Инфоурок Математика Научные работыЛучшая методическая задача по математике

Лучшая методическая задача по математике

Скачать материал

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Синекинчерская основная общеобразовательная школа им. М.Н. Юхмы»

Урмарского района Чувашской Республики

 

 

 

 

 

Республиканский дистанционный конкурс

«Pro.Методические задачи».

 

 

Номинация:  Лучшая методическая задача по математике.

 

 

 

 

 

 

Кузьмина Юлия Николаевна,

учитель математики

МБОУ «Синекинчерская ООШ им. М.Н. Юхмы»

Урмарского района ЧР.

.

 

 

 

 

2019 г.

Пояснительная записка.

За 35 лет работы в школе учителем математики всякий раз убеждаюсь в справедливости высказывания венгерского, швейцарского и американского математика Дьёрдь  Пойа «Лучше решить одну задачу несколькими способами, чем несколько задач – одним». Я с удовольствием, даже с восхищением наблюдаю, как ребят охватывает интерес, любопытство, желание найти разные способы решения одной и той же задачи, может даже самые нелепые. Иногда, кажется, что это аукцион «Кто предложит ещё одно решение задачи, тот и выигрывает». Я думаю, что урок достиг вершины успеха, если ребята сами, без помощи учителя, предлагают разные варианты решений одной задачи.

Попробую предложить несколько задач, которые можно решить разными способами. Некоторые из них практико-ориентированные, исследовательские. Почему эти задачи? Да потому, что в процессе обучения у обучающегося должно формироваться  умение  решать задачи, возникающие в процессе практической деятельности человека;   готовность к применению знаний и умений в процессе своей жизнедеятельности (прикладная направленность). По физике, химии есть лабораторные работы, практические занятия, по математике   не предусматриваются уроки практического характера. ОГЭ 2020 году содержит задания практико-ориентированного  характера № 1-5. По данным исследований, в памяти человека остается 25% услышанного материала, 33% увиденного и услышанного, 75% материала, если ученик вовлечен в активные действия в процессе обучения. Поэтому, больше практики!

1.       Аннотация.

Предмет - алгебра, класс – 9-11, методические  цели задания: повторение тем «Функции и графики», «Уравнения и графики», «Преобразования графиков»; практическое применение умений навыков  построения графиков с помощью различных преобразований.

Данную задачу можно предложить школьникам для исследовательской работы, на уроке алгебры, на учебных курсах или во время проведения  внеклассных занятий. Эта задача полезна  ученикам, сдающим ГИА и ЕГЭ, а так же желающим расширить свои знания по теме «Преобразования графиков».

 

Задача 1. Нарисовать букву Ч, заглавную букву столицы нашей республики города  Чебоксары, на координатной плоскости графиками функций  и уравнений, выбрав размер букв 4*5, т.е. на оси ОХ – 4 единицы, на оси ОУ – 5 единиц. Рассмотреть всевозможные  случаи.

 

Решение.

На координатной плоскости создаётся изображение буквы Ч, состоящей из линий, выбрав  размер букв 4*5, т.е. на оси ОХ – 4 единицы, на оси ОУ – 5 единиц.

Для написания буквы Ч используются два вертикальных отрезка и округлая линия. Для рисования округлой линии можно использовать часть окружности,  часть параболы, часть кубической параболы,  часть гиперболы, часть графика функции у = √х.

Каждому отрезку поставить в соответствие уравнения х=а или  у=в;  округлой линии – уравнение окружности, параболы, гиперболы, кубической параболы, у = √х  и область задания в зависимости от расположения линий на координатной плоскости.

1 способ. С помощью графиков уравнений х = а, у = в и графика уравнения окружности.


1.     х = 0,  у Є [3; 5],  отрезок.

2.     (х - 1)2+(у - 3)2= 1,  у Є [2; 3],          х Є [0; 1], часть окружности.

3.     у = 2,  х Є [1; 4], отрезок.

4.     х = 4, у Є [0; 5], отрезок.


2 способ. С помощью графиков уравнений х = а, у = в и графика квадратичной функции у=х2.


1.     х = 0,  у Є [3; 5], отрезок.

2.     у = (х – 1)2+2,  х Є [0; 1], часть параболы.

3.     у = 2,  х Є [1; 4], отрезок.

4.     х = 4, у Є [0; 5], отрезок. 


3 способ. С помощью графиков уравнений х = а, у = в и графика функции у= х3.


1.     х = 0,  у Є [3; 5], отрезок.

2.     у = - (х-1)3+2,  х Є [0; 1], часть кубической параболы.

3.     у = 2,  х Є [1; 4], отрезок.

4.     х = 4, у Є [0; 5], отрезок. 


4 способ. С помощью графиков уравнений х = а, у = в и графика  обратной пропорциональности у=к/х.


1.     х = 0,  у Є [3; 5], отрезок.

2.     у =2/(х+1) +1,  х Є [0; 1], часть гиперболы.

3.     у = 2,  х Є [1; 4], отрезок.

4.     х = 4, у Є [0; 5], отрезок. 


5 способ. С помощью графиков уравнений х = а, у = в и графика функции

 у = √х.

 


1.     х = 0,  у Є [3; 5], отрезок.

2.     у = -√х  +3 ,  х Є [0; 1], часть графика функции  у = √х.

3.     у = 2,  х Є [1; 4], отрезок.

4.     х = 4, у Є [0; 5], отрезок. 


Ответ: заглавную  букву  нашей столицы города Чебоксары, можно нарисовать на координатной плоскости графиками функций и уравнений несколькими способами. Более точный способ – это применение графиков уравнений х = а, у = в и уравнения окружности.

Литература.

1.  Алгебра: Учебники  для 7, 8, 9 кл. общеобразоват. учреждений / Под ред. С.А. Теляковского. – М.: Просвещение, 2016.http://painter-pro.ru/index.php/ru/shrifti/shriftiruss4.html

2. Волович М.Б.  «Справочник школьника 5-11 класс», 2008.

3.Глейзер Г.И. История математики в школе: 7-8 класс - М.: Просвещение. - 1982.

4. Мерлин А.В., Мерлина Н.И. Задачи по элементарной математике. 1996.

 

2. Аннотация.  

Предмет - геометрия, класс – 9. Задача-исследование на измерение на местности. Методическая цель задания: использование материала национально-регионального компонента, формирование целостных знаний о родном крае, воспитание любви и уважения к историческому наследию малой родины через математическую задачу.

Задача 2.   Определить высоту церкви Святого Николая Чудотворца (в метрах) деревни Арабоси Урмарского  района.

Этапы выполнения работы:

1 этап: теоретический. Изучить способы определения недоступной высоты предмета.

2 этап: практический. Определить недоступную высоту предмета разными способами.

3 этап: сравнительный. Сравнить полученные данные с помощью диаграммы. Выявить  самый  точный  способ  определения недоступной высоты предмета.

(Задачу решили  Дима и Никита, ученики 9 класса.) (Приложение.).

1 способ. По Фалесу.

В солнечную погоду поставить  палку длиной , например, 1м.50 см на землю вертикально и ждать, когда тень от неё станет равной 1м. 50 см.

 

 

 


Быстро измерить длину тени церкви. Длина тени -12,5м.
Значит, высота церкви равна 12,7 м.

Ответ: высота церкви равна 12,7 м.

2 способ. По Жюль Верну. Роман «Таинственный остров». (Приложение 1).

Палка длиной 1м 60 см, таков рост Димы, поставлена вертикально на землю, у его ног  так, чтобы лёжа на земле, можно было на одной прямой линии видеть и конец палки, и верхнюю точку церкви. Никита измеряет расстояние от уровня глаз Димы до основания церкви. Это расстояние равно АС. AN=MN=1,6 м.       AC =ВС= 12,3м. Высота церкви 12,3 м.   

       Ответ: высота церкви 12,3 м.   

3 способ. Измерение высоты с помощью фотоаппарата.

Сфотографировать  церковь и  в полный рост Никиту.   На снимке рост Никиты- 1,2 см, а в действительности -1,55 м. Высота церкви на снимке – 8,2см,  в действительности –х м.            

Так как было сфотографировано с одной и той же точки, одним фотоаппаратом, то пропорциональность отрезков выполняется.                                                                                                                               Написать пропорцию и решить её:    =   ;    х  =      10,9 

Ответ:  высота церкви 10,9 м.

 

 4 способ. С помощью зеркала.

Зеркало положить на землю, на ровное место. Дима отходит от зеркала назад на такое расстояние, чтобы в зеркале была видна верхняя точка здания церкви. Это место отметить мелом. Измерить  расстояние от точки, отмеченной мелом до ног Димы (1,3 м) и до основания церкви (10,7м). Если рост Димы 1,6м, до уровня глаз-1,5 м.
АВ=1,5м., ВО=1,3 м.,  О
N=10,7 м. Используя подобие треугольников AOВ и MОN по двум углам,  найти  МN=12,4 м.  Значит, высота церкви 12,4 м.

  Ответ: высота церкви 12, 4м.

5 способ. С помощью прямоугольного равнобедренного треугольника.

 (Приложение 4).

Для измерения высоты по этому способу необходим демонстрационный прямоугольный равнобедренный треугольник. Его надо держать так, чтобы один катет был параллелен поверхности земли и должен находиться на уровне глаз. По линии гипотенузы найти верхнюю точку здания церкви. Измерить  расстояние от ног Димы (наблюдателя) до основания здания церкви  и оно равно 10,6 м. Тогда высота церкви  равна сумме этого расстояния и высоты Димы до уровня глаз, т.е. 10,6 м. + 1,5 м. = 12,1 м. Высота церкви 12,1 м.

 Ответ: высота церкви 12, 1м.

 

6 способ. На глаз (среднее арифметическое).

11 учеников определяют примерно на глаз высоту здания церкви, предварительно установив рядом  с зданием церкви вертикально метровую линейку. Найти среднее арифметическое полученных данных.      

(14+13+16+12+14+13+12+15+13+13+12) : 11 = 13,3

Ответ: высота церкви 13,3 м.

 

7 способ. С помощью воздушного шара, наполненного гелием.

Один ученик стоит рядом с зданием и отпускает шарик наполненный гелием, привязанный к тонкой нитке. Освободить нитку до тех пор, пока второй ученик (наблюдающий) увидит шарик (место привязывания) на уровне вершины церкви. Измерить длину выпущенной части верёвки, которая  равна высоте здания. Длина нити равнялась 11,2 м. Высота церкви равна 11,2 м.

Ответ: высота церкви 11,2м.

 

Литература.

1.     Я.И.Перельман «Занимательная геометрия».

2.     Жюль Верн. Роман «Таинственный остров».

3.     Атанасян. Учебник «Геометрия» 8 класса.

 

3. Аннотация. Предмет –математика, класс – 5. Задача из русской сказки «Колобок». Методическая цель задания: находить необходимую информацию из различных источников, формировать умение работать с информацией, сравнивать полученные результаты. Показать красоту математики в русских сказках.

3 задача.


Взяла старуха крылышко, по коробу поскребла, по сусеку помела и наскребла муки горсти две. Замесила муку на сметане, стряпала колобок, изжарила в масле и на окошко студить положила. Сколько весит колобок?


 

1 решение.  Опрос учащихся и родителей.

В опросе участвовало 10 учеников. Среднее арифметическое: (1+0,8+1,1+0,6+1,5+0,9+0,2+0,5+1,6+0,8):10 = 0,9(кг)- средняя масса колобка.

В опросе участвовало 10 родителей. Среднее арифметическое: (0,3+0,2+0,15+0,3+0,25+0,2+0,2+0,3+0,4+0,2):10= 0,25(кг)- средняя масса  колобка.

Ответ: масса колобка 0,25кг.

 

2 решение. По старинному рецепту Колобка.

 

В 1610-1613 г.г. в Московии создавались «росписи царским кушаньям», которые содержали перечень блюд, подаваемых в различные дни к царскому столу. В перечне упоминается блюдо «Колоб», состоящий из

3 лопаток муки крупчатки (лопатка — неизвестная ныне мера),   25 яиц,   3 гривенок сала говяжьего.

1)    Лопатка неизвестная ныне мера. Если посчитать, что в лопатку вмещается 5 стаканов муки, а в 1 стакане 130 г муки, то в 3-х лопатках   3*130 = 390 (г) муки. 

2)    Если среднее яйцо  весит примерно 50 г, а без скорлупы – 35 г, то  25 яиц весят  25* 35 = 675 (г).

Если 1 гривенок составляет 0,41 кг = 410 г, то 3 гривенок сала весят  3*410 = 1230 (г).

390+675+1230 = 2295 (г)= 2,295 кг.

Ответ: масса колобка 2,295 кг.

Предположение, что столько весило тесто, из которого пекли уже несколько маленьких колобков.

3 решение. Рецепт старой сказки.

Муки насыпать 2 горсти,                   

Дрожжей ты ложку положи,               

Яйцо разбей же поскорей,

Сметаны в тесто ты налей,                 

Про сахар, соль не позабудь,

И масло надо ливануть

На сковородку. Жарь быстрей!

А на окошко положи

Всего минуточки на три…

 

Мука – 2 горсти,    дрожжи - 1 ч. л., яйцо – 1 шт, сметана - 1 ст. л., сахар – 1 ч. л., соль -   1/5 ч.л.,  масло - 1 ч. л..

1)  Если 1 горсть весит 30 г, то 2 горсти муки весят   2*30 = 60 (г).

2)  1 чайная ложка дрожжей  примерно 10 г.

3)  1 яйцо в среднем весит 50 г, а скорлупа составляет 10% или 1/10, то яйцо без скорлупы весит   50 – 50:10 = 45 (г).

4)  1 столовая ложка сметаны весит 25 г.

5)  1 чайная ложка сахара весит 8 г.

6)  1/5  чайной ложки соли весит  10 : 5 = 2 (г).

1 чайная ложка  масла весит 5 г.

60+10+45+25+8+2+5 = 155 (г) масса колобка по рецепту старой сказки.

Ответ: масса колобка 155 г.

Предположение, что это реальная масса колобка.

 

4 решение. Колобок в кулинарии.

Рецепт приготовления колобка:

Мука - 2 стакана, свежие дрожжи - 50 г., вареная картофелина -  3 шт., вода - 1 стакан, соль - по вкусу.

1)      Если 1 стакан муки 130 г, то 2*130=260(г) масса муки.

2)      Дрожжи -50 г.

3)      Если 1 варёная картофелина весит 50 г., то 3 штуки весят

     3*50=150 (г).

4)      1 стакан воды – 200 г.

5)      Пусть соль (по вкусу)- 3 г.

6)      260+50+150+200+3=663 (г).

Ответ: 663 г. масса колобка в кулинарии.

Предположение, что  это большой колобок.

5 решение.  Колобок по своему рецепту.

Творог 200 г,  1 стакан  пшеничной муки, 50 г растительного масла , 2 ложки сахара, 2 яйца и половина чайной ложки соли.  Интересно, на  сколько граммов  уменьшится масса колобка при выпечки?

Решение:

Творог – 200 г., мука – 1 стакан – 130 г., растительное масло -  50 г,

сахар -2  ложки - 2*25 = 50 (г), яйцо – 2 шт., 2* 45 = 90 (г), соль -  ½ ч.л. – 10:2 = 5 (г).

200+130+50+50+90+5 = 525 (г) – масса сырого колобка.

После выпечки масса колобка стала 505 г.  Значит , при выпечке масса колобка уменьшилось на 525-505 = 20 (г).

Ответ: масса колобка 505 г., при выпечке уменьшилось на 20 г.

 

4.        Аннотация.  Предмет –математика, класс – 5. Методическая цель задания: показать красоту геометрического способа решения задачи.

 

4 задача.  Для приготовления колобка нужно взять 5 частей муки, 3 части сметаны и 1 часть масла. Сколько муки в одной пригоршне, если всего истрачено 450 г продуктов?

 

1 способ.  (арифметический.)

Мука - 5 частей- две пригоршни (по сказке),

Сметана -3 части,

Масло -1 часть.

Всего 450г.

Всего 9 частей, которые равны 450 г.

450: (5+3+1) = 50 (г) масса одной части.

5*50=250 (г) всего муки в двух пригоршнях.

250 : 2 = 125 (г) – масса муки в одной пригоршне.

Ответ: 125 г.

 

2 способ. (алгебраический.) 

Пусть масса одной части х г.

Мука - 5 частей – 5х г.

Сметана -3 части – 3х г.

Масло -1 часть – х г.

Всего 450 г.

Уравнение:

5х+3х+х=450,

9х=450,

х=450:9,

х=50 (г) масса одной части.

5*50=250 (г) всего муки в двух пригоршнях.

250 : 2 = 125 (г) – масса муки в одной пригоршне.

Ответ: 125 г.

 

3 способ. (геометрический).

 

450:9*2,5=125(г)

Ответ: 125 г.

 

5. Аннотация. Предмет –математика, класс – 5. Методическая цель задания: формировать умение решать самые простые задачи на интересных фактах (машины для детей - это всё). Задача №502 из учебника «Математика», 6 класс. Автор Н.Я. Виленкин.

5 задача.  На автобазе были легковые и грузовые автомашины. Грузовые автомашины составляют 5/6 всех автомашин, 2/3 легковых автомашин были «Волги», а остальные автомашины – «Москвичи». Какую часть всех машин автобазы составляют «Москвичи»?

1 спрособ.

Количество всех автомашин автобазы -1.

Грузовые – 5/6 всех машин.

«Волги»-2/3 легковых автомашин.

«Москвичи»- остальные, какая часть от всех?

 

1-5/6=1/6 всех машин составляют легковые.

2/3 от 1/6,  2/3*1/6=1/9 всех машин «Волги».

5/6+1/9=17/18 всех машин «Волги» и «Москвичи».

Значит, 1-17/18=1/18 всех машин составляют «Москвичи».

Ответ: «Москвичи» составляют 1/18 всех машин.

 

2 способ. (геометрический).

Можно эту задачу можно  быстро решить геометрическим способом, делением отрезка на равные части.

Отрезок длиной 18 клеток делим на 6 равных частей (по 3 клетки). 5 частей составляют грузовые машины. 1 часть – легковые, которая состоит из 3 клеток. 2 клетки показывают «Волги», 1 клетка (1/18 отрезка) – «Москвичи».

Ответ: «Москвичи» составляют 1/18 всех машин.

 

Литература.

 

Н.Я. Виленкин. Математика. 6 класс. Стр. 82.

 

Приложения.

Приложение

 

Приложение

 

Приложение

 

 

Приложение

 

Приложение

 

Приложение

 

 

 

 

 

.

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Лучшая методическая задача по математике"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Портной

Получите профессию

Интернет-маркетолог

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

За 35 лет работы в школе учителем математики всякий раз убеждаюсь в справедливости высказывания венгерского, швейцарского и американского математика ДьёрдьПойа «Лучше решить одну задачу несколькими способами, чем несколько задач – одним». Я с удовольствием, даже с восхищением наблюдаю, как ребят охватывает интерес, любопытство, желание найти разные способы решения одной и той же задачи, может даже самые нелепые. Иногда, кажется, что это аукцион «Кто предложит ещё одно решение задачи, тот и выигрывает». Я думаю, что урок достиг вершины успеха, если ребята сами, без помощи учителя, предлагают разные варианты решений одной задачи.

Республиканский дистанционный конкурс «Pro.Методические задачи».

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 626 191 материал в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 22.03.2020 347
    • DOCX 1.8 мбайт
    • 11 скачиваний
    • Рейтинг: 5 из 5
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Кузьмина Юлия Николаевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Кузьмина Юлия Николаевна
    Кузьмина Юлия Николаевна
    • На сайте: 8 лет и 9 месяцев
    • Подписчики: 37
    • Всего просмотров: 61345
    • Всего материалов: 34

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Секретарь-администратор

Секретарь-администратор (делопроизводитель)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Применение возможностей MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 35 человек из 19 регионов

Курс повышения квалификации

Методические и практические аспекты развития пространственного мышления школьников на уроках математики

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 27 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Учитель математики и информатики

500/1000 ч.

от 8900 руб. от 4450 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 679 человек из 79 регионов

Мини-курс

История России: ключевые события и реформы

8 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 101 человек из 36 регионов

Мини-курс

Психология аддикции: понимание и распознование

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Принципы эффективного использования аграрных ландшафтов

8 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе