Работа 13. Функция y=k/x и ее график.

Уважаемые коллеги!
Представляем вашему вниманию методически структурированную презентацию, посвящённую изучению важной темы курса алгебры 8 класса – «Функция y = k/x и её график». Данный материал разработан в соответствии с требованиями ФГОС ООО и направлен на формирование у учащихся представлений о функции обратной пропорциональности, её свойствах и графическом изображении, что является необходимым этапом для дальнейшего изучения более сложных функций и подготовки к государственной итоговой аттестации.

Цели и задачи презентации:

Актуализировать знания учащихся о функциях, их графиках, линейной функции и прямой пропорциональности.

Ввести понятие обратной пропорциональности, показать её отличие от ранее изученных зависимостей.

Сформулировать определение функции y = k/x, выделить её область определения.

Изучить свойства функции в зависимости от знака коэффициента k: расположение ветвей, промежутки возрастания и убывания, поведение функции на положительных и отрицательных значениях аргумента.

Познакомить с понятием гиперболы и асимптот, показать, что оси координат являются асимптотами для графика.

Отработать навык построения графика обратной пропорциональности по точкам.

Научить определять знак коэффициента k по расположению ветвей и находить его значение, если известна точка, принадлежащая графику.

Развивать аналитическое и графическое мышление, навыки работы с координатной плоскостью.

Структура и содержание:
Презентация построена логично и включает следующие блоки:

Актуализация знаний – краткое повторение понятия функции, области определения, линейной функции и прямой пропорциональности. Это создаёт базу для введения нового материала.

Определение обратной пропорциональности – введение функции y = k/x, объяснение, почему k не может быть нулём, выделение области определения (все числа, кроме нуля). Приводятся примеры из жизни, демонстрирующие обратную пропорциональную зависимость.

Свойства функции – подробное рассмотрение двух случаев:

при k > 0: расположение ветвей в первой и третьей четвертях, убывание функции на каждом из промежутков, отсутствие нулей;

при k < 0: расположение ветвей во второй и четвёртой четвертях, возрастание функции, сохранение симметрии графика.
Каждое свойство подтверждается на конкретном числовом примере.

График функции – гипербола – введение понятия гиперболы, демонстрация того, что график состоит из двух ветвей. Вводится понятие асимптот (оси координат), поясняется, что ветви бесконечно приближаются к ним, но не пересекают.

Алгоритм построения графика – пошаговая инструкция: составление таблицы значений (выбор положительных и отрицательных x, кроме нуля), нанесение точек, соединение их плавными линиями с учётом асимптот.

Сравнение графиков – наглядное сопоставление графиков для различных значений k (например, 2, 1, 0,5) и для противоположных знаков k (2 и –2). Показывается, как изменение коэффициента влияет на удалённость ветвей от начала координат и как отражается знак.

Устные упражнения – блок для быстрого закрепления: определение четвертей по формуле, нахождение значения функции в точке, проверка принадлежности точки графику.

Практические задания – серия упражнений на нахождение коэффициента k по точке, построение графиков, определение знака k по чертежу, решение текстовых задач на обратную пропорциональность (например, путь и время).

Ответы для самопроверки – завершающий слайд с правильными ответами, позволяющий организовать контроль и рефлексию.

Методические особенности:

Наглядность и визуализация – каждый случай свойств сопровождается графической иллюстрацией, что облегчает понимание.

Интерактивность – возможность пошагового построения графиков, скрытые ответы для обсуждения в классе.

Дифференциация – задания подобраны по возрастанию сложности, что позволяет работать с учащимися разного уровня подготовки.

Логическая последовательность – материал выстроен от повторения к новым понятиям, от свойств к построению графика.

Связь с реальной жизнью – примеры обратной пропорциональности (скорость и время, цена и количество) повышают мотивацию и показывают практическую значимость темы.

Желаем вам успешного использования ресурса и высоких результатов ваших учеников!

Работа предназначена для учащихся 8 класса обучающихся по учебнику Алгебра Ю.Н. Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова для общеобразовательных организаций, но можно применить и при обучении по другим учебникам.

Данная работа предполагает, что учащиеся работают непосредственно на рабочем листе для систематизации и закрепления умений по теме "Функция y=k/x и ее график".

Документ в формате PDF содержит 3 страницы с заданиями. Всего 6 тематических заданий, и 3 страницы с ответами.

В заданиях ученикам предлагается:

Задание 1. Заполнить таблицу.

Задание 2. Записать пропущенные слова (необходимо отсканировать QR код)

Задание 3. Определить принадлежность функции к четверти

Задание 4. Выбрать верное или неверное утверждение (часть заданий взято из ВПР 8 класса от 2025 года)

Задание 5. Установить соответствие между графиками функций и формулами (11 задание огэ)

Задание 6. Найти коэффициент фунции  y=k/x

В конце отведено место под рефлексию.

Этот рабочий лист подойдет для учителей, репетиторов и родителей для обобщающего повторения изученного материала.

Подходят для занятий в классе и для домашнего обучения.

Цель урока: усвоение новых знаний о свойствах и графиках функций.

Задачи урока:

1. Формировать умение находить свойства функции по её графику.

2. Развивать логическое мышление и умение анализировать информацию.

3. Воспитывать интерес к математике и её приложениям.

Методы урока: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, проблемный, частично-поисковый.