Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Тесты / Логические задачи по ЕНТ

Логические задачи по ЕНТ


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Землекопы

Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы. Сколько потребуется землекопов, для того чтобы выкопать 100 м канавы за 100 часов?

Понадобятся те же пять землекопов, не больше. В самом деле, пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы; значит, пять землекопов за 1 час вырыли бы 1 м канавы, а в 100 часов — 100 м.


Деревенский дурачок

Люди, приезжавшие в одну деревушку, часто удивлялись местному дурачку. Когда ему предлагали выбор между блестящей 50-центовой монетой и мятой пятидолларовой купюрой, он всегда выбирал монету, хотя она стоит вдесятеро меньше купюры. Почему он никогда не выбирал купюру?

"Дурачок" был не так глуп: он понимал, что, пока он будет выбирать 50-центоную монету, люди будут предлагать ему деньги на выбор, а если он выберет пятидолларовую купюру, предложения денег прекратятся, и он не будет получать ничего.


Кольцо вокруг Земли

Образно представьте себе нашу планету, плотно стянутую кольцом по всему ее экватору. После увеличения длины окружности кольца на 10 метров, между кольцом и поверхностью земли образовался зазор определенной величины. Как Вы считаете, сможет ли человек пройти, или хотя бы протиснуться в этот зазор?
Известно, что экватор имеет длину приблизительно равную 40 000 километров.

Для решения данной задачи достаточно элементарных знаний геометрии. Изначально может показаться, что увеличение длины кольца на 10 метров, по сравнению с его длиной в 40 000 км будет способствовать образованию практически незаметного зазора. Однако, исходя из формулы определения длины окружности L=2πR видно, что радиус Земли (кольца) R= L/2π и при увеличении длины кольца на 10м, его радиус приблизительно увеличиться на 1,59м (10м/6,28), образуя соответствующий зазор, в который человек сможет не только протиснуться, но и даже пройти, немного нагнувшись.



Коробки с конфетами

Пете и Коле купили по коробке конфет. В каждой коробке находится 12 конфет. Петя из своей коробки съел несколько конфет, а Коля из своей коробки съел столько конфет, сколько осталось в коробке у Пети. Сколько конфет осталось на двоих у Пети и Коли?

12 конфет.


Школьный инспектор

Инспектор, проверявший некую школу, заметил, что, когда бы он ни задал классу вопрос, в ответ тянули руки все ученики. Более того, хотя школьный учитель каждый раз выбирал другого ученика, ответ всегда был правильным. Как это получалось?

Учитель предварительно договорился с учениками, чтобы они вызывались отвечать независимо от того, знают ответ или не знают. Но те, кто знает ответ, должны поднимать правую руку, а те, кто не знает, — левую. Учитель каждый раз выбирал другого ученика, но всегда того, кто поднимал правую руку.


О лифте

Человек живет на 17-м этаже. На свой этаж он поднимается на лифте только в дождливую погоду или тогда, когда кто-нибудь из соседей с ним едет в лифте. Если погода хорошая и он один в лифте, то он едет до 9-го этажа, а дальше до 17-го этажа идет пешком по лестнице... Почему?

Этот человек - лилипут, и до кнопки 17-го этажа дотягивается только зонтиком или просит кого-нибудь нажать на эту кнопку.


Флаг на воздушном шаре

Воздушный шар уносится непрерывным ветром в южном направлении. В какую сторону развиваются при этом флаги на его гондоле?

Шар, уносимый воздушным течением, находится по отношению к окружающему воздуху в покое; поэтому флаги не станут развиваться на ветру ни в какую сторону, а будут свисать, вниз, как в безветрие.


Два шнура

У Вас есть два шнура (фитиля). Каждый шнур, подожженный с конца, полностью сгорает дотла ровно за один час, но при этом горит с неравномерной скоростью. Как при помощи этих шнуров и зажигалки отмерить время в 45 минут?

Необходимо поджечь первый шнур одновременно с обоих концов - получаем 30 минут. Одновременно с первым шнуром поджигаем второй шнур с одного конца, и когда первый шнур догорит (30 минут),- поджигаем второй шнур с другого конца (оставшиеся 15 минут).



Форма яйца

Считается, что есть веская причина, по которой у птичьих яиц один конец тупее другого. Что это за причина?

Сферические и овальные яйца катились бы по прямой. Асимметричные же яйца, у которых один конец тупее, а другой острее, при скатывании стремятся катиться по кругу. Если яйцо лежит на краю обрыва или в другом ненадежном месте, стремление катиться по кругу, а не по прямой — большое преимущество.


Переправа

Имеется круглое глубокое озеро диаметром 200 метров и два дерева, одно из которых растет на берегу у самой воды, другое - по центру озера на небольшом островке. Человеку, который не умеет плавать, нужно перебраться на островок при помощи веревки, длина которой чуть больше 200 метров. Как ему это сделать?

Привязав веревку одним концом к дереву, растущему на берегу, необходимо обойти с веревкой озеро по окружности и привязать второй конец веревки к тому же дереву. В результате между деревьями будет натянута сдвоенная веревка для переправы на остров.

Кувшинки на пруду

На поверхности пруда плавает одна кувшинка, которая постоянно делится и разрастается. Таким образом, каждый день площадь, которую занимают кувшинки, увеличивается в два раза. Через месяц покрытой оказывается вся поверхность пруда. За сколько времени покроется кувшинками вся поверхность пруда, если изначально на поверхности будут плавать две кувшинки?

Две кувшинки покроют озеро за месяц минус один день.


Сумма чисел

В XIX веке один учитель задал своим ученикам вычислить сумму всех целых чисел от единицы до ста. Компьютеров и калькуляторов тогда еще не было, и ученики принялись добросовестно складывать числа. И только один ученик нашел правильный ответ всего за несколько секунд. Им оказался Карл Фридрих Гаусс - будущий великий математик. Как он это сделал?

Он выделил 49 пар чисел: 99 и 1, 98 и 2, 97 и 3 ... 51 и 49. В сумме каждая пара чисел равнялась ста, и оставалось два непарных числа 50 и 100. Следовательно, 49х100+50+100=5050.


Притягательные игрушки

В детской больнице юные пациенты очень любили играть с очаровательными плюшевыми мишками, которые были там. К сожалению, детям они так сильно нравились, что мишки стали исчезать: малолетние пациенты уносили их домой. Как руководство больницы решило эту проблему?

Всем мишкам сделали повязки и говорили маленьким детям, что мишкам нужно оставаться в больнице, чтобы вылечиться. Дети с грустью, но с сочувствием соглашались.



Король и премьер-министр

Один король хотел сместить своего премьер-министра, но при этом не хотел его слишком обидеть. Он позвал премьер-министра к себе, положил при нем два листка бумаги в портфель и сказал: "На одном листке я написал "Уходите", а на втором — "Останьтесь". Листок, который вы вытащите, решит вашу судьбу". Премьер-министр догадался, что на обоих листках было написано "Уходите". Как же, однако, умудрился он при этих условиях сохранить свое место?

Премьер-министр вытащил листок бумаги и, не глядя на него, скатал из него шарик — и проглотил. Поскольку на оставшемся листке стояло "Уходите", то королю пришлось признать, что на проглоченном листке значилось "Останьтесь".


Пожар на острове

Человек находится на острове. Из-за долгой засухи трава и кусты на острове сильно пересохли. Внезапно на одном конце острова возник пожар, и ветер погнал огонь в сторону человека. Спастись в море человек не может, так как в море у самого берега плавает множество акул. Берегов без растительности на острове нет. Как человеку спастись?

Человеку нужно зажечь огонь на подветренной от себя стороне и немного отойти навстречу основному пожару. Ветер погонит огонь, зажженный человеком, к подветренному концу острова. Когда этот участок выгорит, человек сможет вернуться на него и спокойно ждать, пока основной пожар дойдет до этого участка и погаснет, так как гореть уже будет нечему.


Фальшивая монета

На столе лежат девять монет. Одна из них — фальшивая. Как при помощи двух взвешиваний можно найти фальшивую монету? (Фальшивая монета легче настоящих.)

Первое взвешивание: на каждую чашку весов кладем по три монеты. Если весы уравновешены, то для второго взвешивания берутся две из трех оставшихся монет. Если фальшивая монета на весах, то ясно, на какой она чашке весов. Если же весы уравновешены, то фальшивой является оставшаяся не взвешенная монета. Если при первом взвешивании одна из чашек перевешивает другую, то фальшивая монета находится среди монет, вес которых оказывается меньше. Тогда вторым взвешиванием устанавливаем, какая из монет фальшивая.


Производство обуви

Владельцами одной известной фирмы по производству обуви, было внедрено довольно необычное оригинальное решение, согласно которому в одном городе на обувной фабрике изготавливались только правые ботинки, а в другом городе – только левые. Благодаря этому внедрению, фирма смогла значительно снизить некоторые свои убытки. Что, по Вашему мнению, приносило фирме эти убытки?

Воровство обуви (пар обуви) рабочими с фабрик.


Необычное предложение

Что необычного в предложении "The quick brown fox jumps over the lazy dog"? (Перевод: быстрая коричневая лиса перепрыгнула через ленивую собаку).

Это предложение содержит все буквы английского алфавита.



Назадачливый рыбак

Один рыбак купил себе новую удочку длиной 5 футов. Домой ему приходиться добираться общественным транспортом, в котором правилами запрещено перевозить предметы длиной более 4-х футов. Как необходимо упаковать удочку, чтобы проехать в общественном транспорте не нарушая правил?

Удочку необходимо упаковать в коробку длиной 4 фута и шириной 3 фута (расположить по диагонали коробки).


Переправа через реку

Отец с двумя сыновьями отправился в поход. На их пути встретилась река, у берега которой находился плот. Он выдерживает на воде или отца, или двух сыновей. Как переправиться на другой берег отцу и сыновьям?

Вначале переправляются оба сына. Один из сыновей возвращается обратно к отцу. Отец перебирается на противоположный берег к сыну. Отец остается на берегу, а сын переправляется на исходный берег за братом, после чего они оба переправляются к отцу.

Взвешивание крупы

Имеется 9 кг крупы и чашечные весы с гирями в 50 г и 200 г. Попробуйте в три приема отвесить 2 кг этой крупы.

Нужно развесить крупу на две равные части по 4,5 кг; затем развесить одну из этих частей еще раз пополам, то есть по 2,25 кг, и от одной из этих частей отнять при помощи двух имеющихся гирь 250 г. Таким образом, Вы получите вес в 2 кг.


Новые таблички

В одном городе построили новый район из 100 домов. Мастера по изготовлению табличек изготовили и привезли пачку новых табличек с нумерацией домов от 1 до 100. Сосчитайте количество всех цифр 9 встречающихся в этих табличках (цифры 9 и 6 являются разными цифрами).

Правильный ответ - 20 девяток.


Кто изображен на портрете?

Один джентльмен, показывая своему другу портрет, нарисованный по его заказу одним художником, сказал: "У меня нет ни сестер, ни братьев, но отец этого человека был сыном моего отца".
Кто был изображен на портрете?

На портрете изображен сын этого джентльмена.



Погремушки

Многие средневековые русские актёры (скоморохи) веселящие народ в ту пору, во время своих выступлений использовали погремушки, изготовленные из бычьего пузыря и находящихся внутри него плодов одного растения.
Плоды, какого растения использовались при изготовлении этих погремушек?

Плоды гороха - (“шут гороховый”).


Сколько страниц в книге?

При издании книги потребовалось 2 775 цифр того, чтобы пронумеровать ее страницы. Сколько страниц в книге?

На первые 9 страниц требуется 9 цифр. С 10-й по 99-ю страницу (90 страниц) требуется 90х2=180 цифр. С 100-й по 999-ю страницу (900 страниц) требуется 900х3=2700 цифр (по 300 цифр на каждую сотню страниц с трехзначной нумерацией). Следовательно, на 999 страниц необходимо 2700+180+9=2889 цифр. Мы перебрали (2889-2775)/3=38 страниц. Итого: 999-38=961 страница была в книге.


Находчивый таможенник

Служащему таможни, где производился контроль отправляемых за границу товаров, показались подозрительными пластмассовые кегельные шары одной из фирм. Они весили столько же, сколько деревянные того же размера. Шары не были массивными, но стенки были повсюду одинаково тверды. Служащий подумал, что внутри каждого шара имеется полость, где можно спрятать контрабандные товары. И, действительно, при помощи очень простого опыта без применения особой аппаратуры таможенник установил, что в одном из 12 шаров спрятана контрабанда. Когда шар вскрыли, там оказалось брильянтовое украшение. Как удалось обнаружить этот шар?

Таможенник опустил шары в ведро с водой. Один из шаров неустойчиво покачивался на поверхности — центр тяжести его находился не в центре шара. Именно в этом шаре были спрятаны драгоценности.


Приготовление краски

Для того чтобы получить краску оранжевого цвета, необходимо смешать краски желтого цвета (6 частей) и красного цвета (2 части). Сколько грамм краски оранжевого цвета можно получить (максимально), имея в наличии 3 грамма желтой и 3 грамма красной краски?

Из условия задачи видно, что желтой краски требуется в 3 раза больше, чем красной. Следовательно, имея в наличии 3 грамма желтой краски, необходимо взять 1 грамм красной краски. То есть оранжевой краски при смешивании получиться 4 грамма.


Ключи и замки

Имеется три ключа от трех чемоданов с различными замками. Каждый ключ подходит только к одному чемодану. Достаточно ли трех проб, чтобы подобрать ключи к каждому из них?

Достаточно. Обозначим ключи буквами А, В, С, а замки М, К, Р. Тогда первая проба может дать, например, такой результат: ключ А не подходит к замку М. Это означает, что он подходит к замку К или к замку Р. Вторая проба: ключ В не подходит к замку М. Тогда ясно, что: а) ключ В подходит к замку К или к замку Р; б) к замку М подходит ключ С. Третья проба ставит все на свои места: если к замку К не подходит ключ А, то к нему подходит ключ В, а ключ А подходит к замку Р. Если же первая проба дает результат такой, что ключ А подходит к замку М, то тогда достаточно второй пробы, чтобы установить, какой из оставшихся ключей к какому замку подходит.



Стеклянные шары

Имеются: два одинаковых стеклянных шара и один 100 этажный дом. Известно что: шары начинают разбиваться при ударе о землю, падая с определенного этажа. Как определить минимальное количество сбрасываний этих шаров с различных этажей, за которые можно гарантированно найти этот самый этаж?

Первый шар сбрасываем (пока на разобьется) с 14-го, 27-го 39-го, 50-го, 60-го, 69-го, 77-го, 84-го, 90-го, 95-го, 99-го этажей. Если, например шар разбился при сбрасывании с 69-го этажа, то вторым шаром производим сбрасывания с этажей располагающихся в интервале между 60-м и 69-м этажами. В этом и любом другом случае, минимальное количество сбрасываний шаров будет равняться 14-ти.


Остывший кофе

Вы собрались попить кофе с молоком, и успели налить в стакан только кофе. Но вас просят отлучиться на несколько минут. Что надо сделать, чтобы при вашем возвращении кофе был горячее: налить в него молоко сразу перед уходом или после, когда вы вернетесь, и почему?

Скорость охлаждения пропорциональна разности температур нагретого тела и окружающего воздуха. Поэтому следует сразу несколько охладить кофе, влив в него молоко, чтобы дальнейшее остывание происходило медленнее.


























Задача о дележе наследства


В Казахстане некоторые деятели от образования стремятся внедрить в тесты ЕНТ так называемые логические задачи. Они считают, что эти задачи дадут возможность проверить логическое мышление будущих студентов.http://egeent.ucoz.ru/ENT2012/zadach_delezhe/86b46aebf822.jpg


Как всегда все начинается с благих намерений, а кончается ... . В этой статье рассмотрим решение одной из таких задач, а точнее одного из таких тестовых заданий с пятью ответами для выбора правильного среди них.


Вот это тестовое задание.


Завещание:


Если родится сын, ему достанется 2/3 всего состояния, жена получит 1/3 состояния;

Если родится дочь, ей достанется 1/3 всего состояния, жена получит 2/3 состояния;


Какую часть состояния получит жена,если родятся сын и дочь?


А) 3/4 B) 1/5 C) 2/7 D) 4/3 E) 4/7


Решение.


Среди ответов мне очень понравился ответ D). Согласно этого ответа жена получит 4/3 всего состояния, т. е. больше чем само состояние. Чудны дела твои господи ... !


Однако перейдем от шуток составителей этого задания к делу.


Из условия задания следует, что жена получает вдвое меньше чем сын и вдвое больше чем дочь. Значит, <доля сына>:<доля матери>:<доля дочери> = 4: 2 : 1. Поэтому в нашем случае жена получит 2 доли из 7, т. е. 2.7.


Ответ: 2/7.

Вот и вся задача на проверку логического мышления учащихся. Мне же эта задача напоминает задания из сборников логических упражнений "Решаем на досуге" типа "Математическая шкатулка", которые никакого отношения к школьному курсу математики не имеют.




1.В семье трое детей: 2 мальчика и девочка. Их имена начинаются с букв А,В,Г. Среди А и В есть начальная буква имени одного мальчика, а среди В и Г – начальная буква имени другого мальчика. С какой буквы начинается имя девочки?

2.Четыре брата Юра, Петя, Вова, Коля учатся в 1,2,3,4 классах. Петя- отличник, младшие братья стараются брать с него пример. Вова учится в 4 классе. Юра помогает решать задачи брату. Кто в каком класе учится?

3.Три поросенка построили три домика из соломы, из прутьев, из камней. Каждый из них получил один домик: Ниф-Ниф – не из камней, и не из прутьев; Нуф-Нуф не из камней. Какой домик достался Наф-Нафу.

4.На улице, став в кружок, беседуют четыре девочки – Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зелёном платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом и Валей. Какое платье носит каждая из девочек?

5. Ваня, Петя, Саша и Коля носят фамилии, начинающиеся на буквы В, П, С и К. Известно, что

Ваня и С. – отличники,

Петя и В. – троечники,

В. ростом выше П.,

Коля ростом ниже П.,

Саша и Петя имеют одинаковый рост.

На какую букву начинается фамилия каждого мальчика?

6. Четыре ученицы: Мария, Нина, Ольга и Полина – участвовали в лыжных соревнованиях и

заняли четыре первых места. На вопрос, кто какое место занял. Они дали три разных ответа:

- Ольга заняла первое место, Нина – второе.

- Ольга – второе, Поля- третье.

- Мария- второе, Поля- четвёртое.

Отвечавшие при этом признали, что одна часть каждого ответа верна, а другая - неверна. Какое место заняла каждая из учениц?

Ответы

1.Имя девочки начинается с буквы В

2.Вова – 4кл, Петя – 3кл, Юра – 2 кл., Коля – 1 кл.

3.Наф-наф из камней, Ниф-Ниф из соломы, Нуф- Нуф из прутьев

4.Аня в белом, Валя в голубом, Галя в зеленом, Надя в розовом

5.Ваня П., Петя К., Саша В., Коля С.

6.Оля -1, Мария -2, Поля – 3, Нина -4











Секрет решения задач по математике №1

Преобразование выражений

Тестовые задания на преобразование выражений на тестах ЕНТ, да еще при наличии ответов для выбора правильного среди них - этот тот материал, на котором можно сэкономить время. Как быстро и правильно решать такие задания - тема нашего урока.

Пример 1. Упростите: [cos(α + 32o) + cos(α - 28o)]/cos(88o- α)

1)-3; 2)√3; 3) √3/2; 4)-√3/2; 4) 1.

Решение.Хорошо тому, кто помнит формулу преобразования суммы косинусов в произведение.А если забыл ее (честнее - не знал, так как вовремя не выучил). Как быть в этом случае? На уроке математики, конечно, получите заслуженную "двойку",а при решении этого тестового задания можно выкрутиться.

Обратим внимание на то, что правильный ответ не должен зависеть от значенияα. Тогда,подставив в данное выражение вместо α, например, 28о,получим (cos60o+ 1)/cos60o. Шерлок Холмс в этой ситуации сказал бы, что задача решена - правильный ответ 2). Его верный друг Ваттсон, конечно,попросил бы объяснить этот странный выбор. Действительно, числитель полученного выраженияcos60o + 1 явно больше 1, а его знаменатель cos60o-меньше 1 (дробь), а при делении числа на дробь результат увеличивается(это знают даже дети из 4-5 классов). Значит, ответ должен быть больше 1.Таковым является только ответ 2.

А вот еще один пример, рассчитанный такого ученика, который не теряется в любых ситуациях.

Пример 2. Найдите значение выражения (4y2- 3xy + x2)/(x2 - xy + y2),если x/y = 2.

1) 2/3; 2)3/2; 3) 1; 4)-2/3 5) -3/2.

Здесь также в дело пустим ответы, которые явно говорят, что правильный ответ от х и yне зависит, лишь бы x/y = 2.

Поэтому подберем х и y так, чтобы x/y = 2, например, х = 2 и y = 1. Тогда данное выражение примет значение 2/3 (вычислите сами!). Значит, правильный ответ 1). И это все,могут спросить некоторые. Да, все, ответ найден.

Задания для самлстоятельного решения

Если учащийся только слушает, смотрит или читает готовые решения математических задач, то он сам никогда не научится их решать без посторонней помощи.

Поэтому предлагаю две задачи для самостоятельного решения.

Пример 1. Упростите: (sin5α - sin3α)/(cos5α +cos3α).

1)-ctgα; 2) -tg4α; 3) tgα; 4) tg4α; 5) ctgα.

Пример 2. Вычислите значение дроби (3xz +x2-2xy)/(4y2 - yz - 2z2)при условии, что x/z = -2, z/y =-1.

1) 1,6; 2) 2,5; 3) 3; 4) -1,5; 5) -2.

Секрет решения задач по математике №2

Метод оценки

Часто на экзамене ЕНТ предлагают вычислить значение некоторого числового выражения.Однако попытки провести вычисления в "лоб" могут привести а неверному ответу. Одной из причин этого являются слабые вычислительные навыки абитуриентов или допущенная в процессе решения оплошность в выкладках.В таких случаях предпочтительнее избрать другие способы.

Рассмотрим известный из математики прием - метод оценки данного выражения. Суть этого метода состоит в том, что значение искомого выражения А сравнивают с некоторым числом В. Пусть А > В. Если удастся доказать, что все предложенные ответы,кроме одного будут меньше В, то для выбора остается только один ответ.Проиллюстрируем сказанное на следующем примере.

Пример 1. Найдите значение выражения (4 + √6)/(4 - √6) + (4 - √6)/(4 + √6).

1)2; 2) 3√6/8 ; 3) 4,4 ; 4)(8 + √6)/4.

Решение. Очевидно, что (4 + √6)/(4 - √6) > (4 + 2)/2 = 3. Поэтому значение данного выражения будет больше 3. Этому условию не удовлетворяет первый из предложенных ответов. Так как3√6/8 < 9/8 и (8 + √6)/4 < (8 + 3)/4 < 3, то ответы 2) и 4) также не являются верными.Поэтому для выбора остается только ответ 3).

Пример 2. Найдите значение выражения (11 - 4√7)0,5

1) √7 + 2; 2) √7 - 2; 3) √7 - 1; 4)2 - √7.

Решение. воспользуемся тем,что 4√7 =√102.Поэтому 0 < (11 - 4√7)0,5 = (11 - √102)0,5< 1. Ответ 1) явно больше 2, а ответ 4) отрицательный. Значит, они неверные. Так как √7 - 1> 2 - 1 = 1, то ответ 3) также неверный. Остается признать, что верным будет ответ 2).

Задания для самостоятельного решения

Пример 1. Упростите выражение 2√3 - 5 -11/(√12 - 1).

1) 2√3 - 4; 2)4; 3)-4; 4) -6.

Пример 2. Упростите выражение 15√0,6 - 0,5√60 + 2√3,75.

1) 0; 2) √15; 3) 5√3; 4) 3√15.


Секрет решения задач по математике №3

Метод симметрии

Предварительно сделаю лишь одно чисто техническое примечание. В дальнейшем системы двух уравнений будут записываться в виде {<уравнение1> и<уравнение2>}.

Пример 1. Решите систему уравнений: {x3+ y3 = 7 и x3y3= -8}.

1) (-2; 1), (-1 ; 2); 2) (-1; 3), (1 ; -1); 3) (2; -1), (-1 ; 1); 4) (2; 1), (-1 ; -2); 5) (-1; 2), (2 ; -1).

Решение.Представим себе, что Вы на экзамене ЕНТ и на предложенное выше задание мгновенно даете правильный ответ 5). Возможно ли такое?

Да,возможно! Просто нужно еще раз посмотреть внимательно на данную систему уравнений (поднимите голову и посмотрите на систему уравнений и запомните ее).Поговорка говорит: "Смотреть и видеть не одно и тоже!".Действительно, многие смотрели на эту систему и не увидели, что если поменять x на y, а y на х, то ничего в системе не изменится.В таких случаях говорят, что система уравнений симметричнаотносительно переменных x и y.

Что это дает в нашем конкретном случае? А то, что если пара (a; b) является решением данной системы, то и пара (b; a) - тоже решение этой системы уравнений.Как, например, в ответе 5). Остальные ответы 1), 2), 3) и 4) явно неверные, так как в них содержатся несимметричные пары чисел.

Вот и все решение, которое, как было обещано ранее, не требует никаких вычислений,выполняется устно и мгновенно.

Примечание.Хочу уберечь читателей от возможной ошибки. Пара вида (а; а)симметрична сама себе. Это надо учитывать при решении симметричных систем уравнений в тестовых заданиях. Так, если в одном из ответов была бы пара типа (а; а), а другие ответы не содержали бы симметричных пар чисел, то только этот ответ нужно было бы признать правильным.

А вот еще одна система уравнений, для решения которого полезно применить идею симметрии.

Пример 2. Решите систему уравнений: {x2- 2|х| - 3 = 0 и x + y = 6}.

1)(-2; 8), (7 ; 5); 2)(4; 2), (-9 ; 6); 3) (3; 3), (-3 ; 9); 4) (-6; 12), (-3 ; 9); 5) (-3; 6), (9 ; 0).

Решение.Здесь, скажут некоторые, переменные х и y входят в систему несимметрично.Конечно, они правы! Однако симметрия в этой системе присутствует.Обратите внимание на первое уравнение. Функция, расположенная в ее левой части,является четной. Что дает это наблюдение для практики решения тестовых заданий?Да практически все. Это наше замечание позволяет решить данное тестовое задание"на вскидку", без карандаша и бумаги для математических выкладок.

Если некоторое число а будет решением первого уравнения, то и -а автоматически станет его решением. Поэтому ответы к этой задаче должны содержать пары вида(а; ...) и (-а; ...) или (0; ...) (0 = - 0). Поэтому все ответы кроме третьего неверны. Значит, верен только ответ 3).

Задания для самостоятельного решения

Пример 1. Решите систему уравнений: {x + y =-2 и x2 + y2 = 100}.

1) (-8; 6), (6 ; -8); 2) (-5; 6); 3) (-6; 5), (2 ; 8); 4) (-9; 4), (2 ; 7); 5) (4; 5), (6 ; -5).

Пример 2. Решите систему уравнений: {x - y = 4и 3y2 - 2|y| - 1 = 0}.

  1. (-3; -1), (5 ; -1); 2) (-3; 1), (-5; 1); 3) (3; -1), (5 ; 1); 4) (3; -1), (-5 ; -1); 5) (-3; 1), (5 ; 1).

  2. Секрет решения задач по математике №4

  3. Метод симметрии

  4. Напомню,что прошлом выпуске я показал, как можно решать системы уравнений с двумя переменными {f1(x,y) = с1и f2(x,y) = с2},в которых функции f1 и f2симметричны относительно переменных х и у, т. е. f1(x,y) = f1(y,x)и f2(x,y) = f2(y,x). Очевидно, что если такая система уравнений имеет решение(a; b), то и пара (b; a) также будет решением этой системы.

  5. Это означает, что в тестовых заданиях в правильном ответе наряду с решением(a; b)должно быть и решение (b; a). Поэтому в таких тестовых заданиях сразу же следует отбросить те ответы, в которых нет пар чисел вида (a; b) и (b; a) или пары (а; a).

  6. Пример 1. Решите систему уравнений: {x + y = 6и log3x + log3y = -8}.

  7. 1) (2; 4), (4 ; 2); 2) (1; 5), (2 ; 4); 3) (1; 5);

  8. 4) (3; 3), (1 ; 5); 5) (3; 3), (4 ; 4).

  9. Решение.Понятно, что все ответы, кроме первого следует отбросить как неверные.

  10. Я привел этот пример, чтобы показать что это задание - педагогический брак. Даже пятиклассник, ничего не знающий о логарифмах может решить это задание.При этом он будет опираться не на математические знания, а проверять только форму ответов.

  11. Хорошо это или плохо? Уверен, что нет. Ведь получается, что в современном образовании форма определяет содержание. А ведь всегда было наоборот. Опять возникает риторический вопрос: "Тесты это благо или "опиум" для народа?". И снова я сошлюсь на свой ответ в статье Почем опиум для народа? .

  12. Возникает уже не риторический вопрос: "А можно ли составить такое задание,которое не допускает таких "левых", "халявных" решений?".Частично ответ содержится в следующем примере.

  13. Пример 2. Решите систему уравнений: {x3+ y3 = 65 и x2y + xy2= 20}.

  14. 1)(4; 1); 2)(-1; 4); 3) (4; 4); 4) (4; 1), (1 ; 4); 5) (4; 4), (1 ; 1).

  15. Решение.На первый взгляд кажется, что без серьезного труда здесь "не вынуть рыбку из пруда". Ведь сразу три ответа претендуют на право быть правильными.Это ответы 3), 4) и 5).

  16. Как быть? Да очень просто, подставить пару (4; 4) для проверки в первое уравнение данной системы: 43 + 43 > 65. Значит ответы 3) и 5) неверные.Остается признать правильным ответ 4).

  17. Относительно нашего вопроса. Да, здесь созданы затруднения для "бесплатного", "халявного" решения тестового задания. Но все равно нам удалось обойти препятствие и не решать предложенную систему уравнений. И все таки вопрос остается в силе: "Можно ли так составить систему уравнений,чтобы экзаменующийся был вынужден решать ее, так как ему было бы не выгодно искать обходные пути?"

  18. Задания для самостоятельного решения

  19. Пример 1. Решите систему уравнений: {x + y =-2 и x2y2 = 100}.

  20. 1) (-8; 6), (6 ; -8); 2) (-5; 6); 3) (-6; 5), (2 ; 8); 4) (-9; 4), (2 ; 7); 5) (4; 5), (6 ; -5).

  21. Пример 2. Решите систему уравнений: {x - y = 4и 3y2 - 2|y| - 1 = 0}.

1) (-3; -1), (5 ; -1); 2) (-3; 1), (-5; 1); 3) (3; -1), (5 ; 1); 4) (3; -1), (-5 ; -1); 5) (-3; 1), (5 ; 1).
Секрет решения задач по математике №5

Тригонометрические выражения

Тестовые задания по тригонометрии - самые трудные и нелюбимые школьниками. Почему? Причина проста. Школьники на хотят зубрить соответствующие формулы. А без формул в тригонометрии никуда. А можно ли решать тестовые (и не только) знания без формул?

Вообще говоря нельзя. Но если очень хочется,то можно. А если серьезно, то можно, но с одной оговоркой - только иногда. При этом в редких случаях. На сегодняшнем уроке разберем такие тестовые задания по тригонометрии.

Пример1. Дано: tgα = 3/4, 0 < α <π/2. Вычислить sinα + 2cosα.

1)-10/5; 2) 10/5; 3) -11/5; 4) 11/5; 5) 7/5.

Вот как можно решить наше тестовое задание без всяких формул, используя только определение тангенса, косинуса и котангенса одного и того же угла. Так как 0 < α <π/2 (угол α - острый), то используем определение тригонометрических функций для острого угла из курса геометрии восьмого класса (кто не помнит - почитайте учебник геометрии).

Построим прямоугольный треугольник с катетами3 и 4 (стройте сами без меня). Понятно, что это так называемый египетский треугольник, у которого гипотенуза равна 5 (кто в этом не уверен -вычислите гипотенузу по теореме Пифагора). Тогда sinα по определению равен отношению противолежащего катета (3) к гипотенузе (5), cosα - отношению прилежащего катета (4) к гипотенузе (5).

Поэтому sinα +2cosα = 3/5 + 8/5 = 11/5.Значит, ответ 4 - правильный.

Пример2. Дано: sinα = -3/5, π < α< 3π/2. Вычислите 2tgα + ctgα.

1) 25/12; 2) 17/6; 3)-25/12; 4) -17/6; 5) 25/6.

В координатной плоскости ХОУ построим окружность с радиусом 5 и на ней отметим точку с ординатой -3.

Очевидно,что треугольник МАО - египетский. Поэтому МА = 4. Значит, точка М имеет координаты х = -4, у = -3.

По определению tgα= у/MO = 3/4, а ctgα = х/MO = 4/3. Поэтому 2tgα + ctgα = 3/2 + 4/3 = 17/6.Значит, правильный ответ 2.

А где же калькуляторное решение? Конечно, его можно реализовать. Однако не все так просто. В нашем случае уголα расположен в третьей четверти, а для этих случаев непосредственное применение калькулятора невозможно. Нужно помнить, что калькулятор удобно применять тогда,когда угол αрасположен в первой четверти. Поэтому мы рассматривать калькуляторное решение не будем, так как оно потребует больше времени, чем то решение, которое приведено выше.

Задания для самостоятельного решения

Пример 1. Дано:sinα = 40/41, 0 < α <π/2. Вычислите tgα - ctgα.

1) 1681/360; 2) -1519/360; 3) -1681/360;

4) 81/360; 5) 1519/360.

Пример 2. Дано:cosα = -3/5, π/2 < α <π. Вычислите tgα + sinα.

1)-8/15; 2) 8/15; 3) 32/15; 4) -32/15; 5) 31/20.

  1. Тема: Рациональный счёт при решении тестовых заданий
    Цель: Развитие навыков рационального счёта посредством внимательного рассмотрения условия, рассуждений и изучения ответов.

    1. Актуализация знаний
    а) Повторение формул

    б) Определить формулу

    2. Учимся внимательно читать условие задания и сопоставлять вопрос с предлагаемыми ответами
    Да, путь познания не гладок,
    Но знаем мы со школьных лет:
    Загадок больше, чем разгадок
    И поискам предела нет.

    a) Маленькие хитрости: учитель ориентирует учащихся на видение ответа
    1. Средняя линия трапеции равна 7 см. Одно из ее оснований больше другого на 4 см. Найти основания трапеции.
    А) 10 см, 4 см В) 5 см, 6 см C) 5 см, 9 см D) 11 см, 3 см Е) 2 см, 12 см.

    Прежде всего, в глаза бросается, что ответ В) неверен, так как в трапеции с основаниями 5 см и 6 см средняя линия не равна 7 см. Однако эта попытка решения весьма слабая и не приводит сразу к ответу. Лучше не спешить и обратить внимание на то, что одно из оснований трапеции должно быть больше другого на 4 см и тогда ответ С) находится однозначно и мгновенно.

    2. Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Определите, за сколько часов наполняет бассейн каждая труба в отдельности, если известно, что из первой трубы в час вытекает на 50 % больше вода, чем из второй.
    А) 10 ч, 20 ч В) 15 ч, 10 ч C) 30 ч, 15 ч D) 25 ч, 20 ч Е) 18 ч, 23 ч.

    Умудренные опытом решения первой задачи сделаем вывод: тестовое задание не обязательно решить как математическую задачу. Иногда можно зацепиться за такое условие, которое позволит однозначно найти правильный ответ. Таким условием является то, что если время, необходимое для работы медленного насоса, увеличить на его половину, то получим время работы более производительного насоса. Такому условию удовлетворяет только ответ В).

    3. Найдите три числа, из которых второе больше первого настолько насколько третье больше второго, если известно, что произведение двух меньших чисел равно 85, а произведение больших равно 115.
    А) 8,5; 9; 12 В) 9,1; 3; 4 C) 5; 7; 9 D) 8,5; 10; 11,5 Е) 12; 11; 10.

    Удобнее всего в этом задании вычислить произведения двух меньших чисел в каждом из приведенных ответов. Это произведение будет равно 85 только в ответе D). Ответ D) удовлетворяет также остальным двум условиям задания.

    4. Вычислите

    А) -4805/2054 В) 48/20 C) 48,05 D) 0 Е) 1.

    Здесь также полезно составить условие и ответы. Из условия легко сделать вывод о том, что искомый ответ должен быть только отрицательным. Из предложенных для выбора ответов таковым является только ответ А).

    5. Решить систему уравнений:
    А) (3; 1); (-1; -2) В) (-1; -2); (2; 1) C) (2; 1) D) (-1; -2) Е) (3; 1).

    Подсказками для поиска нужно ответа также являются предложенные пары чисел. Нетрудно убедиться, что пара (2; 1) – удовлетворяет данной системе. Для выбора одного из двух подходящих ответов (В или С) осталось проверить пару чисел (-1; -2), которая также удовлетворяет данной системе. Значит, выбор следует остановить на ответе В).
    6. Решить неравенство

    A) (5;4)
    coolC) D) E)
    Решение сводится к нахождению ОДЗ квадратного корня. Ответ С).

    7. Вычислить 8(x1+x2)3+5x1x2, где х1, х2 – корни уравнения 9х2+12х+2=0.
    A) 36/175
    cool-12/137 C) -782/27 D) 365/38 E) 174/5
    Без теоремы, обратной теореме Виета не обойтись: Сумма корней уравнения -12/9=-4/3, произведение 2/9. Выполняя подстановку в задание, анализируем, каким может быть знаменатель дроби – 27. Ответ С).
    8. Вычислите сумму 2х + 2-х,
    если 4х + 4-х = 23
    A) 10
    cool9,25 C) -5,7 D) 25 E) 5
    Дополняем до полного квадрата вопрос 2х + 2-х, и получаем что 4х +2 + 4-х = 25. Отсюда ответ Е).
    9. Диагональ параллелограмма составляет со сторонами углы в 900 и в 150. Большая сторона параллелограмма равна 14 см, тогда площадь данного параллелограмма равна:
    A) 96
    cool54 C) 56 D) 49 E) 48
    Необходимо вспомнить свойство площадей и формулу площади прямоугольника через диагонали и синус угла между ними. Ответ D).
    10. Боковые ребра правильной треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны и равны по 3 см. Найти объем пирамиды.
    A) 9,6
    cool5,4 C) 4,5 D) 4,9 E) 4,8
    Задача сложна только на первый взгляд, так как возникает проблема нахождения высоты пирамиды. Но выполнив преобразования пирамиды – поставим ее на одну из боковых граней, и решение на много облегчено: основанием является прямоугольный треугольник, высотой – одно из боковых ребер. Ответ С).
    b) Задания для рационального решения: учащиеся рассматривают решения с одновременной ориентацией на ответ
    Кто не думает о конце, ошибется в начале.
    Хуан Мануэль
    1) Найти точки экстремума функции:

    А) - точка минимума В) - точка максимума С) - точка максимума Д) - точка минимума Е) нет решения
    2) Вычислите интеграл:
    А) 4 В) С) Д) Е) -4
    3) Упростите выражение:
    А) В) С) Д) Е)
    4) Решите неравенство:
    А) В) С) Д) нет решений Е)

    5) Площади оснований усеченного конуса см2 и см2 . Определите высоту данного конуса, если площадь осевого сечения 312 см2.
    А) 30см В) 27см С) 26см Д) 28см Е) 24см
    6) Знаменатель дроби меньше квадрата её числителя на 1. Если к числителю и знаменателю прибавить по 2, то значение дроби будет больше , если от числителя и знаменателя первоначальной дроби отнять по 3, то значение дроби будет . Найти эту дробь.
    А) В) С) Д) Е)
    7) Вычислите:
    А) 0,5 В) 1,5 С) 3 Д) 2 Е) 1
    8) Найти значение выражения:
    А) 1 В) -1 С)2 Д) 4 Е) 3
    9) Найти шестой член последовательности , если
    А) 5 В) 11 С) 6 Д) 10 Е) 8
    10) Найти разность наибольшего значения функции и
    наименьшего значения функции .
    А)1 В) С) Д) Е) 0
    c) Тест:
    Свои способности человек может узнать,
    только попытавшись применять
    их на деле.
    Сенека Старший

    1. Решите уравнение: log6x + log6(x+1) = 1.
    А) -1; 5.
    В) 2; -3.
    С) -2; 3.
    Д) 2.
    Е) 1;- 5.
    2. Найдите значение выражения:
    А) 0.
    В) 1.
    С) -1.
    Д)
    Е)
    3. Решите уравнение:
    А) 8.
    В) Нет решений.
    С) 18.
    Д) 12.
    Е) 16.
    4. Решите уравнение: = -2.
    А) 1.
    В) -7.
    С) Нет решений.
    Д) -1.
    Е) 5.
    5. Чему равен угол треугольника со сторонами 5 см, 12см и 13 см, противолежащий стороне 13 см?
    А) 450.
    В) 300.
    С) 600.
    Д) 900.
    Е) 250.
    Ответы: 1. D 2.
    http://testent.ucoz.ru/_fr/17/s4627075.jpgB 3. B 4. C 5. D










Краткое описание документа:

Землекопы

Пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы. Сколько потребуется землекопов, для того чтобы выкопать 100 м канавы за 100 часов?

Понадобятся те же пять землекопов, не больше. В самом деле, пять землекопов за 5 часов выкапывают 5 м канавы; значит, пять землекопов за 1 час вырыли бы 1 м канавы, а в 100 часов — 100 м.

 

Деревенский дурачок

Люди, приезжавшие в одну деревушку, часто удивлялись местному дурачку. Когда ему предлага­ли выбор между блестящей 50-центовой монетой и мя­той пятидолларовой купюрой, он всегда выбирал моне­ту, хотя она стоит вдесятеро меньше купюры. Почему он никогда не выбирал купюру?

"Дурачок" был не так глуп: он понимал, что, пока он будет выбирать 50-центоную монету, люди будут предлагать ему деньги на выбор, а если он вы­берет пятидолларовую купюру, предложения денег прекратятся, и он не будет получать ничего.

 

Кольцо вокруг Земли

Образно представьте себе нашу планету, плотно стянутую кольцом по всему ее экватору. После увеличения длины окружности кольца на 10 метров, между кольцом и поверхностью земли образовался зазор определенной величины. Как Вы считаете, сможет ли человек пройти, или хотя бы протиснуться в этот зазор?
Известно, что экватор имеет длину приблизительно равную 40 000 километров.

Для решения данной задачи достаточно элементарных знаний геометрии. Изначально может показаться, что увеличение длины кольца на 10 метров, по сравнению с его длиной в 40 000 км будет способствовать образованию практически незаметного зазора. Однако, исходя из формулы определения длины окружности L=2πR видно, что радиус Земли (кольца) R= L/2π и при увеличении длины кольца на 10м, его радиус приблизительно увеличиться на 1,59м (10м/6,28), образуя соответствующий зазор, в который человек сможет не только протиснуться, но и даже пройти, немного нагнувшись.

 

 

Автор
Дата добавления 17.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Тесты
Просмотров1151
Номер материала 536217
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх