Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Мақаланың тақырыбы "БӨЛІНГІШТІККЕ БЕРІЛГЕН ОЛИМПИАДАЛЫҚ ЕСЕПТЕР"

Мақаланың тақырыбы "БӨЛІНГІШТІККЕ БЕРІЛГЕН ОЛИМПИАДАЛЫҚ ЕСЕПТЕР"


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

ӘОЖ 373.167.1:51

БӨЛІНГІШТІККЕ БЕРІЛГЕН ОЛИМПИАДАЛЫҚ ЕСЕПТЕР

А.Қ.Абиров, К.Қ.Абирова, Г.Б.Джумагалиева

Х. Досмұхамедов атындағы Атырау мемлекеттік университеті,

Ә. Жангелдин атындағы орта мектеп, И. Тайманов атындағы орта мектеп



Мақалада 2013-2014 оқу жылындағы математикалық олимпиаданың бірінші және екінші кезеңдерінде берілген есептердің ішінен бөлінгіштік ұғымы пайдаланылып шығарылатындарына тоқталып, шешу және оны жазу үлгісі көрсетілген.

Жалпы бөлінгіштік ұғымы сақиналар теориясының басты ұғымы [2] болғанымен, оның негізі орта мектепте қарастырылады. Сондықтан математикалық олимпиадалардың барлық кезеңдерінде оқушыларға таныс бөлінгіштік ұғымын және қасиеттерін пайдаланып шешілетін есептер кездесіп отырады. Математикалық олимпиадалардың І - ІІІ кезеңдеріне дайындық барысында оқушылардың шығарылған есептерін тексерушілерге түсінікті болатындай етіп жаза алмайтындығы байқалып жүр. Төменде (І.8.2) жазылуы математикалық олимпиаданың бірінші кезеңінде сегізінші сыныпқа берілген екінші есеп дегенді білдіреді.

1 – есеп. (І.8.2) hello_html_m5ffd0483.gif теңдеуінің бүтін мәндерін тап.

Шешуі. Теңдеуді hello_html_m321863f5.gif түріне келтіріп, мынаны аламыз: hello_html_m27d8d17c.gif, hello_html_m28ae0c20.gif. Бұларды шегерсек, онда hello_html_29f7d68f.gif. Бұдан hello_html_696c8e59.gif.

Жауабы: hello_html_21797fe3.gif

2 – есеп. (І.9.1) Тақтада hello_html_m4f30255a.gif сандары жазылған. Бір жүрісте қандай-да бір үш hello_html_m65b62c8c.gif сандарын өшіріп, олардың орнына hello_html_5dee1667.gif қосындысын жазады. Ең соңындағы жалғыз қалған сан hello_html_m763736d1.gif бола алмайтынын көрсетіңдер.

Шешуі. Кез келген hello_html_347c04f0.gif бүтін саны үшін hello_html_31e1ee19.gif саны үшке бөлінетіндіктен, hello_html_m69efc9d9.gif қосындысы үшке бөлінсе, онда hello_html_5dee1667.gif қосындысы үшке бөлінеді. Сондықтан, берілген сандардың тізбегін солдан оңға қарай үш үштен топтап, қосындысы үшке бөлінетін сандарды аламыз. Олай болса, оларды алмастырғаннан кейін шығатын сандардың барлығы үшке бөлінеді. Алынған сегіз санға соңғы 25 санын тіркеп, тоғыз натурал сан аламыз. Оларды үш үштен топтап, алмастыруды қолданғаннан кейін үш сан шығады. Олардың алғашқы екеуі үшке бөлінеді, ал соңғысы үшке бөлгенде бір қалдық береді. Бұл үш санға алмастыруды қолданғаннан кейін шығатын санды үшке бөлгенде бір қалдық қалады. hello_html_m763736d1.gifсаны үшке бөлінетіндіктен соңғы сан бұған тең бола алмайды.

3 – есеп. (І.9.1) Нөлден өзге кез келген hello_html_m65b62c8c.gif және hello_html_m3eb4d443.gif сандарды үшін hello_html_1669a233.gif теңдігі орындалады. hello_html_71bbdf3f.gif-ның сандық мәнінің таңбасын табыңдар.

Шешуі. Ортақ бөлімге келтіріп түрлендірулерді орындағаннан кейін теңдік мына түрге келеді: hello_html_m381a64b2.gif. Мұнан hello_html_217281a6.gifболатындығы шығады.

Ескерту. Бұл есептің қазақ тіліндегі нұсқасында hello_html_71bbdf3f.gif-ның сандық мәнін табыңдар деп берілген, ал бұл түпнұсқада орыс тілінде берілгенімен сәйкес келмейді. Сондықтан, оқушыларды есептің шартымен таныстырмас бұрын есептің берілуінің орыс және қазақ тілінде жазылған нұсқаларын оқып шығып, олардың сәйкестілігін тексеріп алу керек болатындығын мұғалім үнемі ескеріп отыру керек.

4 – есеп. (І.10.3) hello_html_m2d096655.gif-ге hello_html_76826c5b.gif бөлінеді деген тұжырым дұрыс па?

Шешуі. hello_html_76826c5b.gif санын толық квадратты бөлу әдісі бойынша жіктейміз, сонда:


hello_html_41e55da6.gif

Жауабы: дұрыс.

5 – есеп. (І.11.4) Бүтін коэффицентті hello_html_4d6d2cf2.gif көпмүшесі берілген. hello_html_3c7196ff.gif, hello_html_m1d2d8ce3.gif, hello_html_m21d545b4.gif екені белгілі, мұндағы hello_html_m5faf1d98.gif-бүтін сан. hello_html_m5faf1d98.gif-ны табыңдар.

Шешуі. hello_html_3003699f.gif және hello_html_m61b5dd18.gif болатындықтан, Безу теоремасы [1, 79 бет] бойынша hello_html_m774017d3.gif және hello_html_1c7cba28.gif болатындықтан, hello_html_702c5481.gif. Бұдан hello_html_dbc1300.gif. Жауабы: hello_html_70ee2177.gif.

6 – есеп. (ІІ.8.2) hello_html_m31d9ae5.gif санының соңғы екі цифрын табыңыз.

Шешуі. hello_html_m3c168bfe.gif санының соңғы екі цифрын анықтау үшін оны жүзге бөлгендегі қалдықты табу жеткілікті болады. Ол үшін hello_html_m601acf03.gif натурал санының бірнеше мәніне сәйкесті hello_html_m3c168bfe.gif санының соңғы екі цифрын есептелік. Сонда мынаны аламыз: hello_html_m2247403f.gif. Сонымен, hello_html_m3c168bfe.gif санының соңғы екі цифры циклді қайталанылып отыратындығын байқаймыз. Енді hello_html_615370c4.gif болатындықтан hello_html_25d70dea.gif.

Жауабы: 07.

7 – есеп. (ІІ.8.4) Дәл 10 бөлгіші (өзін және бірді есептегенде) барлық 5-ке және 9-ға бөлінетін натурал сандарды табыңыз.

Шешуі. Тек қана беске және тоғызға бөлінетін санның жалпы түрі мынадай болады: hello_html_m26057daa.gif. Сонда бұл санының барлық бөлгіштерінің саны hello_html_m301d24f.gif - ға тең, яғни hello_html_m4eacfaa3.gif болады. hello_html_903a133.gif - бірден үлкен тақ сан болатындықтан, hello_html_6668028d.gif және hello_html_751e50f3.gif, яғни hello_html_m765f5419.gif. Сонымен ізделінді сан hello_html_396e4c66.gif.

Жауабы: 405.

8 – есеп. (ІІ.9.2) Өзара жай hello_html_m734afb91.gif және hello_html_559071c1.gifhello_html_77418159.gif сандары үшін hello_html_3e7208d9.gif теңдігі орындалса, hello_html_52c2384e.gif өрнегінің мәнін табыңыз.

Шешуі. Теңдікті нөлден үлкен hello_html_52c2384e.gif санына қысқартып, мына түрге келтіреміз. hello_html_6be2c286.gif. Енді hello_html_m2187fd46.gif ауыстыруын пайдаланып және нөлге тең бола алмайтын hello_html_559071c1.gif санына қысқартып hello_html_fc58d73.gif теңдеуін аламыз. Сонда hello_html_m1b4be1eb.gif болатындықтан, hello_html_148ce743.gif. hello_html_4bf33f54.gif шартынан hello_html_m5f774c4c.gif және hello_html_m72d2aee4.gif. hello_html_m734afb91.gif және hello_html_559071c1.gif сандарының өзара жай болатындығынан hello_html_m45447584.gif және hello_html_106d9e23.gif.

Жауабы: hello_html_4d24654c.gif.

9 – есеп. (ІІ.9.4) hello_html_m5faf1d98.gif- бүтін саны үшін hello_html_m2beec5c3.gif жай сан болуы мүмкін бе?

Шешуі. hello_html_m2beec5c3.gif өрнегін толық квадратты бөлу әдісі бойынша жіктейміз, сонда:


hello_html_562fa629.gif

Енді hello_html_6f5cd0b2.gif болатындықтан ешқандай hello_html_m5faf1d98.gif- бүтін саны үшін hello_html_m2beec5c3.gif өрнегінің мәні жай санға тең бола алмайды.

Жауабы: мүмкін емес.

10–есеп. (ІІ.10.2) Бастапқы hello_html_17aa43f7.gif тақ натурал сандардың қосындысы бастапқы hello_html_m601acf03.gif жұп натурал сандардың қосындысынан 212-ге көп болатындай барлық hello_html_m691d72c.gif натурал жұптарын табыңыз.

Шешуі. Бастапқы hello_html_17aa43f7.gif тақ және бастапқы hello_html_m601acf03.gif жұп натурал сандардың қосындысын есептеп, мынаны аламыз:


hello_html_m5d16cbc9.gif


Есептің шарты бойынша hello_html_4cb0f826.gif. Бұдан hello_html_946514f.gif, hello_html_m14430544.gif, hello_html_60501942.gif. Енді hello_html_5f2753c2.gif болатын ескеріп, 847 санын біріншісі екіншісінен кіші болатын екі көбейгіш түрінде жазамыз: hello_html_m6865ca19.gif. Бұдан мына жүйені аламыз:


hello_html_m302a7d6d.gif


Бұл жүйелерді қоссақ және азайтсақ, онда hello_html_m3e3de803.gif және hello_html_m136c8b0d.gif немесе hello_html_1791638f.gif және hello_html_m52643195.gif.

Жауабы: hello_html_m3d8978f4.gif.

11–есеп. (ІІ.10.3) hello_html_549bf5e4.gif көпмүшесін hello_html_m4ef80a17.gif көпмүшесіне бөлгендегі қалдықты табыңыз.

Шешуі. hello_html_59f3bfa0.gif көпмүшесінде hello_html_1abd3c16.gif деп алсақ, онда


hello_html_6bfa1841.gif


Сонымен hello_html_2844fc5c.gif көпмүшесін hello_html_67cb0c15.gif көпмүшесіне бөлгендегі қалдық hello_html_m5a50fb9f.gif. Бастапқы айнымалыға көшіп мынаны аламыз: hello_html_79df2d84.gif.

Жауабы: hello_html_m58938537.gif.

12 –есеп. (ІІ.11.4) Қос қостан тең емес hello_html_m65b62c8c.gif нақты сандары үшін hello_html_28fd504f.gif болуы мүмкін бе?

Шешуі. hello_html_16c53840.gif деп алсақ, онда hello_html_m79bf18d.gif. Сонда

hello_html_796ac457.gif



себебі hello_html_m6c72ca75.gif болғанда hello_html_m64db5d5f.gif.



Пайдаланған әдебиеттер

1. Б. Б. Баймұханов, Қ. Б. Базаров, Е. Ө. Медеуов. Алгебра – 7. Алматы. Атамұра. 2003.

2. Б.Оразбаев. Сандар теориясы. Алматы. Мектеп. 1972.




Краткое описание документа:

БӨЛІНГІШТІККЕ БЕРІЛГЕН ОЛИМПИАДАЛЫҚ ЕСЕПТЕР

Г.Б.Джумагалиева

И. Тайманов атындағы орта мектеп

Мақалада 2013-2014 оқу жылындағы математикалық олимпиаданың бірінші және екінші кезеңдерінде берілген есептердің ішінен бөлінгіштік ұғымы пайдаланылып шығарылатындарына тоқталып, шешу және оны жазу үлгісі көрсетілген.

Жалпы бөлінгіштік ұғымы сақиналар теориясының басты ұғымы [2] болғанымен, оның негізі орта мектепте қарастырылады. Сондықтан математикалық олимпиадалардың барлық кезеңдерінде оқушыларға таныс бөлінгіштік ұғымын және қасиеттерін пайдаланып шешілетін есептер кездесіп отырады. Математикалық олимпиадалардың І - ІІІ кезеңдеріне дайындық барысында оқушылардың шығарылған есептерін тексерушілерге түсінікті болатындай етіп жаза алмайтындығы байқалып жүр. Төменде(І.8.2) жазылуы математикалық олимпиаданың бірінші кезеңінде сегізінші сыныпқа берілген екінші есеп дегенді білдіреді.

1 – есеп. (І.8.2) теңдеуінің бүтін мәндерін тап.

Шешуі. Теңдеуді түріне келтіріп, мынаны аламыз: , . Бұларды шегерсек, онда . Бұдан .

Жауабы:

2 – есеп. (І.9.1) Тақтада сандары жазылған. Бір жүрісте қандай-да бір үш сандарын өшіріп, олардың орнына қосындысын жазады. Ең соңындағы жалғыз қалған сан бола алмайтынын көрсетіңдер.

Шешуі. Кез келген бүтін саны үшін саны үшке бөлінетіндіктен, қосындысы үшке бөлінсе, онда қосындысы үшке бөлінеді. Сондықтан, берілген сандардың тізбегін солдан оңға қарай үш үштен топтап, қосындысы үшке бөлінетін сандарды аламыз. Олай болса, оларды алмастырғаннан кейін шығатын сандардың барлығы үшке бөлінеді. Алынғансегіз санға соңғы 25 санын тіркеп, тоғыз натурал сан аламыз. Оларды үш үштен топтап, алмастыруды қолданғаннан кейін үш сан шығады. Олардың алғашқы екеуі үшке бөлінеді, ал соңғысы үшке бөлгенде бір қалдық береді. Бұл үш санға алмастыруды қолданғаннан кейін шығатын санды үшке бөлгенде бір қалдық қалады. саны үшке бөлінетіндіктен соңғы сан бұған тең бола алмайды.

3 – есеп. (І.9.1) Нөлден өзге кез келген және сандарды үшінтеңдігі орындалады. -ның сандық мәнінің таңбасын табыңдар.

Шешуі. Ортақ бөлімге келтіріп түрлендірулерді орындағаннан кейін теңдік мына түрге келеді: . Мұнан болатындығы шығады.

Ескерту. Бұл есептің қазақ тіліндегі нұсқасында -ның сандық мәнін табыңдар деп берілген, ал бұл түпнұсқада орыс тілінде берілгенімен сәйкес келмейді. Сондықтан, оқушыларды есептің шартымен таныстырмас бұрын есептің берілуінің орыс және қазақ тілінде жазылған нұсқаларын оқып шығып, олардың сәйкестілігін тексеріп алу керек болатындығын мұғалім үнемі ескеріп отыру керек.

4 – есеп. (І.10.3) -ге бөлінеді деген тұжырым дұрыс па?

Шешуі. санын толық квадратты бөлу әдісі бойынша жіктейміз, сонда:

Жауабы: дұрыс.

5 – есеп. (І.11.4) Бүтін коэффицентті көпмүшесі берілген. , , екені белгілі, мұндағы -бүтін сан. -ны табыңдар.

Шешуі. және болатындықтан, Безу теоремасы [1, 79 бет] бойынша және болатындықтан, . Бұдан . Жауабы: .

6 – есеп. (ІІ.8.2) санының соңғы екі цифрын табыңыз.

Шешуі. санының соңғы екі цифрын анықтау үшін оны жүзге бөлгендегі қалдықты табу жеткілікті болады. Ол үшін натурал санының бірнеше мәніне сәйкесті санының соңғы екі цифрын есептелік. Сонда мынаны аламыз: . Сонымен, санының соңғы екі цифры циклді қайталанылып отыратындығын байқаймыз. Енді болатындықтан .

Жауабы: 07.

7 – есеп. (ІІ.8.4) Дәл 10 бөлгіші (өзін және бірді есептегенде) барлық 5-ке және 9-ға бөлінетін натурал сандарды табыңыз.

Шешуі. Тек қана беске және тоғызға бөлінетін санның жалпы түрі мынадай болады: . Сонда бұл санының барлық бөлгіштерінің саны - ға тең, яғни болады. - бірден үлкен тақ сан болатындықтан, және , яғни . Сонымен ізделінді сан .

Жауабы: 405.

8 – есеп. (ІІ.9.2) Өзара жай және сандары үшін теңдігі орындалса, өрнегінің мәнін табыңыз.

Шешуі. Теңдікті нөлден үлкен санына қысқартып, мына түрге келтіреміз. . Енді ауыстыруын пайдаланып және нөлге тең бола алмайтын санына қысқартып теңдеуін аламыз. Сонда болатындықтан, . шартынан және . және сандарының өзара жай болатындығынан және .

Жауабы: .

9 – есеп. (ІІ.9.4) - бүтін саны үшін жай сан болуы мүмкін бе?

Шешуі. өрнегін толық квадратты бөлу әдісі бойынша жіктейміз, сонда:

Енді болатындықтан ешқандай - бүтін саны үшін өрнегінің мәні жай санға тең бола алмайды.

Жауабы: мүмкін емес.

10–есеп. (ІІ.10.2) Бастапқы тақ натурал сандардың қосындысы бастапқы жұп натурал сандардың қосындысынан 212-ге көп болатындай барлық натурал жұптарын табыңыз.

Шешуі. Бастапқы тақ және бастапқы жұп натурал сандардың қосындысын есептеп, мынаны аламыз:

Есептің шарты бойынша . Бұдан , , . Енді болатын ескеріп, 847 санын біріншісі екіншісінен кіші болатын екі көбейгіш түрінде жазамыз: . Бұдан мына жүйені аламыз:

Бұл жүйелерді қоссақ және азайтсақ, онда және немесе және .

Жауабы: .

11–есеп. (ІІ.10.3) көпмүшесін көпмүшесіне бөлгендегі қалдықты табыңыз.

Шешуі. көпмүшесінде деп алсақ, онда

Сонымен көпмүшесін көпмүшесіне бөлгендегі қалдық . Бастапқы айнымалыға көшіп мынаны аламыз: .

Жауабы: .

12 –есеп. (ІІ.11.4) Қос қостан тең емес нақты сандары үшін болуы мүмкін бе?

Шешуі. деп алсақ, онда . Сонда

себебі болғанда .

Пайдаланған әдебиеттер

1. Б. Б. Баймұханов, Қ. Б. Базаров, Е. Ө. Медеуов. Алгебра – 7. Алматы. Атамұра. 2003.

2. Б.Оразбаев. Сандар теориясы. Алматы. Мектеп. 1972.


Автор
Дата добавления 12.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров565
Номер материала 275163
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх