Мақаланың тақырыбы "БӨЛІНГІШТІККЕ БЕРІЛГЕН ОЛИМПИАДАЛЫҚ ЕСЕПТЕР"

ӘОЖ 373.167.1:51

БӨЛІНГІШТІККЕ БЕРІЛГЕН ОЛИМПИАДАЛЫҚ ЕСЕПТЕР

А.Қ.Абиров,  К.Қ.Абирова, Г.Б.Джумагалиева

Х. Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті,

Ә. Жангелдин атындағы орта мектеп, И. Тайманов атындағы орта мектеп

Мақалада 2013-2014 оқу жылындағы математикалық олимпиаданың бірінші және екінші кезеңдерінде берілген есептердің ішінен бөлінгіштік ұғымы пайдаланылып шығарылатындарына тоқталып, шешу және оны жазу үлгісі көрсетілген.

Жалпы бөлінгіштік ұғымы сақиналар теориясының басты ұғымы [2] болғанымен, оның негізі орта мектепте қарастырылады. Сондықтан математикалық олимпиадалардың барлық кезеңдерінде оқушыларға таныс бөлінгіштік ұғымын және қасиеттерін пайдаланып шешілетін есептер кездесіп отырады. Математикалық олимпиадалардың І - ІІІ кезеңдеріне дайындық барысында оқушылардың шығарылған есептерін тексерушілерге түсінікті болатындай етіп жаза алмайтындығы байқалып жүр. Төменде  (І.8.2) жазылуы математикалық олимпиаданың бірінші кезеңінде сегізінші сыныпқа берілген екінші есеп дегенді білдіреді.    

1 – есеп. (І.8.2)  теңдеуінің бүтін мәндерін тап.

Шешуі. Теңдеуді  түріне келтіріп, мынаны аламыз: , . Бұларды шегерсек, онда . Бұдан .    

Жауабы:

2 – есеп. (І.9.1) Тақтада  сандары жазылған. Бір жүрісте қандай-да бір үш  сандарын өшіріп, олардың орнына  қосындысын жазады. Ең соңындағы жалғыз қалған сан  бола алмайтынын көрсетіңдер.

Шешуі. Кез келген  бүтін саны үшін  саны үшке бөлінетіндіктен,  қосындысы үшке бөлінсе, онда  қосындысы үшке бөлінеді. Сондықтан, берілген сандардың тізбегін солдан оңға қарай үш үштен топтап, қосындысы үшке бөлінетін сандарды аламыз. Олай болса, оларды алмастырғаннан кейін шығатын сандардың барлығы үшке бөлінеді. Алынған  сегіз санға соңғы 25 санын тіркеп, тоғыз натурал сан аламыз. Оларды үш үштен топтап, алмастыруды қолданғаннан кейін үш сан шығады. Олардың алғашқы екеуі үшке бөлінеді, ал соңғысы үшке бөлгенде бір қалдық береді. Бұл үш санға алмастыруды қолданғаннан кейін шығатын санды үшке бөлгенде бір қалдық қалады. саны үшке бөлінетіндіктен соңғы сан бұған тең бола алмайды.

3 – есеп. (І.9.1) Нөлден өзге кез келген  және  сандарды үшін   теңдігі орындалады. -ның сандық мәнінің таңбасын табыңдар.

Шешуі. Ортақ бөлімге келтіріп түрлендірулерді орындағаннан кейін теңдік мына түрге келеді: . Мұнан болатындығы шығады.

Ескерту. Бұл есептің қазақ тіліндегі нұсқасында -ның сандық мәнін табыңдар деп берілген, ал бұл түпнұсқада орыс тілінде берілгенімен сәйкес келмейді. Сондықтан, оқушыларды есептің шартымен таныстырмас бұрын есептің берілуінің орыс және қазақ тілінде жазылған нұсқаларын оқып шығып, олардың сәйкестілігін тексеріп алу керек болатындығын мұғалім үнемі ескеріп отыру керек.

            4 – есеп. (І.10.3) -ге  бөлінеді деген тұжырым дұрыс па?

            Шешуі.  санын толық квадратты бөлу әдісі бойынша жіктейміз, сонда:

            Жауабы: дұрыс.

5 – есеп. (І.11.4) Бүтін коэффицентті  көпмүшесі берілген.  , ,  екені белгілі, мұндағы -бүтін сан. -ны табыңдар.

Шешуі.  және  болатындықтан, Безу теоремасы [1, 79 бет] бойынша  және  болатындықтан, . Бұдан . Жауабы: .

            6 – есеп. (ІІ.8.2)  санының соңғы екі цифрын табыңыз.  

            Шешуі.  санының соңғы екі цифрын анықтау үшін оны жүзге бөлгендегі қалдықты табу жеткілікті болады. Ол үшін  натурал санының бірнеше мәніне сәйкесті  санының соңғы екі цифрын есептелік. Сонда мынаны аламыз: . Сонымен,  санының соңғы екі цифры циклді қайталанылып отыратындығын байқаймыз. Енді  болатындықтан .

Жауабы: 07.

7 – есеп. (ІІ.8.4)  Дәл 10 бөлгіші (өзін және бірді есептегенде) барлық 5-ке және 9-ға бөлінетін натурал сандарды табыңыз.

Шешуі. Тек қана беске және тоғызға бөлінетін санның жалпы түрі мынадай болады: . Сонда бұл санының барлық бөлгіштерінің саны  - ға тең, яғни  болады.  - бірден үлкен тақ сан болатындықтан,  және , яғни . Сонымен ізделінді сан .

Жауабы: 405.

8 – есеп. (ІІ.9.2) Өзара жай  және   сандары үшін  теңдігі орындалса,  өрнегінің мәнін табыңыз.

Шешуі. Теңдікті нөлден үлкен  санына қысқартып, мына түрге келтіреміз. . Енді  ауыстыруын пайдаланып және нөлге тең бола алмайтын  санына қысқартып   теңдеуін аламыз. Сонда  болатындықтан, .  шартынан  және .  және  сандарының өзара жай болатындығынан  және .

Жауабы: .

9 – есеп. (ІІ.9.4) - бүтін саны үшін  жай сан болуы мүмкін бе?

Шешуі.  өрнегін толық квадратты бөлу әдісі бойынша жіктейміз, сонда:

Енді  болатындықтан ешқандай - бүтін саны үшін  өрнегінің мәні жай санға тең бола алмайды.

Жауабы: мүмкін емес.

10–есеп. (ІІ.10.2)  Бастапқы  тақ натурал сандардың қосындысы бастапқы  жұп натурал сандардың қосындысынан 212-ге көп болатындай барлық  натурал жұптарын табыңыз.

Шешуі. Бастапқы  тақ және бастапқы  жұп натурал сандардың қосындысын есептеп, мынаны аламыз:

Есептің шарты бойынша . Бұдан , , . Енді  болатын ескеріп, 847 санын біріншісі екіншісінен кіші болатын екі көбейгіш түрінде жазамыз: . Бұдан мына жүйені аламыз:

Бұл жүйелерді қоссақ және азайтсақ, онда  және  немесе  және .

Жауабы: .

11–есеп. (ІІ.10.3)  көпмүшесін  көпмүшесіне бөлгендегі қалдықты табыңыз.

Шешуі.  көпмүшесінде  деп алсақ, онда

 

Сонымен  көпмүшесін  көпмүшесіне бөлгендегі қалдық . Бастапқы айнымалыға көшіп мынаны аламыз: .

Жауабы: .

12 –есеп. (ІІ.11.4)  Қос қостан тең емес  нақты сандары үшін   болуы мүмкін бе?

Шешуі.  деп алсақ, онда . Сонда 

себебі  болғанда .

Пайдаланған әдебиеттер

1. Б. Б. Баймұханов, Қ. Б. Базаров, Е. Ө. Медеуов. Алгебра – 7. Алматы. Атамұра. 2003.

2. Б.Оразбаев. Сандар теориясы. Алматы. Мектеп. 1972.

Краткое описание документа:

БӨЛІНГІШТІККЕ БЕРІЛГЕН ОЛИМПИАДАЛЫҚ ЕСЕПТЕР

Г.Б.Джумагалиева

И. Тайманов атындағы орта мектеп

Мақалада 2013-2014 оқу жылындағы математикалық олимпиаданың бірінші және екінші кезеңдерінде берілген есептердің ішінен бөлінгіштік ұғымы пайдаланылып шығарылатындарына тоқталып, шешу және оны жазу үлгісі көрсетілген.

Жалпы бөлінгіштік ұғымы сақиналар теориясының басты ұғымы [2] болғанымен, оның негізі орта мектепте қарастырылады. Сондықтан математикалық олимпиадалардың барлық кезеңдерінде оқушыларға таныс бөлінгіштік ұғымын және қасиеттерін пайдаланып шешілетін есептер кездесіп отырады. Математикалық олимпиадалардың І - ІІІ кезеңдеріне дайындық барысында оқушылардың шығарылған есептерін тексерушілерге түсінікті болатындай етіп жаза алмайтындығы байқалып жүр. Төменде(І.8.2) жазылуы математикалық олимпиаданың бірінші кезеңінде сегізінші сыныпқа берілген екінші есеп дегенді білдіреді.

1 – есеп. (І.8.2) теңдеуінің бүтін мәндерін тап.

Шешуі. Теңдеуді түріне келтіріп, мынаны аламыз: , . Бұларды шегерсек, онда . Бұдан .

Жауабы:

2 – есеп. (І.9.1) Тақтада сандары жазылған. Бір жүрісте қандай-да бір үш сандарын өшіріп, олардың орнына қосындысын жазады. Ең соңындағы жалғыз қалған сан бола алмайтынын көрсетіңдер.

Шешуі. Кез келген бүтін саны үшін саны үшке бөлінетіндіктен, қосындысы үшке бөлінсе, онда қосындысы үшке бөлінеді. Сондықтан, берілген сандардың тізбегін солдан оңға қарай үш үштен топтап, қосындысы үшке бөлінетін сандарды аламыз. Олай болса, оларды алмастырғаннан кейін шығатын сандардың барлығы үшке бөлінеді. Алынғансегіз санға соңғы 25 санын тіркеп, тоғыз натурал сан аламыз. Оларды үш үштен топтап, алмастыруды қолданғаннан кейін үш сан шығады. Олардың алғашқы екеуі үшке бөлінеді, ал соңғысы үшке бөлгенде бір қалдық береді. Бұл үш санға алмастыруды қолданғаннан кейін шығатын санды үшке бөлгенде бір қалдық қалады. саны үшке бөлінетіндіктен соңғы сан бұған тең бола алмайды.

3 – есеп. (І.9.1) Нөлден өзге кез келген және сандарды үшінтеңдігі орындалады. -ның сандық мәнінің таңбасын табыңдар.

Шешуі. Ортақ бөлімге келтіріп түрлендірулерді орындағаннан кейін теңдік мына түрге келеді: . Мұнан болатындығы шығады.

Ескерту. Бұл есептің қазақ тіліндегі нұсқасында -ның сандық мәнін табыңдар деп берілген, ал бұл түпнұсқада орыс тілінде берілгенімен сәйкес келмейді. Сондықтан, оқушыларды есептің шартымен таныстырмас бұрын есептің берілуінің орыс және қазақ тілінде жазылған нұсқаларын оқып шығып, олардың сәйкестілігін тексеріп алу керек болатындығын мұғалім үнемі ескеріп отыру керек.

4 – есеп. (І.10.3) -ге бөлінеді деген тұжырым дұрыс па?

Шешуі. санын толық квадратты бөлу әдісі бойынша жіктейміз, сонда:

Жауабы: дұрыс.

5 – есеп. (І.11.4) Бүтін коэффицентті көпмүшесі берілген. , , екені белгілі, мұндағы -бүтін сан. -ны табыңдар.

Шешуі. және болатындықтан, Безу теоремасы [1, 79 бет] бойынша және болатындықтан, . Бұдан . Жауабы: .

6 – есеп. (ІІ.8.2) санының соңғы екі цифрын табыңыз.

Шешуі. санының соңғы екі цифрын анықтау үшін оны жүзге бөлгендегі қалдықты табу жеткілікті болады. Ол үшін натурал санының бірнеше мәніне сәйкесті санының соңғы екі цифрын есептелік. Сонда мынаны аламыз: . Сонымен, санының соңғы екі цифры циклді қайталанылып отыратындығын байқаймыз. Енді болатындықтан .

Жауабы: 07.

7 – есеп. (ІІ.8.4) Дәл 10 бөлгіші (өзін және бірді есептегенде) барлық 5-ке және 9-ға бөлінетін натурал сандарды табыңыз.

Шешуі. Тек қана беске және тоғызға бөлінетін санның жалпы түрі мынадай болады: . Сонда бұл санының барлық бөлгіштерінің саны - ға тең, яғни болады. - бірден үлкен тақ сан болатындықтан, және , яғни . Сонымен ізделінді сан .

Жауабы: 405.

8 – есеп. (ІІ.9.2) Өзара жай және сандары үшін теңдігі орындалса, өрнегінің мәнін табыңыз.

Шешуі. Теңдікті нөлден үлкен санына қысқартып, мына түрге келтіреміз. . Енді ауыстыруын пайдаланып және нөлге тең бола алмайтын санына қысқартып теңдеуін аламыз. Сонда болатындықтан, . шартынан және . және сандарының өзара жай болатындығынан және .

Жауабы: .

9 – есеп. (ІІ.9.4) - бүтін саны үшін жай сан болуы мүмкін бе?

Шешуі. өрнегін толық квадратты бөлу әдісі бойынша жіктейміз, сонда:

Енді болатындықтан ешқандай - бүтін саны үшін өрнегінің мәні жай санға тең бола алмайды.

Жауабы: мүмкін емес.

10–есеп. (ІІ.10.2) Бастапқы тақ натурал сандардың қосындысы бастапқы жұп натурал сандардың қосындысынан 212-ге көп болатындай барлық натурал жұптарын табыңыз.

Шешуі. Бастапқы тақ және бастапқы жұп натурал сандардың қосындысын есептеп, мынаны аламыз:

Есептің шарты бойынша . Бұдан , , . Енді болатын ескеріп, 847 санын біріншісі екіншісінен кіші болатын екі көбейгіш түрінде жазамыз: . Бұдан мына жүйені аламыз:

Бұл жүйелерді қоссақ және азайтсақ, онда және немесе және .

Жауабы: .

11–есеп. (ІІ.10.3) көпмүшесін көпмүшесіне бөлгендегі қалдықты табыңыз.

Шешуі. көпмүшесінде деп алсақ, онда

Сонымен көпмүшесін көпмүшесіне бөлгендегі қалдық . Бастапқы айнымалыға көшіп мынаны аламыз: .

Жауабы: .

12 –есеп. (ІІ.11.4) Қос қостан тең емес нақты сандары үшін болуы мүмкін бе?

Шешуі. деп алсақ, онда . Сонда

себебі болғанда .

Пайдаланған әдебиеттер

1. Б. Б. Баймұханов, Қ. Б. Базаров, Е. Ө. Медеуов. Алгебра – 7. Алматы. Атамұра. 2003.

2. Б.Оразбаев. Сандар теориясы. Алматы. Мектеп. 1972.