами без своего папы.

3. Отряд солдат подходит к реке, через которую необходимо переправиться. Но мост сломан, а река глубока. Как быть? Вдруг командир замечает двух мальчиков, которые - катаются на лодке недалеко от берега. Но лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или только двое мальчиков - не больше! Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Как это было сделано?

4. Три рыцаря, каждый в сопровождении оруженосца, съехались на берегу реки, намереваясь переправиться на другую сторону. Им удалось найти маленькую двухместную лодку, и переправа произошла бы легко, но все оруженосцы, словно сговорившись, наотрез отказались оставаться в обществе незнакомых рыцарей без своих хозяев. И все же переправа состоялась, все шесть человек благополучно перебрались на другой берег с помощью одной двухместной лодки. При этом соблюдалось условие, на котором настаивали оруженосцы. Как это было сделано?

Составьте решение и апробируйте его с помощью мультимедийных средств.

5. Двое мальчиков катались на лодке. К берегу подошел отряд солдат. Лодка так мала, что на ней может переправиться только один солдат или двое мальчиков. Однако все солдаты переправились через реку именно на этой лодке. Как?

6. По длинному узкому каналу один за другим идут три парохода. Навстречу им – еще три парохода (см. рисунок). Канал такой узкий, что два парохода в нем разъехаться не могут, но в канале есть залив, где может поместиться один пароход. Могут ли пароходы разъехаться?

hello_html_m597c41e7.png

7. В кабине лифта 20-этажного дома есть две кнопки. При нажатии на одну из них лифт поднимается на 13 этажей, а при нажатии на другую опускается на 8 этажей. Как попасть с 13-го этажа на 8-й?

8. На рисунке изображен план яблоневого сада (точки - яблони). Садовник собирал яблоки со всех яблонь. Начал он с клетки, отмеченной звездочкой, и обошел одну за другой все клетки, как занятые яблонями, так и свободные, ни разу при этом, не возвращаясь на пройденную клетку. По диагонали он не ходил и на заштрихованных клетках не был, так как там помещались различные строения. Закончив обход, садовник оказался на той же клетке, с которой начинал путь. Нарисуйте путь садовника.

hello_html_18985acd.png

9. На станции железной дороги остановился грузовой поезд в составе паровоза и пяти вагонов. На этой станции есть небольшой тупичок, где в случае необходимости помещается паровоз с двумя вагонами (см. рисунок). Вскоре, вслед за грузовым поездом, к этой же станции (по тем же рельсам) подошел пассажирский поезд. Как его пропустить?

hello_html_4ba6a2fe.png

10. Однажды по лесу гуляли три рыцаря, каждый со своей дамой. Подойдя к реке, они захотели переправиться на другой берег. В их распоряжении оказалась одна лодка без гребца, поднимающая всего двух человек. Как им переправиться, если ни одна из дам не согласна ехать в лодке или быть на берегу в окружении чужих рыцарей без своего рыцаря? Дамы тоже умеют грести.

Дополнительные задачи

11. В лодке, вмещающей только двух человек, через реку должны переправиться три миссионера и три каннибала. Миссионеры боятся оставаться на каком-нибудь берегу в меньшинстве. Только один миссионер и один каннибал умеют грести. Как им переправиться?

12. Трём хирургам необходимо последовательно прооперировать в полевых условиях больного, страдающего заразным заболеванием. Сами хирурги тоже больны, причём все — разными болезнями. В распоряжении хирургов есть лишь две пары стерильных перчаток. Подскажите план операции, после которой ни хирурги, ни больной не заразятся друг от друга. Помогать друг другу во время операций хирурги не должны. Оперировать одной рукой нельзя.

13. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, малыш – за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? Если переходят двое, то они идут с меньшей скоростью. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Кидаться фонариком тоже нельзя.









Название документа rebusi_1.doc

Поделитесь материалом с коллегами:




РЕБУСЫ



hello_html_m5972c525.png





hello_html_f5482e8.jpgПРОЩЕ ПРОСТОГО


hello_html_870046e.png



hello_html_5401589.png


hello_html_m4055c969.png


ОТВЕТЫ: рубка, вол, воз, два, восемь, виза, кизил.

hello_html_f5482e8.jpghello_html_56570218.png


hello_html_m3bc510b3.png




hello_html_9d90e3b.png


hello_html_m2df06b40.png


ОТВЕТЫ: задача, заяц, знак, подошва, подле, пони, куб, суп.

hello_html_f5482e8.jpg

hello_html_787fd332.pnghello_html_2be9b080.png


hello_html_mb03b8c0.png





hello_html_m2482ac46.png



ОТВЕТЫ: сон, стон, бокал, доля.

hello_html_f5482e8.jpghello_html_1aaa9ec4.pnghello_html_30f2e78d.png





hello_html_170ebf23.png




hello_html_be44592.png





ОТВЕТЫ: наука, гроза, цель, полукруг, размер.

hello_html_m8548a22.png



hello_html_m1c1fa481.png





hello_html_640c700e.png



hello_html_f5482e8.jpg


ОТВЕТЫ: показатель, поверхность, целые

hello_html_4706160.png





hello_html_m138c3b3d.png





hello_html_m361a422d.png

hello_html_f5482e8.jpg


ОТВЕТЫ: сектор, касательная, 3 в кубе или 3hello_html_m5d4c989e.gif.

hello_html_f5482e8.jpghello_html_28d5dd44.png




hello_html_38740a23.png







hello_html_m7364a39.png


ОТВЕТЫ: числитель, параметр, сантиметр.

hello_html_m4c9efcc5.png






hello_html_m541d4225.jpg






hello_html_37eef35f.jpg





hello_html_f5482e8.jpg


ОТВЕТЫ: парабола, известное, самостоятельная.


hello_html_6829d4c8.jpg



hello_html_m362bf540.jpg



hello_html_f5482e8.jpg

ОТВЕТЫ: Лобачевский, шар, сумма, квадрат, отрезок.



hello_html_38e8037a.jpg


hello_html_f5482e8.jpg


ОТВЕТЫ: пример, пирамида, луч, остаток.






hello_html_f5482e8.jpg

hello_html_m327939ad.jpg


hello_html_5a0e6e2f.png











hello_html_m73d09dd6.png














hello_html_18543704.png














hello_html_f5482e8.jpgОтветы: минус, транспортир, пифагор.


hello_html_10af7277.png












hello_html_m515e628b.png













hello_html_m1944a2a6.png















hello_html_f5482e8.jpgОтветы: равенство, точка, конус.

hello_html_52ef48aa.png














hello_html_40038190.pnghello_html_1290dae0.pnghello_html_4a04d546.png

hello_html_71d13a59.gif









hello_html_f5482e8.jpgОтветы: ноль, знаменатель, высота.

Числовые ребусы

hello_html_1e854883.png





hello_html_m37c5fa81.png






hello_html_25c3407e.png



hello_html_m957f687.pnghello_html_mdbc685f.pnghello_html_m6705621d.png







hello_html_m39be107.pnghello_html_5ded1828.png








hello_html_f5859a4.pnghello_html_c2c656e.png


hello_html_98d98b8.png





hello_html_5f695880.jpg
















Название документа Задачи для V класса.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

Задачи для V класса



Задача 1. Землекопы.



Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 метров канавы. Сколько землекопов выкопают 100 метров канавы за 100 часов?



Ответ. 5 землекопов.



Задача 2. Три и семь.



Часы бьют три, и, пока они бьют, проходит 3 секунды. Сколько времени



пройдет, пока часы будут бить семь.



Ответ. 9 секунд.



Задача 3. Сотня орехов.



Сотню орехов надо разделить между 25 людьми так, чтобы никому не досталось четное число орехов. Можете ли вы это сделать? “Съесть” орех нельзя.



Ответ. Задача не имеет решения.



Задача 4. Три друга.



Три друга – Алеша, Коля и Саша – сели на скамейку в один ряд. Сколькими способами они могли это сделать?



Ответ. Друзья могли сесть 6 способами: 1) Алеша, Коля, Саша; 2) Алеша, Саша, Коля; 3) Коля, Алеша, Саша; 4) Коля, Саша, Алеша; 5) Саша, Алеша, Коля; 6) Саша, Коля. Алеша.



Задача 5. Рейс через океан.



Каждый день в полдень из Гавра в Нью-Йорк отправляется пароход через Атлантический океан, и в то же самое время пароход той же компании отправляется из Нью-Йорка в Гавр. Переезд в том и другом направлении совершается ровно за семь, дней. Сколько судов своей компании, идущих в противоположном направлении, встречает пароход на пути из Гавра в Нью-Йорк?



Ответ. Пароход встречает 15 судов.



Задача 6. Какая цифра?



Догадайтесь, какая цифра в выражении заменена буквой А:



9А : 1А = А.



Ответ. Цифра 6.



Задача 7. Почем дюжина лимонов?



Три дюжины лимонов стоят столько рублей, сколько дают лимонов на 16 рублей. Сколько стоит дюжина лимонов? (Одна дюжина =12.)



Ответ. Дюжина лимонов стоит 8 рублей.



Задача 8. Плащ, шляпа и калоши.



Купец купил плащ, шляпу и калоши и заплатил за все 140 рублей. Плащ стоит на 90 рублей больше, чем шляпа, а шляпа и плащ вместе на 120 рублей больше, чем калоши Сколько стоит каждая вещь в отдельности?



Задачу требуется решить устным счетом, без уравнений.



Ответ. Калоши стоят 10 рублей, шляпа – 20 рублей, плащ– 110 рублей.



Задача 9. Пильщики дров.



Пильщики распиливают бревно на метровые обрубки. Длина бревна – 5 метров. Распиловка бревна поперек отнимает каждый раз полторы минуты. Сколько минут потребуется, чтобы распилить все бревно?



Ответ. Для распиловки бревна потребуется 6 минут.



Задача 10. Из семи цифр.



Пусть записано подряд семь цифр от 1 до 7:



1234567.



Легко соединить их знаками “плюс” и “минус” так, чтобы получилось 40:



12 + 34-5 + 6-7 = 40



Попробуйте найти другие расстановки знаков между теми же цифрами, при которых получилось бы не 40, а 55.



Ответ.



123 + 4-5-67 = 55;



1-2-3-4 + 56 + 7 = 55;



12- 3 + 45 -6 + 7 = 55,



Возможно, учащиеся смогут найти и другие варианты ответов.



Задача 11.Четырьмя двойками.



Можно ли четырьмя двойками выразить число 111?



Ответ. Можно: 222/2 =111.



Задача 12. Турист.



За 1 час турист проходит 6 км. Сколько метров он проходит за 1 минуту? Сколько сантиметров за 1 секунду?



Ответ. За 1 минуту турист проходит 100 м; за 1 секунду примерно 17см.



Задача 13. Четырьмя способами.



Выразите число 100 пятью одинаковыми цифрами. Предложите четыре способа решения.



Ответ.



111 - 11 = 100;



33.3 + 3/3 = 100;



5.5.5 – 5.5= 100;



(5 -5 + 5 + 5 ).5 = 100.



Задача 14. Числовой ребус.



Разгадайте числовой ребус:







Ответ. 117*8 = 936.



Задача 15. Переливание молока.



Перед вами кувшин, содержащий 4 литра молока. Вам необходимо разделить эти 4 литра поровну между двумя друзьями, но из посуды у вас имеются только еще два пустых кувшина: один, вмещающий 3 литра, и другой, вмещающий 1 литр. Как же поделить молоко поровну с помощью только этих трех сосудов? Придется, конечно, несколько раз переливать молоко из сосуда в сосуд. Но как?



Задача 16. Столяр и плотник.



Бригада из шести плотников и столяра взялась выполнить некоторую работу. Каждый плотник заработал по 20 рублей, столяр же – на 3 рубля больше, чем заработал в среднем каждый из семерых членов бригады. Сколько заработал столяр?



Ответ. Столяр заработал 23 рубля 50 копеек.



Задача 17. Яблоки.



Разделить 9 яблок поровну между 12 школьниками, причем ни одно яблоко не разрезать более чем на четыре части.



Задача 18. Число 66.



Число 66 надо увеличить в полтора раза, не производя над ним никаких арифметических действий. Как это сделать?



Ответ. Нужно написанное число 66 перевернуть “вверх ногами”.



Задача 19. Чистка картофеля.



Двое очистили 400 картофелин: один очищал три картофелины в минуту, другой – две. Второй работал на 25 минут больше первого. Сколько времени работал каждый?



Ответ. Первый работал 70 минут, второй – 95 минут.



Задача 20. Пятью двойками. Можно ли пятью двойками выразить число 28?



Ответ. Можно: 22+ 2 + 2 + 2= 28.



Задача 21 .Переливание воды.



Как с помощью пятилитровой и трехлитровой банок налить из крана в ведро ровно 4 литра воды?



Задача 22. Переливание молока.



Как с помощью двух бидонов емкостью 5 литров и 8 литров отлить из молочной цистерны 7 литров молока?



Задача 23. Последняя цифра.



Какой цифрой оканчивается произведение 13 *14*15* 16*17?



Ответ. Произведение оканчивается нулем.



Задача 24. Подберите три числа.



Из чисел 21, 19, 30, 25, 3. 12, 9, 15. 6. 27 подберите такие три числа, сумма которых будет равна 50.



Ответ. Надо взять числа 19, 6, 25.



Задача 25. Имя девочки.



В семье трое детей – два мальчика и одна девочка. Их имена начинаются с букв А. В и Г. Среди имен, начинающихся с букв А и В, есть имя одного мальчика. Среди имен, начинающихся с букв В и Г, также есть имя одного мальчика. С какой буквы начинается имя девочки?



Ответ. Имя девочки начинается с буквы В.



Задача 26. Поросята и Волк.



Поросята Ниф-Ниф и Нуф-Нуф бежали от Волка к домику Наф-Нафа. Волку бежать до поросят (если бы они стояли на месте) 4 минуты. Поросятам бежать до домика Наф-Нафа 6 минут. Волк бежит в 2 раза быстрее поросят. Успеют ли поросята добежать до домика Наф-Нафа?





Ответ. Поросята успеют добежать до домика Наф-Нафа.



Задача 27. Сколько машин?



В мастерской отремонтировано в течение месяца 40 машин – автомобилей и мотоциклов. Всех колес было выпущено из ремонта ровно 100. Сколько было в ремонте автомобилей и мотоциклов?



Ответ. В ремонте было 10 автомобилей и 30 мотоциклов.



Задача 28. Шесть двоек.



Используя 6 раз цифру 2, знаки арифметических операций и скобки, запишите выражение, значение которого равно 100.



Ответ. (222 - 22) : 2 = 100.



Задача 29. Единица.



Выразите единицу, употребив все 10 цифр.



Ответ. Возможны различные варианты решения:



Задача 30. Малыш, Карлсон и варенье.



Малыш может съесть 600 граммов варенья за 6 минут, а Карлсон – в 2 раза быстрее. За какое время они съедят это варенье вместе?



Ответ. Малыш и Карлсон вместе съедят варенье за 2 минуты.



Задача 31 .Три богатыря и великаны.



Илья Муромец, Добрыня Никитич и Алеша Попович вступили в бой с несколькими великанами. Каждый великан получил по 3 удара богатырскими палицами, в результате все великаны обратились в бегство. Больше всего ударов нанес Илья Муромец – 7, меньше всего Алеша Попович – 3. Сколько всего было великанов?



Ответ. Всего было 5 великанов.



Задача 32. Двое рабочих.



Двое рабочих могут выполнить некоторую работу за 7 дней при условии, что второй приступит к ней 2 днями позже первого. Если бы ту же работу каждый выполнял в отдельности, то первому понадобилось бы на 4 дня больше, чем второму. За сколько дней каждый мог бы единолично выполнить эту работу?



Задача допускает чисто арифметическое решение, причем можно обойтись даже без действий с дробями.



Ответ. Первый рабочий мог бы единолично выполнить работу за 14 дней, второй – за 10 дней.



Задача 33. Путешественники и разбойники.



К реке, у берега которой находилась лодка, вмещающая только двух человек, подошли два разбойника и два путешественника. Разбойники не решались напасть на путешественников. Они могли бы совершить нападение, только если на берегу остались бы два разбойника и один путешественник. У одного из разбойников была сломана рука, и он даже не мог грести веслами. Как надо переправиться через реку разбойникам и путешественникам, чтобы последние избежали нападения?



Задача 34. Часы.



Известно, что часы за каждые сутки убегают вперед на 3 минуты. Их поставили точно. Через какое время стрелки часов будут снова показывать точное время?



Ответ. Часы снова покажут точное время через 240 суток.

Название документа взвешивание.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: «Задачи на взвешивание».

Цель: Развивать логическое мышление, внимание, вырабатывать собственную систему эвристических приёмов, позволяющих решать незнакомые задачи, научить решать данный тип задач наиболее рациональным способом.

Решение задач по теме.

1. Имеются чашечные часы без гирь и две монеты, одна из которых фальшивая, причём легче другой. Требуется выявить фальшивую монету.

2. Имеются чашечные весы без гирь и три монеты, одна из которых фальшивая, причём легче другой. Требуется выявить фальшивую монету.

3. Имеется четыре одинаковых по виду монеты, одна из которых фальшивая, легче других. Требуется определить фальшивую монету. Какое минимальное число взвешиваний потребуется?

4. Имеется 16кг муки и несколько одинаковых по весу пустых мешков. Имеются весы, но гирь нет. Как, не имея гирь, взвесить 8кг, 4кг, 12кг, 14кг?

5. Из 4 внешне одинаковых монет 2 весят по 10г, а две другие - по 9г. Имеются чашечные весы со стрелкой, показывающей разность масс грузов, положенных на чашки. Как за одно взвешивание найти хотя бы одну десятиграммовую монету?

Дополнительные задачи.

6. В пакете 9кг крупы. Как при помощи чашечных весов и одной 200г гири отвесить 2кг крупы, если разрешается сделать только три взвешивания?

7.Есть 5 монет достоинством 1, 2, 3, 5, 10талеров. Четыре из них - настоящие, их вес в граммах равен достоинству, а одна фальшивая, её вес в граммах не равен её достоинству. Как, используя только чашечные весы без гирь, найти фальшивую монету?

8. Имеется 10 мешков монет. В девяти мешках монеты настоящие (по 10гр.), а водном - фальшивые (по11 гр). Одним взвешиванием определите, в каком мешке фальшивые монеты. Как это сделать?

Решение.

5. Положим на левую чашу весов две монеты, а на правую одну. Возможны 4 случая, показанные в таблице ниже:

Слева

Справа

Оставшаяся монета

Показания стрелки

10+10

9

9

11

10+9

9

10

10

10+9

10

9

9

9+9

10

10

8

Таким образом, по показаниям стрелки мы можем однозначно определить, с каким из четырёх возможных случаев мы имеем дело. Осталось заметить, что в каждом из этих случаев нужная монета без труда находится (отмечено в таблице жирным шрифтом)

6. На столе лежит десять пронумерованных шляп. В каждой шляпе лежит по десять золотых монет. В одной из шляп находятся фальшивые монеты. Настоящая монета весит 10 граммов, а поддельная только 9. В помощь даны весы со шкалой в граммах. Как определить в какой из шляп находятся фальшивые монеты, используя весы только для одного взвешивания? Весы могут взвешивать не более 750 грамм.

Ответ: Легко! Из первой шляпы берем 1 монету, из второй - 2, из третьей - 3 и т.д. Все это взвешиваем и отнимаем результат от идеального веса (в нашем случае 55*10=550 грамм). Получившееся число будет совпадать с номером шляпы с фальшивыми монетами.

7. Имеется 13 монет, из них ровно одна фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Требуется найти эту монету за три взвешивания. Весы - стандартные для задач этого типа: две чашечки без гирь.

Ответ: Отложим в сторону тринадцатую монету, а остальные обозначим следующим образом: FAKE MIND CLOT. Теперь взвешиваем одну четверку против другой (буквы обозначают монеты, входящие в каждую четверку): MA DO - LIKE, ME TO - FIND, FAKE - COIN. Теперь совершенно просто найти фальшивую монету, если она входит в эти двенадцать монет. К примеру, если результаты взвешивания были: слева легче, равно, слева легче, то фальшивой может быть только монета "A", которая легче других. А что если фальшивой окажется все-таки отложенная нами, тринадцатая монета? Все очень просто: в этом случае при всех трёх взвешиваниях весы будут сбалансированы. К сожалению, в этом случае нам не узнать легче или тяжелее тринадцатая монета, но в условии такого требования и не было.

8. У барона Мюнхгаузена есть 8 внешне одинаковых гирек весом 1 г, 2 г, 3 г, ..., 8 г. Он помнит, какая из гирек, сколько весит, но граф Склероз ему не верит. Сможет ли барон провести одно взвешивание на чашечных весах, в результате которого будет однозначно установлен вес хотя бы одной из гирь?

Ответ: Да. 7+8 = 1+2+3+4+5, остается 6.

9.В аптеку поступило сильнодействующее лекарство - 8 упаковок по 150 таблеток. Следом пришло сообщение, что в этой партии есть несколько упаковок с бракованными таблетками - их вес на 1 мг больше нормальной дозы. Как за одно взвешивание выявить все упаковки с бракованными таблетками? Упаковки можно вскрывать.

Ответ: Следует учинить непересекающиеся подмножества таблеток от разных упаковок: взять из первой упаковки одну таблетку, из второй - две, из третьей - четыре, из четвёртой - восемь, из пятой - 16, из шестой - 32, из седьмой - 64, из восьмой - 128. Всё это взвесить. Вычесть из полученного веса идеальный вес (идеальный вес каждой таблетки известен из документации, но можно обойтись и без него - подумайте как). Полученный излишек веса (он уже нормализован за счёт единичного излишка веса каждой таблетки) перевести в двоичный вид (ведь мы сформировали подмножества по двоичному закону). В этом числе номера разрядов, равные единице, и будут показывать номера бракованных упаковок.

10. Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Hаходить фальшивую монету не требуется.

Ответ: Взвешиваешь 50 и 50 монет: 1) Равенство: берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там
1.1 Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее
1.2 Левая кучка легче => фальшивая монета легче
2) Hеpавенство: берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет.
2.1 Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче
2.2 Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее.

11. Как развесить 20 фунтов чая, в 10 коробок по 2 фунта в каждой за девять развесов имея только гири на 5 и на 9 фунтов? Используются обычные весы с двумя чашами - как у статуи Правосудия.

Ответ: 1) Hа одну чашу весов положить гирю в 5 фунтов, на другую гирю в 9 фунтов. Затем уравновесить весы, насыпав 4 фунта чая в чашу с гирей на 5 фунтов. 2) Убрать гири с чаш весов, оставить 4 фунта в одной чаше и уравновесить весы, насыпав во вторую еще 4 фунта. 3) Еще раз отвесить 4 фунта.
4) И еще раз 4 фунта. Таким образом, после четырех взвешиваний в остатке будет тоже 4 фунта. 5) Разделить 4 фунта пополам, уравновешивая чаши весов.

12. Эта история случилась давным-давно, еще во времена крестовых походов. Один из рыцарей был захвачен мусульманами в плен и предстал перед их предводителем - султаном Саладином, который объявил, что освободит пленника и его коня, если получит выкуп в 100 тысяч золотых монет. "О, великий Саладин, - обратился тогда к султану рыцарь, у которого за душой не было ни гроша, - ты лишаешь последней надежды. У меня на родине мудрому и находчивому пленнику дается шанс выйти на свободу. Если он решит заданную головоломку, его отпускают на все четыре стороны, если нет - сумма выкупа удваивается!"
"Да будет так, - ответил
Саладин, и сам обожавший головоломки. - Слушай же. Тебе дадут двенадцать золотых монет и простые весы с двумя чашками, но без гирь. Одна из монет фальшивая, однако, неизвестно, легче она или тяжелее настоящих. Ты должен найти ее всего за три взвешивания. Не справишься с задачей до утра - пеняй на себя!" А вы смогли бы выкрутиться?

Ответ: Эта задача была блестяще разобрана К. Л. Стонгом в майском номере журнала Scientific American за 1955 год. Одно из ее решений (а их довольно много) связано с троичной системой. Сначала запишите все числа от 1 до 12 в троичной системе. Замените в каждом числе цифру 2 на 0, а 0 на 2 и запишите рядом результат. У вас получится три столбца чисел:
1 001 221
2 002 220
3 010 212
4 011 211
5 012 210
6 020 202
7 021 201
8 022 200
9 100 122
10 101 121
11 102 120
12 110 112
Внимательно изучив эти числа, вы обнаружите все числа, в которых встречаются сочетания 01, 12, 20. Каждой из двенадцати монет поставим в соответствие одно из этих чисел. При первом взвешивании на левую чашу весов кладем четыре монеты, обозначенные числами, которые начинаются с 0, а на правую чашу весов кладем те четыре монеты, которым соответствуют числа, начинающиеся с 2. Если монеты уравновесят друг друга, вы можете утверждать, что число, которое отвечает фальшивой монете, начинается с 1. Если перевесит левая чашка, то искомое число начинается с 0, а если правая - то с 2. Взвешивая монеты второй раз, их надо распределять в зависимости от средней цифры. Если в центре стоит 0, то монета кладется на левую чашу, если 2 - на правую. Вторая цифра числа, обозначающего фальшивую монету, определяется точно так же, как определялась его первая цифра при первом взвешивании. Производя последнее взвешивание, вы кладете налево те монеты, которые обозначены числами, оканчивающимися на 0, а монеты, соответствующие числам, имеющим на конце 2, вы кладете на правую чащу весов. Таким образом, вы узнаете последнюю цифру нужного вам числа.

13. Имеется 8 с виду одинаковых монет. Одна из них фальшивая и известно, что она легче настоящей монеты. Как с помощью всего лишь двух взвешиваний найти фальшивую монету? В Вашем распоряжении только лабораторные весы, которые показывают только больше или меньше.

Ответ: Делим монеты на две равные кучки. Из каждой кучки берем по 3 монеты, кладем на весы и взвешиваем. Если вес одинаковый, то взвешиваем оставшиеся 1и 1 монеты и выявляем фальшивую (более легкую). Если же одна группа из трех монет легче другой, значит, там есть фальшивая монета. Оставляем более легкую группу из трех монет и кладем на весы 1и 1 и действуем по предыдущему алгоритму: если вес одинаков, значит фальшива третья, а если нет то та которая легче.

14. Имеется 100 серебряных монет разных размеров и 101 золотая монета также разных размеров. Если у одной монеты размер больше, чем у другой, то она и больше весит, но это верно только для монет, сделанных из одного и того же металла. Все монеты можно легко упорядочить по размерам на глаз. Отличить золота от серебра можно тоже. Как за 8 взвешиваний определить, какая монета из всех 201 штук занимает по весу ровно 101-е место? Все 201 монеты также различны по весу. Весы с двумя чашками, как обычно.

Ответ: Раскладываем в два ряда все монеты в порядке возрастания размера: золотые отдельно, серебряные отдельно. Пусть первая по счету в каждом ряду монета самая большая (и тяжелая). Среднюю по весу монету можно найти, последовательно взвешивая срединные монеты каждой из оставшихся линеек.
1) взвешиваем 51-ю золотую монету и 50-ю серебряную. Если первая тяжелее, то искомая монета находится где-то среди 52-101 золотой и 1-50 серебряной. Если легче, то искомая монета находится где-то среди 1-51 золотой и 51-100 серебряной. То есть, 51+50 монет. Остальные можно отложить.
2) взвешиваем опять срединные монеты. Так как число вариантов растет в геометрической прогрессии, буду рассматривать только итоги ;) Из 51+50 монет выбираем, сравниваем 25 и 26 монеты. Остается 26+25 монет.
3) Взвешиваем 13 и 13 монеты. Остается 13+13 или 13+12. Далее буду рассматривать только случай 13+13, 13+12 аналогично. 4) Взвешиваем 7 и 7. Остается 7+7. 5) Взвешиваем 4 и 3. Остается 4+3. 6) Здесь могу поподробнее, так как монет осталось мало, то пусть остались золотые монеты 1234 и серебряные ABC (все в порядке возрастания). Взвешиваем 2 и B. Если 2>B, то средняя монета какая-то из 34AB, если нет, то из 12C. Рассмотри первый случай. 7). Взвешиваем 3 и A. 8а). если 3 8б). если 3>A, то взвешиваем 4 и A. Какая больше, та и искомая.

15. Еще известная задача такого уровня: (Возможно это легенда, но очень уж красивая). Во времена второй Мировой Войны, английские ученые подбросили немецким ученым, чтобы они не решали военные проблемы, а решали головоломки, следующую логическую задачу. Кладоискатели нашли клад и записку, в которой было написано: В этих 20 мешках с золотыми монетами есть один мешок с фальшивыми монетами. Известно, что фальшивая монета в два раза тяжелее настоящей монеты.
Задача: Как при помощи одного взвешивания, определить в каком мешке находятся фальшивые монеты? Примечание. Взвешиванием называется тот момент, когда весы, типа коромысла, станут горизонтально, показывая, что на правой стороне весов и на левой стороне одинаковый вес. И еще: англичане приделали приписку к задаче, что они потратили 10 тысяч человеко-часов для решения этой задачи.

Ответ: Итак, берем из первого мешка 2 монеты, из второго - 4, из третьего - 6 и т.д. Эту кучу монет бросаем на одну чашу весов, после чего уравновешиваем весы, насыпая на вторую чашу монеты из какого-нибудь одного, например первого мешка.
Если бы все монеты были настоящими, то чаша 1 весила бы 420 у.е. Но там-то у нас 2*х фальшивых монет, поэтому она весит 420+2*х у.е.
Предположим, что мешок 1, которым мы уравновешивали весы, содержит настоящие монеты, тогда количество монет, истраченных на равновесие, будет где-то между 422 и 460. Нам остаётся только найти х: х = (кол-во понадобившихся монет - 420)/2. Если же мешок, монетами из которого мы уравновешиваем весы, оказался фальшивым, то равновесие будет достигнуто где-то на между 211 и 230 монетами. Естественно мы тогда поймём, что что-то здесь не так

16. Имеются 6 гирь весом 1, 2, 3, 4, 5 и 6 г. На них нанесена соответствующая маркировка. Однако есть основания считать, что при маркировке гирь допущена одна ошибка. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах, на которых можно сравнить веса любых групп гирь, определить, верна ли имеющаяся на гирях маркировка?

Ответ: На одну чашу весов кладем гири, маркированные 1, 2 и 3 г., а на другую - 6 г. Равновесие означает, что ошибка в маркировке возможна лишь внутри групп 1-2-3 и 4-5. При втором взвешивании на одну чашу кладем гири 3 и 5 г., на другую - 6 и 1 г. Если первая чаша перевесила, то ошибки в маркировке нет.

17. Имеется 9 одинаковых монет, одна из которых фальшивая и по этой причине легче остальных. Мы располагаем двумя весами без гирь, позволяющими сравнивать по весу любые группы монет. Однако одни из имеющихся весов являются грубыми, на них нельзя отличить фальшивую монету от настоящей. Их точность не позволяет уловить разницу в весе. Зато другие весы точные. Но какие весы грубые, а какие точные - неизвестно. Как в этой ситуации с помощью трех взвешиваний определить фальшивую монету?

Ответ: Положим на весы №1 по четыре монеты на каждую чашку. Если одна группа монет перевесила, то остальное понятно - эти весы точные, и мы знаем 4 монеты, среди которых одна фальшивая. Пусть весы оказались в равновесии. Обозначим через А девятую монету и добавим к ней монеты В и С - по одной из каждой четверки. Оставшиеся две тройки монет положим на чаши весов №2. Худший вариант - вновь равновесие. Тогда на весах №2 сравниваем монеты В и С. В случае равновесия фальшивой будет монета А.

18. Среди 2000 внешне неразличимых шариков половина - алюминиевые, весом 10 г каждый, а вторая половина - дюралевые, весом 9.9 г каждый. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы количество шариков в кучках было одинаковым, а массы - разными. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?

Ответ: Два. Делим на кучи (1) 666, (2) 666, (3) 666 и (4) 2.
Взвешиваем (1)-(2), (2)-(3). Если в обоих случаях равенство, то оставшиеся 2 шарика разные.

19. Пять различных по весу предметов требуется расположить в порядке убывания их веса. Пользоваться можно только простейшими весами без гирь, которые позволяют лишь установить, какой из двух сравниваемых по весу предметов тяжелее. Как следует действовать, чтобы решить задачу оптимальным образом, то есть так, чтобы число взвешиваний было минимальным? Сколько взвешиваний придется при этом произвести?

Ответ: Первым взвешиванием сравним любые 2 из 5 данных предметов. Пусть A - более легкий, а B - более тяжелый предмет. Тогда результат первого взвешивания запишем в виде AВ случае AСравним предметы A и C (пятое взвешивание). В обоих возможных случаях (A


Название документа восстановление знаков действий.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: «Восстановление знаков действий»

Цель: Решение задач на восстановление знаков действий и выражение некоторых чисел посредством различных цифр.

1. Решение задач по теме.

1). Напишите по порядку девять цифр: 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Не меняя их порядка, вставить между цифрами знаки "плюс" и "минус" таким образом, чтобы в сумме получилось ровно 100.

Решение. Нетрудно, например, вставив "+" и "–" шесть раз, получить 100 таким путём: 12 + 3 – 4 + 5 + 67 + 8 + 9 = 100.

Если хотите вставить "+" или "–" всего 4 раза, вы тоже можете получить 100.

Вот пример: 123 + 4 – 5 + 67 – 89 = 100.

2). Попробуйте, однако, получить 100, пользуясь знаками "+" и "–" всего три раза! Это будет гораздо труднее. И всё же это вполне возможно, надо только терпеливо искать.

Решение: Вот каким способом можете вы получить 100 из ряда девяти цифр и трёх знаков "+" и

"–" : 123 – 45 – 67 + 89 = 100.

В самом деле: 123 + 89 + 212; 45 + 67 = 112; 212 – 112 = 100.Других решений задача не имеет.

3). Напишите подряд семь цифр от 1 до 7: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Легко соединить их знаками "+" и "–" так, чтобы получилось 40: Решение:12 + 34 – 5 + 6 – 7 = 40.

4). Попробуйте найти другое сочетание тех же цифр, при котором получилось бы не 40, а 55.

Ответ: Задача имеет не одно, а три разных решения. Вот они: 123 + 4 – 5 – 67 = 55;

1 – 2 – 3 – 4 + 56 + 7 = 55; 12 – 3 + 45 – 6 + 7 = 55".

Во втором случае уже после первой операции возникает отрицательное число (1 – 2 = – 1), что является некоторым изъяном в решении. Ещё важнее то, что задача имеет более простое решение (с использованием только знаков сложения): 1 + 2 + 34 + 5 + 6 + 7.

5). Можно ли расположить цифры 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 двумя группами по четыре цифры в каждой так, чтобы суммы чисел, составленных из цифр каждой группы, были равны между собой?

Очень просто получить ответ, заменив 9 на 6. Например, каждая из сумм двух групп чисел 1, 2, 7, 8 и 3, 4, 5, 6 равна 18. Но такая замена не допускается. Ответ: Расположив цифры следующим образом: 173 + 4 = 177 и 85 + 92 = 177 мы увидим, что обе суммы равны".

Есть и схожие решения: 174 + 3 и 82 + 95, что является недостатком задачи.

6) Жонглирование цифрами.

Составьте из десяти цифр три простейших арифметических выражения, используя три из четырёх арифметических действий – сложения, вычитания, умножения и деления. (В записи выражений разрешается применять лишь знаки трёх выбранных арифметических действий.) Поясним сказанное на примере. Рассмотрим три арифметических выражения: 3 + 4 = 7; 9 – 8 = 1; 30 : 6 = 5.

Этот пример не может служить решением задачи, поскольку цифра 2 пропущена, а цифра 3 повторяется дважды. Ответ: 7 + 1 = 8; 9 – 6 = 3; 4 · 5 = 20".

Возможны и иные схожие решения:

8 – 1 = 7; 6 + 3 = 9; 5 · 4 = 20. 8 – 7 = 1; 3 + 6 = 9; 20: 4 = 5. 1 + 7 = 8; 9 – 3 = 6; 20: 5 = 4 и т.п.

7). Гном Забывалка учился писать цифры заострённой палочкой на песке. Только он успел нарисовать 5 цифр: 12345 как увидел большую собаку, испугался и убежал. Вскоре в это место пришёл Путалка. Он тоже взял палочку, и что-то начертил на песке. Тут к Путалке подошёл Загадалка и увидел вот что: 12345 = 60. Загадалка поморщился, почесал затылок, отобрал у Путалки палочку и кое-где вставил между цифрами плюсы таким образом, что получившийся пример был решён правильно. Как он расставил знаки?

8). Хотя это может показаться невероятным, но точно такая, же история приключилась с гномами и на следующий день. На этот раз Забывалка писал цифры, начиная с единички, справа налево: 54321. А Загадалке удалось верно, расставить плюсы в таком выражении: 54321 = 60

Как он это сделал?

Ответ:

7. 12 + 3 + 45 = 60.

8. 54 + 3 + 2 + 1 = 60".

9). Гном Забывалка принёс нам свою тетрадь, в которой он решал примеры на вычитание, сложение, умножение и деление однозначных чисел. Но очень многие цифры Забывалка забыл поместить в квадратики и без твоей помощи тут не обойтись. Кое-что из этих задач гном помнит, и его подсказки помогут тебе справиться с заданиями. В этих задачах впиши в пустые клетки-квадратики такие забытые гномом цифры, чтобы арифметический пример был решён правильно. И учти: в одной клетке должна быть только одна цифра.

Задачи на вычитание

1. В этой задаче нет одинаковых цифр.


8

=


Ответ: 9 – 8 = 1.

2. Тут нет цифр 5 и 7. Во всех клетках числа различны.


4

=


Ответ: 6 – 4 = 2 .

3. В новом примере – цифры от 0 до 4 (т.е. могут быть только 0, 1, 2, 3 или 4). Во всех клетках разные числа".


2

=


Ответ: 3 – 2 = 1.




Название документа восстановление знаков действий2.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: «Восстановление знаков действий и цифр натуральных чисел»

Цель: рассмотреть задачи, где часть цифр чисел известна, а большая часть нет; задачи на запись натуральных чисел с помощью сложения, вычитания, умножения, деления, а так же скобок. Обратить внимание на неоднозначность решения таких задач.

  1. Восстановите запись:

1). +** Решение: Чему равна первая цифра суммы? Очевидно,

** только 1, поскольку слагаемые – числа двузначные.

*97 А какими могут быть эти слагаемые? Если попробовать сложить, например, 96 и 91, то получится 187 – слишком мало. Нужно брать максимально возможные слагаемые: 99+98=197. Если хотя бы одно из этих двух слагаемых уменьшить, то сумма станет меньшей 197. Ответ: 99+98=197

2) ***

- **

1 Ответ: 100 – 99 = 1

  1. 91·** = *** Ответ: 91· 10 = 910

4) *3·3* = 3**

Какова первая цифра первого множителя? Так как первая цифра произведения 3, то она может быть равна только 1. Найдём вторую цифру второго множителя. Если она равна 1, то получим: 13·31=403 – много. Следовательно, она меньше 1, т.е. равна 0. Ответ 13·30 = 390

  1. **·* - * = 1 Ответ: 10·1 – 9 = 1

6) **1 · 9 = *** Ответ: 101·9 = 909, 111·9 = 999

7) Сколько всего решений имеет задача? Восстановите запись: *** · 9=***

Ответ: 12

2. Задачи на сложение

В пустые клетки надо поместить такие цифры, чтобы пример был решён правильно. При этом в одной клетке должна быть только одна цифра, причём одна и та же цифра не должна встречаться дважды (это относится ко всем заданиям данного раздела).

1.


+

8

=


2. В этом задании все числа чётные.


+

4

=


3. В этом задании числа от 1 до 3.


+

1

=


Новые задания – равенства. Сумма чисел в его левой части должна быть равна сумме чисел в правой части. Дополнительное условие: сумма слагаемых может быть двузначным числом. Но в клетки, как и во всех остальных заданиях данного класса, записываются только однозначные числа.

4.

0

+


=


+

8

5.

1

+


=

9

+


6. В задании все числа чётные.

4

+


=


+

8


3. Задачи на сложение и вычитание

7.

1

3

+


=



8.

8


+

3

=



9.




=

4

6

4. Задачи и упражнения.

1. У Коли в тетради написано: 8 8 8 8 8 8 8 8=1000. Оказывается, он в некоторых местах забыл поставить знаки сложения. Где именно?

2. Коля написал 21:8-5*2+6:3=16.Потом выяснилось, что он забыл поставить скобки. В каких местах?

3. В записи 9*6+14:2+2:3+7=22 расставьте две пары скобок так, чтобы получилось верное равенство.

4. В записи 5 5 5 5 5 5=615 расставьте знаки сложения так, чтобы получилось верное равенство.

5. В записи 9 9 9 9 9 9 9 9 расставьте знаки сложения и вычитания так, чтобы значение получившегося выражения было равно 1998.










Название документа задачи на переивание(раздатка).doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: «Задачи на переливание»

1. Решение задач по теме.

Методические указания "Решение задач на переливание"

В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что

- все сосуды без делений,

- нельзя переливать жидкости "на глаз"

- невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать

Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях.

1) знаем, что сосуд пуст,

2) знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,

3) в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились

4) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них

5) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде

Рассмотрим задачи.

1) Задача№1. Парное молоко

Бидон емкостью 10 л наполнен парным молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л молока в семилитровый бидон, используя при этом трехлитровый бидон.

Задача №2. У подножья высокого тасхыла, на берегу тихой речки был небольшой аул. Жили в нем два брата-охотника. Старшего брата звали Каалка, младшего Копчон. Отправляет старший брат младшего за водой и дает ему два бурдюка, вместимостью 8л и 5л и просит принести ровно 7л воды. Сможет ли Копчон выполнить просьбу старшего брата?

Задача №3. Жила-была девушка по имени Абахай Пахта, что означает красавица: сорок кос на плечах, тридцать кос на спине расстилались, точно струйки родниковой воды. Два охотника – Хара Моос и Хара Торгы – решили счастье свое испытать, пошли к ней, чтобы в жены взять. Девушка хитрая была и сказала: “Тому я в жены достанусь, кто сможет кумыс из 12л бурдюка перелить поровну”, - и подает им еще два бурдюка вместимостью 5л и 8л. Смогут ли охотники справиться с нелегкой задачей?

Задача №4. Когда-то давным-давно жил, говорят, один сказитель и хайджи по имени Агол. Его знали во всех ближних и дальних аулах, и всюду он был желанным гостем. Узнал народ, что приехал сказитель и к вечеру и стар и мал собирался послушать знаменитого Агола. Приехал как-то Агол к баю по имени Хырна и привез ему в подарок 8л араки (вино домашнее). Обрадовался Хырна-бай и крикнул “Это все мне”. Но Хайджи подал ему бурдюки вместимостью 5л и 3л и сказал отлить ровно 1л, а остальным вином угостить своих братьев. Смогут ли братья попробовать араки знаменитого сказителя?

Задача №5. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на две равные части, используя остальные сосуды?

После переливания, оказалось, по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось.

Задача №6. В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из неё 6 л с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?

3. Конкурс «А ну-ка Математики» Все учащиеся разбиваются на 2-3 команды.

Решение необходимо представить в виде таблицы переливаний

1) Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?

2) Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: 8-литровым и 3-литровым? [1]

3) У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2 пустых ведерка - 4-литровое и 3-литровое. Помогите Карлсону отлить 1 литр варенья к чаю в меньшее (3-литровое) ведерко, оставив 6 литров в большом (7-литровом) ведре.

4) Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки - 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?

5) На другой год Винни Пух запасся 10 литрами меда. Под руками у него два ведра - 7-литровое и 4-литровое. Как ему разделить мед пополам?

6) (Пересыпашка) Разбойники раздобыли 10 унций (1 унция - примерно 30 см3) золотого песка. У них имеется две пустые коробки, емкостью 6 и 4 унции. Как им разделить песок пополам? Если на одно пересыпание требуется 1 минута, то сколько времени они будут делить свою добычу?

7) Некто имеет полный бочонок сока емкостью 12 пинт (пинта - 0,57 литра) и хочет подарить половину своему другу. Но у него нет сосуда в 6 пинт, а есть два сосуда в 8 пинт и 5 пинт. Каким образом можно налить 6 пинт в сосуд емкостью 8 пинт? [1]

8)Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной, и Белоснежка не знает наверняка, сколько гномов решатся отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и две пустых - на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой напитка?

9)Разрешима ли предыдущая задача, если в хозяйстве у Белоснежки имеются кастрюлька с водой на 12 чашек и пустые кастрюльки на 9 и 7 чашек?

10)Для путешествия по морю необходим запас пресной воды. В плавании вода расходуется со скоростью 1 бочка в сутки. В некоторый момент времени запас воды на берегу составлял 8 бочек, и вода находилась в баке, заполненном до краев. На яхте имеется такой же бак, объемом 8 бочек, но пустой. На сколько дней можно планировать путешествие, если с собой нельзя брать лишнюю воду, а в распоряжении имеется еще две пустых емкости объемом 3 и 6 бочек и их можно использовать для переливания воды?

4. Задачи по теме на переливание из бесконечного по объёму сосуда.

1) Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана?

2) Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?

3) В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот порциями по 300 г?

4) Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?

5) Как решить предыдущую задачу, если на экспертизу необходимо доставить 5 литров нефти, а емкости сосудов составляют соответственно 7 литров и 3 литра?

Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из молочной цистерны 13 литров молока?

6) Современный вариант старинной задачи.

К продавцу, стоящему у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости в 3 л и 5 л, и поэтому он не может выполнить их просьбу. Приятели продолжают настаивать и дают продавцу 100 рублей (сумма зависит от финансово-экономической ситуации в стране и соответственно варьируется) с одним условием, что они получат свои порции одновременно. После некоторого размышления продавец сумел это сделать. Каким образом?

Название документа задачи на переивание.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: «Задачи на переливание»

Цель: Научить решать задачи на переливание жидкостей. Рассмотреть задачи на деление некоторого количества жидкости с помощью двух пустых дополнительных сосудов за наименьшее число переливаний. Рассмотреть задачи на получение некоторого количества жидкости из большого или бесконечного по объему сосуда, водоема или источника с помощью двух пустых сосудов (при переливании можно сливать жидкость в исходный сосуд или водоем)

1. Головоломка. Малоопытный водитель автофургона пытался проехать во двор через туннель, но неточно рассчитал его высоту. В результате машина оказалась заклиненной, да так, что не могла тронуться с места. Шофёр то заводил машину, то выключал двигатель, пытался двигаться вперёд, назад – всё было безрезультатно. Люди останавливались около машины, давали разные советы. Так продолжалось до тех пор, пока рядом не остановился легковая машина, из которой вышел водитель, и что-то тихо сказал малоопытному шофёру. Виновник беспорядка горячо поблагодарил за совет и быстро выполнил несложную работу. Затем без каких-либо препятствий проехал во двор. Какое действие выполнил шофёр? Ответ: Шофёр слегка выпустил воздух из колёс.

2. Решение задач по теме.

Методические указания "Решение задач на переливание"

В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что

- все сосуды без делений,

- нельзя переливать жидкости "на глаз"

- невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать

Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях.

1) знаем, что сосуд пуст,

2) знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,

3) в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились

4) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них

5) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде

Рассмотрим задачи.

1) Задача№1. Парное молоко

Бидон емкостью 10 л наполнен парным молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л молока в семилитровый бидон, используя при этом трехлитровый бидон.

Решение: Будем "шаги" переливаний записывать в виде строки из трех чисел.

При этом сосуды размещены слева направо по мере убывания их вместимости:

Шаги

Бидон

10 л

7 л

3 л

1-й

3

7

0

2-й

3

4

3

3-й

6

4

0

4-й

6

1

3

5-й

9

1

0

6-й

9

0

1

7-й

2

7

1

8-й

2

5

3

Задача №2. У подножья высокого тасхыла, на берегу тихой речки был небольшой аул. Жили в нем два брата-охотника. Старшего брата звали Каалка, младшего Копчон. Отправляет старший брат младшего за водой и дает ему два бурдюка, вместимостью 8л и 5л и просит принести ровно 7л воды. Сможет ли Копчон выполнить просьбу старшего брата?

Решение:

Ходы

1

2

3

4

5

6

7

5

5

8

2

7

5

5

2

2

5

Задача №3. Жила-была девушка по имени Абахай Пахта, что означает красавица: сорок кос на плечах, тридцать кос на спине расстилались, точно струйки родниковой воды. Два охотника – Хара Моос и Хара Торгы – решили счастье свое испытать, пошли к ней, чтобы в жены взять. Девушка хитрая была и сказала: “Тому я в жены достанусь, кто сможет кумыс из 12л бурдюка перелить поровну”, - и подает им еще два бурдюка вместимостью 5л и 8л. Смогут ли охотники справиться с нелегкой задачей?

Решение:

Ходы

1

2

3

4

5

6

7

8

12л

12

4

4

9

9

1

1

6

0

8

3

3

0

8

6

6

0

0

5

0

3

3

5

0

Задача №4. Когда-то давным-давно жил, говорят, один сказитель и хайджи по имени Агол. Его знали во всех ближних и дальних аулах, и всюду он был желанным гостем. Узнал народ, что приехал сказитель и к вечеру и стар и мал собирался послушать знаменитого Агола. Приехал как-то Агол к баю по имени Хырна и привез ему в подарок 8л араки (вино домашнее). Обрадовался Хырна-бай и крикнул “Это все мне”. Но Хайджи подал ему бурдюки вместимостью 5л и 3л и сказал отлить ровно 1л, а остальным вином угостить своих братьев. Смогут ли братья попробовать араки знаменитого сказителя?

Решение:

Ходы

1

2

3

4

5

6

8

3

3

6

6

1

0

5

2

2

0

5

0

0

3

0

2

2

Задача №5. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на две равные части, используя остальные сосуды?

Решение.

В таблице указан объем молока в литрах после каждого переливания.

8-литровый сосуд

5-литровый сосуд

3-литровый сосуд

8

0

0

3

5

0

3

2

3

6

2

0

6

0

2

1

5

2

1

4

3

4

4

0

После переливания, оказалось, по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось.

Задача №6. В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из неё 6 л с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?

Решение. В таблице указан объем бензина в литрах после каждого переливания.

бочка

ведро

бидон

не менее 10

0

0

не менее 5

0

5

не менее 5

5

0

не менее 0

5

5

не менее 0

9

1

не менее 9

0

1

не менее 9

1

0

не менее 4

1

5

не менее 4

6

0

3. Конкурс «А ну-ка Математики» Все учащиеся разбиваются на 2-3 команды.

Решение необходимо представить в виде таблицы переливаний

1) Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?

2) Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: 8-литровым и 3-литровым? [1]

3) У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2 пустых ведерка - 4-литровое и 3-литровое. Помогите Карлсону отлить 1 литр варенья к чаю в меньшее (3-литровое) ведерко, оставив 6 литров в большом (7-литровом) ведре.

4) Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки - 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?

5) На другой год Винни Пух запасся 10 литрами меда. Под руками у него два ведра - 7-литровое и 4-литровое. Как ему разделить мед пополам?

6) (Пересыпашка) Разбойники раздобыли 10 унций (1 унция - примерно 30 см3) золотого песка. У них имеется две пустые коробки, емкостью 6 и 4 унции. Как им разделить песок пополам? Если на одно пересыпание требуется 1 минута, то сколько времени они будут делить свою добычу?

7) Некто имеет полный бочонок сока емкостью 12 пинт (пинта - 0,57 литра) и хочет подарить половину своему другу. Но у него нет сосуда в 6 пинт, а есть два сосуда в 8 пинт и 5 пинт. Каким образом можно налить 6 пинт в сосуд емкостью 8 пинт? [1]

8)Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной, и Белоснежка не знает наверняка, сколько гномов решатся отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и две пустых - на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой напитка?

9)Разрешима ли предыдущая задача, если в хозяйстве у Белоснежки имеются кастрюлька с водой на 12 чашек и пустые кастрюльки на 9 и 7 чашек?

10)Для путешествия по морю необходим запас пресной воды. В плавании вода расходуется со скоростью 1 бочка в сутки. В некоторый момент времени запас воды на берегу составлял 8 бочек, и вода находилась в баке, заполненном до краев. На яхте имеется такой же бак, объемом 8 бочек, но пустой. На сколько дней можно планировать путешествие, если с собой нельзя брать лишнюю воду, а в распоряжении имеется еще две пустых емкости объемом 3 и 6 бочек и их можно использовать для переливания воды?

Ответы:

1. Решение возможно за 3 хода.

N

Действие

А(10л)

Б(7л)

В(2л)

0

 

10

0

0

1

А-Б

3

7

0

2

Б-В

3

5

2

3

В-А

5

5

0

4

Б-В

5

3

2

5

В-А

7

3

0

6

Б-В

7

1

2

7

В-А

9

1

0

8

Б-В

9

0

1

9

А-Б

2

7

1

10

Б-В

2

6

2

11

В-А

4

6

0

12

Б-В

4

4

2

13

В-А

6

4

0

14

Б-В

6

2

2

15

В-А

8

2

0

16

Б-В

8

0

2

17

В-А

10

0

0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 6 ходов (по схеме), min - за 2

6 литров - за 3 хода

2 литра - за 1 ход

7 литров - за 1 ход

3 литра - за 1 ход

8 литров - за 1 ход

4 литра - за 4 хода

9 литров - за 7 ходов

5 литров - за 2 хода

 

2. Решение возможно за 4 хода.

N

Действие

А(12л)

Б(8л)

В(3л)

0

 

12

0

0

1

А-В

9

0

3

2

В-Б

9

3

0

3

А-В

6

3

3

4

В-Б

6

6

0

5

А-В

3

6

3

6

В-Б

3

8

1

7

Б-А

11

0

1

8

В-Б

11

1

0

9

А-В

8

1

3

10

В-Б

8

4

0

11

А-В

5

4

3

12

В-Б

5

7

0

13

А-В

2

7

3

14

В-Б

2

8

2

15

Б-А

10

0

2

16

В-Б

10

2

0

17

А-В

7

2

3

18

В-Б

7

5

0

19

А-В

4

5

3

20

В-Б

4

8

0

21

Б-А

12

0

0


1 литр - за 6 ходов (по схеме) min - за 2 хода

7 литров - за 3 хода

2 литра - за 4 хода

8 литров - за 1 ход

3 литра - за 1 ход

9 литров - за 1 ход

4 литра - за 1 ход

10 литров - за 5 ходов

5 литров - за 2 хода

11 литров - за 7 ходов

6 литров - за 3 хода

 

3. Решение возможно за 4 хода.

N

Действие

А(7л)

Б(4л)

В(3л)

0

 

7

0

0

1

А-Б

3

4

0

2

Б-В

3

1

3

3

В-А

6

1

0

4

Б-В

6

0

1

5

А-Б

2

4

1

6

Б-В

2

2

3

7

В-А

5

2

0

8

Б-В

5

0

2

9

А-Б

1

4

2

10

Б-В

1

3

3

11

В-А

4

3

0

12

Б-В

4

0

3

13

В-А

7

0

0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 2 хода

4 литра - за 1 ход

2 литра - за 4 хода

5 литров - за 5 ходов

3 литра - за 1 ход

6 литров - за 3 хода

4. Решение возможно за 5 ходов.

N

Действие

А(6л)

Б(5л)

В(1л)

0

 

6

0

0

1

А - Б

1

5

0

2

Б - В

1

4

1

3

В - А

2

4

0

4

Б - В

2

3

1

5

В - А

3

3

0

6

Б-В

3

2

1

7

В-А

4

2

0

8

Б-В

4

1

1

9

В-А

5

1

0

10

Б-В

5

0

1

11

В-А

6

0

0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 1 хода

4 литра - за 2 хода

2 литра - за 3 хода

5 литров - за 1 ход

3 литра - за 4 хода

 

5. Решение возможно за 8 ходов.

N

Действие

А(10л)

Б(7л)

В(4л)

0

 

10

0

0

1

А-В

6

0

4

2

В-Б

6

4

0

3

А-В

2

4

4

4

В-Б

2

7

1

5

Б-А

9

0

1

6

В-Б

9

1

0

7

А-В

5

1

4

8

В-Б

5

5

0

9

А-В

1

5

4

10

В-Б

1

7

2

11

Б-А

8

0

2

12

В-Б

8

2

0

13

А-В

4

2

4

14

В-Б

4

6

0

15

А-В

0

6

4

16

В-Б

0

7

3

17

Б-А

7

0

3

18

В-Б

7

3

0

19

А-Б

3

3

4

20

В-Б

3

7

0

21

Б-А

10

0

0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 4 хода

6 литров - ха 1 ход

2 литра - за 3 хода

7 литров - за 1 ход

3 литра - за 1 ход

8 литров - за 9 ходов

4 литра - за 1 ход

9 литров - за 5 ходов

5 литров - за 7 ходов

 

6. Разделить пополам 10 унций, т.е. получить 5 и 5 унций с помощью коробок в 6 и 4 унций невозможно, т.к. невозможно получить нечетные числа путем вычитания и прибавления четных чисел к четному числу. Возможны следующие действия:

N

Действие

А(10ун)

Б(6ун)

В(4ун)

0

 

10

0

0

1

А-Б

4

6

0

2

Б-В

4

2

4

3

В-А

8

2

0

4

Б-В

8

0

2

5

А-Б

2

6

2

6

Б-В

2

4

4

7

В-А

6

4

0

8

Б-В

6

0

4

9

В-А

10

0

0

Возможно получение четного количества унций:

2 унции - за 2 хода

6 унций - за 1 ход

4 унции- за 1 ход

8 унций - за 3 хода

7. Решение возможно за 7 ходов.

N

Действие

А(12п)

Б(8п)

В(5п)

0

 

12

0

0

1

А-Б

4

8

0

2

Б-В

4

3

5

3

В-А

9

3

0

4

Б-В

9

0

3

5

А-Б

1

8

3

6

Б-В

1

6

5

7

В-А

6

6

0

8

Б-В

6

1

5

9

В-А

11

1

0

10

Б-В

11

0

1

11

А-Б

3

8

1

12

Б-В

3

4

5

13

В-А

8

4

0

14

Б-В

8

0

4

15

А-В

0

8

4

16

Б-В

0

7

5

17

В-А

5

7

0

18

Б-В

5

2

5

19

В-А

10

2

0

20

Б-В

10

0

2

21

А-Б

2

8

2

22

Б-В

2

5

5

23

В-А

7

5

0

24

Б-В

7

0

5

25

В-А

12

0

0

Возможно получение любого количества пинт:

1 пинта - за 5 ходов

7 пинт - за 1 ход

2 пинты - за 3 хода

8 пинт - за 1 ход

3 пинты - за 2 хода

9 пинт - за 3 хода

4 пинты - за 1 ход

10 пинт - за 5 ходов

5 пинт - за 1 ход

11 пинт - за 9 ходов

6 пинт - за 6 ходов

 

8. Приготовить можно любое количество порций:

N

Действие

А(12ч)

Б(9ч)

В(5ч)

0

 

12

0

0

1

А-В

7

0

5

2

В-Б

7

5

0

3

А-В

2

5

5

4

В-Б

2

9

1

5

Б-А

11

0

1

6

В-Б

11

1

0

7

А-В

6

1

5

8

В-Б

6

6

0

9

А-В

1

6

5

10

Б-В

1

9

2

11

Б-А

10

0

2

12

В-Б

10

2

0

13

А-В

5

2

5

14

В-Б

5

7

0

15

А-В

0

7

5

16

В-Б

0

9

3

17

Б-А

9

0

3

18

В-Б

9

3

0

19

А-В

4

3

5

20

В-Б

4

8

0

21

А-В

0

8

4

22

Б-А

8

0

4

23

В-Б

8

4

0

24

А-В

3

4

5

25

В-Б

3

9

0

26

Б-А

12

0

0


1 чашка - за 4 хода

7 чашек - за 1 ход

2 чашки - за 3 хода

8 чашек - за 3 хода

3 чашки - за 1 ход

9 чашек - за 1 ход

4 чашки - за 2 хода

10 чашек - за 11 ходов

5 чашек- за 1 ход

11 чашек - за 5 ходов

6 чашек - за 7 ходов

 

9. Для указанных объемов кастрюлек невозможно отмерить 6 чашек, т.е. невозможно разделить воду пополам.

N

Действие

А(12ч)

Б(9ч)

В(7ч)

0

 

12

0

0

1

А-Б

3

9

0

2

Б-В

3

2

7

3

В-А

10

2

0

4

Б-В

10

0

2

5

А-Б

1

9

2

6

Б-В

1

4

7

7

В-А

8

4

0

8

Б-В

8

0

4

9

А-Б

0

8

4

10

В-А

4

8

0

11

Б-В

4

1

7

12

В-А

11

1

0

13

Б-В

11

0

1

14

А-Б

2

9

1

15

Б-В

2

3

7

16

В-А

9

3

0

17

Б-В

9

0

3

18

А-Б

0

9

3

19

Б-В

0

5

7

20

В-А

7

5

0

21

Б-В

7

0

5

22

А-Б

0

7

5

23

В-А

5

7

0

24

Б-В

5

0

7

25

В-А

12

0

0

Возможно получение любого количества чашек кроме 6:

1 чашка - за 5 ходов

7 чашек - за 1 ход

2 чашки - за 2 хода

8 чашек - за 7 ходов

3 чашки - за 1 ход

9 чашек - за 1 ход

4 чашки - за 6 ходов

10 чашек - за 3 хода

5 чашек - за 1 ход

11 чашек - за 12 ходов

10. Путешествие может планироваться на 2, 3, 5 или 6 дней.

N

Действие

А(8б)

Б(6б)

В(3б)

0

 

8

0

0

1

А-Б

2

6

0

2

Б-В

2

3

3

3

В-А

5

3

0

4

Б-В

5

0

3

5

В-А

8

0

0

Возможно получение следующего запаса воды:

2 бочки - за 1 ход

5 бочек - за 1 ход

3 бочки - за 1 ход

6 бочек - за 1 ход

4. Задачи по теме на переливание из бесконечного по объёму сосуда.

1) Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана?

2) Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?

3) В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот порциями по 300 г?

4) Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?

5) Как решить предыдущую задачу, если на экспертизу необходимо доставить 5 литров нефти, а емкости сосудов составляют соответственно 7 литров и 3 литра?

Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из молочной цистерны 13 литров молока?

6) Современный вариант старинной задачи.

К продавцу, стоящему у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости в 3 л и 5 л, и поэтому он не может выполнить их просьбу. Приятели продолжают настаивать и дают продавцу 100 рублей (сумма зависит от финансово-экономической ситуации в стране и соответственно варьируется) с одним условием, что они получат свои порции одновременно. После некоторого размышления продавец сумел это сделать. Каким образом?

Решения. Для решения приведенных задач требуется 4, 6, 8 и более ходов.

Приведем решения без полного возможного набора ходов. Объем жидкости в условном сосуде А будет соответствовать объему слитой жидкости, объемы Б и В - заданным объемам по условию задачи. Действие, обозначенное одной буквой, например, Б, означает наполнение сосуда из источника (водоема, исходного сосуда).

1. Задача имеет решение за 4 хода.

N

Действие

А

Б(9л)

В(5л)

0

 

 

0

0

1

В

0

0

5

2

В-Б

0

5

0

3

В

0

5

5

4

В-Б

0

9

1

2. Задача решается за 6 ходов. Лишнюю воду сливаем в водоем.

N

Действие

А

Б(5л)

В(3л)

0

 

 

0

0

1

Б

0

5

0

2

Б-В

0

2

3

3

В-А

3

2

0

4

Б-В

3

0

2

5

Б

3

5

2

6

Б-В

3

4

3

3. Для решения требуется 8 ходов. Компот сливаем в ведро.

N

Действие

А

Б(900г)

В(500г)

0

 

 

0

0

1

Б

0

900

0

2

Б-В

0

400

500

3

В-А

500

400

0

4

Б-В

500

0

400

5

Б

500

900

400

6

Б-В

500

800

500

7

В-А

1000

800

0

8

Б-В

1000

300

500

4. Решение достигается за 8 ходов. Нефть из сосуда В два раза выливается.

N

Действие

А

Б(9л)

В(4л)

0

 

 

0

0

1

Б

0

9

0

2

Б-В

0

5

4

3

В-А

4

5

0

4

Б-В

4

1

4

5

В-А

8

1

0

6

Б-В

8

0

1

7

Б

8

9

1

8

Б-В

8

6

4

5. Задача также решается за 8 ходов, аналогично предыдущей.

N

Действие

А

Б(7л)

В(3л)

0

 

 

0

0

1

Б

0

7

0

2

Б-В

0

4

3

3

В-А

3

4

0

4

Б-В

3

1

3

5

В-А

6

1

0

6

Б-В

6

0

1

7

Б

6

7

1

8

Б-В

6

5

3

6. Задача имеет решение за 14 переливаний. Молоко из 17-литрового бидона сливается в цистерну.

N

Действие

А

Б(17л)

В(5л)

0

 

 

0

0

1

В

0

0

5

2

В-Б

0

5

0

3

В

0

5

5

4

В-Б

0

10

0

5

В

0

10

5

6

В-Б

0

15

0

7

В

0

15

5

8

В-Б

0

17

3

9

Б-А

17

0

3

10

В-Б

17

3

0

11

В

17

3

5

12

В-Б

17

8

0

13

В

17

8

5

14

В-Б

17

13

0

Можно дать достаточно короткое словесное решение задачи: с помощью 5-литрового бидона налить в 17-литровый бидон 15 литров молока. Затем, наполнив еще раз 5-литровый бидон, налить недостающие 2 литра в больший бидон. Тогда в 5-литровом бидоне останется 3 литра молока. Вылив 17 литров молока обратно в цистерну, налить эти 3 литра молока в 17-литровый бидон. Остается добавить туда еще 10 литров молока.

7. Секрет задачи в том, что предложенная сумма, по-видимому, превышает стоимость всего кваса в бочке, а это значит, что в некоторый момент продавец имеет возможность вылить остатки кваса из бочки и использовать ее как дополнительную емкость. Для определения того, в какой момент надо выливать квас из бочки, надо обратиться к предлагаемой в [2] модели решения задачи, аналогии с движением шарика и начертить эту схему. Из нее следует, что для решения задачи мы должны получить 7 литров. А задача получается комбинированной: сначала надо решить задачу II типа, а потом вариант I-го типа.

Сначала получим 7 литров с помощью 5 и 3-литровых сосудов:

N

Действие

А

Б(5л)

В(3л)

0

 

 

0

0

1

Б

0

5

0

2

Б-В

0

2

3

3

В-А

3

2

0

4

Б-В

3

0

2

5

Б

3

5

2

Далее сливаем квас из бочки и переливаем в нее 7 литров из емкостей. Теперь решаем задачу по типу I:

N

Действие

А(7л)

Б(5л)

В(3л)

0

 

7

0

0

1

А-В

4

0

3

2

В-Б

4

3

0

3

А-В

1

3

3

4

В-Б

1

5

1

Так как приятели должны получить порции по 1 л одновременно из сосудов Б и В, придется Б освободить и перелить 1 л из бочки.


Название документа задачи на переивание1.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: «Задачи на переливание»

Цель: Научить решать задачи на переливание жидкостей. Рассмотреть задачи на деление некоторого количества жидкости с помощью двух пустых дополнительных сосудов за наименьшее число переливаний. Рассмотреть задачи на получение некоторого количества жидкости из большого или бесконечного по объему сосуда, водоема или источника с помощью двух пустых сосудов (при переливании можно сливать жидкость в исходный сосуд или водоем)

2. Решение задач по теме.

Методические указания "Решение задач на переливание"

В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что

- все сосуды без делений,

- нельзя переливать жидкости "на глаз"

- невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать

Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях.

1) знаем, что сосуд пуст,

2) знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,

3) в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились

4) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них

5) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде

Рассмотрим задачи.

1) Задача№1. Парное молоко

Бидон емкостью 10 л наполнен парным молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л молока в семилитровый бидон, используя при этом трехлитровый бидон.

Решение: Будем "шаги" переливаний записывать в виде строки из трех чисел.

При этом сосуды размещены слева направо по мере убывания их вместимости:

Шаги

Бидон

10 л

7 л

3 л

1-й

3

7

0

2-й

3

4

3

3-й

6

4

0

4-й

6

1

3

5-й

9

1

0

6-й

9

0

1

7-й

2

7

1

8-й

2

5

3

Задача №2. У подножья высокого тасхыла, на берегу тихой речки был небольшой аул. Жили в нем два брата-охотника. Старшего брата звали Каалка, младшего Копчон. Отправляет старший брат младшего за водой и дает ему два бурдюка, вместимостью 8л и 5л и просит принести ровно 7л воды. Сможет ли Копчон выполнить просьбу старшего брата?

Решение:

Ходы

1

2

3

4

5

6

7

5

5

8

2

7

5

5

2

2

5





Задача №3. Жила-была девушка по имени Абахай Пахта, что означает красавица: сорок кос на плечах, тридцать кос на спине расстилались, точно струйки родниковой воды. Два охотника – Хара Моос и Хара Торгы – решили счастье свое испытать, пошли к ней, чтобы в жены взять. Девушка хитрая была и сказала: “Тому я в жены достанусь, кто сможет кумыс из 12л бурдюка перелить поровну”, - и подает им еще два бурдюка вместимостью 5л и 8л. Смогут ли охотники справиться с нелегкой задачей?

Решение:

Ходы

1

2

3

4

5

6

7

8

12л

12

4

4

9

9

1

1

6

0

8

3

3

0

8

6

6

0

0

5

0

3

3

5

0

Задача №4. Когда-то давным-давно жил, говорят, один сказитель и хайджи по имени Агол. Его знали во всех ближних и дальних аулах, и всюду он был желанным гостем. Узнал народ, что приехал сказитель и к вечеру и стар и мал собирался послушать знаменитого Агола. Приехал как-то Агол к баю по имени Хырна и привез ему в подарок 8л араки (вино домашнее). Обрадовался Хырна-бай и крикнул “Это все мне”. Но Хайджи подал ему бурдюки вместимостью 5л и 3л и сказал отлить ровно 1л, а остальным вином угостить своих братьев. Смогут ли братья попробовать араки знаменитого сказителя?

Решение:

Ходы

1

2

3

4

5

6

8

3

3

6

6

1

0

5

2

2

0

5

0

0

3

0

2

2

Задача №5. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на две равные части, используя остальные сосуды?

Решение.

В таблице указан объем молока в литрах после каждого переливания.

8-литровый сосуд

5-литровый сосуд

3-литровый сосуд

8

0

0

3

5

0

3

2

3

6

2

0

6

0

2

1

5

2

1

4

3

4

4

0

После переливания, оказалось, по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось.

Задача №6. В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из неё 6 л с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?

Решение. В таблице указан объем бензина в литрах после каждого переливания.

бочка

ведро

бидон

не менее 10

0

0

не менее 5

0

5

не менее 5

5

0

не менее 0

5

5

не менее 0

9

1

не менее 9

0

1

не менее 9

1

0

не менее 4

1

5

не менее 4

6

0

3. Конкурс «А ну-ка Математики» Все учащиеся разбиваются на 2-3 команды.

Решение необходимо представить в виде таблицы переливаний

1) Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?

2) Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: 8-литровым и 3-литровым? [1]

3) У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2 пустых ведерка - 4-литровое и 3-литровое. Помогите Карлсону отлить 1 литр варенья к чаю в меньшее (3-литровое) ведерко, оставив 6 литров в большом (7-литровом) ведре.

4) Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки - 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?

5) На другой год Винни Пух запасся 10 литрами меда. Под руками у него два ведра - 7-литровое и 4-литровое. Как ему разделить мед пополам?

6) (Пересыпашка) Разбойники раздобыли 10 унций (1 унция - примерно 30 см3) золотого песка. У них имеется две пустые коробки, емкостью 6 и 4 унции. Как им разделить песок пополам? Если на одно пересыпание требуется 1 минута, то сколько времени они будут делить свою добычу?

7) Некто имеет полный бочонок сока емкостью 12 пинт (пинта - 0,57 литра) и хочет подарить половину своему другу. Но у него нет сосуда в 6 пинт, а есть два сосуда в 8 пинт и 5 пинт. Каким образом можно налить 6 пинт в сосуд емкостью 8 пинт? [1]

8)Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной, и Белоснежка не знает наверняка, сколько гномов решатся отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и две пустых - на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой напитка?

9)Разрешима ли предыдущая задача, если в хозяйстве у Белоснежки имеются кастрюлька с водой на 12 чашек и пустые кастрюльки на 9 и 7 чашек?

10)Для путешествия по морю необходим запас пресной воды. В плавании вода расходуется со скоростью 1 бочка в сутки. В некоторый момент времени запас воды на берегу составлял 8 бочек, и вода находилась в баке, заполненном до краев. На яхте имеется такой же бак, объемом 8 бочек, но пустой. На сколько дней можно планировать путешествие, если с собой нельзя брать лишнюю воду, а в распоряжении имеется еще две пустых емкости объемом 3 и 6 бочек и их можно использовать для переливания воды? Ответы:1. Решение возможно за 3 хода.

N

Действие

А(10л)

Б(7л)

В(2л)

0

 

10

0

0

1

А-Б

3

7

0

2

Б-В

3

5

2

3

В-А

5

5

0

4

Б-В

5

3

2

5

В-А

7

3

0

6

Б-В

7

1

2

7

В-А

9

1

0

8

Б-В

9

0

1

9

А-Б

2

7

1

10

Б-В

2

6

2

11

В-А

4

6

0

12

Б-В

4

4

2

13

В-А

6

4

0

14

Б-В

6

2

2

15

В-А

8

2

0

16

Б-В

8

0

2

17

В-А

10

0

0


Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 6 ходов (по схеме), min - за 2

6 литров - за 3 хода

2 литра - за 1 ход

7 литров - за 1 ход

3 литра - за 1 ход

8 литров - за 1 ход

4 литра - за 4 хода

9 литров - за 7 ходов

5 литров - за 2 хода

 

2. Решение возможно за 4 хода.

N

Действие

А(12л)

Б(8л)

В(3л)

0

 

12

0

0

1

А-В

9

0

3

2

В-Б

9

3

0

3

А-В

6

3

3

4

В-Б

6

6

0

5

А-В

3

6

3

6

В-Б

3

8

1

7

Б-А

11

0

1

8

В-Б

11

1

0

9

А-В

8

1

3

10

В-Б

8

4

0

11

А-В

5

4

3

12

В-Б

5

7

0

13

А-В

2

7

3

14

В-Б

2

8

2

15

Б-А

10

0

2

16

В-Б

10

2

0

17

А-В

7

2

3

18

В-Б

7

5

0

19

А-В

4

5

3

20

В-Б

4

8

0

21

Б-А

12

0

0


1 литр - за 6 ходов (по схеме) min - за 2 хода

7 литров - за 3 хода

2 литра - за 4 хода

8 литров - за 1 ход

3 литра - за 1 ход

9 литров - за 1 ход

4 литра - за 1 ход

10 литров - за 5 ходов

5 литров - за 2 хода

11 литров - за 7 ходов

6 литров - за 3 хода

 








3. Решение возможно за 4 хода.

N

Действие

А(7л)

Б(4л)

В(3л)

0

 

7

0

0

1

А-Б

3

4

0

2

Б-В

3

1

3

3

В-А

6

1

0

4

Б-В

6

0

1

5

А-Б

2

4

1

6

Б-В

2

2

3

7

В-А

5

2

0

8

Б-В

5

0

2

9

А-Б

1

4

2

10

Б-В

1

3

3

11

В-А

4

3

0

12

Б-В

4

0

3

13

В-А

7

0

0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 2 хода

4 литра - за 1 ход

2 литра - за 4 хода

5 литров - за 5 ходов

3 литра - за 1 ход

6 литров - за 3 хода

4. Решение возможно за 5 ходов.

N

Действие

А(6л)

Б(5л)

В(1л)

0

 

6

0

0

1

А - Б

1

5

0

2

Б - В

1

4

1

3

В - А

2

4

0

4

Б - В

2

3

1

5

В - А

3

3

0

6

Б-В

3

2

1

7

В-А

4

2

0

8

Б-В

4

1

1

9

В-А

5

1

0

10

Б-В

5

0

1

11

В-А

6

0

0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 1 хода

4 литра - за 2 хода

2 литра - за 3 хода

5 литров - за 1 ход

3 литра - за 4 хода

 





5. Решение возможно за 8 ходов.

N

Действие

А(10л)

Б(7л)

В(4л)

0

 

10

0

0

1

А-В

6

0

4

2

В-Б

6

4

0

3

А-В

2

4

4

4

В-Б

2

7

1

5

Б-А

9

0

1

6

В-Б

9

1

0

7

А-В

5

1

4

8

В-Б

5

5

0

9

А-В

1

5

4

10

В-Б

1

7

2

11

Б-А

8

0

2

12

В-Б

8

2

0

13

А-В

4

2

4

14

В-Б

4

6

0

15

А-В

0

6

4

16

В-Б

0

7

3

17

Б-А

7

0

3

18

В-Б

7

3

0

19

А-Б

3

3

4

20

В-Б

3

7

0

21

Б-А

10

0

0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 4 хода

6 литров - ха 1 ход

2 литра - за 3 хода

7 литров - за 1 ход

3 литра - за 1 ход

8 литров - за 9 ходов

4 литра - за 1 ход

9 литров - за 5 ходов

5 литров - за 7 ходов

 

6. Разделить пополам 10 унций, т.е. получить 5 и 5 унций с помощью коробок в 6 и 4 унций невозможно, т.к. невозможно получить нечетные числа путем вычитания и прибавления четных чисел к четному числу. Возможны следующие действия:

N

Действие

А(10ун)

Б(6ун)

В(4ун)

0

 

10

0

0

1

А-Б

4

6

0

2

Б-В

4

2

4

3

В-А

8

2

0

4

Б-В

8

0

2

5

А-Б

2

6

2

6

Б-В

2

4

4

7

В-А

6

4

0

8

Б-В

6

0

4

9

В-А

10

0

0

Возможно получение четного количества унций:

2 унции - за 2 хода

6 унций - за 1 ход

4 унции- за 1 ход

8 унций - за 3 хода

7. Решение возможно за 7 ходов.

N

Действие

А(12п)

Б(8п)

В(5п)

0

 

12

0

0

1

А-Б

4

8

0

2

Б-В

4

3

5

3

В-А

9

3

0

4

Б-В

9

0

3

5

А-Б

1

8

3

6

Б-В

1

6

5

7

В-А

6

6

0

8

Б-В

6

1

5

9

В-А

11

1

0

10

Б-В

11

0

1

11

А-Б

3

8

1

12

Б-В

3

4

5

13

В-А

8

4

0

14

Б-В

8

0

4

15

А-В

0

8

4

16

Б-В

0

7

5

17

В-А

5

7

0

18

Б-В

5

2

5

19

В-А

10

2

0

20

Б-В

10

0

2

21

А-Б

2

8

2

22

Б-В

2

5

5

23

В-А

7

5

0

24

Б-В

7

0

5

25

В-А

12

0

0

Возможно получение любого количества пинт:

1 пинта - за 5 ходов

7 пинт - за 1 ход

2 пинты - за 3 хода

8 пинт - за 1 ход

3 пинты - за 2 хода

9 пинт - за 3 хода

4 пинты - за 1 ход

10 пинт - за 5 ходов

5 пинт - за 1 ход

11 пинт - за 9 ходов

6 пинт - за 6 ходов

 


8. Приготовить можно любое количество порций:

N

Действие

А(12ч)

Б(9ч)

В(5ч)

0

 

12

0

0

1

А-В

7

0

5

2

В-Б

7

5

0

3

А-В

2

5

5

4

В-Б

2

9

1

5

Б-А

11

0

1

6

В-Б

11

1

0

7

А-В

6

1

5

8

В-Б

6

6

0

9

А-В

1

6

5

10

Б-В

1

9

2

11

Б-А

10

0

2

12

В-Б

10

2

0

13

А-В

5

2

5

14

В-Б

5

7

0

15

А-В

0

7

5

16

В-Б

0

9

3

17

Б-А

9

0

3

18

В-Б

9

3

0

19

А-В

4

3

5

20

В-Б

4

8

0

21

А-В

0

8

4

22

Б-А

8

0

4

23

В-Б

8

4

0

24

А-В

3

4

5

25

В-Б

3

9

0

26

Б-А

12

0

0


1 чашка - за 4 хода

7 чашек - за 1 ход

2 чашки - за 3 хода

8 чашек - за 3 хода

3 чашки - за 1 ход

9 чашек - за 1 ход

4 чашки - за 2 хода

10 чашек - за 11 ходов

5 чашек- за 1 ход

11 чашек - за 5 ходов

6 чашек - за 7 ходов

 









9. Для указанных объемов кастрюлек невозможно отмерить 6 чашек, т.е. невозможно разделить воду пополам.

N

Действие

А(12ч)

Б(9ч)

В(7ч)

0

 

12

0

0

1

А-Б

3

9

0

2

Б-В

3

2

7

3

В-А

10

2

0

4

Б-В

10

0

2

5

А-Б

1

9

2

6

Б-В

1

4

7

7

В-А

8

4

0

8

Б-В

8

0

4

9

А-Б

0

8

4

10

В-А

4

8

0

11

Б-В

4

1

7

12

В-А

11

1

0

13

Б-В

11

0

1

14

А-Б

2

9

1

15

Б-В

2

3

7

16

В-А

9

3

0

17

Б-В

9

0

3

18

А-Б

0

9

3

19

Б-В

0

5

7

20

В-А

7

5

0

21

Б-В

7

0

5

22

А-Б

0

7

5

23

В-А

5

7

0

24

Б-В

5

0

7

25

В-А

12

0

0

Возможно получение любого количества чашек кроме 6:

1 чашка - за 5 ходов

7 чашек - за 1 ход

2 чашки - за 2 хода

8 чашек - за 7 ходов

3 чашки - за 1 ход

9 чашек - за 1 ход

4 чашки - за 6 ходов

10 чашек - за 3 хода

5 чашек - за 1 ход

11 чашек - за 12 ходов

10. Путешествие может планироваться на 2, 3, 5 или 6 дней.

N

Действие

А(8б)

Б(6б)

В(3б)

0

 

8

0

0

1

А-Б

2

6

0

2

Б-В

2

3

3

3

В-А

5

3

0

4

Б-В

5

0

3

5

В-А

8

0

0

Возможно получение следующего запаса воды:

2 бочки - за 1 ход

5 бочек - за 1 ход

3 бочки - за 1 ход

6 бочек - за 1 ход

4. Задачи по теме на переливание из бесконечного по объёму сосуда.

1) Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана?

2) Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?

3) В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот порциями по 300 г?

4) Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?

5) Как решить предыдущую задачу, если на экспертизу необходимо доставить 5 литров нефти, а емкости сосудов составляют соответственно 7 литров и 3 литра?

Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из молочной цистерны 13 литров молока?

6) Современный вариант старинной задачи.

К продавцу, стоящему у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости в 3 л и 5 л, и поэтому он не может выполнить их просьбу. Приятели продолжают настаивать и дают продавцу 100 рублей (сумма зависит от финансово-экономической ситуации в стране и соответственно варьируется) с одним условием, что они получат свои порции одновременно. После некоторого размышления продавец сумел это сделать. Каким образом?

Решения. Для решения приведенных задач требуется 4, 6, 8 и более ходов.

Приведем решения без полного возможного набора ходов. Объем жидкости в условном сосуде А будет соответствовать объему слитой жидкости, объемы Б и В - заданным объемам по условию задачи. Действие, обозначенное одной буквой, например, Б, означает наполнение сосуда из источника (водоема, исходного сосуда).

1. Задача имеет решение за 4 хода.

N

Действие

А

Б(9л)

В(5л)

0

 

 

0

0

1

В

0

0

5

2

В-Б

0

5

0

3

В

0

5

5

4

В-Б

0

9

1

2. Задача решается за 6 ходов. Лишнюю воду сливаем в водоем.

N

Действие

А

Б(5л)

В(3л)

0

 

 

0

0

1

Б

0

5

0

2

Б-В

0

2

3

3

В-А

3

2

0

4

Б-В

3

0

2

5

Б

3

5

2

6

Б-В

3

4

3




3. Для решения требуется 8 ходов. Компот сливаем в ведро.

N

Действие

А

Б(900г)

В(500г)

0

 

 

0

0

1

Б

0

900

0

2

Б-В

0

400

500

3

В-А

500

400

0

4

Б-В

500

0

400

5

Б

500

900

400

6

Б-В

500

800

500

7

В-А

1000

800

0

8

Б-В

1000

300

500

4. Решение достигается за 8 ходов. Нефть из сосуда В два раза выливается.

N

Действие

А

Б(9л)

В(4л)

0

 

 

0

0

1

Б

0

9

0

2

Б-В

0

5

4

3

В-А

4

5

0

4

Б-В

4

1

4

5

В-А

8

1

0

6

Б-В

8

0

1

7

Б

8

9

1

8

Б-В

8

6

4

5. Задача также решается за 8 ходов, аналогично предыдущей.

N

Действие

А

Б(7л)

В(3л)

0

 

 

0

0

1

Б

0

7

0

2

Б-В

0

4

3

3

В-А

3

4

0

4

Б-В

3

1

3

5

В-А

6

1

0

6

Б-В

6

0

1

7

Б

6

7

1

8

Б-В

6

5

3













6. Задача имеет решение за 14 переливаний. Молоко из 17-литрового бидона сливается в цистерну.

N

Действие

А

Б(17л)

В(5л)

0

 

 

0

0

1

В

0

0

5

2

В-Б

0

5

0

3

В

0

5

5

4

В-Б

0

10

0

5

В

0

10

5

6

В-Б

0

15

0

7

В

0

15

5

8

В-Б

0

17

3

9

Б-А

17

0

3

10

В-Б

17

3

0

11

В

17

3

5

12

В-Б

17

8

0

13

В

17

8

5

14

В-Б

17

13

0

Можно дать достаточно короткое словесное решение задачи: с помощью 5-литрового бидона налить в 17-литровый бидон 15 литров молока. Затем, наполнив еще раз 5-литровый бидон, налить недостающие 2 литра в больший бидон. Тогда в 5-литровом бидоне останется 3 литра молока. Вылив 17 литров молока обратно в цистерну, налить эти 3 литра молока в 17-литровый бидон. Остается добавить туда еще 10 литров молока.

7. Секрет задачи в том, что предложенная сумма, по-видимому, превышает стоимость всего кваса в бочке, а это значит, что в некоторый момент продавец имеет возможность вылить остатки кваса из бочки и использовать ее как дополнительную емкость. Для определения того, в какой момент надо выливать квас из бочки, надо обратиться к предлагаемой в [2] модели решения задачи, аналогии с движением шарика и начертить эту схему. Из нее следует, что для решения задачи мы должны получить 7 литров. А задача получается комбинированной: сначала надо решить задачу II типа, а потом вариант I-го типа.

Сначала получим 7 литров с помощью 5 и 3-литровых сосудов:

N

Действие

А

Б(5л)

В(3л)

0

 

 

0

0

1

Б

0

5

0

2

Б-В

0

2

3

3

В-А

3

2

0

4

Б-В

3

0

2

5

Б

3

5

2

Далее сливаем квас из бочки и переливаем в нее 7 литров из емкостей. Теперь решаем задачу по типу I:

N

Действие

А(7л)

Б(5л)

В(3л)

0

 

7

0

0

1

А-В

4

0

3

2

В-Б

4

3

0

3

А-В

1

3

3

4

В-Б

1

5

1

Так как приятели должны получить порции по 1 л одновременно из сосудов Б и В, придется Б освободить и перелить 1 л из бочки.

Название документа задачи на переливание.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: «Задачи на переливание»

Цель: Научить решать задачи на переливание жидкостей. Рассмотреть задачи на деление некоторого количества жидкости с помощью двух пустых дополнительных сосудов за наименьшее число переливаний. Рассмотреть задачи на получение некоторого количества жидкости из большого или бесконечного по объему сосуда, водоема или источника с помощью двух пустых сосудов (при переливании можно сливать жидкость в исходный сосуд или водоем)

1. Головоломка. Малоопытный водитель автофургона пытался проехать во двор через туннель, но неточно рассчитал его высоту. В результате машина оказалась заклиненной, да так, что не могла тронуться с места. Шофёр то заводил машину, то выключал двигатель, пытался двигаться вперёд, назад – всё было безрезультатно. Люди останавливались около машины, давали разные советы. Так продолжалось до тех пор, пока рядом не остановился легковая машина, из которой вышел водитель, и что-то тихо сказал малоопытному шофёру. Виновник беспорядка горячо поблагодарил за совет и быстро выполнил несложную работу. Затем без каких-либо препятствий проехал во двор. Какое действие выполнил шофёр? Ответ: Шофёр слегка выпустил воздух из колёс.

2. Решение задач по теме.

Методические указания "Решение задач на переливание"

В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что

- все сосуды без делений,

- нельзя переливать жидкости "на глаз"

- невозможно ниоткуда добавлять жидкости и никуда сливать

Мы можем точно сказать, сколько жидкости в сосуде, только в следующих случаях.

1) знаем, что сосуд пуст,

2) знаем, что сосуд полон, а в задаче дана его вместимость,

3) в задаче дано, сколько жидкости в сосуде, а переливания с использованием этого сосуда не проводились

4) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, и после переливания вся жидкость поместилась в один из них

5) в переливании участвовали два сосуда, в каждом из которых известно, сколько было жидкости, известна вместимость того сосуда, в который переливали, и известно, что вся жидкость в него не поместилась: мы можем найти, сколько ее осталось в другом сосуде

Рассмотрим задачи.

1) Задача№1. Парное молоко

Бидон емкостью 10 л наполнен парным молоком. Требуется перелить из этого бидона 5 л молока в семилитровый бидон, используя при этом трехлитровый бидон.

Решение: Будем "шаги" переливаний записывать в виде строки из трех чисел.

При этом сосуды размещены слева направо по мере убывания их вместимости:

Шаги

Бидон

10 л

7 л

3 л

1-й

3

7

0

2-й

3

4

3

3-й

6

4

0

4-й

6

1

3

5-й

9

1

0

6-й

9

0

1

7-й

2

7

1

8-й

2

5

3

Задача №2. У подножья высокого тасхыла, на берегу тихой речки был небольшой аул. Жили в нем два брата-охотника. Старшего брата звали Каалка, младшего Копчон. Отправляет старший брат младшего за водой и дает ему два бурдюка, вместимостью 8л и 5л и просит принести ровно 7л воды. Сможет ли Копчон выполнить просьбу старшего брата?

Решение:

Ходы

1

2

3

4

5

6

7

5

5

8

2

7

5

5

2

2

5

Задача №3. Жила-была девушка по имени Абахай Пахта, что означает красавица: сорок кос на плечах, тридцать кос на спине расстилались, точно струйки родниковой воды. Два охотника – Хара Моос и Хара Торгы – решили счастье свое испытать, пошли к ней, чтобы в жены взять. Девушка хитрая была и сказала: “Тому я в жены достанусь, кто сможет кумыс из 12л бурдюка перелить поровну”, - и подает им еще два бурдюка вместимостью 5л и 8л. Смогут ли охотники справиться с нелегкой задачей?

Решение:

Ходы

1

2

3

4

5

6

7

8

12л

12

4

4

9

9

1

1

6

0

8

3

3

0

8

6

6

0

0

5

0

3

3

5

0

Задача №4. Когда-то давным-давно жил, говорят, один сказитель и хайджи по имени Агол. Его знали во всех ближних и дальних аулах, и всюду он был желанным гостем. Узнал народ, что приехал сказитель и к вечеру и стар и мал собирался послушать знаменитого Агола. Приехал как-то Агол к баю по имени Хырна и привез ему в подарок 8л араки (вино домашнее). Обрадовался Хырна-бай и крикнул “Это все мне”. Но Хайджи подал ему бурдюки вместимостью 5л и 3л и сказал отлить ровно 1л, а остальным вином угостить своих братьев. Смогут ли братья попробовать араки знаменитого сказителя?

Решение:

Ходы

1

2

3

4

5

6

8

3

3

6

6

1

0

5

2

2

0

5

0

0

3

0

2

2

Задача №5. Имеются три сосуда вместимостью 8, 5 и 3 литра. Наибольший сосуд полон молока. Как разделить это молоко на две равные части, используя остальные сосуды?

Решение.

В таблице указан объем молока в литрах после каждого переливания.

8-литровый сосуд

5-литровый сосуд

3-литровый сосуд

8

0

0

3

5

0

3

2

3

6

2

0

6

0

2

1

5

2

1

4

3

4

4

0

После переливания, оказалось, по 4 л молока в 8-литровом и 5-литровом сосудах, а это и требовалось.

Задача №6. В бочке не менее 10 л бензина. Как отлить из неё 6 л с помощью девятилитрового ведра и пятилитрового бидона?

Решение. В таблице указан объем бензина в литрах после каждого переливания.

бочка

ведро

бидон

не менее 10

0

0

не менее 5

0

5

не менее 5

5

0

не менее 0

5

5

не менее 0

9

1

не менее 9

0

1

не менее 9

1

0

не менее 4

1

5

не менее 4

6

0

3. Конкурс «А ну-ка Математики» Все учащиеся разбиваются на 2-3 команды.

Решение необходимо представить в виде таблицы переливаний

1) Две группы альпинистов готовятся к восхождению. Для приготовления еды они используют примусы, которые заправляют бензином. В альплагере имеется 10-литровая канистра бензина. Имеются еще пустые сосуды в 7 и 2 литров. Как разлить бензин в два сосуда по 5 литров в каждом?

2) Как разделить поровну между двумя семьями 12 литров хлебного кваса, находящегося в двенадцатилитровом сосуде, воспользовавшись для этого двумя пустыми сосудами: 8-литровым и 3-литровым? [1]

3) У Карлсона есть ведро варенья, оно вмещает 7 литров. У него есть 2 пустых ведерка - 4-литровое и 3-литровое. Помогите Карлсону отлить 1 литр варенья к чаю в меньшее (3-литровое) ведерко, оставив 6 литров в большом (7-литровом) ведре.

4) Летом Винни Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки - 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?

5) На другой год Винни Пух запасся 10 литрами меда. Под руками у него два ведра - 7-литровое и 4-литровое. Как ему разделить мед пополам?

6) (Пересыпашка) Разбойники раздобыли 10 унций (1 унция - примерно 30 см3) золотого песка. У них имеется две пустые коробки, емкостью 6 и 4 унции. Как им разделить песок пополам? Если на одно пересыпание требуется 1 минута, то сколько времени они будут делить свою добычу?

7) Некто имеет полный бочонок сока емкостью 12 пинт (пинта - 0,57 литра) и хочет подарить половину своему другу. Но у него нет сосуда в 6 пинт, а есть два сосуда в 8 пинт и 5 пинт. Каким образом можно налить 6 пинт в сосуд емкостью 8 пинт? [1]

8)Белоснежка ждет в гости гномов. Зима выдалась морозной и снежной, и Белоснежка не знает наверняка, сколько гномов решатся отправиться в далекое путешествие в гости, однако знает, что их будет не более 12. В ее хозяйстве есть кастрюлька на 12 чашек, она наполнена водой, и две пустых - на 9 чашек и на 5. Можно ли приготовить кофе для любого количества гостей, если угощать каждого одной чашкой напитка?

9)Разрешима ли предыдущая задача, если в хозяйстве у Белоснежки имеются кастрюлька с водой на 12 чашек и пустые кастрюльки на 9 и 7 чашек?

10)Для путешествия по морю необходим запас пресной воды. В плавании вода расходуется со скоростью 1 бочка в сутки. В некоторый момент времени запас воды на берегу составлял 8 бочек, и вода находилась в баке, заполненном до краев. На яхте имеется такой же бак, объемом 8 бочек, но пустой. На сколько дней можно планировать путешествие, если с собой нельзя брать лишнюю воду, а в распоряжении имеется еще две пустых емкости объемом 3 и 6 бочек и их можно использовать для переливания воды?

Ответы:

1. Решение возможно за 3 хода.

N

Действие

А(10л)

Б(7л)

В(2л)

0

 

10

0

0

1

А-Б

3

7

0

2

Б-В

3

5

2

3

В-А

5

5

0

4

Б-В

5

3

2

5

В-А

7

3

0

6

Б-В

7

1

2

7

В-А

9

1

0

8

Б-В

9

0

1

9

А-Б

2

7

1

10

Б-В

2

6

2

11

В-А

4

6

0

12

Б-В

4

4

2

13

В-А

6

4

0

14

Б-В

6

2

2

15

В-А

8

2

0

16

Б-В

8

0

2

17

В-А

10

0

0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 6 ходов (по схеме), min - за 2

6 литров - за 3 хода

2 литра - за 1 ход

7 литров - за 1 ход

3 литра - за 1 ход

8 литров - за 1 ход

4 литра - за 4 хода

9 литров - за 7 ходов

5 литров - за 2 хода

 

2. Решение возможно за 4 хода.

N

Действие

А(12л)

Б(8л)

В(3л)

0

 

12

0

0

1

А-В

9

0

3

2

В-Б

9

3

0

3

А-В

6

3

3

4

В-Б

6

6

0

5

А-В

3

6

3

6

В-Б

3

8

1

7

Б-А

11

0

1

8

В-Б

11

1

0

9

А-В

8

1

3

10

В-Б

8

4

0

11

А-В

5

4

3

12

В-Б

5

7

0

13

А-В

2

7

3

14

В-Б

2

8

2

15

Б-А

10

0

2

16

В-Б

10

2

0

17

А-В

7

2

3

18

В-Б

7

5

0

19

А-В

4

5

3

20

В-Б

4

8

0

21

Б-А

12

0

0


1 литр - за 6 ходов (по схеме) min - за 2 хода

7 литров - за 3 хода

2 литра - за 4 хода

8 литров - за 1 ход

3 литра - за 1 ход

9 литров - за 1 ход

4 литра - за 1 ход

10 литров - за 5 ходов

5 литров - за 2 хода

11 литров - за 7 ходов

6 литров - за 3 хода

 

3. Решение возможно за 4 хода.

N

Действие

А(7л)

Б(4л)

В(3л)

0

 

7

0

0

1

А-Б

3

4

0

2

Б-В

3

1

3

3

В-А

6

1

0

4

Б-В

6

0

1

5

А-Б

2

4

1

6

Б-В

2

2

3

7

В-А

5

2

0

8

Б-В

5

0

2

9

А-Б

1

4

2

10

Б-В

1

3

3

11

В-А

4

3

0

12

Б-В

4

0

3

13

В-А

7

0

0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 2 хода

4 литра - за 1 ход

2 литра - за 4 хода

5 литров - за 5 ходов

3 литра - за 1 ход

6 литров - за 3 хода

4. Решение возможно за 5 ходов.

N

Действие

А(6л)

Б(5л)

В(1л)

0

 

6

0

0

1

А - Б

1

5

0

2

Б - В

1

4

1

3

В - А

2

4

0

4

Б - В

2

3

1

5

В - А

3

3

0

6

Б-В

3

2

1

7

В-А

4

2

0

8

Б-В

4

1

1

9

В-А

5

1

0

10

Б-В

5

0

1

11

В-А

6

0

0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 1 хода

4 литра - за 2 хода

2 литра - за 3 хода

5 литров - за 1 ход

3 литра - за 4 хода

 

5. Решение возможно за 8 ходов.

N

Действие

А(10л)

Б(7л)

В(4л)

0

 

10

0

0

1

А-В

6

0

4

2

В-Б

6

4

0

3

А-В

2

4

4

4

В-Б

2

7

1

5

Б-А

9

0

1

6

В-Б

9

1

0

7

А-В

5

1

4

8

В-Б

5

5

0

9

А-В

1

5

4

10

В-Б

1

7

2

11

Б-А

8

0

2

12

В-Б

8

2

0

13

А-В

4

2

4

14

В-Б

4

6

0

15

А-В

0

6

4

16

В-Б

0

7

3

17

Б-А

7

0

3

18

В-Б

7

3

0

19

А-Б

3

3

4

20

В-Б

3

7

0

21

Б-А

10

0

0

Возможно получение любого количества литров:

1 литр - за 4 хода

6 литров - ха 1 ход

2 литра - за 3 хода

7 литров - за 1 ход

3 литра - за 1 ход

8 литров - за 9 ходов

4 литра - за 1 ход

9 литров - за 5 ходов

5 литров - за 7 ходов

 

6. Разделить пополам 10 унций, т.е. получить 5 и 5 унций с помощью коробок в 6 и 4 унций невозможно, т.к. невозможно получить нечетные числа путем вычитания и прибавления четных чисел к четному числу. Возможны следующие действия:

N

Действие

А(10ун)

Б(6ун)

В(4ун)

0

 

10

0

0

1

А-Б

4

6

0

2

Б-В

4

2

4

3

В-А

8

2

0

4

Б-В

8

0

2

5

А-Б

2

6

2

6

Б-В

2

4

4

7

В-А

6

4

0

8

Б-В

6

0

4

9

В-А

10

0

0

Возможно получение четного количества унций:

2 унции - за 2 хода

6 унций - за 1 ход

4 унции- за 1 ход

8 унций - за 3 хода

7. Решение возможно за 7 ходов.

N

Действие

А(12п)

Б(8п)

В(5п)

0

 

12

0

0

1

А-Б

4

8

0

2

Б-В

4

3

5

3

В-А

9

3

0

4

Б-В

9

0

3

5

А-Б

1

8

3

6

Б-В

1

6

5

7

В-А

6

6

0

8

Б-В

6

1

5

9

В-А

11

1

0

10

Б-В

11

0

1

11

А-Б

3

8

1

12

Б-В

3

4

5

13

В-А

8

4

0

14

Б-В

8

0

4

15

А-В

0

8

4

16

Б-В

0

7

5

17

В-А

5

7

0

18

Б-В

5

2

5

19

В-А

10

2

0

20

Б-В

10

0

2

21

А-Б

2

8

2

22

Б-В

2

5

5

23

В-А

7

5

0

24

Б-В

7

0

5

25

В-А

12

0

0

Возможно получение любого количества пинт:

1 пинта - за 5 ходов

7 пинт - за 1 ход

2 пинты - за 3 хода

8 пинт - за 1 ход

3 пинты - за 2 хода

9 пинт - за 3 хода

4 пинты - за 1 ход

10 пинт - за 5 ходов

5 пинт - за 1 ход

11 пинт - за 9 ходов

6 пинт - за 6 ходов

 

8. Приготовить можно любое количество порций:

N

Действие

А(12ч)

Б(9ч)

В(5ч)

0

 

12

0

0

1

А-В

7

0

5

2

В-Б

7

5

0

3

А-В

2

5

5

4

В-Б

2

9

1

5

Б-А

11

0

1

6

В-Б

11

1

0

7

А-В

6

1

5

8

В-Б

6

6

0

9

А-В

1

6

5

10

Б-В

1

9

2

11

Б-А

10

0

2

12

В-Б

10

2

0

13

А-В

5

2

5

14

В-Б

5

7

0

15

А-В

0

7

5

16

В-Б

0

9

3

17

Б-А

9

0

3

18

В-Б

9

3

0

19

А-В

4

3

5

20

В-Б

4

8

0

21

А-В

0

8

4

22

Б-А

8

0

4

23

В-Б

8

4

0

24

А-В

3

4

5

25

В-Б

3

9

0

26

Б-А

12

0

0


1 чашка - за 4 хода

7 чашек - за 1 ход

2 чашки - за 3 хода

8 чашек - за 3 хода

3 чашки - за 1 ход

9 чашек - за 1 ход

4 чашки - за 2 хода

10 чашек - за 11 ходов

5 чашек- за 1 ход

11 чашек - за 5 ходов

6 чашек - за 7 ходов

 

9. Для указанных объемов кастрюлек невозможно отмерить 6 чашек, т.е. невозможно разделить воду пополам.

N

Действие

А(12ч)

Б(9ч)

В(7ч)

0

 

12

0

0

1

А-Б

3

9

0

2

Б-В

3

2

7

3

В-А

10

2

0

4

Б-В

10

0

2

5

А-Б

1

9

2

6

Б-В

1

4

7

7

В-А

8

4

0

8

Б-В

8

0

4

9

А-Б

0

8

4

10

В-А

4

8

0

11

Б-В

4

1

7

12

В-А

11

1

0

13

Б-В

11

0

1

14

А-Б

2

9

1

15

Б-В

2

3

7

16

В-А

9

3

0

17

Б-В

9

0

3

18

А-Б

0

9

3

19

Б-В

0

5

7

20

В-А

7

5

0

21

Б-В

7

0

5

22

А-Б

0

7

5

23

В-А

5

7

0

24

Б-В

5

0

7

25

В-А

12

0

0

Возможно получение любого количества чашек кроме 6:

1 чашка - за 5 ходов

7 чашек - за 1 ход

2 чашки - за 2 хода

8 чашек - за 7 ходов

3 чашки - за 1 ход

9 чашек - за 1 ход

4 чашки - за 6 ходов

10 чашек - за 3 хода

5 чашек - за 1 ход

11 чашек - за 12 ходов

10. Путешествие может планироваться на 2, 3, 5 или 6 дней.

N

Действие

А(8б)

Б(6б)

В(3б)

0

 

8

0

0

1

А-Б

2

6

0

2

Б-В

2

3

3

3

В-А

5

3

0

4

Б-В

5

0

3

5

В-А

8

0

0

Возможно получение следующего запаса воды:

2 бочки - за 1 ход

5 бочек - за 1 ход

3 бочки - за 1 ход

6 бочек - за 1 ход

4. Задачи по теме на переливание из бесконечного по объёму сосуда.

1) Для разведения картофельного пюре быстрого приготовления "Зеленый великан" требуется 1 л воды. Как, имея два сосуда емкостью 5 и 9 литров, налить 1 литр воды из водопроводного крана?

2) Для марш-броска по пустыне путешественнику необходимо иметь 4 литра воды. Больше он взять не может. На базе, где имеется источник воды, выдают только 5-литровые фляги, а также имеются 3-литровые банки. Как с помощью одной фляги и одной банки набрать 4 литра во флягу?

3) В походе приготовили ведро компота. Как, имея банки, вмещающие 500г и 900г воды, отливать компот порциями по 300 г?

4) Нефтяники пробурили скважину нефти. Необходимо доставить в лабораторию на экспертизу 6 литров нефти. В распоряжении имеется 9-литровый и 4-литровый сосуды. Как с помощью этих сосудов набрать 6 литров?

5) Как решить предыдущую задачу, если на экспертизу необходимо доставить 5 литров нефти, а емкости сосудов составляют соответственно 7 литров и 3 литра?

Как с помощью двух бидонов емкостью 17 литров и 5 литров отлить из молочной цистерны 13 литров молока?

6) Современный вариант старинной задачи.

К продавцу, стоящему у бочки с квасом, подходят два веселых приятеля и просят налить им по литру кваса каждому. Продавец замечает, что у него есть лишь две емкости в 3 л и 5 л, и поэтому он не может выполнить их просьбу. Приятели продолжают настаивать и дают продавцу 100 рублей (сумма зависит от финансово-экономической ситуации в стране и соответственно варьируется) с одним условием, что они получат свои порции одновременно. После некоторого размышления продавец сумел это сделать. Каким образом?

Решения. Для решения приведенных задач требуется 4, 6, 8 и более ходов.

Приведем решения без полного возможного набора ходов. Объем жидкости в условном сосуде А будет соответствовать объему слитой жидкости, объемы Б и В - заданным объемам по условию задачи. Действие, обозначенное одной буквой, например, Б, означает наполнение сосуда из источника (водоема, исходного сосуда).

1. Задача имеет решение за 4 хода.

N

Действие

А

Б(9л)

В(5л)

0

 

 

0

0

1

В

0

0

5

2

В-Б

0

5

0

3

В

0

5

5

4

В-Б

0

9

1

2. Задача решается за 6 ходов. Лишнюю воду сливаем в водоем.

N

Действие

А

Б(5л)

В(3л)

0

 

 

0

0

1

Б

0

5

0

2

Б-В

0

2

3

3

В-А

3

2

0

4

Б-В

3

0

2

5

Б

3

5

2

6

Б-В

3

4

3

3. Для решения требуется 8 ходов. Компот сливаем в ведро.

N

Действие

А

Б(900г)

В(500г)

0

 

 

0

0

1

Б

0

900

0

2

Б-В

0

400

500

3

В-А

500

400

0

4

Б-В

500

0

400

5

Б

500

900

400

6

Б-В

500

800

500

7

В-А

1000

800

0

8

Б-В

1000

300

500

4. Решение достигается за 8 ходов. Нефть из сосуда В два раза выливается.

N

Действие

А

Б(9л)

В(4л)

0

 

 

0

0

1

Б

0

9

0

2

Б-В

0

5

4

3

В-А

4

5

0

4

Б-В

4

1

4

5

В-А

8

1

0

6

Б-В

8

0

1

7

Б

8

9

1

8

Б-В

8

6

4

5. Задача также решается за 8 ходов, аналогично предыдущей.

N

Действие

А

Б(7л)

В(3л)

0

 

 

0

0

1

Б

0

7

0

2

Б-В

0

4

3

3

В-А

3

4

0

4

Б-В

3

1

3

5

В-А

6

1

0

6

Б-В

6

0

1

7

Б

6

7

1

8

Б-В

6

5

3

6. Задача имеет решение за 14 переливаний. Молоко из 17-литрового бидона сливается в цистерну.

N

Действие

А

Б(17л)

В(5л)

0

 

 

0

0

1

В

0

0

5

2

В-Б

0

5

0

3

В

0

5

5

4

В-Б

0

10

0

5

В

0

10

5

6

В-Б

0

15

0

7

В

0

15

5

8

В-Б

0

17

3

9

Б-А

17

0

3

10

В-Б

17

3

0

11

В

17

3

5

12

В-Б

17

8

0

13

В

17

8

5

14

В-Б

17

13

0

Можно дать достаточно короткое словесное решение задачи: с помощью 5-литрового бидона налить в 17-литровый бидон 15 литров молока. Затем, наполнив еще раз 5-литровый бидон, налить недостающие 2 литра в больший бидон. Тогда в 5-литровом бидоне останется 3 литра молока. Вылив 17 литров молока обратно в цистерну, налить эти 3 литра молока в 17-литровый бидон. Остается добавить туда еще 10 литров молока.

7. Секрет задачи в том, что предложенная сумма, по-видимому, превышает стоимость всего кваса в бочке, а это значит, что в некоторый момент продавец имеет возможность вылить остатки кваса из бочки и использовать ее как дополнительную емкость. Для определения того, в какой момент надо выливать квас из бочки, надо обратиться к предлагаемой в [2] модели решения задачи, аналогии с движением шарика и начертить эту схему. Из нее следует, что для решения задачи мы должны получить 7 литров. А задача получается комбинированной: сначала надо решить задачу II типа, а потом вариант I-го типа.

Сначала получим 7 литров с помощью 5 и 3-литровых сосудов:

N

Действие

А

Б(5л)

В(3л)

0

 

 

0

0

1

Б

0

5

0

2

Б-В

0

2

3

3

В-А

3

2

0

4

Б-В

3

0

2

5

Б

3

5

2

Далее сливаем квас из бочки и переливаем в нее 7 литров из емкостей. Теперь решаем задачу по типу I:

N

Действие

А(7л)

Б(5л)

В(3л)

0

 

7

0

0

1

А-В

4

0

3

2

В-Б

4

3

0

3

А-В

1

3

3

4

В-Б

1

5

1

Так как приятели должны получить порции по 1 л одновременно из сосудов Б и В, придется Б освободить и перелить 1 л из бочки.


Название документа задачи на разрезание.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: «Задачи на разрезание»

Цель: Рассмотреть задачи на разрезание, развивать абстрактное мышление.

Решение задач по теме.

1). Разделите фигуру на две равные части:


hello_html_m6abfd275.jpgОтвет. hello_html_m564643f8.jpg

2). Разделите фигуру на три равные части:

hello_html_470f1a95.jpgОтвет. hello_html_m6581abf7.gif

3). Разделите фигуру на три равные части:

hello_html_m4ce748b7.jpgОтвет.hello_html_3aedf74b.jpg

4). Разделите фигуру на четыре равные части:

hello_html_m34e5126c.jpgОтвет. hello_html_358130d.jpg

5). Разрежьте каждую из фигур на три равные части. (Резать можно только по сторонам клеточек, части должны быть равны не только по площади, но и по форме.):

hello_html_m7a83bdf5.pngОтвет. hello_html_m7c67c898.png

6). Разделите каждую из фигур по линиям сетки на четыре одинаковые части, чтобы в каждой части был ровно один кружок.

hello_html_44bc2e28.pngОтвет. hello_html_m5a1631e.png

7) Разрежьте каждую из фигур на четыре равные части. (Резать можно только по сторонам и диагоналям клеточек.)

hello_html_25f100ee.pngОтвет: hello_html_m2394df0b.pnghello_html_m235c23df.pnghello_html_44f34d14.png


8) Разрежьте квадрат на два равных а) пятиугольника; б) шестиугольника; в) семиугольника.

Указание. Воспользуйтесь центральной симметрией: линию, разрезающую квадрат на многоугольники, нарисуйте симметричной относительно центра квадрата.

а) Ответ.

hello_html_22136c41.pnghello_html_79d8e8ab.pngб) Ответ. hello_html_m24609803.png в) Ответ. hello_html_m55afdee1.png

2) Разрежьте квадрат на три (не обязательно равных) шестиугольника.

Первый способ. Второй способ.

hello_html_32ae170d.pnghello_html_1771c2a4.png


3) Разрежьте каждую из фигур пополам.


hello_html_m4290e067.pngОтвет. hello_html_m26960de5.png

4) Разрежьте каждую из фигур на четыре равные (и по площади, и по форме) части.


hello_html_m3515f237.pngОтвет. hello_html_1d07a8b9.png

5) Разрежьте квадрат 7×7 на пять частей и переложите их так, чтобы получились три квадрата: 2×2, 3×3 и 6×6.

I способ.hello_html_726d3bc8.png

II способ. III способ.

hello_html_44a2c24.pnghello_html_380d86dc.png


IV способ. V способ.

hello_html_m19f2f614.pnghello_html_22207ff4.png


VI способ.

hello_html_m53b330d8.png





Название документа задачи решаемые с конца.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Приложение 15

Тема: «Задачи, решаемые с конца»

Цель: Развиваем логическое мышление, учимся решать задачи с конца.

1. Устные упражнения.

1) Вы - шофёр автобуса. В автобусе первоначально было 23 пассажира. На первой остановке вышло 3 женщины и зашло 5 мужчин. На второй остановке зашло 4 мужчины и вышло 7 женщин. Сколько лет шофёру?

2) Какое слово из 11 букв все отличники пишут неправильно?

3) Продавая в магазине попугая, продавец пообещал, что попугай будет повторять каждое услышанное им слово. Покупатель очень обрадовался, но, придя, домой, обнаружил, что попугай «нем как рыба». Тем не менее, продавец не лгал. Как это могло быть?

2. Решите задачи.

1) Отцу и сыну вместе 65 лет. Сын родился, когда отцу было 25 лет. Какого возраста отец и сын?

Решение: Так как сын родился тогда, когда отцу было 25 лет, то разница в их возрасте будет 25 лет. Тогда 65 – 25 = 40 лет – будет удвоенный возраст сына, а значит, сыну будет 20 лет, а отцу 45.

2) Одну овцу лев съел за 2 дня, волк за 3 дня, собака за 6 дней. За сколько дней они вместе съедят овцу?Решение: 1)Т.к. лев съел овцу за 2 дня, то за 1 день он съел ½ овцы. 2)Т.к. волк съел овцу за 3 дня, то за 1 день он съел 1/3 овцы. 3)Т.к. собака съела овцу за 6 дней, за 1 день она съела 1/6 овцы. 4)Вместе лев, волк и собака за 1 день съедят ½ + 1/3 + 1/6=1, то есть 1 овцу.

3) Я задумал число, умножил его на два, прибавил три и получил 17. Какое число я задумал?

4) Играя в рулетку, Виктор удвоил количество своих денег, потом потерял 10 рублей, затем он утроил количество своих денег, и потерял 12 рублей. После этого у него осталось 60 рублей. С какой суммой он начинал игру?

5) Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый мальчик дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик даёт двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий даёт каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков, оказывается, по 8 яблок. Сколько яблок было у каждого мальчика вначале?

Ответы: У/у 1)Столько, сколько и вам. 2) Слово «неправильно». 3) Попугай или глухой, или покупатель не сказал ни одного слова. Р/з 3) число 7, 4)17 рублей.

5) Решим задачу с конца с помощью таблицы.

Номер мальчика

1

2

3

Число яблок в конце

8

8

8

Число яблок до передачи их третьим мальчиком

8:2=4

8;2=4

8+4+4=16

Число яблок до передачи их вторым мальчиком

4:2=2

4+2+8=14

16:2=8

Число яблок первоначально

2+4+7=13

14:2=7

8:2=4

Таким образом, первоначально яблок у первого, второго и третьего мальчиков было соответственно 13, 7 и 4.

Задачи для математической драки.

1. Вася задумал число, умножил его на 2, прибавил 3 и получил 17. Какое число он задумал? (2б)

Ответ. Вася задумал число 7.

Решение. Будем действовать "с конца": чтобы узнать, какое число получил Вася перед тем, как получить 17, отнимем от 17 число 3, а затем разделим результат на 2, чтобы узнать исходное число. (17-3):2=7.

2. Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша? (2б) Ответ. Алёша задумал число 10. Решение. Решение аналогично решению задачи 1. ((2х7+6):4)х3-5=10

3. В стакане находится одна бактерия. Через секунду она делится пополам. Каждая из получившихся бактерий через секунду также делится пополам и так далее. Через минуту стакан заполнился.

а) Через какое время стакан был заполнен наполовину? (3б)

б) через какое время заполнится стакан, если изначально в нем находилось 4 бактерии? (3б)

Ответ. а) За 59 секунд. б) За 58 секунд.

Решение. а) По условию задачи, каждую секунду количество бактерий в стакане удваивается. Значит, половина стакана заполнится ровно на секунду раньше, чем полный стакан, то есть за 59 секунд.

б) Заметим, что если поместить в стакан 1 бактерию, то через 2 секунды их станет ровно 4, а стакан заполнится через ещё 58 секунд. Значит, если мы сразу поместим в стакан не 1, а 4 бактерии, он заполнится за 58 секунд.

4. Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет (отдал второму), потом второй проиграл половину своих, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго - 33. Сколько монет было у первого пирата до начала игры? (5б) Ответ. У каждого пирата было по 24 монеты.

Решение. Будем рассуждать обратным путём. Перед последним ходом, у первого должно оставаться 30 монет, а у второго - 18 (в этом и только в этом случае первый, проиграв половину своих монет, сам останется с 15-ю, а капитал второго при этом повысится с 18 до 33 монет). Перед вторым ходом у второго должно было быть 18х2=36 монет (проиграет половину - останется у него 18), а у первого - 30-18=12 монет. Перед самым первым ходом у первого тогда было 12х2=24 монеты, а у второго, аналогично, 36-12=24 монеты.

5. Над озерами летели гуси. На каждом садилась половина гусей и еще полгуся, остальные летели дальше. Все гуси сели на семи озерах. Сколько было гусей? (5б) Ответ. 127 гусей.

Решение. Посмотрим, сколько гусей село на последнем озере. Так как дальше никто не полетел, то все гуси, пролетающие над седьмым озером, сели на нём. А это означает, что половина всех этих гусей, да ещё полгуся - это и есть все эти гуси. То есть половина этих гусей - это ровно полгуся. То есть на последнем озере сел ровно 1 гусь. Далее, на шестом озере село 2 гуся - если дальше полетел 1 гусь, а села половина гусей и еще полгуся, то всего летело 3 гуся. Несложно убедиться, что на пятом озере село 4 гуся, на четвёртом - 8, на третьем - 16, на втором - 32, а на первом - 64. Таким образом, всего на озёра село 1+2+4+8+16+32+64=127 гусей. А так как все гуси сели на семи озёрах, то и изначально летело 127 гусей.

6. Один Бездельник захотел получить денег и заключил сделку с Чёртом. Теперь каждый раз, когда Бездельник переходит мост через речку, количество имеющихся у него денег удваивается. Но за это он отдаёт Чёрту каждый раз по 24 копейки. Сколько денег было у Бездельника, если он прошёл по мосту 3 раза и деньги у него закончились? (8б) Ответ. У Бездельника была 21 копейка.

Решение. После того, как Бездельник в третий раз прошёл по мосту, он заплатил 24 копейки Чёрту и остался без денег. Значит, после того, как он в третий раз прошёл по мосту, у него было ровно 24 копейки, а до этого - 24:2=12 копеек. Эти деньги оказались у Бездельника, после того, как он во второй раз прошёл по мосту и заплатил Чёрту. Значит, до этого у него было (12+24):2=36:2=18 копеек. А до первого прохода по мосту, то есть в самом начале, у него была (18+24):2=42:2=21 копейка.

Дополнительные задачи

7. Древняя легенда повествует. Некогда нежная королева обещала свою руку тому из трех рыцарей, кто первый решит следующую задачу. Сколько слив в корзине, если половину всего содержимого и одну сливу она отдаст первому рыцарю, половину оставшихся и еще одну - второму и, наконец, третьему - половину оставшихся и три сливы, и после этого корзина будет пустой? (8б)

8. Три мальчика делили 120 фантиков. Сначала Петя дал Ване и Толе столько фантиков, сколько у них было. Затем Ваня дал Толе и Пете столько, сколько у них стало. И, наконец, Толя дал Пете и Ване столько, сколько у них к тому моменту имелось. В результате всем досталось поровну. Сколько фантиков было у каждого в начале? (10б)

9. Летит по небу лебедь, а навстречу ему гуси. "Здравствуйте, 100 гусей", - говорит им лебедь, а они ему отвечают: "Нас не 100! А если к нам подлетит ещё столько, сколько нас, и ещё половина, и ещё четверть, и вместе с тобой нас станет 100!". Сколько гусей летело по небу? (10б)

10. Трём братьям дали 24 бублика так, что каждый получил на 3 бублика меньше, чем ему лет. Меньший брат был сообразительным и предложил поменять часть бубликов: «Я, - сказал он, - оставлю половину бубликов, а другую разделю между вами поровну; после этого средний брат также оставит половину бубликов, а другую разделит поровну между мной и старшим братом. В конце старший брат поделит так же». Так они и сделали. Оказалось, что все получили поровну. Сколько лет каждому брату? (10б)






Название документа задачи.docx

Поделитесь материалом с коллегами:

  1. Запишите число 31, пользуясь знаками действий и: 1) пятью тройками, 2) шестью тройками, 3) пятью пятёрками.

  2. Напишите, пользуясь двумя цифрами и знаками действий, возможно меньшее число.

  3. В ящике лежат 100 синих, 100 красных, 100 зелёных и 100 фиолетовых карандашей. Сколько карандашей необходимо достать, не заглядывая в ящик, чтобы среди них обязательно нашлись, по крайней мере, 1 красный и 1 фиолетовый.

  4. . Гриша с папой ходил в тир. Уговор был такой: Гриша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать ещё два выстрела. Всего Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз Гриша попал в цель?

  5. . Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша?

  6. Старый будильник отстаёт на 8 минут за каждые 24 часа. На сколько минут надо его поставить вперёд в 20-00, чтобы он зазвонил вовремя - в 8-00 следующего утра?

  7. В стране Лимпопо 9 городов и каждые два города соединены авиалинией. Сколько всего авиалиний в стране Лимпопо?

  8. Напишите наименьшее четырёхзначное число, кратное 22 и начинающееся с цифры 5.

  9. Окрашенный кубик с ребром 6 см. распилили на кубики с ребром 1 см. Сколько будет кубиков с двумя окрашенными гранями?

  10. Питон длиной 16 м проползает через мост длиной 32 метра за 18 минут. Сколько минут ему потребуется, чтобы проползти мимо столба?

  11. Молодой человек согласился работать с условием, что в конце года он получит автомобиль Запорожец и 2600. Но по истечении 8 месяцев уволился и при расчёте получил Запорожец и 1000. Сколько стоил Запорожец?

  1. Запишите число 31, пользуясь знаками действий и: 1) пятью тройками, 2) шестью тройками, 3) пятью пятёрками.

  2. Напишите, пользуясь двумя цифрами и знаками действий, возможно меньшее число.

  3. В ящике лежат 100 синих, 100 красных, 100 зелёных и 100 фиолетовых карандашей. Сколько карандашей необходимо достать, не заглядывая в ящик, чтобы среди них обязательно нашлись, по крайней мере, 1 красный и 1 фиолетовый.

  4. . Гриша с папой ходил в тир. Уговор был такой: Гриша делает 5 выстрелов и за каждое попадание в цель получает право сделать ещё два выстрела. Всего Гриша сделал 17 выстрелов. Сколько раз Гриша попал в цель?

  5. . Алеша задумал число. Он прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число задумал Алеша?

  6. Старый будильник отстаёт на 8 минут за каждые 24 часа. На сколько минут надо его поставить вперёд в 20-00, чтобы он зазвонил вовремя - в 8-00 следующего утра?

  7. В стране Лимпопо 9 городов и каждые два города соединены авиалинией. Сколько всего авиалиний в стране Лимпопо?

  8. Напишите наименьшее четырёхзначное число, кратное 22 и начинающееся с цифры 5.

  9. Окрашенный кубик с ребром 6 см. распилили на кубики с ребром 1 см. Сколько будет кубиков с двумя окрашенными гранями?

  10. Питон длиной 16 м проползает через мост длиной 32 метра за 18 минут. Сколько минут ему потребуется, чтобы проползти мимо столба?

  11. Молодой человек согласился работать с условием, что в конце года он получит автомобиль Запорожец и 2600. Но по истечении 8 месяцев уволился и при расчёте получил Запорожец и 1000. Сколько стоил Запорожец?



Название документа игра бизнесмен(правила).doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Игра «Математик – бизнесмен». Приложение 14

Правила игры.

В игре участвуют две и более команд, каждая из которых представляет правление банка. Игроки каждой команды выбирают себе президента банка, т.е. капитана команды.

Президент имеет право принимать окончательное решение по данному заданию игры.

Командам предлагается по очереди выбирать себе задания различной стоимости (от 50р. До 200р.) в зависимости от сложности.

Стартовый капитал каждой команды – 500р.

Если команда даёт правильный ответ, то её капитал увеличивается на стоимость задания. Если ответ неправильный, то:

а) капитал уменьшается на 100% стоимости задания, если другая команда даёт правильный ответ;

б) капитал уменьшается на 50% стоимости задания, если другая команда не сможет ответить правильно.

Команда может продать своё задание сопернику или купить его задание по взаимному согласию

На обдумывание задания даётся от 1 до 5 минут в зависимости от сложности.

Игра считается оконченной, если одна из команд обанкротилась или закончились все задания.

Победителем объявляется тот, в чьём банке будет больше «денег» по окончании игры.



Название документа логические задачи.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: «Логические задачи»

Цель: Развитие у учащихся смекалки, сообразительности, умения рассуждать.

Задача №1. Сколько существует натуральных чисел?

Сколько существует натуральных чисел, меньших 100, которые:
а) делятся одновременно на 2 и на 3?
б) делятся на 2, но не делятся на 3?
в) делятся на 3, но не делятся на 2?
г) делятся на 3, или на 2 (по крайней мере на одно из этих двух чисел)?
д) не делятся ни на 2, ни на 3?

Решение: а) Среди первых 99-ти натуральных чисел делятся на 2 и на 3, т.е. делятся на 6 [99: 6] = 16 чисел.

б) Чисел, делящихся на 2 (четных), среди первых 99-ти [99: 2] = 49 . Среди этих чисел есть 16, которые делятся и на 3. Поэтому чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3, в рассматриваемом интервале всего 49 - 16 = 33.

в) Чисел, делящихся на 3, в рассматриваемом интервале 99 : 3 = 33. 16 из них делятся также и на 2. Поэтому, чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2, всего 33 - 16 = 17.

г) Количество чисел, которые делятся и на 2 или на 3, определим, добавив к 49 четным числам 17 чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2 : 49 + 17 = 66.

д) Всего в рассматриваемом интервале 99 чисел, из них 66 делятся либо на 2, либо на 3. Остается 99 - 66 = 33 числа, которые не делятся ни на 2, ни на 3.

Задача № 2. Какая монета тяжелее?

Из 60-ти одинаковых по виду монет одна отличается от других по массе.
Двумя взвешиваниями на рычажных весах без гирь определить, легче она или тяжелее?

Решение: Разделим подлежащие проверке монеты на 3 равные группы, одну из которых используем в качестве контрольной.

При первом взвешивании кладем на чаши весов по 20 монет.

В случае равновесия, заключаем, что некондиционная монета - в третьей группе.

Убрав монеты с одной из чаш и поместив туда монеты третьей группы, определим, как соотносятся массы настоящей и фальшивой монет. Если при первом взвешивании перевесит одна из чаш, то, заменив монеты, на этой чаше монетами третьей группы (здесь все монеты настоящие),

мы определим, легче ли некондиционная монета настоящей (если чаша с монетами, оставшимися на весах после первого взвешивания, вновь поднимется), либо тяжелее (если весы уравновесятся).

Задача № 3. Лидер оппозиции и логика

В парламенте некоторой страны две палаты, имеющие равное число депутатов.
В голосовании по важному вопросу приняли участие все депутаты, причем воздержавшихся не было. Когда председатель сообщил, что решение принято с преимуществом в 23 голоса, лидер оппозиции заявил, что результаты голосования сфальсифицированы. Как это он понял?

Решение: Общее число депутатов в парламенте - четное (в обеих палатах равное число депутатов). Следовательно, четно суммарное число депутатов, голосовавших за принятие решения и против. Но при четной сумме двух величин четна и их разность. Поэтому, преимущество в 23 голоса. Т.е. разность между числом депутатов, голосующих за принятие решения, и числом депутатов, голосующих против есть не что иное, как фальсификация (либо, что менее вероятно, ошибка при подсчете голосов).

Задача № 4. Задача Костиного дедушки

Доказать, что полусумма двух последовательных простых чисел, начиная с 3, число составное.

Решение: zad2.gifВсе простые числа, начиная с 3, - нечетные. Поэтому сумма двух простых чисел, больших 2, - число четное, и полусумма этих чисел (или их среднее арифметическое) - целое число. Среднее арифметическое двух чисел больше меньшего из чисел и меньше большего и располагается на числовой оси между этими числами. Поскольку взяты последовательные простые числа, то между ними всегда находится число составное.

Задача №5. Один мальчик и одна девочка ответили правильно

Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: "Это число 9". Роман: "Это простое число". Катя: "Это четное число". А Наташа сказала, что это число -15. Назовите это число, если и девочки, и мальчики ошиблись ровно по одному разу.
( A)1; (B) 2; (C) 3; ( D ) 9; ( E ) 15;

Решение: Предположим, что Коля прав. Тогда обе девочки неправы, так как 9 не равно 15 и 9 - нечетное число, а это противоречит условию задачи. zadacha-kenguru-56-log-5t.jpgОстается, что прав Роман и тогда не права Наташа, так как 15 не простое число. Остается предположить, что искомое число простое и четно (так как Катя права), а это только 2. Проверка подтверждает, что условие соблюдено.
Итак, верно (В).

Задача №6. Сколько серых мышей у Йозефа?

У Йозефа 100 мышей, некоторые из них белые, некоторые - серые.

Известно, что хотя бы одна мышь серая, а из двух мышей хотя бы одна - белая.

Сколько серых мышей у Йозефа?

(A) 1;   (B) 49;   (C) 50;   (D) 99;   (E) невозможно определить

Решение: Вариант 1. Устроим перебор пар мышей так, чтобы одна мышь серая (упомянутая в условии), а другая, - какая придется. Из условия следует, что все мыши, которых мы присоединяем к серой - белого цвета. Ответ: (А) (одна мышь серая).

Вариант 2. Предположим, что имеются две, или более серых мышей.

В этом случае существует, по меньшей мере, пара мышей серого цвета, что противоречит условию. Следовательно, предположение наше ошибочно и в хозяйстве Йозефа имеется лишь одна серая мышь, факт существования которой оговорен условием.

Задача №7. Что вырастет у рассеянной хозяйки?

У рассеянной хозяйки есть три ящика для рассады с надписью "Огурцы", "Цветы" и "Ромашки". Она посадила семена ромашек, огурцов и колокольчиков в эти ящики так, что все надписи оказались неверными. Что вырастет в ящике с надписью "Ромашки"? (A) огурцы;  (B) колокольчики;   (C) ромашки;   (D) нельзя определить;  (E) арбузы.

Решение: В силу своей рассеянности, хозяйка не могла посадить в ящик с названием "Цветы" ни ромашки, ни колокольчики. Следовательно, она посадила в этом ящике огурцы. Теперь осталось ей посадить ромашки и колокольчики. Для них осталось два ящика с надписями: "Ромашки" и "Огурцы". Но рассеянная хозяйка не посадила ромашки в ящик с названием "Ромашки", как они того они заслуживали, а посадила их в ящик под названием "Огурцы". А колокольчики она посадила в ящик с надписью "Ромашки". Так что в ящике с названием "Ромашки" у нее вырастут колокольчики. Верный ответ - (B).

Задача №8. Кто ближе к сыру: кошка или мышка?

Когда идет дождь, кошка сидит в комнате или в подвале. Когда кошка в комнате, мышка сидит в норке, а сыр лежит в холодильнике. Если сыр на столе, а кошка - в подвале, то мышка в комнате. Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе. Тогда обязательно:
(A) кошка в комнате;  (B) мышка в норке;  (C) кошка в комнате или мышка в норке;  (D) кошка в подвале, а мышка в комнате.

Сначала поищем, где сидит кошка в этот дождливый день. По условию задачи, она может быть в двух местах: в комнате или в подвале. Но в комнате кошка не может быть, так как сыр не лежит в холодильнике (он лежит на столе). Следовательно, кошка находится в подвале. Итак, нам известно, что сыр лежит на столе, а кошка - в подвале. По условию, в этом случае мышка - в комнате. Верный ответ - (D).

Задача №9. Кто сидит рядом с мамой Мари?
На скамейке сидит Мари, ее мама, бабушка и кукла. Бабушка сидит рядом с внучкой, но не рядом с куклой. Кукла не сидит рядом с мамой. Кто сидит рядом с мамой Мари? (A) Мари; (B) бабушка; (C) Мари и бабушка; (D)Мари и кукла; (E) бабушка и кукла.

Решение: С бабушкой, по условию, сидит внучка. То есть остается пристроить куклу и маму. Поскольку кукла не может сидеть рядом с мамой, то кукла и мама сидят по разные стороны от бабушки с внучкой. Остается, что бабушка сидит рядом с мамой. Легко проверить, что эти расположения удовлетворяют условию. Верный ответ - (В).


Название документа числовые ребусы.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: «Числовые ребусы»

Цель: рассмотреть задачи, где одинаковые цифры обозначаются одинаковыми буквами. Если ответов несколько, то требуется найти их все. Развивать логическое мышление, внимание, вырабатывать собственную систему эвристических приёмов, позволяющих решать незнакомые задачи.

Игра «Математик – бизнесмен».

  1. Задания, стоимостью 50 рублей.

(знаки умножения, деления и скобки не применять; напоминаем, что в этой главе при пооперационных вычислениях не должны получаться числа, большие, чем 10; во всех числовых выражениях цифры должны располагаться по порядку слева направо, начиная с единицы)

1. Представьте число 0 посредством нескольких последовательно расположенных цифр и знаков "плюс" и "минус" (как уже отмечалось, во всех подобных задачах данного раздела получившееся числовое выражение должно начинаться с цифры 1). Укажите два способа.

2. Изобразите таким же образом единицу (запись в виде одной цифры 1 в подобных задачах не допускается). Сколько цифр в получившемся числовом выражении?

3. Двумя способами выразите число 2 с помощью некоторого количества значащих цифр.

4. Напишите подобным же образом число 3. Также найдите два способа.

5. Представьте четвёрку посредством нескольких последовательно расположенных цифр.

6. Выразите таким же образом число 5.

7. Изобразите число 6 с помощью некоторого количества значащих цифр.

8. Напишите подобным же образом число 7.

9. Представьте восьмёрку через несколько последовательно расположенных цифр. Сколько цифр в получившемся числовом выражении?

10. Двумя способами изобразите число 9 с помощью некоторого количества значащих цифр.

11. Выразите подобным же образом число 10. Сможете ли вы указать два способа?

Ответы: 1. 1 + 2 – 3; 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

2. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6; шесть.

3. 1 + 2 + 3 – 4; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7 – 8.

4. 1 + 2; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6. 5. 1 + 2 – 3 + 4.

6. 1 + 2 + 3 + 4 – 5. 7. 1 + 2 + 3. 8. 1 + 2 + 3 – 4 + 5.

9. 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7; семь.

10. 1 + 2 – 3 + 4 + 5; 1 + 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + 7 – 8 + 9.

11. 1 + 2 + 3 + 4; 1 + 2 – 3 + 4 + 5 – 6 + 7.

  1. Задания стоимостью 100 рублей.

1) Разделить число 181 пополам так, чтобы в результате получилась 1. ( Провести дробную черту).

2) Петух, стоя на одной ноге, весит 5 кг. Сколько он будет весить, если встанет на обе. Ответ: 5 кг.

  1. Часы с боем отбивают один удар за одну секунду. Сколько времени потребуется часам, чтобы отбить 12 часов? Ответ: 11 секунд.

  2. В семье у каждого из шести братьев есть по сестре. Сколько детей в этой семье? Ответ: 7.

3. Задания стоимостью 180 рублей.

Задача 1. Какую цифру заменяет квадратик?

В примере на сложение:

hello_html_m7448dd2.gifhello_html_m7448dd2.gif+ + ○○ = Δ Δ Δ

различные фигурки заменяют различные цифры. Какую цифру заменяет квадратик?

(A) 9; (B) 8; (C) 7; ( D ) 6; (E) 5;

Ответ: Максимальное значение суммы трех наших слагаемых равно 9 + 9 + 99 = 117. Значит, Δ Δ Δ = 111.

Минимальное значение числа ○○ равно 111 - 9 - 9 = 93, а само число равно 99.

На долю одного квадратика приходится (111 - 99) : 2 = 6.

Ответ - (D).


Задача 2. Заполните свободные клетки!

Заполните свободные клетки "шестиугольника" целыми числами от 1 до 19,

чhello_html_m6397718d.pngтобы во всех вертикальных и диагональных рядах сумма чисел, стоящих в одном ряду, была бы одна и та же.


Сумма чисел от 1 до 19 равна (1+19)· 19:2=190.

Все числа требуется расставить в пять рядов по одному из трех направлений (одна вертикаль и две диагонали).

Следовательно, сумма чисел в одном ряду равна 190:5=38.

hello_html_m6d6d29d0.pngЗаполнение свободных клеток начинаем с рядов, в которых не хватает одного числа.

Это число должно дополнить сумму имеющихся в ряду чисел до 38. 1) 16+3=19; 38-19=19. 2) 18+3=21; 38-21=17. 3) 18+9=27; 38-27=11.

Рhello_html_47f6e6f6.pngассмотрим диагональ, на которой расположены числа 10, 1, 18. Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 9. Это могут быть только 4 и 5.

Теперь рассмотрим ту диагональ, на которой расположены числа 16, 2, 9. Две пустые клетки на ней должны занимать два числа с суммой 11. Это могут быть только 5 и 6.

Значит, в центре стоит 5, а вторые числа на диагоналях — соответственно 4 и 6. Теперь уже можно однозначно заполнить всю таблицу.

Задача 3. Расставьте цифры!

Расставьте цифры 1, 2, 3, ..., 8 в клетки неполного квадрата так,

чhello_html_268dd45e.pngтобы получить одинаковые суммы по горизонталям, вертикалям и большой диагонали.

Ответ:


Сумма цифр, которые надо расставить в клетках квадрата, равна :

1 + 2 + 3 + ... + 8= [(1 + 8) · 8] :2 = 36.

При равенстве сумм в строках, (в столбцах) сумма в строке, в столбце, а также на большой диагонали составит 36 : 3 =12.

Сумму 12 в неполных строке и столбце можно набрать из имеющихся цифр двумя способами : 4 + 8 = 5 + 7 = 12.

Цифра 8 не может находиться на большой диагонали, поскольку на другом конце диагонали могут быть только цифры 5, либо 7 (оба конца большой диагонали принадлежат неполным строке и столбцу).

Ставим на одном конце диагонали цифру 4, на другом - 5 (или 7 - оба варианта идентичны).

В центральную клетку квадрата помещаем цифру 3, обеспечивая сумму цифр 12 по большой диагонали. Дальнейшее заполнение не представляет трудности.

Решение ребусов.

Требуется расшифровать запись арифметического равенства, в котором цифры заменены буквами, причем разные цифры заменены разными буквами, одинаковые - одинаковыми. Предполагается, что исходное равенство верно и записано по обычным правилам арифметики. В частности, в записи числа первая слева цифра не является цифрой 0; используется десятичная система счисления.
Сложение
№1. Животноводческий ребус
Б + Б Е Е Е = М У У У
Решение. Так как при сложении данных чисел цифра Е в разряде десятков поменялась на цифру У, то суммой однозначных чисел Б и Е является двузначное число, начинающееся с единицы. Так как помимо увеличения на единицу цифры в разряде десятков также изменилась и цифра в разряде сотен, то Е = 9, Б = 1, У = 0. Ответ.1 + 1999 = 2000
.
2. Кока-Кола

+

К

О

К

А

К

О

Л

А


_______

В

О

Д

А

3. Драма

+

У

Д

А

Р

У

Д

А

Р

_________

Д

Р

А

М

А

4. Кросс

+

С

П

О

Р

Т

С

П

О

Р

Т



К

Р

О

С

С


№5. Собаки

+

Б

А

Р

Б

О

С


Б

О

Б

И

К


_______

С

О

Б

А

К

И

6. Дружба

+

А

Н

Д

Р

Е

Й


Ж

А

Н

Н

А


______

Д

Р

У

Ж

Б

А

7. Молоко. Докажите, что у ребуса нет ни одной расшифровки.

+

К

О

Р

О

В

А


Т

Р

А

В

А


________

М

О

Л

О

К

О

8. Удача

+

Т

Р

У

Д

В

О

Л

Я

_________

У

Д

А

Ч

А

Дополнительное условие: числа ТР и ВО делятся на 13.
№9. Реши, если силен

+

Р

Е

Ш

И

Е

С

Л

И

_________

С

И

Л

Е

Н


№10. Класс

+

С

Т

О

Л

С

Т

У

Л

_________

К

Л

А

С

С


№11. Коля и Оля.
К + О + Л + Я = О Л - Я
Расшифруйте при дополнительном условии: К + О + Л + Я = 21.

Расшифруйте без этого дополнительного условия (более 10 ответов).






57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 18.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров4775
Номер материала ДВ-073783
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх